Giradores Y Operacionales

Análisis y Síntesis de Circuitos

ASC

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APENDICE 2 Fig.4.16 Schauman

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(b)

(a) Figura A2.1:

Ilustración de la simulación de (a) un inductor a tierra y (b) un inductor flotante mediante circuitos RC-activos.

de los amplificadores operacionales, las simulaciones serán imperfectas y

A2.1 Diseño de funciones básicas amplificadores operacionales

utilizando

serán válidas únicamente en un rango limitado de frecuencias. El inductor realizado no sólo tendrá un valor incorrecto y tendrá además parásitos sino que también tendrá pérdidas:

Los amplificadores operacionales se utilizan con varios propósitos: A) Amplificación de señales

RL   1 jωL → jωL r + R L = jωL r  1 – j --------- = jωL r  1 – j ---------------- ωL Q  r L(ω)

(A2.2)

B) Suma de señales

donde QL(ω) es el factor de calidad del inductor.

C) Simulación de la impedancia de otros elementos, frecuentemente un inductor

D) Simulación operacional de la función de inductores y condensadores

La simulación de inductores se realiza como indica la Fig. 1. Se construye un circuito RC activo cuya impedancia se aproxima a la de un inductor a tierra o flotante, tan bien como sea posible en la frecuencia de interés. Para un inductor a tierra se necesita un circuito cuya impedancia de entrada sea Zin(s)=sL y para un inductor flotante se necesita una bipuerta cuya matriz de admitancia sea, V1 1 = ------ 1 – 1 sL I2 – 1 1 V2

I1

Consideremos el inductor en serie y el condensador en paralelo de la Fig. 2a. Están descritos por las ecuaciones: V1 – V2 I = -----------------sL

I1 – I2 V = --------------sC

(A2.3)

La misma función de integración la realiza el circuito de la Fig. 2b: V1 – V2 V o = -----------------sCR

(A2.4)

(A2.1)

Está claro que debido a las no idealidades de los dispositivos aparecerán desviaciones respecto a la función de integración ideal. Por tanto, de forma aná-

siendo I1=−I2. Debido a las tolerancias de los elementos y las no-idealidades

loga a la simulación de la impedancia de los inductores conviene introducir

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A2-1

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A2-2

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A2.1 Diseño de funciones básicas utilizando amplificadores operacionales

ASC

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Similares resultados se obtienen para el integrador con condensador: ωC r R Im ( ω ) Q I ( ω ) = ---------------- = -------------- = ωC r R C GC R Re ( ω )

Fig.4.15 Schauman

(A2.9)

A2.2 Amplificadores/sumadores Figura A2.2:

(a) Inductor serie y condensador paralelo realizando "integración"; (b) Equivalente con amplificadores operacionales.

un factor de calidad de los integradores. Denominamos TL(s)=1/sL a la fun-

En muchas ocasiones durante el diseño de un filtro debe amplificarse una señal determinada o sumarse dos o varias señales con peso. Los circuitos apropiados son los amplificadores inversores y no-inversores de la Fig. 3.

ción de integración del inductor en (3). Sustituyendo jωL por jωLr+RL se obtiene: 1 1 T L ( jω ) = ------------------------ = ---------------------------------------jωL r + R L jIm ( ω ) + Re ( ω )

(A2.5)

Se puede definir entonces un factor de calidad del integrador como: ωL r ωL r ⁄ R Im ( ω ) Q I ( ω ) = ---------------- = ----------------- = --------RL ⁄ R RL Re ( ω )

(A2.6) Fig.4.17 Schauman

de manera análoga al factor de calidad de los inductores. A partir de (5) podemos obtener la fase y el error de fase del integrador: 1 1 T L ( jω ) = ---------------------------------------- = -------------------------------------------------jIm ( ω ) + Re ( ω ) 1 jIm ( ω ) 1 – j --------------QI ( ω )

(A2.7) Figura A2.3:

de donde se obtiene la fase y el error de fase: π π 1 φ I ( ω ) = – --- + atan -------------- = – --- + ∆φ I ( ω ) 2 2 QI ( ω )

(A2.8)

Como era de esperar, el error de fase del integrador está determinado por el

Circuitos activos elementales: (a) amplificador inversor; (b) amplificador no inversor; (c) sumador inversor; (d) buffer de ganancia unidad.

Ejercicio A2.1.- Obtener la ganancia en tensión del amplificador inversor de la Fig. 3a con un modelo genérico del amplificador operacional.

factor de calidad del integrador. A2-3

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A2-4

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A2.2 Amplificadores/sumadores

Solución detallada Aplicando la ecuación del amplificador, principio de superposición y divisor de tensiones: R1  RF  V o = – A  ------------------- V 1 + -------------------V o R + R R + R  1 F 1 F  R1  RF  V o  1 + A ------------------- = – A -------------------V 1 R 1 + R F R1 + RF 

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ASC

Si A ( jω ) → ∞ las expresiones en (10) y (11) tienden a: Vo ------ = – K o Vi

Vo ------ = ( 1 + K o ) Vi

(A2.12)

donde Ko=RF/R1. En realidad la ganancia de estos amplificadores depende de la frecuencia. Si modelamos A(s) como: (A2.10)

AR F RF 1 V o = – ------------------------------------ V 1 = – ------ ------------------------------------------- V 1 AR 1 + R 1 + R F R1 R F 1  1 + -----------  1 + ------ R1 A( s) 

GB GB A ( s ) = ------------ ≅ -------s+σ s

(A2.13)

puede observarse que dichos amplificadores tienen un ancho de banda reducido:

Ejercicio A2.2.- Obtener la ganancia en tensión del amplificador no-inversor de la Fig. 3b con un modelo genérico del amplificador operacional.

GB ω K ≅ ---------------1 + Ko

(A2.14)

y se obtiene que el producto ganancia ancho de banda en lazo cerrado (1+Ko)ωK es aproximadamente igual al producto ganancia-ancho de banda en lazo abierto GB.

Solución detallada Aplicando la ecuación del amplificador, principio de superposición y

El tercer circuito mostrado en la Fig. 3c es un sumador. Se ha construido a partir del amplificador inversor añadiendo nuevas entradas en el terminal

divisor de tensiones:

de entrada inversor que es un nudo de tierra virtual.

R1   V o = A  V 1 – -------------------V o R1 + RF   R1   V o  1 + A ------------------- = AV 1 R 1 + R F 

Ejercicio A2.3.- Obtener la ganancia en tensión del sumador de la Fig. 3c con un modelo genérico del amplificador operacional. (A2.11)

R F  A 1 V o = --------------------------------- V 1 =  1 + ------ ------------------------------------------- V 1 R1 R  R F 1 1  1 + A ------------------1 + -----------  1 + ------ R1 + R F R1 A(s ) ------------------------------------------------------------------------------------A2-5

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Solución detallada El análisis de este circuito conduce a:

∑ Gi Vi GF V o = – A  ---------------- + ------- V o G G

(A2.15)

siendo G = G F + ∑ ( G i ) . Agrupando términos:

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A2-6

Vn2

Por lo que la operación del circuito sumador es: (A2.17)

Vpp

Figura A2.4:

Vo

Rp2

...

-------------------------------------------------------------------------------------

RF

Rp1

Vp1 Vp2

En el caso ideal |A(jω)|→∞ y (17) se reduce a:

Rn2

Rn1

Vn1

n

Gi 1 V o = – ---------------------------- ∑ ------- V i G 1 G 1 + ----------- ------- i = 1 F A ( s ) GF

Rnn

Vnn

(A2.16)

...

GF ∑ Gi Vi V o  1 + A ------- = – A --------------- G G

ASC

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...

A2.2 Amplificadores/sumadores

...

ASC

Rpp

Sumador generalizado

n

Gi V o = – ∑ ------- V i GF i=1

(A2.18)

donde cada coeficiente se puede ajustar independientemente, lo que resulta muy adecuado para ajuste de filtros activos. La operación de suma puede llevarse a cabo siempre que se disponga de un nodo de tierra virtual en un circuito activo, no es necesario construir un sumador aislado. Ejercicio A2.4.- Demostrar que el sumador generalizado de la Fig. 4 permite sumar y restar señales pero a diferencia del sumador de la Fig. 3c no permite un ajuste independiente de los coeficientes. -----------------------------------------------------------------------------------------Otro circuito interesante es el buffer de la Fig. 3d. Es un caso especial del amplificador no inversor con RF=0 y R1=∞. Su ganancia es pues: Vo 1 A( s) 1 ------ = -------------------- = --------------------------≅ -----------------------Vi 1 + A( s) 1 + 1 ⁄ A ( s ) s = jω 1 + s ⁄ GB

(A2.19)

El ancho de banda de 3dB de este buffer es GB, y puede observarse que V o ⁄ V i ≅ 1 para las frecuencias normales de funcionamiento ω « GB . La

trada y su baja impedancia de salida: Z in ≅ R i

Ro Z out ≅ -------------------- ≅ 0 1 + A(s )

(A2.20)

Luego este circuito puede tener grandes cargas sin cargar los filtros activos puesto que no se extrae prácticamente ninguna intensidad del filtro.

A2.3 Integradores Los integradores realizan una función importante en el diseño de filtros activos. No sólo simulan la operación de inductores y condensadores sino que pueden utilizarse para construir secciones de segundo orden, mediante la conexión de dos integradores en un bucle, como se muestra en la Fig. 5. Si consideramos como modelo para cada integrador 1/s: 1 + 1 1 V 2 = --- V = ---  KV 1 – aV 2 – --- V 2 s s s

(A2.21)

de donde se obtiene la siguiente función de transferencia:

utilidad de este amplificador de ganancia unidad es su alta impedancia de enA2-7

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A2-8

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A2.3 Integradores

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vés del factor de calidad o error de fase del integrador. Ejercicio A2.5.- Obtener el factor de calidad y el error de fase del integrador Miller. Fig.4.19 Schauman

Figura A2.5:

Solución detallada Sustituyendo A ( s ) = GB ⁄ s y suponiendo que GBCR » 1 se obtiene:

Lazo de dos integradores para implementar un filtro de segundo orden.

V2 Ks H ( s ) = ------ = -------------------------2 V1 s + as + 1

(A2.22)

V2 1 1 1 ------ = – --------------------------------------------------------- ≅ – ---------- ----------------V1 sCR s s 1 1 + -------sCR  1 + -------- + ---------------- GB   GB GBCR

(A2.24)

Para s=jω: Combinando, pues, un integrador inversor y uno no inversor se obtiene una V2 1 ------ = – -----------------------------------------------2 V1 jωCR – ω CR ⁄ GB

función de transferencia de segundo orden.

A2.0.1 Integradores inversores

(A2.25)

Comparando con las expresiones anteriores se obtiene el error de fase y el

El integrador básico puede obtenerse a partir del amplificador inversor sustituyendo RF por 1/sC, tal como se muestra en la Fig. 6. Puede obtenerse pues la función de transferencia a partir de la del amplificador inversor:

factor de calidad del integrador: ω = – atan 1 ∆φ ≅ – atan ----------------------A ( jω ) GB

GB Q I ≅ – -------- = – A ( jω ) (A2.26) ω

-----------------------------------------------------------------------------------------El factor de calidad del integrador Miller es negativo y viene determinado Fig.4.20 Schauman

Figura A2.6:

por la ganancia del A.O. a la frecuencia de interés. Por tanto, es importante tener ganancias grandes. Si el factor de calidad es demasiado bajo se pueden utilizar métodos de

Integrador Miller.

V2 1 1 ------ = – ---------- ----------------------------------------------V1 sCR 1 1 1 + -----------  1 + ---------- A( s)  sCR

compensación pasiva o activa, tales como los de las Fig. 7 y Fig. 8. (A2.23)

Las desviaciones respecto al comportamiento ideal pueden evaluarse a traA2-9

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Ejercicio A2.6.- Estudiar el uso del circuito de la Fig. 7 como método de compensación pasiva del integrador Miller para minimizar el error de fase y aumentar por tanto su factor de calidad. Estudiar los problemas asociados a dicha compensación pasiva. Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

A2-10

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A2.3 Integradores Rc

1 s + ---------V2 R 1 cC ------ = – ------------------------------ --------------------------------------------------------------------------------------V1 sC ( R 1 + R c ) GBR 1 1 1 ------------------- s + ---------------------------- + -----------------GBR c C ( R 1 + R c )C R 1 + R c

C

R1 V1

Figura A2.7:

x

V2

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(A2.30)

Para que fuera un integrador ideal tendría que cancelarse el cero en el semi-

Integrador Miller con compensación pasiva.

plano de la izquierda con el polo. Es decir, tendría que verificarse: Solución detallada En primer lugar calculamos la función de transferencia del circuito de la figura. Analizamos el circuito utilizando un modelo de un polo para el amGB plificador operacional A ( s ) = -------- y calculando la tensión en el nudo x mes

GBR 1 1 + GBR 1 C 1 1 ---------- = ---------------------------- + ------------------ = ---------------------------Rc C ( R 1 + R c )C R 1 + R c ( R 1 + R c )C La solución de esta ecuación es: 1 R c = -----------GBC

diante el principio de superposición y el divisor de tensiones: 1 R c + -----R1 GB sC V 2 = – -------- -------------------------------- V 1 + -------------------------------- V 2 1 1 s R 1 + R c + -----R 1 + R c + -----sC sC

(A2.31)

(A2.32)

-----------------------------------------------------------------------------------(A2.27)

El esquema pasivo de la Fig. 7 proporciona una compensación de primer orden pero tiene dificultades en su aplicación práctica porque se está tratanto de fijar una correspondencia entre elementos muy distintos eléctricamente: se está tratando que la resistencia, un elemento pasivo, guarde una cierta re-

Agrupando términos:

lación con un parámetro activo, el GB, que suele presentar unas variabilida-

1 GB R c + ------------- R GB sC s 1 V 2 1 + -------------------------------- = – -------- -------------------------------- V 1 1 s 1 R 1 + R c + -----R 1 + R c + -----sC sC

(A2.28)

des muy grandes. Por lo tanto, la resistencia de compensación debería tener un valor distinto para cada amplificador. Es más, la compensación desaparece si GB varía debido a un cambio en las condiciones de operación.

GB V 2 [ sC ( R 1 + R c ) + 1 + GBR 1 C ] = – -------- [ 1 + sR c C ]V 1 s

Ejercicio A2.7.- Estudiar el uso del circuito de la Fig. 8 como método de

La función de transferencia:

compensación activa del integrador Miller

GBR c C 1 ------------------- s + ---------s Rc C V2 ------ = – ----------------------------------------------------------------sC ( R 1 + R c ) + 1 + GBR 1 C V1

(A2.29) 2

Solución detallada Calculamos en primer lugar la función de transferencia del integrador. Las relaciones impuestas por los amplificadores operacionales son:

Dividiendo numerador y denominador por GBR c ( R 1 + R c )C : A2-11

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A2-12

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A2.3 Integradores

Consideraremos un modelo de un polo para el amplificador operacional

C Vb

GB s « 1 por lo que A ( s ) = -------- . Para las frecuencias típicas de operación ------s GB

A2

R V1

Va

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A1

V2

se puede truncar con buena aproximación el siguiente desarrollo en serie: 2

Figura A2.8:

Integrador Miller con compensación activa.

V2 = –A1 Va V b = A2 ( V 2 – V b )

(A2.33)

Sustituyendo en (37):

2

(A2.34)

A2 V2 V b = --------------1 + A2

V 2  V 2 A2 V2  1 ---  V 1 + ------ = sC  – ------ – --------------- A 1 R  A 1 1 + A 2

2

Hacemos s = jω : V2 H ( s ) = ------ = V1

Aplicando análisis nodal en el nudo a: (A2.35)

1 = – -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(A2.40) 2 2 2 GB 2  ω  ω RC  ω  1 jωRC  1 + ------------------- – ------------- + ---------------  1 – ----------- – ------------- GB 1 GB 2 GB 2  GB 1 RC GB 2  2

2

El factor de calidad es pues:

Separando términos:  1 sRC sRCA 2 V 1 = – V 2  ------ + ---------- + ----------------- 1 + A2   A1 A1

2

(A2.36)

de donde la función de transferencia del integrador: V2 1 H ( s ) = ------ = – -----------------------------------------------------V1 1 1 + sRC -------------------- + sRC --------------1 A1 1 + -----A2 A2-13

(A2.38)

V2 1 H ( s ) = ------ = – ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------(A2.39) 2 3 V1  s s s  s ( 1 + sRC ) --------------------------- + sRC  1 – ----------- + ------------- – ------------- GB 2 GB 2 GB 3 GB 1 

de donde: V2 V a = – -----A1

3

1 s 1 s s --------------- = -------------------- ≈ 1 – ----------- + ------------- – ------------1 GB 2 GB 2 GB 3 s 1 + -----1 + ----------2 2 A2 GB 2

1 ω 1 + ------------------- – ------------GB 1 RC GB 2 Im ( ω ) GB 2 2 Q I = ---------------- ≅ ----------- -----------------------------------------------2 ω Re ( ω ) GB 2 ω 1 – ----------- – ------------GB 1 GB 2

(A2.41)

2

(A2.37)

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ω Si suponemos que GB 1 RC » 1 y ----------- « 1 : GB 2

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A2-14

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A2.3 Integradores

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

mos que entre los producto ganancia-ancho de banda de los amplificadores

GB 2 1 Q I ≅ ----------- ---------------------------------------2 ω GB 2 ω 1 – ----------- – ------------GB 1 GB 2

(A2.42)

operacionales existe un desapareamiento del 1% tendremos que el factor de calidad se ha deteriorado a:

2

6

Si consideramos que los dos amplificadores operacionales son idénticos: GB 1 = GB 2 = GB

4 10 1 Q I ≅ -------- ------------------- = 10 4 1 – 0.99 10

(A2.47)

(A2.43) ------------------------------------------------------------------------------------------

entonces: GB Q I ≅ –  -------- ω

3

A2.0.2 Integradores no inversores = – A ( jω )

3

(A2.44) El método más simple para obtener un integrador no inversor es conec-

que significa una mejora significativa respecto al integrador Miller. Si consideramos por ejemplo una realización con dos amplificadores operacionales con un producto ganancia-ancho de banda de 1 MHz y una frecuencia de

tar un amplificador inversor y un integrador Miller en cascada como se muestra en la Fig. 9a. El circuito adicional reduce el factor de calidad QI de la cascada inversor-integrador Miller.

operación de 10KHz entonces el factor de calidad del integrador es: 2 3

Q I ≅ – ( 10 ) = – 10

6

(A2.45)

Vo1

mientras que un integrador Miller usando el mismo amplificador operacio2 nal tendría Q I ≅ – 10 .

(a)

Fig.4.23 Schauman

Para obtener dicho factor de calidad hay que suponer coincidencia perfecta entre ambos amplificadores. Si el desapareamiento entre ambos amplificadores es suficientemente

(b)

2

ω grande para poder despreciar el término ------------- tendremos: 2 GB 2 GB 2 A 2 ( jω ) 1 Q I ≅ ----------- -------------------- = -------------------GB 2 GB 2 ω 1 – ----------1 – ----------GB 1 GB 1

Figura A2.9:

(A2.46)

Integradores no inversores: (a) Cascada Miller-inversor; (b) Cascada modificada Miller-inversor.

Ejercicio A2.8.- Calcular el factor de calidad del integrador no-inversor de la Fig. 9a.

Si consideramos el mismo ejemplo numérico anterior pero ahora consideraA2-15

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A2-16

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A2.3 Integradores

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

Solución detallada Consideramos que los amplificadores operacionales tienen impedancia de salida nula por lo que la función de transferencia del integrador no-inver-

V2 1 1 1 1 ------ ≅ -------------- ------------------------------------------------ = -------------- -------------------------------------------2 V 1 jωCR  jωCR jω   2jω ω ω 1 + -------- 1 + --------1 – 2 ----------- + j3 ------- GB  GB  2 GB GB

sor de la Fig. 9a puede obtenerse como el producto de la función de transferencia en tensión del integrador Miller y la de un amplificador inversor de ganancia unidad. Para el integrador Miller se ha obtenido la función de

2

ω 1 – 2 ----------2 GB Q I = – ----------------------ω 3 -------GB

(A2.48)

1 1 GB 1 Q I ≅ – ----------- = – --- -------- = – --- A ( jω ) 3 ω 3 ω 3 -------GB

iguales se particulariza a: (A2.49)

La cascada tendrá como ganancia el producto de ambas y considerando GB un modelo de un polo de los amplificadores operacionales A ( s ) = -------- (el s mismo para ambos): V2 1 1 1 ------ = ---------- -------------------------------------------- ----------------V1 2s sCR s 1 1 + --------  1 + ---------- 1 + ------GB   GB sCR

calidad del integrador:

-----------------------------------------------------------------------------------------Pero mediante el simple cambio de una interconexión, como se muestra en la Fig. 9b, puede obtenerse el mismo factor de calidad que el integrador Miller. Ejercicio A2.9.- Calcular el factor de calidad del integrador no-inversor de la Fig. 9b Solución detallada Consideramos que los amplificadores operacionales tienen impedancia de salida nula por lo que la función de transferencia del integrador no-inversor de la Fig. 9b puede obtenerse como el producto de las funciones de transferencia de los dos bloques en cascada. La nueva interconexión no afecta a

(A2.51)

Suponiendo GBCR » 1 se tiene que A2-17

(A2.54)

(A2.50)

Sustituyendo s=jω para separar parte real e imaginaria y calcular el factor de

V2 1 1 1 ------ = -------------- ----------------------------------------- ------------------V1 jωCR jω 1 2jω 1 + -------- + ---------------- 1 + --------GB GBCR GB

(A2.53)

Para las frecuencias de interés ω « GB se puede aproximar:

y para el amplificador inversor se ha obtenido en (11), que para resistencias

V2 2 -------- = – -------------------V 01 2 1 + ----------A(s)

(A2.52)

Por tanto el factor de calidad es:

transferencia en (23): V 01 1 1 -------- = – ---------- ----------------------------------------------V1 sCR 1  1 1 + -----------  1 + ---------- A(s) sCR

ASC

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la realización del producto puesto que está conectado a un amplificador de impedancia de entrada infinita por lo que no circula intensidad. Para el integrador Miller se ha obtenido la función de transferencia en (23):

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A2-18

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A2.3 Integradores

V 01 1 1 -------- = – ---------- ------------------------------------------------V1 sCR 1 1  1 + -------------  1 + ---------- sCR A1 ( s )

r

(A2.55) r Vo Vi

La ganancia del segundo bloque considerando ecuación del amplifica-

V o1 1 1 V 2 = A 2 – --------- – --- V 2 – --- V o1 A1 2 2

Figura A2.10:

(A2.56)

1  2 2 2  1 + ------- A 2 1 + ------ A 2  1 + ------   2  A 1 A 1 A 1 V2 --------- = – ------------------------------- = – ---------------------------- = – --------------------V o1 A2 2 + A2 2  1 + ----1 + -----  A 2 2

R

Integrador de Deboo.

Solución detallada El integrador de Deboo tiene la particularidad de ser un integrador no inversor con un único amplificador operacional. Calculamos en primer lugar la función de transferencia. Aplicamos ecuación constitutiva del amplificador operacional, principio de superposición y divisor de tensiones:

Por tanto, para el integrador no-inversor se tiene la función de transferencia: V2 1 + 2 ⁄ A1 ( s ) 1 1 ------ = ---------- ------------------------------------------------- -----------------------------V1 sCR 1 1 + 2 ⁄ A2 ( s ) 1 1 + -------------  1 + ---------- sCR A (s)

R C

dor operacional, principio de superposición y divisor de tensiones:

A2 1 2 V 2  1 + ------ = – --- A 2  1 + ------ V o1    2 2 A 1

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

(A2.57)

R R --------------------------------------1 1 + sRC 1 + sRC V o = A ( s ) ------------------------------ V i + ------------------------------ V o – --- V o 2 R R R + -------------------R + -------------------1 + sRC 1 + sRC

(A2.59)

1

Agrupando términos: Sin consideramos los amplificadores operacionales idénticos, la cascada modificada de integrador Miller e inversor tiene el mismo factor de calidad que el integrador Miller simple: Q I = – A ( jω )

(A2.58)

-----------------------------------------------------------------------------------------Ejercicio A2.10.- Demostrar que el circuito de la Fig. 10 (integrador de Deboo) es un integrador no inversor y obtener su factor de calidad. A2-19

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A A A V o 1 + --- – -------------------- = -------------------- V i 2 2 + sRC 2 + sRC

(A2.60)

Resultanto la función de transferencia en tensión: A -------------------Vo 2 + sRC 1 H ( s ) = ------ = --------------------------------------- = ------------------------------------Vi A A 2 + sRC sRC 1 + --- – --------------------------------------- + ---------2 2 2 + sRC A

(A2.61)

Utilizamos el modelo de un polo para el amplificador operacional:

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A2-20

ASC

A2.3 Integradores

Vo 1 H ( s ) = ------ = --------------------------------------------2 Vi 2s s RC sRC -------- + ------------- + ---------2 GB GB

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

R1

(A2.62) C

x

R

Hacemos s = jω :

Vi

Vo 1 H ( jω ) = ------ = ------------------------------------------------------------2 Vi RC 2 ω RC – --------------- + jω -------- + -------GB 2 GB

R1 A2

A1

Vo

(A2.63) Figura A2.11:

Integrador no inversor con adelanto de fase.

por lo que el factor de calidad: RC 2 -------- + -------2 GB Q I = – ----------------------ωRC -----------GB 2 y despreciando -------GB RC -------2 Q I ≈ – ------------ = ωRC -----------GB

Solución detallada Calculamos la función de transferencia del integrador utilizando ganan(A2.64)

impuesta por el amplificador A1, principio de superposición y divisor de tensiones:

RC frente a -------- : 2 GB 1 – -------- = – --- A ( jω ) 2ω 2

cias genéricas de los amplificadores operacionales. Aplicando la relación

(A2.65)

-----------------------------------------------------------------------------------------Ejercicio A2.11.- Demostrar que intercambiando los terminales de entrada del amplificador operacional de un integrador inversor Miller y colocando un amplificador inversor de ganancia −1 en el lazo de realimentación como se muestra en la Fig. 11 se obtiene un integrador no inversor con factor de calidad positivo (adelanto de fase o “phase-lead”).

1 -----R sC V o = A 1 ----------------V i + ----------------V x 1 1 R + -----R + -----sC sC

(A2.66)

De la misma forma, para el amplificador A2: 1 1 V x = – A 2 --- V o + --- V x 2 2

(A2.67)

de donde: –A2 --------2 1 V x = ------------------- V o = – ---------------V o –A2 2 1 + -----1 + --------A 2 2

(A2.68)

y sustituyendo en (66):

A2-21

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A2-22

ASC

A2.3 Integradores

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

ASC

Haciendo s = jω :

1 -----sC R 1 V o = A 1 ----------------V i – ---------------- ---------------V o 1 1 2 R + -----R + ------ 1 + -----sC sC A2

(A2.69)

1 H ( jω ) = ---------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 ω RC 1 1 – --------------- + 2ω RC ----------- + jω RC + ----------GB 1 GB 2 GB 1

(A2.74)

Agrupando términos: El factor de calidad: A1 A1 sRC V o 1 + -------------------- --------------- = -------------------- V i 1 + sRC 2 1 + sRC 1 + -----A2

(A2.70)

Utilizamos un modelo de un polo de los amplificadores operacionales A i ( s ) = GB i ⁄ s . La función de transferencia:

(A2.75)

Suponiendo GBCR » 1 se tiene que

GB 1 ----------Vo s H ( s ) = ------ = ---------------------------------------------------------Vi GB 1 ----------s 1 + sRC + sRC -------------------2s 1 + ----------GB 2

(A2.71)

ωRC 1 Q I ≅ ------------------------------------- = -------------------------2 2 2ω ω 2ω RC ω RC ----------- – ---------------------------- – --------------GB GB 2 1 GB 2 GB 1

(A2.76)

Si suponemos que los productos ganancia-ancho de banda de los amplificadores son iguales GB 1 = GB 2 = GB :

Como la frecuencia de operación ω « GB podemos aproximar: 1 2s -------------------- ≈ 1 – ----------2s GB 2 1 + ----------GB 2

GB Q I ≅ -------- = A ( jω ) ω (A2.72)

Vo GB 1 H ( s ) = ------ ≅ ---------------------------------------------------------------------------- = Vi 2 2s s + s RC + sGB1 RC  1 – ----------- GB 2

GB 1 = -----------------------------------------------------------------------------------GB 1 2 2 s + s RC + sGB1 RC – 2s RC ----------GB 2

(A2.77)

-----------------------------------------------------------------------------------------Ejercicio A2.12.- Demostrar que colocando un seguidor en el lazo de realimentación del integrador en cascada Miller-inversor modificado, tal como se

Por tanto,

A2-23

ω ωRC + ----------GB 1 Q I ≅ ------------------------------------2 2 2ω RC ω RC ------------------ – --------------GB 1 GB 2

muestra en la Fig. 12, se obtiene un integrador no inversor con (A2.73)

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factor de calidad muy alto y negativo (retrado de fase o “phaselag”). ------------------------------------------------------------------------------------------

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A2-24

ASC

A2.3 Integradores

C

Ejercicio A2.14.- Estudiar si en el integrador “phase-lead” de la Fig. 14 pueden aparecer problemas de estabilidad si el segundo polo de los

A3 R1

amplificadores operacionales no está al menos dos veces por

R

Vi

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

R1 A1

A2

Vo

encima del GB. Utilice el modelo de dos polos GB s A ( s ) ≅ --------  1 – ------ . Puede considerar que ambos amplificadores s  ω 2 operacionales son identicos. R1

Figura A2.12:

Integrador no inversor con alto factor de calidad.

C

Ejercicio A2.13.- La Fig. 13(a) muestra un integrador pasivo con pérdidas. Investigar qué tipo de elemento hay que conectar en paralelo con el condensador para anular las pérdidas. Estudiar el posible uso del circuito de la Fig. 13(b) para implementar dicho elemento (puede considerar que el amplificador operacional es ideal). Estudiar el tipo de integrador resultante y obtener su factor de calidad

R1

R V1 V2

Figura A2.14:

------------------------------------------------------------------------------------------

A2.4 Giradores

suponiendo un modelo de un polo (A(s)=GB/s) para el amplificador operacional. No olvide tomar la salida del integrador en un nudo de baja impedancia. R

R

+ Vi (a)

−

+ C

Vo

R

−

R (b)

Uno de los propósitos de circuitos activos es la simulación de inductores, de forma que la impedancia de entrada sea inductiva. La técnica más conocida para la simulación de inductores está basada en el uso de giradores. Un girador, cuyo símbolo se muestra en la Fig. 15, es una bipuerta descrita por las ecuaciones: 1 I 1 = --- V 2 r

1 I 2 =  – --- V 1 r

(A2.78)

Figura A2.13:

y la impedancia de entrada es: -----------------------------------------------------------------------------------------V1 2 – I2 2 Z in ( s ) = Z in = ------ = r ------- = r Y load ( s ) I1 V2 A2-25

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(A2.79) A2-26

ASC

A2.4 Giradores

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

17. Fig.4.25 Schauman

R R

(a)

Figura A2.15:

(b)

(a) Símbolo del girador; (b) Modelo de pequeña señal equivalente.

donde r es la resistencia del girador y Y load ( s ) es la admitancia de carga. Está claro que si Yload=sC, Zin será de tipo inductivo. Ya que la mayoría de los diseños de giradores tienen tierra común entre las puertas de entrada y salida, se simulan inductores conectados a tierra, como indica la Fig. 16a. Para simular inductores flotantes se suele recurrir a un circuito como el de la Fig. 16b, construido a partir de dos giradores con tierra común. I21 Fig.4.26 Schauman (a)

I22

I1

+ V1

+

R R

R +

I2 R

R

-

+ V2 -

Figura A2.17:

Bipuerta activa.

-----------------------------------------------------------------------------------------Si bien los giradores se adecúan muy bien a su realización utilizando OTAs, no ofrece ventajas su realización utilizando amplificadores operacionales por lo que para la simulación de la impedancia de inductores utilizando amplificadores operacionales se suelen utilizar convertidores de inmitancia.

V21

A2.5 Convertidores de inmitancia

(b)

Figura A2.16:

Simulación mediante giradores de (a) un inductor a tierra; (b) un inductor flotante.

La estructura general de un convertidor de inmitancia se muestra en la Fig. 181. Utilizando modelos ideales de los A.O. se obtiene que:

Ejercicio A2.15.- Calcular la inductancia del inductor flotante simulado por la estructura de la Fig. 16b. Solución Si los dos giradores son idénticos se simula un inductor de valor L=r2C. -----------------------------------------------------------------------------------------Ejercicio A2.16.- Discutir el tipo de función que realiza la bipuerta activa de la Fig. A2-27

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1. Para una deducción lógica de la estructura de un convertidor de inmitancia consultar apéndice A.7. Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

A2-28

ASC

A2.5 Convertidores de inmitancia

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

I4 = Y5 V1

R1

R1

Y 5  V 4 = V 1  1 + ------ Y 4 

R2 R3

R3 Fig.4.32 Schauman

Y3 Y5 I 3 = I 2 = – ------------ V 1 Y4

R4

(A2.80)

R5

R5

(a)

Y 3 Y 5  V 2 = V 1  1 – ------------ Y 2 Y 4 

(b)

Figura A2.19:

Y1 Y3 Y 5 I 1 = ------------------V 1 Y 2 Y4

Convertidores generales de impedancia de Antoniou: (a) tipo I; (b) tipo II.

Ejercicio A2.17.- El GIC de tipo I de la Fig. 19a simula la impedancia de un inductor conectado a tierra. Diseñar dicho circuito para maximizar el factor de calidad del inductor y minimizar las desviaciones que se producen respecto al valor nominal del inductor cuando se consideran

Fig.4.33 Schauman

modelos

no

ideales

de

los

amplificadores

operacionales.

Figura A2.18:

Estructura general de un convertidor de inmitancias de Antoniou.

A(s) para los A.O. conduce a la siguiente expresión para la admitancia de entrada:

Por tanto, la impedancia del GIC es: Z 1 ( s )Z 3 ( s )Z 5 ( s ) Z in ( s ) = ----------------------------------------Z 2 ( s )Z 4 ( s )

Solución detallada El análisis del circuito de la Fig. 18 considerando una ganancia genérica

(A2.81)

Para Z2=1/sC y Z1=Z3=Z4=Z5=R conduce a Zin=sL=sCR2, el circuito resul-

Y 4 1 Y 2  Y 4 Y 2  Y 4 1 1  1 + ------  1 + ------ + ------ ------  1 + ------ + -------------  1 + ------  1 + ------ Y Y Y A Y Y 5 A A A Y 1 Y3 Y 5 2 5 1 3 5 1 2 3  Y in ( s ) = ------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (A2.82) Y 2 Y4 Y 5 1 Y 3  Y 5 Y 3  Y 5 1  1 1 + ------  1 + ------ + ------ ------  1 + ------ + -------------  1 + ------  1 + ------ Y 4 A 2 Y 2  Y 4 A 1 A 2  Y 2  Y 4 A1 

tante se denomina GIC de tipo I y se muestra en la Fig. 19a. Pero también se obtiene comportamiento inductivo si se intercambia Z2 y Z4, es decir,

Vamos a utilizar el modelo de un polo:

Z4=1/sC y Z1=Z2=Z3=Z5=R. Este último se denomina GIC de tipo II y se muestra también en la Fig. 19b.

GB A ( s ) = -------s

A2-29

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(A2.83) A2-30

ASC

A2.5 Convertidores de inmitancia

y sustituimos los valores de las admitancias para el GIC de tipo I: Y1 = G1 Y 2 = sC 2 Y3 = G 3 Y4 = G 4 Y5 = G5

por lo que considerando: (A2.84)

resulta que la admitancia del inductor simulado es: 2 H s C2 H s 1 + ----------- ------------- + ----------- ------- ------------GB 2 H – 1 GB 1 G 3 H – 1 1 Y L = -------- ------------------------------------------------------------------------sL o s 1 G3 1 + ----------- H + ----------- ------- H GB 1 GB 2 C 2

G3   jω x = H  ----------- + ------------------  GB 1 GB 2 C 2

2

(A2.85)

G3  1  H ω C2 H jω   jω Y L ≅ ------------  1 – ------------- ------------------ + ------------- -----------  1 – H ----------- – H ----------------- (A2.91) GB 2 C 2 jωL o  H – 1 GB 1 G 3 H – 1 GB 2  GB 1 Haciendo el producto y haciendo la misma aproximación anterior de elimi-

2

que ω « GB 1 GB 2 y

nar los términos de segundo orden: 2

C2 G 4 L o = --------------------G1 G3 G5

(A2.86)

G3  1 H 1  H ω C2 H 1 Y L ≅ ------------  1 – ------------- ------------------ – H ------------------ – ------  ----------- – ------------- ----------- =  GB 2 C 2 L o  GB 1 H – 1 GB(A2.92) jωL o  H – 1 GB 1 G 3 2 1 = --------- + G L jωL

es el valor del inductor nominal y

Al considerar un modelo de un polo para los A.O. el inductor simulado tiene

G5 H = 1 + ------G4

(A2.87)

pérdidas (reflejadas en la conductancia en paralelo GL) y el inductor tiene un cierto error. La conductancia GL se puede anular haciendo:

Haciendo s=jω:

H H 1 ----------- – ------------- ----------- = 0 GB 1 H – 1 GB 2

2

ω C2  H  jω 1 + -------------  ----------- – ------------------ H – 1  GB 2 GB 1 G 3 1 Y L ≅ ------------ ---------------------------------------------------------------jωL o G3   jω 1 + H  ----------- + ------------------  GB 1 GB 2 C 2

(A2.88)

(A2.93)

Es decir, GB 1 H – 1 = ----------- ≅ 1 GB 2

Si x«1 se puede hacer la aproximación:

A2-31

(A2.90)

se obtiene:

donde hemos despreciado los términos de segundo orden porque suponemos

1 ------------ ≅ 1 – x 1+x

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

(A2.94)

luego (A2.89)

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G5 ------- = 1 G4 Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

(A2.95) A2-32

ASC

A2.5 Convertidores de inmitancia

y por tanto H=2.

de calidad del inductor y minimizar las desviaciones que se

Para minimizar el error del inductor hay que minimizar:

producen respecto al valor nominal del inductor cuando se consideran modelos operacionales.

2

ω C2 G3 ------------------ + -----------------GB 1 G 3 GB 2 C 2

(A2.96)

2

ω C2 G3 ------------- + ------G3 C2

(A2.97)

o bien: ωC 2 G 3 ----------- + ----------G3 C2 ω

(A2.98)

ideales

de

los

amplificadores

trada: Y 4 1 Y 2  Y 4 Y 2  Y 4 1 1  1 + ------  1 + ------ + ------ ------  1 + ------ + -------------  1 + ------  1 + ------ Y 5 A 1 Y 3  Y 5 A 1 A 2  Y 3  Y 5 A2  Y 1 Y3 Y 5 Y in ( s ) = ------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(A2.101) Y 2 Y4 Y 5 1 Y 3  Y 5 Y 3  Y 5 1  1 1 + ------  1 + ------ + ------ ------  1 + ------ + -------------  1 + ------  1 + ------ Y 4 A 2 Y 2  Y 4 A 1 A 2  Y 2  Y 4 A1 

Vamos a utilizar el modelo de un polo:

Esto se minimiza para: (A2.99)

GB A ( s ) = -------s

(A2.102)

y sustituimos los valores de las admitancias:

por lo que: 1 C 2 = ---------ωR 3

no

Solución detallada El análisis del circuito de la Fig. 18 considerando una ganancia genérica A(s) para los A.O. conduce a la siguiente expresión para la admitancia de en-

Si suponemos que GB1≅GB2 hay que minimizar:

ωC 2 ----------- = 1 G3

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

Y1 = G1 (A2.100)

Y2 = G2

Y 4 = sC 4

Y3 = G3

Y5 = G5

Nótese que es una función de la frecuencia por lo que para obtener valores

El inductor realizado tenía como valor:

de los elementos habrá que considerar una frecuencia concreta y será a esa frecuencia a la que se produce la mayor minimización de los errores. Por tan-

G2 C4 L 0 = --------------------G1 G3 G5

to, esa frecuencia habrá de ser elegida de manera inteligente en cada caso. ------------------------------------------------------------------------------------------

(A2.103)

(A2.104)

y la admitancia despreciando los factores de segundo orden:

Ejercicio A2.18.- El GIC de tipo II de la Fig. 19b simula la impedancia de un inductor conectado a tierra. Diseñar dicho circuito para maximizar el factor A2-33

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A2-34

ASC

A2.5 Convertidores de inmitancia

G2  G2   1 2 C4  1 1 + s  ----------- + ------------------ + s -------  ----------- + ------------------ G 5  GB 2 G 3 GB 1  GB 2 G 3 GB 1 1 Y L ( s ) ≅ -------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (A2.105) sL 0 G3  G3  G5  1  1 1 + -------  ----------- + ------------------ + s  ----------- + ------------------ C 4  GB 1 G 2 GB 2  GB 1 G 2 GB 2 Haciendo s = jω : G2  2 C4  1 G2   1 1 + jω  ----------- + ------------------ – ω -------  ----------- + ------------------ G 5  GB 2 G 3 GB 1  GB 2 G 3 GB 1 1 (A2.106) Y L ( jω ) ≅ ------------ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------jωL 0 G3  G3  G5  1  1 1 + -------  ----------- + ------------------ + jω  ----------- + ------------------ C 4  GB 1 G 2 GB 2  GB 1 G 2 GB 2 Si x«1 se puede hacer la aproximación: 1 ------------ ≅ 1 – x 1+x

(A2.107)

G2  G2   1 2 C4  1 1 Y L ( jω ) ≅ ------------ 1 – ω -------  ----------- + ------------------ + jω  ----------- + ------------------ ⋅ G 5  GB 2 G 3 GB 1 jωL 0  GB 2 G 3 GB 1 G3  G3  G5  1  1 1 – -------  ----------- + ------------------ – j ω  ----------- + ------------------ C 4  GB 1 G 2 GB 2  GB 1 G 2 GB 2

=

(A2.109) G G C G    2 4 1 1 1 2 5 3  = ------------ 1 – ω -------  ----------- + ------------------ – -------  ----------- + ------------------ – G 5  GB 2 G 3 GB 1 C 4  GB 1 G 2 GB 2 jωL 0 G3 G2   1 1 1 – ------ ----------- + ------------------ –  ----------- + ------------------ L 0 GB 1 G 2 GB 2  GB 2 G 3 GB 1 Las pérdidas se anulan si hacemos R 2 = R 3 . La desviación del valor del inductor se minimiza cuando se hace mínimo ωC 4 G 5 ----------- + ----------G 5 ωC 4

(A2.110)

que es mínimo para

por lo que considerando: G3  G3  G5  1  1 x = -------  ----------- + ------------------ + jω  ----------- + ------------------ C 4  GB 1 G 2 GB 2 G GB  1 2 GB 2

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

(A2.108)

por lo que aplicándolo a (106) se obtiene:

G 5 = ωC 4

(A2.111)

Obviamente esto es función de la frecuencia por lo que sólo se puede igualar para un valor concreto, por lo que se escoge una frecuencia adecuada ω c . ------------------------------------------------------------------------------------------

A2.6 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia A continuación veremos bloques básicos activos contruidos con OTAs. Estos bloques contienen únicamente OTAs y condensadores. En general, es

A2-35

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A2-36

ASC

A2.6 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia

suficiente con estos dos elementos y los circuitos resultantes son fáciles de

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

Para implementar sumadores con OTAs se necesita un OTA por cada

integrar.

señal a sumar como se muestra con el circuito de la Fig. 22. La intensidad Is,

El circuito de la Fig. 20 se utiliza para simular una resistencia a tierra. El análisis de esta estructura con un modelo ideal para el OTA es:

suma de la que circula por todos los OTAs se transforma en la tensión de salida mediante una resistencia simulada a tierra. Para el circuito de la Fig. 22

I1 = g m ( V1 – 0 )

(A2.112)

g m1 g m2 V s = --------- V 1 + --------- V 2 g ms g ms

por lo que el valor de la resistencia simulada es: 1 R in = -----gm

se han sumado dos señales escaladas:

(A2.113)

(A2.115)

La extensión a más de dos señales es obvia. Intercambiando simplemente los terminales de entrada de cualquier OTA se obtiene la diferencia de dos señales.

Fig.4.13 Schauman

Figura A2.20:

Simulación de resistencia a tierra.

Fig.4.35a Schauman

Si se intercambian los terminales de entrada se obtiene −gm en lugar de gm por lo que pueden implementarse también resistencias negativas. Para simular una resistencia flotante la intensidad I1 debe fluir a través del segundo terminal. El resultado es el circuito de la Fig. 21. Por simple análisis se obtiene: I 1 = g m1 ( V 1 – V 2 )

I 2 = g m2 ( V 1 – V 2 )

(A2.114)

Si los OTAs están apareados gm1=gm2=gm por lo que tenemos una resisten-

Figura A2.22:

Sumador gm-C.

La Fig. 23 muestra un integrador con pérdidas que implementa la siguiente función: g m3 + – V o = ---------------------- ( V i – Vi ) sC + g m4

(A2.116)

Si los OTAs son ideales el integrador puede hacerse sin pérdidas eliminando gm4. Si Vs del sumador de la Fig. 22 se conecta al terminal + o − del integra-

cia flotante de valor R=1/gm.

dor y se conecta a tierra el otro se tendrá un integrador sumador inversor o no inversor. Fig.4.34 Schauman

Figura A2.21: A2-37

Simulación de resistencia flotante. Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

Para simular inductores se pueden utilizar giradores. Se pueden construir muy fácilmente giradores utilizando OTAs como se indica en la Fig. 24, donde además del girador se ha colocado un condensador C en la Curso 2003/04 © Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

A2-38

ASC

A2.6 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia

g m1 V C = --------- ( V 1 – V 2 ) sC g m1 g m2 I 1 = g m2 V C = ------------------- ( V 1 – V 2 ) sC

Fig.4.35b Schauman

Figura A2.23:

Integrador diferencial gm-C con pérdidas.

g m1 g m2 I 1 = g m2 V C = ------------------- V 1 sC

(A2.117)

Si los OTAs están apareados gm2=gm3=gm se simula un inductor de valor: C L = ---------------g m g m1

(A2.120)

Fig.4.36b Schauman

Fig.4.36a Schauman

Figura A2.24:

(A2.119)

g m1 g m3 I 2 = g m3 V C = ------------------- ( V 1 – V 2 ) sC

segunda puerta para simular la impedancia del inductor. El análisis de este circuito proporciona: g m1 V C = --------- V 1 sC

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

Figura A2.25:

Simulación gm-C de un inductor a tierra.

Simulación gm-C de un inductor flotante.

Por tanto, la impedancia de entrada corresponde a la de un inductor contro-

A.7 Desarrollo de un GIC tipo I

lable variando gm: V1 C Z in = ------ = s ------------------I1 g m1 g m2

(A2.118)

La simulación de inductores flotantes es muy fácil con la conocida estructura de dos giradores. Sin embargo, podemos ahorrar el uso de un OTA sin más que tener en cuenta que solo necesitamos un circuito que proporcione I2=I1 en el segundo terminal. Esto se realiza con el circuito de la Fig. 25. El análisis de este circuito es:

La simulación de inductores con A.O. puede realizarse utilizando la configuración general de la Fig. 26. Supongamos que la bipuerta tiene impedancia de entrada infinita y nula de salida. Del análisis de la bipuerta se obtiene que: I1 = G ( V1 – V2 ) y queremos que se comporte como un inductor: V1 Z in = ------ = sL I1

A2-39

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(A2.121)

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(A2.122) A2-40

ASC

A2.6 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia

ASC

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

Fig.4.31 Schauman Fig.4.28 Schauman

Figura A2.27: Figura A2.26:

Ilustrando el desarrollo del simulador de inductancias de Antoniou.

Circuito genérico de simulación de inductancias.

V2 1 1 ------ = ---  1 – ---------- V 2 sCR

Por tanto, se debe construir una bipuerta tal que I1 V 2  1 ------ = ------ = G  1 – ------ V1 V 1 sL 

(A2.123)

(A2.126)

Finalmente para eliminar el factor 1/2 es necesario multiplicar por una función de transferencia de valor 2, un amplificador no inversor como se muestra en la Fig. 28. Se puede ahorrar el uso de las dos resistencias mediante la conexión del terminal inversor del A.O. al nodo V/2. El circuito resultante

Es decir, V2 R ------ = 1 – -----V1 sL

(A2.124)

es un tipo (tipo I) de los convetidores generales de impedancia de Antoniou (GIC), que se muestra en la Fig. 19.

Un circuito muy utilizado para simulación de inductores implementa la diferencia de la ecuación (124) utilizando directamente un integrador Miller, eliminando la conexión a tierra del terminal no inversor para hacer uso de la entrada diferencial del A.O. El circuito, mostrado en la Fig. 27, tiene como función de transferencia: + + V2 1 V V ------ = ------ – -----------  1 – ------ V V SCR  V

(A2.125)

Figura A2.28:

Convertidores generales de impedancia de Antoniou tipo I.

Si hacemos V+/V=1/2 obtendremos la función de transferencia en la forma de la ecuación (124). Para ello se hace un divisor de tensión con dos resistencias:

A2-41

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A2-42