_www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ______________________________________________________ C©u I. 1) ∆ = a 2 − 4 ≥ 0 ⇔ |a| ≥ 2. (1) 2
2
x14 + x 24 x1 x 2 >7 ⇔ ⇔ + > 7 x x (x1x2 )2 2 1 2
(x + x )2 − 2x1x 2 − 2(x1x 2 )2 ⇔ 1 2 >7 2 (x1x 2 )
(theo ®Þnh lÝ Viet) ⇔ (a 2 − 2)2 − 2 > 7 ⇔ | a | > 5 (2) KÕt hîp (1) vµ (2) ®−îc ®¸p sè : |a| > 5 . 2) Bµi to¸n tháa m·n khi vµ chØ khi tån t¹i c¸c sè : xo − d , xo , xo + d
(d ≠ 0) tháa m·n
(xo − d)3 + a(xo − d) + b = 0 ,
x3o + ax o + b = 0 , (xo + d)3 + a(x o + d) + b = 0 .
Gi¶i ra ®−îc xo = 0, b = 0, a < 0 tïy ý. Khi ®ã 3 nghiÖm lµ − −a , 0, §¸p sè : b = 0, a < 0 tïy ý.
−a .
C©u II. Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi : (1 − a)y2 − 2y + 4a = 0 (1) y=
1 (2) cosx
1 : (1) cã nghiÖm kÐp y = 2. 2 π 1 Thay vµo (2) ®−îc cosx = . Do ®ã x = ± + 2kπ . 3 2 π nªn sè nghiÖm (x) cña ph−¬ng tr×nh ®· cho trong kho¶ng 2) V× 0 < x < 2
1) Khi a =
π 0 ; b»ng sè nghiÖm 2
(y) cña ph−¬ng tr×nh (1) trong kho¶ng (1 ; +∞). VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã qu¸ mét nghiÖm trong
kho¶ng 0 ;
π khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm y1 , y2 kh¸c nhau trong kho¶ng 2
(1 ; +∞) ; tøc lµ a ≠ 1, ∆ > 0 vµ 1 < y1 < y2 . So s¸nh sè 1 víi 2 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1), ta ®−îc kÕt qu¶ : 1 1 < a < 1, víi a ≠ . 3 2 C©u III.
1) B¹n ®äc tù gi¶i nhÐ! 2) Ph−¬ng tr×nh cña tiÕp tuyÕn d t¹i M : a4 5 y = (x − a)(2a 3 − 6a) + − 3a 2 + 2 2 Do ®ã hoµnh ®é c¸c giao ®iÓm cña d vµ ®å thÞ lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh :
_www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ______________________________________________________ 1 4 5 a4 5 x − 3x 2 + = (x − a)(2a 3 − 6a) + − 3a 2 + 2 2 2 2
Ph−¬ng tr×nh nµy t−¬ng ®−¬ng víi : (x − a)2 (x 2 + 2ax + 3a 2 − 6) = 0 .
3) TiÕp tuyÕn d c¾t ®å thÞ t¹i 2 ®iÓm P ≠ Q ⇔ ⇔ f(x) = x2 + 2ax + 3a 2 − 6
cã 2 nghiÖm kh¸c nhau (vµ kh¸c a) ⇔ ∆' > 0 vµ f(a) ≠ 0 ⇔ − 3 < a < 3 , a ≠ ±1.
Täa ®é ®iÓm K : 1 x K = 2 (x P + x Q ) = −a y = − 7 a 4 + 9a 2 + 5 K 2 2
Khö a ta ®−îc : 7 4 5 yK = − x K + 9x 2K + . 2 2
V× ®iÒu kiÖn : − 3 < a < 3 , a ≠ ±1 nªn − 3 < x K < 3 , x K ≠ ±1 . VËy tËp hîp c¸c ®iÓm K lµ phÇn cña ®å thÞ 7 5 y = − x 4 + 9x2 + 2 2 øng víi − 3 < x < 3 , x ≠ ±1 (xem H×nh )
0
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ C©u IVa. 1)
x y z + + = 1. a b c
r 1 1 1 2) MÆt ph¼ng (ABC) cã vect¬ ph¸p tuyÕn n = ; ; , ®ã còng lµ vect¬ chØ phû¬ng cña ®ûêng th¼ng OH, suy ra a b c ®ûêng th¼ng OH cã phû¬ng tr×nh tham sè x=
t t t , y = , z = . a b c
§iÓm H Î (ABC) øng víi gi¸ trÞ tham sè t lµ nghiÖm cña phû¬ng tr×nh t t t a 2 b 2c 2 = 1 Þ t = . + + a2 b2 c2 a 2 b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 §Æt M = a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 , ta suy ra täa ®é cña H : ab 2c 2 a 2 bc 2 a 2 b 2c xH = , , zH = , yH = M M M vµ ®é dµi OH 2
OH = x Þ OH =
2 H
+ y
2 H
+ z
abc 2
2
a b + b 2c 2 + c 2a 2
2 H
a 2 b 2c 2 = M
.
3) Gäi V lµ thÓ tÝch khèi tø diÖn OABC, S lµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Ta cã 1 1 V = abc, V = OH . S 6 3 ÞS=
1 abc 1 . = a 2 b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 . 2 OH 2
4) Tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc 1 1 1 a 2 b 2 £ (a 4 + b 4 ), b 2 c 2 £ (b 4 + c 4 ), c 2 a 2 £ (c + a ) 2 2 2 4
4
suy ra a2b2 + b2c2 + c2a2 £ a4 + b4 + c4 Þ Þ 3(a2b2 + b2c2 + c2a2) £ a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = = (a2 + b2 + c2)2 = k4 Þ
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ S£
1 k2 . . 2 3
DÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra khi a2 = b2 = c2 =
k2 k . hay a = b = c = 3 3
§Ó íc lûúång OH, ta viÕt 1 M 1 1 1 = 2 2 2 = 2 + 2 + 2 , 2 OH a bc a b c vËy
k2 1 1 2 2 2 1 2 + 2 + 2 ³ 33 a 2 b 2c 2 . 2 = (a + b + c ) a OH b c
3 3 a 2 b 2c 2
= 9,
k2 k Û OH £ . 9 3
suy ra OH2 £
k
DÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra khi a = b = c =
3
.
C©u IVb. 1) Gi¶ sö AH c¾t BC t¹i K. V× BC ⊥ OA, BC ⊥ OH nªn BC⊥ mÆt ph¼ng (OAH) Þ OK ⊥ BC ; AK ⊥ BC. Nãi kh¸c ®i OH vµ OK lµ c¸c ®ûêng cao h¹ xuèng c¸c c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng OAK vµ OBC. Tõ ®ã suy ra: 1 1 1 = 2 = 2 + OK OB OC 2 1 1 1 = 2 + 2 ⇒ = b c OH 2 1 1 1 1 1 = 2 + 2 = 2 + 2 + OA OK a b c2 Þ OH =
abc 2
a b
2
+ b 2c 2 + c 2a 2
Gäi V lµ thÓ tÝch tø diÖn, vËyV = MÆt kh¸c, V =
1 1 OA.S OBC = abc. 3 6 ∆
1 3V 1 abc 1 OH.S∆ABC Þ S∆ABC = = . = 3 OH 2 OH 2
a 2 b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 .
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng – Phiªn b¶n 1.0 ________________________________________________________________________________ MÆt kh¸c gäi J lµ trung ®iÓm c¹nh BC. KÎ Ju ⊥ mÆt ph¼ng (OBC) vµ trong mÆt ph¼ng (OAJ) kÐo dµi OG c¾t Ju t¹i I. C¸c ∆OAG vµ ∆IJG ®ång d¹ng, vËy: GI IJ GJ 1 = = = . GO OA GA 2 Tõ ®ã OA = 2IJ nªn I c¸ch ®Òu O vµ A. H¬n n÷a, mäi ®iÓm trªn Ju c¸ch ®Òu 3 ®iÓm O, B, C nªn I lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC víi b¸n kÝnh: OI =
1 2
Þ OG =
a 2 + b2 + c2 2 1 OI = 3 3
a 2 + b2 + c2 .
2) Tõ h×nh vÏ (A, B, C lµ gãc cña ∆ABC) AB 2 + AC 2 - 2AB.AC cosA = BC 2 = b 2 + c 2 < < AB 2 + AC 2 Þ cosA > 0 Þ A nhän. Tû¬ng tù, ta cã cosB > 0 vµ cosC > 0 Þ B, C còng nhän. MÆt kh¸c : tgB = AK/BK. Nhûng: Tû¬ng tù, a 2 tgA = 2S ; c 2 tgC = 2S Þ a 2 tgA = b 2 tgB = c 2 tgC = 2S. 3) V× A cè ®Þnh, H nh×n OA d íi gãc vu«ng nªn cã thÓ chøng minh r»ng tËp hîp c¸c ®iÓm H lµ phÇn t û mÆt cÇu ®ûêng kÝnh OA n»m trong gãc tam diÖn vu«ng Oxyz. Còng vËy v× J cã thÓ ch¹y kh¾p gãc vu«ng yOz mµ AG = (2/3)AJ nªn tËp hîp c¸c ®iÓm G lµ phÇn tû mÆt ph¼ng song song víi yOz n»m trong gãc tam diÖn Oxyz vµ c¾t OA t¹i b 2c 2 2 a + a 2 b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 AK 2 a 2 + OK 2 b2 + c2 A’ sao cho: = = 2 = b - OK 2 b 2c 2 BK 2 b4 2 b - 2 b + c2 3) V× A cè ®Þnh, H nh×n OA d íi gãc vu«ng nªn cã thÓ chøng minh r»ng tËp hîp c¸c ®iÓm H lµ phÇn t mÆt cÇu ®ûêng kÝnh OA n»m trong gãc tam diÖn vu«ng Oxyz. Còng vËy v× J cã thÓ ch¹y kh¾p gãc vu«ng yOz mµ AG = (2/3)AJ nªn tËp hîp c¸c ®iÓm G lµ phÇn tû mÆt ph¼ng song song víi yOz n»m trong gãc tam diÖn Oxyz vµ c¾t 1 OA t¹i A’ sao cho:OA’ = OA. 3