Geometri_euclid.docx.docx

SEGITIGA MAKALAH Diajukan untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata kuliah Geometri Euclid Dosen: Hadi Kusmanto, M.Si

Disusun Oleh : Kelompok 5 Nur Widi Astuti (1608105071)

Rizki Pratama (1608105075)

Evi Rizkiyati (1608105072)

Wulan Marlina (1608105076)

Saadah Nurjanah (1608105073)

Nur Iban Faturohman (1608105077)

Yulistiyani (1608105074)

Susiska Arum (1608105078) Kelas/Semester : B/II

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH & KEGURUAN INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SYEKH NURJATI CIREBON KEMENTRIAN AGAMA REPUBLIK INDONESIA 2017

KATA PENGANTAR

Assalamualaikum wr.wb Puji dan syukur saya panjatkan ke hadirat Illahi Rabbi, sholawat serta salam semoga dicurahkan kepada nabi besar kita Nabi Muhammad saw, keluarganya, sahabatnya, dan para pengikutnya yang selalu taat dan patuh terhadap ajaran yang dibawa oleh Rasullullah saw hingga akhir zaman. Alhamdulillah, berkat izin

dan pertolongan

dari Allah SWT, kami dapat

menyelesaikan makalah ini dengan baik. Penulisan laporan ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu tugas terstruktur mata kuliah Geometri Euclid. Pada kesempatan kali ini, kami ingin menyampaikan rasa terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam pembuatan laporan ini dan semoga mendapat balasan pahala yang berlipat ganda dari Allah swt. Amin. Kami menyadari bahwa laporan ini masih jauh dari sempurna, mengingat keterbatasan kemampuan dan pengetahuan yang kami miliki. Oleh karena itu, tidak menutup kemungkinan adanya kritik dan saran yang sifatnya membangun terhadap penulisan makalah ini. Akhirnya kami berharap, mudah-mudahan makalah ini bermanfaat dan bisa dimanfaatkan, khususnya bagi kami dan umumnya bagi semua pihak yang berkepentingan. Semoga Allah swt meridhoi atas segala usaha hamba-Nya. Amin.

Cirebon, 1 Juni 2017

Penyusun (Kelompok 5)

1|SEGITIGA

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................. Error! Bookmark not defined. BAB I PENDAHULUAN .......................................................................................................... 3 A. Latar Belakang ................................................................................................................ 3 B. Rumusan Masalah ........................................................................................................... 3 C. Tujuan Pembahasan ........................................................................................................ 4 BAB II PEMBAHASAN ........................................................................................................... 5 A. Pengertian Segitiga ......................................................................................................... 5 B. Jenis-Jenis Segitiga ......................................................................................................... 5 C. Luas Segitiga ................................................................................................................... 7 D. Keliling Segitiga ............................................................................................................. 7 a.

Mencari Keliling Segitiga Saat Diketahui Ketiga Sisinya .......................................... 7

b.

Mencari Keliling Segitiga dari Segitiga Siku-Siku yang Diketahui Dua Sisinya ....... 8

c.

Mencari Keliling Segitiga Tak Beraturan Menggunakan Hukum Kosinus ................ 8

E. Sifat-Sifat Segitiga .......................................................................................................... 8 F.

Garis-garis Istimewa Pada Segitiga ............................................................................... 9

G. Kesebangunan dua segitiga ........................................................................................... 11 H. Beberapa sifat penting garis bagi pada segitiga ............................................................ 12 I.

Ketaksamaan Segitiga ................................................................................................... 13

J.

Pembuktian Luas Segitiga............................................................................................. 14

BAB III PENUTUP ................................................................................................................. 18 A. KESIMPULAN ............................................................................................................. 18 DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................. 20

2|SEGITIGA

BAB I

PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pada Geometri Euclid dikenal berbagai macam segitiga. Menurut Kusno (2004:71), pada Geometri Euclid, segitiga merupakan gabungan tiga segmen garis yang menghubungkan tiga titik yang tidak segaris pada bidang. Berdasarkan besar sudut yang dimilikinya, terdapat segitiga lancip, segitiga siku-siku, segitiga tumpul dan segitiga sembarang. Berdasarkan sisinya, terdapat segitiga sama kaki, segitiga sebarang dan segitiga sama sisi. Pada Geometri Spheris dikenal dengan Segitiga Spheris. Adapun Geometri Spheris merupakan

geometri

yang mengkaji

mengenai

permukaan

suatu

bola

(Brannan

dkk.,1999:328). Menurut Kusno (2004:209), apabila sebuah bola dipotong oleh sebuah bidang, maka akan membentuk sebuah lingkaran. Lingkaran akibat perpotongan bola oleh bidang ini dibedakan atas dua jenis yaitu lingkaran besar dan lingkaran kecil. Lingkaran besar merupakan lingkaran yang terbentuk dari perpotongan bidang melewati pusat bola. Sebaliknya, jika tidak memotong pusat bola disebut lingkaran kecil. Segitiga atau segitiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut disuatu segitiga pada bidang datar adalah 180°. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui. Rumus luas segitiga adalah perkalian antara alas dan tinggi lalu dibagi dua. Alasan mengapa dibagi dua adalah karena bangun datar segitiga berasal dari bangun datar persegi atau persegi panjang yang dipotong secara diagonal.

B. Rumusan Masalah 1.

Apa pengertian segitiga?

2.

Apa saja jenis-jenis segitiga?

3.

Bagaimana Rumus dari luas segitiga?

4.

Bagaimana rumus dari keliling segitiga?

5.

Apa saja sifat-sifat segitiga?

6.

Bagaimana garis-garis istimewa pada segitiga?

3|SEGITIGA

7.

Bagaimana kesebangunan pada dua segitiga?

8.

Apa saja sifat penting garis bagi pada segitiga?

9.

Bagaimana sifat penting garis bagi pada segitiga?

10.

Bagaiamana pembuktian dari luas pada segitiga ?

C. Tujuan Pembahasan 1. Mengetahui pengertian segitiga 2. Mengetahui jenis-jenis segitiga 3. Mengetahui luas segitiga 4. Mengetahui keliling segitiga 5. Mengetahui sifat-sifat segitiga 6. Mengetahui garis-garis istimewa pada segitiga 7. Mengetahui kesebangunan pada dua segitiga 8. Mengetahui sifat penting garis bagi pada segitiga 9. Mengetahui sifat penting garis bagi pada segitiga 10. Mengetahui pembuktian dari luas pada segitiga

4|SEGITIGA

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Segitiga Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga pada bidang datar adalah 180

derajat

. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua

sudut lainnya sudah diketahui. Menurut Kusno (2004:71), pada Geometri Euclid, segitiga merupakan gabungan tiga

segmen garis yang menghubungkan tiga titik yang tidak segaris pada bidang.

Berdasarkan besar sudut yang dimilikinya, terdapat segitiga lancip, segitiga siku-siku, segitiga tumpul dan segitiga sembarang. Berdasarkan sisinya, terdapat segitiga sama kaki, segitiga sebarang dan segitiga sama sisi.

Pada Segitiga Euclid berlaku teorema phytagoras, aturan sinus, aturan cosinus, dan rumus sudut yang merupakan solusi untuk memecahkan kasus pada Segitiga Euclid, yaitu untuk memperoleh panjang sisi maupun besar sudut suatu segitiga. Selain itu, jumlah sudut dalam sebuah Segitiga Euclid adalah 180’.

B. Jenis-Jenis Segitiga

1. Menurut panjang sisinya: 

Segitiga sama sisi (bahasa Inggris: equilateral triangle) adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o.



Segitiga sama kaki (bahasa Inggris: isoceles triangle) adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang. Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.



Segitiga sembarang (bahasa Inggris: scalene triangle) adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.

5|SEGITIGA

Segitiga sama sisi

Segitiga sama kaki

Segitiga sembarang

2. Menurut besar sudut terbesarnya: 

Segitiga siku-siku (bahasa Inggris: right triangle) adalah segitiga yang salah satu besar sudutnya sama dengan 90o. Sisi di depan sudut 90o disebut hipotenusa atau sisi miring.



Segitiga lancip (bahasa Inggris: acute triangle) adalah segitiga yang besar semua sudut < 90o



Segitiga tumpul (bahasa Inggris: obtuse triangle) adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya > 90o

Segitiga siku-siku

Segitiga tumpul

Segitiga lancip

6|SEGITIGA

C. Luas Segitiga Luas segitiga dapat dihitung dengan berbagai rumus, diantaranya adalah: a. 𝑳𝒖𝒂𝒔 =

𝟏 𝟐

𝒂𝒍𝒂𝒔 × 𝒕𝒊𝒏𝒈𝒈𝒊

Rumus ini dapat digunakan jika panjang alas dan tingginya sudah diketahui. Untuk segitiga siku-siku, jika panjang sisi miringnya dan salah satu sisi lainnya diketahui, maka panjang sisi yang lain dapat dihitung menggunakan dalil pythagoras. b. Dengan menggunakan rumus Heron, yaitu

Dengan s merupakan setengah dari keliling segitiga dan a, b, c merupakan panjang masing-masing sisi segitiga. Rumus ini sangat bermanfaat digunakan jika panjang ketiga sisi segitiga diketahui, namun bukan merupakan segitiga siku-siku.

c. Dengan menggunakan rumus trigonometri, yaitu Dengan a, b merupakan panjang dua sisi segitiga, sedangkan C merupakan besar sudut yang diapit oleh sisi dengan panjang a dan b tersebut.

D. Keliling Segitiga Untuk mencari keliling segitiga ada beberapa cara, diantaranya adalah ketika mengetahui seluruh panjang sisinya, cara ini adalah cara yang paling mudah dan paling banyak digunakan. Kemudian, cara mencari keliling segitiga siku-siku ketika hanya mengetahui dua sisinya. Dan cara mencari keliling segitiga apa pun yang diketahui dua panjang sisinya dan besar sudut di antaranya menggunakan Hukum Kosinus. a. Mencari Keliling Segitiga Saat Diketahui Ketiga Sisinya Rumusnya yaitu: K= a + b + c. 7|SEGITIGA

Dengan a, b, dan c merupakan panjang sisi-sisi segitiga K merupakan keliling segitiga. b. Mencari Keliling Segitiga dari Segitiga Siku-Siku yang Diketahui Dua Sisinya Segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki satu sudut siku-siku (90 derajat). Sisi segitiga yang berlawanan dengan sudut siku-siku adalah sisi yang paling panjang, dan disebut sebagai sisi miring. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa untuk segitiga siku-siku apa pun denagn panjang sisi a dan b, serta sisi miring c berlaku, a2 + b2 = c2. c. Mencari Keliling Segitiga Tak Beraturan Menggunakan Hukum Kosinus Hukum ini bisa digunakan untuk semua segitiga, dan merupakan rumus yang sangat berguna. Hukum Kosinus menyatakan bahwa untuk segitiga apapun dengan sisi a, b, dan c, dengan sudut yang berlawanan A, B, dan C: c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C) E. Sifat-Sifat Segitiga

a. Sifat Dasar Segitiga Euclid Sifat-sifat dasar pada trigonometri dengan

merupakan sudut pada

suatu segitiga adalah sebagai berikut (Siswanto,2005:132). 

Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

1)

2)

3)

4)

5)

8|SEGITIGA



Rumus Perkalian Sinus Dan Cosinus

1)

2)

3)

4) 

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

F. Garis-garis Istimewa Pada Segitiga

a. Garis-garis istimewa dalam segitiga Dalam sebuah segitiga ABC seperti diketahui ada macam-macam garis yang istimewa, yaitu garis bagi sudut, garis berat dan garis tinggi.  Garis Bagi pada Segitiga Garis bagi segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut pada segitiga sehingga membagi sudut tersebut menjadi dua sama besar. Garis bagi sudut suatu segitiga dapat juga diartikan sebagai garis yang membagi sudut dalam suatu segitiga 9|SEGITIGA

sehingga menjadi dua bagian yang sama besar. Berdasarkan ketentuan ini, terdapat tiga garis bagi sudut suatu segitiga. Garis bagi sudut segitiga berpotongan di satu titik yang disebut incenter segitiga. Titik ini merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga, yaitu lingkaran di dalam segitiga yang menyinggung semua sisinya (Pattinson, 2010: 43). Garis bagi dibedakan atas garis bagi dalam dan garis bagi luar.  Garis Tinggi pada Segitiga Garis Tinggi Segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi di depannya Sesuai dengan definisinya, garis tinggi tidak selalu dalam posisi vertikal, tetapi dapat juga miring, bahkan horizontal. Sebagai ilustrasi, misalkan tinggi Doni 1,5 meter, tentunya tinggi Doni tidak berubah ketika ia tidur dan tetap diukur dari ujung kaki sampai ujung kepala. Karena segitiga memiliki tiga titik sudut yang dapat dianggap sebagai puncak maka garis tinggi segitiga ada tiga buah. Garis-garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut sebagai orthocenter (Pattinson, 2010: 42-43).  Garis Berat pada Segitiga Garis Berat suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga sehingga membagi sisi di depannya menjadi dua bagian sama panjang (http://matematikapelita.blogspot.com/p/segitiga.html). Karena segitiga memiliki tiga sudut, maka terdapat tiga garis berat dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu titik yang disebut sebagai titik berat (centroid). Titik berat ini merupakan pusat kesetimbangan segitiga. Jika sebuah segitiga digantungkan tepat pada titik beratnya maka segitiga tersebut akan berada pada posisi horizontal (Pattinson, 2010: 43). Dalam sebuah segitiga ABC seperti diketahui ada macam-macam garis yang istimewa, yaitu garis bagi sudut, garis berat dan garis tinggi. Pada gambar 1.5a, ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ adalah garis berat dan pada adalah baris bagi sudut BAC; pada gambar 1.5b.𝐴𝐸 ̅̅̅̅ dalam segitiga ABC. gambar 1.5c ̅̅̅̅ 𝐴𝐹 adalah garis tinggi dari A pada sisi 𝐵𝐶

10 | S E G I T I G A

C

C

C F

D E

X

B

A

A

B

Gambar 1.5a

A

B

Gambar 1.5b

Gambar 1.5c

Pada gambar 1.5a, m(
Dapat dibuktikan bahwa: a. Ketiga garis bagi dalam setiap segitiga melalui satu titik. b. Ketiga garis berat dalam setiap segitiga melalui satu titik. c. Ketiga garis tinggi dalam setiap segitiga melalui satu titik. Bukti: a. Apabila ↔ garis bagi dari
𝐴𝐷

↔ dan ↔ . Andaikan ↔ garis bagi
𝐴𝐵

𝐷𝐻

letaknya sama jauhnya dari ↔ dari ↔ . Andaikan ↔ dan ↔ berpotongan disebuah 𝐵𝐴

𝐵𝐶

𝐵𝐻

𝐴𝐷

X. Jadi X ini letaknya sama jauh dari ↔ dan ↔ (karena X anggota ↔ ) sedangkan 𝐴𝐶

𝐴𝐵

𝐴𝐷

juga X letaknya sama jauh dari ↔ dan ↔ (karena C 𝜖 ↔ ). Jadi X letaknya sama jauh 𝐵𝐴

𝐵𝐶

𝐵𝐻

dari ↔ dan ↔ . Ini berarti bahwa X terletak pada garis bagi dari
𝐶𝐵

bahwa ↔ adalah garis bagi
G. Kesebangunan dua segitiga Dua segitiga misalnya ∆ ABC dan ∆ DEF adalah sebangun, ditulis ∆ ABC ∞∆ DEF apabila misalnya ada dua pasang sudut yang seletak sama besar. Jadi kalau m(
11 | S E G I T I G A

F G

A

H

D

B

E

Gambar 1.10

̅̅̅̅ Andaikan DF AB?). pada sisi𝐴𝐶 kita ambil titik G sehingga AG=DF dan titik H pada ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 sehingga AH=DE. Maka berdasar (sisi sudut sisi/ s-sd-s), kita peroleh bahwa ∆ GAH = ∆ FDE, sehingga m(
𝐶𝐵

teorema, berlakulah AG:AC =AH:AB dan DF:AC = DE:AB atau DF:DE = AC:AB. H. Beberapa sifat penting garis bagi pada segitiga Andaikan ada ∆ ABC dan ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 garis bagi
Bukti: D

2 1

A

B

E

Gambar 1.11

Perhatikan gambar 1.11 maka <𝐵1 =<𝐵2. Tarik garis ↔ // ↔ yang memotong 𝐴𝐸

𝐷𝐵

↔ di sebuah titik E. Maka

𝐴𝐸

Sehingga AD : DC = AB :CB. Perhatikan lagi sebuah segitiga ABC.(gambar 1.12) dengan ↔ garis bagi sudut 𝐶𝐷

luar di titik C. 12 | S E G I T I G A

D

2 1

E

A

B

C

Gambar 1.12

Jadi
𝐷𝐶

dan
𝐷𝐶

: DA = CE : CA atau DB : DA = CB : CA. Jadi : apabila CD garis bagi sudut luar di titik sudut C, maka DB : DA = CB : CA. I. Ketaksamaan Segitiga Dalam matematika, ketidaksamaan segitiga menyatakan bahwa untuk sembarang segitiga, jumlah panjang sembarang dua sisinya haruslah lebih besar daripada panjang sisi ketiganya. Dalam geometri Euklides dan beberapa geometri lainnya ini adalah teorema. Dalam kasus Euklides, baik pada pernyataan lebih kecil atau sama dengan dan lebih besar atau sama dengan, kesamaan terjadi hanya jika segitiga memiliki sebuah sudut 180° dan dua sudut 0°, seperti yang ditunjukkan pada contoh bawah gambar di kanan. Ketidaksamaan tersebut dapat dilihat secara intuitif dalam R2 atau R3. Gambar berikut menunjukkan dua contohnya

13 | S E G I T I G A

J. Pembuktian Luas Segitiga Berikut beberapa pembuktian rumus luas segitiga

a.

pembuktian rumus L = 1/2 (alas x tinggi)

terdiri dari beberapa kasus, yaitu : Kasus 1 Untuk Segitiga Siku-Siku

Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2

a.b = 2 Luas R1 (karena Luas R1 = Luas R2) 1/2 (a.b ) = Luas R1 dengan a = alas dan b = tinggi sehingga L = (1/2) x alas x tinggi b. Pembuktian Luas Untuk Segitiga Sama Kaki

Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas R4 2.a.t = 4 Luas R2 (karena Luas R1 = Luas R2 = Luas R3 = Luas R4) 2/4 (a.t) = Luas R1 = L 1/2 (a.t) = Luas R1 = L 14 | S E G I T I G A

dengan a := alas dan t := tinggi sehingga L = 1/2 (alas x tinggi) c. Pembuktian Luas Untuk Segitiga Sembarang

Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2

Luas R1 + Luas R2 = b.t

karena Luas R1 = Luas R2, berakibat Luas R1 = 1/2(b.t)

1/2 ((a + b).t) = 1/2(b.t) + Luas 1/2(a.t) +1/2(b.t) –1/2(b.t) = Luas

1/2(a.t) = Luas

dengan a := alas dan t := tinggi sehingga L =1/2( alas x tinggi)

d.

Pembuktian Rumus L = √(s (s-a )(s-b)(s-c))

sin2 A + cos2 A = 1 sin2 A = 1 – cos2 A

15 | S E G I T I G A

sin2 A = (1 + cos A) (1 – cos A )

Ingat bahwa s = ½ (a + b + c), maka (a + b + c) = 2s (b + c + a) = (a + b + c) – 2a = 2s – 2a = 2 (s – a ) (a + b – c) = (a + b + c) – 2c = 2s – 2c = 2 (s –c ) (a + c – b) = (a + c + b) – 2b = 2s – 2b = 2 (s –b ) Sehingga, Ingat bahwa luas segitiga adalah:

16 | S E G I T I G A

e.

Pembuktian Rumus L= ½ bc. sin A / ½ ac. sin B / ½ ab. sin C L = 1/2 (c.t)

karena t belum diketahui maka dapat dicari dengan

t/b = sin A

t = b sin A

sehingga L = 1/2 (c.t) = 1/2(c. b sin A) = 1/2 (bc sin A)

17 | S E G I T I G A

BAB III

PENUTUP A. KESIMPULAN Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Pada Segitiga Euclid berlaku teorema phytagoras, aturan sinus, aturan cosinus, dan rumus sudut yang merupakan solusi untuk memecahkan kasus pada Segitiga Euclid, yaitu untuk memperoleh panjang sisi maupun besar sudut suatu segitiga .Luas segitiga dapat dihitung dengan berbagai rumus, diantaranya adalah: 𝑳𝒖𝒂𝒔 =

𝟏 𝒂𝒍𝒂𝒔 × 𝒕𝒊𝒏𝒈𝒈𝒊 𝟐

Keliling Segitiga Rumusnya yaitu: K= a + b + c. 

Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

1)

2)

3)

4) 5)

18 | S E G I T I G A



Rumus Perkalian Sinus Dan Cosinus 1. 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2. 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 =

3. 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑠𝑖𝑛𝛼 =

4. 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 =



Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

19 | S E G I T I G A

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, JR. Frank. 1954. Theory And Problems (of Plane and Spherical) Trigonometry, New York: Schaum Publisning CO. Barnelt, R. A., Ziegler, M. R., dan Byleen, K.E.(2007). Analytic Trigonometry, United States of America: John Wiley & Sons. Brannan, D. A., Esplen, M. F., dan Gray, J.J. (1999). Geometry, Cambridge: University Press. http://matematikapelita. blogspot.com/p/segitiga.html http://id.wikihow.com/Mencari-Keliling-Segitiga

20 | S E G I T I G A