Giai De Thi Thu Dai Hoc Mon Toan So 2 - 2009

BAØI GIAÛI ÑEÀ SOÁ 2 Baøi 1: a. Baïn ñoïc töï giaûi. b. Goïi  laø ñöôøng thaúng tieáp xuùc vôùi ñoà thò ( C ) taïi ñieåm M  x0 ; y0  . Suy ra phöông trình cuûa  1 1 laø : y  y /  x0  x  x0   y0   x02  1  x  x0   x03  x0  . 3 3 2 4 Maø  ñi qua A 1; 2  neân ta ñöôïc:  x03  x02   0  x0  2 . 3 3 Vaäy ñöôøng thaúng  caàn tìm coù phöông trình: y  3x  5 .

Caùc baïn cuõng coù theå giaûi theo caùch sau: Goïi  laø ñöôøng thaúng qua A 1; 2  vaø coù heä soá goùc k   : y  k  x  1  2 . Ñöôøng thaúng  tieáp 1 1 3  x  x   kx  2  k  x  2 xuùc vôùi ( C ) khi heä sau coù nghieäm:  3 . Suy ra:  : y  3x  5 .  3 k  3 2  x 1  k  Baøi 2: a. Phöông trình töông ñöông: 2 1  2sin 2 2 x   2sin 2 x cos 2 x  6sin 2 x  cos 2 x  4  0  2sin 2 x 1  2sin 2 x    2sin 2 x  1 cos 2 x  2  2sin 2 x  1  0   2sin 2 x  1 cos 2 x  2sin 2 x  2   0

 2sin 2 x  1  0 .  cos 2 x  2sin 2 x  2  0    x  12  k  2sin 2 x  1  0    x  5  l  12

k,l  Z .

2

 cos 2 x  2sin 2 x  2  0   cos x  sin x  cos x  sin x   2  sin x  cos x   0   x   m m, n  Z .   cos x  sin x  3cos x  sin x   0   4   x  arctan 3  n x log  x 2  1 2 x x 2  1 2 2 / b. Ñaët t  t  x   x  1 log  x  1  t  x    2  0, x  1;3 .  x  1 ln10 x2 1

Hieån nhieân t lieân tuïc treân 1;3 Suy ra: t 1  t  t  3  0  t  2 2 . t2  8  m. Khi ñoù phöông trình trôû thaønh: t  2 2mt  2m  8  0  2 2t  2  2  t2  8 Ñaët f  t   , t  0; 2 2  \   . 2 2t  2  2  2 2t 2  4t  16 2 f / t   . 2 2 2t  2 2





Baûng bieán thieân: t

2 2

0

f / t  f t 

2 2





-4

+ 8 3

- Vaäy khoâng coù giaù trò naøo cuûa m thoûa yeâu caàu baøi toaùn. Baøi 3:

1 1 1 1   a. I   e x dx . Ñaët t  x  t 2  x  2tdt  dx . Vaäy I  2 tet dt  2  tet    et dt   2 . 0 0 0 0   n b. Xeùt khai trieån: 1  x   Cn0  xCn1  x 2Cn2  x3Cn3  ...  x n Cnn .

Laáy ñaïo haøm hai veá: n 1  x 

n 1

 Cn1  2 xCn2  3 x 2Cn3  ...  nx n 1Cnn .

Nhaân hai veá cho x roài laïi laáy ñaïo haøm moät laàn nöõa thì ta ñöôïc: n 1 n2 n 1  x   x  n  11  x    12 Cn1  22 xCn2  32 x 2Cn3  ...  n 2Cnn .   Cho x  1 ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh. Moät caùch giaûi ñeïp cho baøi naøy laø:  Baïn ñoïc töï chöùng minh: kCnk  nCnk11 . n

n

n

 Ta coù: 12 Cn1  22 Cn2  ...  n 2Cnn   k 2Cnk  nkCnk11 n  k  1  1 Cnk11 k 1

n

n

k 1

k 1

n

n

     n    k  1 Cnk11   Cnk11   n  n  1  Cnk22   Cnk11   n  n  1 2n  2  2n 1    n2  n  2n  2 . k 1 k 2 k 1  k 2   

Baøi 4:

 2  a. Goïi M laø trung ñieåm EC . Ta coù AG  AM  M  2;3 . Ñöôøng thaúng EC ñi qua M vaø coù 3     8 vtpt AG   0;   neân coù phöông trình: y  3  E  0;3 . Suy ra C  4;3 . Maø AE  2 EB neân 3  A B  1;1 . Ñöôøng thaúng BC : 2 x  5 y  7  0 .

b.

Q

B F E

C

D

AFQ . Veõ AQ  BD  AQ   BCD  , Veõ AF  BC , F  BC  BC   AFQ  do BC  AQ     AJQ . Töông töï veõ AJ  CD, J  CD  CD   AJQ     

Deõ daøng suy ra ñöôïc hai tam giaùc AQF , AQJ baèng nhau  BQF  DQJ  Q laø trung ñieåm cuûa BD. 1 a 3 a 3 tan   AQ  Goïi E laø trung ñieåm cuûa BC  FQ  DE  . 2 4 4 1 a 2 3 a 3 tan  a 3 tan   Vaäy theå tích khoái choùp laø V  . 3 4 4 16 c. Goïi I laø taâm cuûa maët caàu. I  d  I 1  3t ; 1  t ; t  . Baùn kính R  IA  11t 2  2t  1 . Maët phaúng   tieáp xuùc vôùi maët caàu neân: d  I ,    

| 5t  3 | R 3

t  0  R  1 . Vaäy choïn t  0, R  1 .  37t  24t  0   24 t   R  77 37  37 2

2

2

Vaäy I 1; 1;0   phöông trình maët caàu:  x  1   y  1  z 2  1 . 2

 x y 1 Baøi 5: A  . Ñaët t  xy  0  t     . 2  2  4 xy  3  xy  1  2 xy

Luùc naøy: A 

1  2t 6t 2  6t  1 / 3 3 /  A  , A 0t  . 2 2 t  3t 6  t  3t 

3 3 . 6  3  2 3  1 3 y   2 hay  .  3  2 3  1 3 x   2

Laäp baûng bieán thieân ta seõ thaáy min A  4  2 3 khi t   3  2 3  1 3 x  x  y  1   2 Khi ñoù ta coù:  3 3    xy   3  2 3 6   1 3 y   2

Baøi toaùn treân baïn coù theå giaûi baèng baát ñaúng thöùc Cauchy. Môøi caùc baïn. Coù nhieàu baïn tham gia giaûi ñeà toaùn naøy. Ña soá laø giaûi ñöôïc khoaûng 70%. Coù vaøi baïn laøm chính xaùc 100%. Xin chuùc möøng.