Giai De Thi Thu Dai Hoc 2009

BAØI GIAÛI ÑEÀ OÂN SOÁ 03 Baøi 1: a. Hoïc sinh töï giaûi. b. Ñeå (Cm) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh thì heä sau phaûi coù nghieäm: 3 2 2  x  (4m  1) x  (7m  1) x  3m  1  0 ( x  1)( x  4mx  3m  1)  0 (H )   2  2 3x  2(4m  1) x  7m  1  0 3x  2(4m  1) x  7m  1  0  x  1  0 (1)  2  3x  2(4m  1) x  7m  1  0  2   x  4mx  3m  1  0 (2)  3x 2  2(4m  1) x  7m  1  0  (1) coù nghieäm x = 1  m = 2  x2  1 m   (4 x  3)m  x 2  1 4x  3 3 7  (2)   (vì x  ; x  khoâng laø nghieäm cuûa heä)   2 2 4 8 3x  2 x  1 (8 x  7)m  3x  2 x  1  m  8x  7   x  1 m  2  x 2  1 3x 2  2 x  1    x  2  m  1   4x  3 8x  7   1 1 x   m    2  4 1 Vaäy (Cm) tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh khi vaø chæ khi m = 2; m = 1; m =  . 4 Baøi 2: a. Phöông trình: 2sin2x + tanx = 2 3  Ñieàu kieän: x  2 Caùch 1: Phöông trình töông ñöông: 4 tan x 4tanx.cos2x + tanx = 2 3   tan x  2 3  tan 3 x  2 3 tan 2 x  5 tan x  2 3  0 2 1  tan x   tan x  3  x   k ( k  Z ) 3  Vì x  (0 ;  ) neân x  3 2t Caùch 2: Ñaët t = tanx  sin 2 x  1  t2 2t Phöông trình töông ñöông: 2.  t  2 3  t 3  2 3t 2  5t  2 3  0  t  3 1  t2   tan x  3  x   k ( k  Z ) 3  Vì x  (0 ;  ) neân x  3 4x 2  x 1 b. A= 0 (log 2 x  2)( x 2  25)

Giaùo vieân: Traàn Thanh Tuøng

Caùch 1: Giaûi phöông trình: 24 – x – x + 1 = 0  24 – x = x – 1 (*) Ñaët f(x) = 24 – x; g(x) = x – 1 f’(x) = -24 – x .ln2 < 0 , x  f nghòch bieán treân   ;    g’(x) = 1 > 0, x  g ñoàng bieán treân   ;     (*) coù nghieäm duy nhaát x = 3. Caùch 2: Ñaët g(x) = 24 – x – x + 1 g’(x) = -24 – x .ln2 – 1 < 0 , x  g nghòch bieán treân   ;   

Maët khaùc g(3) = 0  g(x)  g (3)  0  x  3 Laäp baûng xeùt daáu:  x -5 -4 4–x 2 –x+1 + + + 0 log 2 x  2 +

0

x2 – 25 + 0 – A + – Vaäy x    ;  5    4;0    0;3   4;5  .

+ –

+ –

– +

– +

3 0

0

4 – –

0

– –

5 – + – +

– + 0

Baøi 3:  2





2 2 cos3 x cos3 x cos3 x I 4 dx  dx  0 (cos2 x  1)2  (cos2 x  1)  1 0 sin4 x  sin2 x  1dx cos x  3cos 2 x  3 0

a.

Ñaët t = sinx  dt = cosxdx  Ñoåi caän: x   t  1 ; x  0  t  0 2 1 1 2 1t 1  t2 I   4 2 dt   2 dt 2 t  t  1 ( t  t  1)( t  t  1) 0 0 1 1 t t  1  t2 2 Ta coù: 4 2  2 2  2 t  t  1 t  t 1 t  t 1 1

I

b.

1

1

1 2t  1 1 2t  1 1 dt   2 dt  ( ln t 2  t  1  ln t 2  t  1 )  ln 3 2  2 0 t  t 1 2 0 t  t 1 2 0

x3 

2 3

1  x 

 x 2 1  x 2 

Ñieàu kieän: 1  x  1







Caùch 1: Phöông trình töông ñöông: x  1  x 2 1  x 1  x 2  x 2 1  x 2  (*) Ñaët t = x + 1  x 2  x 1  x 2 

t2  1 (**). Laäp baûng bieán thieân cho t  t    1; 2  2

 t2  1 t2  1 (*)  t 1   t 3  2t 2  3t  2  0  2  2   2 x  2  t  2   1  2  2 2  1 ( loại do không thỏa (**) ).  t  1  2  x  2   t   1  2 ( loai )   x  1  2  2 2  1  2  Giaùo vieân: Traàn Thanh Tuøng



+ –

Caùch 2: Duøng phöông phaùp löôïng giaùc hoùa ñeå giaûi phöông trình.     Vì 1  x  1 neân ta ñaët x = sint, t    ;   cos t  0  2 2 3 3 Phöông trình töông ñöông: sin t + cos t = 2 sint.cost  (sint + cost)(1 – sint.cost) = 2 sint.cost (*) T2  1 Ñaët T = sint + cost, T    2 ; 2   sin t.cos t  2  2 sin t  2 T   1  2 (loai )    1 2  2 2 1  T 2  1 2 2 sin t  (*)  T 1  ( loại:cost < 0)   T  1  T  2     2 2  2     T  1  2 sin t  1  2  2 2  1  2  Baøi 4: a. Goïi I(xo, yo) laø taâm ñöôøng troøn (C). Do (C) tieáp xuùc vôùi d’ taïi A neân IA  d’. Ñöôøng thaúng IA vuoâng goùc vôùi d’ vaø ñi qua A  IA: x + y – 3 = 0 Ta coù I  (d )  xo – 2yo – 6 = 0 Toïa ñoä ñieåm I laø nghieäm cuûa heä:  xo  yo  3  0  xo  4   I (4 ;  1)   xo  2 yo  6  0  yo   1 Baùn kính cuûa ñöôøng troøn (C) laø R = IA = 2 2 Vaäy phöông trình ñöôøng troøn (C): (x – 4)2 + (y + 1)2 = 8 b. S



d A



B

D

C ( SAB )  ( ABCD ); (SAD )  ( ABCD )  Ta coù:   SA  ( ABCD )  BC  ( SAB) ( SAB)  ( SAD)  SA 

Do ñoù SB laø hình chieáu cuûa SC treân (SAB)    BSC Trong tam giaùc vuoâng BSC: BC = d.sin  , trong tam giaùc vuoâng BAC: AB = d.sin  .cot  ; AC = Trong tam giaùc vuoâng SAC: SA  SC 2  AC 2 

d .sin  sin 

d sin 2   sin 2  sin 

Theå tích hình choùp: 1 1 d d 3 .sin 2  .cos  V = SA. S ABCD  sin 2   sin 2  .d sin  .cot  .d sin   sin 2   sin 2  với 3 3 sin  3sin 2   . Giaùo vieân: Traàn Thanh Tuøng

       MN (0;1;  2); MP (1;1;0) . Vectô phaùp tuyeán cuûa (MNP) : n   MN , MP   (2; 2; 1)   Phöông trình (MNP): 2x + 2y + z – 4 = 0. A, B, C laàn löôït laø giao ñieåm cuûa (MNP) vôùi Ox, Oy, Oz  A(2;0;0) ; B(0; 2;0) ; C (0;0; 4)

c.

Caùch 1: Deã daøng thaáy ñöôïc M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC, AB, BC neân AP, BM, CN ñoàng qui taïi troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. Caùch 2: Phöông trình cuûa caùc ñöôøng thaúng: x  t x  t x2 y z   AP: CN:  y  t BM:  y  2  2t   2 1 2  z  4  4t  z  2t   t  2 t 4  4t 2 2 2 4    t   I ; ;  2 1 2 3 3 3 3 Thay toïa ñoä I vaø phöông trình ñöôøng thaúng BM thaáy thoûa maõn. Vaäy ba ñöôøng AP, BM, CN ñoàng qui taïi I. Baøi 5: b2  c2 a2 a2 2 a2 Ta coù bc   2   . b2  c2 2 b  bc  c 2 3 b2  c2 2 2 b  c 2 b2 2 b2 c2 2 c2 Töông töï ta ñöôïc: 2  . ;  . c  ca  a 2 3 c 2  a 2 a 2  ab  b 2 3 a 2  b 2

Goïi I = AP  CN , ta coù:

2  a2 b2 c2  Do ñoù: P   2 2  2   3  b  c c  a2 a2  b2   a2 b2 c2  3 Deã daøng ta coù theå chöùng minh ñöïôc:  2 2  2   2 2 2  b  c c  a a  b  2

 1 1 1  9  (a 2  b 2  c 2 )  2 2  2  2 2 2 b  c c  a a  b  2  1 1 1   (b 2  c 2 )  (c 2  a 2 )  ( a 2  b 2 )   2 2  2  2 2   9 (*) 2 b  c c  a a  b  1 1 1 Söû duïng BÑT Coâsi cho ba soá (b 2  c 2 );(c 2  a 2 );(a 2  b2 ) vaø ba soá 2 2 ; 2 ; 2 2 töø ñoù suy ra 2 b c c a a b

(*) laø ñuùng. Vaäy P  1  giaù trò nhoû nhaát cuûa P baèng 1 khi vaø chæ khi a = b = c.

Nhập vi tính: Huỳnh Trung Tín

Giaùo vieân: Traàn Thanh Tuøng