Gradien_dan_divergensi[1].docx

Nama Kelompok 10 : Gita Pemanasari (1610631050063) Mutia (1610631050099) Kelas/Prodi

: 5C / Pendidikan Marematika

Mata Kuliah

: Kalkulus Vektor

GRADIEN DAN DIVERGENSI A. GRADIEN 1. Definisi Gradien Misalkan Ø (x, y, z) mendefinisikan sebuah medan skalar yang kontinu dan dapat diferensiabel pada setiap titik (x, y, z) dalam ruang R³, maka gradien Ø dituliskan dengan:

∇∅ = (

=

𝜕 𝜕 𝜕 𝑖+ 𝑗 + 𝑘) ∅ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝜕∅ 𝜕∅ 𝜕∅ 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

catatan: “Ingat bahwa gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor”.  Contoh Soal. Misalkan Ø (x, y, z) = 𝑥𝑦²𝑧, pada titik (1, 1, 3) a. hitunglah 𝛻∅ b. hitunglah |𝛻∅| c. Jawab. a.) 𝛻∅ ∇∅ =

=

𝜕(𝑥𝑦 2 𝑧) 𝜕𝑥

𝑖+

𝜕(𝑥𝑦 2 𝑧) 𝜕𝑦

𝜕∅ 𝜕∅ 𝜕∅ 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑗+

𝜕(𝑥𝑦 2 𝑧) 𝜕𝑧

𝑘

= 𝑦 2 𝑧𝑖 + 2𝑥𝑦𝑧𝑗 + 𝑥𝑦 2 𝑘 ∇∅(1,1,3) = 3𝑖 + 6𝑗 + 𝑘 b.) |𝛻∅| 𝛻∅(1,1,3) = 3𝑖 + 6𝑗 + 𝑘 maka|𝛻∅| = √(3)2 + (6)2 + (1)2 = √9 + 36 + 1 = √46 Contoh Soal : Tentukan Turunan Berarah Fungsi Ø (x, y, z) = 𝑥𝑦²𝑧, pada titik (1, 1, 3) dengan arah vektor U = i+2j+2k Jawab : 𝑈 𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘 1 2 2 = = 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 |𝑈| √1 + 1 + 9 √11 √11 √11 𝜕∅ 𝜕∅ 𝜕∅ 1 2 2 𝛻∅. 𝑢 = ( 𝑖 + 𝑗+ 𝑘 ).( 𝑖+ 𝑗+ 𝑘) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 √11 √11 √11 𝑢=

1

𝛻∅. 𝑢 = (𝑦 2 𝑧𝑖 + 2𝑥𝑦𝑧𝑗 + 𝑥𝑦 2 𝑘 ). (

√11

𝛻∅. 𝑢 =

1 √11

𝑦2𝑧 +

𝛻∅. 𝑢(1,1,3) =

1 √11

𝛻∅. 𝑢(1,1,3) =

2 √11

2𝑥𝑦𝑧 +

. 12 . 3 +

2 √11

2 √11

𝑖+

2 √11

𝑗+

2 √11

𝑥𝑦 2

2.1.1.3 +

2 √11

1.12

3√11 12√11 2√11 17√11 + + = 11 11 11 11

𝑘)

2. Sifat-Sifat Gradien Misalkan ∅(𝑥, 𝑦, 𝑧) dan 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) mendefinisikan sebuah medan skalar yang dapat diferensiabel pada setiap titik (𝑥, 𝑦, 𝑧) dalam ruang R³ dan c adalah bilangan riil, maka berlaku: a. ∇(∅ + 𝛹) = ∇∅ + ∇Ψ b. ∇(𝑐∅) = 𝑐∇∅ c. ∇(∅𝛹) = ∅∇𝛹 + 𝛹∇∅ Bukti: 𝜕

𝜕

𝜕

a. ∇(∅ + 𝛹) = 𝜕𝑥 (∅ + 𝛹)𝑖 + 𝜕𝑦 (∅ + 𝛹)𝑗 + 𝜕𝑧 (∅ + 𝛹)𝑘 𝜕∅

𝜕𝛹

𝜕∅

𝜕𝛹

𝜕∅

= (𝜕𝑥 + 𝜕𝑥 ) 𝑖 + (𝜕𝑦 + 𝜕𝑦 ) 𝑗 + (𝜕𝑧 + 𝜕∅

𝜕𝛹

𝜕∅

𝜕𝛹

𝜕∅

= 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑧 𝑘 +

𝜕𝛹 𝜕𝑧

𝜕𝛹 𝜕𝑧

)𝑘

𝑘

∇(∅ + 𝛹) = ∇∅ + ∇𝛹 𝜕

𝜕

𝜕

b. ∇(𝑐∅) = 𝜕𝑥 (𝑐∅)𝑖 + 𝜕𝑦 (𝑐∅)𝑗 + 𝜕𝑥 (𝑐∅)𝑘 𝜕∅

𝜕𝑐

𝜕∅

𝜕𝑐

𝜕∅

𝜕𝑐

= (𝑐 𝜕𝑥 + ∅ 𝜕𝑥) 𝑖 + (𝑐 𝜕𝑦 + ∅ 𝜕𝑦) 𝑗 + (𝑐 𝜕𝑧 + ∅ 𝜕𝑧)k 𝜕∅

𝜕∅

𝜕∅

𝜕𝑐

𝜕𝑐

𝜕𝑐

= (𝑐 𝜕𝑥 𝑖 + 𝑐 𝜕𝑦 𝑗 + 𝑐 𝜕𝑧 k) + (∅ 𝜕𝑥 𝑖 + ∅ 𝜕𝑦 𝑗 + ∅ 𝜕𝑧 k) 𝜕∅

𝜕∅

𝜕∅

= 𝑐 𝜕𝑥 𝑖 + 𝑐 𝜕𝑦 𝑗 + 𝑐 𝜕𝑧 k 𝜕∅

𝜕∅

𝜕∅

= 𝑐 (𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑧 k) ∇(𝑐∅) = 𝑐(∇∅) 𝜕

𝜕

𝜕

c. ∇(∅𝛹) = 𝜕𝑥 (𝛹∅)𝑖 + 𝜕𝑦 (𝛹∅)𝑗 + 𝜕𝑧 (𝛹∅)𝑘 𝜕∅

𝜕𝑐

𝜕∅

𝜕𝑐

𝜕∅

𝜕𝑐

= (𝛹 𝜕𝑥 + ∅ 𝜕𝑥) 𝑖 + (𝛹 𝜕𝑦 + ∅ 𝜕𝑦) 𝑗 + (𝛹 𝜕𝑧 + ∅ 𝜕𝑧)k = (𝛹

𝜕∅ 𝜕𝑥 𝜕∅

𝑖+𝛹 𝜕∅

𝜕∅ 𝜕𝑦

𝑗+𝛹 𝜕∅

𝜕∅ 𝜕𝑧

k) + (∅ 𝜕𝑐

𝜕𝑐 𝜕𝑥

𝜕𝑐

𝑖+∅

𝜕𝑐

𝜕𝑦 𝜕𝑐

𝑗+∅

= 𝛹 (𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑧 k) + ∅ (𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑧 k) ∇(∅𝛹) = 𝛹∇∅ + ∅∇𝛹

𝜕𝑐 𝜕𝑧

k)

B. DIVERGENSI 1. Definisi Divergensi Misalkan (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹 1(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝐹 2(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + 𝐹 3(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘 mendefinisikan sebuah medan vektor yang kontinu dan dapat diferensiabel terhadap variabel x, y dan z dalam ruang R³, maka divergensi F dituliskan dengan div.F atau ∇. F dan didefinisikan dengan:

∇. F = (

𝜕 𝜕 𝜕 𝑖+ 𝑗 + 𝑘) . 𝐹1 𝑖 + 𝐹2 𝑗 + 𝐹3 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 =

𝜕𝐹1 𝜕𝐹2 𝜕𝐹3 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

catatan: “Ingat bahwa divergensi mengubah fungsi vektor menjadi fungsi skalar”.  Contoh Soal. Jika F = xyz2i + x2yzj + 2x2yzk. a. Hitunglah ∇. F b. Hitunglah ∇ × F Jawab. ∂

∂

∂

a. ∇. F = ∂x (xyz2) + ∂y (x2yz) + ∂z(2x2yz) = yz2 + x2z + 2x2y

b. ∇ × 𝐹 = |

𝑖

𝑗

𝑘

∂

∂

∂

∂y 2

∂z 2

∂x

𝑥𝑦𝑧

2

𝑥 𝑦𝑧

|

2𝑥 𝑦𝑧

∂(2𝑥 2 𝑦𝑧) ∂(𝑥 2 𝑦𝑧) ∂(2𝑥 2 𝑦𝑧) ∂(𝑥𝑦𝑧 2 ) =𝑖 ( − )−𝑗 ( − ) ∂y ∂z ∂x ∂z ∂(𝑥 2 𝑦𝑧) ∂(𝑥𝑦𝑧 2 ) +𝑘 ( − ) ∂x ∂y = 𝑖(2𝑥 2 𝑧 − 𝑥 2 𝑦) − 𝑗 (4𝑥𝑦𝑧 − 𝑦𝑧 2 ) + 𝑘(2𝑥𝑦𝑧 − 𝑥𝑧 2 )

2. Sifat-Sifat Divergensi Misalkan F(𝑥, 𝑦, 𝑧) dan G(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah medan vektor-medan vektor yang kontinu dan dapat diferensiabel terhadap variabel x,y dan z, ∅(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah fungsi skalar yang kontinu dapat diferensiabel terhadap variabel x,y dan z, sertsa a dan b adalah bilangan riil, maka berlaku: a. ∇. (aF + bG) = a∇. F + b∇. G b. ∇. (∇ × F) = 0

Bukti: 𝜕

𝜕

𝜕

a. ∇. (aF + bG) = (𝜕𝑥 i + 𝜕𝑦 j + 𝜕𝑧 k) . [(a𝐹1 i + a𝐹2 j + a𝐹3 k) + (a𝐺1 i + a𝐺2 j+a𝐺3 k)] =(

𝜕 𝜕𝑥

i+

𝜕 𝜕𝑦

𝜕

j+

𝜕𝑧

𝜕

k) . (a𝐹1 i + a𝐹2 j + a𝐹3 k) + (

𝜕𝑥

i+

𝜕 𝜕𝑦

j+

𝜕 𝜕𝑧

k).

(b𝐺1 i + b𝐺2 j+b𝐺3 k) =[

𝜕(a𝐹1 ) 𝜕𝐹 𝜕 𝜕𝑥

+

𝜕𝑦 𝜕𝐹2

= a ( 𝜕𝑥1 + = a(

𝜕(a𝐹2 )

+

𝜕𝑥

+

𝜕𝑦

i+

𝜕 𝜕𝑦

𝜕(a𝐹3 ) 𝜕𝑧

]+[

𝜕𝐹3

𝜕(b𝐺1 ) 𝜕𝑥

𝜕𝐺

) + b ( 𝜕𝑥1 + 𝜕𝑧

j+

𝜕

+

𝜕𝐺2 𝜕𝑦

𝜕(b𝐺2 ) 𝜕𝑦

+

𝜕𝐺3 𝜕𝑧

𝜕(b𝐺3 )

+

𝜕𝑧

) 𝜕

k) . (𝐹1i + 𝐹2 j + 𝐹3 k) + b(

𝜕𝑧

𝜕𝑥

i+

(𝐺1 i + 𝐺2 j+𝐺3 k) ∇. (aF + bG) = a∇. F + b∇. G 𝜕

𝜕

𝜕

b. ∇. (∇ × F) = ∇. [(𝜕𝑥 i + 𝜕𝑦 j + 𝜕𝑧 k) × (𝐹1 i + 𝐹2 j + 𝐹3 k)] i

j

∂

= ∇. | ∂x

∂

∂

∂y

∂z

𝐹1

𝐹2

𝐹3

∂

∂

= [| ∂y 𝐹2 𝜕𝐹

∂z | i

𝐹3

= [( 𝜕𝑦3 − 𝜕

k | ∂

+ | ∂x 𝐹1

∂𝐹2

∂

∂ ∂z | j

𝐹3 𝜕𝐹

) i + ( 𝜕𝑥3 − ∂z

𝜕

𝜕

∂𝐹1

𝜕𝐹

∂𝐹1 ∂y

∂y | k]

𝐹2

𝜕𝐹

) j + ( 𝜕𝑥2 − ∂z

𝜕𝐹

= (𝜕𝑥 i + 𝜕𝑦 j + 𝜕𝑧 k) . [( 𝜕𝑦3 − ( 𝜕𝑥2 −

∂

+ | ∂x 𝐹1

∂𝐹2 ∂z

∂𝐹1 ∂y

) k]

𝜕𝐹

) i + ( 𝜕𝑥3 −

∂𝐹1 ∂z

)j+

) k] 𝜕

𝜕𝐹

= 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑦3 −

∂𝐹2 ∂z

𝜕

𝜕𝐹

) + 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑥3 −

∂𝐹1 ∂z

𝜕

𝜕𝐹

) + 𝜕𝑧 ( 𝜕𝑥2 −

∇. (∇ × F) = 0

]

∂𝐹1 ∂y

)

𝜕 𝜕𝑦

j+

𝜕 𝜕𝑧

k).