Georg Cantor

Georg Cantor y Los conjuntos de números transfinitos, la numeración ALEPH. Por: Roberto Laguna Luna Clementina Mendoza Carrillo Mi hijo Arnoldo se porta mal y, sin embargo, mi obligación es amarlo. No hay vidas ni mejores ni peores, tan sólo hay vidas experimentando la vida, cualquier tipo de vida. Alguna vez, cuando niño, jugué a decir que tenía un elemento más de cualquier cosa que se nos ocurriera, y si alguno de mis hermanos o amigos decía tener mil, yo decía mil uno, y así continuábamos hasta el infinito; pero jamás me pregunté que había más allá del infinito y, si alguien lo preguntó, lo más seguro es que no le hice caso. Por eso, ahora yo te pregunto: ¿Cómo se cuenta más allá del conjunto infinito? ¿Cuán grande es un conjunto infinito? ¿El infinito es numerable? Bien, la respuesta la obtendremos de la numeración Aleph, descubierta y desarrollada por el más grande matemático del que haya tenido noticia, bueno, del que yo considero el mejor: Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor. Trabajar con números transfinitos, para Georg Cantor, no fue fácil, debido a que, de inmediato, se vio enfrentado a las taxativas establecidas por los matemáticos y a paradojas como las siguientes que impedían progresar en este tema: Zenón de Elea, en su tiempo, de forma acertada, explicó que el movimiento era imposible, porque exigía que el móvil pasase por una infinidad de puntos en un tiempo finito. Galileo Galilei, había hecho notar que, si en matemáticas fueran admisibles los conjuntos infinitos completos, habría tantos números enteros pares cuantos pares e impares reunidos. Debido a que cada número entero par podría ser emparejado biunívocamente con el número entero de valor mitad, quedando así definida una correspondencia de uno a uno entre los elementos de uno y otro conjunto. Aunque, más que paradoja, lo de Galileo Galilei, era solución Para evitar semejantes tropiezos, los matemáticos habían trazado una distinción taxativa entre lo infinito, en tanto que: cantidad completa, el infinito actual y lo infinito en potencia, lo llamamos serie y tiende a un límite. Carl Frederich Gauss escribió: Yo protesto sobre todo por el uso que se hace de una cantidad infinita como cantidad completa, lo que en matemáticas jamás está permitido,

hacerlo así equivaldría a tomar y comprender en su totalidad un conjunto infinito de números, operación que Gauss rechazó por completo. El infinito es sólo una facon de parler, en la que propiamente debería hablarse de límites. Hablando de límites era posible eludir las paradojas que comportaban los infinitos actuales. Por ejemplo, añadiendo nuevas cifras al desarrollo decimal de π se puede aproximar el verdadero valor de π con precisión creciente. Georg Cantor tomó prestada la supuesta paradoja de Galileo, y la convirtió en un procedimiento para determinar el tamaño de los conjuntos infinitos. Ejemplo: Un cubo lleno de bolas de color rojo y negro. La forma más sencilla de averiguar si hay el mismo número de bolas rojas y negras es irlas sacando del cubo en parejas de una bola roja y una negra. De ser posible emparejar cada bola con otra de distinto color los dos conjuntos de bolas son equivalentes. Si no así, las bolas sobrantes en el cubo permiten decidir la cuestión. Así, ante la pregunta de si se podía hacer una lista de números reales, utilizó la paradoja de Galileo a la que llamó: procedimiento natural de comparación de tamaños. Encontró la solución así: :  Existe una correspondería biunívoca entre los conjuntos de los números reales y de los números enteros.  Su razonamiento consiste en ver que, tal hipótesis, lleva a contradicción.  Se deduce entonces que la suposición inicial tiene que ser falsa, o sea, es imposible que exista una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos.  Simplificando y atendiendo solamente a los números reales comprendidos entre 0 y 1.  Si este conjunto de números ya fuera mayor que el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números reales lo sería también.  Suponiendo que los números reales comprendidos entre 0 y 1 pudieran quedar uno por uno emparejados con números enteros.  Establecer una tal correspondencia equivaldría a dar una lista de los números reales cada uno representado por un número decimal infinito.  Es entonces posible definir un nuevo número real comprendido entre 0 y 1 y no incluido en la lista.  Observando la primera cifra del desarrollo decimal de la lista de números reales.  Si esta cifra es 1, como primera cifra decimal del número que estamos definiendo escribiremos un 9.  Si la primera cifra del primero de los números de la lista no es 1, en el número a definir tomaremos como primera cifra un 1.  La segunda cifra del segundo desarrollo decimal de la lista por igual procedimiento, la tercera del tercero, etc.  El número real así construido difiere al menos en una cifra de cada uno de los números que componen la lista, y representa un número comprendido entre 0 y 1.  La hipótesis de que es posible confeccionar una lista de números reales conduce a contradicción.  Y concluyó:



El infinito es un conjunto, por eso se llama conjunto infinito.

 No todos los conjuntos infinitos son de igual tamaño. Ejemplo: El conjunto de todos los puntos de una recta y el conjunto de todos los racionales son ambos infinitos, sin embargo el conjunto de los puntos de la recta es mayor que el de los números racionales. Conclusión: “La recta es infinitamente más rica en puntos individuales que lo es el dominio de los números racionales en números individuales”. Los números reales son no numerables, es decir forman un conjunto infinito que se representa con el símbolo ∞ Cantor llamó numerables a aquellos conjuntos cuyos elementos pueden ser puestos en correspondencia, uno con uno, con los números del conjunto de enteros positivos, lo que equivale a poderlos contar. Richard Dedekind al igual que Cantor hizo un análisis del continuo basado en conjuntos infinitos. En su artículo, Dedekind escribió: La recta es infinitamente más rica en puntos individuales que lo es el dominio de los números racionales en números individuales. El quid de la observación se encuentra en que a pesar de que los números racionales forman un conjunto denso en todo segmento rectilíneo, queda en éste suficiente sitio para alojar todavía un número infinito de números irracionales. Los puntos irracionales como √2 caen entre los puntos racionales, y por ellos el conjunto de números racionales, aunque denso, se encuentra acribillado de poros, y no es continuo. -Existen conjuntos de puntos excepcionales llamados puntos límite (también llamados puntos de acumulación) - √2 es un punto de acumulación que contiene una infinidad de puntos arbitrariamente próximos al punto. Los números transfinitos que finalmente introdujo Cantor son hoy conocidos por la primera letra del alfabeto hebreo, -

Los aleph designan la cardinalidad, o número de elementos, de los conjuntos infinitos Los números ordinales quedan definidos por el orden o posición que ocupan en una lista. Un conjunto es finito solamente si el número cardinal y el ordinal son iguales. El número ordinal está basado en la adición repetitiva de unidades. Es lícito definir un número ordinal, transfinito y nuevo, ‫ ש‬, como primero de los números situados a continuación de la sucesión completa de números ordinales ordinarios, 1,2,3, … etc. Una vez definido ‫ ש‬es posible, por adición repetida de unidades, generar nuevos ordinales transfinitos sucesivos, 2+ ‫ ש‬,1+ ‫ש‬, …

Las conjeturas sobre la cardinalidad de los conjuntos transfinitos han llegado a ser conocida como hipótesis del continuo de Cantor, y jamás ha sido demostrada.

Una sucesión infinita de conjuntos, donde cada uno es mayor que el precedente, puede construirse tomando para cada conjunto dado el conjunto de todos sus subconjuntos… Georg Cantor Bibliografía Joseph W. Dauben Internet

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Aparecido en la revista Continuum del CCH-Vallejo Año 3, número 6 – Mayo del 2009 Entra a: www.cch vallejo-unam.mx y si quieres conocer a quienes hacemos Continuum entra a nuestro blog www.revistacontinuum.bogspot.com y si quieres conocer al grupo de astronomía vallejo entra a nuestro blog http://grupodeastronomiavallejo.blogspot.com