Geometrie Diferentiala Subiecte Propuse Sem Ii An 1 Geometrie

Setul 1

i normalei n la curba y

1. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

2. Sa se scrie ecuatiile tangentei

t

i normalei n

la curba:

x 1 în punctul de abscis

x

et cos t

y

et sin t

în punctul

A 1, 0 3. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

3 i normalei n la curba: x

3x 2 y

y2 9

0 în punctul

A 0,3 . 4. Sa se calculeze segmentul de tangenta MT , segmentul de normala MN , subtangenta PT

subnormala PN pentru curba

C

x

3

xy

2

2x y 3

i 0 în punctul M în care curba

C taie axa Oy . S-au notat T - punctul de interesectie al curbei b cu axa Ox , N punctul de interesectie al curbei C cu axa Ox , P - proiectia punctului M pe axa Ox . y

M x, y

C

T xT ,0

5. Fie curbele

C1 : y

x

e ,

corespunz toare lui C1

O

N X N ,0

P x,0

C2 : y 1 x

x2 . 2

x

Sa se calculeze curburile K1

i

K2

i respectiv C2 în punctul comun A.

6. Sa se determine ecuatia cercului osculator la elips în punctul de interesectie cu semiaxa

pozitiv a absciselor. 7. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei: 8. Fie curba:

C : x3

y 3 3axy

0

x

t3 3

4 t

C : y

1 t

t

2 2

Calculati R - raza de curbura în punctul curent pe curba. 9. Fie curba:

x

t3 3

4 t

C 1 t2

y

2

5

4 y 4 . Calculati R in functie de S n este

Se tie c raza de curbura este dat de rela ia R segmentul de normala al curbei, atunci: 10. Sa se calculeze raza de curbura a curbei

C

dat

prin coordonatele sale polare:

m

11. Sa

C

sin

se

calculeze

, m

n

elementul

de

arc

pe

curba

definita

în

coordonate

m

polare: C

sin

, m

m

12. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

C

a 1 cos

(cardioid )

13. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

C y

ex

e 2

x

chx

(l n i orul)

14. Fie curba C definita în coordonate polare de ecua ie:

C

. Not m V - unghiul

dintre tangenta MT i raza vectoare OM . Calculati tg V 15. Fie curba C definita în coordonate polare de ecua ie: C

tangentei t

. Sa se scrie ecuatiile

i normalei n la curba C în punctul curent

16. Sa se calculeze unghiul V dintre tangenta MT

oarecare al curbei C

ae

k

i raza vectoare OM , unde M este un punct (spirala logaritmic ).calculati tg V.

17.

Sa se afle subtangenta PT C y 2 2 px .

i subnormala PN intr-un punct arbitrar M situat pe parabola

18. Sa se afle segmentul de tangenta MT intr-un punct oarecare al curbei

x t th t C : 1 y ch t

19. Sa se afle tangenta polara MT , normala polara MN , subtangenta polara PT

polara PN intr-un punct oarecare al spiralei logaritmice: C

ae

k

, k

i subnormala

0

a . Fie A un punct pe cerc i O punctul diametrar opus lui A . O secant oarecare dus prin O taie cercul în punctul C i tangenta în A la cerc în punctul B . Sa se afle locul geometric al punctului P astfel încât BP OC .

20. Fie un cerc de raz

21. Eliminând

C

parametrul

între

ecuatiile

parametrice

ale

2

x

2a sin

y

sin 3 2a cos

cisoida lui Diocles

se ob ine ecuatia curbei sub form implicita: 22. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale strofoidei: x x

2

y2

a x2

y2

0

23. Sa se g seasc punctele de interesectie ale curbei C definita parametric de ecua ile:

curbei:

x t 3 3t

C

y

t2 3

t

i dreapta :

d x 2y 6 0

24. Sa se scrie ecuatiie tangentelor duse prin originea O 0, 0

x C y 25. Sa

se

scrie

x C y

t 3t 4t 2t

2 4 3 1

t

ecuatia

t 3t 4t 2t

2 4 3 1

4 , 3

\

explicit

t

\

la curba :

1 2

curbei C

a

4 , 3

definita

parametric

de

ecuatiile:

1 2

26. Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curba

C x3

y 3 3x 2

0

paralele cu prima bisectoare a axelor de coordonate: 27. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

4x 2x 1 1 2

x C x

28. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

x C : y 29. Sa

se

C :x

3

i normalei n în punctul M 1,1 la curba:

scrie 2

t 3t 4t 2t

2 4 t 3 1

ecuatia

3x y y

2

\

i normalei n în punctul M

1 ,3 la curba: 2

4 1 , 3 2

tangentei

i

normalei

în

punctul M 2, 1

la

curba:

2x 9 0

30. Sa se g seasc lungimile segmentelor de tangenta MT , de normala MN , subtangenta PT

subnormala PN intr-un punct M situat pe curba:

i

C :y

tg x ,

x

, , 2 2

M

4

,1

31. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , de normala MN i

subnormala PN în punctul M

x t sin t

1,1 la cicloida C

2

y 1 cos t

t

0,2

32. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , normala MN ,

subnormala PN în punctul M 1,1 la folium-ul lui Descartes:

C x3

y 3 2 xy

0

33. Sa se calculeze lungimea subtangentei PT la curba exponen ial :

aebx , x

C y

a, b - constante nenule

34. Sa se g seasc familia de curbe care au subtangenta constant

35. Sa se afle raza de curbura a l n i orului: y

36. Sa se afle raza de curbura a cicloidei: C

37. Sa

se

afle

raportul

dintre

raza

normala MN corepunz tore curbei C

38. Sa

se

afle

C x3

curbura K

y 3 2 xy

39. Sa se g seasc

C :

x

cos

y

sin

40. Sa se g seasc

C

0 ,

i

raza

x, y

ach

x , a

x

a t sin t

y

a 1 cos t de

t

0, 2

curbura R i

a t sin t

y

a 1 cos t curbura R

t

în

5sin 2 ,

segmentului

punctul M 1, 1

la

curba:

2

i raza de curbura R

0, 2

lungimea

0, 2

expresiile curburii K i razei de curbura R

curbura K

1 b

x

x

de

i egal cu

în coordonate polare:

în punctul M

4

la curbura:

41. Sa se calculeze curbura

punctul M

2a 1 cos

i raza de curbura a cardioidei:

în

2

42. Sa se calculeze subtangenta PT i subnormala PN la cicloida:

C :

x

a t sin t

y

a 1 cos t

în punctul M arbitrar situat pe curba: m

43. Sa se scrie ecuatia tangentei la curba politrop : x y 44. Fie curba C : y

2

n

0,

m n 1

1 e x i M un punct arbitrar situat pe curba. Not m R , raza de curbura,

St i S n lungimile segmentelor subtangenta, respectiv subnormala corespunz toare punctului M . Calculati R. n a n cos n , n . Not m Sn - lungimea segmentului subnormala polara 45. Fie curba C : i R - raza de curbura. Atunci: 46. Fie curbura C : y

47. Fie curba C y

2

2

x3

px , p

x3

. Sa se determine punctele singulare ale curbei

p ,0 3

i fie A

px , p

un punct singular al curbei.

Specificati natura punctului A 48. Sa se determine punctele singulare ale curbei

C : y2

x x 1

2

i Sa se scrie ecuatiile

tangentelor în aceste puncte. 49. Fie curba C

definita implicit de ecuatia: C : F x, y

singular. Care este conditia ca un punct sa fie nod. 50. Sa se afle punctele singulare ale curbei:

C : F x, y

x3

y 3 3axy

0, a 0

51. Fie curba:

C : F x, y

y2

x a

2

x b

0, a, b

Sa se studieze punctele singulare ale curbei. 52. Sa se g seasc punctele singulare ale curbei:

C : x 4 2ax 2 y ay 3

0

53. Sa se discute natura punctelor multiple ale curbei:

0

0

i M x0 , y0

un punct

y2

x3

px, p

(parametru)

x3

54. Fie curba plana C : F x, y

xy 2

yx 2

y3 2 x2 2 y 2

0

Sa se stabileasc punctele singulare ale curbei. 55. Sa se determine punctele singulare ale curbei C : y

2

x x 1

2

i Sa se scrie

ecuatiile

tangentelor în aceste puncte. 56. Sa se determine punctele singulare ale conicei dat pe ecuatia general :

a11 x 2 2a12 xy a22 2a13 x 2a23 y a33

C : F x, y

0

57. Sa se precizeze concavitatea i convexitatea arcului de elips :

x

AB

a cos t

t

y=bsint

0,

58. Sa se studieze convexitatea i concavitatea curbei C :

a

(spirala lui Arhimede).

59. Sa se determine evolventa cercului de ecua ie:

:

x

a cos t

y

a sin t

, t

0, 2

60. Sa se determine evolven a lan i orului de ecua ie:

: y

ach

x a

a

0

61. Sa se calculeze curbura intr-un punct oarecare al curbei:

C :

x

a t sin t

y

a 1 cos t

62. Fie curba de ecua ie:

C : y

ach

x , a a

0 (l n i orul)

1 - curbura curbei i S n - segmentul normala corespunz toare unui punct arbitrar pe R 1 curba. Calculati R Not m:

63. Fie curba de ecua ie:

C :

aek , (spirala logaritmic )

1 - curbura curbei i S n - segmentul normala corespunz tor unui punct arbitrar pe R 1 curba. Calculati R Not m:

64. Sa se determine curbele plane ale c ror curbura este constant . 65. Sa se determine curbele plane ale c ror ecua ie intrinsec este:

1 R

a a

2

b2

, a

const

66. Sa se stabileasc ordinl de contact r în vârful V 0,1 între parabola:

x2 2a

C1 : y

a

i l n i orul

C2 : y

ach

x a

67. Sa se stabileasc ordinl de contact r în punctul A 2, 0 între elipsa:

x

C1 :

acost

y b sin t

i cercul: 2

c2 x a

y

2

b4 a2

0 , c2

a 2 b2

68. Sa se determine cercul osculator intr-un punct M al curbei plane C dat pe ecuatiile sale

parametrice.

C :

69. Fie C :

C : y

x

x t

y

y t

x

2

y

2

r 2 ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :

f x . Sa se scrie formulele pentru coordonatele cercului si pentru raza cercului

osculator. 70.

Sa se scrie ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :

y

ach

x (l n i orul) a

71. Sa se afle înf ur toarea familiei de parabole:

C : y

x

x2 1 2c

2

72. Sa se afle înf ur toarea familiei de curbe:

C : F x; y;

x

3

y

2

0

73. Fie AB un segment de lungime AB

k (const), care se deplaseaz sprijinindu-se cu cap tul A pe axa OX i cu cap tul B pe axa OY . Sa se afle înf ur toarea familiei de drepte AB .

74. Sa se afle înf ur toarea cercurilor de raz r dat , care au centrele pe cercul x ANS: D 75. Sa se afle înf ur toarea familiei de drepte y

mx

2

y2

p în care m este parametrul variabil. 2m

76. Sa se calculeze ecuatia desf uratei curbei plane dat de ecuatiile sale parametrice:

C :

x

x t

y

y t

77. Sa se afle desf urata elipsei:

C :

x

x cos t

y

b sin t

, t

78. Sa se afle desf urata parabolei:

C : y2

2 px

79. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale evolventei curbei plane de ecua ie:

C :

x

x s

y

y s

unde s este arcul pe curba. 80. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale evolventei curbei de ecua ie:

C :

x

x t

y

y t

Notãm: 81. Se consider curba plana:

C :

x t sh t ch t y 2 ch t

Sa se scrie ecuatiile parametrice ale ecua iei.

R2 .

82. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale elocventei curbei plane de ecuatii parametrice:

x t sh t ch t y 2 ch t

:

Setul 2 1.Determinati ecuatiile parametrice ale curbei :

C :

x2

y2

z2 r2

x2

y 2 rx

0

0

2. Determinati ecuatiile implicite ale curbei:

C :

x r cos 2 t y r sin cos t z

r sin t

x r cos 3.Ce reprezinta curba C definita prin ecuatiile parametrice: y r sin z k 4. Determinati ecuatiile implicite ale curbei::

C :

x r cos t y r sin t , t z kt

0, 2

5. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei definita implicit prin:

x2

C :

y2

z2 a2 b2 y z b arctg x

0

6. Ce reprezinta curba definita parametric de ecuatiile:

C :

x at cos t y at sin t , t z bt

0, 2

7. Stabiliti pozitia curbei de ecuatii parametrice:

C : x

1 t , y 1 t

1 , z 1 t2

t 1 t

, t

\

1

fata de planul P de ecua ie:

P : x2 4 y 2z 3 0 8. Sa se afle elementul de arc al elicei circulare:

C :

x a cos t y a sin t , t z kt

0, 2

9. Sa se afle lungimea arcului de curba:

x a cos t y a sin t , k z kt

AB :

0,

2

10. Fie elicea circulara:

C : r

2 cos t i

2sin t j

5t k

Sa se calculeze lungimea arcului AB situat pe curba C unde A i B corespund bijectiv valorilor t

0 i respectiv t 1 .

11. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

C :

x a sin 2 t y a sin t cos t z

a cos t

12. Sa se afle punctele de interesectie dintre curba

C :

x

t2

2t 2 3t 1, z

2t 3, y

3t 2 t 2, t

P : x y z 6 0 13. Sa se determine parametrul

C : x t

1 , y t

t

astfel încât curba:

1 , z 2t

s fie tangenta la planul: P : x 2 y 3z 2

2

3t

1 , 3t

t

0

14. Sa se afle pozi ia planului P de ecua ie:

P : 7 x 4 y 6 z 22 0 fa de curba:

C : x t

1 , y t

1 1 7t , z 2 t

3t

1 3t

0

i planul P de ecua ie:

15. Fie elicea circulara:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt

Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba C în punctul curent. 16. Sa se scrie ecuatia planului normal la elicea circulara:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt

în punctul curent pe curba. 17. Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba:

x 2 2az

C :

y

2

2bz

0 0

18. Sa se determine cosinu ii directori ai tangentei t

C : x

a cos t , y

la curba C de ecua ie:

a sin t , z bt , t

19. Sa se g seasc o reprezentare ra ional a curbei definita implicit de ecuatiile:

x2 y2 z 2 2 0 x y z 0 20. Sa se determine ecuatia planului in care este situata curba în spa iu:

C : x 3 2t 4t 3 , y

4 3t 2t 3 , z

2 4t 3t 3 , t

21. Sa se determine ecuatia planului in care este situata curba în spa iu::

C : x 1 t 3 , y t 2 t 3 , z 5t 2 2t 2 3, 22. Sa se g seasc parametrul real 3

C : x t t , y t

2

3

t

este:

astfel încât curba: t 3 t 2t 2 t3,

t , z t s fie plana i Sa se scrie ecuatia planului care o con ine: 23. Sa se scrie ecuatiile tangentei i a planului normal la curba:

C : x et cos t , y

et sin t , z

et , t

în punctul M 0 1, 0,1 24. Sa se scrie ecuatiile tangentei i a planului normal în punctul M 0 1,1, 1 la curba:

C :

x 2 2 y 2 3z 2 6 x 2 y 3z 0

25. Sa se determine punctele de pe curba:

planele normale sunt paralele cu dreapta:

C : x ln t , y D : x 4y

0, y

2t , z z.

t2,

t

0 , în care

26. Sa se scrie ecuatiile tangentei i planului normal la curba:

C : x ln t , y

t2,

2t , z

t

0

în punctul M 0 0, 2,1 . 27. Sa se determine curba descris de intersec iile tangentelor la curba:

C : x t, y t 2 , z t 3 , cu planul xOy .

t

29. Fie curba de ecuatii:

C :

x2

z2 4 0

x2

y2 4 0 i ecuatia planului normal Pn în punctul M 0

Calculati ecuatia tangentei t

3,1,1

C : x t 1, y t 2 t 2, z

31. Sa se scrie ecuatia planului osculator la curba

2 t 2 în

planul curent M x, y, z . 32. Sa se parametreze ecuatia implicita a curbei:

z 2 x 1

C :

x

2

2 0

y z 3 0

33. Sa se scrie ecuatia planului osculator Po

C : x

a cos t , y

a sin t , z

la curba de ecua ie:

bt (elicea circulara)

în punctul curent. 34. Sa se determine ecuatia planului osculator în punctul O 0, 0, 0 la elicea conica:

C : x t cos t , y

t sin t , z

at

35. Sa se determine ecuatiile normalei principale N p

C : x

a cos t , y

în punctul M

a sin t , z

la curba:

bt (elicea circulara)

C corespunz tor valorii t

2

.

36. Fie curba:

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt , atunci binormala Bn intr-un punct x, y , z Bn :

C are ecuatiile: X

t cos a ln t A

Y t sin a ln t B

Z bt , C

Calculati A,B,C. 37. Sa se afle versorii triedrului lui Frenet intr-un punct M oarecare al curbei: C : x a cos , y a sin , z b (elicea circulara) 38. Sa se calculeze versorii triedrului lui Frenet corespunz tori curbei:

C : x în punctul A 39.

a cos , y

a sin , z

b

(elicea circulara)

0 . Sa se scrie formulele triedrului Frenet.

40. Sa se calculeze curbura elicei circulare:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt , t

în punctul curent pe curba. 41. Sa se calculeze torsiunea elicei circulare:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt , t

42. Sa se afle raportul dintre curbura i torsiunea curbei:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt , t

43. Sa se afle curbura curbei:

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt în punctul curent pe curba. 44. Sa se afle torsiunea curbei:

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt în punctul curent pe curba. Ce reprezinta curba pentru care raportul dintre razele de curbura i de torsiune este constant 45.

46. Calculati unghiul V pe care îl face binormala la curba:

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt cu axa Oz într-un punctul curent 47. Calculati normala principala la curba

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt ,

t într-un punctul curent 48. calculati parametrii directori ai normalei la planul osculator Po în punctul A t

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt 49. Sa se calculeze torsiunea curbei:

1 la curba

1 t , y 1 t

C : x

1 , z 1 t2

t 1 t

50. Fie curba în spa iu:

C :r t

t2 j

2t i

ln t k , t

Sa se calculeze versorul tangentei

0

, în punctul P 2,1, 0

i ecuatia tangentei la curba în

acest punct. 51. Sa se scrie ecuatia planului osculator în punctul P 2,1, 0 la curba:

2t i t 2 j

C :r t

ln t k , t

0

52. Sa se scrie ecuatia binormalei la curba:

C :r t

t2 j

2t i

ln t k , t

0

în punctul P 2,1, 0 . 53.

Sa se scrie reprezentarea parametrica pentru Curba lui Viviani, definita implicit de ecuatiile:

C

x2

y2

z2

r2

x2

y2

rx

0

0

54. Ce reprezinta curba definita parametric prin ecuatiile:

x C y z

r cos r sin k

55. Ce reprezinta proiectia curbei:

C

x2

y2

z2

r2

x2

y2

rx

0

0

pe planul x0y 56. Ce reprezinta proiectia curbei:

C

x r cos y r sin z k

pe planul xOy 57. Sa se calculeze elementul de arc pe elicea conica:

x at cost C y at sin t z bt 58. Sa se dea reprezentarea elicei conice:

x at cost C y at sin t z bt sub forma unei ecuatii implicite 59.

Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

x a cos C : y a sin , t z k

0, 2

60. Sa se determine lungimea arcului de curba AB pentru

x a cos C : y a sin z k unde punctele A si B corespund valorilor

0, respectiv

.

61. Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba:

x C y z

t 1 t2 t

t 2

2 obtinem ecuatiile implicite

..

2

62. Fie curba de ecuatii parametrica:

x C y

t 1 t2

t

2

2

z 2 t Determinati ecuatia planului osculator intr-un punct arbitrar situat pe curba (C 63. Calculati ecuatia [lanul normal la curba de ecuatii parametrice:

x C y

t 1 t2

t

2

z 2 t2 dus prin punctul M de parametru arbitrar t si situat pe curba (C) . 64. Fie curba de ecuatii parametrice:

x t cos a ln t C y t sin(a ln t ) z bt Calculati ecuatia binormala in punctul curent

65. Fie curba (C) de ecuatii parametrice:

x C : y z

a cos a sin b

Calculati versorii triedrului lui Frenet in punctul A de parametru

=0

67. Fie:

C :x

2t , y

ln t , z

t2,

t

0

ecuatia unei elice cilindrice. Sa se calculeze raportul dintre torsiune si raza de curbura.Ce observati ?

68. Sa se scrie ecuatia planului rectificatoror in punctul M (1, 1,

x

t t2 2 3 t 3

C : y z

Fie C : r

69.

M0 t

2 ) situat pe curba. 3

2 cos t i

2 sin t j

4t k , o curba definita prin ecuatia sa vectoriala i

un punct pe aceasta curba. Calculati ecuatiile tangentei si planului normal

4

70. Sa se gaseasca vectorii de pozi ie de pe curba:

1 i t

C :r

2t 2 1 k

tj

în care tangenta la curba este perpendiculara pe dreapta:

d

3x

y 2

0

x

z 8

0

Setul 3

1. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita implicit de ecuatia:

: x y

z3

2. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:

x u : y v z uv

2

u,v

3. Sa se scrie a doua forma fundamentala pentru suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ):

x u cos v y u sin v z u v

2

u, v

4. Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ):

x u cos v y u sin v z u v

2

u, v

Sa se scrie ecuatiile planului tangent i a normalei în punctul M 0 u

1, v

ANS: C 7.

Fie suprafata:

S : x u cos v, y

u sin v, z

av

Sã se afle elementul de arie pe suprafatã.

8. Sa se determine punctul suprafetei x

planul : 5 x 6 y 2 z 7 9.

3

3 xy z

0 a cãrui normala este perpendiculara pe

0.

Fie suprafata:

: x

2u v; y

u 2 v2 ; z

u 3 v3

si punctul M 3,5, 7 . Sa se scrie ecuatia planului tangent la suprafata in punctul M 10.

Fie suprafata:

: x

2u v; y

u 2 v2 ; z

u 3 v3

si punctul M 3,5, 7 . Sa se scrie ecuatia normalei la suprafata in punctul M 11. Fie suprafata :

: x u 2 v2 , y

u 2 v 2 , z uv Sa se calculeze elementul de arc pe curba 1 2 : v situata suprafata

Setul 4