Giai Tich

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC Y Z

ÑOÃ NGUYEÂN SÔN - TRỊNH ĐỨC TÀI

TOAÙN CAO CAÁP B2 (Baøi Giaûng Toùm Taét)

-- Löu haønh noäi boä -Y Ñaø Laït 2008 Z

Môc lôc I. PhÐp tÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn 1. Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 1.2 1.3 1.4

Kh«ng gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 TÝch v« h-íng, chuÈn, kho¶ng c¸ch trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 D·y trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 C¸c tËp hîp trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2.3 TÝnh liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. §¹o hµm vµ vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1 §¹o hµm riªng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Sù kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 C¸c c«ng thøc c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4 ý nghÜa cña sù kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh, §Þnh lý phÇn gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.1 §¹o hµm riªng cÊp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 C«ng thøc Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Hµm ng-îc, hµm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.1 §Þnh lý hµm ng-îc ®Þa ph-¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2 §Þnh lý hµm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6. Cùc trÞ hµm nhiÒu biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.1 Cùc trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6.2 Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 II. TÝch ph©n béi 1. TÝch ph©n trªn h×nh hép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.1 Tång Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2 Tæng Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3 ThÓ tÝch kh«ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2. TÝch ph©n trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1 TËp ®o ®-îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 TÝch ph©n trªn tËp giíi néi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3. C¸c c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 C«ng thøc Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 C«ng thøc ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 III. TÝch ph©n ®-êng - TÝch ph©n mÆt 1. TÝch ph©n ®-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 1.1 §-êng cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.2 TÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.4 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.5 TÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.6 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.7 ý nghÜa cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2. TÝch ph©n mÆt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1 MÆt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2 TÝch ph©n mÆt lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3 ý nghÜa cña tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4 TÝch ph©n mÆt lo¹i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3. Mét sè c«ng thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1 C¸c kh¸i niÖm trong lý thuyÕt tr-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2 C«ng thøc Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 C«ng thøc Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4 C«ng thøc Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 IV. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n 1. Kh¸i niÖm ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.1 Vµi m« h×nh dÉn ®Õn ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.2 C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.3 Bµi to¸n Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2. Gi¶i mét sè ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.1 Ph-¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.2 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.3 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.5 Ph-¬ng tr×nh Bernoully . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.6 Ph-¬ng tr×nh Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.7 Ph-¬ng tr×nh Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.1 Kh¸i niÖm ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2 NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.3 NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt . . . . . 105 3.4 Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè h»ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4. HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1 C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2 HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 1 hÖ sè h»ng . . . . . . . . . . . . . . . 111

1

I. PhÐp tÝnh vi ph©n cña hµm nhiÒu biÕn Kh«ng gian Rn

1 1.1

Kh«ng gian Rn

Gäi R lµ tr-êng sè thùc vµ ký hiÖu Rn lµ tÝch Descartes R × R × · · · × R. Mçi phÇn tö cña Rn lµ d·y gåm n sè thùc x = (x1, x2 , . . . , xn ). Trªn Rn x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n sau ®©y víi mäi x = (x1 , x2, . . . , xn ), y = (y1 , y2, . . . , yn ) ∈ Rn vµ α ∈ R: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2, . . . , xn + yn ), αx = (αx1, αx2 , . . . , αxn ) Víi phÐp céng vµ phÐp nh©n víi sè nãi trªn, tËp Rn cã cÊu tróc mét kh«ng gian vector n-chiÒu trªn R, tøc lµ víi mäi x, y, z ∈ Rn vµ víi mäi sè thùc α, β ta cã: (V 1) (V 2) (V 3) (V 4)

x+y =y+x (x + y) + z = x + (y + z) ∃ O ∈ V : x+O = x ∃ − x ∈ V : −x + x = O

(V 5) (V 6) (V 7) (V 8)

(α + β)x = αx + βx α(x + y) = αx + αy (αβ)x = α(βx) 1x = x

(tÝnh giao ho¸n) (tÝnh kÕt hîp) (O = (0, . . . , 0) gäi lµ vector kh«ng) (−x = (−x1, . . . , −xn ) gäi lµ vector ®èi cña x = (x1 , . . . , xn )) (TÝnh ph©n phèi) (TÝnh ph©n phèi)

PhÐp trõ ®-îc ®Þnh nghÜa bëi x − y = x + (−y). Trong c¬ së chÝnh t¾c cña Rn e1 = (1, 0, . . . , 0) e2 = (0, 1, . . . , 0) .. . en = (0, 0, . . . , 1) mçi vector x = (x1, x2, . . . , xn ) cã biÓu diÔn x =

n X i=1

xi ei .

2

1.2

TÝch v« h-íng- ChuÈn - Kho¶ng c¸ch trong Rn

§Þnh nghÜa 1. Cho x = (x1 , x2, . . . , xn ), y = (y1, y2, . . . , yn ) ∈ Rn n X TÝch v« h-íng cña x vµ y : hx, yi = xiyi p pi=1 2 2 2 ChuÈn cña x : kxk = hx, xi = xp 1 + x2 + · · · + xn Kho¶ng c¸ch gi÷a x vµ y : d(x, y) = kx − yk = (x1 − y1)2 + · · · + (xn − yn )2

TÝch v« h-íng, chuÈn vµ kho¶ng c¸ch cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y MÖnh ®Ò 1. Cho x, y, z ∈ Rn vµ α, β ∈ R 1) TÝch v« h-íng cã c¸c tÝnh chÊt (S1) hx, yi = hy, xi (S2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi (S3) hx, xi ≥ 0, vµ hx, xi = 0 khi vµ chØ khi x = O 2) ChuÈn cã c¸c tÝnh chÊt (N 1) kxk ≥ 0, vµ kxk = 0 khi vµ chØ khi x = O (N 2) kαxk =| α | kxk (N 3) kx + yk ≤ kxk + kyk 2) Kho¶ng c¸ch cã c¸c tÝnh chÊt (M1) d(x, y) ≥ 0, vµ d(x, y) = 0 khi vµ chØ khi x = y (M2) d(x, y) = d(y, x) (M3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Chøng minh. Ta chøng minh, ch¼ng h¹n, bÊt ®¼ng thøc (N 3). ThËt vËy tõ bÊt ®¼ng thøc Cauchy- Schwarz: | hx, yi |≤ kxkkyk, suy ra kx + yk2 = h(x + y), (x + y)i = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi = kxk2 + kαyk2 + 2hx, yi ≤ kxk2 + kyk2 + 2kxkkyk = (kxk + kyk)2 VËy, ta cã

1.3

kx + yk ≤ kxk + kyk

D·y trong Rn

§Þnh nghÜa 2. Mét d·y trong Rn lµ ¸nh x¹ x:

N −→ Rn k 7−→ x(k) = xk = (x1k , x2k , . . . , xnk )

2

3 Th-êng ký hiÖu d·y bëi (xk )k∈N hay ®¬n gi¶n (xk ). D·y (xk ) gäi lµ héi tô ®Õn a ∈ Rn , ký hiÖu lim xk = a, nÕu lim kxk − ak = 0, tøc lµ k→∞

k→∞

∀ > 0, ∃N : k ≥ N =⇒ kxk − ak <  D·y (xk ) gäi lµ ph©n kú nÕu nã kh«ng héi tô. MÖnh ®Ò 2. Giíi h¹n cña d·y héi tô lµ duy nhÊt Chøng minh. Gi¶ sö d·y (xk ) héi tô ®Õn a1 vµ a2 víi a1 6= a2 . Theo ®Þnh nghÜa cña sù héi tô, víi  > 0, tån t¹i N1 , N2 ∈ N sao cho ( k ≥ N1 =⇒ kxk − a1k <  k ≥ N2 =⇒ kxk − a2k <  §Æt N = Max(N1 , N2), ta cã

(

kxN − a1 k <  kxN − a2 k < 

Suy ra ka1 − a2k ≤ ka1 − xN k + kxN − a2k ≤ 2 = ®Õn m©u thuÉn.

2 ka1 − a2k. §iÒu nµy dÉn 3 2

Giíi h¹n cña d·y trong Rn ®-a vÒ giíi h¹n mét chiÒu nh- sau ®©y. MÖnh ®Ò 3. D·y (xk ) = (x1k , x2k , . . . , xnk ) trong Rn héi tô nÕu vµ chØ nÕu mäi d·y thµnh phÇn (xik ) héi tô. Khi ®ã lim (x1k , x2k , . . . , xnk ) = ( lim x1k , lim x2k , . . . , lim xnk )

k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh suy ra tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc sau víi mäi i = 1, 2, . . . , n | xik − ai |≤ kxk − ak ≤

n X

| xjk − ai | .

j=1

2  k  k 1 5k 2 + 1 √ 2 k VÝ dô. 1) lim 1+ = (e, 5, 1, 0) , , k, k→∞ k k2 k! k   5k 2 + 1 k 1 , , 2 trong R3 lµ ph©n kú v× cã mét d·y thµnh phÇn 2) D·y 1+ k k2 (x3k ) = (2k ) ph©n kú.

4 §Þnh nghÜa 3. D·y (xk ) gäi lµ d·y Cauchy hay d·y c¬ b¶n nÕu ∀ > 0, ∃N : k, l ≥ N =⇒ kxk − xlk <  MÖnh ®Ò 4. Mét d·y trong Rn lµ héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy Chøng minh. BiÕt r»ng mét d·y sè trong R héi tô khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy. Tõ ®ã, ¸p dông MÖnh ®Ò 3, suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 2

1.4 1.4.1

C¸c tËp hîp trong Rn H×nh cÇu trong Rn

H×nh cÇu t©m a ∈ Rn , b¸n kÝnh r lµ tËp hîp B(a, r) = {x ∈ Rn | kx − ak < r}. VÝ dô. Trong R, B(a, r) lµ kho¶ng më (a − r, a + r). Trong R2, B(a, r) lµ h×nh trßn (x1 − a1 )2 + (x2 − a2)2 < r2 . Trong R3 , B(a, r) lµ h×nh cÇu (x1 − a1)2 + (x2 − a2 )2 + (x3 − a3)2 < r2 . 1.4.2

§iÓm trong, ®iÓm tô, ®iÓm biªn

Cho M lµ mét tËp con cña Rn vµ a ∈ Rn . Khi ®ã a gäi lµ ®iÓm trong cña M nÕu tån t¹i r > 0 sao cho B(a, r) ⊂ M. a gäi lµ ®iÓm biªn cña M nÕu víi mäi r > 0 ta cã ( B(a, r) ∩ M 6= ∅ B(a, r) ∩ (Rn \ M) 6= ∅ TËp c¸c ®iÓm biªn cña M th-êng ký hiÖu lµ ∂M . a gäi lµ ®iÓm tô cña M nÕu víi mäi r > 0 ta cã (B(a, r) \ {a}) ∩ M 6= ∅. NhËn xÐt. a lµ ®iÓm tô cña M nÕu tån t¹i d·y (xk ) trong M víi xk 6= a sao cho lim xk = a. k→∞

VÝ dô. 1) Mäi ®iÓm cña B(a, r) ®Òu lµ ®iÓm trong. Biªn cña B(a, r) lµ tËp hîp ∂B(a, r) = {x ∈ Rn | kx − ak = r}, gäi lµ mÆt cÇu t©m a ∈ Rn , b¸n kÝnh r. 2) Mäi ®iÓm thuéc kho¶ng (a, b) lµ ®iÓm trong cña ®o¹n [a, b] vµ ∂[a, b] = {a, b}. 3) Biªn cña c¸c tËp sè: ∂Z = Z, ∂Q = R, ∂R = ∅.

5 1.4.3

TËp më, tËp ®ãng, tËp compact

TËp con M ⊂ Rn gäi lµ tËp më nÕu mäi ®iÓm cña M ®Òu lµ ®iÓm trong. TËp o

c¸c ®iÓm trong cña M gäi lµ phÇn trong cña M vµ ký hiÖu lµ M . TËp con F ⊂ Rn gäi lµ tËp ®ãng nÕu tËp Rn \ F lµ më. Hîp cña F vµ c¸c ®Óm tô cña nã gäi lµ bao ®ãng cña F vµ ký hiÖu lµ F . TËp con M ⊂ Rn gäi lµ giíi néi nÕu tån t¹i mét sè thùc R > 0 sao cho kxk ≤ R, víi mäi x ∈ M. TËp con K ⊂ Rn gäi lµ compact nÕu vµ chØ nÕu K ®ãng vµ giíi néi. MÖnh ®Ò 5. Cho tËp con M ⊂ Rn . Khi ®ã c¸c ®iÒu sau ®©y lµ t-¬ng ®-¬ng (1) M lµ tËp ®ãng (2) Mäi ®iÓm tô cña M ®Òu thuéc M. (3) M = M. (4) NÕu (xk ) trong M héi tô vÒ a, th× a ∈ M. Chøng minh. (1) =⇒ (2): Gi¶ sö a lµ ®iÓm tô cña M. VËy, víi mäi r > 0, B(a, r) ∩ M 6= ∅. Suy ra a kh«ng lµ ®iÓm trong cña Rn \ M. Do Rn \ M lµ më nªn a ∈ / Rn \ M, tøc lµ a ∈ M. (2) =⇒ (3): Suy ra tõ ®Þnh nghÜa. (3) =⇒ (4): Gi¶ sö d·y (xk ) trong M héi tô vÒ a. NÕu tËp {xk , k ∈ N} lµ h÷u h¹n, th× tån t¹i k0 sao cho a = xk0 , do ®ã a ∈ M. NÕu {xk , k ∈ N} lµ v« h¹n, th× a lµ ®iÓm tô cña M, do ®ã a ∈ M = M. (4) =⇒ (1): Gi¶ thiÕt ph¶n chøng, Rn \ M lµ kh«ng më. Khi ®ã, tån t¹i mét ®iÓm a ∈ Rn \ M kh«ng lµ ®iÓm trong, tøc lµ, víi mäi r > 0, (B(a, r) \ {a}) ∩ M 6= ∅. VËy, a lµ ®iÓm tô cña M. Tõ ®ã, tån t¹i mét d·y (xk ) trong M héi tô vÒ a. Theo (4), a ∈ M. §iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn. 2 MÖnh ®Ò 6. Cho tËp con K ⊂ Rn . Khi ®ã c¸c ®iÒu sau ®©y lµ t-¬ng ®-¬ng (1) K lµ tËp compact (2) Mäi d·y (xk ) trong K ®Òu cã mét d·y con (xkp ) héi tô vÒ a ∈ K. Chøng minh. (1) =⇒ (2): Gi¶ sö (xk ) = (x1k , x2k , . . . , xnk ) lµ mét d·y trong K. Do K giíi néi, tån t¹i R > 0, sao cho kxk k ≤ R. VËy c¸c d·y thµnh phÇn (xik ), i = 1, 2, . . . , n, lµ c¸c d·y sè bÞ chÆn. Theo §Þnh lý Bolzano-Weierstrass, d·y (xik ) cã mét d·y con (xikp ) h«i tô vÒ ai khi p → ∞. Tõ ®ã, d·y con (xkp ) = (x1kp , x2kp , . . . , xnkp ) héi tô vÒ a = (a1, . . . , an ). Do K ®ãng, a ∈ K.

6 (2) =⇒ (1): Gi¶ sö a lµ mét ®iÓm tô cña K. Khi ®ã, tån t¹i mét d·y (xk ) trong K héi tô vÒ a. Theo (2), suy ra a ∈ K. VËy K ®ãng. 2 1.4.4

TËp liªn th«ng

§Þnh nghÜa 4. TËp con C ⊂ Rn gäi lµ liªn th«ng (®-êng) nÕu víi mäi x, y ∈ C, tån t¹i mét ®-êng cong liªn tôc nèi x vµ y n»m trong C, tøc lµ, tån t¹i ¸nh x¹ γ : [a, b] ⊂ R −→ Rn , γ(t) = (γ1 (t), . . . , γn (t)), trong ®ã γi : [a, b] ⊂ R −→ R, i = 1, . . . , n, lµ c¸c hµm mét biÕn liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] sao cho γ(a) = x, γ(b) = y, γ(t) ∈ C, ∀t ∈ [a, b]. MÖnh ®Ò 7. C¸c tËp liªn th«ng cña R lµ c¸c ®o¹n, kho¶ng, nöa kho¶ng (h÷u h¹n hoÆc v« h¹n) hay mét ®iÓm. Chøng minh. 1) Gi¶ sö C lµ mét kho¶ng trong R vµ x, y ∈ C. Khi ®ã, ¸nh x¹ γ : [0, 1] ⊂ R −→ C, γ(t) = tx + (1 − t)y liªn tôc nªn lµ mét ®-êng nèi x, y trong C. 2) Gi¶ sö C lµ mét tËp liªn th«ng cña R. Khi ®ã, víi mäi x, y ∈ C sao cho x < y, tån t¹i hµm liªn tôc γ : [0, 1] ⊂ R −→ R nèi x vµ y. Theo §Þnh lý gi¸ trÞ trung gian , ¶nh γ([0, 1]) lµ mét kho¶ng trong R chøa x vµ y. Suy ra, [x, y] ⊂ γ([0, 1]) ⊂ C. VËy C lµ mét kho¶ng cña R. 2

2 2.1

Hµm nhiÒu biÕn Hµm nhiÒu biÕn

§Þnh nghÜa 5. ¸nh x¹ f:

D ⊂ Rn −→ Rm x = (x1, . . . , xn ) 7−→ f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x))

gäi lµ hµm vector thùc cña n biÕn thùc x1, x2, . . . , xn . C¸c ¸nh x¹ fi : D ⊂ Rn −→ R, i = 1, 2, . . . , m gäi lµ c¸c hµm thµnh phÇn. Khi m = 1 ta gäi hµm vector cña n biÕn thùc lµ hµm cña n biÕn thùc. §«i khi, do thãi quen, ta còng gäi 00 hµm vector 00 lµ 00 hµm 00. TËp G(f ) = {(x, f(x)) | x ∈ D} ⊂ Rn × Rm gäi lµ ®å thÞ cña hµm sè f .

7 p VÝ dô. 1) Hµm f (x, y) = 1 − x2 − y 2 cã ®å thÞ lµ nöa mÆt cÇu t©m (0, 0) b¸n 3 . kÝnh r = 1 trong Rp 2) Hµm f (x, y) = x2 + y 2 cã ®å thÞ lµ mÆt nãn. 3) Hµm f (x, y) = x2 + y 2 cã ®å thÞ lµ mÆt paraboloid.

2.2

Giíi h¹n hµm nhiÒu biÕn

2.2.1

Giíi h¹n (béi)

§Þnh nghÜa 6. Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ R vµ a = (a1 , a2, . . . , an ) lµ ®iÓm tô cña D. Hµm f gäi lµ cã giíi h¹n (béi)L khi x = (x1, x2, . . . , xn ) dÇn ®Õn a, ký f (x) = L , nÕu hiÖu lim f (x) = L hay xlim →a x→a

1

1

··· xn →an

∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D, (0 < kx − ak < δ =⇒ kf (x) − Lk < ). √ VÝ dô. lim(xy + 1) = 1, v× ∀ > 0, ∃δ = , sao cho ∀(x, y) ∈ R2 ta cã x→0 y→0

0 < k(x, y) − (0, 0)k =

p x2 + y 2 < δ =⇒ kxy + 1 − 1k =| xy |< 

§Þnh nghÜa trªn vÒ h×nh thøc hoµn toµn gièng tr-êng hîp hµm mét biÕn.V× vËy, c¸c ph¸t biÓu vÒ tÝnh chÊt giíi h¹n sau ®©y vµ chøng minh chóng còng gièng nh®èi víi hµm mét biÕn MÖnh ®Ò 8. Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ Rm , a lµ ®iÓm tô cña D. Khi ®ã lim f (x) = L ⇐⇒ ∀(xk ) ⊂ D \ {a}, ( lim xk = a =⇒ lim f (xk ) = L)

x→a

k→∞

k→∞

Nh- tÝnh chÊt cña giíi h¹n d·y ta còng cã MÖnh ®Ò 9. ∃ lim (f1(x), . . . , fm (x)) = (L1 , . . . , Lm ) ⇐⇒ ∃ lim fi (x) = Li , x→a x→a i = 1, . . . , m. MÖnh ®Ò 10. Gi¶ sö a lµ ®iÓm tô cña D, hai hµm f, g : D ⊂ Rn −→ R, cã giíi h¹n khi x dÇn ®Õn a. Khi ®ã 1) lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) x→a

x→a

x→a

2) lim αf (x) = α lim f (x), víi mäi α ∈ R. x→a

x→a

3) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g(x) x→a

x→a

x→a

8 lim f (x) f (x) = x→a , nÕu lim g(x) 6= 0. x→a g(x) x→a lim g(x)

4) lim

x→a

5) f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ B(a, r) \ {a} =⇒ lim f (x) ≤ lim g(x). x→a x→a ( f (x) ≤ h(x) ≤ g(x), ∀x ∈ B(a, r) \ {a} 6) =⇒ ∃ lim h(x) = L. x→a lim f (x) = lim g(x) = L x→a

x→a

MÖnh ®Ò 11. (Tiªu chuÈn Cauchy) Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ Rm , a lµ ®iÓm tô cña D. Khi ®ã, tån t¹i lim f (x) khi vµ chØ khi x→a

∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x, x0 ∈ D, (0 < kx − ak, kx0 − ak < δ, =⇒ kf (x) − Lk < ) x2 − y 2 . Ta cã VÝ dô. 1) XÐt giíi h¹n lim 2 x→0 x + y 2 y→0 1 − k2 x2 − y 2 x2 − k 2 x = lim = x2 + y 2 x→0 x2 + kx2 1 + k2

lim

x→0 y→0 y=kx

VËy, khi cho (x, y) → (0, 0) theo ®-êng th¼ng y = kx, ta nhËn ®-îc gi¸ trÞ giíi h¹n phô thuéc vµo k. Do ®ã, giíi h¹n ®· cho kh«ng tån t¹i. (x + y 2)2 . Ta cã x→0 x2 (1 + y 2 ) y→0

2) XÐt giíi h¹n lim

lim

x→0 y→0 y=kx

(x + y 2)2 x2(1 + xk 2 )2 = lim =1 x2(1 + y 2) x→0 (1 + x2k 2 )x2

VËy, khi cho (x, y) → (0, 0) theo ®-êng th¼ng y = kx, ta nhËn cïng gi¸ trÞ giíi h¹n lµ 1 víi mäi k. Tuy nhiªn kh«ng thÓ kÕt luËn giíi h¹n ®ang xÐt b»ng1. Ta xÐt thªm tr-êng hîp (x, y) → (0, 0) theo parabol x = y 2 lim

x→0 y→0 x=y 2

(x + y 2)2 (y 2 + y 2)2 = lim =4 x2(1 + y 2) y→0 (1 + y 2)y 4

VËy, giíi h¹n ®ang xÐt kh«ng tån t¹i.

9 x2y 2(x2 + y 2) . Ta cã 4 + y4 x→0 x y→0

3) XÐt giíi h¹n lim

0≤

x4 y 2 x2 y 4 x4 y 2 x2 y 4 x2y 2 (x2 + y 2) = + ≤ + 4 = y 2 + x2 x4 + y 4 x4 + y 4 x4 + y 4 x4 y x2y 2(x2 + y 2) = 0. x→0 x4 + y 4 y→0

V× lim (y 2 +x2) = 0, nªn theo tÝnh chÊt giíi h¹n kÑp suy ra lim x→0 y→0

2.2.2

Giíi h¹n lÆp

Giíi h¹n ®-îc xÐt ë môc tr-íc lµ giíi h¹n béi, nã ®ßi hái c¸c thµnh phÇn cña x dÇn ®ång bé vÒ c¸c thµnh phÇn cña a. Ta th-êng gäi t¾t giíi h¹n béi lµ giíi h¹n. Ta ph©n biÖt víi mét kh¸i niÖm giíi h¹n kh¸c ®-îc xÐt ®Õn sau ®©y. §Ó ®¬n gi¶n, nh-ng kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta tr×nh bµy cho hµm hai biÕn f : D ⊂ R2 −→ R víi (x0, y0 ) lµ ®iÓm tô cña D . §Þnh nghÜa 7. NÕu víi mçi y 6= y0 cè ®Þnh, tån t¹i c¸c giíi h¹n lim = g(y) vµ x→x0

lim g(y) = L, th× L gäi lµ giíi h¹n lÆp cña hµm f (x, y) khi x → x0 vµ y → y0.

y→y0

Khi ®ã ta viÕt Giíi h¹n lÆp

lim lim f (x, y) = L.

y→y0 x→x0

lim lim f (x, y) ®-îc ®Þnh nghÜa t-¬ng tù.

x→x0 y→y0

C¸c kh¸i niÖm giíi h¹n cã quan hÖ g× víi nhau kh«ng? Ta h·y xÐt c¸c vÝ dô sau x2 − y 2 VÝ dô. 1) XÐt hµm f (x, y) = 2 . Khi ®ã x + y2 x2 − y 2 x2 − y 2 = 1, lim lim = −1, x→0 y→0 x2 + y 2 y→0 x→0 x2 + y 2 lim lim

tuy nhiªn kh«ng tån t¹i

x2 − y 2 . x→0 x2 + y 2 y→0 lim

1 1 sin . Khi ®ã lim lim f (x, y) = 0, tuy nhiªn x→0 y→0 x y kh«ng tån t¹i c¸c giíi h¹n lim lim f (x, y), lim lim f (x, y). 2) XÐt hµm f (x, y) = (x + y) sin

x→0 y→0

y→0 x→0

1 3) XÐt hµm f (x, y) = x sin . Khi ®ã lim lim f (x, y) = 0, lim lim f (x, y) = 0, x→0 y→0 y→0 x→0 y tuy nhiªn kh«ng tån t¹i giíi h¹n lim lim f (x, y). x→0 y→0

10 2.2.3

Giíi h¹n v« cïng - Giíi h¹n ë v« cïng

T-¬ng tù nh- hµm mét biÕn ta cßn xÐt c¸c giíi h¹n khi x dÇn ®Õn ∞ vµ giíi h¹n v« cïng lim f (x) = L, lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞. x→∞

x→a

x→∞

XÐt tËp sè thùc më réng R = R ∪ {−∞, +∞}. Víi a ∈ R vµ r > 0, ta ®Æt   (a − r, a + r) nÕu a 6= ±∞    1 nÕu a = +∞ U (a, r) = ( r , +∞)    (−∞, − 1 ) nÕu a = −∞ r n

Kh«ng gian thùc më réng n chiÒu ®-îc hiÓu lµ tÝch Descartes R = R×R×· · ·×R. Víi a = (a1, a2, . . . , an ) ∈ R vµ r > 0, ta ®Æt U (a, r) = U (a1) × U (a2 ) × · · · × U (an ) Kh¸i niÖm ®iÓm tô trong kh«ng gian më r«ng còng ®-îc ®Þnh nghÜa t-¬ng tù: n n §iÓm a ∈ R gäi lµ ®iÓm tô cña M ⊂ R nÕu vµ chØ nÕu víi mäi r > 0 ta cã (U (a, r) \ {a}) ∩ M 6= ∅. 2

VÝ dô. 1) XÐt a = (1, +∞) ∈ R . Khi ®ã 1 1 U (a, r) = (1 − r, 1 + r) × ( , +∞) = {(x, y) ∈ R2 : | x |< r, y > } r r 2) Víi a ∈ Rn , U (a, r) lµ h×nh hép më {x ∈ Rn : | xi − ai |< r, r = 1, . . . , n} Víi c¸c kh¸i niÖm më réng nªu trªn, ta cã ®Þnh nghÜa tæng qu¸t vÒ giíi h¹n nhsau n

§Þnh nghÜa 8. Cho hµm f : D ⊂ Rn −→ R vµ a ∈ R lµ ®iÓm tô cña D. Hµm f gäi lµ cã giíi h¹n L ∈ R khi x dÇn ®Õn a , nÕu ∀ > 0, ∃δ > 0, x ∈ (U (a, δ) \ {a}) ∩ D =⇒ f (x) ∈ U (L, ). VÝ dô. lim ( x→0 y→∞

√ 1 1 + 2 ) = ∞, v× víi mäi  > 0, tån t¹i δ = , ta cã 2 x y | x |< δ, y >

1 1 1 1 1 =⇒ f (x, y) = 2 + 2 > 2 > . δ x y x 

11 NhËn xÐt. NÕu a ∈ Rn , L ∈ R, th× c¸c §Þnh nghÜa 6 vµ 8 lµ t-¬ng ®-¬ng nhê bÊt ®¼ng thøc | xi − ai |≤ kx − ak ≤

n X

| xk − ak |, ∀i = 1, 2, . . . , n.

k=1

2.3 2.3.1

TÝnh liªn tôc TÝnh liªn tôc- TÝnh liªn tôc ®Òu

§Þnh nghÜa 9. Cho f : D ⊂ Rn −→ Rm vµ a ∈ D lµ ®iÓm tô cña D. Hµm f gäi lµ liªn tôc t¹i a ∈ D nÕu lim = f (a). x→a

Hµm f gäi lµ liªn tôc trªn D nÕu f liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x ∈ D, tøc lµ ∀ > 0, ∀x ∈ D, ∃δ(, x) > 0, ∀x0 ∈ D, (0 < kx0−xk < δ =⇒ kf (x)−f (x0)k < ). Hµm f gäi lµ liªn tôc ®Òu trªn D nÕu ∀ > 0, ∃δ() > 0, ∀x, x0 ∈ D, (0 < kx0 − xk < δ =⇒ kf (x) − f (x0 )k < ). VÝ dô. 1) Hµm f : Rn −→ R, f (x) = kxk, liªn tôc ®Òu trªn Rn , v× víi mäi  > 0, tån t¹i δ = , sao cho (x, x0 ∈ Rn , kx − x0 k < ) =⇒| f (x) − f (x0) |= kxk − kx0k ≤ kx0 − xk < . 1 . Khi ®ã kxk a) Hµm f liªn tôc trªn miÒn D = {x ∈ Rn | 0 < kxk < 1}. 1 ThËt vËy, víi 0 < kx0 − xk ≤ kxk, ta cã 2 2) XÐt hµm f : Rn −→ R, f (x) =

1 kx0k = kx0 − x + xk ≥ kxk − kx0 − xk ≥ 0 < kxk. 2 1 1 kxk − kx0k 2kx − x0k Tõ ®ã, − 0 = ≤ . kxk kx k kxkkx0k kxk2    1 VËy, víi mäi  > 0, víi mäi x ∈ D, tån t¹i δ = min kxk, kxk2 sao cho víi 2 2 1 1 < . − mäi x0 ∈ D, ta cã kxk kx0 k

12 b) Hµm f kh«ng liªn tôc ®Òu trªn D:

1 1 Chon hai d·y (xk ) = , 0, . . . , 0 , (x0k ) = , 0, . . . , 0 trong Rn . Khi ®ã k k 1 1 1 kxk − x0k k = − = → 0, (k → ∞) k k+1 k(k + 1) |f (xk ) − f (x0k )| = |k − (k + 1)| = 1 → 0. VËy, nÕu lÊy 0 < 1, th× víi mäi δ > 0, tån t¹i xN , x0N sao cho kxN − x0N k, ta cã |f (xN ) − f (x0N )| = 1 > 0. c) Hµm f kh«ng liªn tôc ®Òu trªn D(r) = {x ∈ Rn | 0 < r < kxk < 1}. ThËt vËy, ®iÒu nµy suy ra tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc 0 1 k kxk − kx 1 kx − x0 k = − ≤ . kxk kx0 k kxkkx0k r2 MÖnh ®Ò 12. Tæng, hiÖu, tÝch, th-¬ng (víi mÉu kh¸c 0), hîp c¸c hµm liªn tôc lµ liªn tôc. Chøng minh. Suy ra dÔ dµng tõ c¸c tÝnh chÊt cña giíi h¹n. 2 X VÝ dô. 1) §a thøc n biÕn f (x1 , x2, . . . , xn ) = ai1...in xi11 · · · xinn lµ liªn 0≤i1 ,...,in ≤N n

tôc trªn R v× lµ tæng vµ tÝch cña c¸c hµm liªn tôc πi (x) = xi vµ c¸c hµm h»ng. 2) Víi A ∈ MatR (m, n), ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T : Rn −→ Rm , T (x) = Ax lµ liªn tôc trªn Rn v× mçi hµm thµnh phÇn lµ ®a thøc bËc 1. 2.3.2

Mét sè ®Þnh lý c¬ b¶n cña hµm liªn tôc

§Þnh lý 1. (Weierstrass). NÕu hµm f : K ⊂ Rn −→ Rm liªn tôc vµ K lµ compact, th× f (K) lµ compact. Chøng minh. Gi¶ sö (yk ) lµ mét d·y trong f (K). Khi ®ã, tån t¹i d·y (xk ) trong K, sao cho yk = f (xk ). Do K lµ com pact, tån t¹i d·y con (xkp ) h«i tô vÒ x ∈ K. Do tÝnh liªn tôc cña f d·y con (ykp = f (xkp ) héi tô vÒ f (x) ∈ f (K). VËy, f (K) lµ compact. 2 HÖ qu¶ 1. NÕu hµm f : K ⊂ Rn −→ R liªn tôc vµ K lµ compact, th× f ®¹t ®-îc max, min trªn K, tøc lµ, tån t¹i x1, x2 ∈ K sao cho f (x1) = supf (x), x∈K

f (x2 ) = inf f (x). x∈K

13 Chøng minh. Theo §Þnh lý trªn, f (K) lµ tËp compact. Do tÝnh giíi néi tån t¹i M = sup f (x), m = inf f (x). Tõ §Þnh nghÜa sup, víi mäi k ∈ N, tån t¹i xk ∈ K x∈K

x∈K

1 sao cho M − ≤ f (xk ) ≤ M. Râ rµng, (f (xk )) héi tô vÒ M khi k → ∞. k MÆt kh¸c, do d·y (xk ) ë trong tËp compact K, tån t¹i d·y con (xkp ) héi tô vÒ x1 ∈ K. Do tÝnh liªn tôc cña f d·y con (ykp = f (xkp ) héi tô vÒ f (x1 ) ∈ f (K). Tõ tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n suy ra f (x1 ) = M. T-¬ng tù cho tr-êng hîp cßn l¹i. 2 VÝ dô. Víi A ∈ MatR(m, n), ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T : Rn −→ Rm , T (x) = Ax lµ liªn tôc trªn tËp compact S = {x ∈ Rn | kxk = 1} nªn ®¹t ®-îc max trªn ®ã. Ký hiÖu kT k = max T (x), gäi lµ chuÈn cña T . Víi mäi x ∈ Rn ta cã kxk=1

  x 1 kT xk = T ≤ kT k. kxk kxk Tõ ®ã suy ra

kT xk ≤ kT kkxk

§Þnh lý 2. (Cantor). NÕu hµm f : K ⊂ Rn −→ Rm liªn tôc vµ K lµ compact, th× f liªn tôc ®Òu trªn K. Chøng minh. Gi¶ sö f kh«ng liªn tôc ®Òu, tøc lµ tån t¹i  > 0 sao cho víi mäi k ∈ N, tån t¹i xk , x0k ∈ K ta cã kxk − x0k k <

1 =⇒ |f (xk ) − f (x0k )| ≥ . k

Do K compact, tån t¹i d·y con (xkp) cña (xk ) héi tô vÒ x ∈ K. Tõ bÊt ®¼ng thøc 1 kxk − x0k k < , suy ra d·y con (x0kp ) cña (x0k ) còng héi tô vÒ a ∈ K. Do tÝnh liªn k tôc cña f c¸c d·y (f (xkp )), (f (x0kp )) héi tô vÒ f (a). VËy, |f (xkp ) − f (x0kp )| → 0, khi p → 0. §iÒu nµy m©u thuÈn víi gi¶ thiÕt. 2 §Þnh lý 3. NÕu hµm f : C ⊂ Rn −→ Rm liªn tôc vµ C lµ liªn th«ng, th× f (C) lµ liªn th«ng. Chøng minh. Gi¶ sö y1 , y2 ∈ f (C). Gäi x1 , x2 ∈ C sao cho y1 = f (x1 ) , y2 = f (x2 ). Do C liªn th«ng, tån t¹i ®-êng cong liªn tôc γ : [0, 1] −→ C sao cho γ(0) = x1, γ(1) = x2 . Khi ®ã, f ◦ γ : [0, 1] −→ f (C) lµ ®-êng cong liªn tôc nèi 2 y1 vµ y2 n»m trong f (C).

14 HÖ qu¶ 2. (§Þnh lý gi¸ trÞ trung gian) NÕu hµm f : C ⊂ Rn −→ R liªn tôc vµ C lµ liªn th«ng, th× víi a, b ∈ C vµ µ ∈ R mµ f (a) < µ < f (b), tån t¹i c ∈ C sao cho f (c) = µ. Chøng minh. f (C) lµ bé phËn liªn th«ng cña R nªn lµ mét kho¶ng cña R.

3 3.1

2

§¹o hµm vµ vi ph©n §¹o hµm riªng

§Þnh nghÜa 10. Cho f = (f1 , f2 , . . . , fm ) : U ⊂ Rn −→ Rm lµ hµm n biÕn x1 , x2, . . . , xn x¸c ®Þnh trªn tËp më U . §¹o hµm riªng theo biÕn xi t¹i ®iÓm a = (a1 , a2, . . . , an ) ∈ U lµ giíi h¹n (nÕu cã) f (a + ∆xei) − f (a) , ∆xi →0 ∆xi lim

trong ®ã ∆x = (∆x1, . . . , ∆xn ) vµ ei , i = 1, . . . , n, lµ c¬ së chÝnh t¾c cña Rn . ∂f §¹o hµm riªng theo biÕn xi t¹i ®iÓm a ®-îc ký hiÖu lµ (a) hoÆc Di f (a) hoÆc ∂xi fx0 i (a). VÝ dô. XÐt hµm f (x, y) = sin(xy). Khi ®ã

T-¬ng tù,

f (x + ∆x, y) − f (x, y) ∂f (x, y) = lim ∆x→0 ∂x ∆x sin(x + ∆x)y − sin xy = lim ∆x→0 ∆x y∆x y∆x
sin 2 cos xy + 2 2 = lim ∆x→0 ∆x y∆x y∆x
sin 2 = lim y cos xy + y∆x ∆x→0 2 2 = y cos(xy). ∂f (x, y) = x cos(xy). ∂y

∂f (a) nh- tÝnh ®¹o hµm cña ∂xi 6 i, lµ h»ng. hµm mét biÕn xi nÕu xem c¸c biÕn xk ,víi k =

NhËn xÐt. Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy r»ng viÖc tÝnh

15 VÝ dô. XÐt hµm f (x, y) = ey sin 2x. Tõ c¸c c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm mét biÕn ta cã ∂f ∂f (x, y) = 2ey cos 2x, (x, y) = ey sin 2x ∂x ∂y MÖnh ®Ò 13. Cho f = (f1, f2 , . . . , fm ) : U ⊂ Rn −→ Rm vµ a ∈ U . Khi ®ã, tån ∂f ∂fj t¹i (a) nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i (a), víi mäi j = 1, . . . , m, vµ ∂xi ∂xi   ∂f1 ∂f2 ∂fn ∂f (a) = (a), (a), . . . , (a) . ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi Chøng minh. Suy ra tõ tÝnh chÊt cña giíi h¹n hµm vector.

3.2

2

Sù kh¶ vi

§Þnh nghÜa 11. Hµm f = (f1 , f2, . . . , fm ) : U ⊂ Rn −→ Rm gäi lµ kh¶ vi t¹i a ∈ U nÕu tån t¹i ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L : Rn −→ Rn sao cho f (a + ∆x) = f (a) + L(∆x) + o(∆x),

(1)

trong ®ã ∆x = (∆x1, . . . , ∆xn ) ∈ Rn vµ o(∆x) lµ hµm theo ∆x tháa o(∆x) = 0. ∆x→0 k∆xk lim

NhËn xÐt. NÕu ¸nh x¹ f kh¶ vi, th× ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L trong ®Þnh nghÜa trªn lµ duy nhÊt. ThËt vËy, gi¶ sö cã thªm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T tháa (1). Khi ®ã (L − T )(∆x) = 0. ∆x→0 k∆xk lim

Víi c¬ së chÝnh t¾c ei = (0, . . . , 1, . . . , n), i = 1, 2, . . . , n, cña Rn ta cã lim+

t→0

(L − T )(tei) = lim+ (L − T )(ei) = (L − T )(ei) = 0. k∆teik t→0

Tõ ®ã, (L − T )(x) = 0, víi mäi x ∈ Rn , tøc lµ, L = T . Gi¶ sö f kh¶ vi t¹i a, khi ®ã ma trËn biÔu ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L trong c¬ së chÝnh t¾c cña Rn ®-îc x¸c ®Þnh bëi mÖnh ®Ò sau ®©y

16 MÖnh ®Ò 14. 1) NÕu f kh¶ vi t¹i a, th× nã liªn tôc t¹i ®ã. ∂fi 2) NÕu f kh¶ vi t¹i a, th× nã cã c¸c ®¹o hµm riªng (a), i = 1, . . . , m, ∂xj j = 1, . . . , n vµ ma trËn A biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L (trong ®Þnh nghÜa 11) ®èi víi c¬ së chÝnh t¾c ®-îc cho bëi   ∂f1 ∂f1 ∂f1  ∂x1 (a) ∂x2 (a) · · · ∂xn (a)    ∂f2 ∂f2  ∂f2   (a) (a) · · · (a)   ∂x2 ∂xn  A = Jf (a) :=  ∂x1 ..  . . .  .. .. .. .     ∂fm ∂fm ∂fm  (a) (a) · · · (a) ∂x1 ∂x2 ∂xn Ma trËn Jf (a) ®-îc gäi lµ ma trËn Jacobi cña f t¹i a hay ma trËn ®¹o hµm cña f t¹i a, nã cßn ®-îc ký hiÖu lµ f 0 (a). §¹i l-îng f 0 (a)∆x gäi lµ vi ph©n cña f t¹i a vµ ®-îc ký hiÖu lµ df (a). Chøng minh. 1) Tõ ®Þnh nghÜa tÝnh kh¶ vi ta cã ngay f (x) → f (a) khi x → a. 2) Gi¶ sö f kh¶ vi t¹i a, tøc lµ f (a + ∆x) = f (a) +

n X

Ai∆xi + o(∆x),

i=1

trong ®ã, Ai lµ cét thø i cña ma trËn A ∈ MatR (m, n) biÓu diÔn ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh L trong c¬ së chÝnh t¾c. Suy ra f (a + ∆x) − f (a) + lim

∆x→0

n X i=1

k∆xk

Ai∆xi = 0.

(1)

Trong (1) cho ∆xk = 0 víi k 6= i ta ®-îc ∂f f (a + ∆xiei ) − f (a) (a) = lim = Ai , ∆xi →0 ∂xi ∆xi trong ®ã ei, i = 1, 2, . . . , n lµ c¬ së chÝnh t¾c cña Rn .

2

NhËn xÐt. 1) NÕu f (x1 , x2, . . . , xn ) = xi , th× df = dxi = ∆xi . VËy, theo MÖnh ®Ò 14, ta cã c«ng thøc cña vi ph©n dfi (a) =

∂fi ∂fi ∂fi (a)dx1 + (a)dx2 + · · · + (a)dxn , i = i, . . . , m. ∂x1 ∂x2 ∂xn

17 2) NÕu f cã c¸c ®¹o hµm riªng t¹i a, th× f cã thÓ kh«ng kh¶ vi t¹i ®ã. VÝ dô, p ∂f ∂f hµm sè f (x, y) = | xy | cã c¸c ®¹o hµm riªng (0, 0) = (0, 0) = 0. Tuy ∂x ∂y nhiªn, f kh«ng kh¶ vi t¹i (0, 0). ThËt vËy, nÕu f kh¶ vi, th× theo mÖnh ®Ò trªn ta cã ∂f ∂f p f (∆x, ∆y) − f (0, 0) − (0, 0)∆x − (0, 0)∆y | ∆x∆y | ∂x ∂y p lim = lim p =0 2 2 ∆x→0 ∆x→0 ∆x + ∆y ∆x2 + ∆y 2 ∆y→0 ∆y→0 p | ∆x∆y | 1 =√ . Nh-ng ®iÒu nµy kh«ng thÓ v× lim p ∆x→0 2 ∆x2 + ∆y 2 ∆y→0 ∆x=∆y

§Þnh nghÜa 12. Cho f : U ⊂ Rn −→ Rm lµ hµm x¸c ®Þnh trªn tËp më U . Ta nãi ∂f f thuéc líp C 1 trªn U nÕu f cã c¸c ®¹o hµm riªng (x), i = 1, 2, . . . , n, liªn ∂xi tôc trªn U . MÖnh ®Ò 15. Cho f : U ⊂ Rn −→ Rm thuéc líp C 1 trªn tËp më U . Khi ®ã, f kh¶ vi trªn U . Chøng minh. ChØ cÇn xÐt tr-êng hîp m = 1. Víi ∆x = (∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn ) ®ñ bÐ ta cã f (x + ∆x) − f (x) =

n X

(f (x + ui ) − f (x + ui−1 ), ui = (∆x1, . . . , ∆xi, 0, . . . , 0)

i=1

Víi mçi i, ¸p dông §Þnh lý Lagrange cho hµm mét biÕn ϕi (xi ) = f (x + ui−1 ) ϕi (xi + ∆xi) − ϕi (xi ) = f (x + ui ) − f (x + ui−1 ) ∂f = (ci )∆xi , víi ci = x + ui−1 + θi ∆xi ei. ∂xi Do tÝnh liªn tôc cña c¸c ®¹o hµm riªng t¹i x ∈ U ta cã

lim

∆x→0

n X ∂f f (x + ∆x) − f (x) − (x) ∂x i i=1

k∆xk

VËy, f kh¶ vi t¹i x.

n  X ∂f

= lim

∆x→0

i=1

 ∂f (ci ) − (x) ∆xi ∂xi ∂xi k∆xk

= 0. 2

18

3.3

C¸c c«ng thøc c¬ b¶n

MÖnh ®Ò 16. Cho f, g : U ⊂ Rn −→ Rm 1) NÕu f, g kh¶ vi t¹i x, th× f + g còng kh¶ vi t¹i x vµ (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x). 2) NÕu f, g kh¶ vi t¹i x vµ m = 1, th× fg còng kh¶ vi t¹i x vµ (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x). 3) NÕu f, g kh¶ vi t¹i x, g(x) 6= 0 vµ m = 1, th×

f còng kh¶ vi t¹i x vµ g

 0 f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) f (x) = g g(x)2 Chøng minh. Suy ra tõ c¸c c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm mét biÕn.

2

MÖnh ®Ò 17. (§¹o hµm hµm hîp). Cho c¸c hµm f : U −→ V , g : V −→ W , víi U, V, W lÇn l-ît lµ c¸c tËp më trong Rn , Rm , Rp . NÕu f kh¶ vi t¹i x vµ g kh¶ vi t¹i y = f (x), th× g ◦ f kh¶ vi t¹i x vµ (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x). Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt : f (x + ∆x) = f (x) + f 0 (x)∆x + ϕ1 (∆x), víi ϕ1 (∆x) = o(k∆xk). g(f (x) + ∆y) = g(f (x)) + g 0 (f (x))∆y + ϕ2 (∆y), víi ϕ2 (∆y) = o(k∆yk). Suy ra g ◦ f (x + ∆x) = g f (x) + f 0 (x)∆x + ϕ1 (∆x) | {z }




∆y

= g(f (x)) + g 0 (f (x))f 0 (x)∆x + g 0 (f (x))ϕ1 (∆x) + ϕ2 (f 0 (x)∆x + ϕ1(∆x)) | {z } ϕ(∆x)

Khi ®ã ta cã ( víi ký hiÖu kAk lµ chuÈn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh x 7−→ Ax, A ∈ MatR(m, n)) kg 0 (f (x))ϕ1(∆x)k

≤ kg 0 (f (x)kkϕ1 (∆x)k = o(k∆xk)

kϕ2(f 0 (x)∆x + ϕ1(∆x))k =

kϕ2(f 0 (x)∆x + ϕ1 (∆x))k 0 kf (x)∆x + ϕ1 (∆x)k kf 0 (x)∆x + ϕ1 (∆x)k | {z } =α(∆x)→0, khi ∆x → 0

≤ α(∆x)(kf 0 (x)kk∆xk + kϕ1(∆x)k) = o(k∆xk)

19 VËy, ϕ(∆x) = o(k∆xk). Suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. Chó ý. Tõ MÖnh ®Ò 17 ta cã c«ng thøc th-êng dïng vÒ tÝnh ®¹o hµm hµm hîp. NÕu ký hiÖu f (x) = (f1 (x1, . . . , xn ), . . . , fm (x1, . . . , xn )) g(x) = (g1 (y1, . . . , ym ), . . . , gp (y1, . . . , ym )), (g ◦ f )(x) = ((g ◦ f )1 (x1 , . . . , xn ), . . . , (g ◦ f )p (x1, . . . , xn )) th× phÐp nh©n c¸c ma trËn ®¹o hµm ë trªn lµ     ∂g1 ∂g1 ∂(g ◦ f )1 ∂f1 ∂(g ◦ f )1 · · · ··· ···      ∂x1 ∂ym   ∂x1 ∂xn   ∂y1  .. ..   .. .. .. .. ..  =  ...  . .  . . . . .     ∂(g ◦ f )p ∂gp   ∂fm ∂(g ◦ f )p   ∂gp ··· ··· ··· ∂y1 ∂ym ∂x1 ∂x1 ∂xn

2 riªng cña

 ∂f1 ∂xn  ..  .   ∂fm  ∂xn

Tõ ®ã, suy ra qui t¾c sau X ∂gi
∂fk ∂(g ◦ f )i (x) = (x). f (x) ∂xj ∂yk ∂xj m

k=1

VÝ dô. Cho f (x, y) lµ hµm hai biÕn x, y kh¶ vi vµ h(r, ϕ) = f (r cos ϕ, r sin ϕ). Khi ®ã ∂f ∂f ∂h (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) cos ϕ + (r cos ϕ, r sin ϕ) sin ϕ ∂r ∂x ∂y ∂h ∂f ∂f (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ)(−r sin ϕ) + (r cos ϕ, r sin ϕ)r cos ϕ ∂ϕ ∂x ∂y

3.4

Mét sè ý nghÜa cña sù kh¶ vi

3.4.1

¸nh x¹ tiÕp xóc- Ph¼ng tiÕp xóc

Gi¶ sö hµm f kh¶ vi t¹i a, tøc lµ f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + o(kx − ak) VËy, f cã thÓ xÊp xØ ë l©n cËn cña a, bëi ¸nh ¸nh x¹ afffin f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a) =: T (x). ¸nh x¹ affin T (x) gäi lµ ¸nh x¹ tiÕp xóc víi f t¹i a.

20 r π VÝ dô. TÝnh gÇn ®óng sin2 ( + 0, 021) + 8e0,015. 2 √ 2 XÐt hµm f (x, y) = sin x + 8ey . Ta cã xÊp xØ r π π sin2 ( + 0, 021) + 8e0,015 = f ( + ∆x, 0 + ∆y) 2 2 π ∂f π ∂f π ≈ f ( , 0) + ( , 0)∆x + ( , 0)∆y 2 ∂x 2 ∂y 2 r . sin π · 0, 021 + 8e0 · 0, 015 2 π r +8+ = sin 2 π 2 sin2 + 8e0 2 8 · 0, 015 = 3, 02 =3+ 6 VÒ mÆt h×nh häc, tÝnh kh¶ vi cña f t¹i a t-¬ng ®-¬ng víi viÖc ®å thÞ G(f ) cã ph¼ng tiÕp xóc t¹i ®iÓm (a, f(a)). Khi ®ã, ph¼ng tiÕp xóc cña G(f ) t¹i (a, f(a)) lµ ®å thÞ cña ¸nh x¹ tiÕp xóc T (x) Ta = G(T ) = {(x, y) ∈ Rn × Rm | y = f (a) + f 0 (a)(x − a)}, v× ta cã d((x, f(x)), Ta ) ≤ d((x, f(x)), (x, T (x))) = d(f (x), T (x)) = o(kx − ak), khi x → a. 3.4.2

Gradient

Cho f : Rn −→ R. Khi ®ã, gradient cña f t¹i x, ký hiÖu Of (x) hay gradf (x), lµ vector   ∂f ∂f ∂f (x), (x), . . . , (x) . Of (x) = gradf (x) = ∂x1 ∂x2 ∂xn Víi c ∈ R, tËp Mc = {x ∈ Rn | f (x) = c} gäi lµ mÆt møc. NÕu ®-êng cong γ : (−1, 1) −→ Rn n»m trªn mÆt møc Mc , tøc lµ γ(t) ∈ Mc , ∀t ∈ (−1, 1), th× theo c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp ta cã (f ◦ γ)0(t) = f 0 (γ(t))γ 0 (t) = hgradf (x), γ 0(t)i = 0. VËy, vÒ mÆt h×nh häc, vector gradf (x) vu«ng gãc víi mÆt møc Mc t¹i x. Suy ra, ph-¬ng tr×nh ph¼ng tiÕp xóc víi Mc t¹i a = (a1 , a2, . . . , an ) lµ hgradf (a), (x − a)i = 0 hay

∂f ∂f (a)(x1 − a1) + · · · + (a)(xn − an ) = 0. ∂x1 ∂xn

21 3.4.3

§¹o hµm theo h-íng

Cho hµm sè f (x1 , x2, . . . , xn ) x¸c ®Þnh trªn tËp më U ⊂ Rn vµ vector v ∈ Rn \{0}. ∂f §¹o hµm theo h-íng v cña hµm f t¹i a, ký hiÖu (a) hay Dv f (a), lµ giíi h¹n ∂v (nÕu cã) ∂f f (a + tv) − f (a) (a) = Dv f (a) = lim+ . ∂v t→0 t ∂f ∂f NhËn xÐt. 1) (a) = (a). ∂ei ∂xi ∂f (a) ®¸nh gi¸ tèc ®é biÕn thiªn cña f theo h-íng v t¹i a. 2) ∂v 3) NÕu f kh¶ vi t¹i a, th× f cã ®¹o hµm theo mäi h-íng t¹i a. ThËt vËy, ta cã ∂f f (a + tv) − f (a) (a) = lim t→0 ∂v t f 0 (a)tv + o(ktvk) = lim t→0 t = f 0 (a)v = hgradf (a), vi. VËy, hgradf (a), vi qui ®Þnh tèc ®é biÕn thiªn cña f ë l©n cËn cña a theo h-íng v. Ta cã bÊt ®¼ng thøc Schwartz | gradf (a) · v |≤ kgradf (a)kkvk, vµ dÊu 00 =00 x¶y ra khi v cïng ph-¬ng víi gradf (a). Suy ra, tèc ®é biÕn thiªn cña hµm f theo h-íng ±gradf (a) lµ nhanh nhÊt (cïng h-íng th× t¨ng nhanh nhÊt, ng-îc h-íng th× gi¶m nhanh nhÊt).

3.5

§Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh- §Þnh lý phÇn gia

§Þnh lý 4. (§Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh). Cho f : U −→ R lµ hµm kh¶ vi trªn tËp më U ⊂ Rn . Gi¶ sö a, b ∈ U sao cho ®o¹n [a, b] := {x + th | o ≤ t ≤ 1} ⊂ U . Khi ®ã, tån t¹i ξ ∈ [a, b] sao cho f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a) Chøng minh. §Æt γ(t) = a + t(b − a), t ∈ [0, 1] Vµ xÐt hµm mét biÕn F := f ◦ γ : [0, 1] −→ R. Theo §Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh ®èi víi hµm mét biÕn, tån t¹i c ∈ [0, 1] víi f (b) − f (a) = F (1) − F (0) = F 0(c) = f 0 (γ(c))(b − a).

22 §Æt ξ = γ(c), ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

2

NhËn xÐt. §èi víi hµm vector ta kh«ng cã c«ng thøc t-¬ng tù. Ch¼ng h¹n, xÐt hµm f : R −→ R2 , f (t) = (cos t, sin t). Khi ®ã ph-¬ng tr×nh sau lµ v« nghiÖm f (2π) − f (0) = f 0 (c)(2π − 0) ⇐⇒ (0, 0) = (− sin t, cos t). Tuy nhiªn ta cã d¹ng bÊt ®¼ng thøc sau ®©y §Þnh lý 5. (§Þnh lý phÇn gia h÷u h¹n). Cho f : U −→ R lµ hµm kh¶ vi trªn tËp më U ⊂ Rn . NÕu ®o¹n [a, b] := {x + th | o ≤ t ≤ 1} ⊂ U , th× kf (b) − f (a)k ≤ sup kf 0 (a + t(b − a)kkb − ak. 0≤t≤1

4

§¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao- C«ng thøc Taylor

4.1

§¹o hµm riªng cÊp cao

§Þnh nghÜa 13. Cho hµm f x¸c ®Þnh trªn tËp mëU ⊂Rn vµ a ∈ U . Gi¶ sö tån ∂f ∂f ∂f (x) trªn U . Khi ®ã, (a) (nÕu tån t¹i), gäi lµ t¹i ®¹o hµm riªng ∂xi ∂xj ∂xi ®¹o hµm riªng cÊp 2 cña hµm f theo biÕn (i, j) t¹i a, vµ ®-îc ký hiÖu lµ ∂ 2f (a) ∂xj ∂xi

hay fx00j xi (a) hay

Dj Di f (a)

T-¬ng tù, cã thÓ ®Þnh nghÜa vµ ký hiÖu ®¹o hµm riªng cÊp k   ∂kf ∂f ∂f k−1 (a) := (a). ∂xik ∂xik−1 . . . ∂xi1 ∂xik ∂xik−1 . . . ∂xi1 Ta th-êng viÕt

∂ kf ∂kf (a) thay cho (a). ∂xki ∂xi∂xi . . . ∂xi

23 VÝ dô. 1) Cho hµm sè f (x, y) = xy . Khi ®ã ∂f (x, y) = yxy−1 ∂x ∂ 2f (x, y) = y(y − 1)xy−2 ∂x2 ∂ 2f (x, y) = xy ln2 x ∂y 2 ∂ 3f (x, y) = (y ln2 x + 2 ln x)xy−1 ∂x∂y 2 2) H·y tÝnh

∂ 2f ∂ 2f (0, 0), (0, 0) víi ∂x∂y ∂y∂x  2 2 xy x − y f (x, y) = x2 + y 2  0

∂f (x, y) = xy ln y ∂y ∂ 2f (x, y) = (1 + y ln x)xy−1 ln y ∂x∂y ∂ 3f (x, y) = y(y − 1)(y − 2)xy−3 ∂x3 ∂ 3f (x, y) = xy ln3 x. ∂y 3

nÕu (x, y) 6= (0, 0) nÕu (x, y) = (0, 0).

. Ta cã  2 2 2 3 y x − y + 4x y ∂f x2 + y 2 (x2 + y 2)2 (x, y) =  ∂x 0

nÕu (x, y) 6= (0, 0) nÕu (x, y) = (0, 0).

∂f ∂f (0, ∆y) − (0, 0) ∂ 2f ∂x (0, 0) = lim ∂x = −1. . Suy ra ∆y→0 ∂y∂x ∆y ∂ 2f T-¬ng tù, (0, 0) = 1. ∂x∂y ∂f ∂f (0, 0) 6= (0, 0), tøc lµ, nãi chung ®¹o NhËn xÐt. Tõ vÝ dô 2, ta thÊy ∂x∂y ∂y∂x hµm cÊp cao kh«ng cã tÝnh ®èi xøng. Tuy nhiªn ta cã ®Þnh lý sau §Þnh lý 6. (Schwartz) NÕu hµm f cã c¸c ®¹o hµm riªng cÊp 2: ∂ 2f (x) trong l©n cËn ®iÓm a ∈ Rn vµ liªn tôc t¹i a, th× ∂xj ∂xi ∂ 2f ∂ 2f (a) = (a). ∂xi∂xj ∂xj ∂xi

∂ 2f (x), ∂xi∂xj

24 Chøng minh. ChØ cÇn lËp luËn cho hµm hai biÕn f (x, y) trong l©n cËn ®iÓm (a, b) ∈ R2 . §Æt M(h, k) = f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b). XÐt hµm mét biÕn u(x) = f (x, b + k) − f (x, b). Theo §Þnh lý Lagrange ta cã M(h, k) = u(a + h) − u(a) 0 = hu   (a + θ1 h), 0 ≤ θ1 ≤ 1 ∂f ∂f (a + θ1 h, b + k) − (a + θ1h, b) =h ∂x ∂x ∂ 2f = hk (a + θ1h, b + θ2 k), 0 ≤ θ2 ≤ 1 ∂y∂x trong ®ã, ®¼ng thøc cuèi cã ®-îc b»ng c¸ch ¸p dông §Þnh lý Lagrange cho hµm ∂f theo biÕn y: (a + θ1 h, y) trªn ®o¹n [b, b + k]. ∂x XÐt hµm v(y) = f (a + h, y) − f (a, y). LËp luËn t-¬ng tù ta còng cã M(h, k) = hk

∂ 2f (a + ϕ1 h, b + ϕ2 k), 0 ≤ ϕ1 , ϕ2 ≤ 1. ∂x∂y

Tõ ®ã suy ra ∂ 2f ∂ 2f (a + θ1 h, b + θ2k) = (a + ϕ1h, b + ϕ2 k). ∂y∂x ∂x∂y Cho h, k → 0, do tÝnh liªn tôc cña c¸c ®¹o hµm riªng cÊp 2, ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. 2 §Þnh nghÜa 14. Cho hµm f x¸c ®Þnh trªn tËp më U ⊂ Rn . Ta nãi f kh¶ vi liªn tôc cÊp k trªn U hay f thuéc líp C k trªn U , nÕu vµ chØ nÕu f cã mäi ®¹o hµm riªng cÊp k trªn U vµ chóng liªn tôc trªn U . §Þnh lý Schwartz cã thÓ më réng cho ®¹o hµm riªng cÊp cao §Þnh lý 7. NÕu hµm hµm f thuéc líp C k trªn tËp më U , th× ∂kf ∂kf (x) = (x) ∂xik . . . ∂xi1 ∂xiσ(k) . . . ∂xiσ(1) víi mäi x ∈ U vµ víi mäi ho¸n vÞ σ cña {1, 2, . . . , k}.

25

4.2

C«ng thøc Taylor

Cho hµm f : U −→ R thuéc líp C k trªn tËp më U ⊂ Rn . Víi a ∈ U vµ x = (x1 , x2, . . . , xn ) ∈ Rn , ®Æt X

dk f (a)xk =

1≤i1 ,...,in ≤n

∂kf f (a)xi1 · · · xik . ∂xi1 · · · ∂xik

dk f (a)xk lµ mét ®a thøc thuÇn nhÊt cÊp k. §Æc biÖt, d1 f (a)x1 = df (a)x vµ qui -íc d0 f (a)x0 = f (a). Ng-êi ta th-êng dïng ký hiÖu luü thõa h×nh thøc nh- sau k

k

d f (a)x = d2 f (a)x2 =



∂ ∂ x1 + · · · + xn ∂x1 ∂xn

k

f (a).

X

∂ 2f f (a)xi xj lµ d¹ng toµn ph-¬ng trªn Rn , gäi lµ d¹ng ∂x i ∂xj 1≤i,j≤n

Hesse cña f t¹i a, th-êng ký hiÖu lµ Hf (a), vµ ma trËn ®èi xøng 

 ∂ 2f ∂ 2f  ∂x1∂x1 (a) . . . ∂x1∂xn (a)    .. ..  f 00(a) :=  . . . . .    ∂ 2f  2 ∂ f (a) . . . (a) ∂xn ∂x1 ∂xn∂xn gäi lµ ma trËn Hesse. Ta còng th-êng gäi ma trËn nµy lµ ®¹o hµm cÊp 2 cña f t¹i a. §Þnh lý 8. Cho hµm f : U −→ R thuéc líp C k trªn tËp më U ⊂ Rn , vµ a, x ∈ U víi [a, x] ⊂ U . Khi ®ã, tån t¹i θ ∈ (0, 1) sao cho k−1 X 1 1 m f (x) = d f (a)(x − a)m + dk f (a + θ(x − a))(x − a)k . m! k! m=0

Chøng minh. XÐt hµm mét biÕn g(t) = f (a + t(x − a)), t ∈ [0, 1]. Theo c«ng thøc Taylor cho hµm mét biÕn, tån t¹i θ ∈ (0, 1), sao cho k−1 X 1 1 (m) g(1) = g (0) + g (θ) (0). m! k! m=0

(1)

26 ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp, dÔ dµng chØ ra ®¼ng thøc sau b»ng qui n¹p g (m) (t) = dm f (a + t(x − a))(x − a)m . Thay g (m) (t) víi t = 0, t = θ vµo (1), ta cã c«ng thøc cÇn chøng minh.

2

NhËn xÐt. C«ng thøc Taylor cho phÐp xÊp xØ hµm thuéc líp C k t¹i l©n cËn mçi ®iÓm x bëi ®a thøc Taylor bËc k cña f t¹i a k X 1 m Tk f (a, x) = d f (a)(x − a)m , m! m=0

víi phÇn d- Rk = f (x) − Tk f (a, x). Ta cã 1 |Rk | = |Tk−1 + dk f (a + θ(x − a))(x − a)k − Tk f (a, x)| k! 1 k 1 = d f (a + θ(x − a))(x − a)k − dk f (a)(x − a)k k! k! k X ∂kf 1 ∂ f k ≤ kx − ak (a + θ(x − a) − f (a) k! 1≤i ,...,i ≤n ∂xi1 · · · ∂xik ∂xi1 · · · ∂xik 1

n

= o(kx − akk )

VÝ dô. H·y viÕt ®a thøc Taylor bËc 2 cña hµm f (x, y) = xy t¹i (1, 1). Ta cã  
∂f ∂f 0 f (1, 1) = (1, 1) (1, 1) = 1 0 ∂x ∂y 

 ∂ 2f ∂ 2f    ∂x2 (1, 1) ∂x∂y (1, 1) 0 1 00   f (1, 1) =  2  = 1 0 ∂ f ∂ 2f (1, 1) (1, 1) ∂y∂x ∂y 2 Tõ ®ã, T2((1, 1), (x, y)) = 1 + (x − 1) + (x − 1)(y − 1).

27

5 5.1 5.1.1

Hµm ng-îc - Hµm Èn §Þnh lý hµm ng-îc ®Þa ph-¬ng Nguyªn lý ¸nh x¹ co

§Þnh nghÜa 15. Cho tËp con M ⊂ Rn . ¸nh x¹ f : M −→ M gäi lµ ¸nh x¹ co nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i λ ∈ (0, 1) sao cho kf (x) − f (y)k ≤ λkx − yk, ∀x, y ∈ M. VÝ dô. Cho hµm kh¶ vi f : R −→ R, víi |f 0 (x)| ≤ λ < 1, víi mäi x ∈ R. Khi ®ã, theo §Þnh lý Lagrange |f (x) − f (y)| = |f 0 (c)||x − y| ≤ λ|x − y|. Tõ ®ã, f lµ ¸nh x¹ co. §Þnh lý 9. (§Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng ) Cho M ⊂ Rn lµ tËp ®ãng vµ ¸nh x¹ f : M −→ M lµ ¸nh x¹ co. Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt ®iÓm x∗ ∈ M sao cho f (x∗ ) = x∗. Cô thÓ, ®iÓm bÊt ®éng x∗ cña f lµ giíi h¹n cña d·y ®iÓm (xk ) trong M ®-îc x©y dùng nh- sau: Chän ®iÓm xuÊt ph¸t x0 ∈ M vµ ®Æt xk+1 = f (xk ), k = 0, 1, . . . Chøng minh. Víi d·y (xk ) x©y dùng ë trªn, ta cã kxk+1 − xk k = kf (xk ) − f (xk−1 k ≤ λkxk − xk−1 k ≤ λk kx1 − x0k. Suy ra víi m = 1, 2, . . . kxk+m − xk k ≤ kxk+m − xk+m−1 k + · · · + kxk+1 − xk k ≤ (λk+m−1 + · · · + λk )kx1 − x0k λk ≤ kx1 − x0k → 0, khi k → ∞. 1−λ VËy, (xk ) lµ d·y Cauchy, tõ ®ã tån t¹i lim = x∗. Do M ®ãng x∗ ∈ M. V× f lµ k→∞

¸nh x¹ co nªn f liªn tôc, suy ra f (x∗ ) = lim f (xk ) = lim xk+1 = x∗ . NÕu f cã thªm ®iÓm bÊt ®éng x ¯,tøc lµ f (¯ x) = x ¯, th× kx∗ − x ¯k = kf (x∗) − f (¯ xk ≤ λkx∗ − x ¯k ¯k = 0, tøc lµ, x∗ = x ¯. V× λ < 1 nªn kx∗ − x

2

28 5.1.2

§Þnh lý hµm ng-îc

Cho hµm f : R −→ R thuéc líp C 1 trªn (a, b) 3 x0 vµ f 0 (x0) 6= 0. Khi ®ã f 0 (x) kh«ng ®æi dÊu trong mét l©n cËn U cña x0 , tøc lµ f lu«n t¨ng, hoÆc lu«n gi¶m trªn U . Tõ ®ã, f cã hµm ng-îc f −1 còng thuéc líp C 1 trªn mét l©n cËn V nµo ®ã cña f (x0 ) vµ víi mäi y ∈ V ta cã c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm ng-îc (f −1 )0(y) =

1 f 0 (f −1 (y))

.

Sau ®©y lµ mét kÕt qu¶ t-¬ng tù cho tr-êng hîp nhiÒu chiÒu. §Þnh lý 10. (§Þnh lý hµm ng-îc ) Cho hµm f : Rn −→ Rn thuéc líp C k trªn mét tËp më U chøa a vµ detf 0 (a) 6= 0. Khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn V cña a vµ l©n cËn W cña f (a) sao cho f : V −→ W cã hµm ng-îc f −1 : W −→ V thuéc líp C k vµ víi mäi y ∈ W ta cã c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm ng-îc (f −1 )0 (y) = f 0 (f −1 (y))


−1

.

Chøng minh. Ta cã c¸c nhËn xÐt sau
−1
−1 NhËn xÐt 1: §Æt g(x) = f 0 (a) f (x), khi ®ã g 0 (a) = f 0 (a) f 0 (a) = In . NÕu
−1 . g cã hµm ng-îc g −1 , th× f cã hµm ng-îc f −1 = g −1 ◦ f 0 (a) NhËn xÐt 2: §Æt g(x) = f (x + a) − f (a), khi ®ã
g(0) = 0. NÕu g cã hµm ng-îc g −1 , th× f cã hµm ng-îc f −1 (x) = g −1 x − f (a) + a . Tõ NhËn xÐt 1, 2, cã thÓ gi¶ thiÕt a = 0, f (a) = 0, f 0 (0) = In . 1) Tån t¹i f −1 ®Þa ph-¬ng. Víi mäi y trong l©n cËn nµo ®ã cña O , ta chØ ra ph-¬ng tr×nh y = f (x) cã duy nhÊt nghiÖm x trong l©n cËn nµo ®ã cña O.Víi y ∈ Rn vµ x ∈ U ®Æt ϕy (x) = y + x − f (x) Khi ®ã f −1 (y) = {x ∈ U | y = f (x)} = {x ∈ U | ϕy (x) = x} Ta t×m c¸c l©n cËn thÝch hîp ®Ò cã thÓ ¸p dông §Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng cho ϕy . V× f 0 (0) = In vµ tÝnh liªn tôc cña f 0 (x), tån t¹i r > 0 sao cho B(0, 2r) ⊂ U vµ 1 kIn − f 0 (x)k ≤ , ∀x ∈ B(0, 2r). 2 MÆt kh¸c, ta cã ϕ0y (x) = In − f 0 (x). Theo theo §Þnh lý phÇn gia, ta cã 1 kϕy (x2) − ϕy (x1)k ≤ kx2 − x1k, ∀x1, x2 ∈ B(0, 2r). 2

(a)

29 Tõ ®ã, víi kyk < r, kxk < 2r, ta cã kϕy (x)k = ky + x − f (x) k ≤ kyk + kϕy (x) − ϕy (0)k < 2r. | {z }

(b)

ϕy (x)−ϕy (0)

Tõ (a) vµ (b), suy ra, ¸nh x¹ ϕy : B(0, 2r) −→ B(0, 2r) lµ anh x¹ co. Theo Nguyªn lý ¸nh x¹ co , ϕy cã duy nhÊt ®iÓm bÊt ®éng x, tøc lµ ϕy (x) = x. Nh- vËy, ta ®· chØ ra ∀y ∈ B(0, r), ∃!x ∈ B(0, 2r) : y = f (x).
Tøc lµ, ¸nh x¹ f : f −1 B(0, r) ∩ B(0, 2r) −→ B(0, r) lµ mét song ¸nh, vµ do ®ã cã ¸nh x¹ ng-îc f −1 . 2) f −1 liªn tôc. XÐt y1 , y2 ∈ B(0, 2r), ®Æt x1 = f −1 (y1 ), x2 = f −1 (y2). Khi ®ã x2 − x1 = ϕ0 (x2) − ϕ0 (x1) + f (x2 ) − f (x1 ). Do (a) ta cã 1 kx2 − x1 k ≤ kx2 − x1k + kf (x2 ) − f (x1)k. 2 V× f (x1) = y1, f (x2 ) = y2 ta ®-îc bÊt ®¼ng thøc kf −1 (y2) − f −1 (y1)k ≤ 2ky2 − y1k.

(c)

Suy ra, f −1 liªn tôc. 3) f −1 thuéc líp C k . Bëi tÝnh liªn tôc cña det, f ∈ C k vµ detf (a) 6= 0, tån t¹i
−1 f 0 (x) , ∀x ∈ B(0, s), víi 0 < s < r ®ñ bÐ. Víi y = f (x), y 0 = f (x0 ), x, x0 ∈ B(0, s), ta cã
−1 kf −1 (y) − f −1 (y 0) − f 0 (x) (y − y 0 )k =
−1 0
= kx − x0 − f 0 (x) f (x)(x − x0 ) + o(kx − x0k) k
−1 = k f 0 (x) (kx − x0k)k = o(ky − y 0 k) (do (c)) VËy, víi y = f (x) ta cã
−1 (f −1 )0 (y) = f 0 (x) 1 (Aij (f −1 (y))), = 0 −1 f (f (y))

30 ∂fi −1 (f (y)) trong ma trËn f 0 (f −1 (y)), ∂xj nªn nã lµ tæng c¸c tÝch cña c¸c ®¹o hµm riªng f t¹i ®iÓm f −1 (y). V× f ∈ C k vµ f −1 liªn tôc nªn Aij (f −1 (y)) ∈ C k−1 . Tõ ®ã, f −1 ∈ C k . 2 trong ®ã Aij (f −1 (y)) lµ phÇn phô ®¹i sè cña

NhËn xÐt. §Þnh lý trªn chØ cho sù tån t¹i hµm ng-îc ®Þa ph-¬ng. VÝ dô, xÐt ¸nh x¹ f : R2 −→ R2 , f (x, y) = (ex cos y, ex sin y). Ta cã

x e cos y −ex sin y = ex 6= 0, ∀(x, y) ∈ R2. detf (x, y) = x e sin y ex cos y 0

Tuy nhiªn, f kh«ng ®¬n ¸nh v× f (x, y) = f (x, y + 2π). §Þnh nghÜa 16. Cho U, V lµ hai tËp më cña Rn vµ k ∈ N. Hµm f : U −→ V gäi lµ mét C k -vi ph«i nÕu vµ chØ nÕu 1) f thuéc líp C k trªn U , 2) f lµ song ¸nh, 3) f −1 thuéc líp C k trªn V . Sau ®©y lµ mét hª qu¶ trùc tiÕp tõ §Þnh lý hµm ng-îc HÖ qu¶ 3. Cho hµm f : U −→ V víi U, V lµ hai tËp më cña Rn . Gi¶ sö 1) f thuéc líp C k trªn U 2) f lµ song ¸nh, 3) detf 0 (x) 6= 0, ∀x ∈ U . Khi ®ã, f lµ mét C k - vi ph«i. VÝ dô. Cho U = (0, +∞) × (−π, π) × (−π/2, π/2), V = R3 \ (−∞, 0] × {0} × R. Khi ®ã, ¸nh x¹ f:

(0, +∞) × (−π, π) × (−π/2, π/2) −→ R3 \ (−∞, 0] × {0} × R (r, ϕ, θ) 7−→ (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)

thuéc líp C 1,song ¸nh vµ ∀(r, ϕ, θ) ∈ (0, +∞) × (−π, π) × (−π/2, π/2) ta cã cos ϕ cos θ −r sin ϕ cos θ −r cos ϕ sin θ detf 0 (r, ϕ, θ) = sin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ −r sin ϕ sin θ = r2 cos θ 6= 0 sin θ 0 r cos θ Tõ ®ã, f lµ mét C 1-vi ph«i tõ U lªn V .

31

5.2

§Þnh lý hµm Èn

XÐt ph-¬ng tr×nh F (x, y) = 0,trong ®ã F (x, y) lµ hµm hai biÕn x¸c ®Þnh trªn tËp më D chøa (x0, y0) vµ F (x0, y0 ) = 0. Gi¶ sö, tån t¹i mét l©n cËn U cña x0 sao cho víi mçi x ∈ U , ph-¬ng tr×nh F (x, y) = 0 cho nghiÖm duy nhÊt y = y(x). Nh- vËy, ta cã mét hµm y = y(x) x¸c ®Þnh trªn U tho¶ (x, y(x)) ∈ D vµ F (x, y(x)) = 0, ∀x ∈ U . Hµm y = y(x) nh- thÕ gäi lµ hµm Èn x¸c ®Þnh tõ ph-¬ng tr×nh F (x, y) = 0. √ VÝ dô. 1) Ph-¬ng tr×nh x3 + y 3 − 1 = 0 x¸c ®Þnh hµm Èn y =√ 3 1 − x3 trªn R. 2)√Ph-¬ng tr×nh x2 + y 2 − 1 = 0 x¸c ®Þnh hµm Èn y = 1 − x2 hoÆc y = − 1 − x2 trong l©n cËn mçi ®iÓm x0 ∈ (−1, 1). §Ó ý r»ng trong tr-êng hîp nµy ∂F (x0, y) 6= 0. Kh«ng tån t¹i hµm Èn y = y(x) trong l©n cËn ®iÓm x0 = ±1. ∂y ∂F (x0, y) = 0. Trong tr-êng hîp nµy ta thÊy ∂y Mét c¸ch tæng qu¸t, ta xÐt hÖ ph-¬ng tr×nh gåm m ph-¬ng tr×nh, n + m Èn   F1 (x1, . . . , xn , y1, . . . , ym ) = 0 .. .   Fm (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0 C©u hái ®Æt ra lµ khi nµo cã thÓ gi¶i tõ hÖ ph-¬ng tr×nh nµy ra m Èn y1, . . . , ym lµ c¸c hµm cña c¸c Èn cßn l¹i: yi = yi (x1 , . . . , xn ). VÝ dô. XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh   a11x1 + · · · + a1nxn + b11y1 + · · · + b1m xm = 0 .. .   am1x1 + · · · + amn xn + bm1y1 + · · · + bmm xm = 0 §Æt A = (aij ), B = (bij ), theo kÕt qu¶ cña §¹i sè tuyÕn tÝnh, nÕu detB 6= 0, th× cã thÓ gi¶i y theo x: y = −B −1 Ax. §Þnh lý 11. (§Þnh lý hµm Èn) Cho F : U ⊂ Rn × Rm −→ Rm , víi U lµ tËp më chøa (a, b). Gi¶ sö F thuéc líp C k trªn U , F (a, b) = 0 vµ ®Þnh thøc cña ®¹o

32 hµm F theo biÕn y ∂F1 (a, b) · · · ∂y1 D(F1 , . . . , Fm) ∂F .. (a, b) = det (a, b) = . ··· D(y1 , . . . , ym ) ∂y ∂Fm ∂y (a, b) · · · 1

∂F1 (a, b) ∂ym .. 6= 0. . ∂Fm (a, b) ∂ym

Khi ®ã, tån t¹i c¸c l©n cËn V ⊂ Rn cña a, W ⊂ Rm cña b vµ hµm duy nhÊt g : V −→ W , thuéc líp C k sao cho F (x, y) = 0, (x, y) ∈ U × W ⇐⇒ y = g(x), x ∈ V, y ∈ W. Ngoµi ra, ta cã

−1  ∂F ∂F g (x) = − (x, g(x)). ∂y ∂x 0

Chøng minh. §Æt f : U −→ Rn × Rm , f (x, y) = (x, F (x)). Khi ®ã, f thuéc líp C k trªn U vµ   In O . ∂F f 0 (a, b) =  ∂F (a, b) (a, b) ∂x ∂y ∂F (a, b) 6= 0, ta cã f 0 (a, b) 6= 0. Theo §Þnh lý hµm ng-îc, tån t¹i ∂y l©n cËn V × W cña (a, b) , l©n cËn V × O cu¶ f (a, b) = (a, 0), sao cho hµm f : V × W −→ V × O cã hµm ng-îc

Do det

f −1 : V × W −→ V × O, f −1 (x, z) = (x, G(x, z)), (x, z) ∈ V × O. Khi dã, hµm g : V −→ W , g(x) = G(x, 0) tháa ®iÒu kiÖn cu¶ §Þnh lý. ThËt vËy ta cã F (x, y) = 0 ⇐⇒ f (x, y) = (x, F (x, y) = (x, 0) ⇐⇒ f −1 (x, 0) = (x, y) ⇐⇒ (x, G(x, 0)) = (x, y) ⇐⇒ (x, g(x)) = (x, y) ⇐⇒ y = g(x). H¬n n÷a, tõ F (x, g(x)) = 0, x ∈ V , ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp, suy ra c«ng thøc cÇn t×m. 2

33 VÝ dô. 1) HÖ thøc z 3 − 3xyz + 5 = 0 x¸c ®Þnh hµm Èn z = z(x, y) thuéc líp C 1 trong l©n cËn cu¶ (2, 1, 1). ThËt vËy, ®Æt F (x, y, z) = z 3 − 3xyz + 5. Khi ®ã  
∂F ∂F ∂F 0 = −3yz −3xz 3z 2 − 3xy F (x, y, z) = ∂x ∂y ∂z ∂F (2, 1, 1) = −3 6= 0. Theo §Þnh lý trªn, tån t¹i ∂z hµm Èn z = z(x, y) x¸c ®Þnh trªn l©n cËn V cña (2, 1) vµ     ∂z ∂z 1 ∂F ∂F (x, y) (x, y) =− (x, y, z) (x, y, z) ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y (x, y, z) ∂z
1 −3yz −3xz . =− 2 3(z − xy) Râ rµng, F thuéc líp C 1 vµ

NhËn xÐt. Cã thÓ tÝnh ®¹o hµm cña hµm Èn mét c¸ch trùc tiÕp nh- sau. Tõ ®¼ng thøc z 3(x, y) − 3xyz(x, y) + 5 = 0, lÊy ®¹o hµm hai vÕ theo x, råi theoy ta cã hÖ  ∂z ∂z  3z 2 − 3yz − 3xy =0 ∂x ∂x . ∂z ∂z  3z 2 − 3xz − 3xy =0 ∂x ∂y Tõ ®ã, suy ra

∂z yz ∂z xz (x, y) = 2 , (x, y) = 2 . ∂x z − xy ∂y z − xy

2) Tån t¹i c¸c hµm u = u(x, y), v = v(x, y) x¸c ®Þnh bëi hÖ ph-¬ng tr×nh ( x2 + uy + ev = 0 . 2x + u2 − u(v − y) = 0 víi u(2, 5) = −1, v(2, 5) = 0 ∂v ∂u (x, y), (x, y) ta lÊy ®¹o hµm hai vÕ cu¶ hÖ ph-¬ng tr×nh theo x ta §Ó tÝnh ∂x ∂x ®-îc   y ∂u + ev ∂v = −2x ∂x ∂x ∂u ∂v  (2u − v + y) −u = −2 ∂x ∂x 2(ux + ev ) ∂v −2y + 2x(2u − v + y) ∂u (x, y) = , (x, y) = . Tõ ®ã, ∂x −uy − ev (2u − v + y) ∂x −uy − ev (2u − v + y) ∂u ∂v T-¬ng tù, ®Ó tÝnh (x, y), (x, y) ta lÊy ®¹o hµm hai vÕ cu¶ hÖ ph-¬ng tr×nh ∂y ∂y theo y.

34

6 6.1

Cùc trÞ hµm nhiÒu biÕn Cùc trÞ

§Þnh nghÜa 17. Cho hµm f : U −→ R x¸c ®Þnh trªn tËp më U ⊂ Rn . Hµm f gäi lµ ®¹t cùc ®¹i t¹i a ∈ U nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i r > 0 sao cho f (x) ≤ f (a), ∀x ∈ B(a, r). Hµm f gäi lµ ®¹t cùc tiÓu t¹i a ∈ U nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i r > 0 sao cho f (x) ≥ f (a), ∀x ∈ B(a, r).

Hµm f gäi lµ ®¹t cùc trÞ t¹i a ∈ U nÕu vµ chØ nÕu f ®¹t cùc ®¹i hay cùc tiÓu t¹i ®ã. VÝ dô.Hµmf (x, y) =  xy kh«ng  ®¹t cùc trÞ t¹i (0, 0), v× víi mäi r > 0, tån t¹i r r r r , X1 = , X2 = − , ∈ B(O, r) sao cho 2 2 2 2 f (X1 ) =

r2 > 0 = f (0, 0) 4

vµ f (X2 ) = −

r2 < 0 = f (0, 0). 4

§Þnh lý 12. (§iÒu kiÖn cÇn) NÕu f kh¶ vi vµ ®¹t cùc trÞ t¹i a, th× f 0 (a) = 0. Chøng minh. Víi mçi i, hµm mét biÕn gi (t) = f (a + tei), ®¹t cùc trÞ t¹i 0. Tõ ∂f (a) = 0. VËy, f 0 (a) = 0. 2 kÕt qu¶ cña cùc trÞ hµm mét biÕn, suy ra g 0 (0) = ∂xi NhËn xÐt. §Þnh lý trªn chØ lµ ®iÒu kiÖn cÇn. VÝ dô, xÐt hµm f (x, y) = xy. Ta cã ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0. Nh-ng f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i (0, 0). ∂x ∂y NÕu f kh¶ vi, th× a gäi lµ ®iÓm dõng cña f nÕu vµ chØ nÕu f 0 (a) = 0 §Þnh lý 13. (§iÒu kiÖn ®ñ) Gi¶ sö f thuéc líp C 2 vµ f 0 (a) = 0. Khi ®ã 1) NÕu Hf (a) x¸c ®Þnh d-¬ng, th× f ®¹t cùc tiÓu t¹i a. 2) NÕu Hf (a) x¸c ®Þnh ©m, th× f ®¹t cùc ®¹i t¹i a. 3) NÕu Hf (a) kh«ng x¸c ®Þnh, th× f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i a.

35 Chøng minh. 1) Do f 0 (a) = 0 c«ng thøc Taylor cã d¹ng 1 f (a + h) = f (a) + d2 f (a)h2 + o(khk2 ). 2 V× Hf (a)h liªn tôc trªn compact S = {h ∈ Rn | khk = 1} vµ Hf (a) > 0, nªn tån t¹i m = min Hf (a)h > 0. Víi mäi h ∈ Rn ta cã khk=1



h Hf (a) khk



=

1 Hf (a)h ≥ m. khk2

1 Suy ra, Hf (a)h ≥ mkhk2. NÕu chän khk ®ñ bÐ sao cho | o(khk2 ) |≤ mkhk2, 4 th× ta cã m m f (a + h) ≥ f (a) + khk2 − khk2 ≥ f (a). 2 4 Tõ ®ã, f ®¹t cùc tiÓu t¹i a. 2) ¸p dông 1) cho −f . 3) Gi¶ sö Hf (a) > 0 kh«ng x¸c ®Þnh, tøc lµ, tån t¹i h, k ∈ Rn sao cho Hf (a)h > 0 vµ Hf (a)k < 0. XÐt c¸c hµm mét biÕn: g1 (t) = f (a + th), g2 (t) = f (a + tk). Khi dã, ta cã g1 (0) = f (a), g10 (0) = f 0 (a)h = 0, g100 (0) = Hf (a)h > 0 g2 (0) = f (a), g20 (0) = f 0 (a)h = 0, g200 (0) = Hf (a)k > 0 Suy ra, g1 ®¹t cùc tiÓu vµ g2 ®¹t cùc ®¹i t¹i 0. Tøc lµ, víi t ®ñ bÐ, ta cã f (a + tk) ≤ g2 (t) ≤ g2 (0) = f (a) = g1 (0) ≤ g1 (t) = f (a + th). VËy, f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i a. VÝ dô. Kh¶o s¸t cùc trÞ cña hµm f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 − 3xy − 2z. §Ó t×m diÓm dõng ta xÐt hÖ  ∂f  (x, y, z) = 3x2 − 3y = 0    ∂x  ∂f (x, y, z) = 3y 2 − 3x = 0  ∂y     ∂f (x, y, z) = 2z − 2 = 0. ∂z

2

36 Gi¶i hÖ, ta cã hai ®iÓm dõng: M1 (1, 1, 1), M2 (0, 0, 1). §Ó kiÓm tra cùc trÞ, ta tÝnh ®¹o hµm cÊp hai  2  ∂ f ∂ 2f ∂ 2f  ∂x2 (x, y, z) ∂x∂y (x, y, z) ∂x∂y (x, y, z)    2  6x −3 0 2 2   ∂ f ∂ f ∂ f    f 00 (x, y, z) =   ∂y∂x (x, y, z) ∂y 2 (x, y, z) ∂y∂z (x, y, z) = −3 6y 0  2  0 0 2  ∂ f  ∂ 2f ∂ 2f (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) ∂z∂x ∂z∂y ∂z 2 Víi M1 (1, 1, 1), ta cã



 6 −3 0 Hf (M1 ) = −3 6 0 0 0 2

Suy ra, Hf (M1) > 0 theo tiªu chuÈn Sylvester. VËy, f ®¹t cùc tiÓu t¹iM1 . Víi M2 (0, 0, 1), ta cã Hf (M2 )(x, y, z) = 2z 2 − 6xy. D¹ng nµy kh«ng x¸c ®Þnh v× Hf (M2)(1, 1, 1) = −4, Hf (M2 )(1, −1, 1) = 8. VËy, f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i M2 .

6.2

Cùc trÞ víi ®iÒu kiªn

§Þnh nghÜa 18. Cho hµm f : U −→ R x¸c ®Þnh trªn tËp më U ⊂ Rn . XÐt F = (F1, . . . , Fm) : U −→ Rm , víi m < n vµ ®Æt M = {x ∈ U | F (x) = 0} Hµm f gäi lµ ®¹t cùc ®¹i t¹i a ∈ M víi ®iÒu kiÖn F = 0 nÕu tån t¹i r > 0 sao cho f (x) ≤ f (a), ∀x ∈ B(a, r) ∩ M. Hµm f gäi lµ ®¹t cùc tiÓu t¹i a ∈ M víi ®iÒu kiÖn F = 0 nÕu tån t¹i r > 0 sao cho f (x) ≥ f (a), ∀x ∈ B(a, r) ∩ M. Hµm f gäi lµ ®¹t cùc trÞ t¹i a ∈ M víi ®iÒu kiÖn F = 0 nÕu f ®¹t cùc ®¹i hay cùc tiÓu t¹i ®ã víi ®iÒu kiÖn F = 0. §Þnh lý 14. (§iÒu kiÖn cÇn) Cho f : U −→ R vµ F = (F1, . . . , Fm ) : U −→ Rm , thuéc líp C 1 trªn tËp më U ⊂ Rn . Gi¶ sö 1) M = {x ∈ U | F (x) = 0} lµ mÆt (n − m) chiÒu, tøc lµ rankF 0(x) = m,

37 ∀x ∈ M. 2) f ®¹t cùc trÞ víi ®iÒu kiÖn F = 0 t¹i a. Khi ®ã, tån t¹i m sè thùc λ1 , . . . , λm , sao cho X ∂Fk ∂f (a) = λk (a), ∀i = 1, 2, . . . n. ∂xi ∂xi m

k=1

Chøng minh. Do rankF 0(a) = m, cã mét ®Þnh thøc con cÊp m cña F 0(a) kh¸c 0. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, cã thÓ gi¶ thiÕt ∂F1 ∂F1 ∂x1 (a) · · · ∂xm (a) .. .. 6= 0 . . · · · ∂Fm ∂Fm ∂x (a) · · · ∂x (a) 1

m

§Æt a = (a1, . . . , am , am+1 , . . . , an , = (X0 , Y0 ) | {z } | {z } X0

Y0

x = (x1, . . . , xm , xm+1 , . . . , xn , = (X, Y ) | {z } | {z } X

Y

Do §Þnh lý hµm Èn, tån t¹i l©n cËn U cña X0 , l©n cËn V cña Y0 vµ hµm g : V −→ U víi g(Y0 ) = X0 , sao cho F (x) = F (X, Y ) = 0, (X, Y ) ∈ U × V ⇐⇒ X = g(Y ), X ∈ U, Y ∈ V XÐt hµm ϕ : V −→ Rn , ϕ(Y ) = (g(Y ), Y ). Khi ®ã, hµm f ®¹t cùc trÞ víi ®iÒu kiÖn F = 0 t¹i a khi vµ chØ khi hµm f ◦ ϕ(Y ) = F (Y, g(Y ) ®¹t cùc trÞ (tù do) t¹i Y0 . Theo ®iÒu kiÖn cÇn cña cùc trÞ tù do ta cã (f ◦ ϕ)0 (Y0 ) = f 0 (a)ϕ0(Y0 ) = 0 =⇒t [ϕ0(Y0 )]t [f 0(a)] = 0

(1)

MÆt kh¸c, do hÖ thøc F (ϕ(Y )) = 0, ta cã (F ◦ ϕ)0 (Y0 ) = F 0(a)ϕ0(Y0 ) = 0 =⇒t [ϕ0(Y0 )]t[F 0(a)] = 0

(2)

Do(1), ta cã t

[F 0(a)] ∈ kert [ϕ0(Y0 )]

(3)

Tõ (2), suy ra Imt [F 0(a)] ⊂ kert [ϕ0(Y0 )]. H¬n n÷a, ta còng cã dÊu ®¼ng thøc. ThËt vËy, do rank t[ϕ0 (Y0 )] = n − m, ta cã dim Imt[ϕ0(Y0 )] = n − m. Tõ ®ã dim kert [ϕ0(Y0 )] = n − dim Imt [ϕ0(Y0 )] = m.

38 Do rankF 0(a) = m, ta cã dim Imt [F 0(a)] = m. VËy Imt [F 0(a)] = kert [ϕ0(Y0 )]

(4)

. Tõ (3) vµ (4) suy ra t

[f 0(a)] ∈ Imt [F 0(a)] = L(gradF1, . . . , gradFm ) = Kh«ng gian con sinh bëi gradF1,. . ., gradFm 2

Tõ dã, ta cã ®iÒu cÊn chøng minh.

NhËn xÐt. Trong thùc hµnh ®Ó t×m ®iÓm a (®iÓm dõng) ta lËp hµm Lagrange nh- sau m X L(x, λ) = f (x) − λk Fk (x), k=1

sau ®ã gi¶i hÖ

  ∂L(x, λ) (x, λ) = 0 ∂xi  Fk (x) = 0

i = 1, 2, . . . , n k = 1, 2, . . . , m

C¸c sè λk gäi lµ nh©n tö Lagrange, ph-¬ng ph¸p t×m ®iÓm dõng a nh- trªn gäi lµ ph-¬ng ph¸p nh©n tö Lagrange. VÝ dô. T×m cùc trÞ cu¶ hµm f (x, y, z) = x+y+z víi ®iÒu kiÖn x2 +y 2 +z 2 −1 = 0. Gi¶i. LËp hµm Lagrange: L = x + y + z − λ(x2 + y 2 + z 2 − 1). §Ó t×m ®iÓm dõng, xÐt hÖ  ∂L   (x, y, z) = 1 − 2λx = 0   ∂x     ∂L (x, y, z) = 1 − 2λy = 0 ∂y  ∂L   ((x, y, z) = 1 − 2λz = 0    ∂z   x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 Gi¶i hÖ, ta cã hai ®iÓm dõng √ 3 1 1 1 øng víi λ = M( √ , √ , √ ), 3 3 3 √2 1 1 1 3 N (− √ , − √ , − √ ), øng víi λ = 2 3 3 3

39 §Ó kiÓm tra hµm f cã ®¹t cùc trÞ t¹i M hay kh«ng, trong l©n cËn cña M, ta xÐt dÊu cu¶ gia l-îng 1 1 1 1 1 1 ∆f = f ( √ + h, √ + k, √ + l) − f ( √ , √ , √ ) = h + k + l, 3 3 3 3 3 3 trong ®ã, h, k, l tháa m·n 1 1 2 1 ( √ + h)2 + ( √ + k)2 + ( √ + l)2 = 1 hay h2 + k 2 + l2 + √ (h + k + l) = 0 3 3 3 3 √ 3 2 (h + k 2 + l2) ≤ 0. VËy, f ®¹t cùc ®¹i t¹i M. T-¬ng tù, f Tõ ®ã, ∆f = − 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i N . §Þnh lý 15. (§iÒu kiÖn ®ñ) Gi¶ sö f, F1, F2 , . . . , Fm thuéc líp C 2 vµ (a, λ) lµ ®iÓm dõng cu¶ hµm Lagrange L(x, λ). XÐt

Ta

n X

∂ 2L (a, λ)xi xj (d¹ng Hesse cña L(x, λ) t¹i (a, λ)) ∂x i ∂xj i,j=1 X   n ∂Fk n = (x1 , . . . , xn ) ∈ R (a)xi = 0, k = 1, 2, . . . , m ∂x i i=1

HL (a, λ)(x) =

Khi ®ã 1) NÕu HL (a, λ) x¸c ®Þnh d-¬ng trªn Ta, th× f ®¹t cùc tiÓu t¹i a. 2) NÕu HL (a, λ) x¸c ®Þnh ©m trªn Ta , th× f ®¹t cùc tiÓu t¹i a. 2) NÕu HL (a, λ) kh«ng x¸c ®Þnh trªn Ta, th× f kh«ng ®¹t cùc trÞ t¹i a. Chøng minh. VÝ dô. T×m cùc trÞ cu¶ hµm f (x, y, z) = xyz víi ®iÒu kiÖn x2 + y 2 + z 2 = 3, x > 0, y > 0, z > 0. Gi¶i.LËp hµm Lagrange L(x, y, z, λ) = xyz − λ(x2 + y 2 + z 2 − 3) vµ xÐt hÖ  ∂L   (x, y, z) = yz − 2λx = 0   ∂x     ∂L (x, y, z) = xz − 2λy = 0 ∂y  ∂L   (x, y, z) = xy − 2λz = 0     ∂z  x2 + y 2 + z 2 − 3 = 0

40 1 Gi¶i hÖ, ta ®-îc mét ®iÓm dõng M(1, 1, 1) víi λ = . §Ó kiÓm tra M cã ph¶i lµ 2 cùc trÞ kh«ng ta tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng cÊp hai ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L ∂ 2L ∂L = z, = y, = x. = −2λ = = , ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z 1 Suy ra, HL (M, )(x, y, z) = −x2 − y 2 − z 2 + 2xy + 2xz + 2yz. 2 Víi mäi (x, y, z) ∈ TM = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0} \ {(0, 0, 0)} ta cã 1 HL (M, )(x, y, z) = −x2 − y 2 − (x + y)2 + 2xy − 2x(x + y) − 2y(x + y) 2 2  y 2 2 − 3y 2 < 0. = −4(x + y + xy) = −4 x + 2 Tõ ®ã, M lµ diÓm cùc ®¹i.

41

II. TÝch ph©n béi 1

TÝch ph©n trªn h×nh hép

1.1

Tæng Riemann

Cho A = [a1, b1] × · · · × [an , bn ] lµ h×nh hép trong Rn . Ta gäi ®¹i l-îng v(A) = (b1 − a1 ) · · · (bn − an ) lµ thÓ tÝch cña A. Mét ph©n ho¹ch P cu¶ h×nh hép A lµ mét c¸ch chia c¸c ®o¹n [ai, bi ], i = 1, . . . , n, bëi c¸c ®iÓm chia ai = ci0 < ci1 < · · · < cimi = bi , ®Ó cã m1 · m2 · · · mn h×nh hép con cu¶ A S = [c1i1 , c1i1+1 ] × · · · × [cnin , cnin +1 ]. S gäi lµ h×nh hép con trong ph©n ho¹ch P vµ th-êng viÕt S ∈ P . Ph©n ho¹ch P 0 gäi lµ mÞn h¬n ph©n ho¹ch P nÕu vµ chØ nÕu víi mäi S 0 ∈ P 0 , tån t¹i S ∈ P sao cho S 0 ⊂ S. Ký hiÖu |P | = max{cij+1 − cij , i = 1, . . . , n, j = 0, . . . mi − 1} vµ gäi lµ ®é mÞn cña ph©n ho¹ch P . Trong mçi h×nh hép S ∈ P , chän mét ®iÓm ξS . Ký hiÖu ξ(P ) = {ξS , S ∈ P } vµ gäi lµ c¸ch chän ®iÓm øng víi ph©n ho¹ch P . XÐt hµm f : A −→ R x¸c ®Þnh trªn h×nh hép A. §Æt X σ(f, P, ξ(P )) = f (ξS )v(S), S∈P

vµ gäi lµ tæng Riemann cu¶ hµm f øng víi ph©n ho¹ch P , vµ c¸ch chän ®iÓm ξ(P ). §Þnh nghÜa 1. Hµm f gäi lµ kh¶ tÝch trªn h×nh hép A nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i X lim f (ξS )v(S) = I, |P |→0

S∈P

tøc lµ ∀ > 0, ∃δ > 0 : ∀P, |P | < δ, ∀ξ(P ) =⇒ |σ(f, P, ξ(P )) − I| < .

42 Khi ®ã, gi¸ trÞ I gäi lµ tÝch ph©n cu¶ f trªn A, vµ ký hiÖu lµ Z

f hay

A

Z

f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn hay

Zb1 a1

A

...

Zbn

f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn

an

n

VÝ dô. 1) Cho A ⊂ R lµ h×nh hép vµ hµm f : A −→ R, f (x) = C. Víi mäi ph©n ho¹ch P cu¶ A, víi mäi c¸ch chän ®iÓm ξ(P ) ta cã X X f (ξS )v(S) = C v(S) = Cv(A). σ(f, P, ξ(P )) = Suy ra

Z

S∈P

S∈P

f = Cv(A).

A

(

1 nÕu x lµ h÷u tØ 0 nÕu x lµ v« tØ kh«ng kh¶ tÝch trªn [0, 1] × [0, 1], v× víi mäi ph©n ho¹ch P cña [0, 1] × [0, 1], nÕu lÊy hai c¸ch chän ®iÓm :

2) Hµm f : [0, 1] × [0, 1] −→ R, f (x, y) =

ξ(P ) = {ξS (xS , yS ) | xS ∈ Q} vµ ξ 0 (P ) = {ξS0 (xS , yS ) | xS ∈ (R \ Q)}, th× ta cã σ(f, P, ξ(P )) =

X

f (ξS )v(S) = 1, σ(f, P, ξ 0(P )) =

S∈P

X

f (ξS0 )v(S) = 0.

S∈P

MÖnh ®Ò 1. NÕu f kh¶ tÝch trªn h×nh hép A, th× nã giíi néi trªn ®ã. Z Chøng minh. Gi¶ sö f = I. Khi ®ã A

∃δ > 0 : ∀P, |P | < δ, ∀ξ(P ) =⇒ σ(f, P, ξ(P )) < I + 1 = K.   X 1 0 §Æt MS = K− f (ξS 0 )v(S ) vµ M = maxMS . S∈P v(S) 0 S ∈P S 0 6=S

NÕu f kh«ng giíi néi, th× tån t¹i xS ∈ S sao cho f (xS ) > M . XÐt c¸ch chän ®iÓm ξ 0 (P ) = (ξ(P ) \ {ξS }) ∪ {xS }. Khi ®ã X f (ξS 0 )v(S 0) + f (xs )v(S) σ(f, P, ξ 0 (P )) = S 0 ∈P S 0 6=S

≥

X

S 0 ∈P S 0 6=S

  X 1 0 K− f (ξS 0 )v(S ) + f (ξS 0 )v(S ) v(S) = K. v(S) 0

§iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn.

0

S ∈P S 0 6=S

2

43

1.2

Tæng Darboux

§Þnh nghÜa 2. Cho hµm f giíi néi trªn h×nh hép A ⊂ Rn , P lµ mét ph©n ho¹ch cña A. Ta ®Þnh nghÜa X Tæng Darboux d-íi: L(f, P ) = inf f (x)v(S). S∈P

Tæng Darboux trªn:

U (f, P ) =

X

S∈P

x∈S

supf (x)v(S). x∈S

MÖnh ®Ò 2. NÕu ph©n ho¹ch P 0 mÞn h¬n ph©n ho¹ch P , th× L(f, P ) ≤ L(f, P 0)

vµ

U (f, P 0 ) ≤ U (f, P ).

Chøng minh. V× ph©n ho¹ch P 0 mÞn h¬n ph©n ho¹ch P nªn víi mäi S ∈ P , tån k

t¹i S10 , . . . , Sk0 ∈ P 0 sao cho S = ∪Si0 . Tõ ®ã i=1

X S∈P

inf f (x)v(S) =

k XX

≤

S∈P i=1 k XX

=

S∈P X i=1

x∈S

inf f (x)v(Si0)

x∈S

inf f (x)v(Si0)

x∈S 0

inf f (x)v(S 0)

S 0 ∈P 0

x∈S 0

Tõ ®ã, L(f, P ) ≤ L(f, P 0). T-¬ng tù, U (f, P 0 ) ≤ U (f, P ).

2

HÖ qu¶ 1. Víi mäi ph©n ho¹ch P, P 0 cña A, ta cã: L(f, P 0 ) ≤ U (f, P ) Chøng minh. XÐt ph©n ho¹ch P 00 mÞn h¬n P vµ P 0 . Tõ MÖnh ®Ò 2 suy ra L(f, P 0) ≤ L(f, P 00) ≤ U (f, P 00) ≤ U (f, P ). 2 NhËn xÐt. Tõ hÖ qña trªn, ta thÇy c¸c tæng Darboux trªn bÞ chÆn d-íi, vµ c¸c tæng Darboux d-íi bÞ chÆn trªn. VËy, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa TÝch ph©n d-íi cña f : I(f ) = supL(f, P ). P

TÝch ph©n trªn cña f : Râ rµng

I(f ) = inf U (f, P ). P

I(f ) ≤ I(f ).

44 MÖnh ®Ò 3. Cho hµm f giíi néi trªn h×nh hép A. Khi ®ã bèn ®iÒu sau ®©y lµ t-¬ng ®-¬ng 1) Hµm f kh¶ tÝch trªn A. 2) I(f ) = I(f ). 3) Víi mäi  > 0, ∃P , sao cho U (f, P ) − L(f, P ) <  4) Víi mäi  > 0, ∃δ > 0, sao cho ∀P, |P | < δ ta cã U (f, P ) − L(f, P ) < . Chøng minh. 1) ⇒ 2). Gi¶ sö f kh¶ tÝch trªn A, tøc lµ ∀ > 0, ∃δ > 0 : ∀P, |P | < δ, ∀ξ(P ) =⇒ |σ(f, P, ξ(P )) − I| < . Gäi N lµ sè h×nh hép cña P . Tõ ®Þnh nghÜa cña supf (x), tån t¹i ξS ∈ S sao cho x∈S

supf < f (ξS ) + x∈S

Khi ®ã |U (f, P ) − I| ≤ |

X S∈P

supf (x)v(S) − x∈S

X

 . Nv(S)

f (ξS )v(S)| + |

S∈P

X

f (ξS )v(S) − I|

S∈P

≤  +  = 2 LËp luËn t-¬ng tù, ta cã |L(f, P ) − I| < 2. Suy ra I − 2 < L(f, P ) ≤ I(f ) ≤ I(f ) ≤ U (f, P ) < I + 2. V×  bÐ tuú ý ta cã I(f ) = I(f ). 2) ⇒ 3). Víi mäi  > 0, bëi ®Þnh nghÜa cña I(f ), I(f ), tån t¹i c¸c ph©n ho¹ch P 0 , P 00 sao cho U (f, P 0 ) < I(f ) +  vµ

L(f, P 00) < I(f ) − 

NÕu chän ph©n ho¹ch P mÞn h¬n P 0 vµ P 00, th× ta cã I(f ) −  ≤ L(f, P 00) ≤ L(f, P ) ≤ U (f, P ) ≤ U (f, P 0 ) < I(f ) + . Tõ ®ã, P lµ ph©n ho¹ch cÇn t×m. 3) ⇒ 4). Gi¶ sö, víi mäi  > 0, tån t¹i ph©n ho¹ch P ∗ cña A sao cho U (f, P ∗) − L(f, P ∗ ) < /2. Gäi c¸c h×nh hép con cña P ∗ lµ V1 , V2 , . . . , Vk vµ T lµ tæng thÓ tÝch c¸c biªn gi÷a  hai h×nh hép kÒ nhau. Gäi K = sup|f (x)|. Khi ®ã, δ < tháa yªu cÇu cña 4KT x∈A kh¼ng ®Þnh 4). ThËt vËy, víi mäi ph©n ho¹ch P sao cho |P | < δ, ta cã X X X U (f, P ) − L(f, P ) = (supf − inf f )v(S) = + , S∈P

S

S

1

2

45 X

lµ tæng lÊy theo c¸c h×nh hép S ∈ P kh«ng chøa trong bÊt kú h×nh X hép Vi nµo cña P ∗ , vµ lµ tæng lÊy theo c¸c h×nh hép S cßn l¹i. 2 NÕu S ∈ P mµ S * Vi , ∀i = 1, . . . , k, th× S giao víi c¸c biªn cña mét sè h×nh hép cu¶ P ∗ . Khi ®ã, v(S) ≤ δD, víi D lµ tæng thÓ tÝch c¸c biªn cu¶ c¸c h×nh hép trong P ∗ giao víi S. VËy X X X  = (supf − inf f )v(S) ≤ 2K v(S) ≤ 2KδT < 1 S 2 S S∈P S∈P trong ®ã,

1

S*Vi ,∀i

S*Vi ,∀i

§èi víi tæng thø hai ta cã ®¸nh gi¸ X X = (supf − inf f )v(S) 2

S∈P S⊂Vi

≤

S

S

X

 (supf − inf f )v(S) = U (f, P ∗) − L(f, P ∗ ) < . S 2 S S∈P ∗

Tõ ®ã suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. 4) ⇒ 1). Ta cã |σ(f, P, ξ(P )) − I(f )| ≤ U (f, P ) − L(f, P ), do L(f, P ) ≤ I(f ) ≤ I(f ) ≤ U (f, P )

vµ L(f, P ) ≤ σ(f, P, ξ(P )) ≤ U (f, P ). 2

Tõ ®ã suy ra kh¼ng ®Þnh.

1.3

ThÓ tÝch kh«ng

§Þnh nghÜa 3. TËp B ⊂ Rn gäi lµ cã thÓ tÝch kh«ng, ký hiÖu µ(B) = 0, nÕu víi mäi  > 0, tån t¹i h÷u h¹n c¸c h×nh hép S1 , . . . , Sk sao cho k

1) B ⊂ ∪ Si . i=1

2)

k X

v(Si ) < .

i−1

VÝ dô. 1) TËp B gåm h÷u h¹n ®iÓm cã thÓ tÝch kh«ng. 2) NÕu A ⊂ B vµ µ(B) = 0, th× µ(A) = 0. k

3) NÕu µ(Bi ) = 0, i = 1, . . . , k, th× µ( ∪ Bi ) = 0. i=1

4) NÕu f liªn tôc trªn [a, b], th× ®å thÞ G(f ) = {(x, f(x)) ∈ R2 | x ∈ [a, b]} cã thÓ tÝch kh«ng. ThËt vËy, víi mäi  > 0, do f liªn tôc ®Òu trªn [a, b] nªn ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x, x0 ∈ [a, b] : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < .

(1)

46 XÐt ph©n ho¹ch P cña [a, b] bëi c¸c ®iÓm chia a = x0 < x1 < · · · < xn = b sao cho |P | < δ vµ chän c¸c ®iÓm ξi ∈ [xi−1, xi ], i = 1, 2, . . . , n. Tõ (1) suy ra |f (x) − f (ξi )| < , ∀x ∈ [xi−1, xi ], tøc lµ, khóc ®å thÞ øng víi ®o¹n [xi−1 , xi] chøa trong h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 2(xi − xi−1). Tõ ®ã C chøa trong h÷u h¹n h×nh ch÷ nhËt cã tæng diÖn tÝch (b − a). §Þnh lý 1. (Lebesgue) NÕu hµm f : A −→ R giíi néi trªn h×nh hép A vµ tËp ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f cã thÓ tÝch kh«ng, th× f kh¶ tÝch trªn A. Chøng minh. Gäi B lµ tËp ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f . V× µ(B) = 0, víi mäi  > 0, N X tån t¹i h÷u h¹n hép H1 , H2 , . . . , HN phñ B, cã tæng thÓ tÝch v(Hi ) < . Gäi i=1

P lµ ph©n ho¹ch cña A sao cho nÕu S ∈ P , th× hoÆc S ∩ B = ∅ hoÆc S ⊂ Hi nµo ®ã. §Æt P1 = {S ∈ P | S ∩ B = ∅} vµ XÐt U (f, P ) − L(f, P ) = NÕu M = supf , th× A

X

X S∈P

P2 = {S ∈ P | ∃i, S ⊂ Hi }.

(supf − inf f )v(S) = S

S

X

+

S∈P1

X

.

S∈P2

< 2M.

S∈P2

NÕu S ∈ P1 , th× do S compact, f liªn tôc ®Òu trªn S, tóc lµ, tån t¹i δ > 0, sao cho |f (x) − f (x0 )| < , víi mäi x, x0 ∈ S: |x − x0 | < δ. VËy, nÕu lµm mÞn P ( chän |P | < δ), th× víi mäi S ∈ P1 , supf − inf f ) ≤ 2. Tõ S S X < 2v(A). ®ã, S∈P1

Suy ra, U (f, P ) − L(f, P ) < 2(M + v(A)). Do ®ã f kh¶ tÝch.

2 2.1

2

TÝch ph©n trªn tËp giíi néi TËp ®o ®-îc Jordan

§Þnh nghÜa 4. Cho D ⊂ Rn lµ tËp giíi néi. Hµm ®Æc tr-ng cu¶ D ®-îc ®Þnh nghÜa bëi ( 1 nÕu x ∈ D, χD (x) = 0 nÕu x ∈ / D.

47 TËp D gäi lµ ®o ®-îc (Jordan) nÕu vµ chØ nÕu χD (x) kh¶ tÝch trªn mét h×nh hép A chøa D vµ gi¸ trÞ Z χD (x)dx,

v(D) =

D

gäi lµ thÓ tÝch cña D. Khi n = 1, 2 ta th-êng gäi v(D) lµ ®é dµi, diÖn tÝch cña D. NhËn xÐt. 1) §Þnh nghÜa trªn kh«ng phô thuéc h×nh hép A chøa D. ThËt vËy, gi¶ sö A, B lµ hai h×nh hép chøa D. Khi ®ã Z Z Z χD = χD + χD A Z

χD =

B

A∩B Z

A\B Z

χD +

A∩B

χD

B\A

Z

Do (A \ B) ∩ D = (B \ A) ∩ D = ∅ ta cã

χD =

A\B

Z

χD = 0.

B\A

2) Ta cã v(D) = I(χ) = sup P

X S∈P

inf χD v(S)

S∈P



= sup P

X

v(S)



S∈P S⊂D

= cËntrªn ®óng cña tæng c¸c hép chøa  thÓ tÝch  trong D  X X = I(χ) = inf supχD v(S) = inf v(S) P

S∈P

P

S∈P

S∈P S∩D6=∅

= cËn d-íi ®óng cña tæng thÓ tÝch c¸c hép cã giao víi D MÖnh ®Ò 4. TËp giíi néi D lµ ®o ®-îc khi vµ chØ khi µ(∂D) = 0. Chøng minh. Gi¶ sö D ®o ®-îc, tøc lµ χD khµ tÝch trªn hép A chøa D. NÕu P lµ mét ph©n ho¹ch cña A, th× ta cã X X U (χD , P ) = supχD v(S) = v(S). S∈P

L(χD , P ) =

X S∈P

S

inf χD v(S) S

S∈P S∩D6=∅

=

X

S∈P S⊂D

v(S).

48 Tõ ®ã,

X

U (χD , P ) − L(χD , P ) =

v(S).

S∈P S∩D6=∅ S∩(Rn \D)6=∅

X

Gi¶ sö µ(∂D) 6= 0. Khi ®ã tån t¹i 0 > 0 , sao cho

v(S) ≥ 0 .

S∈P S∩D6=∅ S∩(Rn \D)6=∅

Tõ ®ã U (χD , P ) − L(χD , P ) > 0 vµ dÉn ®Õn m©u thuÉn. §iÒu ng-îc l¹i suy ra tõ §Þnh lý Lebesgue.

2.2

2

TÝch ph©n trªn tËp giíi néi

§Þnh nghÜa 5. Cho D ⊂ Rn lµ tËp giíi néi, ®o ®-îc, vµ f : A −→ R lµ hµm giíi néi trªn h×nh hép A chøa C. Khi ®ã, f gäi lµ kh¶ tÝch trªn trªn D nÕu vµ chØ nÕu hµm f · χD kh¶ tÝch trªn A vµ tÝch ph©n cña f trªn D ®-îc ®Þnh nghÜa bëi Z Z f = f · χD . D

A

MÖnh ®Ò 5. Cho D ⊂ Rn lµ tËp ®o ®-îc, vµ f, g lµ c¸c hµm kh¶ tÝch trªn D. Khi ®ã 1) Víi mäi α, β ∈ R, hµm αf + βg kh¶ tÝch trªn A vµ Z Z Z αf + βg = α f + β g. D

D

D

2) NÕu D1 , D2 ⊂ D lµ c¸c tËp ®o ®-îc, th× f kh¶ tÝch trªn D1 , D2 , D1 ∩ D2 vµ Z Z Z Z f= f+ f− f D1 ∪D2

3) NÕu f ≤ g, th×

Z D

f≤

Z

D1

D2

D1 ∩D2

g.

D

§Æc biÖt, hµm |f | kh¶ tÝch trªn D vµ

Z D

f ≤

Z

|f |.

D

4) NÕu f liªn tôc vµ D ®ãng, liªn th«ng, th× tån t¹i c ∈ D sao cho Z f = f (c)v(D). D

49 Chøng minh. C¸c tÝnh chÊt ®Çu suy ra tõ ®Þnh nghÜa. Ta chøng minh 4).Tõ f liªn tôc trªn compact D nªn tån t¹i a, b ∈ D, víi f (a) = inf f , f (b) = supf . Do 3) ta D

cã f (a)v(D) ≤

Tõ ®ã,

Z

1 v(D)

Z

D

f ≤ f (b)v(D).

D

f ∈ [f (a), f(b)]. Do f (D) liªn th«ng nªn [f (a), f(b)] ⊂ f (D).

D

2

Suy ra ®iÒu cÇn chøng minh.

3

C¸c c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n

3.1

C«ng thøc Fubini

§Þnh lý 2. Cho D ⊂ Rn × Rm ®o ®-îc vµ f : D −→ R kh¶ tÝch trªn D. Gäi P rx D = {x ∈ Rn | ∃y ∈ Rm , (x, y) ∈ D} lµ chiÕu cña D lªn Rn . Cx D = {y ∈ Rm | (x, y) ∈ D} lµ nh¸t c¾t cña D t¹i x. Z Gi¶ sö tån t¹i f (x, y)dy víi mäi x ∈ P rx D. Khi ®ã ta cã vµ

Cx D

Z D

Z

f (x, y)dxdy =

 Z

P rx D

 f (x, y)dy dx.

Cx D

Chøng minh. ChØ cÇn chøng minh cho D = A × B, víi A, B lµ c¸c h×nh hép trong Rn , Rm t-¬ng øng. Trong tr-êng hîp D ZbÊt kú, tån t¹i hai h×nh hép A, B sao cho D ⊂ A × B, vµ ¸p dông kÕt qña cho

f · χ(x, y)dxdy.

A×B 0

Gi¶ sö P , P lµ ph©n ho¹ch cña A, B t-¬ng øng. Khi ®ã P × P 0 ph©n ho¹ch A × B thµnh c¸c h×nh hép S × S 0 , víi S ∈ P , S 0 ∈ P 0 . Ta cã X U (f, P × P 0 ) = sup f (x, y)v(S × S 0 ) S×S 0 S×S ×P 0 X0 ∈PX
sup f (x, y)v(S 0) v(S) = S∈P

S 0 ∈P 0

S×S 0

50 V× sup f (x, y) ≥ supf (x, y), víi mäi x ∈ S nªn ta cã S×S 0

S0

X S 0 ∈P 0

sup f (x, y)v(S 0) ≥

X

supf (x, y)v(S 0) S0 S 0 ∈P 0 X supf (x, y)v(S 0) ≥ inf 0 P S0 S 0 ∈P 0 Z = f (x, y)dy = h(x)

S×S 0

B

sup

Suy ra,

Z

f (x, y)dy ≤

x∈S B 0

U (f, P × P ) ≥

Tõ ®ã

0

T-¬ng tù, U (f, P ×P ) ≤L( Z

Tõ ®ã, suy ra

Z

X

S∈P

sup

Z

X S 0 ∈P 0

B

f=

A×B

Z

Z

A

B

S×S 0

f (x, y)dyv(S) = U (

x∈S

f (x, y)dy, P ) ≤U (

B

sup f (x, y)v(S 0)

Z

Z

f (x, y)dy, P ).

B

f (x, y)dy, P ) ≤ U (f, P ×P 0 )

B


f (x, y)dy dx.

2

VÝ dô. 1) Cho g1 , g2 : [a, b] −→ R liªn tôc vµ g1 ≤ g2 . Khi ®ã tËp D = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)} ®o ®-îc (do µ(∂D) = 0) vµ Z

 Zb  gZ2 (x) f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx. a

D

g1 (x)

2) Cho Cho h1 , h2 : D −→ R liªn tôc, giíi néi trªn tËp ®o ®-îc D ⊂ R2 vµ h1 ≤ h2 . Khi ®ã tËp Ω = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D, h1(x, y) ≤ z ≤ h2 (x, y)} ®o ®-îc vµ Z Ω

 Z  h2Z(x,y) f (x, y, z)dxdyz = f (x, y, z)dz dxdy. D

h1 (x,y)

51

3) TÝnh I =

Z

xydxdy, trong ®ã D lµ miÒn giíi h¹n bëi c¸c ®-êng y = 2 − x2,

D

y = 2x − 1. Gi¶i.Ta cã P rx D = [−3, 1], CxD = [2x − 1, 2 − x2]. Theo c«ng thøc Fubini

I =

2−x Z 2

Z1 −3

=


xydy dx

2x−1

Z1

3
1 5 x − 4x3 + 2x2 + x dx 2 2

−3

1 1 6 2 3 3 2
4 = x −x + x + x 12 3 4 −3 = 32 Z 4) TÝnh I =

dxdydz , trong ®ã Ω lµ miÒn giíi h¹n bëi c¸c mÆt ph¼ng (1 + x + y + z)3

Ω

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1. Gi¶i. ¸p dông c«ng thøc Fubini víi P rxy Ω = D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x}, Cxy Ω = [0, 1 − x − y] ta cã I=

Z  1−x−y Z D

 dz dxdy (1 + x + y + z)3

0

c«ng thøc Fubini cho tÝch ph©n trªn D víi P rx D = [0, 1], Cx D = [0, 1 − x] cho

52

I =

Z1  Z1−x 1−x−y Z 0

1 =− 2

0

0

1−x Z1  Z 0

1 =− 2

  dz dy dx (1 + x + y + z)3

  1 1 − dy dx 4 (1 + xy)2

0

Z1 

 1 3 x − − dx 4 4 1+x

0


1 3x x2 = − − ln(1 + x) 4 8 0 =

3.2

5 1 ln 2 − 2 16

C«ng thøc ®æi biÕn

§Þnh lý 3. Gi¶ sö h : U → Rn , t 7→ h(t), thuéc líp C 1 trªn tËp më U ⊂ Rn vµ D o

lµ tËp ®o ®-îc cã bao ®ãng D ⊂ U sao cho h lµ song ¸nh vµ deth0 (t) 6= 0 trªn D. Khi ®ã, nÕu f : h(D) → R, x 7→ f (x), kh¶ tÝch trªn h(D), th× (f ◦ h)(t)|deth0(t)| kh¶ tÝch trªn D vµ Z Z f (x)dx = (f ◦ h)(t)|deth0 (t)|dt. h(D)

D

VÝ dô. C¸c phÐp ®æi biÕn th«ng dông • Täa ®é cùc: XÐt h : R2 −→ R2 , (r, ϕ) 7−→ (r cos ϕ, r sin ϕ). Khi ®ã cos ϕ −r sin ϕ 0 = r. |deth (r, ϕ)| = sin ϕ r cos ϕ NÕu D ⊂ [0, ∞) × [0, 2π] ®o ®-îc vµ f kh¶ tÝch trªn D, th× Z Z f (x, y)dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)drdϕ. h(D)

D

53 Ch¼ng h¹n, nÕu D = [0, R] × [0, 2π], th× h(D) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ R2 }, vµ Z2π ZR Z f (x, y)dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. x2 +y 2 ≤R2

0

0

• Täa ®é trô: XÐt h : R3 −→ R3, (r, ϕ, z) 7−→ (r cos ϕ, r sin ϕ, z). Khi ®ã cos ϕ −r sin ϕ 0 |deth0 (r, ϕ, z)| = sin ϕ r cos ϕ 0 = r. 0 0 1 NÕu D ⊂ [0, ∞) × [0, 2π] × R ®o ®-îc vµ f kh¶ tÝch trªn D, th× Z Z f (x, y, z)dxdydz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)drdϕdz. D

h(D)

Ch¼ng h¹n, nÕu D = [0, R] × [0, 2π] × [a, b],, th× h(D) lµ h×nh trô trßn h(D) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ R2 , a ≤ z ≤ b} vµ

Z

f (x, y)dxdy =

x2 +y 2 ≤R2 a≤z≤b

Z2π ZR ZR 0

0

f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz.

0

• Täa ®é cÇu: XÐt h : R3 −→ R3 , (r, ϕ, θ) 7−→ (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ, sin θ, r cos θ). Khi ®ã cos ϕ sin θ −r sin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ |deth0 (r, ϕ, θ)| = sin ϕ sin θ r cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ = r2 sin θ. cos θ 0 r sin θ NÕu D ⊂ [0, ∞) × [0, 2π] × [0, π] ®o ®-îc vµ f kh¶ tÝch trªn D, th× Z Z f (x, y, z)dxdydz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)drdϕdz. D

h(D)

Ch¼ng h¹n, nÕu D = [0, R] × [0, 2π] × [0, π],, th× h(D) lµ h×nh cÇu B(O, R) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 } vµ Z B(O,R)

f (x, y)dxdy =

Z2π ZR Zπ 0

0

0

f ((r cos ϕ sin θ, r sin ϕ, sin θ, r cos θ))r2 sin θdrdϕdθ.

55

III. TÝch ph©n ®-êng- TÝch ph©n mÆt 1 1.1

TÝch ph©n ®-êng §-êng cong

Ta kh¶o s¸t ®-êng cong trong R3 , gäi lµ ®-êng cong kh«ng gian. ViÖc kh¶o s¸t ®-êng cong trong R2 , gäi lµ ®-êng cong ph¼ng, còng t-¬ng tù b»ng c¸ch thay täa ®é thø ba b»ng kh«ng. 1.1.1

§-êng cong tham sè hãa

§Þnh nghÜa 1. §-êng cong tham sè hãa trong R3 lµ cÆp C = (ϕ, [a, b]), trong
®ã [a, b] lµ mét ®o¹n trong R3 vµ ϕ : [a, b] −→ R3, ϕ(t) = x(t), y(t), z(t) , lµ ¸nh x¹ liªn tôc. ϕ(a), ϕ(b) theo thø tù gäi lµ ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi cña C. NÕu ϕ(a) = ϕ(b), th× ta nãi C lµ kÝn. ¶nh ϕ([a, b]) = {ϕ(t) | t ∈ [a, b]} gäi lµ vÕt cña ®-êng cong tham sè hãa C. Nãi r»ng ®iÓm X n»m trªn ®-êng cong tham sè ho¸ C = (ϕ, [a, b]), nÕu tån t¹i t0 ∈ [a, b] sao cho X = ϕ(t0). Hai ®iÓm kh¸c nhau cña ®-êng cong tham sè ho¸ cã thÓ t-¬ng øng víi mét ®iÓm trong R3 , cô thÓ, nÕu ϕ(t1 ) = ϕ(t2 ), víi t1 6= t2, th× ®iÓm X1 = ϕ(t1) vµ X2 = ϕ(t2) lµ hai ®iÓm kh¸c nhau cña C nh-ng l¹i lµ nh÷ng ®iÓm trïng nhau trong R3 . Nh÷ng ®iÓm nh- thÕ gäi lµ ®iÓm béi hoÆc ®iÓm tù c¾t (ë ®©y ta kh«ng xem sù trïng nhau cña ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi lµ ®iÓm béi). Mét ®-êng cong kh«ng cã ®iÓm béi gäi lµ ®¬n. Mét ®-êng cong tham sè ho¸ kh«ng chØ ®-îc ®Æc tr-ng bëi vÕt cña nã mµ cßn ®-îc ®Æc tr-ng bëi sù chuyÓn ®éng cña ®iÓm ë trªn vÕt. Ch¼ng h¹n, ®-êng cong ϕ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] vµ ψ(t) = (cos t, − sin t), t ∈ [0, 2π] lµ hai ®-êng cong tham sè ho¸ kh¸c nhau nh-ng cã chung mét vÕt, chÝnh lµ ®-êng trßn {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}. Khi t¨ng tham sè, ®iÓm ϕ(t) ch¹y trªn ®-êng trßn theo chiÒu ng-îc kim ®ång hå, cßn ψ(t) th× ®i theo h-íng ng-îc l¹i. §-êng cong tham sè hãa C = (ϕ, [a, b]) gäi lµ thuéc líp C 1 nÕu tån t¹i ®¹o hµm ϕ0 (t) = (x0(t), y 0(t), z 0(t)) ( t¹i c¸c mót a, b ®-îc hiÓu lµ ®¹o hµm mét phÝa) liªn tôc trªn [a, b].

56 §-êng cong tham sè hãa C = (ϕ, [a, b]) gäi lµ thuéc líp C 1 tõng khóc nÕu tån t¹i mét ph©n ho¹ch a = t 0 < t1 < . . . < t n = b cña ®o¹n [a, b] sao cho Ci = (ϕi , [ti−1, ti ]), i = 1, 2, . . . n lµ c¸c ®-êng cong tham sè hãa thuéc líp C 1, trong ®ã ϕi lµ h¹n chÕ cña ϕ trªn ®o¹n [ti−1 , ti]. ( §¹o hµm tr¸i vµ ph¶i cña ϕ t¹i mçi ®iÓm ti tån t¹i nh-ng kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i b»ng nhau). Chó ý. Tõ ®©y trë vÒ sau, nÕu kh«ng gi¶i thÝch g× thªm, khi nãi ®-êng cong tham sè ho¸ ta hiÓu ®ã lµ ®-êng cong tham sè ho¸ tõng khóc thuéc líp C 1. VÝ dô. 1) Cho ϕ(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, 2π]. §©y lµ ®-êng cong tham sè x2 y 2 ho¸ cã vÕt lµ ellip (E) : 2 + 2 = 1. a b 2) Cho ϕ(t) = (R(t − sin t), R(1 − cos t), t ∈ [a, b]. §©y lµ ®-êng cong tham sè ho¸ cã vÕt lµ mét phÇn cña cycloid, qòi tÝch cña ®iÓm P cè ®Þnh trªn ®-êng trßn b¸n kÝnh R khi ®-êng trßn nµy l¨n trªn trôc Ox. 1.1.2

§-êng cong tham sè hãa t-¬ng ®-¬ng − §-êng cong

§Þnh nghÜa 2. Ta nãi r»ng ®-êng cong tham sè ho¸ (ϕ, [a, b]) t-¬ng ®-¬ng víi ®-êng cong tham sè ho¸ (ψ, [a, b]) nÕu tån t¹i phÐp ®æi tham sè h : [a, b] −→ [c, d] sao cho a) h lµ song ¸nh vµ ®¬n ®iÖu t¨ng, b) h vµ h−1 thuéc líp C 1 tõng khóc, c) ϕ(t) = ψ(t), víi mäi t ∈ [a, b]. VÝ dô. 1) Hai ®-êng cong tham sè hãa trong R2 √ ϕ(t) = (−t, 1 − t2), t ∈ [−1, 1] vµ ψ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, π] lµ t-¬ng ®-¬ng. PhÐp ®æi tham sè lµ h : [0, π] −→ [−1, 1], h(t) = − cos t. 2) Hai ®-êng cong tham sè hãa trong R2 ϕ(t) = (t, 0), t ∈ [0, 1] vµ

ψ(t) = (sin πt, 0), t ∈ [0, 1]

kh«ng t-¬ng ®-¬ng. ThËt vËy, gi¶ sö tån t¹i phÐp ®æi tham sè h : [0, 1] −→ [0, 1], sao cho ψ(t) = ϕ(h(t)). Suy ra h(t) = sin πt. Nh-ng khi ®ã h kh«ng song ¸nh. MÖnh ®Ò 1. Quan hÖ ®-îc ®Þnh nghÜa ë trªn lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng trªn tËp c¸c ®-êng cong tham sè hãa trong R3 .

57 Chøng minh. §Ó chØ ra tÝnh ph¶n x¹ chØ cÇn lÊy phÐp ®æi tham sè lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt. NÕu ϕ t-¬ng ®-¬ng víi ψ qua h, th× ψ t-¬ng ®-¬ng víi ϕ qua h−1 . Tõ ®ã cã tÝnh ®èi xøng. NÕu ϕ t-¬ng ®-¬ng víi ψ qua h vµ ψ t-¬ng ®-¬ng víi θ qua k, th× ϕ t-¬ng ®-¬ng víi θ qua k ◦ h. Suy ra tÝnh b¾c cÇu. 2 §Þnh nghÜa 3. Ta gäi ®-êng cong(thuéc líp C 1 tõng khóc) lµ mét líp t-¬ng ®-¬ng cña mét ®-êng cong tham sè ho¸ thuéc líp C 1 tõng khóc. NÕu ®-êng cong (C) lµ líp t-¬ng ®-¬ng cña ®-êng cong tham sè hãa (ϕ(t), [a, b]), th× ϕ(t) gäi lµ biÓu diÔn tham sè cña (C). NhËn xÐt. 1) §èi víi c¸c ®o¹n [a, b], [c, d] bÊt kú, lu«n t«n t¹i tån t¹i phÐp ®æi c−d tham sè tõ ®o¹n nµy ®Õn ®o¹n kia, ch¼ng h¹n t 7−→ (t − a) + d. V× vËy, b−a ta cã thÓ chän miÒn biÕn thiªn cña tham sè t theo ý muèn ®Ó m« t¶ ®-êng cong (C). 2) §«i khi còng cÇn sù gi¶i thÝch h×nh häc cña ®-êng cong (C), nÕu ®iÒu ®ã kh«ng g©y sù nhÇm lÉn, ta hiÓu ®-êng cong lµ tËp hîp nh÷ng ®iÓm trong R3 , cã thÓ t-ëng t-îng nh- vÕt cña mét ®-êng cong tham sè ho¸ nµo ®ã ®¹i diÖn cho (C). 3) §-êng cong (C) víi biÓu diÔn tham sè (ϕ, [a, b]), cßn gäi lµ ®-êng cong ®Þnh h-íng, tøc lµ nã kh«ng ®¬n thuÇn lµ tËp hîp c¸c ®iÓm ¶nh ϕ(t), mµ trªn tËp ®iÓm nµy cßn ®-îc s¾p thø tù. Ta hiÓu h-íng cña ®-êng cong (C) lµ h-íng chuyÓn ®éng cña ®iÓm ϕ(t) khi tham sè t t¨ng. 4) Cho (C) lµ ®-êng cong cã biÓu diÔn tham sè (ϕ, [a, b]). Ta ký hiÖu (C − ) lµ ®-êng cong cã biÓu diÔn tham sè (ψ, [a, b]), víi ψ(t) = ϕ(a+b−t). NÕu (ϕ1 , [c, d]) t-¬ng ®-¬ng víi (ϕ, [a, b]), th× dÔ kiÓm tra r»ng (ψ1 , [c, d]), víi ψ1 (t) = ϕ1 (c+d−t) lµ t-¬ng ®-¬ng víi (ψ, [a, b]). VËy, (C − ) chØ phô théc vµo (C) mµ kh«ng phô thuéc vµo biÓu diÔn tham sè cña (C). Khi ®ã ta nãi (C − ) thu ®-îc tõ (C) b»ng c¸ch lÊy 00 h-íng ng-îc l¹i00. 5) Cho (C1 ), (C2 ) lµ hai ®-êng cong cã biÓu diÔn tham sè lÇn l-ît lµ (ϕ1 , [a, b]) vµ (ϕ2 , [b, c]) sao cho ®iÓm cuèi cña (C1 ) lµ ®iÓm ®Çu cña (C2), tøc lµ ϕ1 (b) = ϕ2 (b). XÐt ¸nh x¹ ( ϕ1 (t) nÕu t ∈ [a, b], 3 ϕ : [a, c] −→ R , t 7−→ ϕ2 (t) nÕu t ∈ [b, c]. §©y lµ ¸nh x¹ thuéc líp C 1 tõng khóc, do ®ã x¸c ®Þnh mét ®-êng cong (C). Ta chó ý r»ng, (C) kh«ng phô thuéc vµo biÓu diÔn tham sè cña (C1 ), (C2 ) mµ chØ

58 phô thuéc vµo (C1 ), (C2). Ta nãi ®-êng cong (C) lµ (C2 ), vµ viÕt (C) = (C1) + (C2 ).

1.2

00

nèi liªn tiÐp00 cña (C1),

TÝch ph©n ®-êng lo¹i 1

§Þnh nghÜa 4. Cho ®-êng cong (C) trong R3 cã biÓu diÔn tham sè ϕ : [a, b] −→ R3 , ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)) vµ f : R3 −→ R lµ hµm x¸c ®Þnh trªn (C), tøc lµ f (ϕ(t)) x¸c ®Þnh trªn [a, b]. Khi ®ã ký hiÖu Z

f (x1 , x2, x3)dl =

Zb

=

Zb

f (ϕ(t))kϕ0(t)kdt

a

(C)

p f (x(t), y(t), z(t)) (x0 (t))2 + (y 0(t))2 + (z 0 (t))2dt

a

vµ gäi lµ tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1 cña hµm f trªn ®-êng cong (C) (nÕu tÝch ph©n x¸c ®Þnh ë vÕ ph¶i tån t¹i). Chó ý. §Ó ®Þnh nghÜa ë trªn lµ ®óng ®¾n, ta cÇn ph¶i kiÓm tra r»ng tÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän biÓu diÔn tham sè cña (C). ThËt vËy, nÕu (ψ, [c, d]) lµ mét biÓu tham sè kh¸c cña (C), th× tån t¹i phÐp ®æi tham sè h : [a, b] −→ [c, d], song ¸nh, ®¬n ®iÖu t¨ng (tøc lµ h0 (t) ≥ 0, víi mäi t ∈ [a, b] sao cho h0 (t) tån t¹i), ngoµi ra, h, h−1 thuéc líp C 1 tõng khóc sao cho ϕ(t) = ψ(h(t)). Khi ®ã theo c«ng thøc ®æi biÕn cho tÝch ph©n hµm mét biÕn ta cã Zb

f (ϕ(t))kϕ0(t)kdt =

Zb

=

Zb

=

Zd

a

f (ψ(h(t)))kψ 0(h(t))h0(t)kdt

a

f (ψ(h(t)))kψ 0(h(t))kh0(t)dt

a

f (ψ(u))kψ 0(u)kdu

(®æi biÕn u = h(t))

c

Z p VÝ dô. TÝnh tÝch ph©n I = x2 + y 2dl, trong ®ã (C) lµ nöa trªn cña ®-êng (C) 2

2

trßn x + y = 2ax, a > 0, h-íng tõ ®iÓm (0, 0) ®Õn ®iÓm (2a, 0).

59 Gi¶i: Chän biÓu diÔn tham sè cña C ϕ(t) = (a − a cos t, a sin t), t ∈ [0, π]. Khi ®ã Zπ p Zπ p t I= 2a2 (1 − cos t) a2(− sin t)2 + a2 cos2 t = 2a2 sin dt = 4a2 . 2 0

0

ý nghÜa cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1

1.3 1.3.1

§é dµi ®-êng cong

Cho (C) lµ ®-êng cong cã biÓu diÔn tham sè lµ (ϕ, [a, b]). Ta muèn tÝnh ®é dµi cña ®-êng cong (C). §Ó lµm ®iÒu nµy, ta xÐt ph©n ho¹ch cña [a, b] P :

t0 < t1 < · · · < tk = b,

víi ®é mÞn |P | = max{∆ti = ti+1 − ti , i = 0, . . . , k − 1}. §-êng gÊp khóc nèi c¸c ®o¹n th¼ng [ϕ(t0), ϕ(t1)], [ϕ(t1), ϕ(t2)], . . . , [ϕ(tk−1 ), ϕ(tk )] cã ®é dµi l(P ) =

k−1 X

kϕ(ti+1 ) − ϕ(ti )k.

i=0

NÕu lim l(P ) = l, tøc lµ, ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀P : |P | < δ =⇒ |l(P ) − l| < , th× l |P |→0

®-îc gäi lµ ®é dµi cña ®-êng cong (C), ký hiÖu l(C) = l. MÖnh ®Ò 2. Cho (C) lµ ®-êng cong thuéc líp C 1 tõng khóc. Khi ®ã Z dl. l(C) = (C)

Chøng minh. §Ó ®¬n gi¶n cho viÖc tr×nh bµy ta xÐt ®-êng cong ph¼ng C víi biÓu diÔn tham sè thuéc líp C 1 tõng khóc ϕ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. XÐt ph©n ho¹ch cña [a, b] P : t0 < t1 < · · · < tk = b.

60 Tõ ®Þnh lý Lagrange cho c¸c hµm x(t), y(t), tån t¹i θi, τi ∈ [ti , ti + 1] sao cho x(ti+1) − x(ti) = x0(θi )∆ti y(ti+1) − y(ti) = y 0(τi )∆ti Khi ®ã

k−1 X p l(P ) = (x0(θi ))2 + (y 0(τi ))2 ∆ti. i=0

§Æt σ(P ) =

k−1 X

p (x0(ti ))2 + (y 0(ti ))2∆ti . Tõ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c suy ra

i=0

|l(P ) − σ(P )| ≤

k−1 X p (x0(θi ) − x0(ti ))2 + (y 0(τi ) − y 0(ti )2∆ti . i=0

Víi mäi  > 0, lu«n chän ®-îc δ > 0 sao cho víi mäi ph©n ho¹ch P cña [a, b], cã ®é mÞn |P | < δ vµ víi mäi t, t0 ∈ [a, b] tháa |t − t0| < δ ta cã Zb 0 a) kϕ (t)kdt − σ(P ) < , a

b) |x0 (θi) − x0 (ti)| <  vµ |y 0(τi ) − y 0(ti )| < . ThËt vËy, ®iÒu kiÖn a) thùc hiÖn ®-îc do hµm kϕ0(t)k liªn tôc vµ tõ ®ã kh¶ tÝch trªn [a, b]. §iÒu kiÖn b) thùc hiÖn ®-îc do tÝnh liªn tôc ®Òu cña x0(t), y 0(t) trªn [a, b]. Cuèi cïng, kÕt qu¶ suy ra tõ bÊt ®¼ng thøc Zb Zb 0 0 kϕ (t)kdt − l(P ) ≤ kϕ (t)kdt − σ(P ) + l(P ) − σ(P ) . a

a

2 VÝ dô. §é dµi cung cycloid cã biÓu diÔn tham sè ϕ(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t ∈ [0, 2π] lµ

l=

Z2π 0

Z2π q Z2π 2 kϕ (t)kdt = 4 sin (t/2)dt = 2 | sin(t/2)dt = 8. 0

0

0

61 1.3.2

Khèi l-îng ®-êng cong

Cho (C) lµ ®-êng cong cã biÓu diÔn tham sè lµ (ϕ, [a, b]), mµ däc theo nã cã ph©n bè mét khèi l-îng víi khèi l-îng riªng t¹i ®iÓm M(x, y) lµ f (x, y). Ta cÇn x¸c ®Þnh khèi l-îng m(C) cña toµn bé ®-êng cong (C). §Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy , ta xÐt ph©n ho¹ch cña [a, b] P :

t0 < t1 < · · · < tk = b.

§Æt (Ci ), i = 0, . . . , k − 1, lµ cung cña ®-êng cong nèi Xi = ϕ(ti ) vµ Xi+1 = ϕ(ti+1 ). NÕu f kh«ng ®æi trªn (Ci ) vµ l(Ci ) ®-îc xÊp bëi ®é dµi ®o¹n th¼ng nèi Xi , Xi+1 , th× khèi l-îng gÇn ®óng cña cung (Ci ) lµ mi (P ) = f (ϕ(ξi ))kϕ(ti+1 ) − ϕ(ti)k, ξi ∈ [ti, ti+1 ]. Tõ ®ã gi¸ trÞ gÇn ®óng cña khèi l-îng ®-êng cong (C) lµ m(P ) =

k−1 X

f (ϕ(ξi ))kϕ(ti+1 ) − ϕ(ti)k, ξi ∈ [ti, ti+1 ].

i=0

Lý luËn t-¬ng tù nh- trong tr-êng hîp ®é dµi ®-êng cong, nÕu (C) lµ ®-êng cong thuéc líp C 1, th× ta cã Z m(C) = lim m(P ) = f (x, y)dl. |P |→0 (C)

1.4

C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1

Tõ ®Þnh nghÜa dÔ dµng suy ra c¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1. MÖnh ®Ò 3. Gi¶ sö hai hµm f , g cã tÝch ph©n trªn ®-êng cong (C) vµ α ∈ R. KhiZ®ã Z Z fdl + gdl. 1) (f + g)dl = (C)

2)

Z

Z (C) αfdl = α fdl.

(C)

3)

Z

(C)

f dl =

Z

(C)

(C − )

fdl.

(C)

62 4) NÕu tån t¹i tÝch ph©n cña f trªn (C1 ) vµ (C2 ), th× Z Z Z fdl = fdl + fdl. (C1 )+(C2 )

1.5

(C1 )

(C2 )

TÝch ph©n ®-êng lo¹i 2

Ta hiÓu mét tr-êng vector trªn U ⊂ R3 lµ ¸nh x¹ F = (P, Q, R) : U −→ R3 , tøc lµ víi mçi M(x, y, z) ∈ U cho t-¬ng øng víi mét vector F (x, y, z) ∈ R3 , mµ cã thÓ xem nã cã gèc t¹i M vµ c¸c thµnh phÇn lµ (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). §Þnh nghÜa 5. Cho F = (P, Q, R) lµ mét tr-êng vector trªn U ⊂ R3 vµ (C) lµ ®-êng cong trªn U cã biÓu diÔn tham sè ϕ : [a, b] −→ R3, ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Khi ®ã, tÝch ph©n (nÕu tån t¹i) Zb

(P (ϕ(t))x0(t) + Q(ϕ(t))y 0(t) + R(ϕ(t))z 0(t))dt

a

gäi lµ tÝch ph©n ®-êng lo¹i 2 cña tr-êng vector F däc theo (C), vµ ký hiÖu lµ Z P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. (C)

Chó ý. T-¬ng tù nh- tÝch ph©n ®-êng lo¹i 1, ®Þnh nghÜa trªn lµ ®óng ®¾n, tøc lµ kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän biÓu diÔn tham sè cña (C). Z VÝ dô. TÝnh I = y 2dx − x2 dy, trong ®ã (C)

a) (C) lµ ®-êng trßn (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1, lÊy h-íng ng-îc víi chiÒu quay kim ®ång hå. b) (C) lµ ®-êng trßn (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1, lÊy h-íng cïng víi chiÒu quay kim ®ång hå. b) (C) lµ cung parabol y = x2 , lÊy h-íng tõ ®iÓm (−1, 1) ®Õn ®iÓm (2, 4). Gi¶i: a) Chän biÓu diÔn tham sè cña C ϕ(t) = (1 + cos t, 1 + sin t), t ∈ [0, 2π].

63 Khi ®ã I =

Z2π

=

Z2π


(1 + sin t)2 (− sin t) − (1 + cos t)2 cos t dt

0


− 2 − (cos t + sin t) − (cos3 t + sin3 t) dt = −4π.

0

b) Chän biÓu diÔn tham sè cña C ϕ(t) = (1 + sin t, 1 + cos t), t ∈ [0, 2π]. Khi ®ã I =

Z2π

=

Z2π


(1 + cos t)2 (cos t) − (1 + sin t)2 (− sin t) dt

0


2 + (cos t + sin t) + (cos3 t + sin3 t) dt = 4π.

0

b) Chän biÓu diÔn tham sè cña C ϕ(t) = (t, t2), t ∈ [−1, 2]. Khi ®ã I=

Z2


9 (t4 − t2(2t) dt = − . 10

−1

1.6

C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 2

§Æt ω η ω+η aω

= P1 (x, y, z)dx + Q1(x, y, z)dy + R1 (x, y, z)dz = P2 (x, y, z)dx + Q2(x, y, z)dy + R2 (x, y, z)dz = (P1 + P2 )dx + (Q1 + Q2)dy + (R1 + R2 )dz = aP1 (x, y, z)dx + aQ1(x, y, z)dy + aR1 (x, y, z)dz, a ∈ R.

64 MÖnh ®Ò 4. 1)

Z

(C) Z

3)

ω+η = ω=−

Z

Z(C)

ω+

Z

(C)

ω

2)

(C)

4)

(C − )

(C)

η

Z

aω = a Z

Z

ω

(C)

ω=

(C1 )+(C2 )

Z

(C1 )

ω+

Z

ω.

(C2 )

Chøng minh. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa.

1.7

2

ý nghÜa cña cña tÝch ph©n ®-êng lo¹i 2- C«ng cña lùc

Mét chÊt ®iÓm di chuyÒn trªn mét ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm A(a1, a2), B(b1, b2 ) → − trong mÆt ph¼ng d-íi t¸c dông cña mét lùc kh«ng ®æi F = (u, v). Theo ®Þnh nghÜa, c«ng cña lùc F~ lµ → −→ − → −→ − W = | F ||AB| cos θ = h F , ABi = u(b1 − a1) + v(b2 − a2), → − trong ®ã, θ lµ gãc gi÷a vector lùc F vµ h-íng chuyÓn ®éng. B©y gië chÊt ®iÓm di chuyÓn trªn mét ®-êng cong ph¼ng (C) d-íi t¸c ®éng cña → − lùc F = (u(x, y), v(x, y)) biÕn thiªn liªn tôc däc theo (C). Ta cÇn tÝnh c«ng WF (C) sinh ra bëi lùc Êy. Gi¶ sö ®-êng cong (C) cã biÓu diÔn tham sè lµ ϕ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. XÐt ph©n ho¹ch cña [a, b] P :

t0 < t1 < · · · < tk = b.

§Æt (L) lµ ®-êng gÊp khóc nèi c¸c ®o¹n th¼ng (Li ) = [ϕ(ti), ϕ(ti+1 ), i = 0, . . . k − 1. NÕu ph©n ho¹ch P kh¸ mÞn, th× cã thÓ xem cung cña ®-êng cong nèi hai ®iÓm → − ϕ(ti ), ϕ(ti+1) lµ ®o¹n th¼ng (Li ) vµ lùc F kh«ng ®æi trªn (Li ). Tõ ®ã, c«ng sinh → − ra bëi F lµm chÊt ®iÓm di chuyÓn tõ ϕ(ti) ®Õn ϕ(ti+1 ) trªn ®-êng cong xÊp xØ b»ng Wi (P ) = u(ϕ(ξi ))(x(ti+1) − x(ti)) + v(ϕ(ξi ))(y(ti+1) − y(ti)), → − trong ®ã, ξ∈ [ti, ti+1 ]. VËy, c«ng toµn phÇn cña lùc F xÊp xØ b»ng W (P ) =

k−1 X i=0

u(ϕ(ξi ))(x(ti+1 ) − x(ti)) + v(ϕ(ξi ))(y(ti+1) − y(ti)).

65 T-¬ng tù nh- tÝnh ®é dµi ®-êng cong, nÕu (C) lµ ®-êng cong thuéc líp C 1, th× → − c«ng sinh ra bëi lùc F lµ Z WF (C) = lim W (P ) = u(x, y)dx + v(x, y)dy. |P |→0

(C)

2 2.1

TÝch ph©n mÆt MÆt

Ta gäi ¸nh x¹ liªn tôc Φ : D ⊂ R2 −→ R3 , Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), lµ mÆt tham sè ho¸ trong R3 , vµ viÕt S = (Φ.D). ¶nh cña D qua Φ gäi lµ vÕt cña mÆt. Ta chØ quan t©m ®Õn nh÷ng mÆt mµ t¹i mçi ®iÓm cña nã cã mÆt tiÕp xóc vµ vector ph¸p tuyÕn t¹i mçi ®iÓm cña mÆt biÕn thiªn liªn tôc. §ã lµ nh÷ng mÆt tr¬n ®Þnh h-íng ®-îc ®Þnh nghÜa d-íi ®©y. 2.1.1

MÆt tr¬n tham sè ho¸

§Þnh nghÜa 6. MÆt tr¬n tham sè hãa lµ cÆp S = (Φ, D) , trong ®ã D ⊂ R2 vµ Φ lµ ¸nh x¹ tõ D −→ R3 , Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) tháa (1) D lµ tËp ®ãng, giíi néi, liªn th«ng. o

(2) Φ(u, v) 6= Φ(u1, v1), nÕu (u, v) ∈ D, (u1, v1) ∈ D vµ (u, v) 6= (u1, v1). (3) Φ kh¶ vi liªn tôc vµ vector ph¸p tuyÕn − → ∂Φ ∂Φ (u, v) × (u, v) N Φ (u, v) = ∂u ∂v o

kh¸c kh«ng trªn D.

− → N Φ (u, v) víi mçi (u0, v0) ∈ ∂D. (4) Tån t¹i lim → − (u,v)→(u0 ,v0 ) k N (u, v)k Φ (5) NÕu (u0, v0) vµ (u1, v1) ∈ ∂D sao cho Φ(u0 , v0) = Φ(u1, v1), th× − → → − N Φ (u, v) N Φ (u, v) = lim . lim → − → − (u,v)→(u0 ,v0 ) k N (u, v)k (u,v)→(u1 ,v1 ) k N (u, v)k Φ Φ VÝ dô. 1) MÆt tr¬n tham sè hãa S = (Φ, D), trong ®ã D = [0, 2π] × [−1, 1] vµ

Φ(θ, z) = (a cos θ, a sin θ, z).

66 VÕt cña nã lµ phÇn cña mÆt trô trßn xoay x2 + y 2 = a2 giíi h¹n bëi hai mÆt ph¼ng z = 1, z = −1. 2) MÆt tr¬n tham sè hãa S = (Φ, D), trong ®ã D = [0, 2π] × [0, pi] Φ(ϕ, θ) = (R cos ϕ sin θ, R sin ϕ sin θ, R cos θ). VÕt cña nã lµ mÆt cÇu t©m O(0, 0, 0) b¸n kÝnh R. o

NhËn xÐt. 1) §iÒu kiÖn (2) suy ra r»ng Φ ®¬n ¸nh trªn D vµ hai ®iÓm, mét trªn o

D, mét trªn ∂D cã ¶nh kh¸c nhau qua Φ, tuy nhiªn, hai ®iÓm ph©n biÖt trªn ∂D cã thÓ cã ¶nh trïng nhau. 2) §iÒu kiÖn (3), (4), (5) cho phÐp ta x¸c ®Þnh mét tr-êng vector ph¸p ®¬n vÞ → − n (X) liªn tôc trªn S nh- sau (X = Φ(u, v) ∈ S)  − →  o N Φ (u, v)   nÕu (u, v) ∈ D  →  − k N Φ (u, v)k − n→ → 0 0 − Φ (X) =  N Φ (u , v )   nÕu (u, v) ∈ ∂D.  → 0 0 − (u0 ,vlim 0 )→(u,v) k N Φ (u , v )k ∂y ∂z D(y, z) ∂u (u, v) ∂u (u, v) = 3) NÕu ký hiÖu th× D(u, v) ∂y (u, v) ∂z (u, v), ∂v ∂v   → − D(y, z) D(z, x) D(x, y) , , N Φ (u, v) = . D(u, v) D(u, v) D(u, v) o → − Tõ ®ã. yªu cÇu N Φ (u, v) kh¸c kh«ng trªn D cã nghÜa r»ng cã Ýt nhÊt mét trong o → − c¸c täa ®é cña N Φ (u, v) kh¸c 0 t¹i (u0, v0) ∈ D. Khi ®ã theo ®Þnh lý hµm Èn, tõ hÖ x = x(u, v), y = y(u, v) cã thÓ gi¶i ®-îc u, vnh- lµ c¸c hµm kh¶ vi theo (x, y) trong mét l©n cËn cña ®iÓm (x0, y0 ) = (x(u0 , v0), y(u0, v0 )

u = u(x, y), v = v(x.y).

(∗)

Thay (∗) vµo ph-¬ng tr×nh z = z(u, v) ta ®-îc z = z(u(x, y), v(x, y), tøc lµ mÆt S cã thÓ biÓu diÔn trong l©n cËn ®iÓm (x0, y0 , z0) d-íi d¹ng z = f (x, y) = z(u(x, y), v(x, y).

67 4) Còng nh- ®-êng cong, mÆt tham sè ho¸ kh«ng chØ ®Æc tr-ng bëi vÕt cña nã mµ cßn ®-îc ®Æc tr-ng bëi sù biÕn thiªn liªn tôc cña vector ph¸p tuyÕn t¹i c¸c ®iÓm trªn vÕt. VÝ dô, S1 : Φ1 : [0, 2π] × [−1, 1] −→ R3 , Φ(θ, z) = (a cos θ, a sin θ, z) S2 : Φ1 : [0, 2π] × [−1, 1] −→ R3 , Φ(θ, z) = (a cos θ, −a sin θ, z), lµ hai mÆt tham sè ho¸ kh¸c nhau nh-ng cã chung mét vÕt lµ phÇn cña mÆt trô trßn xoay x2 + y 2 = a2 giíi h¹n bëi hai mÆt ph¼ng z = 1, z = −1. Tr-êng vector → → n2 (X) trªn S2 ph¸p − n1 (X) trªn S1 h-íng ra ngoµi, trong khi tr-êng vector ph¸p − h-íng vµo trong. → n2 (X) liªn tôc x¸c ®Þnh h-íng cña mÆt. ViÖc Ta còng nãi r»ng, tr-êng vector ph¸p − kh«ng thÓ x¸c ®Þnh mét tr-êng vector ph¸p liªn tôc ph¶n ¸nh tÝnh chÊt kh«ng ®Þnh h-íng ®-îc cña mÆt. Mét vÝ dô ®iÓn h×nh vÒ nh÷ng mÆt nh- vËy lµ l¸ M¨obius. Ta cã m« h×nh cña l¸ ®ã b»ng c¸ch d¸n c¸c ®Çu mÐp cña mét b¨ng giÊy sau khi ®· xo¾n l¹i nöa vßng. Cô thÓ, l¸ M¨obius lµ mÆt tham sè hãa Φ

[0, 2π] × [−1, 1] −→ R3
(θ, v) 7−→ (1 + v sin(θ, 2) cos θ, (1 + v sin(θ/2) sin θ, v cos(θ/2) . Ta thÊy r»ng Φ(0, 0) = Φ(2π, 0), nh-ng − → → − N Φ (θ, v) N Φ (θ, v) =− lim = (1, 0, 0). lim → − → − (θ,v)→(0,0) k N (θ, v)k (θ,v)→(2π,0) k N (θ, v)k Φ Φ Tøc lµ ®iÒu kiÖn (5) trong ®Þnh nghÜa mÆt tr¬n tham sè hãa kh«ng tháa. 2.1.2

MÆt tham sè hãa t-¬ng ®-¬ng − MÆt

§Þnh nghÜa 7. Ta nãi r»ng mÆt tr¬n tham sè ho¸ (Φ1 , D1 ) t-¬ng ®-¬ng víi mÆt tr¬n tham sè ho¸ (Φ2 , D2 ), nÕu tån t¹i phÐp ®æi tham sè h : D1 −→ D2 sao cho a) h lµ song ¸nh vµ det h0 (u, v) > 0 víi mäi (u, v) ∈ D1 , b) h vµ h−1 thuéc líp C 1, c) Φ1 (u, v) = Φ2 (h(u, v)), víi mäi (u, v) ∈ D1 . DÔ kiÓm tra r»ng , quan hÖ 00 t-¬ng ®-¬ng víi00 ®Þnh nghÜa ë trªn lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng trªn tËp c¸c mÆt tr¬n tham sè hãa trªn R3 . Ta gäi mét líp t-¬ng ®-¬ng (S)cña mét mÆt tr¬n tham sè ho¸ lµ mét mÆt(tr¬n). NÕu (S) lµ líp t-¬ng ®-¬ng cña mét mÆt tr¬n tham sè ho¸ (Φ, D), th× ta nãi, Φ lµ biÓu diÔn tham sè

68 cña mÆt (S). VÒ mÆt h×nh häc, nÕu kh«ng g©y ra nhÇm lÉn, ta hiÓu mÆt lµ tËp hîp nh÷ng ®iÓm trong R3 , cã thÓ t-ëng t-îng nh- vÕt cña mét mÆt tham sè ho¸ nµo ®ã ®¹i diÖn cho (S). MÆt tr¬n (S) víi biÓu diÔn tham sè (Φ, D), cßn gäi lµ mÆt ®Þnh h-íng, tøc lµ nã kh«ng ®¬n thuÇn lµ tËp hîp c¸c ®iÓm ¶nh Φ(u, v), mµ trªn tËp ®iÓm nµy cßn liªn quan ®Õn mét tr-êng vector ph¸p liªn tôc. Ta hiÓu h-íng cña mÆt (S) lµ h-íng cña tr-êng vector ph¸p liªn tôc trªn nã . Cho (S) lµ mÆt cã biÓu diÔn tham sè (Φ, D). Ta ký hiÖu (S − ) lµ mÆt cã biÓu diÔn tham sè (Ψ, D), víi Ψ(u, v) = Φ(a+b−u, v), trong ®ã [a, b] lµ ¶nh cña D qua phÐp chiÕu täa ®é thø nhÊt pr1 : D −→ R, pr1 (u, v) = u. NÕu (Φ1 , D1 ) t-¬ng ®-¬ng víi (Φ, D), th× cã thÓ kiÓm tra r»ng (Ψ1 , D1 ), víi Ψ1 (u, v) = Φ1 (c + d − u, v) lµ t-¬ng ®-¬ng víi (Ψ, D), trong ®ã [c, d] lµ ¶nh cña D1 qua phÐp chiÕu täa ®é thø nhÊt pr1 : D −→ R, pr1 (u, v) = u. VËy, (S − ) chØ phô thuéc vµo (S) mµ kh«ng phô thuéc vµo biÓu diÔn tham sè cña (S). Khi ®ã ta nãi (S − ) thu ®-îc tõ (S) b»ng c¸ch lÊy 00 h-íng ng-îc l¹i00. 2.1.3

Biªn cña mÆt - H-íng c¶m sinh

Biªn cña mét mÆt tr¬n (S), ký hiÖu ∂S.lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm X0 trªn (S) sao cho mçi tËp cã d¹ng {X ∈ R3 | kX − X0 k <  vµ X ∈ / (S)} lµ liªn th«ng. Chó ý r»ng kh¸i niÖm 00biªn cña mÆt 00 lµ kh¸c víi kh¸i niÖm 00 biªn cña tËp hîp00 mµ ta ®· ®Ò cËp ®Õn trong ch-¬ng I. VÝ dô, biªn cña nöa mÆt cÇu {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0} lµ ®-êng trßn {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 0, z = 0}; biªn cña mÆt trô trßn {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, |z| ≤ 1} lµ hai ®-êng trßn {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, z = 1} vµ {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, z = −1}. Trong khi ®ã, nÕu theo nghÜa biªn cña tËp hîp, th× biªn cña c¸c tËp nµy l¹i chÝnh lµ nã.

69 Ta cã thÓ kiÓm tra r»ng, nÕu (φ, D) lµ mét biÓu diÔn tham sè cña mÆt (S), th× mçi ®iÓm X0 trªn ∂S ph¶i cã d¹ng X0 = Φ(u0 , v0), víi (u0 , v0) ∈ ∂D. Tuy nhiªn mçi ®iÓm trªn ∂D kh«ng cÇn ph¶i cã ¶nh trªn ∂S. VÝ dô, ®èi víi mÆt trô trßn víi biÓu diÔn tham sè Φ(θ, z) = (a cos θ, a sin θ, z), (θ, z) ∈ D = [0, 2π] × [−1, 1], c¸c ®iÓm (0, z) vµ (2π, z) víi |z| < 1 lµ ë trªn ∂D nh-ng Φ(0, z) vµ Φ(2π, z) kh«ng lµ c¸c ®iÓm biªn cña mÆt trô (S). ThËm chÝ cßn x¶y ra t×nh huèng kh«ng cã ®iÓm nµo trªn ∂D mµ ¶nh cña nã lµ ®iÓm biªn cña (S). Trong tr-êng hîp nµy ta nãi r»ng mÆt (S) kh«ng cã biªn, hay mÆt (S) lµ mÆt kÝn. Ta chØ kh¶o s¸t nh÷ng mÆt kÝn hoÆc nh÷ng mÆt víi biªn gåm h÷u h¹n c¸c ®-êng → cong kÝn thuéc líp C 1 tõng khóc. Gi¶ sö − n (X) x¸c ®Þnh h-íng cña mÆt tr¬n (S) vµ (C) lµ mét ®-êng cong trªn biªn cña (S). Ta nãi r»ng (C) ®-îc ®Þnh h-íng c¶m sinh bëi h-íng cña (S) nÕu mét ng-êi di chuyÓn theo h-íng cña (C) sao → cho − n (X) h-íng tõ ch©n ®Õn ®Çu, th× (S) lu«n ë bªn tr¸i. Ta nãi biªn cña S ®-îc ®Þnh h-íng c¶m sinh bëi h-íng cña (S) nÕu mäi ®-êng cong trong nã ®-îc ®Þnh h-íng c¶m sinh bëi h-íng cña (S). Gi¶ sö (S1), (S2 ), . . . , (Sk ) lµ c¸c mÆt tr¬n tháa c¸c ®iÒu kiÖn a) Hai biªn ∂Si vµ ∂Sj , i 6= j, lu«n cã phÇn chung lµ mét ®-êng cong C 1. b) Kh«ng cã hai mÆt nµo cã ®iÓm chung mµ kh«ng ph¶i lµ ®iÓm biªn cña chóng. → → → n2 (X), . . . , − nk (X) lµ c¸c h-íng cña (S1), (S2 ), . . . , (Sk ). Khi c) Gi¶ sö − n1 (X), − ®ã, nÕu (C) lµ ®o¹n biªn chung cña ∂Si vµ ∂Sj , i 6= j, th× h-íng c¶m sinh cña → → (C) bëi − ni (X) lµ ng-îc víi h-íng c¶m sinh cña (C) bëi − nj (X). Khi ®ã ta nãi r»ng c¸c mÆt (S1 ), (S2), . . . , (Sk ) x¸c ®Þnh mét mÆt tr¬n tõng m¶nh (S) vµ viÕt (S) = (S1 ) + (S2 ) + . . . + (Sk ). VÝ dô. MÆt (S) x¸c ®Þnh bëi c¸c mÆt cña h×nh lËp ph-¬ng [0, 1]3 lµ mÆt tr¬n tõng m¶nh.

2.2

TÝch ph©n mÆt lo¹i 1

§Þnh nghÜa 8. Cho (S) lµ mÆt tr¬n cã biÓu diÔn tham sè Φ : D −→ R3 , Φ(u, v) = (x(uv), y(u, v), z(u, v)),

70 vµ f (x, y, z) lµ hµm x¸c ®Þnh trªn (S). Khi ®ã tÝch ph©n (nÕu tån t¹i)

Z Z

∂Φ(u, v) ∂Φ(u, v) → −

dudv,

× f (Φ(u, v))k N Φ (u, v)kdudv = f (Φ(u, v)) ∂u ∂v D

D

Z

gäi lµ tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 cña hµm f trªn (S) vµ ký hiÖu lµ

f (x, y, z)dS.

(S)

NÕu (S) = (S1) + (S2 ) + . . . + (Sk ) lµ mÆt tr¬n tõng m¶nh, th× ta ®Þnh nghÜa Z

f (x, y, z)dS =

k Z X i=1

(S)

f (x, y, z)dS.

(Si )

NhËn xÐt. 1) §Ó ®Þnh nghÜa ë trªn lµ ®óng ®¾n, ta cÇn ph¶i kiÓm tra r»ng tÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän biÓu diÔn tham sè cña (S). ThËt vËy, nÕu (Φ1 , D1 ) lµ mét biÓu tham sè kh¸c cña (S), th× tån t¹i phÐp ®æi tham sè h : D −→ D1 , song ¸nh, det h0 (u, v)) > 0, víi mäi (u, v) ∈ D, ngoµi ra, h, h−1 thuéc líp C 1, sao cho Φ(t) = Φ1(h(u, v)). Khi ®ã theo c«ng thøc ®æi biÕn cho tÝch ph©n béi ta cã Z Z → − → − f (Φ(u, v))k N Φ (u, v)kdudv = f (Φ1 (h(u, v)))k N Φ1 h(u, v)k| det h0 |dudv D

=

D Z

→ − f (Φ1 (x, y))k N Φ1 (x, y)kdxdy.

D1

2) NÕu ®Æt E =

kΦ0u k2

=



∂x ∂u

2

+



∂y ∂u

2

+

th×

∂z ∂u

2

,

∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z · + · + · , ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v  2  2  2 ∂x ∂y ∂z = + + , ∂v ∂v ∂v

F = hΦ0u , Φ0v i = E = kΦ0v k2



√ → − k N Φ (u, v)k = EG − F 2.

71 Tõ ®ã, cã thÓ viÕt Z

f (x, y, z)dS =

Z

√ f (Φ(u, v)) EG − F 2dudv.

D

(S)

Z

3) DÔ dµng kiÓm tra r»ng VÝ dô. TÝnh tÝch ph©n I =

Z

f (x, y, z)dS =

Z

f (x, y, z)dS.

(S − )

(S)

(x2 + y 2)dS, trong ®ã (S) = (S1) + (S2 ) víi

(S)

(S1 ) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = a2, z ≥ 0}, (S1 ) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = a2, z = 0}. Z Z 2 2 Gi¶i: Ta cã I = (x + y )dS + (x2 + y 2)dS. (S1 )

(S2 )

• (S1) cã biÓu diÔn tham sè Φ(ϕ, θ) = (a cos ϕ sin θ, a sin ϕ sin θ, a cos θ), (ϕ, θ) ∈ D1 = [0, 2π] × [0, π/2]. → − Ta cã k N Φ (ϕ, θ)k = a2 sin θ. Tõ ®ã Z Z 2 2 (x + y )dS = (a2 sin2 θ)(a2 sin θdϕdθ D1

(S1 )

 Z2π  Zπ/2 4πa4 3 =a . sin θdθ dϕ = 3 4

0

0

• (S2) cã biÓu diÔn tham sè Ψ(r, ϕ = (r cos ϕ, sin ϕ, 0), (r, ϕ) ∈ D2 = [0, a] × [0, 2π]. → − k N Ψ (r, ϕ)k = r. Tõ ®ã Z Z 2 2 (x + y )dS = r2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ)rdrdϕ

Ta cã

(S)2

=

VËy,

Z (S)2

D2 Z2π  Za 0

(x2 + y 2 )dS =

11πa4 . 6

0

3



r dr dϕ =

πa4 . 2

72

2.3 2.3.1

ý nghÜa cña tÝch ph©n mÆt lo¹i 1 DiÖn tÝch cña mÆt

Gi¶ sö (S) lµ mÆt tr¬n cã biÓu diÔn tham sè (Φ, D), ®Ó ®¬n gi¶n cho tr×nh bµy, ta gi¶ thiÕt D = [a, b] × [c, d]. XÐt ph©n ho¹ch P = {D1 , D2 , . . . , Ds } lµ ph©n ho¹ch cña D, trong ®ã Di = [ai , bi] × [ci , di ]. LÊy ξi = (ui , vi ) lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn Di , khi ®ã Xi = Φ(ξi ) lµ mét ®iÓm trªn mÆt (Si ) = (φ|Di , Di ). MÆt ph¼ng tiÕp xóc víi (Si ) t¹i Xi cã biÓu diÔn tham sè H(u, v) = Φ(ui , vi) + (u − ui )

∂Φ ∂Φ (u, v) + (v − vi ) (u, v). ∂u ∂v,

§Æt Ti lµ h×nh ch÷ nhËt Ai Bi Ci Di víi c¸c ®Ønh Ai = H(ai , ci ), Bi = H(bi , ci ) , Ci = H(bi , di ), Di = H(ai , di ). NÕu ph©n ho¹ch P ®ñ mÞn, th× diÖn tÝch cña Ti gÇn b»ng diÖn tÝch cña mÆt (Si ). §iÒu nµy cho gi¸ trÞ gÇn ®óng cña diÖn tÝch mÆt (S) s s X X V (P ) = V (Si ) ≈ V (Ti ). i=1

i=1

Ta cã −−→ − −− → V (Ti ) = |Ai Bi × Ai Di | ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ (bi − ai )(di − ci ) = = × ∂u × ∂v V (Di ). ∂u ∂v Tõ ®ã, diÖn tÝch cña (S) lµ V (S) = lim |P |→0

s X i=1

s X ∂Φ ∂Φ V (Ti ) = lim ∂u × ∂v V (Di ) |P |→0 Z Z i=1 ∂Φ ∂Φ × dudv = dS. = ∂u ∂v D

2.3.2

(S)

Khèi l-îng cña mÆt

Gi¶ sö trªn mÆt (S) cã ph©n bè khèi l-îng víi khèi l-îng riªng t¹i ®iÓm M(x, y, z) lµ f (x, y, z). Lý luËn t-¬ng tù nh- tr-íng hîp ®-êng cong, ta cã c«ng thøc tÝnh khèi l-îng cña mÆt (S) lµ Z m(S) = f (x, y, z)dS. (S)

73

2.4

TÝch ph©n mÆt lo¹i 2

→ − §Þnh nghÜa 9. Cho F = (P, Q, R) lµ tr-êng vector tªn U ⊂ R3 vµ (S) lµ mÆt → tr¬n trong U cã tr-êng vector ph¸p tuyÕn ®¬n vÞ liªn tôc lµ − n . Khi ®ã , ký hiÖu Z Z → → − P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy = h F , − n idS, (S)

(S)

→ − vµ gäi lµ tÝch ph©n mÆt lo¹i 2 cña tr-êng vector F trªn (S) (nÕu tÝch ph©n lo¹i 1 ë vÕ ph¶i tån t¹i). NÕu (S) = (S1) + (S2 ) + . . . + (Sk ) lµ mÆt tr¬n tõng m¶nh, th× ta ®Þnh nghÜa Z (S)

P dydz + Qdzdx + Rdxdy =

k Z X i=1

P dydz + Qdzdx + Rdxdy.

(Si )

NhËn xÐt. 1) NÕu (S) cã biÓu diÔn tham sè Φ : D −→ R3 , Φ(u, v) = (x(uv), y(u, v), z(u, v)), th× ta cã

∂Φ(u, v) ∂Φ(u, v) × → − ∂v . n (Φ(u, v) = ∂u

∂Φ(u, v) ∂Φ(u, v)

×

∂u ∂v

Tõ ®ã  Z  Z → − ∂Φ(u, v) ∂Φ(u, v) × dudv P dydz + Qdzdx + Rdxdy = F (Φ(u, v)), ∂u ∂v D (S)  Z  D(y, z) D(z, x) D(x, y) dudv, P (Φ(u, v)) + Q(Φ(u, v)) + R(Φ(u, v)) = D(u, v) D(u, v) D(u, v) D

trong ®ã

∂y(u, v) ∂z(u, v) D(y, z) ∂u ∂u = . ∂z(u, v) ∂y(u, v) D(u, v) ∂v ∂v

74 2) TÝch ph©n mÆt lo¹i 2 phô thuéc vµo h-íng cña mÆt. Cô thÓ, nÕu (S − ) lµ mÆt (S) nh-ng h-íng ng-îc l¹i, th× ta cã Z Z P dydz + Qdzdx + Rdxdy = − P dydz + Qdzdx + Rdxdy. (S − )

(S)

VÝ dô. 1) TÝnh I =

Z

ydzdx + zdxdy, trong ®ã (S) lµ phÝa ngoµi cña mÆt cÇu

(S)

x2 + y 2 + z 2 = a2. Gi¶i: XÐt biÓu diÔn tham sè Φ(ϕ, θ) = (a cos ϕ cos θ, a sin ϕ cos θ, a sin θ), (ϕ, θ) ∈ D = [0, 2π] × [−π/2, π/2]. Ta cã

− → N Φ (ϕ, θ) = a2 cos θ(cos ϕ cos θ, sin ϕ cos θ, sin θ).

→ − Ta thÊy N Φ (ϕ, θ) h-íng ra ngoµi nªn lµ biÓu diÔn tham sè cña (S). Tõ ®ã Z Z 3 ydzdx + zdxdy = a (sin2 ϕ cos3 θ + sin2 θ cos θ)dϕdθ

3

D Z2π  Zπ/2

3

Z2π 

(S)

=a

0

=a

 (sin ϕ(1 − sin θ) + sin θ) cos θdθ dϕ 2

  Z2π  2 4 2 4 3 sin ϕ + dϕ = a − cos 2ϕ dϕ 3 3 3

0

2) TÝnh I =

2

−π/2

0

8πa3 = . 3 Z

2

xdydz + y 2dzdx + zdxdy, trong ®ã (S) lµ phÝa trªn cña mÆt ph¼ng

(S)

x + y + z = 1. Gi¶i: XÐt biÓu diÔn tham sè Φ(x, y) = (x, y, 1−x−y), (x, y, z) ∈ D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x+y ≤, x ≥ 0, y ≥ 0}.

75 → − Ta cã N Φ (ϕ, θ) = (1, 1, 1) (h-íng lªn trªn). Tõ ®ã Z Z 2 xdydz + y dzdx + zdxdy = (x2 + y 2 + 1 − x − y)dxdy (S)

=

D Z1 0

3) TÝnh I =

Z

1−x Z  5 2 y − y + 1)dy dx = . 12 0

xdydz + ydzdx + zdxdy, trong ®ã (S) lµ phÝa ngoµi cña mÆt tr¬n

(S)

tõng m¶nh (S1) + (S2 ) + (S3 ) víi (S1 ) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z = 1, z ≥ 0} (S2 ) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, −1 ≤ z ≤ 0} (S3 ) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, z = −1}. Gi¶i: • (S1) cã biÓu diÔn tham sè Φ1 (x, y) = (x, y, 1 − x2 − y 2 ), (x, y) ∈ D1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}. → − Ta cã N Φ1 (ϕ, θ) = (1, 1, 1) (h-íng lªn trªn). Tõ ®ã Z Z xdydz + ydzdx + zdxdy = (2x2 + 2y 2 + 1 − x2 − y 2)dxdy (S1 )

=

D Z1

(x2 + y 2 + 1)dxdy =

3π . 2

D1

• (S2) cã biÓu diÔn tham sè Φ2 (θ, z) = (cos θ, sin θ, z), (θ, z) ∈ D2 = [0, 2π] × [−1, 0]. → − Ta cã N Φ2 (θ, z) = (cos θ, sin θ, 0). Tõ ®ã Z Z xdydz + ydzdx + zdxdy = dθdz = 2π. (S2 )

D2

• (S3) cã biÓu diÔn tham sè Φ3 (r, θ) = (r cos θ, r sin θ, −1), (r, θ) ∈ D3 = [0, 1] × [0, 2π].

76 → − Ta cã N Φ3 (r, θ) = (0, 0, r). Tõ ®ã Z Z xdydz + ydzdx + zdxdy = rdrdθdz = π. D3

(S2 )

Suy ra

Z

xdydz + ydzdx + zdxdy =

9π 3π + 2π + π . 2 2

(S)

3 3.1

Mét sè c«ng thøc C¸c kh¸i niÖm trong trong lý thuyÕt tr-êng

Th«ng th-êng ta gäi mäi ¸nh x¹ tõ mét tËp më U ⊂ R3 vµo R lµ tr-êng v« h-íng vµ ¸nh x¹ tõ U vµo R3 lµ tr-êng vector trªn U . Gi¶ sö f lµ mét tr-êng v« h-íng thuéc líp C 1 vµ F = (P, Q, R) lµ mét tr-êng vector trªn U ⊂ R3 . • Gradient cña f lµ tr-êng vector   ∂f ∂f ∂f , , gradf = ∂x ∂y ∂z Tr-êng vector F gäi lµ tr-êng thÕ nÕu tån t¹i mét tr-êng v« h-íng f sao cho gradf = F, vµ gäi f lµ hµm thÕ cña F . • Ph©n kú (divergence) cña tr-êng vector F = (P, Q, R) lµ tr-êng v« h-íng divF =

∂P ∂Q ∂R + + . ∂x ∂y ∂z

• Xo¸y (rotation) cña tr-êng vector F = (P, Q, R) lµ tr-êng vector   ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P rotF = − , − , − . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y MÖnh ®Ò 5. Cho f , g lµ c¸c tr-êng v« h-íng vµ F , G lµ c¸c tr-êng vector thuéc líp C 1 trªn U ⊂ R3. Gäi α, β lµ c¸c sè thùc. Khi ®ã 1) grad, div, rot lµ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh grad(αf + βg) = αgradf + βgradg, div(αF + βG) = αdivF + βdivG, rot(αF + βG) = αrotF + βrotG.

77 2) NÕu gi¶ thiÕt thªm c¸c tr-êng ®ang xÐt thuéc líp C 2 , th× rot(gradf ) = 0, div(rotF ) = 0, rot(f · gradg) = gradf × gradg. Chøng minh. Suy ra tõ ®Þnh nghÜa vµ tÝnh to¸n trùc tiÕp.

3.2

2

C«ng thøc Green

Mét tËp më liªn th«ng D trong R2 gäi lµ miÒn ®¬n liªn nÕu mäi ®-êng cong kÝn trong nã cã thÓ co vÒ mét ®iÓm thuéc D. Nh- vËy, mét miÒn ®¬n liªn kh«ng cã lç thñng. Mét miÒn liªn th«ng cã nhiÒu lç thñng gäi lµ miÒn ®a liªn. §Þnh lý 1. (C«ng thøc Green) Cho D lµ miÒn ®¬n liªn víi biªn ∂D lÊy theo ∂Q ∂P h-íng ng-îc chiÒu quay kim ®ång hå vµ P (x, y), Q(x, y), (x, y), (x, y), ∂x ∂y lµ liªn tôc trªn D. Khi ®ã  Z Z  ∂P ∂Q (x, y) − (x, y) dxdy. P (x, y)dx + Q(x, y)dy = ∂x ∂y D

∂D

Chøng minh. Tr-íc hÕt ta chøng minh cho miÒn D cã biÓu diÔn trong c¶ hai d¹ng d-íi ®©y D = {(x, y) ∈ R2 | u(x) ≤ y ≤ v(x), a ≤ x ≤ b} = {(x, y) ∈ R2 | t(y) ≤ x ≤ v(x), c ≤ y ≤ d}. Khi ®ã theo c«ng thøc Fubini ta cã Z

∂P (x, y)dxdy = ∂y

v(x) Zb  Z a

D

=

 ∂P (x, y)dy dx ∂y

u(x)

Zb

(P (x, v(x) − P (x, u(x))dx.

a

MÆt kh¸c, tham sè hãa ∂D b»ng c¸ch lÊy x lµm tham sè, ta cã Z

P (x, y)dxdy = −

Zb

=−

Zb

a

∂D

a

P (x, v(x))dx +

Zb

P (x, u(x))dx

a


P (x, v(x)) − P (x, u(x) dx.

78 Tõ ®ã suy ra

Z

P (x, y)dxdy = −

∂D

Z

∂P (x, y)dxdy. ∂y

D

T-¬ng tù, ta còng cã Z

Q(x, y)dxdy =

Z

∂Q (x, y)dxdy. ∂x

D

∂D

VËy ta cã ®¼ng thøc cÇn chøng minh. Trong tr-êng hîp tæng qu¸t ta chia miÒn D thµnh nh÷ng miÒn con cã d¹ng nh- ®· xÐt ë tr-íc vµ ¸p dông c«ng thøc cho tÊt c¶ c¸c miÒn con råi céng l¹i víi chó ý r»ng hai tÝch ph©n trªn cïng mét ®-êng cong nh-ng kh¸c h-íng th× triÖt tiªu lÉn nhau. 2 HÖ qu¶ 1. Cho D lµ miÒn ®a liªn víi biªn ngoµi lµ (C0 ) lÊy theo h-íng ng-îc chiÒu quay kim ®ång hå vµ c¸c biªn trong (C1 ), (C2), . . . , (Ck ) lÊy theo h-íng ∂Q ∂P cña chiÒu quay kim ®ång hå. Gi¶ sö P (x, y), Q(x, y), (x, y), (x, y), lµ ∂x ∂y liªn tôc trªn D. Khi ®ã k Z X i=0 ∂C

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

Z 

 ∂P ∂Q (x, y) − (x, y) dxdy. ∂x ∂y

D

i

Chøng minh. Nèi c¸c biªn (C0), (C1 ), . . . , (Ck ) bëi c¸c ®-êng (L0), (L1 ), . . . , (Ck ). C¸c ®-êng nµy chia D thµnh hai miÒn ®¬n liªn. ¸p dông c«ng thøc Green cho mçi miÒn råi céng l¹i, víi chó ý r»ng hai tÝch ph©n trªn cïng mét ®-êng cong nh-ng kh¸c h-íng th× triÖt tiªu lÉn nhau. 2 Z xdy − ydx VÝ dô. TÝnh I = , trong ®ã (C) lµ ®-êng cong kÝn bÊt kú kh«ng ®i x2 + y 2 (C)

qua gèc täa ®é O vµ lÊy h-íng theo chiÒu quay k×m ®ång hå. Gi¶i: Gäi D lµ miÒn giíi h¹n bë (C). Ta ph©n biÖt c¸c tr-êng hîp sau • Gèc O ∈ / D. §Æt P (x, y) = Khi ®ã

−y + y2

x2

Q(x, y) =

x2

x . + y2

∂P y 2 − x2 ∂Q (x, y) = (x, y) = 2 . ∂x ∂y (x + y 2)2

79 Tõ c«ng thøc Green, suy ra I = 0. • Gèc O ∈ D. §Ó ý r»ng trong tr-êng hîp nµy ta kh«ng thÓ sö dông c«ng thøc Green nh- ë trªn v× P (x, y), Q(x, y) kh«ng tháa c¸c gØa thiÕt trong ®inh lý ??. Tuy nhiªn ta cã thÓ tÝnh tÝch ph©n ®· cho b»ng c¸ch sö dông hÖ qña ??. §Ó lµm ®iÒu nµy ta xÐt h×nh trßn S cã t©m O vµ b¸n kÝnh  ®ñ bÐ sao cho S ⊂ D. Sau ®ã, ¸p dông hÖ qña ?? cho miÒn D \ S, ta ®-îc Z Z xdy − ydx xdy − ydx = , I= 2 2 x +y x2 + y 2 ∂S

(C)

trong ®ã, ∂S lÊy h-íng ng-îc chiÒu quay kim ®ång hå, cã biÓu diÔn tham sè ϕ(t) = ( cos t,  sin t(, t ∈ [0, π]. Suy ra I=

Z2π

 cos t(− sin t) −  sin t( cos t) dt = 2 (cos2 t + sin2 t)

0

Z2π

dt = 2π.

0

HÖ qu¶ 2. Cho tr-êng vector F = (P, Q) thuéc líp C 1 trªn miÒn ®¬n liªn D ⊂ R2 . Khi ®ã bèn ®iÒu sau lµ t-¬ng ®-¬ng ∂Q ∂P 1) (x, y) = (x, y), víi mäi (x, y) ∈ D. ∂x Z ∂y

P dx + Qdy = 0, trong ®ã (L) lµ ®-êng cong kÝn bÊt kú n»m

2) TÝch ph©n

(L)

trong D. 3) TÝch ph©n

Z

P dx + Qdy kh«ng phô thuéc vµo h×nh d¹ng cña ®-êng cong (C)

(C)

mµ chØ phô thuéc vµo ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi cña (C). 4) F lµ tr-êng thÕ trªn D vµ hµm thÕ U (x, y) ®-îc x¸c ®Þnh bëi

U (x, y) =

(x,y) Z

P dx + Qdy + (h»ng sè),

(x0 ,y0 )

trong ®ã ký hiÖu

(x,y) Z (x0 ,y0 )

(x0 , y0), (x, y) ∈ D

chØ tÝch ph©n lÊy trªn mét ®-êng cong bÊt kú nèi hai ®iÓm

80 Chøng minh. • 1) ⇒ 2). Suy ra trùc tiÕp tõ c«ng thøc Green. • 2) ⇒ 3). Gi¶ sö (C) vµ (C 0) lµ hai ®-êng cong n»m trong D cã ®iÓm ®Çu A vµ ®iÓm cuèi B. Theo gi¶ thiÕt ta cã Z P dx + Qdy = 0. (C)+(C − )

Tõ ®ã suy ra

Z

Z

P dx + Qdy =

P dx + Qdy.

(C − )

(C)

• 3) ⇒ 4). LÊy mét ®iÓm cè ®Þnh (x0 , y0) ∈ D. XÐt hµm (x,y) Z

U (x, y) =

P dx + Qdy, (x, y) ∈ D.

(x0 ,y0 )

Hµm nµy ®-îc x¸c ®Þnh ®óng ®¾n do tÝch ph©n chØ phô thuéc vµo ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi. Chän h > 0 ®ñ bÐ sao cho (x + h, y) ∈ D. Gäi (C) lµ ®-êng cong nèi hai ®iÓm (x0, y0 ),(x, y) vµ (L) lµ ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm (x, y),(x + h, y). Khi ®ã Z Z Z U (x + h, y) − U (x, y) = P dx + Qdy − P dx + Qdy = P dx + Qdy. (C)+(L)

(C)

(L)

Theo ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh ta cã Z

x+h Z P dx + Qdy = P (t, y)dt = hP (θ, y),

(L)

θ ∈ [x, x + h].

x

Do tÝnh liªn tôc cña P (x, y) t¹i ®iÓm (x, y) ta nhËn ®-îc U (x + h, y) − U (x, y) ∂U (x, y) = lim = lim P (θ, y) = P (x, y). h→0 θ→x ∂x h ∂U (x, y) = Q(x, y). VËy U (x, y) lµ hµm thÕ cña tr-êng (P, Q). ∂y • 4) ⇒ 1). Gi¶ sö T-¬ng tù, ta cã

∂U (x, y) = P (x, y) ∂x

∂U (x, y) = Q(x, y), ∂y

∀(x, y) ∈ D.

81 Khi ®ã

∂Q ∂ 2U = , ∂x ∂x∂y

∂P ∂ 2U = . ∂y ∂y∂x

∂P ∂Q vµ liªn tôc nªn theo ®Þnh lý Schwartz vÕ tÝnh ®èi xøng cña ®¹o hµm ∂x ∂y ∂Q ∂P riªng cÊp cao ta cã = . 2 ∂x ∂y Do

VÝ dô. T×m hµm thÕ cña tr-êng vector F = (P, Q) = (x2 + y 2, 2xy). ∂Q ∂P Gi¶i: Ta cã = = 2y, nªn theo hÖ qña ?? ta cã ∂x ∂y U (x, y) =

(x,y) Z

(x2 + y 2)dx + 2xydy + C.

(0,0)

Cã thÓ chän ®-êng lÊy tÝch ph©n lµ ®o¹n th¼ng (L) nèi hai ®iÓm (0, 0) vµ (x, y). Khi ®ã, (L) cã biÓu diÔn tham sè ϕ(t) = (tx, ty), t ∈ [0, 1]. Tõ ®ã U (x, y) =

Z1


x2 + 3xy 2 + C. (x2 + y 2)x + 3xy 2 t2dt = 3

0

3.3

C«ng thøc Ostrogradsky

§Þnh lý 2. Cho K lµ tËp compact trong R3 cã biªn S lµ mÆt kÝn tr¬n tõng m¶nh → − → lÊy h-íng ph¸p tuyÕn ngoµi − n vµ F = (P, Q, R) lµ tr-êng vector thuéc líp C 1 trªn mét tËp më chøa K. Khi ®ã, ta cã c«ng thøc Ostrogradsky Z Z → − − → − → h F , n idS = div F dxdydz. S

K

Chøng minh. Tr-íc hÕt ta chøng minh cho tr-êng hîp tËp K cã thÓ ®-îc chiÕu lªn tÊt c¶ c¸c mÆt ph¼ng täa ®é. Nãi r»ng tËp K ®-îc chiÕu lªn mÆt ph¼ng Oxy nÕu víi mäi (x, y) ∈ P rxy K = {(x, y) ∈ R2 | (x, y, z) ∈ K}, ta cã nh¸t c¾t Cxy = {z ∈ R | (x, y, z) ∈ K} hoÆc chØ lµ mét ®iÓm hoÆc lµ mét ®o¹n th¼ng. Khi ®ã, K cã thÓ biÓu diÔn trong ba d¹ng sau K = {(x, y, z) ∈ R3 | f1 (x, y) ≤ z ≤ f2(x, y), (x, y) ∈ P rxy K} = {(x, y, z) ∈ R3 | g1 (y, z) ≤ x ≤ g2 (y, z), (y, z) ∈ P ryz K} = {(x, y, z) ∈ R3 | h1 (z, x) ≤ x ≤ h2 (z, x), (z, x) ∈ P rzx K}

82 Khi K cã d¹ng thø nhÊt, mÆt S cã thÓ chia thµnh ba m¶nh S1 , S2, S3 , trong ®ã S1 lµ phÝa d-íi cña mÆt z = f1 (x, y), S2 lµ phÝa trªn cña mÆt z = f2(x, y) vµ S3 lµ mÆt trô víi c¸c ph¸p vector Z song song víi mÆt ph¼ng z = 0. → → Do he , − n i = 0 trªn S nªn hRe , − n idS = 0. Tõ ®ã 3

3

3

S3

Z

Z

− hRe3 , → n idS =

S

− hRe3 , → n idS +

S1

=−

Z

Z

− hRe3 , → n idS

S2

R(x, y, f1(x, y))dxdy +

P rxy K

R(x, y, f2(x, y))dxdy

P rxy K

Z

 f2Z(x,y)

P rxy K

f1 (x,y)

=

Z

 Z ∂R ∂R dz dxdy = dxdydz. ∂z ∂z K

T-¬ng tù ta còng cã Z S Z

− hP e1 , → n idS = − hQe2, → n idS =

S

Z K Z

∂P dxdydz ∂x ∂Q dxdydz. ∂y

K

Tõ ®ã suy ra c«ng thøc cÇn chøng minh. Trong tr-êng hîp tæng qu¸t ta chia miÒn K thµnh nh÷ng miÒn con cã d¹ng nh- ®· xÐt ë tr-íc vµ ¸p dông c«ng thøc cho tÊt c¶ c¸c miÒn con råi céng l¹i víi chó ý r»ng hai tÝch ph©n trªn cïng mét mÆt nh-ng kh¸c h-íng th× triÖt tiªu lÉn nhau. 2 Z VÝ dô. TÝnh I = xdydz + ydzdx + zdxdy, trong ®ã S lµ phÝa ngoµi cña mÆt S

tr¬n tõng m¶nh S = S1 + S2 + S3 víi S1 = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 1 − x2 − y 2, z ≥ 0}, S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, −1 ≤ z ≤ 0}, S3 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, z = −1}. gi¶i: Theo c«ng thøc Ostrogradsky ta cã Z Z xdydz + ydzdx + zdxdy = 3 dxdydz = 3V (K), S

K

83 trong ®ã V (K) lµ thÓ tÝch cña khèi K giíi h¹n bëi mÆt S. Ph©n tÝch K thµnh hai khèi K1 = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y 2}, K2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 0}. TÝnh thÓ tÝch cña c¸c khèi trªn ta ®-îc V (K) =

3.4

π 3π +π = . 2 2

C«ng thøc Stokes

§Þnh lý 3. Cho S lµ mÆt tr¬n thuéc líp C 2, ®Þnh h-íng bëi tr-êng vector ph¸p → tuyÕn − n cã biªn ∂S lµ ®-êng cong kÝn, ®¬n ®-îc ®Þnh h-íng c¶m sinh vµ F = (P, Q, R) lµ tr-êng vector thuéc líp C 1 trong mét miÒn më chøa S. Khi ®ã Z Z → − hrotF, n idS = P dx + Qdy + Rdz. S

∂S

Chøng minh. Tr-íc hÕt ta chøng minh cho tr-êng hîp S cã thÓ chiÕu vu«ng gãc theo t-¬ng øng 1 − 1 xuèng mét mÆt ph¼ng täa ®é. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t cã thÓ gi¶ thiÕt S ®-îc chiÕu 1 − 1 xuèng mÆt ph¼ng täa ®é Oxy. Khi ®ã, mÆt S cã biÓu diÔn tham sè d¹ng Φ(x, y) = (x, y, z(x, y)), (x, y) ∈ D. 1 → Ta cã − nΦ = q (−zx0 , −zy0 , 1). Suy ra (zx0 )2 + (zy0 )2 + 1 Z S

− hrotF, → n idS =

Z 

     ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P 0 0 − (−zx ) + − (−zx ) + − dxdy. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

D

NÕu ∂D cã biÓu diÔn tham sè r(t) = (x(t), y(t)),
t ∈ [a, b], th× ∂S cã biÓu diÔn tham sè ϕ(t) = Φ(r(t)) = x(t), y(t), z(x(t), y(t) , t ∈ [a, b]. TÝnh to¸n tÝch ph©n ®-êng ë vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trong ®Þnh lý råi sau ®ã ¸p dông c«ng thøc Green ta ®-îc

84

Z

Zb  P dx + Qdy + Rdz = P (Φ(r(t)))x0 (t) + Q(Φ(r(t)))y 0(t)+ a

∂S

=

Z

+R(Φ(r(t)))x

0

(t)(zx0

0

· x (t) +

zy0

 · y (t) dt 0

[P (Φ(x, y)) + R(Φ(x, y))] · zx0 dx+

∂D

0

Z  +[Q(Φ(x, y)) + R(Φ(x, y))] · zy dy ∂ ∂ = (Q + R · zx0 ) − (P + R · zy0 ) dxdy ∂x ∂y D

TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng trong biÓu thøc d-íi dÊu tÝch ph©n trong tÝch ph©n cuèi cïng råi so s¸nh víi kÕt qña ë phÇn trªn ta ®-îc ®¼ng thøc cÇn chøng minh. Trong tr-êng hîp tæng qu¸t ta chia mÆt S thµnh nh÷ng m¶nh nhá cã d¹ng nh- ®· xÐt ë tr-íc vµ ¸p dông c«ng thøc cho tÊt c¶ c¸c m¶nh con råi céng l¹i víi chó ý r»ng hai tÝch ph©n trªn cïng mét ®-êng nh-ng kh¸c h-íng th× triÖt tiªu lÉn nhau.2 VÝ dô. KiÓm tra ®Þnh lý Stokes cho mÆt S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1}, vµ tr-êng vector F = (z 2, x, y). Gi¶i: MÆt S cã biÓu diÔn tham sè Φ(θ, z) = (cos θ, sin θ, z), (θ, z) ∈ D = [0, 2π] × [0, 1], vµ biªn ∂S = C1 + C2 + C3 + C4 , trong ®ã C1 C2 C3 C4

= {(x, y, 0) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, y ≥ 0}, h-íng = {(−1, 0, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ 1}, h-íng 3 2 2 = {(x, y, 1) ∈ R | x + y = 1, y ≥ 0}, h-íng = {(1, 0, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ 1}, h-íng

tõ tõ tõ tõ

(1, 0, 0) ®Õn (−1, 0, 0), (−1, 0, 0) ®Õn (−1, 0, 1), (−1, 0, 1) ®Õn (1, 0, 1), (1, 0, 1) ®Õn (1, 0, 0).

→ Ta cã − n Φ = (cos θ, sin θ, 0) vµ rotF = (1, 2z, 1). Tõ ®ã Z Z → − hrotF, n idS = (cos θ + 2z sin θ)dθdz = 2. S

D

85

B©y giê ta tÝnh tÝch ph©n Z C Z1

Z

z 2dx + xdy + ydz. Ta cã

S

z 2dx + xdy + ydz =

Zπ

cos2 θdθ =

z 2dx + xdy + ydz =

Z0

z 2 dx + xdy + ydz = 0,

C2

Z

Tõ ®ã,

Z S

C4

z 2dx + xdy + ydz = −

C3

z 2dx + xdy + ydz = 2.

Zπ 0

π , 2

(− sin θ + cos2 θ)dθ = 2 −

π . 2

87

IV. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n 1

Kh¸i niÖm ph-¬ng tr×nh vi ph©n

Trong rÊt nhiÒu lÜnh vùc øng dông, chuyÓn ®éng cña mét hÖ ®-îc m« h×nh hãa bëi c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n, tøc là ph-¬ng tr×nh cã chøa c¸c ®¹o hàm cña Èn hàm cÇn t×m. Ch¼ng h¹n, trong c¬ häc cæ ®iÓn (®Þnh luËt Newton), trong thiªn v¨n häc (sù chuyÓn ®éng cña c¸c hành tinh), trong hãa häc (c¸c ph¶n øng ho¸ häc), trong sinh häc (sù ph¸t triÓn cña d©n sè), trong ®iÖn tö... Trong hÇu hÕt c¸c lÜnh vùc nhu thÕ, bài to¸n chung nhÊt là m« t¶ nghiÖm cña c¸c ph-¬ng tr×nh này (c¶ vÒ ®Þnh tÝnh lÉn vÒ ®Þnh l-îng).

1.1

Vài m« h×nh dÉn ®Õn ph-¬ng tr×nh vi ph©n

• Sù r¬i tù do. XÐt mét vËt cã khèi l-îng m ®-îc th¶ r¬i tù do trong khÝ quyÓn gÇn mÆt ®Êt. Theo ®Þnh luËt II Newton, chuyÓn ®éng cña vËt ®ã cã thÓ m« t¶ bëi ph-¬ng tr×nh F = ma, (1) trong ®ã F là hîp lùc t¸c ®éng lªn vËt và a là gia tèc chuyÓn ®éng. Hîp lùc F cã thÓ gi¶ thiÕt chØ bao gåm lùc hÊp dÉn (tØ lÖ víi khèi l-îng cña vËt và h-íng xuèng) và lùc c¶n (tØ lÖ víi vËn tèc chuyÓn ®éng và h-íng lªn trªn). Ngoài ra, dv do gia tèc chuyÓn ®éng a = nªn (1) cã thÓ viÕt d-íi d¹ng dt m

dv = mg − γv, dt

(2)

trong ®ã g ≈ 9, 8m/s2 là gia tèc träng tr-êng, còn γ là hÖ sè c¶n. VËy vËn tèc v cña vËt r¬i tù do tháa m·n ph-¬ng tr×nh (2) víi sù xuÊt hiÖn cña ®¹o hàm cña v. Nh÷ng ph-¬ng tr×nh nh- vËy ta sÏ gäi là ph-¬ng tr×nh vi ph©n. • Dung dÞch hãa häc. Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu t = t0 mét thïng chøa x0 kg muèi hßa tan trong 1000 lÝt n-íc. Ta cho ch¶y vào thïng mét lo¹i n-íc muèi nång ®é a (kg/lÝt) víi l-u l-îng r (lÝt/phót) và khuÊy ®Òu. §ång thêi, cho hçn hîp ®ã ch¶y ra khái thïng cïng víi tèc ®é nh- trªn. Gäi x = x(t) là l-îng muèi trong thïng t¹i thêi ®iÓm bÊt kú. Râ ràng tØ lÖ thay ®æi l-îng muèi trong thïng dx b»ng hiÖu cña tØ lÖ muèi ch¶y vào ar(kg/phót) trõ ®i tØ lÖ muèi ch¶y ra t¹i dt

88 thêi diÓm ®ang xÐt

rx (kg/phót). VËy ta cã ph-¬ng tr×nh vi ph©n 1000 rx dx = ar − , dt 1000

(3)

víi d÷ kiÖn ban ®Çu x(t0) = x0.

1.2

C¸c kh¸i niÖm.

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n là ph-¬ng tr×nh cã d¹ng F (x, y, y 0, y 00, . . . , y (n) ) = 0,

(4)

trong ®ã y = y(x) là Èn hàm cÇn t×m và nhÊt thiÕt ph¶i cã sù tham gia cña ®¹o hàm (®Õn cÊp nào ®ã) cña Èn. Trong tr-êng hîp Èn hàm cÇn t×m là hàm nhiÒu biÕn (xuÊt hiÖn c¸c ®¹o hàm riªng) th× ph-¬ng tr×nh vi ph©n cßn gäi là ph-¬ng tr×nh ®¹o hàm riªng. §Ó ph©n biÖt, ng-êi ta th-êng gäi ph-¬ng tr×nh víi Èn hàm là hàm mét biÕn là ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng và là ®èi t-îng chÝnh cña ch-¬ng này. Ta nãi mét ph-¬ng tr×nh vi ph©n cã cÊp n nÕu n là cÊp lín nhÊt cña ®¹o hàm cña Èn xuÊt hiÖn trong ph-¬ng tr×nh. Ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng cÊp 1 cã d¹ng tæng qu¸t F (x, y, y 0) = 0,

(5)

trong ®ã F (x, y, z) ®-îc gi¶ thiÕt liªn tôc cïng víi c¸c ®¹o hàm riªng cña nã trªn miÒn G ⊂ R3 . Víi mét sè gi¶ thiÕt thÝch hîp (xem ®Þnh lý hàm Èn), ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 cã thÓ viÕt ®-îc d-íi d¹ng sau (gäi là d¹ng gi¶i ra ®-îc ®èi víi ®¹o hàm) y 0 = f (x, y), (6) víi f (x, y) liªn tôc trong miÒn D ⊂ R2 nào ®ã. VÝ dô. C¸c ph-¬ng tr×nh ey + y 0 2 cos x = 1 y 0002 − 2xy = ln x ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y 2

89 lÇn l-ît là ph-¬ng tr×nh vi ph©n th-êng cÊp 1, cÊp 3 và ph-¬ng tr×nh ®¹o hàm riªng cÊp 2. XÐt ph-¬ng tr×nh (4). Hàm sè φ : I → R (víi I = (a, b) là kho¶ng nào ®ã cña R) ®-îc gäi lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (4) nÕu nã cã c¸c ®¹o hàm liªn tôc ®Õn cÊp m trªn I và tháa m·n F (x, φ(x), φ0(x), φ00(x), . . . , φ(m))(x) = 0,

víi mçi x ∈ I.

(7)

Trong tr-êng hîp ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1, nghiÖm là mét hàm thùc mét biÕn y = φ(x) mà khi thay vào (5) hoÆc (6), ta ®-îc mét ®¼ng thøc d¹ng. VÝ dô. DÔ kiÓm tra r»ng hÖ hàm (phô thuéc vào hai tham sè tuú ý) y = C1 cos x + C2 sin x là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n y 00 + y = 0. VÝ dô. (S¨n måi và måi) Sù ph¸t triÓn cña hai quÇn thÓ sinh vËt (ch¼ng h¹n, x = x(t) là sè con mÌo và y = y(t) là sè con chuét) theo thêi gian ®-îc m« t¶ bëi (hÖ) ph-¬ng tr×nh Volterra−Lotka sau ®©y y 0 = y(α − βx),

x0 = x(γy − δ)

(8)

víi α, β, γ và δ là nh÷ng h»ng sè ®Æc tr-ng cho sù t¨ng tr-ëng cña c¸c quÇn thÓ. Xem y nh- là hàm theo x, ph-¬ng tr×nh cã thÓ viÕt d-íi d¹ng (γy − δ) (α − βx) dy = dx. y x NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh này cho bëi γy − δ ln y = α ln x − βx + C trong ®ã C là h»ng sè tuú ý.

1.3

Bài to¸n Cauchy

Ta nhËn xÐt r»ng nghiÖm cña mét ph-¬ng tr×nh vi ph©n nãi chung phô thuéc vào mét hay nhiÒu h»ng sè tïy ý nào ®ã. §Ó x¸c ®Þnh mét nghiÖm cô thÓ, ta cÇn thªm

90 mét hay vài d÷ kiÖn nào ®ã vÒ nghiÖm (tïy theo cÊp cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n). x3 Ch¼ng h¹n, y = + C là nghiÖm (tæng qu¸t) cña ph-¬ng tr×nh y 0 = x2. DÔ thÊy 3 x3 + 1 là nghiÖm (duy nhÊt) tháa ®iÒu kiÖn y(0) = 1. y= 3 Ta xÐt bài to¸n sau ®©y ®Æt ra ®èi víi ph-¬ng tr×nh (5), gäi là bài to¸n Cauchy (hay bài to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu): ( y 0 = f (x, y) Bài to¸n: T×m nghiÖm y(x) tháa: (9) y(x0) = y0 trong ®ã (x0, y0) ∈ D ®-îc gäi lµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu. C©u hái tù nhiªn ®Æt ra là bài to¸n (9) cã hay kh«ng và cã bao nhiªu lêi gi¶i. Ta l-u ý r»ng kh«ng ph¶i lóc nào bài to¸n Cauchy còng cã nghiÖm, và khi cã nghiÖm còng kh«ng nhÊt thiÕt cã duy nhÊt nghiÖm. Ch¼ng h¹n, ph-¬ng tr×nh y 0 = x2, y(0) = 0 cã duy nhÊt mét nghiÖm là y = x3 /3. Ph-¬ng tr×nh xy 0 = y, y(0) = 1 kh«ng cã nghiÖm nào; cßn ph-¬ng tr×nh y 0 = y 1/3, y(0) = 0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm 8 là là y ≡ 0 và y 2 = x3. 27 §Þnh lý 1. NÕu hàm sè f (x, y) cïng víi ®¹o hàm riªng fy0 liªn tôc trªn D 3 (x0 , y0) th× bài to¸n Cauchy (9) cã duy nhÊt nghiÖm.

2 2.1

Gi¶i mét sè ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I Ph-¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 d¹ng M(x)dx + N (y)dy = 0

(10)

®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh víi biÕn sè ph©n ly (hay cßn gäi ph-¬ng tr×nh t¸ch biÕn). C¸ch gi¶i: C¸c hàm M(x), N(y) ®-îc gi¶ thiÕt liªn tôc trªn c¸c kho¶ng nào ®ã. Khi ®ã chØ cÇn tÝch ph©n hai vÕ cña (10) ta thu ®-îc tÝch ph©n tæng qu¸t cña nã là Z Z M(x)dx + N (y)dy = C.

91 VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nhy 2y 0 = x(1 + x2). Ph-¬ng tr×nh này cã d¹ng t¸ch biÕn y 2dy − x(1 + x2 )dx = 0 TÝch ph©n hai vÕ ta thu ®-îc nghiÖm tæng qu¸t là: y 3 x2 x4 − − =C 3 2 4 NhËn xÐt. Ph-¬ng tr×nh d¹ng M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y) = 0

(11)

còng ®-a ®-îc vÒ d¹ng (10) víi biÕn sè ph©n ly, b»ng c¸ch chia hai vÕ cho M2 (x)N1(y) (víi gi¶ thiÕt biÓu thøc này kh¸c 0) M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0. M2 (x) N1 (y) Do ®ã tÝch ph©n tæng qu¸t là Z Z M1 (x) N2 (y) dx + dy = C. M2 (x) N1 (y) VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh x(1 + y 2 )dx + y(1 + x2)dy = 0. Chia hai vÕ cho (1 + x2)(1 + y 2 ) ta ®-îc ydy xdx + = 0. 1 + x2 1 + y 2 TÝch ph©n hai vÕ ta ®-îc Z tøc là

xdx + 1 + x2

Z

ydy = C. 1 + y2

1 1 1 ln(1 + x2) + ln(1 + y 2 ) = C := ln C1 . 2 2 2 VËy tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là (1 + x2)(1 + y 2 ) = C1 , trong ®ã C1 là h»ng sè d-¬ng tïy ý.

92

2.2

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt

Hàm sè f (x, y) ®-îc gäi lµ thuÇn nhÊt bËc d nÕu víi mçi t ∈ R ta cã f (tx, ty) = tdf (x, y). Ph-¬ng tr×nh vi ph©n y 0 = f (x, y) ®-îc gäi lµ thuÇn nhÊt (hay cßn gäi ®¼ng cÊp) nÕu hàm sè ë vÕ ph¶i là hàm thuÇn nhÊt bËc 0, tøc là f (tx, ty) = f (x, y) víi mäi t. y C¸ch gi¶i: §Æt u := , ta cã f (x, y) = f (x, xu) = f (1, u), dy = xdu + udx. Tõ x ®ã dy du = f (1, u), x +u= dx dx hoÆ d-íi d¹ng t¸ch biÕn du dx = . f (1, u) − u x TÝch ph©n hai vÕ ta ®-îc Z

x du = ln , f (1, u) − u C

hay x = C exp

Z

du f (1, u) − u

víi C 6= 0.

y vào biÓu thøc trªn ta t×m ®-îc tÝch ph©n tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh x thuÇn nhÊt. Thay u =

VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh (x2 + y 2)dx + xydy = 0. Ta cã thÓ viÕt ph-¬ng tr×nh ®· cho d-íi d¹ng y x dy =− − . dx x y VÕ ph¶i cña ph-¬ng tr×nh này là hàm thuÇn nhÊt. §Æt y = xu ta cã x

du 1 + u + u + = 0, dx u

Hay t-¬ng ®-¬ng víi udu dx =− . x 1 + 2u2

93 TÝch ph©n ph-¬ng tr×nh này ta ®-îc x 1 ln = − ln(1 + 2u2). C 4 y Thay u = vào ®¼ng thøc này ta ®-îc nghiÖm x x4 =

C 4 x2 , x2 + 2y 2

C 6= 0.

Ph-¬ng tr×nh ®-a vÒ thuÇn nhÊt: C¸c ph-¬ng tr×nh d¹ng dy ax + by + c = f( ) dx a1x + b1y + c1 cã thÓ ®-a vÒ d¹ng thuÇn nhÊt b»ng phÐp biÕn ®æi  x = ξ + x0 y = η + y0 trong ®ã x0 và y0 là nghiÖm cña hÖ:  ax0 + by0 + c = 0 a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0 Khi ®ã

 aξ + bη a1 ξ + b1η  η    a+b η ξ   =f η=g ξ a1 + b1 ξ và ®©y chÝnh là ph-¬ng tr×nh d¹ng thuÇn nhÊt. dη =f dξ



VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh (2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0. Tr-íc hÕt ta xÐt hÖ ph-¬ng tr×nh sau  2x0 − 4y0 + 6 = 0 x0 + y0 − 3 = 0 HÖ này cã nghiÖm là x0 = 1, y0 = 2. TiÕp ®Õn ta thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn  x=ξ+1 y =η+2

94 Khi ®ã ph-¬ng tr×nh ®· cho ®-îc biÕn ®æi thành ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: (2ξ − 4η)dξ + (ξ + η)dη = 0 §Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh này ta ®Æt η = uξ vµ thu ®-îc (2 − 3u + u2 )dξ + ξ(1 + u)du = 0. Ph-¬ng tr×nh này chÊp nhËn nghiÖm u = 1 và u = 2. §Ó t×m nghiÖm tæng qu¸t ta chia 2 vÕ cho 2 − 3u + u2 : (1 + u)du dξ + =0 ξ 2 − 3u + u2   dξ 3 2 + − du = 0 ξ u−2 u−1

⇐⇒ TÝch ph©n 2 vÕ ta ®-îc

ln |ξ| + ln hay

ξ

|u − 2|3 = ln C1 (u − 1)2

(u − 2)3 =C (u − 1)2

Trë l¹i biÕn x, y ban ®Çu ta cã nghiÖm tæng qu¸t (y − 2x)3 = C(y − x − 1)2 , cïng vãi hai nghiÖm y = x + 1 và y = 2x t-¬ng øng víi u = 1 và u = 2.

2.3

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

(12)

®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn nÕu vÕ tr¸i cña nã là vi ph©n toàn phÇn cña hàm nào ®ã, tøc là tån t¹i hàm U (x, y) sao cho dU (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Khi ®ã tÝch ph©n tæng qu¸t cña (12) cho bëi U (x, y) = C.

95 NhËn xÐt. Gi¶ sö c¸c hàm P, Q cïng víi c¸c ®¹o hàm riªng liªn tôc trªn D. Khi ®ã ph-¬ng tr×nh (12) là ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn khi và chØ khi ∂P ∂Q = . ∂y ∂x Hàm U (x, y) lóc nµy cã thÓ t×m d-íi d¹ng: Z x Z y U (x, y) = P (x, y)dx + Q(x0, y)dy. x0 y0 Z x Z y hay U (x, y) = P (x, y0)dx + Q(x, y)dy, x0

(13)

y0

trong ®ã (x0, y0) ∈ D là mét ®iÓm nào ®ã sao cho c¸c tÝch ph©n trªn tån t¹i. VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh (x3 + xy 2)dx + (x2y + y 3)dy = 0. Ta cã P (x, y) = x3 + xy 2 vµ

vµ Q(x, y) = x2y + y 3

∂Q ∂P = 2xy = . ∂y ∂x

HÖ thøc này chøng tá r»ng ph-¬ng tr×nh ®· cho là ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn víi hàm U (x, y) cã thÓ chän là Z x Z y 3 2 U (x, y) = (x + xy )dx + (0.y + y 3)dy, 0 4

hay

U (x, y) =

0 2 2

4

xy y x + + . 4 2 4

VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh dã cho là (x2 + y 2)2 = 4C1 := C 2 hay x2 + y 2 = C

víi C ≥ 0

Thõa sè tÝch ph©n: Cã nh÷ng tr-êng hîp ph-¬ng tr×nh (12) ch-a ph¶i là ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn, nh-ng cã thÓ t×m ®-îc hàm sè µ(x, y) sao cho ph-¬ng tr×nh sau trë thành ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn: µ(x, y){P (x, y)dx + Q(x, y)dy} = 0

96 Hàm µ(x, y) nhu thÕ ®-îc gäi lµ thõa sè tÝch ph©n cña ph-¬ng tr×nh (12). §iÒu kiÖn ®Ó µ là thõa sè tÝch ph©n là µ ph¶i tháa m·n ph-¬ng tr×nh: ∂ ∂ (µP ) = (µQ) ∂y ∂x Hay t-¬ng ®-¬ng ∂µ ∂µ Q −P =µ ∂x ∂y



 ∂Q ∂P − . ∂y ∂x

(14)

Kh«ng cã ph-¬ng ph¸p tæng qu¸t ®Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh ®¹o hàm riêng này. Tuy nhiªn trong mét vài tr-êng hîp ®Æc biÖt ta cã thÓ t×m ®-îc µ. Tr-êng hîp I: µ chØ phô thuéc vào x. Gi¶ sö µ > 0, khi ®ã chia hai vÕ cña (14) cho µ, ta ®-îc ∂P ∂Q − d ln µ ∂y ∂x = = ϕ. dx Q VËy tr-êng hîp này chØ tháa m·n khi vÕ ph¶i cña ®¼ng thøc trªn kh«ng phô thuéc vào y. Víi ®iÒu kiÖn này, thõa sè tÝch ph©n cho bëi: Z  µ(x) = exp ϕ(x)dx . Tr-êng hîp II: µ chØ phô thuéc vào y. Làm t-¬ng tù nh- trªn, thõa sè tÝch ph©n cho bëi: Z  µ(y) = exp ψ(y)dy , ∂Q ∂P − ∂x ∂y trong ®ã ψ(y) := ®-îc gi¶ thiÕt kh«ng phô thuéc vào x. P VÝ dô. T×m thõa så tÝch ph©n råi gi¶i ph-¬ng tr×nh (2xy + x2y + y 3/3)dx + (x2 + y 2)dy = 0. Ta cã P (x, y) = 2xy + x2 y + y 3 /3 Tõ ®ã

và

Q(x, y) = x2 + y 2 .

∂P ∂Q − 2x + x2 + y 2 − 2x ∂y ∂x = = 1. Q x2 + y 2

97

Do ®ã cã thÓ chän µ(x) = exp(

Z

dx) = ex ®Ó cho ph-¬ng tr×nh

ex [(2xy + x2 y + y 3/3)dx + (x2 + y 2)dy] = 0 là ph-¬ng tr×nh vi ph©n toàn phÇn. TÝch ph©n ph-¬ng tr×nh này theo c«ng thøc (13) ta ®-îc nghiÖm tæng qu¸t yex(x2 + y 2/3) = C.

2.4

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp I

Trong môc này ta xÐt líp c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n mà biÓu thøc là tuyÕn tÝnh ®èi víi Èn và ®¹o hàm cña nã. C¸c ph-¬ng tr×nh nhu thÕ ®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh. D¹ng tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp I là y 0 + p(x)y = q(x),

(15)

trong ®ã p(x), q(x) là c¸c hàm x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a, b) nào ®ã. NÕu q(x) ≡ 0, ta cã ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt: y 0 + p(x)y = 0.

(16)

§Þnh lý 2. Gi¶ sö p(x) và q(x) liªn tôc trªn (a, b) chøa x0. Khi ®ã, víi mçi gi¸ trÞ y0, ph-¬ng tr×nh (16) cã mét nghiÖm duy nhÊt tháa y(x0) = y0 . C¸ch gi¶i: §Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh (15) tr-íc hÕt ta gi¶i ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng (16). Thùc ra, ®©y là ph-¬ng tr×nh t¸ch biÕn dy + p(x)dx = 0. y NghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh này là: Z −

y(x) = Ae

p(x)dx ,

(17)

trong ®ã A là h»ng sè tïy ý. Ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange: Ta sÏ t×m nghiÖm tæng qu¸t cña (15) d-íi d¹ng tÝch Z − p(x)dx , (18) y = A(x)e

98 tøc là xem h»ng sè A trong biÓu thøc nghiÖm (17) nh- là hàm theo biÕn x (ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè). Thay vào ph-¬ng tr×nh (15) ta ®-îc Z − p(x)dx A0e = q(x). (19) Tõ ®ã, A(x) =

Z

Z q(x)e

p(x)dx dx + C.

Thay vào (18), ta thu ®-îc nghiÖm tæng qu¸t cña (15) là: Z Z   Z p(x)dx p(x)dx  −  dx + C  y=e  q(x)e

(20)

trong ®ã C là h»ng sè tïy ý. 0 VÝ dô. T×m nghiÖm cña Z ph-¬ng tr×nh vi ph©n y + 3xy = x ®i qua ®iÓm (0, 4). Ta cã p(x) = 3x nªn p(x)dx = 3x2 /2. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là

−3x2 /2

y=e

Z

3x2 /2



dx + C   1 1 3x2/2 2 −3x2 /2 e + C = + Ce−3x /2 =e 3 3 xe

Thay x = 0 và y = 4 vào ®¼ng thøc trªn, ta t×m ®-îc C = cÇn t×m là: y=

11 và nghiÖm riªng 3

1 11 −3x2 /2 + e . 3 3

HÖ qu¶ 1. NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (15) víi ®iÒu kiÖn y(x0) = y0 cho bëi c«ng thøc Z x q(t)µ(t)dt + y0 x0 y(x) = , µ(x) Z x p(t)dt . trong ®ã µ(x) := e x0

99

2.5

Ph-¬ng tr×nh Bernoully

Ph-¬ng tr×nh cã d¹ng y 0 + p(x)y = q(x)y α,

(21)

trong ®ã α là sè thùc nào ®ã, ®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh Bernoully.1 §Ó gi¶i ph-¬ng tr×nh này ta ®-a vÒ gi¶i ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (15) ®· xÐt trong môc tr-íc. Râ ràng víi α = 0 hay α = 1 th× (21) ®· có d¹ng ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. NÕu α 6= 0 và α 6= 1, th× ®Æt z = y 1−α. Khi ®ã z 0 = (1 − α)y −α y 0 Chia hai vÕ cña (21) cho y α , råi thay biÓu thøc cña z và z 0 vào ®¼ng thøc ®ã ta ®-îc ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh theo z: z 0 + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x).

(22)

NhËn xÐt. Chó ý r»ng ta ph¶i xÐt riªng tr-êng hîp y = 0 tr-íc khi chia hai vÕ cho y α ®Ó tr¸nh làm mÊt nghiÖm này. √ VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh xy 0 −4y = x2 y. Râ ràng ®©y là ph-¬ng tr×nh Bernoully víi α = 1/2 và y = 0 là mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®· cho. Gi¶ sö y 6= 0, chia hai vÕ cho xy 1/2 ta ®-îc 1 4 −1/2 0 y y − y 2 = x. x 1 1 §Æt z = y 2 ta cã z 0 = y −1/2y 0. Khi ®ã, ph-¬ng tr×nh ®· cho trë thành ph-¬ng 2 tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt x 2 z0 − z = . x 2 Gi¶i ph-¬ng tr×nh này, ta t×m ®-îc nghiÖm   1 2 z=x ln |x| + C . 2 1

I.Bernoully (1667 1746) là nhà to¸n häc Thôy sÜ.

100 Do ®ã ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm tæng qu¸t là 2  1 4 y=x ln |x| + C 2 và nghiÖm y = 0.

2.6

Ph-¬ng tr×nh Clairaut

Ph-¬ng tr×nh Clairaut2 là líp c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n d¹ng: y = xy 0 + f (y 0),

(23)

trong ®ã, nãi chung, f là mét hàm phi tuyÕn. C¸ch gi¶i: §Æt p = y 0. Khi ®ã y = px + f (p). Vi ph©n hai vÕ ®¼ng thøc này, víi chó ý r»ng dy = pdx ta ®-îc pdx = pdx + (x + f 0 (p))dp, hay (x + f 0 (p))dp = 0. Tõ ®ã ta suy ra dp = 0 hay x + f 0 (p) = 0. NÕu dp = 0 th× p = C, thay vào (23) ta ®-îc nghiÖm tæng qu¸t y = Cx + f (C).

(24)

§©y là mét hä ®-êng th¼ng. NÕu x + f 0 (p) = 0, cïng víi (23), ta thu ®-îc mét nghiÖm cho d-íi d¹ng tham sè  x = −f 0 (p), y = −pf 0 (p) + f (p). Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng nÕu f 00(p) liªn tòc và kh¸c kh«ng th× nghiÖm cho d-íi d¹ng tham sè là bao h×nh cña hä ®-êng th¼ng (24). VÝ dô. XÐt ph-¬ng tr×nh y = (x − 1)y 0 − y 02. §©y là ph-¬ng tr×nh Clairaut víi f (t) = −t2 − t. Thay thÕ y 0 bëi C ta ®-îc nghiÖm tæng qu¸t là hä ®-êng th¼ng y = C(x − 1) − C 2. 2

Alexis Claude Clairaut (1713-1765) là nhà khoa häc næi tiÕng ng-êi Ph¸p.

101 §Ó t×m nghiÖm kú dÞ, tøc là bao h×nh cña hä ®-êng th¼ng trªn ta xÐt hÖ  x = 2C + 1, y = C(x − 1) − C 2. Khö C tõ hÖ ph-¬ng tr×nh này ta ®-îc bao h×nh là parabol y =

2.7

(x − 1)2 . 4

Ph-¬ng tr×nh Lagrange

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I tuyÕn tÝnh ®èi víi x và y d¹ng: y = ϕ(y 0)x + ψ(y 0),

(25)

®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh Lagrange3. C¸ch gi¶i: Gi¶ sö ϕ(y 0 ) 6= y 0 , nÕu kh«ng ph-¬ng tr×nh ®· cho là ph-¬ng tr×nh Clairaut mà ta ®· xÐt trªn ®©y. Còng t-¬ng tù nh- tr-êng hîp ph-¬ng tr×nh Clairaut, ta ®Æt p = y 0 . Khi ®ã ph-¬ng tr×nh (25) trë thành y = ϕ(p)x + ψ(p).

(26)

Vi ph©n hai vÕ theo x ta ®-îc p=

dy dp = ϕ(p) + [ϕ0(p)x + ψ 0(p)] dx dx

Xem p là biÕn sè ®éc lËp ta cã ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh mà Èn là x = x(p) nhsau: ϕ0 (p) ϕ0 (p) dx + x= . dp ϕ(p) − p p − ϕ(p) TÝch ph©n ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh này theo ph-¬ng ph¸p ®· biÕt ta ®-îc nghiÖm tæng qu¸t x = h(p, C), víi C là tham sè tïy ý. KÕt hîp víi (26) ta cã nghiÖm tæng qu¸t cña (25) cho d-íi d¹ng tham sè (tham sè hãa theo tham sè p):  y = ϕ(p)h(p, C) + ψ(p), x = h(p, C). NhËn xÐt. Chó ý r»ng øng víi c¸c gi¸ trÞ cña tham sè p = pi (trong ®ã pi là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ϕ(p)−p = 0) ta còng nhËn ®-îc c¸c nghiÖm cña ph-¬ng 3

J.L.Lagrange (1736 - 1813) là nhà to¸n häc næi tiÕng ng-êi Ph¸p.

102 tr×nh (25). Tïy theo tõng tr-êng hîp nghiÖm này cã thÓ là nghiÖm kú dÞ hoÆc kh«ng. VÝ dô. Gi¶i ph-¬ng tr×nh y = xy 02 − y 0. §Æ t p = y 0, khi ®ã y = xp2 − p. Vi ph©n hai vÕ cña ®¼ng thøc này theo x víi chó ý dy = pdx, sau khi thu gän ta ®-îc (p2 − p)dx + (2px − 1)dp = 0. Gi¶ sö p2 − p 6= 0 ta cã 2 1 dx + x= . dp p − 1 p(p − 1) Gi¶i ph-¬ng tr×nh này ta ®-îc: x=

C + p − ln p (p − 1)2

Thay vào biÓu thøc cña y ta ®-îc nghiÖm tæng qu¸t d¹ng tham sè:  C + p − ln p    x = (p − 1)2 (C + p − ln p)p2    y= − p. (p − 1)2 C¸c nghiÖm øng víi p = 0 và p = 1 là y = 0 và y = x − 1 t-¬ng øng.

3 3.1

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai Kh¸i niÖm ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai

D¹ng tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II là F (x, y, y 0, y 00) = 0.

(27)

D¹ng ®· gi¶i ra ®èi víi ®¹o hàm cÊp hai: y 00 = f (x, y, y 0).

(28)

Bài to¸n Cauchy cho ph-¬ng tr×nh (28) ®-îc ph¸t biÓu nhu sau: T×m nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (28) tháa ®iÒu kiÖn: y(x0) = y0,

y 0(x0 ) = y.

103 §Þnh lý 3. NÕu trong miÒn G 3 (x0, y0, y00 ) hàm sè f (x, y, y 0) liªn tôc cïng víi c¸c ®¹o hàm riªng fy0 , fy0 0 th× bài to¸n Cauchy cã mét nghiÖm duy nhÊt. Ta hiÓu nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai là nghiÖm chøa 2 h»ng sè C1 và C2 tïy ý. Ch¼ng h¹n ph-¬ng tr×nh y 00 + y = 0 cã nghiÖm tæng qu¸t là y = C1 cos x + C2 sin x. NghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n là nghiÖm suy tõ nghiÖm tæng qu¸t øng víi c¸c gi¸ trÞ cô thÓ cña h»ng sè.

3.2

NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai

Ta gäi ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lµ ph-¬ng tr×nh cã d¹ng: y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f (x),

(29)

trong ®ã p(x), q(x) và f (x) là c¸c hàm liªn tôc trªn kho¶ng (a, b) nào ®ã. NÕu f (x) ≡ 0 y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0, (30) ta gäi là ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt: §Þnh lý 4. NÕu φ1 (x) và φ2(x) là hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (30) th× C1φ1 (x)+ C2 φ2(x) còng là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (30). Nãi c¸ch kh¸c, tËp nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (30) cã cÊu tróc kh«ng gian vector. Chøng minh. KiÓm tra trùc tiÕp.

2

HÖ nghiÖm c¬ b¶n: Hai hàm φ1 (x) và φ2 (x) ®-îc gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn (a, b) nÕu: α1 φ1 (x) + α2 φ2 (x) = 0, ∀x ∈ (a, b) =⇒ α1 = 0 và α2 = 0. Ng-îc l¹i, nÕu hai hàm kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh th× ta nãi phô thuéc tuyÕn tÝnh. φ1 VËy φ1 (x) và φ2(x) phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn (a, b) khi và chØ khi tØ sè là φ2 h»ng sè trªn (a, b). VÝ dô. HÖ hàm {cos x, sin x} ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn R. §Þnh thøc Wronski: Cho hai hàm kh¶ vi φ1 (x) và φ2(x), ta gäi ®Þnh thøc sau ®©y là ®Þnh thøc Wronski cña φ1 (x) và φ2 (x): φ1 φ2 (31) W [φ1, φ2](x) = 0 φ1 φ02

104 §Þnh lý 5. NÕu hai hàm kh¶ vi φ1(x) và φ2(x) phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn (a, b) th× W [φ1, φ2](x) ≡ 0, trªn (a, b). Nhu vËy, nÕu ®Þnh thøc Wronski cña hai hàm kh¸c kh«ng t¹i x0 ∈ (a, b) th× chóng ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn kho¶ng này. §Þnh lý 6. Gi¶ sö W (x) là ®Þnh thøc Wronski cña hai nghiÖm φ1 (x) và φ2 (x) cña ph-¬ng tr×nh (30). Khi ®ã Z x − p(x)dx , v?i x0 ∈ (a, b). W (x) = W (x0)e x0 Chøng minh. Dành cho b¹n ®äc. 2 HÖ gåm hai nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña ph-¬ng tr×nh (30) ®-îc gäi lµ hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña ph-¬ng tr×nh ®ã. §Þnh lý 7. Gi¶ sö φ1 (x) và φ2(x) là hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (30) víi c¸c hÖ sè liªn tôc trªn (a, b). Khi ®ã {φ1 (x), φ2(x)} là hÖ nghiÖm c¬ b¶n ⇔ W (x) 6= 0,

víi mçi x ∈ (a, b).

§Þnh lý 8. Gi¶ sö {φ1(x), φ2(x)} là hÖ nghiÖm c¬ b¶n cña ph-¬ng tr×nh (30) víi c¸c hÖ sè liªn tôc trªn (a, b). Khi ®ã, nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh (30) là: y = C1φ1 (x) + C2φ2 (x). VÝ dô. Ph-¬ng tr×nh y 00 + y = 0 có hai nghiÖm φ1 = cos x, φ2 = sin x. Hai nghiÖm này ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn R. Do vËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là: y = C1 cos x + C2 sin x. T-¬ng tù, ph-¬ng tr×nh y 00 − y = 0 cã hai nghiÖm φ1 = ex, φ2 = e−x . Hai nghiÖm này ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn R. Do vËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là: y = C1ex + C2 e−x . MÖnh ®Ò 1. NÕu φ1 6= 0 là mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (30) th× mét nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi nã cho bëi: Z Z − p(x)dx e φ2 = φ1 dx. φ21

105 VÝ dô. T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh 2x2y 00 + 3xy 0 − y = 0 trªn (0, +∞) biÕt nã cã mét nghiÖm là φ1(x) = 1/x. Theo c«ng thøc trªn, nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi φ1 cho bëi Z 3 Z dx − 1 2 2x dx. φ2 (x) = xe x TÝnh to¸n tÝch ph©n, ta thu ®-îc y2(x) = 2/3x1/2. VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho trªn (0, +∞) là y(x) =

3.3

√ C1 + C2 x. x

NghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt

Ta l-u ý r»ng, gièng nh- c¸c kÕt qu¶ trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh, nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt cã quan hÖ chÆt chÏ víi nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt t-¬ng øng. Cô thÓ, ta cã thÓ kiÓm tra dÔ dàng c¸c tÝnh chÊt sau: i) HiÖu hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt là mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng. ii) Tæng cña mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt và mét nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. H¬n thÕ n÷a, ®Þnh lý sau m« t¶ cÊu tróc nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. §Þnh lý 9. Gi¶ sö c¸c hàm hÖ sè trong ph-¬ng tr×nh (29) liªn tôc trªn (a, b). Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt (29) b»ng tæng cña mét nghiÖm riªng nào ®ã cña nã và nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng.

106 VÝ dô. Cho ph-¬ng tr×nh y 00 + 4y = 5ex . DÔ thÊy cos 2x và sin 2x là hai nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng y 00 + 4y = 0. Mét nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là yr = ex . Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + ex , trong ®ã C1, C2 là hai h»ng så tïy ý. Ph-¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè Lagrange t×m nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt: Gi¶ sö nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt (30) là: y = C1φ1 (x) + C2φ2 (x) Ta xem C1 , C2 nhu là c¸c hàm theo x và t×m nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt d-íi d¹ng: yr = C1(x)φ1 (x) + C2 (x)φ2(x). Ta cã yr0 = C1 (x)φ01(x) + C2(x)φ02 (x) + C10 (x)φ1(x) + C20 (x)φ2(x). Cho C10 (x)φ1(x) + C20 (x)φ2(x) = 0 và tiÕp tôc tÝnh ®¹o hàm cÊp hai råi thay vào ph-¬ng tr×nh (29) ta ®-îc: C10 (x)φ01(x) + C20 (x)φ02 (x) = f (x). VËy C10 và C20 là nghiÖm cña hÖ: ( C10 (x)φ1 (x) + C20 (x)φ2(x) = 0, C10 (x)φ01 (x) + C20 (x)φ02(x) = f (x). HÖ ph-¬ng tr×nh này cã ®Þnh thøc kh¸c kh«ng nªn cã nghiÖm duy nhÊt C10 và C20 . Tõ ®ã , b»ng c¸ch tÝch ph©n ta cã thÓ t×m C1(x) và C2(x). VÝ dô. T×m mét nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh y 00 + y =

1 . sin x

Ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t-¬ng øng y 00 + y = 0 cã nghiÖm tæng qu¸t là y = C1 cos x + C2 sin x. NghiÖm riªng cã d¹ng yr = C1 (x) cos x + C2 (x) sin x,

107 trong ®ã C10 , C20 tháa hÖ ph-¬ng tr×nh ( 0 C1 cos x + C20 sin x = 0, −C10 sin x + C20 cos x =

1 . sin x

cos x = (ln | sin x|)0. VËy mét nghiÖm riªng thu ®-îc Tõ ®ã, C10 = −1 và C20 = sin x là yr = −x cos x + ln | sin x|. sin x. Khi ®ã nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là: y = C1 cos x + C2 sin x + −x cos x + ln | sin x|. sin x

3.4

Ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai hÖ sè h»ng

Trong tiÓu môc này ta xÐt tr-êng hîp c¸c hàm hÖ sè p(x) và q(x) là c¸c h»ng sè thùc: (32) y 00 + py 0 + qy = f (x) y 00 + py 0 + qy = 0

(33)

C¸c tÝnh chÊt và ®Þnh lý trong môc tr-íc ®-îc vËn dông trong tr-êng hîp này. Ta nhÊn m¹nh r»ng trong tr-êng hîp này, nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt (33) lu«n lu«n thiÕt lËp ®-îc. ThËt vËy, ta t×m nghiÖm d-íi d¹ng y = eλx Thay vào ph-¬ng tr×nh thu?n nh?t (33) ta ®-îc: λ2 + pλ + q = 0.

(34)

§©y là ph-¬ng tr×nh bËc hai, ®-îc gäi lµ ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cña ph-¬ng tr×nh (33). Ta xÐt ∆ = p2 − 4q víi c¸c tr-êng hîp sau: ∆ > 0: Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cã 2 nghiÖm thùc ph©n biÖt λ1 và λ2 . Khi ®ã ph-¬ng tr×nh vi ph©n (33) cã hÖ nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh là {eλ1x , eλ2x }. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: y = C1 eλ1x + C2 eλ2 x ∆ = 0: Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cã nghiÖm (thùc) kÐp λ0 . Khi ®ã, ph-¬ng tr×nh vi ph©n (33) cã hÖ nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh là {eλ0x , xeλ0x }. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: y = [C1 + C2x]eλ0x .

108 ∆ < 0: Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng có 2 nghiÖm phøc liªn hîp α ± iβ. Khi ®ã, t¸ch phÇn thùc và phÇn ¶o ta thÊy ph-¬ng tr×nh vi ph©n (33) cã hÖ nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh là {cos βxeα, sin βxαx}. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: y = [C1 cos βx + C2 sin βx]eαx. VÝ dô. • Ph-¬ng tr×nh y 00 + y = 0 cã ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng λ2 + 1 = 0. Ph-¬ng tr×nh này cã 2 nghiÖm phøc ±i. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là y = C1 cos x + C2 sin x. • Ph-¬ng tr×nh y 00 + y 0 − 6y = 0 cã ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng λ2 + λ − 6 = 0. Ph-¬ng tr×nh này cã hai nghiÖm thùc là 2 và −3. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: y = C1 e2x + C2 e−3x. • Ph-¬ng tr×nh y 00 + 4y 0 + 4y = 0 cã ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng λ2 + 4λ + 4 = 0. Ph-¬ng tr×nh này cã nghiÖm kÐp là −2. Do ®ã nghiÖm tæng qu¸t là: y = [C1 + C2 x]e−2x. Ph-¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh t×m nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt: Trong tr-êng hîp ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng kh«ng thuÇn nhÊt mà f (x) cã d¹ng ®Æc biÖt ta cã thÓ x¸c ®Þnh d¹ng cña nghiÖm riªng. Tõ ®ã cã thÓ t×m ®-îc chÝnh x¸c nghiÖm riªng này. Tr-êng hîp 1: f (x) = eax P (x) , víi P (x) là ®a thøc bËc n nào ®ã. • NÕu a kh«ng là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng (34) th×: yr = eaxQ(x), víi Q(x) là mét ®a thøc cïng bËc víi P (x). • NÕu a là nghiÖm béi k cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng (34) th×: yr = xk eaxQ(x), víi Q(x) là mét ®a thøc cïng bËc víi P (x).

109 Tr-êng hîp 2: f (x) = eax [P1(x) cos bx + P2 (x) sin bx], víi P1 (x) và P2 (x) là hai ®a thøc bËc nào ®ã. • NÕu a + ib kh«ng là nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng (34) th×: yr = eax[Q1(x) cos bx + Q2 (x) sin bx], víi Q1 (x), Q2(x) là c¸c ®a thøc cã bËc b»ng bËc lín nhÊt cña P1 (x) và P2 (x). • NÕu a + ib là nghiÖm phøc cña ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng (34) th×: yr = xeax[Q1(x) cos bx + Q2(x) sin bx] víi Q1 (x), Q2 (x) nh- trªn. VÝ dô. T×m nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh y 00 − 3y 0 + 2y = (3 − 4x)ex Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng là λ2 − 3λ + 2 = 0 cã hai nghiÖm là λ1 = 1 và λ2 = 2, trong ®ã α = 1 là nghiÖm ®¬n cña nã nªn nghiÖm riªng cã d¹ng yr = xex(Ax + B). Thay vào ph-¬ng tr×nh ®· cho và c©n b»ng c¸c hÖ sè ta thu ®-îc  −2A = 4, 2A − B = 1, Gi¶i ra ta ®-îc A = 2 và B = 1, khi ®ã nghiÖm riªng là yr = xex(2x + 1). Cuèi cïng, nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là y = C1ex +C2e2x +xex(2x+1). VÝ dô. T×m nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh y 00 + y = 4x sin x. Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng cã nghiÖm là ±i và a + ib = i. Khi ®ã nghiÖm riªng cã d¹ng: yr = x[(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x]. Thay vào ph-¬ng tr×nh ®· cho và c©n b»ng c¸c hÖ sè ta ®-îc   −2A = 2 A = −1       C −B =0 B=0 ⇔ D+A=0 C=0       2C = 0 D = 1. V× thÕ, nghiÖm riªng là yr = x(−x cos x + sin x) và nghiÖm tæng qu¸t cña ph-¬ng tr×nh ®· cho là y = C1 cos x + C2 sin x + x(sin x − x cos x).

110

4 4.1

HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n C¸c kh¸i niÖm

HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I hai Çn y1(x), y2(x) tæng qu¸t cã d¹ng  F1(x, y1, y2 , y10 , y20 ) = 0 F2(x, y1, y2 , y10 , y20 ) = 0, hoÆc d¹ng chÝnh t¾c (®· gi¶i ra ®èi víi ®¹o hàm):  0 y1 = f1 (x, y1, y2) y20 = f2 (x, y1, y2).

(35)

Mçi ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp hai: y 00 = f (x, y, y 0) ®Òu cã thÓ viÕt thành mét hÖ bËc nhÊt b»ng c¸ch ®Æt y = y1 , y 0 = y2:  0 y1 = y2 y20 = f (x, y1, y2 ). Ng-îc l¹i, mçi hÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp I hai Èn ®Òu cã thÓ ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II. Tõ ®ã, ta cã thÓ gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh b»ng c¸ch ®-a vÒ gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II. VÝ dô. Gi¶i hÖ sau dx dy = y, = x. dt dt §¹o hàm hai vÕ cña ph-¬ng tr×nh ®Çu råi kÕt hîp víi ph-¬ng tr×nh sau ta ®-îc ph-¬ng tr×nh d2 x − x = 0. dt2 Tõ ®ã nghiÖm tæng qu¸t là x = x(t) = C1 e−t + C2 et. Tõ ph-¬ng tr×nh thø nhÊt ta tÝnh ®-îc y = y(t) = −C1e−t + C2 et. NhËn xÐt. HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n gåm hai Èn nãi chung cã nghiÖm phô thuéc vào hai h»ng sè tïy ý. NghiÖm nh- thÕ ta còng gäi là nghiÖm tæng qu¸t. NghiÖm suy

111 ra tõ nghiÖm tæng qu¸t víi c¸c gi¸ trÞ cô thÓ cña tham sè ®-îc gäi lµ nghiÖm riªng. Bài to¸n Cauchy cho hÖ ph-¬ng tr×nh (35) ph¸t biÓu nh- sau: T×m nghiÖm cña hÖ (35) tháa ®iÒu kiÖn: y1(x0 ) = ξ1 , y2(x0 ) = ξ2 . Víi mét sè gi¶ thiÕt thÝch hîp, ch¼ng h¹n c¸c hàm f1, f2 trong (35) liªn tôc cïng víi c¸c ®¹o hàm riªng cña chóng theo y1, y2 trong miÒn chøa (x0 , ξ1 , ξ2) th× bài to¸n Cauchy cã nghiÖm duy nhÊt.

4.2

HÖ ph-¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp I hÖ sè h»ng

Xem t là biÕn sè ®éc lËp, hÖ tuyÕn tÝnh hai Èn hÖ sè h»ng là hÖ cã d¹ng:  0 x = ax + by + g1 (t) y 0 = cx + dy + g2 (t) NÕu c¸c hàm g1 và g2 ®Òu b»ng kh«ng th× ta gäi là hÖ thuÇn nhÊt. CÊu tróc nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt và kh«ng thuuÇn nhÊt t-¬ng tù nh- trong môc tr-íc hoÆc cã thÓ thiÕt lËp b»ng c¸ch ®-a vÒ ph-¬ng tr×nh vi ph©n cÊp II. Ta t×m nghiÖm cña hÖ thuÇn nhÊt d-íi d¹ng hàm mò     x v1 λt e . = v2 y Khi ®ã λ và v = (v1 , v2) chÝnh là gi¸ trÞ riªng và vector riªng t-¬ng óng cña ma trËn   a b A= c d.     φ11(t) φ12(t) Hai nghiÖm φ1(t) = và φ2 (t) = cña hÖ thuÇn nhÊt ®-îc gäi φ21(t) φ22(t) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn t ∈ (a, b) nÕu ma trËn (φij ) kh«ng suy biÕn. §Þnh lý 10. NÕu φ1(t) và φ2(t) là hai nghiÖm ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña hÖ thuÇn nhÊt th× nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ là   x = C1 φ1 + C2 φ2 . y

112 Cuèi cïng ®Ó cã nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ kh«ng thuÇn nhÊt, ta lÊy mét nghiÖm riªng nào ®ã cña nã céng víi nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ thuÇn nhÊt t-¬ng øng. VÝ dô. Gi¶i hÖ

   dx = −x − 2y dt dy   = 3x + 4y. dt   −1 −2 . Ph-¬ng tr×nh ®Æc tr-ng §©y là hÖ thuÇn nhÊt víi ma trËn A = 3 4 −1 − λ −2 = λ2 − 3λ + 2 = 0 3 4 − λ cã c¸c nghiÖm là λ1 = 1, λ2 = 2. øng víi λ1 = 1 ta cã hÖ



−2γ1 − 2γ2 = 0 3γ1 + 3γ2 = 0.

Chän nghiÖm γ1 = 1, γ2 = −1 ta ®-îc mét nghiÖm x1 = et ,

y1 = −et.

T-¬ng tù, víi λ2 = 2 ta còng t×m ®-îc nghiÖm x2 = e2t,

3 y2 = − e2t. 2

VËy nghiÖm tæng qu¸t là (

x = C1et + C2e2t 3 y = −C1 et − C2 e2t, 2

trong ®ã C1, C2 là c¸c h»ng sè tuú ý.

Tµi liÖu tham kh¶o [1] NguyÔn §×nh TrÝ, T¹ V¨n §Ünh, NguyÔn Hå Quúnh, To¸n häc cao cÊp, TËp 1, 2, 3, NXBGD - 1998. [2] Danco P.E, Popov AS.G, Kozehevnikova T.YA., Higher mathematics in problems and excercises, Part 1, Part 2, English translation, Mir Publishers-1983. [3] G.M Fichtengon, C¬ së gi¶i tÝch to¸n häc, TËp I, II, NXB §H&THCN, Hµ Néi - 1972. [4] Hoµng H÷u §−êng, Vâ §øc T«n, NguyÔn ThÕ Hoµn, Ph−¬ng tr×nh vi ph©n, NXB §H&THCN 1967. [5] Jean-Marie Monier, Gi¶i tÝch 2, 3, 4, NXB GD 2001. [6] H. Cartan, PhÐp tÝnh vi ph©n - C¸c d¹ng vi ph©n, NXB §H&THCN, Hµ Néi 1980. [7] M. Spivak, Gi¶i tÝch trªn ®a t¹p, NXB §H&THCN, Hµ Néi 1985. [8] R.Goderment, Algebra, Hermann 1968. [9] Sze-Tsen Hu, §¹i sè tuyÕn tÝnh vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, NXB §H&THCN 1979. [10] S.Lang, Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Company 1970. [11] J-M.Monier, §¹i sè 1, NXB GD 2000.