Geometrie Raspunsuri

1.Fie punctele A(2,4,1), B(3,7,5) si C(4,10,9).

Sa se calculeze

=0

.

2. Fie punctele A(1,-1,2), B(5,-6,2) si C(1,3,-1). 3. Determinati scalarii

coliniare.

=15i+12j+16k

astfel incat punctele A(2, ,1), B(3,7,5), C( ,10,9) sa fie

= prima=4 , adoua=1

4. Fie punctele A(1,2,-1), B(0,1,5),C(-1,2,1), D(2,1,3).

Sa se calculeze produsul mixt

=0

.

5. Fie punctele A(2,3,1), B(4,1,-2),C(6,3,7), D(-5,-4,8).

Sa se calculeze produsul mixt

.

=308

6. Fie punctele A(2,3,1), B(4,1,-2),C(6,3,7).

Sa se calculeze distanta de la C la AB, notata d(C,AB). 7. Fie punctele A(2,3,1), B(4,1,-2),C(6,3,7), D(-5,-4,8).

Sa se calculeze distanta de la C la planul (ABC), notata d(C,(ABC)). 8. Fie punctele A(1,1,-3), B(2,-1,1),C(3,3,1), D(-1,4,2).

Sa se calculeze produsul mixt

.

9.Fie punctele A(1,1,-3), B(2,-1,1),C(3,3,1). Sa se calculeze aria triunghiului ABC 10. Fie punctele A(-1,1,2), B(2,3,-1),C(1,-2,0).

Sa se calculeze aria triunghiului ABC 11. Fie punctele A(-1,1,2), B(2,3,-1),C(1,-2,0).

Sa se calculeze cosinusul unghiului A. 12. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1).

Sa se calculeze aria triunghiului ABC 13. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1). 14. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1).

Sa se calculeze cosinusul unghiului A. 15. Fie punctele A(2,-1,1), B(5,5,4),C(3,2,-1),D(4,1,3)

Sa se calculeze distanta de la D la planul (ABC). 16. Fie punctele A(1,2,3), B(2,2,2),C(1,2,4),

Sa se calculeze modulul produsului vectorial 17. Fie punctele A(1,2,3), B(2,2,2),C(1,2,4),

Sa se calculeze aria triunghiului ABC 18. Fie punctele A(1,2,3), B(2,2,2),C(1,2,4),

Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC. 19. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4),

Sa se calculeze aria triunghiului ABC.

.

=1

20. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4),

Sa se calculeze perimetrul triunghiului ABC. 21. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4),

Sa se calculeze modulul produsului vectorial 22. Fie punctele A(1,-1,2), B(5,-6,2),C(1,3,-1),

=25

Sa se calculeze modulul produsului vectorial 23. Fie vectorii

si . astfel incat vectorii

Determinati 24.Fie vectorii

, si

. sa fie coliniari .

, sunt necoplanari. Sa se precizeze care dintre afirmatiile de mai jos sunt

unde adevarate:

25. Fie trei vectori

. Notam prin

.Sa se calculeze 26. Vectorii

formeaza intre ei un unghi de masura

respectiv cu 27. Vectorii

. Caculati

28. Vectorii

.Caculati

29. Fie

a.i.

30. Fie

a.i.

.

32. Se dau vectorii

calculeze 33. Se dau vectorii

calculeze 34. Se dau vectorii

si au lungimile egale .

.Caculati

. Sa se calculeze α . . Sa se calculeze α .

31. Se dau vectorii

calculeze

si au lungimile egale .

formeaza intre ei un unghi de masura

respectiv cu

calculeze

.

formeaza intre ei un unghi de masura

respectiv cu

si au lungimile egale

avand lungimile respectiv .

=0 =0 . Sa se

=22 avand lungimile respectiv

. Sa se

=24 avand lungimile respectiv

. Sa se

=20 avand lungimile respectiv

=22

. Sa se

35. Fie vectorii

pe axa Ox .

. Sa se calculeze proiectia vectorului

=1

36. Fie vectorii

. Sa se calculeze proiectia vectorului

pe axa Ox . =5 37. Fie vectorii pe planul yOz .

. Sa se calculeze proiectia vectorului

38. Fie vectorii

. Sa se calculeze aria paralelogramului

construit pe laturile vectorilor . 39. Sa se determine scalarii α , β ∈ ℝ pentru care vectorii

sunt coliniari. 40.Sa se determine scalarii α , β ∈ ℝ pentru care vectorii sunt necoliniari. 41.Sa se determine scalarii α , β ∈ ℝ pentru care vectorii

coplanari. Atunci: 42. Sa se determine scalarii α , β , γ ∈ ℝ pentru care vectorii sa fie coplanari. 43. Fie vectorii Sa se determine relatia dintre α , β , γ ∈ ℝ astfel incat vectorii necoplanari

. sa fie

44. Fie vectorii

vectorul

. Sa se descompuna dupa directiile vectorilor

.

45. Fie vectorii

vectorul

. Sa se descompuna dupa directiile vectorilor

46. Se da triunghiul ABC in care AB

si AC

si

47. Se da triunghiul ABC in care AB

si AC

si

. . Sa se calculeze AM. bisectoarea unghiului A unde

. Sa se calculeze AD . 48. Se da triunghiul ABC in care AB

si AC

si

a.i

.

Sa se calculeze AM. 49. Se da triunghiul ABC in care AB

Sa se calculeze AM

2 b AD= _____ a+b

->

->->

si AC

si

a.i

.

->

(1-k)a+kb

a+bk

_________

k+1

50. Se da triunghiul ABC in care AB

Sa calculeze AM.

si AC

si

a.i

AM=

51. Se da triunghiul ABC in care AB

si AC

si

a.i

52. Se dau vectorii

care fac intre ei doi cate doi un unghi de masura

53. Se dau vectorii

.

care care satisfac conditia

. Sa se calculeze

stiind ca 54. Se dau vectorii unitate

alfa=-13

. care care satisfac conditia

. Sa se calculeze

alfa = -3/2

.

din ℝ 3 diferiti de vectorul

55. Ce conditie trebuie sa indeplineasca vectorii

Vectori independenti a,b,c aparitn V3

pentru ca sa existe egalitatea 56. Fie vectorii

. Sa se

stiind ca

determine modulul vectorului

necoliniari. Sa se stabileasca pozitia vectorului si

necoplanari. Sa se stabileasca pozitia vectorului fata de vectorii

58. Fie vectorii

determine proiectia vectorului 59. Fie punctele

fata

Coliniar cu a

.

57. Fie vectorii

,

si

.

Se vor intersecta

, Sa se determine pe dreapta suport a vectorului .

= 18/5

, si . Sa se determine distanta h de la utilizand doar operatiile cu vectori.

Radical din 3 / 3

punctul D la planul 60. Fie punctele

.

=ka+(1-k)b

Sa se calculeze AM

de vectorii

.

2ak-bk+a _____ k+1

,

, si . Sa se determine distanta h de la punctul D la planul utilizand doar operatiile cu vectori. 2 radical 3 / 3 61. Sa se determine sinusul unghiului format de vectorii si . 62. Sa se determine parametrul real pentru care vectorii sunt perpendiculari. si

sinx = (4 radical 26) / 21 =-6

63. Sa se determine parametrii reali

sunt perpendiculari. 64. Sa se gaseasca un vector

pentru care vectorii

si coliniar cu vectorul

beta = alfa ; beta = (x-6) /2 ; alfa apartine R astfel incat

X=i + (1/2)j-(1/2)k

65. Se dau vectorii

. Determinati vectorul

este ortogonal pe axa Oz si verifica relatiile: 66. Se dau vectorii

stiind ca

x=2i-3j

x=2i+3j-2k

.

Determinati vectorul

stiind ca verifica relatiile:

67. Sa se determine proiectia vectorului a

i

68. Sa se determine proiectia vectorului a i

j j

k pe dreapta de ecuatie

=3

.

k pe dreapta avand cosinusii directori

=0

.

69. Sa se determine proiectia vectorului a

i j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz iar, cu axa Oy un unghi ascutit.

=-6/radical 7

respectiv unghiurile

70. Sa se determine proiectia vectorului a i

j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz iar, cu axa Oy un unghi ascutit . =(radical 2 + 8 ) / (radical 7 )

respectiv unghiurile

71. Sa se determine proiectia vectorului determinat de punctele

pe iar, cu axa Oz

dreapta care face cu axele Ox, Oy respectiv unghiurile un unghi obtuz . =(2 radical 82)/41 72. Calculati proiectia vectorului

.

pe dreapta suport a vectorului

=6

73. Se dau vectorii

. Calculati

=(- 60) / 13 74. Se dau vectorii

. Calculati

=5 75. Se dau punctele

. Sa se calculeze proiectia

vectorului AB pe directia vectorului CD. 76. Se dau vectorii

care formeaza intre ei un unghi de masura

stind ca

.

77. Se dau

si

78. Se dau

si

79. Vectorii

ab = - 47 / 7 . Sa se determine

a x b = 15 . Calculati . Calculati

a x b = 16 a . b = 30

sunt ortogonali. Sa se calculeze stiind ca

80. Vectorii

formeaza intre ei un unghi de masura

.

=radical 7081

. Calculati numerele: stiind ca

.

p=3;q=39;r = 3999/4

81. Fie vectorii

. Sa se calculeze α .

necoliniari a.i.

82. Fie vectorii

si

83. Fie vectorii

a.i

. Sa se calculeze p.

=1

= | a . b | la puterea 2

 . Sa se stabileasca pozitia vectorului a fata de

 vectorul b . . Sa se demonstreze ca vectorii 84. Se dau vectorii oarecare sunt coplanari. a=|p| * |s| * sinf1 ;b=|g| * |s| * sinf2 c=|r| * |s| * sinf3 85. Se dau vectorii oarecare

. Sa se demonstreze ca

care verifica egalitatea

=Adevarat 86. Se dau vectorii oarecare

Sa se verifice daca vectorii 87. Se dau vectorii oarecare

care verifica egalitatile:

.

sunt coliniari, respectiv coplanari.

=Colinari .

care verifica egalitatile: sunt coliniari, respectiv coplanari.

Sa se verifice daca vectorii 88. Fie vectorii

=Colinari

Sa se calculeze:

p = si+j+7k ;q=(7i-5k) * b ; i = 20i +4j+28k Calculati: p=6i-4j-6k

89. Se dau punctele

q=12i+8j+12k

90. Se dau punctele

Calculati aria triunghiului

91. Se dau punctele

pe latura

.

=28

Calculati lungimea inaltimii duse din

h=(14 radical 13 )/ 13

92. Calculati sinusul unghiului format de vectorii

si. nf =( 5 radical 17) / 21

si

93. Vectorul

este ortogonal pe vectorii si un unghi obtuz. Determinati coordonatele vectorului stiind ca

94. Un vector

, ortogonal pe axa si pe vectorul un unghi ascutit. Determinati coordonatele vectorului stiind ca

95. Determinati un vector

, perpendicular pe vectorii

care satisface conditia

si formeaza cu axa

x=6i-24j+8k , formeaza cu axa . x=45i-24j si

,

x=7i+5j+k .

96. Fie vectorii

Sa se calculeze

p= -42 ; q = 42 97. Fie vectorii

Sa se calculeze p=-7i+14j-7k q=10i+13j+19k

98. Fie un triedru avand ca directii vectorii

produsul mixt 99. Vectorul

, ortogonali doi cate doi. Calculati

stiind ca

este ortogonal pe vectorii

Calculati produsul mixt 100. Fie trei vectori

care formeaza intre ei un unghi de masura

stiind ca si

.

iar,

p>0

produsul scalar, respectiv produsul mixt ,

.

. Stabiliti ce implica

iar

. sa fie fie coplanari .

103. Sa se dea o conditie necesara si sufucienta ca vectorii 104. Fie

= (27 radical 7) / 2

p=|a|*|b|*sinf*a+|a|*|b|*sinf*ub+|a|*|b|*sinfc

al lor. Sa se calculeze

102. Fie trei vectori

.

produsul mixt al lor. Notam: Sa se stabileasca semnul lui p..

101. Fie trei vectori

=8

.

.

trei vectori arbitrari iar

Sa se arate ca 105. Fie trei vectori

a || b || c => a,b,c coincid a*b+b*c+a*c=0

=Fals

= .

=-7

Sa se determine

sunt coplanare. =Adevarat

106.Sa se verifice daca punctele 107.Fie vectorii

.

Stabiliti pozitiile vectorilor 108.Fie vectorii Stabiliti pozitiile vectorilor

.

a || b || c

a,b,c Necomplementare

. .

109.Fie vectorii

.

. Stabiliti pozitiile vectorilor 111. Fie punctele punctul D la planul . de volum 112. Se da un tetraedru

a || b || c

. Sa se calculeze distanta de la

=11

. Se dau coordonatele varfurilor , Sa se determine coordonatele punctului D stiind ca este situat pe axa . ,

113. Sa se determine scrierea vectorului

in functie de vectorii

114. Sa se determine descompunerea vectorului si

d=( (3 radical 5 ) / 2 , 0, 0 ) si . a=3b-2c

dupa directiile vectorilor

c=(1/2)a+(3/4)b

.

115. Sa se determine descompunerea vectorului si

dupa directiile vectorilor .

v=a+2b+4c

1.Fie

, spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2 , e3 } . Sa se scrie scrie ecuatia planului care trece prin originea reperului şi are subspatiul director determinat de vectorii v1 = e1 + e2 + e3 şi v2 = e1 − e2 + e3 . x prim - x la puterea 3 = 0

2. Fie

, spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian R = {O; e1, e2 , e3 } .Sa se scrie

ecuatia generala a planului ce trece prin punctul P0 ( 2,1, −1) şi are directia determinata de v1 = 3e1 + e2 + e3 şi v2 = e1 − e2 + 2e3 vectorii . 3. Fie

, spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } .Sa se scrie

ecuatia generala a planului ce trece prin punctul Q0 (5, −3, 2) şi este paralel cu planul

=x la puterea 3 - 2 =0 x1Ox3 . , spatiul afin real raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } , 4. In spatiul afin real se considera dreptele afine:   x1 − 2 x 2 + x3 − 4 = 0 x1 − 2 x 2 + 3 x3 + 1  ş i (d2 ) : (d1 ) :  1 2 3 = =  − 2 2 5 + − + = x x x 2 2 0   Sa se scrie ecuatiile generale ale dreptelor care se sprijina pe (d1 ) şi (d 2 ) şi au subspatiul director, vectorul v = −e1 + 2e2 + e3 . , spatiul afin real raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } , se considera dreptele de ecuatii: x1 −1 x 2 − 2 x3 + 1 x1 + 1 x 2 − 3 x3 + 1 = = = = şi (d ′) : (d ) : 1 2 2 4 −2 −1 ′ Sa se determine distanta antre dreptele (d ) şi ( d )

5. In spatiul afin real

distanta = ( radical 103 ) / 4

6. Ce reprezinta ecuatia

in

?

Ecuatia plonului paralel cu axa oz

raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } , se considera dreptele de ecuatii:

7. In spatiul afin real

x1 −1 x 2 − 2 x3 +1 d || d prim = = şi 1 2 −1 Sa se determine pozitia relativa a dreptelor ( d ) şi (d ′) plonului paralel cu axa oz 8. Ce reprezinta ecuatia in ? Ecuatia Un plan in R la puterea 3

(d ) :

9. Ce reprezinta multimea punctelor

care verifica:

? 10. Ce reprezinta multimea punctelor

care verifica:

Doua plane

Multima punctelor comploane ce apratin planului ax+by+cz+d=0

11. Este situat in plan punctul

? care verifica ecuatia

Adevarat Un punt ce apartine planului

12. Este situat in plan punctul

Ce reprezinta multimea punctelor

13.

14.

care verifica ecuatia

Adevara Pct M aparteine planului

care verifica ecuatia

Multitudian pct. apartin planului a(x-x0)+b(y-y0)+c(z+z0)=0

Care dintre ecuatiile urmatoare reprezinta ecuatiile parametrice ale planului ce trece prin punctul si are directiile :

=1

(1) (2)

.

15. Sa se precizeze ecuatia planului sub forma de determinant ce trece prin prin punctele

, si este paralel cu vectorul . 16. Sa se precizeze ecuatia planului sub forma de determinant ce trece prin prin punctul si are directiile . 17. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul

si este paralel cu planul

z-2=0

.

18. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin prin punctul

planul

.

si este paralel cu

Y=Y0

19. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin prin punctele

paralel cu vectorul

.

si

-9x+y+7z-40=0

20. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin prin punctele

perpendicular pe planul

si este

.

si

si este

4x-y-2z-9=0

. 3x+3y+z-8=0

21. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin punctele

n=2i-j-2k

22. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie:

n=2i-k

23. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie: 24. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor: 25. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor: 26. Sa se determine intersectia planelor:

29. Sa se determine unghiul diedrul al planelor: 30. Sa se determine unghiul diedru al planelor:

sa fie paralele.

M=((-7)/4,1,5/2) = Multime vida

a.i. planele:

Fals,Planele sunt paralele

si si si si

sunt perpediculare

Sunt paralele

Sunt perpendiculare

si

l=3 , m=-4

32. Determinati valorile parametrilor si

sa fie paralele.

Nu se intersecteaza

si

27. Sa se determine unghiul diedrul al planelor: 28. Sa se determine unghiul diedru al planelor:

31. Determinati valorile parametrilor si

Sunt paralele

si si

l=3 , m=-2/3

a.i. planele:

si

33. Determinati valorile parametrilor si

a.i. planele: sa fie perpendiculare. m= -27-6 ; l= -2 34. Determinati valorile parametrilor si a.i. planele: sa fie perpendiculare. l=1 ; l=2 ;m= -(1/2) ; m= -1 35. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor: 36. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor:

si si .alfa=2 pi / 3 = 60g

si

si . alfa=(radical 2) / 20 = 45 G 37. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este paralel cu planul: 5x-3x+2z=0 . 38. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul si este paralel cu planul:

2x-3z-27=0 39. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul

si este paralel cu planul

. z+1=0 40. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul directia dreaptei:  x = 0  . z+1=0 y = 0 41. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul directia dreaptei:

si are normala data de

si are normala data de

x-2y-5=0

42. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul

si are normala data de

directia dreaptei:

2x-2z=0 43. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:

2x+2z=0 44. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:

Y=0

. 45. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe planele: , . zx-y-5z=0 46. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul

si este perpendicular pe

x-y-z=0

planele: si . 47. Care este pozitia relativa a planelor: , , 48. Care este pozitia relativa a planelor: , , 49. Care este pozitia relativa a planelor: , 50. Determinati valorile parametrilor reali

, sa aibe un punct comun.

Au un punct comun

, si a.i. planele: ,

Au o dreapta comuna

a <> 7 ; b= -8

si a.i. planele: a <> 7 ; b= -8 sa aibe o dreapta comuna. , , 52. Determinati valorile parametrilor reali si a.i. planele: a=7 ; b<>3 , , sa fie secante doua cate doua. 53. Sa se determine planul care taie axele de coordonate in punctele in care planele x+y+z-1=0 , intersecteaza respectiv, aceste axe. si taie axele si 54. Sa se scrie ecuatia planului perpendicular pe planul 51. Determinati valorile parametrilor reali

in punctele

respectiv,

x=3y-2z+2=0

.

55. Sa se stabileasca pozitia punctului

fata de planul

56. Sa se stabileasca pozitia punctului

fata de planul

. M Nu apartine palnului

M apartine planului

.

57.Sa se stabileasca pozitia dreptei Drepata nu este paralela cu planul

fata de planul

.

58. Sa se stabileasca pozitia dreptei

Dreapta este paralele

fata de planul

Drepata nu este paralela cu planul

59. Sa se stabileasca pozitia dreptei

fata de planul 60. Sa se calculeze distanta de la punctul

.

la planul

d=16/(radical 14)

61. Sa se calculeze unghiurile

formate de normala la planul . cu axele de coordonate si distanta de la origine la acelasi plan. Alfa=60g;beta=45g;gama=60g;p=5 62. Sa se calculeze unghiurile formate de normala la planul cu axele de coordonate si distanta de la origine la acelasi plan. Alfa=60g;beta=120g;gama=135g;p=8

63. Sa se calculeze unghiurile

formate de normala la planul cu axele de coordonate si distanta de la origine la acelasi plan. Alfa=45g;beta=90g;gama=45g;p=3rad2 la planul ce trece prin punctele 64. Sa se calculeze distanta d de la punctul , . d=4 , . d=2 65. Sa se calculeze distanta d dintre planele: ,

66. Sa se calculeze distanta d dintre planele: 67. Doua fete ale unui cub coincid cu planele

si

.

Calculati volumul V al cubului. 68. Sa se determine un punct pe axa

situat la distanta

69. Sa se determine un punct pe axa

echidistant cu punctul

si

a= (0,7,0)

de planul

A(0,0,-2) ; B(0,0,-(82/13)) 70. Sa se determine un punct pe axa

echidistant cu planele

x=640/3609

d= 7/2 v=8

si cu planul

71.Sa se scrie ecuatiile dreptelor de intersectie ale planului

cu planele de coordonate. 72. Ce axa de coordonate contine dreapta

A=(0,-2,0) => contine axa oy 73. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor

si este paralela cu axa . y-z-12=0 , 74. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor , si este paralela cu axa . 75. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor si este paralela cu axa , . 76. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor , si contine punctul . 23x-2y+21z-33=0 77. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor , , una din directiile sale fiind vectorul . 78. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor , si este perpendiculara pe planul . 79. Se da ecuatia unui plan x + 2 y − 3 z − 6 = 0 Sa se scrie ecuatia sa prin taieturi.

x+z-3=0 15z-45=0

5x-5z-8-0

7x-14y+7z-23=0

(x/6)+(y/3)-(z/2)-1=0

80. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta

9y+7y+8z+7=0 si este perpendiculara vectorul

, de extremitati

.

81. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor

, una din directiile sale fiind vectorul

.

x+3y-2z+5=0

82. Sa se scrie proiectiile dreptei

pe planele de coordonate. 83. Sa se scrie proiectiile dreptei

pe planul

. 84.Sa se scrie ecuatia planului care trece prin dreapta

si este paralel

cu dreapta 85. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei 86. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei 87. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

vectorul

.

(x-2)/(-2)=Y/3=(z+3)/(-5)

(x-2)/(-1)=(y+2)/1=(z-2)/(-1)

r =(i-(2/3)k)+2(i+k) si are ca directie

88. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

cu dreapta

si este paralela

(x-1)/(-5)=y/(-2)=(z+3)/(+1)

89. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

cu dreapta .

si este paralela

(x-1)/(-3)=(y+1)/2=(z+3)/(-3)

90. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

si este paralela

(x-2)/(-1)=y/0=(z+3)/0

cu axa

91. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

cu axa

si este paralela

(x-2)/0=y/(-1)=(z+3)/0

92. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul

cu axa

si este paralela

(x-2)/0=y/0=(z+3)/(-1)

93. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctele

si

.

(x-1)/2=(y+2)/3=(z-1)/2

r=(i+2t)i+(-2+3t)j+(i+2t)k

94. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei 95. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei

r=(0,0,1)+gama(0,0,1) ; r=K

. 96. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale planului

de varfuri parametrice ale medianei dusa din varful C.

.

97. Fie triunghiul

sa se scrie ecuatiile

x=5t+4 ;y=-11t-7 ;z=-2

98. Fie triunghiul

de varfuri canonice ale bisectoarei interioare unghiului B.

sa se scrie ecuatiile

(x-1)/(-1)=(y-2)/3=(z+3)/8

99. Sa se determine cosinusul unghiului format de dreptele

si

cosf=-+(4/21)

100. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta

si este paralela cu dreapta

x-y+z+1=0

Fie conica Sa se precizeze natura conicei, sa se reduca la forma canonica si sa se calculeze centrul ei. => hiperbola ;(x la put. 2)/13/8-(y la put. 2)/13/2=1 ;C(0,0) 2. Fie conica Sa se precizeze natura conicei, sa se reduca la forma canonica si sa se calculeze centrul ei. 1.

=> elipsa

3. Fie conica

=> parabola

Sa se precizeze natura conicei si sa se reduca la forma canonica 4. Sa se reduca la forma canonica conica

=> elipsa ;(x la put. 2 )+(y la put. 2)/1/9-1=0

5. Sa se reduca la forma canonica conica

(x la put. 2)/248/9+(y la put 2)/248/27=1

.

.

(x lap ut. 2 )/4 + (y la put 2) /5 = 1

6. Sa se reduca la forma canonica conica 7. Sa se reduca la forma canonica conica

Nu are solutie

.

8. Sa se reduca la forma canonica conica

(x la put 2 )/72 + y/8=1

.

9. Sa se reduca la forma canonica conica

(x la put 2)/248/9+(y la put. 2/248/24) = 1 (x la put 2)/35+(y la put. 2/35/4) = 0

.

10. Sa se reduca la forma canonica conica

.

11. Sa se reduca la forma canonica conica

.

13. Sa se reduca la forma canonica conica

(x lap ut. 2 )/4 + (y la put 2) /5 = 1

.

Imposibil

.

(x la put. 2)/14 +4/14/3-1=0

12. Sa se reduca la forma canonica conica

(x la put 2 )/4 + (y la put.2)/16=1

14. Sa se reduca la forma canonica conica

Imposibil

15. Sa se reduca la forma canonica conica 16. Sa se precizeze natura conicei

si sa scrie ecuatiile tangentelor 17. Sa se determine centrul conicei

=> Cerc

. paralele cu dreapta

T=2x+y-1=0

.

=> Elipsa

.

daca exista si sa se determine punctele de intersectie cu axele de coordonate. 18. Determinati punctele de intersectie ale parabolelor 19. Sa se precizeze natura conicelor

(1) (2) (3) (4) (5)

.

;

=> elipsa reala => hiperbola nedecenerata

=>Elipsa imaginara => hiperbola degenerata

c(-1,2) (+-5,0),(0,+-4)

(0,12),(-1,4)

20. Sa se precizeze centrul fiecareia dintre urmatoarele conice, daca acesta exista:

(1)

= c(5,-2)

(2)

= c(3,-2)

=-

(3) (4)

c(-1,-1)

(5)

.

c(0,0)

21. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt cu centru

(1) (2)

1 ,2 ,4,5

(3) (4) (5)

. 22. Sa se reduca la forma canonica conica

.

23. Sa se reduca la forma canonica conica

(x la 2)/9-(y la 2 )/4 + 1 = 0 . ( x la 2 ) / 16 - (y la 2)/9 = 0 . ( x la 2 ) / 16 - (y la 2)/9 = 0

24. Sa se reduca la forma canonica conica 25. Sa se reduca conica la forma canonica

(x la 2 )/1/4-(y la 2)/1=1

26. Sa se reduca conica la forma canonica

.

27. Sa se precizeze natura conicei

2x la 2 + 3y la 2 = 1

in doua drepte . hiperbola degenerata .

28. Sa se precizeze natura conicei

elipsa degenerata intr-un punct

29. Sa se precizeze natura conicei

. hiperbola reala

30. Sa se precizeze natura conicei

Elipsa reala

.

(x la 2) /9 +(y la 2 ) /4 + 1 = 0

. (x la 2) /9 +(y la 2 ) /4 = 1 . 32. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice, sa se precizeze natura conicelor: =Hiperbola (1) 31. Sa se reduca conica la forma canonica:

(2) (3) (4) (5) (6)

=Elipsa Parabola Elipsa parabola hiperbola

33. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care

dintre urmatoarele conice este cu centru (1) (2) (3)

1 , 2 ,4,6

(4) (5) (6)

.

34. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care

dintre urmatoarele conice sunt fara centru (1) (2) (3)

3,5

(4) (5) (6) 35. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip parabolic: (1) (2)

1,2,3,4,5

(3) (4) (5) 36. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip eliptic:

(1) (2) (3) (4) (5)

niciuna

37. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip hiperbolic:

(1) (2)

1 ,2 ,5

(3) (4) (5)

38. Sa se precizeze tipul conicei care poate fi scrisa sub forma:

parabolic . 39. Sa se precizeze ce defineste pentru o conica de tip parabola, numarul

parabola parabolei 40. Sa se determine parametrul fiecareia dintre urmatoarele parabole:

p=-3 p=-3

(1) (2) (3)

p=(radical 3)/10

(4)

p = Radical 2

41. Matricea asociata unei conice este o matrice simetrica sau antisimetrica ? 42.

Sa se calculeze invariantii conicei

simetrica

D = -100 ; gama=0

. 43. Sa se calculeze invariantii conicei

. 44. Sa se precizeze tipul conicei

D = 0 ; gama=-1

parabola .

45. Sa se precizeze natura conicei

.

este degenerata prin doua drepte care trec prin centrul conicei

1.Sa se reduca la forma canonica cuadrica

si sa se specifice tipul ei. ecuatiua unui elipsoid 2. Sa se reduca la forma canonica cuadrica si sa se specifice tipul ei.

un centru hiperboloid

3. Sa se reduca la forma canonica cuadrica xy-yz-xz+2z=2

si sa se specifice tipul ei. elipsoid 4. Sa se reduca la forma canonica cuadrica si sa se specifice tipul ei. hiperboloid 5. Sa se reduca la forma canonica cuadrica si sa se specifice tipul ei. elipsoid 6. Sa se precizeze tipul cuadricei

.

un hipeboloid cu o panta o sfera

7. Sa se precizeze tipul cuadricei 8. Sa se precizeze tipul cuadricei

. un baraboloid eliptic

9. Sa se precizeze tipul cuadricei

un hipeboloid cu o panta .

10. Sa se precizeze tipul cuadricei

un hipeboloid cu o panta .

11. Sa se precizeze tipul cuadricei

un. parabolar hiperbolica . 12. Sa se precizeze tipul cuadricei

un baraboloid eliptic

.

13. Precizati natura conicei de intersectie dintre cuadrica

si planul

.

elipsa de centru c(-1,1,3)

15. Precizati pozitia planului

fata de cuadrica

plan exterior

16. Pentru ce valori ale parametrului real

planul

este tangent la elipsoidul

m = +-15

17. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului

fata de elipsoidul

.

18. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului

fata de cuadrica . 19. Sa se determine o valoare a parametrului real

pentru care planul

este tangent la elipsoidul . 20. Sa se precizeze natura cuadricei

21. Sa se precizeze natura cuadricei 22. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata

si dreapta 23. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata

si dreapta . 24. Sa se scrie ecuatia planului tangent la parabolidul

in punctul

9x - 12y-2z+9=0

.

25. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa se calculeze invariantul

. d=441/4

couadrica nedegenerata

corespunzator si sa decida natura cuadricei.

26. Fie cuadrica de ecuatie generala

corespunzator si sa decida natura cuadricei. d=0 ; cuadrica generata . 27. Fie cuadrica de ecuatie generala alfa = -(25/2) cuadrica de centru Sa se calculeze invariantul

Determinati invariantul

si precizati daca cuadrica este cu centru. .

28. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa stabileasca pozitia punctelor

si

a= interior ; b= exterior

. .

29. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa stabileasca pozitia punctelor

si

.

a= interior ; b= exterior

.

30. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa se calculeze centrul cuadricei, daca acesta exista.

c ( 1 ,20)

31. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa se calculeze invariantii , ,

.

alfa=-162;i=2,j=54

32. Fie cuadrica de ecuatie generala

. .

Sa se scrie matricea formei patratice asociate. 33. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa se scrie matricea formei patratice asociate. .

34. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa se scrie matricea formei patratice asociate.

.

35. Fie cuadrica de ecuatie generala

.

Sa se scrie matricea corespunzatoare. 36. Fie cuadrica de ecuatie generala

.

Sa se scrie matricea corespunzatoare. 37. Fie cuadrica de ecuatie generala Sa se calculeze invariantul

corespunzator si sa stabileasca natura cuadricei. .

38. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa se calculeze centrul cuadricei, daca acesta exista.

c=(-(21/50),3/25,147/50) .

39. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa se scrie forma patratica asociata. 40. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa se scrie forma patratica asociata. . 41. Sa se precizeze daca cuadrica de ecuatie generala

este degenerata si daca are centru.

.

Cudrica degenerata fara centru .

42. Fie cuadrica de ecuatie generala

Sa se calculeze invariantii

si corespunzatori.

J=0 , I=21

43. Matricea asociata unei cuadrice este simetrica sau antisimetrica ?

.

Simetrica

44. Sa se precizeze natura cuadricei

. Cuadrica degenerata in centru ( elipsoid )

45. Daca A si

sunt matricele asociate unei cuadrice, sa se precizeze formulele dupa care se calculeaza invariantii , si corespunzatori in functie de aceste matrice.