Setul 1
i normalei n la curba y
1. Sa se scrie ecuatiile tangentei t
2. Sa se scrie ecuatiile tangentei
t
i normalei n
la curba:
x 1 în punctul de abscis
x
et cos t
y
et sin t
în punctul
A 1, 0 3. Sa se scrie ecuatiile tangentei t
3 i normalei n la curba: x
3x 2 y
y2 9
0 în punctul
A 0,3 . 4. Sa se calculeze segmentul de tangenta MT , segmentul de normala MN , subtangenta PT
subnormala PN pentru curba
C
x
3
xy
2
2x y 3
i 0 în punctul M în care curba
C taie axa Oy . S-au notat T - punctul de interesectie al curbei b cu axa Ox , N punctul de interesectie al curbei C cu axa Ox , P - proiectia punctului M pe axa Ox . y
M x, y
C
T xT ,0
5. Fie curbele
C1 : y
x
e ,
corespunz toare lui C1
O
N X N ,0
P x,0
C2 : y 1 x
x2 . 2
x
Sa se calculeze curburile K1
i
K2
i respectiv C2 în punctul comun A.
6. Sa se determine ecuatia cercului osculator la elips în punctul de interesectie cu semiaxa
pozitiv a absciselor. 7. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei: 8. Fie curba:
C : x3
y 3 3axy
0
x
t3 3
4 t
C : y
1 t
t
2 2
Calculati R - raza de curbura în punctul curent pe curba. 9. Fie curba:
x
t3 3
4 t
C 1 t2
y
2
5
4 y 4 . Calculati R in functie de S n este
Se tie c raza de curbura este dat de rela ia R segmentul de normala al curbei, atunci: 10. Sa se calculeze raza de curbura a curbei
C
dat
prin coordonatele sale polare:
m
11. Sa
C
sin
se
calculeze
, m
n
elementul
de
arc
pe
curba
definita
în
coordonate
m
polare: C
sin
, m
m
12. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:
C
a 1 cos
(cardioid )
13. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:
C y
ex
e 2
x
chx
(l n i orul)
14. Fie curba C definita în coordonate polare de ecua ie:
C
. Not m V - unghiul
dintre tangenta MT i raza vectoare OM . Calculati tg V 15. Fie curba C definita în coordonate polare de ecua ie: C
tangentei t
. Sa se scrie ecuatiile
i normalei n la curba C în punctul curent
16. Sa se calculeze unghiul V dintre tangenta MT
oarecare al curbei C
ae
k
i raza vectoare OM , unde M este un punct (spirala logaritmic ).calculati tg V.
17.
Sa se afle subtangenta PT C y 2 2 px .
i subnormala PN intr-un punct arbitrar M situat pe parabola
18. Sa se afle segmentul de tangenta MT intr-un punct oarecare al curbei
x t th t C : 1 y ch t
19. Sa se afle tangenta polara MT , normala polara MN , subtangenta polara PT
polara PN intr-un punct oarecare al spiralei logaritmice: C
ae
k
, k
i subnormala
0
a . Fie A un punct pe cerc i O punctul diametrar opus lui A . O secant oarecare dus prin O taie cercul în punctul C i tangenta în A la cerc în punctul B . Sa se afle locul geometric al punctului P astfel încât BP OC .
20. Fie un cerc de raz
21. Eliminând
C
parametrul
între
ecuatiile
parametrice
ale
2
x
2a sin
y
sin 3 2a cos
cisoida lui Diocles
se ob ine ecuatia curbei sub form implicita: 22. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale strofoidei: x x
2
y2
a x2
y2
0
23. Sa se g seasc punctele de interesectie ale curbei C definita parametric de ecua ile:
curbei:
x t 3 3t
C
y
t2 3
t
i dreapta :
d x 2y 6 0
24. Sa se scrie ecuatiie tangentelor duse prin originea O 0, 0
x C y 25. Sa
se
scrie
x C y
t 3t 4t 2t
2 4 3 1
t
ecuatia
t 3t 4t 2t
2 4 3 1
4 , 3
\
explicit
t
\
la curba :
1 2
curbei C
a
4 , 3
definita
parametric
de
ecuatiile:
1 2
26. Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curba
C x3
y 3 3x 2
0
paralele cu prima bisectoare a axelor de coordonate: 27. Sa se scrie ecuatiile tangentei t
4x 2x 1 1 2
x C x
28. Sa se scrie ecuatiile tangentei t
x C : y 29. Sa
se
C :x
3
i normalei n în punctul M 1,1 la curba:
scrie 2
t 3t 4t 2t
2 4 t 3 1
ecuatia
3x y y
2
\
i normalei n în punctul M
1 ,3 la curba: 2
4 1 , 3 2
tangentei
i
normalei
în
punctul M 2, 1
la
curba:
2x 9 0
30. Sa se g seasc lungimile segmentelor de tangenta MT , de normala MN , subtangenta PT
subnormala PN intr-un punct M situat pe curba:
i
C :y
tg x ,
x
, , 2 2
M
4
,1
31. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , de normala MN i
subnormala PN în punctul M
x t sin t
1,1 la cicloida C
2
y 1 cos t
t
0,2
32. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , normala MN ,
subnormala PN în punctul M 1,1 la folium-ul lui Descartes:
C x3
y 3 2 xy
0
33. Sa se calculeze lungimea subtangentei PT la curba exponen ial :
aebx , x
C y
a, b - constante nenule
34. Sa se g seasc familia de curbe care au subtangenta constant
35. Sa se afle raza de curbura a l n i orului: y
36. Sa se afle raza de curbura a cicloidei: C
37. Sa
se
afle
raportul
dintre
raza
normala MN corepunz tore curbei C
38. Sa
se
afle
C x3
curbura K
y 3 2 xy
39. Sa se g seasc
C :
x
cos
y
sin
40. Sa se g seasc
C
0 ,
i
raza
x, y
ach
x , a
x
a t sin t
y
a 1 cos t de
t
0, 2
curbura R i
a t sin t
y
a 1 cos t curbura R
t
în
5sin 2 ,
segmentului
punctul M 1, 1
la
curba:
2
i raza de curbura R
0, 2
lungimea
0, 2
expresiile curburii K i razei de curbura R
curbura K
1 b
x
x
de
i egal cu
în coordonate polare:
în punctul M
4
la curbura:
41. Sa se calculeze curbura
punctul M
2a 1 cos
i raza de curbura a cardioidei:
în
2
42. Sa se calculeze subtangenta PT i subnormala PN la cicloida:
C :
x
a t sin t
y
a 1 cos t
în punctul M arbitrar situat pe curba: m
43. Sa se scrie ecuatia tangentei la curba politrop : x y 44. Fie curba C : y
2
n
0,
m n 1
1 e x i M un punct arbitrar situat pe curba. Not m R , raza de curbura,
St i S n lungimile segmentelor subtangenta, respectiv subnormala corespunz toare punctului M . Calculati R. n a n cos n , n . Not m Sn - lungimea segmentului subnormala polara 45. Fie curba C : i R - raza de curbura. Atunci: 46. Fie curbura C : y
47. Fie curba C y
2
2
x3
px , p
x3
. Sa se determine punctele singulare ale curbei
p ,0 3
i fie A
px , p
un punct singular al curbei.
Specificati natura punctului A 48. Sa se determine punctele singulare ale curbei
C : y2
x x 1
2
i Sa se scrie ecuatiile
tangentelor în aceste puncte. 49. Fie curba C
definita implicit de ecuatia: C : F x, y
singular. Care este conditia ca un punct sa fie nod. 50. Sa se afle punctele singulare ale curbei:
C : F x, y
x3
y 3 3axy
0, a 0
51. Fie curba:
C : F x, y
y2
x a
2
x b
0, a, b
Sa se studieze punctele singulare ale curbei. 52. Sa se g seasc punctele singulare ale curbei:
C : x 4 2ax 2 y ay 3
0
53. Sa se discute natura punctelor multiple ale curbei:
0
0
i M x0 , y0
un punct
y2
x3
px, p
(parametru)
x3
54. Fie curba plana C : F x, y
xy 2
yx 2
y3 2 x2 2 y 2
0
Sa se stabileasc punctele singulare ale curbei. 55. Sa se determine punctele singulare ale curbei C : y
2
x x 1
2
i Sa se scrie
ecuatiile
tangentelor în aceste puncte. 56. Sa se determine punctele singulare ale conicei dat pe ecuatia general :
a11 x 2 2a12 xy a22 2a13 x 2a23 y a33
C : F x, y
0
57. Sa se precizeze concavitatea i convexitatea arcului de elips :
x
AB
a cos t
t
y=bsint
0,
58. Sa se studieze convexitatea i concavitatea curbei C :
a
(spirala lui Arhimede).
59. Sa se determine evolventa cercului de ecua ie:
:
x
a cos t
y
a sin t
, t
0, 2
60. Sa se determine evolven a lan i orului de ecua ie:
: y
ach
x a
a
0
61. Sa se calculeze curbura intr-un punct oarecare al curbei:
C :
x
a t sin t
y
a 1 cos t
62. Fie curba de ecua ie:
C : y
ach
x , a a
0 (l n i orul)
1 - curbura curbei i S n - segmentul normala corespunz toare unui punct arbitrar pe R 1 curba. Calculati R Not m:
63. Fie curba de ecua ie:
C :
aek , (spirala logaritmic )
1 - curbura curbei i S n - segmentul normala corespunz tor unui punct arbitrar pe R 1 curba. Calculati R Not m:
64. Sa se determine curbele plane ale c ror curbura este constant . 65. Sa se determine curbele plane ale c ror ecua ie intrinsec este:
1 R
a a
2
b2
, a
const
66. Sa se stabileasc ordinl de contact r în vârful V 0,1 între parabola:
x2 2a
C1 : y
a
i l n i orul
C2 : y
ach
x a
67. Sa se stabileasc ordinl de contact r în punctul A 2, 0 între elipsa:
x
C1 :
acost
y b sin t
i cercul: 2
c2 x a
y
2
b4 a2
0 , c2
a 2 b2
68. Sa se determine cercul osculator intr-un punct M al curbei plane C dat pe ecuatiile sale
parametrice.
C :
69. Fie C :
C : y
x
x t
y
y t
x
2
y
2
r 2 ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :
f x . Sa se scrie formulele pentru coordonatele cercului si pentru raza cercului
osculator. 70.
Sa se scrie ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :
y
ach
x (l n i orul) a
71. Sa se afle înf ur toarea familiei de parabole:
C : y
x
x2 1 2c
2
72. Sa se afle înf ur toarea familiei de curbe:
C : F x; y;
x
3
y
2
0
73. Fie AB un segment de lungime AB
k (const), care se deplaseaz sprijinindu-se cu cap tul A pe axa OX i cu cap tul B pe axa OY . Sa se afle înf ur toarea familiei de drepte AB .
74. Sa se afle înf ur toarea cercurilor de raz r dat , care au centrele pe cercul x ANS: D 75. Sa se afle înf ur toarea familiei de drepte y
mx
2
y2
p în care m este parametrul variabil. 2m
76. Sa se calculeze ecuatia desf uratei curbei plane dat de ecuatiile sale parametrice:
C :
x
x t
y
y t
77. Sa se afle desf urata elipsei:
C :
x
x cos t
y
b sin t
, t
78. Sa se afle desf urata parabolei:
C : y2
2 px
79. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale evolventei curbei plane de ecua ie:
C :
x
x s
y
y s
unde s este arcul pe curba. 80. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale evolventei curbei de ecua ie:
C :
x
x t
y
y t
Notãm: 81. Se consider curba plana:
C :
x t sh t ch t y 2 ch t
Sa se scrie ecuatiile parametrice ale ecua iei.
R2 .
82. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale elocventei curbei plane de ecuatii parametrice:
x t sh t ch t y 2 ch t
:
Setul 2 1.Determinati ecuatiile parametrice ale curbei :
C :
x2
y2
z2 r2
x2
y 2 rx
0
0
2. Determinati ecuatiile implicite ale curbei:
C :
x r cos 2 t y r sin cos t z
r sin t
x r cos 3.Ce reprezinta curba C definita prin ecuatiile parametrice: y r sin z k 4. Determinati ecuatiile implicite ale curbei::
C :
x r cos t y r sin t , t z kt
0, 2
5. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei definita implicit prin:
x2
C :
y2
z2 a2 b2 y z b arctg x
0
6. Ce reprezinta curba definita parametric de ecuatiile:
C :
x at cos t y at sin t , t z bt
0, 2
7. Stabiliti pozitia curbei de ecuatii parametrice:
C : x
1 t , y 1 t
1 , z 1 t2
t 1 t
, t
\
1
fata de planul P de ecua ie:
P : x2 4 y 2z 3 0 8. Sa se afle elementul de arc al elicei circulare:
C :
x a cos t y a sin t , t z kt
0, 2
9. Sa se afle lungimea arcului de curba:
x a cos t y a sin t , k z kt
AB :
0,
2
10. Fie elicea circulara:
C : r
2 cos t i
2sin t j
5t k
Sa se calculeze lungimea arcului AB situat pe curba C unde A i B corespund bijectiv valorilor t
0 i respectiv t 1 .
11. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:
C :
x a sin 2 t y a sin t cos t z
a cos t
12. Sa se afle punctele de interesectie dintre curba
C :
x
t2
2t 2 3t 1, z
2t 3, y
3t 2 t 2, t
P : x y z 6 0 13. Sa se determine parametrul
C : x t
1 , y t
t
astfel încât curba:
1 , z 2t
s fie tangenta la planul: P : x 2 y 3z 2
2
3t
1 , 3t
t
0
14. Sa se afle pozi ia planului P de ecua ie:
P : 7 x 4 y 6 z 22 0 fa de curba:
C : x t
1 , y t
1 1 7t , z 2 t
3t
1 3t
0
i planul P de ecua ie:
15. Fie elicea circulara:
C : x
a cos t , y
a sin t , z
bt
Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba C în punctul curent. 16. Sa se scrie ecuatia planului normal la elicea circulara:
C : x
a cos t , y
a sin t , z
bt
în punctul curent pe curba. 17. Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba:
x 2 2az
C :
y
2
2bz
0 0
18. Sa se determine cosinu ii directori ai tangentei t
C : x
a cos t , y
la curba C de ecua ie:
a sin t , z bt , t
19. Sa se g seasc o reprezentare ra ional a curbei definita implicit de ecuatiile:
x2 y2 z 2 2 0 x y z 0 20. Sa se determine ecuatia planului in care este situata curba în spa iu:
C : x 3 2t 4t 3 , y
4 3t 2t 3 , z
2 4t 3t 3 , t
21. Sa se determine ecuatia planului in care este situata curba în spa iu::
C : x 1 t 3 , y t 2 t 3 , z 5t 2 2t 2 3, 22. Sa se g seasc parametrul real 3
C : x t t , y t
2
3
t
este:
astfel încât curba: t 3 t 2t 2 t3,
t , z t s fie plana i Sa se scrie ecuatia planului care o con ine: 23. Sa se scrie ecuatiile tangentei i a planului normal la curba:
C : x et cos t , y
et sin t , z
et , t
în punctul M 0 1, 0,1 24. Sa se scrie ecuatiile tangentei i a planului normal în punctul M 0 1,1, 1 la curba:
C :
x 2 2 y 2 3z 2 6 x 2 y 3z 0
25. Sa se determine punctele de pe curba:
planele normale sunt paralele cu dreapta:
C : x ln t , y D : x 4y
0, y
2t , z z.
t2,
t
0 , în care
26. Sa se scrie ecuatiile tangentei i planului normal la curba:
C : x ln t , y
t2,
2t , z
t
0
în punctul M 0 0, 2,1 . 27. Sa se determine curba descris de intersec iile tangentelor la curba:
C : x t, y t 2 , z t 3 , cu planul xOy .
t
29. Fie curba de ecuatii:
C :
x2
z2 4 0
x2
y2 4 0 i ecuatia planului normal Pn în punctul M 0
Calculati ecuatia tangentei t
3,1,1
C : x t 1, y t 2 t 2, z
31. Sa se scrie ecuatia planului osculator la curba
2 t 2 în
planul curent M x, y, z . 32. Sa se parametreze ecuatia implicita a curbei:
z 2 x 1
C :
x
2
2 0
y z 3 0
33. Sa se scrie ecuatia planului osculator Po
C : x
a cos t , y
a sin t , z
la curba de ecua ie:
bt (elicea circulara)
în punctul curent. 34. Sa se determine ecuatia planului osculator în punctul O 0, 0, 0 la elicea conica:
C : x t cos t , y
t sin t , z
at
35. Sa se determine ecuatiile normalei principale N p
C : x
a cos t , y
în punctul M
a sin t , z
la curba:
bt (elicea circulara)
C corespunz tor valorii t
2
.
36. Fie curba:
C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt , atunci binormala Bn intr-un punct x, y , z Bn :
C are ecuatiile: X
t cos a ln t A
Y t sin a ln t B
Z bt , C
Calculati A,B,C. 37. Sa se afle versorii triedrului lui Frenet intr-un punct M oarecare al curbei: C : x a cos , y a sin , z b (elicea circulara) 38. Sa se calculeze versorii triedrului lui Frenet corespunz tori curbei:
C : x în punctul A 39.
a cos , y
a sin , z
b
(elicea circulara)
0 . Sa se scrie formulele triedrului Frenet.
40. Sa se calculeze curbura elicei circulare:
C : x
a cos t , y
a sin t , z
bt , t
în punctul curent pe curba. 41. Sa se calculeze torsiunea elicei circulare:
C : x
a cos t , y
a sin t , z
bt , t
42. Sa se afle raportul dintre curbura i torsiunea curbei:
C : x
a cos t , y
a sin t , z
bt , t
43. Sa se afle curbura curbei:
C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt în punctul curent pe curba. 44. Sa se afle torsiunea curbei:
C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt în punctul curent pe curba. Ce reprezinta curba pentru care raportul dintre razele de curbura i de torsiune este constant 45.
46. Calculati unghiul V pe care îl face binormala la curba:
C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt cu axa Oz într-un punctul curent 47. Calculati normala principala la curba
C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt ,
t într-un punctul curent 48. calculati parametrii directori ai normalei la planul osculator Po în punctul A t
C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt 49. Sa se calculeze torsiunea curbei:
1 la curba
1 t , y 1 t
C : x
1 , z 1 t2
t 1 t
50. Fie curba în spa iu:
C :r t
t2 j
2t i
ln t k , t
Sa se calculeze versorul tangentei
0
, în punctul P 2,1, 0
i ecuatia tangentei la curba în
acest punct. 51. Sa se scrie ecuatia planului osculator în punctul P 2,1, 0 la curba:
2t i t 2 j
C :r t
ln t k , t
0
52. Sa se scrie ecuatia binormalei la curba:
C :r t
t2 j
2t i
ln t k , t
0
în punctul P 2,1, 0 . 53.
Sa se scrie reprezentarea parametrica pentru Curba lui Viviani, definita implicit de ecuatiile:
C
x2
y2
z2
r2
x2
y2
rx
0
0
54. Ce reprezinta curba definita parametric prin ecuatiile:
x C y z
r cos r sin k
55. Ce reprezinta proiectia curbei:
C
x2
y2
z2
r2
x2
y2
rx
0
0
pe planul x0y 56. Ce reprezinta proiectia curbei:
C
x r cos y r sin z k
pe planul xOy 57. Sa se calculeze elementul de arc pe elicea conica:
x at cost C y at sin t z bt 58. Sa se dea reprezentarea elicei conice:
x at cost C y at sin t z bt sub forma unei ecuatii implicite 59.
Sa se calculeze elementul de arc pe curba:
x a cos C : y a sin , t z k
0, 2
60. Sa se determine lungimea arcului de curba AB pentru
x a cos C : y a sin z k unde punctele A si B corespund valorilor
0, respectiv
.
61. Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba:
x C y z
t 1 t2 t
t 2
2 obtinem ecuatiile implicite
..
2
62. Fie curba de ecuatii parametrica:
x C y
t 1 t2
t
2
2
z 2 t Determinati ecuatia planului osculator intr-un punct arbitrar situat pe curba (C 63. Calculati ecuatia [lanul normal la curba de ecuatii parametrice:
x C y
t 1 t2
t
2
z 2 t2 dus prin punctul M de parametru arbitrar t si situat pe curba (C) . 64. Fie curba de ecuatii parametrice:
x t cos a ln t C y t sin(a ln t ) z bt Calculati ecuatia binormala in punctul curent
65. Fie curba (C) de ecuatii parametrice:
x C : y z
a cos a sin b
Calculati versorii triedrului lui Frenet in punctul A de parametru
=0
67. Fie:
C :x
2t , y
ln t , z
t2,
t
0
ecuatia unei elice cilindrice. Sa se calculeze raportul dintre torsiune si raza de curbura.Ce observati ?
68. Sa se scrie ecuatia planului rectificatoror in punctul M (1, 1,
x
t t2 2 3 t 3
C : y z
Fie C : r
69.
M0 t
2 ) situat pe curba. 3
2 cos t i
2 sin t j
4t k , o curba definita prin ecuatia sa vectoriala i
un punct pe aceasta curba. Calculati ecuatiile tangentei si planului normal
4
70. Sa se gaseasca vectorii de pozi ie de pe curba:
1 i t
C :r
2t 2 1 k
tj
în care tangenta la curba este perpendiculara pe dreapta:
d
3x
y 2
0
x
z 8
0
Setul 3
1. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita implicit de ecuatia:
: x y
z3
2. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:
x u : y v z uv
2
u,v
3. Sa se scrie a doua forma fundamentala pentru suprafata definita parametric de ecuatiile:
( ):
x u cos v y u sin v z u v
2
u, v
4. Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:
( ):
x u cos v y u sin v z u v
2
u, v
Sa se scrie ecuatiile planului tangent i a normalei în punctul M 0 u
1, v
ANS: C 7.
Fie suprafata:
S : x u cos v, y
u sin v, z
av
Sã se afle elementul de arie pe suprafatã.
8. Sa se determine punctul suprafetei x
planul : 5 x 6 y 2 z 7 9.
3
3 xy z
0 a cãrui normala este perpendiculara pe
0.
Fie suprafata:
: x
2u v; y
u 2 v2 ; z
u 3 v3
si punctul M 3,5, 7 . Sa se scrie ecuatia planului tangent la suprafata in punctul M 10.
Fie suprafata:
: x
2u v; y
u 2 v2 ; z
u 3 v3
si punctul M 3,5, 7 . Sa se scrie ecuatia normalei la suprafata in punctul M 11. Fie suprafata :
: x u 2 v2 , y
u 2 v 2 , z uv Sa se calculeze elementul de arc pe curba 1 2 : v situata suprafata
Setul 4