Giai Tich Phuc

Tãm t¾t néi dung Sè phøc lµ mét sù më réng hoµn h¶o cña tËp sè thùc, lµ mét tr­êng sè mµ ë ®ã vÊn ®Ò gi¶i ph­¬ng tr×nh ®¹i sè ®­îc gi¶i quyÕt triÖt ®Ó vµ nh÷ng yªu cÇu kh¸c cña to¸n häc. ChÝnh v× vËy sè phøc cã vai trß quan träng trong to¸n häc, ®Æc biÖt lµ lÜnh vùc to¸n häc øng dông. Gi¶i tÝch phøc lµ mét m«n häc nghiªn cøu vÒ c¸c sè phøc, nã ®­îc h×nh thµnh dùa trªn nh÷ng ®Þnh lý vµ nguyªn lý c¬ b¶n mµ nh÷ng nguyªn lý tr×nh bµy trong tiÓu luËn nµy lµ mét phÇn trong sè ®ã. Néi dung chÝnh cña tiÓu luËn nµy nh­ sau: PhÇn 1: tr×nh bµy nguyªn lý m«®un cùc ®¹i vµ nguyªn lý b¶o toµn miÒn. PhÇn 2: tr×nh bµy c¸c øng dông cña c¸c nguyªn lý trªn. Do sù h¹n chÕ vÒ tµi liÖu vµ kh¶ n¨ng nªn tiÓu luËn cßn nhiÒu khiÕm khuyÕt. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®­îc sù gãp ý cña ThÇy C« vµ c¸c b¹n.

Qui Nh¬n

, ngµy 08 th¸ng 06 n¨m 2009

Bïi V¨n C¶nh

1

Môc lôc 1

2

Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n

1

1.1

Nguyªn lý b¶o toµn miÒn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Nguyªn lý m«®un cùc ®¹i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2.1

Nguyªn lý argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2

Bæ ®Ò Schwarz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3

§Þnh lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4

§Þnh lý c¬ b¶n cña ®¹i sè

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.5

Mét sè øng dông kh¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

ø

ng dông

3

2

1 Nh÷ng nguyªn lý c¬ b¶n 1.1

Nguyªn lý b¶o toµn miÒn

§Þnh lý 1.1.

NÕu G lµ mét miÒn,

f (z ) lµ hµm chØnh h×nh trong G, f 0 (z ) 6= 0 trong G th× f (G)

còng lµ mét miÒn.

f 0 (z ) 6= 0. Gi¶ sö z = x + iy; f (z ) = u(x; y ) + iu(x; y ); w = f (z ) =  + i:

Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt, §Æt

(x; y; ; ) =  u(x; y) (x; y; ; ) =  v(x; y) XÐt ®Þnh thøc Jacobi

DÊu





x y = ux x y vx 0

0

0

0



uy = uxvy vy

0

0

0

0

2

uy vx = ux + vx = f = 6 0

0

0

0

0

0

2

0

2

0

= thø 3 tõ tr¸i qua trong ®¼ng thøc trªn lµ do f (z ) tháa m·n ®iÒu kiÖn Cauchy - Rieman.

Do chøng minh trªn, ta cã ®Þnh thøc Jacobi ®· xÐt kh¸c 0, nªn theo ®Þnh lý hµm Èn, ta cã:

0 = (0 ; 0 ); 0 = u(x0 ; y0 ); 0 = v(x0 ; y0 ); 0 = f (z0 ), tån t¹i  > 0 vµ  > 0 sao cho

víi

8 = (; ); j  j <  th× tån t¹i z = (x; y) sao cho  = f (z). Do ®ã f (G) lµ tËp më v× h×nh trßn j  j <  ®Òu thuéc f (G). 8 ;  2 f (G) )  = f (z );  = f (z ); z ; z 2 G. Do G lµ miÒn nªn tån t¹i mét ®­êng cong C  G nèi z ; z . Do f liªn tôc nªn f (C ) còng lµ ®­êng cong n»m trong f (G). 0

0

1

2

1

1

1

2

2

2

§iÒu nµy cã nghÜa cã mét ®­êng cong

1

2

f (C ) nèi 1 ; 2

n»m trong

f (G).

V× vËy

f (G) liªn

th«ng. VËy

f (G) lµ mét miÒn.

1.2

Nguyªn lý m«®un cùc ®¹i

§Þnh lý 1.2.

M«®un cña mét hµm chØnh h×nh kh¸c h»ng sè trong miÒn nµo ®ã kh«ng thÓ ®¹t

gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i mét ®iÓm trong cña miÒn

jf j = const trong miÒn G th× f =( const. 2uux + 2vvx = 0 Chøng minh: NÕu jf j = const ) jf j = u + v = const ) Chøng minh. NhËn xÐt: NÕu

0

2

2

2

2uuy + 2vvy = 0 0

Do

f

tháa m·n ®iÒu kiÖn Cauchy-Rieman nªn suy ra

(



Mµ

uux vuy = 0 vux + uuy = 0 0

0

0

0



u v = u2 + v2 = const 6= 0 v u nªn ta cã ux = 0; uy = 0 ) ux = 0; vx = 0 ) f 6= 0 ) f 6= 0 0

0

0

0

0

1

0

0

f= 6 const ) jf j =6 const (do nhËn xÐt trªn). Gi¶ sö M = max jf (z )j víi G = G [ @G. Trë l¹i ®Þnh lý, nÕu

z 2G

z  lµ mét ®iÓm thuéc G mµ jf (z  )j = M  §Æt E = fz 2 Gg j jf (z ) = M j ) z 2 E . Suy ra E lµ tËp ®ãng (do jf (z )j liªn tôc).  Ta cÇn chøng minh E më, tøc lµ z lµ ®iÓm trong cña G.   Gi¶ sö z kh«ng lµ ®iÓm trong cña E. Khi ®ã trong mäi l©n cËn cña z ph¶i cã ®iÓm z kh«ng  thuéc E. Suy ra jf (z )j < M (do ®Þnh nghÜa E). LÊy vßng trßn t©m z , b¸n kÝnh , trªn ®ã cã z0 : jf (z0 )j < M . V× vËy 9 > 0 : jz z0 j <  th× jf (z )j < M .  Gäi C lµ cung trßn trªn vßng trßn t©m z , b¸n kÝnh  n»m trong l©n cËn cña z0 , ta cã

Gi¶ sö



Z
1  f z  + ei d f (z ) = 2 2

0

jf (z)j =

Z2 1 f 2 0


 i z + e d 0

Z

= 21

Z C


f z  + ei d +

C nC

 i  21 B @ f z + e d +

<

Z




C

1 2

) jf (z)j = M < M (v« lý).  = E ) z  2 @G. VËy z 2

0 Z B @ C

Md +

C nC

Z C nC

2

Z

f




f 1

z  + ei dC A 1

MdC A=M


z  + ei d

2 øng dông 2.1

Nguyªn lý argument

f (z ) chØnh h×nh trong miÒn G, giíi h¹n bëi ®­êng cong ®¬n ®ãng C, trõ ra t¹i h÷u h¹n cùc ®iÓm trong G, cßn trªn C, hµm f (z ) chØnh h×nh vµ kh¸c 0. Khi ®ã ta cã §Þnh lý 2.1.

Gi¶ sö

1 Z f 0 (z ) dz = N P 2i f (z ) C

trong ®ã N lµ sè kh«ng ®iÓm cña

f (z ) trong G, P lµ sè cùc ®iÓm trong G, ®ång thêi mçi kh«ng

®iÓm hoÆc cùc ®iÓm ®­îc tÝnh mét sè lÇn b»ng béi cña nã. Chøng minh. Gi¶ sö

f

cã c¸c kh«ng ®iÓm:

b1 ; b2 ; :::; bs vµ cã c¸c cùc ®iÓm: a1 ; :::; ar .

XÐt hµm

f 0 (z )  (z ) = f (z ) Gi¶ sö z0 lµ kh«ng ®iÓm cÊp m cña f (z ). Khi ®ã f (z ) = am (z .

V×

g(z ) 6= 0 nªn

z0 )m + :::; am 6= 0 = (z

f 0 (z ) = (log f (x))0 = m (z f (z ) g 0 (z ) g(z )

z0 )m g(z ); g(z0 ) 6= 0 z0 ) 1 +

g0 (z ) g (z )

chØnh h×nh. Suy ra

resz0

f 0 (z ) = m: f (z )

z0 lµ cùc ®iÓm cÊp k cña f (z ), t­¬ng tù trªn, ta cã f (z )(z z0 )k = g(z ) chØnh h×nh vµ kh¸c 0 t¹i z0 . Do ®ã k f 0 (z ) g0 (z ) = (log f (x))0 = + f (z ) z z 0 g (z )

NÕu

Suy ra

resz0 V× vËy

f 0 (z ) = k f (z )

1 Z f 0 (z ) = X res f = N P 2i f (z ) z2G z C

3

2.2

Bæ ®Ò Schwarz

Gi¶ sö hµm

§Þnh lý 2.2.

trong

f (z ) chØnh h×nh trong h×nh trßn ®¬n vÞ fjz j < 1g vµ jf (z )j

fjzj < 1g, ®ång thêi f (0) = 0: Khi ®ã 8z 2 fjzj < 1g, ta cã jf (z)j  jZ j

H¬n n÷a, nÕu

1

jf (z)j = jZ j

t¹i mét ®iÓm trong

z 6= 0 nµo ®ã th× f (z ) cã d¹ng

f (z ) = zei ;  2 R f (z ) ; z 6= 0. z V× f (0) = 0 nªn (z ) chØnh h×nh trong fjz j < 1g. LÊy R tïy ý mµ 0 < R < 1. Khi ®ã trong h×nh trßn fjz j < Rg, m«®un (z ) ®¹t cùc ®¹i trªn biªn jz j = R. Do ®ã Chøng minh. XÐt hµm

 (z ) =

jf (z)j  1 ; 8z : jzj  R max j  (z )j = max j (z )j = max jzjR jz j R jzj R R R =

Cho

R ! 1, ta ®­îc

=

j (z)j  1; jzj < 1

hay

jf (z)j  jzj Gi¶ sö jf (z )j = jz j t¹i mét ®iÓm trong z = 6 0 ) j(z)j = 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i mét ®iÓm trong cña h×nh trßn ®¬n vÞ. Theo nguyªn lý m«®un cùc ®¹i, (z ) = const ) f (z ) = cz . V× j(z )j = 1 i nªn suy ra jcj = 1. VËy f (z ) = e :z; z 2 R. 2.3

§Þnh lý Liouville

§Þnh lý 2.3.

Hµm chØnh h×nh vµ giíi néi trªn toµn mÆt ph¼ng lµ h»ng sè.

Chøng minh. tr­íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau: Bæ ®Ò 2.1.

®ã

Gi¶ sö

f (z ) chØnh h×nh trong miÒn G giíi néi bëi ®­êng cong ®¬n ®ãng C. Khi

8z 2 G, ta cã bÊt ®¼ng thøc

(n) f (z ) trong ®ã L lµ ®é dµi ®­êng cong C, C.

 n!M: 2h1n :L; n = 1; 2::::

(1)

+1

M = max jf (z)j, h lµ kho¶ng c¸ch tõ z ®Õn ®­êng cong z 2C

Chøng minh. Ta cã

f

n

( )

(z ) = 2ni!

Z C

(n) f (t) n! n+1 dt ) f (z )  2i (t z )

4

Z (t C



f (t) 1 n+1 dt  n!M: 2hn+1 :L z)

Trë l¹i phÐp chøng minh ®Þnh lý:

f (z ) lµ chØnh h×nh trªn toµn mÆt ph¼ng phøc. LÊy z0 2 C. f (z ) giíi néi nªn jf (z )j  M; 8z 2 C. Khi ®ã xÐt ®­êng trßn b¸n kÝnh r, t©m z0 , ¸p dông

Gi¶ sö V×

c«ng thøc (1), ta ®­îc

1 :2r = M jf 0 (z )j  M: 2r r 0

Cho

2.4

2

r ! 1, ta ®­îc f 0 (z0 ) = 0 trªn C. §iÒu nµy cã nghÜa f

lµ h»ng sè trªn

C.

§Þnh lý c¬ b¶n cña ®¹i sè

§Þnh lý 2.4.

Mäi ®a thøc bËc n

(n  1) hÖ sè phøc ®Òu cã n nghiÖm. (mçi nghiÖm ®­îc tÝnh

mét sè lÇn b»ng béi cña nã) Chøng minh. LÊy

f (z ) = z n + z1 z n 1 + ::: + an ; n  1. CÇn chøng minh f (z ) cã Ýt nhÊt mét

nghiÖm. Gi¶ sö

f (z ) kh«ng cã nghiÖm. Khi ®ã f (z ) 6= 0 8z 2 C; g(z ) =

lim jf (z )j = 1 ) zlim g (z ) = 0 !1

1 chØnh h×nh trªn C. Mµ f (z )

z !1

Suy ra tån t¹i mét sè

R > 0 ®ñ lín sao cho khi jz j  R, ta cã jg(z )j  1.

MÆt kh¸c, g chØnh h×nh nªn

8jzj  R, theo nguyªn lý m«®un cùc ®¹i, ta cã jg (z)j  jmax jg (z)j  1 zj R =

Do ®ã, theo ®Þnh Liouville, ta cã lý v×

f

cã bËc

n  1. VËy f

B»ng c¸ch viÕt l¹i

f

g lµ h»ng sè. Tõ ®ã suy ra f z1 .

ph¶i lµ hµm h»ng. §iÒu nµy v«

ph¶i cã Ýt nhÊt mét nghiÖm

theo d¹ng

f (z ) = (z z1 )qn 1 (z ), ta tiÕp tôc lËp luËn cho qn 1 (z ), f d­íi d¹ng f (z ) = a(z z1 ):::(z zn ). VËy f cã

råi l¹i t¸ch ra nh­ trªn. Ta cã thÓ viÕt l¹i n nghiÖm.

2.5

Mét sè øng dông kh¸c

§Þnh lý 2.5.

Cho

f (z ) = a0 + a1 z + ::: + ad z d lµ mét ®a thøc kh¸c h»ng sè, vµ ad 6= 0. Khi ®ã cã mét sè phøc z0 sao cho f (z0 ) = 0. Chøng minh. Gi¶ sö tr¸i l¹i. Khi ®ã B»ng c¸ch viÕt

1 f (z )

f (z ) = ad ta thÊy r»ng

zd

®­îc x¸c ®Þnh víi mäi



a0 + ::: + 1 ad z d

1 =0 lim jzj!1 f (z ) 5



z , vµ nã lµ hµm gi¶i tÝch.

 lµ mét sè phøc sao cho f () 6= 0. Chän mét sè R d­¬ng ®ñ lín sao cho jz j < R, vµ nÕu jz j  R th× 1 < 1 jf (z)j jf ()j LÊy

LÊy S lµ h×nh trßn ®ãng b¸n kÝnh R, t©m lµ gèc täa ®é. Khi ®ã S lµ ®ãng vµ bÞ chÆn, vµ lµ liªn tôc trªn S, khi ®ã trªn S cã mét gi¸ trÞ cùc ®¹i, gäi lµ

1

jf (z)j

z0 . Do c¸ch x©y dùng, ®iÓm z0

nµy kh«ng thÓ n»m trªn biªn cña h×nh trßn, vµ ph¶i lµ ®iÓm trong. Theo nguyªn lý m«®un cùc ®¹i, ta suy ra

1

b»ng h»ng sè trªn S. Râ rµng ®iÒu nµy lµ kh«ng thÓ bëi v× b¶n th©n

f (z )

f

kh¸c h»ng sè do khai triÓn

f (z ) = b0 = b1 (z víi c¸c hÖ sè §Þnh lý 2.6.

z0 ) + ::: + bd (z

z0 )d ;

bi thÝch hîp vµ bd 6= 0. §iÒu nµy suy ra kÕt luËn cña ®Þnh lý. Tån t¹i kh«ng hµm chØnh h×nh trong vµnh kh¨n

f (1; 5) = 3i, jf (z )j  1 khi jz j = 1, jf (z )j  4 khi jz j = 2. Chøng minh. XÐt hµm

g (z ) =

f1  jzj  2g vµ tháa ®iÒu kiÖn

f (z ) z2

g(z ) chØnh h×nh trong vµnh kh¨n. Trªn biªn jg(z )j  1. Theo nguyªn lý m«®un cùc 2 ®¹i, ta cã 8z thuéc vµnh kh¨n, jg (z )j  1 , jf (z )j  jz j 8z thuéc vµnh kh¨n. 2 Mµ f (1; 5) = 3i nªn jf (1; 5)j = 3 > (1; 5) . VËy kh«ng tån t¹i f nh­ thÕ. Khi ®ã

§Þnh lý 2.7.

f

Gi¶ sö

chØnh h×nh trong

fjzj  Rg. §Æt M (r; f ) = max jf (z)j. Khi ®ã ta cã jzjr

T (r; f )  log+ M (r; f )  Chøng minh. Do

f

R+r T (R; f ) ; 0  r < R R r

chØnh h×nh nªn kh«ng cã cùc ®iÓm, suy ra

m(r; f ). Theo ®Þnh nghÜa m, ta cã

Z 1 T (r; f ) = 2



2 0






N (r; f ) = 0.

Mµ

T (r; f ) =

log f rei d  log M (r; f ) +

+

Suy ra bÊt ®¼ng thøc ®Çu tiªn.

M (r; f )  1 th× log+ M (r; f ) = 0 th× bÊt ®¼ng thøc thø hai hiÓn nhiªn ®óng. i Gi¶ sö M (r; f ) > 1. Theo nguyªn lý m«®un cùc ®¹i, tån t¹i  (thuéc biªn) vµ z0 = re sao NÕu

cho

jf (z )j = M (r; f ) 0

Ta cã

log+ M (r; f ) = log+ jf (z0 )j = logjf (z0 )j

¸p dông c«ng thøc Poisson-Jensen

Z 1 log jf (z )j = 2 0

0



2

log f


Rei



R2



M X R (z a ) R2 r 2 d + log 2 2 2Rr cos ( ) + r R az =1 6

Z 
1  2 log f Rei R 2RrRcos (r ) + r d Z 
R+r 1  R r 2 log f Rei d = RR + rr T (R; f ) 2

2

2

2

0

2

2

0

f (z ) lµ chÝnh quy, vµ jf (z )j  M trong h×nh trßn jz aj  R; vµ gi¶ sö r»ng f (a) 6= 0. Khi ®ã nÕu c¸c sè zm ; m = 1; :::; n trong h×nh trßn jz aj  31 R mµ lµm cho f (zm ) = 0 th× n sÏ kh«ng v­ît qu¸ Alog(M=jf (z )j). §Þnh lý 2.8.

Cho

Chøng minh. Ta cã thÓ gi¶ sö r»ng trong

jzj  R vµ lÊy 1 3

a = 0.

LÊy

f (z )

g (z ) =

n  Q m=1

Khi ®ã

1

z zm

lµ c¸c sè phøc sao cho

f (zi ) = 0



g(z ) lµ chÝnh quy víi jz j  R, vµ trªn jz j = R ta cã jz=zm j  3 víi m = 1; :::; n. V×

vËy

jg (z)j 

n Q m=1

víi

z1 ; :::; zn

M

(3 1)

= 2 nM

jzj = R, vµ v× vËy còng víi jzj < R (theo nguyªn lý m«®un cùc ®¹i). Trong tr­êng hîp

riªng ®iÒu nµy còng ®óng cho

z = 0. Bëi v× g(0) = f (0) nªn suy ra r»ng

jf (0)j  2 nM vµ v× vËy

n

1 log M log 2 jf (0)j

§©y chÝnh lµ ®iÒu cÇn chøng minh. NhËn xÐt:

thuéc

Mét kÕt qu¶ ®Çy ®ñ h¬n cã thÓ thu ®­îc tõ ®Þnh lý Jensen. NÕu c¸c sè

jzj  R mµ f (rm) = 0; m = 1; :::; n. Khi ®ã n log r R:::r = 21 1 n

LÊy c¸c sè

Z2








log f Rei d log jf (0)j  log M log jf (0)j

0

r1 ; :::; rn thuéc jz j  R; 0 <  < 1 mµ f (rm ) = 0; m = 1; :::; n. Khi ®ã vÕ tr¸i

kh«ng bÐ h¬n

n log r R:::r 1 n V× vËy

r1 ; :::; rn

n

 n

 log 1

= n log 1

1 log M : log  jf (0)j 1

7

§Þnh lý 2.9.

(§Þnh lý ba ®­êng trßn cña Hadamard)

LÊy f (z ) lµ mét hµm gi¶i tÝch vµ chÝnh quy trong h×nh vµnh kh¨n R1  jz j  r3 . LÊy r1 < r2 < r3 vµ ®Æt M1 ; M2 ; M3 lµ cùc ®¹i cña jf (z )j trªn vßng trßn jz j = r1 ; r2 ; r3 t­¬ng øng. Khi ®ã

M2log(r3 =r1 )  M1log(r3 =r2 ) M3log(r2 =r1 )

(2)

' (z ) = z  f (z ), trong ®ã  lµ mét h»ng sè sÏ ®­îc x¸c ®Þnh sau. Khi ®ã '(z ) lµ chÝnh quy trong vµnh kh¨n gi÷a jz j == r1 vµ jz j = r3 . V× vËy cùc ®¹i cña j'(z )j x¶y Chøng minh. LÊy

ra trªn biªn cña ®­êng trßn (theo nguyªn lý m«®un cùc ®¹i), tøc lµ




' (z )  max r1 M1 ; r3 M3 : V× vËy trªn

jzj = r , 2

jf (z)j  max rr M ; rr M 1

B©y giê ta chän

1

2

3

2


3



= thay vµo (3),

M2 

 M 3 log M1   log rr31 

r2 r1

 

M1

vµ v× vËy

M2log(r3 =r1 )  (r2 =r1 )log(M3 =M1 ) M1log(r3 =r1 ) = M1log(r3 =r2 ) M3log(r2 =r1 ) :

8

(3)

Tµi liÖu tham kh¶o [1] S. Lang Complex analysis (4ed). Springer, 1999.

[2] Titchmarsh E.C. The theory of functions (2ed). Oxford, 1939.

9