Geometrie Diferentiala Subiecte Propuse Sem Ii An 1 Geometrie

  • May 2020
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Geometrie Diferentiala Subiecte Propuse Sem Ii An 1 Geometrie as PDF for free.

More details

  • Words: 4,377
  • Pages: 30
Setul 1

i normalei n la curba y

1. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

2. Sa se scrie ecuatiile tangentei

t

i normalei n

la curba:

x 1 în punctul de abscis

x

et cos t

y

et sin t

în punctul

A 1, 0 3. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

3 i normalei n la curba: x

3x 2 y

y2 9

0 în punctul

A 0,3 . 4. Sa se calculeze segmentul de tangenta MT , segmentul de normala MN , subtangenta PT

subnormala PN pentru curba

C

x

3

xy

2

2x y 3

i 0 în punctul M în care curba

C taie axa Oy . S-au notat T - punctul de interesectie al curbei b cu axa Ox , N punctul de interesectie al curbei C cu axa Ox , P - proiectia punctului M pe axa Ox . y

M x, y

C

T xT ,0

5. Fie curbele

C1 : y

x

e ,

corespunz toare lui C1

O

N X N ,0

P x,0

C2 : y 1 x

x2 . 2

x

Sa se calculeze curburile K1

i

K2

i respectiv C2 în punctul comun A.

6. Sa se determine ecuatia cercului osculator la elips în punctul de interesectie cu semiaxa

pozitiv a absciselor. 7. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei: 8. Fie curba:

C : x3

y 3 3axy

0

x

t3 3

4 t

C : y

1 t

t

2 2

Calculati R - raza de curbura în punctul curent pe curba. 9. Fie curba:

x

t3 3

4 t

C 1 t2

y

2

5

4 y 4 . Calculati R in functie de S n este

Se tie c raza de curbura este dat de rela ia R segmentul de normala al curbei, atunci: 10. Sa se calculeze raza de curbura a curbei

C

dat

prin coordonatele sale polare:

m

11. Sa

C

sin

se

calculeze

, m

n

elementul

de

arc

pe

curba

definita

în

coordonate

m

polare: C

sin

, m

m

12. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

C

a 1 cos

(cardioid )

13. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

C y

ex

e 2

x

chx

(l n i orul)

14. Fie curba C definita în coordonate polare de ecua ie:

C

. Not m V - unghiul

dintre tangenta MT i raza vectoare OM . Calculati tg V 15. Fie curba C definita în coordonate polare de ecua ie: C

tangentei t

. Sa se scrie ecuatiile

i normalei n la curba C în punctul curent

16. Sa se calculeze unghiul V dintre tangenta MT

oarecare al curbei C

ae

k

i raza vectoare OM , unde M este un punct (spirala logaritmic ).calculati tg V.

17.

Sa se afle subtangenta PT C y 2 2 px .

i subnormala PN intr-un punct arbitrar M situat pe parabola

18. Sa se afle segmentul de tangenta MT intr-un punct oarecare al curbei

x t th t C : 1 y ch t

19. Sa se afle tangenta polara MT , normala polara MN , subtangenta polara PT

polara PN intr-un punct oarecare al spiralei logaritmice: C

ae

k

, k

i subnormala

0

a . Fie A un punct pe cerc i O punctul diametrar opus lui A . O secant oarecare dus prin O taie cercul în punctul C i tangenta în A la cerc în punctul B . Sa se afle locul geometric al punctului P astfel încât BP OC .

20. Fie un cerc de raz

21. Eliminând

C

parametrul

între

ecuatiile

parametrice

ale

2

x

2a sin

y

sin 3 2a cos

cisoida lui Diocles

se ob ine ecuatia curbei sub form implicita: 22. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale strofoidei: x x

2

y2

a x2

y2

0

23. Sa se g seasc punctele de interesectie ale curbei C definita parametric de ecua ile:

curbei:

x t 3 3t

C

y

t2 3

t

i dreapta :

d x 2y 6 0

24. Sa se scrie ecuatiie tangentelor duse prin originea O 0, 0

x C y 25. Sa

se

scrie

x C y

t 3t 4t 2t

2 4 3 1

t

ecuatia

t 3t 4t 2t

2 4 3 1

4 , 3

\

explicit

t

\

la curba :

1 2

curbei C

a

4 , 3

definita

parametric

de

ecuatiile:

1 2

26. Sa se scrie ecuatiile tangentelor la curba

C x3

y 3 3x 2

0

paralele cu prima bisectoare a axelor de coordonate: 27. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

4x 2x 1 1 2

x C x

28. Sa se scrie ecuatiile tangentei t

x C : y 29. Sa

se

C :x

3

i normalei n în punctul M 1,1 la curba:

scrie 2

t 3t 4t 2t

2 4 t 3 1

ecuatia

3x y y

2

\

i normalei n în punctul M

1 ,3 la curba: 2

4 1 , 3 2

tangentei

i

normalei

în

punctul M 2, 1

la

curba:

2x 9 0

30. Sa se g seasc lungimile segmentelor de tangenta MT , de normala MN , subtangenta PT

subnormala PN intr-un punct M situat pe curba:

i

C :y

tg x ,

x

, , 2 2

M

4

,1

31. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , de normala MN i

subnormala PN în punctul M

x t sin t

1,1 la cicloida C

2

y 1 cos t

t

0,2

32. Sa se afle lungimile segmentelor de tangenta MT , subtangenta PT , normala MN ,

subnormala PN în punctul M 1,1 la folium-ul lui Descartes:

C x3

y 3 2 xy

0

33. Sa se calculeze lungimea subtangentei PT la curba exponen ial :

aebx , x

C y

a, b - constante nenule

34. Sa se g seasc familia de curbe care au subtangenta constant

35. Sa se afle raza de curbura a l n i orului: y

36. Sa se afle raza de curbura a cicloidei: C

37. Sa

se

afle

raportul

dintre

raza

normala MN corepunz tore curbei C

38. Sa

se

afle

C x3

curbura K

y 3 2 xy

39. Sa se g seasc

C :

x

cos

y

sin

40. Sa se g seasc

C

0 ,

i

raza

x, y

ach

x , a

x

a t sin t

y

a 1 cos t de

t

0, 2

curbura R i

a t sin t

y

a 1 cos t curbura R

t

în

5sin 2 ,

segmentului

punctul M 1, 1

la

curba:

2

i raza de curbura R

0, 2

lungimea

0, 2

expresiile curburii K i razei de curbura R

curbura K

1 b

x

x

de

i egal cu

în coordonate polare:

în punctul M

4

la curbura:

41. Sa se calculeze curbura

punctul M

2a 1 cos

i raza de curbura a cardioidei:

în

2

42. Sa se calculeze subtangenta PT i subnormala PN la cicloida:

C :

x

a t sin t

y

a 1 cos t

în punctul M arbitrar situat pe curba: m

43. Sa se scrie ecuatia tangentei la curba politrop : x y 44. Fie curba C : y

2

n

0,

m n 1

1 e x i M un punct arbitrar situat pe curba. Not m R , raza de curbura,

St i S n lungimile segmentelor subtangenta, respectiv subnormala corespunz toare punctului M . Calculati R. n a n cos n , n . Not m Sn - lungimea segmentului subnormala polara 45. Fie curba C : i R - raza de curbura. Atunci: 46. Fie curbura C : y

47. Fie curba C y

2

2

x3

px , p

x3

. Sa se determine punctele singulare ale curbei

p ,0 3

i fie A

px , p

un punct singular al curbei.

Specificati natura punctului A 48. Sa se determine punctele singulare ale curbei

C : y2

x x 1

2

i Sa se scrie ecuatiile

tangentelor în aceste puncte. 49. Fie curba C

definita implicit de ecuatia: C : F x, y

singular. Care este conditia ca un punct sa fie nod. 50. Sa se afle punctele singulare ale curbei:

C : F x, y

x3

y 3 3axy

0, a 0

51. Fie curba:

C : F x, y

y2

x a

2

x b

0, a, b

Sa se studieze punctele singulare ale curbei. 52. Sa se g seasc punctele singulare ale curbei:

C : x 4 2ax 2 y ay 3

0

53. Sa se discute natura punctelor multiple ale curbei:

0

0

i M x0 , y0

un punct

y2

x3

px, p

(parametru)

x3

54. Fie curba plana C : F x, y

xy 2

yx 2

y3 2 x2 2 y 2

0

Sa se stabileasc punctele singulare ale curbei. 55. Sa se determine punctele singulare ale curbei C : y

2

x x 1

2

i Sa se scrie

ecuatiile

tangentelor în aceste puncte. 56. Sa se determine punctele singulare ale conicei dat pe ecuatia general :

a11 x 2 2a12 xy a22 2a13 x 2a23 y a33

C : F x, y

0

57. Sa se precizeze concavitatea i convexitatea arcului de elips :

x

AB

a cos t

t

y=bsint

0,

58. Sa se studieze convexitatea i concavitatea curbei C :

a

(spirala lui Arhimede).

59. Sa se determine evolventa cercului de ecua ie:

:

x

a cos t

y

a sin t

, t

0, 2

60. Sa se determine evolven a lan i orului de ecua ie:

: y

ach

x a

a

0

61. Sa se calculeze curbura intr-un punct oarecare al curbei:

C :

x

a t sin t

y

a 1 cos t

62. Fie curba de ecua ie:

C : y

ach

x , a a

0 (l n i orul)

1 - curbura curbei i S n - segmentul normala corespunz toare unui punct arbitrar pe R 1 curba. Calculati R Not m:

63. Fie curba de ecua ie:

C :

aek , (spirala logaritmic )

1 - curbura curbei i S n - segmentul normala corespunz tor unui punct arbitrar pe R 1 curba. Calculati R Not m:

64. Sa se determine curbele plane ale c ror curbura este constant . 65. Sa se determine curbele plane ale c ror ecua ie intrinsec este:

1 R

a a

2

b2

, a

const

66. Sa se stabileasc ordinl de contact r în vârful V 0,1 între parabola:

x2 2a

C1 : y

a

i l n i orul

C2 : y

ach

x a

67. Sa se stabileasc ordinl de contact r în punctul A 2, 0 între elipsa:

x

C1 :

acost

y b sin t

i cercul: 2

c2 x a

y

2

b4 a2

0 , c2

a 2 b2

68. Sa se determine cercul osculator intr-un punct M al curbei plane C dat pe ecuatiile sale

parametrice.

C :

69. Fie C :

C : y

x

x t

y

y t

x

2

y

2

r 2 ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :

f x . Sa se scrie formulele pentru coordonatele cercului si pentru raza cercului

osculator. 70.

Sa se scrie ecuatia cercului osculator la curba de ecua ie cartezian :

y

ach

x (l n i orul) a

71. Sa se afle înf ur toarea familiei de parabole:

C : y

x

x2 1 2c

2

72. Sa se afle înf ur toarea familiei de curbe:

C : F x; y;

x

3

y

2

0

73. Fie AB un segment de lungime AB

k (const), care se deplaseaz sprijinindu-se cu cap tul A pe axa OX i cu cap tul B pe axa OY . Sa se afle înf ur toarea familiei de drepte AB .

74. Sa se afle înf ur toarea cercurilor de raz r dat , care au centrele pe cercul x ANS: D 75. Sa se afle înf ur toarea familiei de drepte y

mx

2

y2

p în care m este parametrul variabil. 2m

76. Sa se calculeze ecuatia desf uratei curbei plane dat de ecuatiile sale parametrice:

C :

x

x t

y

y t

77. Sa se afle desf urata elipsei:

C :

x

x cos t

y

b sin t

, t

78. Sa se afle desf urata parabolei:

C : y2

2 px

79. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale evolventei curbei plane de ecua ie:

C :

x

x s

y

y s

unde s este arcul pe curba. 80. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale evolventei curbei de ecua ie:

C :

x

x t

y

y t

Notãm: 81. Se consider curba plana:

C :

x t sh t ch t y 2 ch t

Sa se scrie ecuatiile parametrice ale ecua iei.

R2 .

82. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale elocventei curbei plane de ecuatii parametrice:

x t sh t ch t y 2 ch t

:

Setul 2 1.Determinati ecuatiile parametrice ale curbei :

C :

x2

y2

z2 r2

x2

y 2 rx

0

0

2. Determinati ecuatiile implicite ale curbei:

C :

x r cos 2 t y r sin cos t z

r sin t

x r cos 3.Ce reprezinta curba C definita prin ecuatiile parametrice: y r sin z k 4. Determinati ecuatiile implicite ale curbei::

C :

x r cos t y r sin t , t z kt

0, 2

5. Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbei definita implicit prin:

x2

C :

y2

z2 a2 b2 y z b arctg x

0

6. Ce reprezinta curba definita parametric de ecuatiile:

C :

x at cos t y at sin t , t z bt

0, 2

7. Stabiliti pozitia curbei de ecuatii parametrice:

C : x

1 t , y 1 t

1 , z 1 t2

t 1 t

, t

\

1

fata de planul P de ecua ie:

P : x2 4 y 2z 3 0 8. Sa se afle elementul de arc al elicei circulare:

C :

x a cos t y a sin t , t z kt

0, 2

9. Sa se afle lungimea arcului de curba:

x a cos t y a sin t , k z kt

AB :

0,

2

10. Fie elicea circulara:

C : r

2 cos t i

2sin t j

5t k

Sa se calculeze lungimea arcului AB situat pe curba C unde A i B corespund bijectiv valorilor t

0 i respectiv t 1 .

11. Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

C :

x a sin 2 t y a sin t cos t z

a cos t

12. Sa se afle punctele de interesectie dintre curba

C :

x

t2

2t 2 3t 1, z

2t 3, y

3t 2 t 2, t

P : x y z 6 0 13. Sa se determine parametrul

C : x t

1 , y t

t

astfel încât curba:

1 , z 2t

s fie tangenta la planul: P : x 2 y 3z 2

2

3t

1 , 3t

t

0

14. Sa se afle pozi ia planului P de ecua ie:

P : 7 x 4 y 6 z 22 0 fa de curba:

C : x t

1 , y t

1 1 7t , z 2 t

3t

1 3t

0

i planul P de ecua ie:

15. Fie elicea circulara:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt

Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba C în punctul curent. 16. Sa se scrie ecuatia planului normal la elicea circulara:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt

în punctul curent pe curba. 17. Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba:

x 2 2az

C :

y

2

2bz

0 0

18. Sa se determine cosinu ii directori ai tangentei t

C : x

a cos t , y

la curba C de ecua ie:

a sin t , z bt , t

19. Sa se g seasc o reprezentare ra ional a curbei definita implicit de ecuatiile:

x2 y2 z 2 2 0 x y z 0 20. Sa se determine ecuatia planului in care este situata curba în spa iu:

C : x 3 2t 4t 3 , y

4 3t 2t 3 , z

2 4t 3t 3 , t

21. Sa se determine ecuatia planului in care este situata curba în spa iu::

C : x 1 t 3 , y t 2 t 3 , z 5t 2 2t 2 3, 22. Sa se g seasc parametrul real 3

C : x t t , y t

2

3

t

este:

astfel încât curba: t 3 t 2t 2 t3,

t , z t s fie plana i Sa se scrie ecuatia planului care o con ine: 23. Sa se scrie ecuatiile tangentei i a planului normal la curba:

C : x et cos t , y

et sin t , z

et , t

în punctul M 0 1, 0,1 24. Sa se scrie ecuatiile tangentei i a planului normal în punctul M 0 1,1, 1 la curba:

C :

x 2 2 y 2 3z 2 6 x 2 y 3z 0

25. Sa se determine punctele de pe curba:

planele normale sunt paralele cu dreapta:

C : x ln t , y D : x 4y

0, y

2t , z z.

t2,

t

0 , în care

26. Sa se scrie ecuatiile tangentei i planului normal la curba:

C : x ln t , y

t2,

2t , z

t

0

în punctul M 0 0, 2,1 . 27. Sa se determine curba descris de intersec iile tangentelor la curba:

C : x t, y t 2 , z t 3 , cu planul xOy .

t

29. Fie curba de ecuatii:

C :

x2

z2 4 0

x2

y2 4 0 i ecuatia planului normal Pn în punctul M 0

Calculati ecuatia tangentei t

3,1,1

C : x t 1, y t 2 t 2, z

31. Sa se scrie ecuatia planului osculator la curba

2 t 2 în

planul curent M x, y, z . 32. Sa se parametreze ecuatia implicita a curbei:

z 2 x 1

C :

x

2

2 0

y z 3 0

33. Sa se scrie ecuatia planului osculator Po

C : x

a cos t , y

a sin t , z

la curba de ecua ie:

bt (elicea circulara)

în punctul curent. 34. Sa se determine ecuatia planului osculator în punctul O 0, 0, 0 la elicea conica:

C : x t cos t , y

t sin t , z

at

35. Sa se determine ecuatiile normalei principale N p

C : x

a cos t , y

în punctul M

a sin t , z

la curba:

bt (elicea circulara)

C corespunz tor valorii t

2

.

36. Fie curba:

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt , atunci binormala Bn intr-un punct x, y , z Bn :

C are ecuatiile: X

t cos a ln t A

Y t sin a ln t B

Z bt , C

Calculati A,B,C. 37. Sa se afle versorii triedrului lui Frenet intr-un punct M oarecare al curbei: C : x a cos , y a sin , z b (elicea circulara) 38. Sa se calculeze versorii triedrului lui Frenet corespunz tori curbei:

C : x în punctul A 39.

a cos , y

a sin , z

b

(elicea circulara)

0 . Sa se scrie formulele triedrului Frenet.

40. Sa se calculeze curbura elicei circulare:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt , t

în punctul curent pe curba. 41. Sa se calculeze torsiunea elicei circulare:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt , t

42. Sa se afle raportul dintre curbura i torsiunea curbei:

C : x

a cos t , y

a sin t , z

bt , t

43. Sa se afle curbura curbei:

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt în punctul curent pe curba. 44. Sa se afle torsiunea curbei:

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt în punctul curent pe curba. Ce reprezinta curba pentru care raportul dintre razele de curbura i de torsiune este constant 45.

46. Calculati unghiul V pe care îl face binormala la curba:

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt cu axa Oz într-un punctul curent 47. Calculati normala principala la curba

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt ,

t într-un punctul curent 48. calculati parametrii directori ai normalei la planul osculator Po în punctul A t

C : x t cos a ln t , y t sin a ln t , z bt 49. Sa se calculeze torsiunea curbei:

1 la curba

1 t , y 1 t

C : x

1 , z 1 t2

t 1 t

50. Fie curba în spa iu:

C :r t

t2 j

2t i

ln t k , t

Sa se calculeze versorul tangentei

0

, în punctul P 2,1, 0

i ecuatia tangentei la curba în

acest punct. 51. Sa se scrie ecuatia planului osculator în punctul P 2,1, 0 la curba:

2t i t 2 j

C :r t

ln t k , t

0

52. Sa se scrie ecuatia binormalei la curba:

C :r t

t2 j

2t i

ln t k , t

0

în punctul P 2,1, 0 . 53.

Sa se scrie reprezentarea parametrica pentru Curba lui Viviani, definita implicit de ecuatiile:

C

x2

y2

z2

r2

x2

y2

rx

0

0

54. Ce reprezinta curba definita parametric prin ecuatiile:

x C y z

r cos r sin k

55. Ce reprezinta proiectia curbei:

C

x2

y2

z2

r2

x2

y2

rx

0

0

pe planul x0y 56. Ce reprezinta proiectia curbei:

C

x r cos y r sin z k

pe planul xOy 57. Sa se calculeze elementul de arc pe elicea conica:

x at cost C y at sin t z bt 58. Sa se dea reprezentarea elicei conice:

x at cost C y at sin t z bt sub forma unei ecuatii implicite 59.

Sa se calculeze elementul de arc pe curba:

x a cos C : y a sin , t z k

0, 2

60. Sa se determine lungimea arcului de curba AB pentru

x a cos C : y a sin z k unde punctele A si B corespund valorilor

0, respectiv

.

61. Eliminand parametrul t intre ecuatiile parametrice reprezentand curba:

x C y z

t 1 t2 t

t 2

2 obtinem ecuatiile implicite

..

2

62. Fie curba de ecuatii parametrica:

x C y

t 1 t2

t

2

2

z 2 t Determinati ecuatia planului osculator intr-un punct arbitrar situat pe curba (C 63. Calculati ecuatia [lanul normal la curba de ecuatii parametrice:

x C y

t 1 t2

t

2

z 2 t2 dus prin punctul M de parametru arbitrar t si situat pe curba (C) . 64. Fie curba de ecuatii parametrice:

x t cos a ln t C y t sin(a ln t ) z bt Calculati ecuatia binormala in punctul curent

65. Fie curba (C) de ecuatii parametrice:

x C : y z

a cos a sin b

Calculati versorii triedrului lui Frenet in punctul A de parametru

=0

67. Fie:

C :x

2t , y

ln t , z

t2,

t

0

ecuatia unei elice cilindrice. Sa se calculeze raportul dintre torsiune si raza de curbura.Ce observati ?

68. Sa se scrie ecuatia planului rectificatoror in punctul M (1, 1,

x

t t2 2 3 t 3

C : y z

Fie C : r

69.

M0 t

2 ) situat pe curba. 3

2 cos t i

2 sin t j

4t k , o curba definita prin ecuatia sa vectoriala i

un punct pe aceasta curba. Calculati ecuatiile tangentei si planului normal

4

70. Sa se gaseasca vectorii de pozi ie de pe curba:

1 i t

C :r

2t 2 1 k

tj

în care tangenta la curba este perpendiculara pe dreapta:

d

3x

y 2

0

x

z 8

0

Setul 3

1. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita implicit de ecuatia:

: x y

z3

2. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:

x u : y v z uv

2

u,v

3. Sa se scrie a doua forma fundamentala pentru suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ):

x u cos v y u sin v z u v

2

u, v

4. Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

( ):

x u cos v y u sin v z u v

2

u, v

Sa se scrie ecuatiile planului tangent i a normalei în punctul M 0 u

1, v

ANS: C 7.

Fie suprafata:

S : x u cos v, y

u sin v, z

av

Sã se afle elementul de arie pe suprafatã.

8. Sa se determine punctul suprafetei x

planul : 5 x 6 y 2 z 7 9.

3

3 xy z

0 a cãrui normala este perpendiculara pe

0.

Fie suprafata:

: x

2u v; y

u 2 v2 ; z

u 3 v3

si punctul M 3,5, 7 . Sa se scrie ecuatia planului tangent la suprafata in punctul M 10.

Fie suprafata:

: x

2u v; y

u 2 v2 ; z

u 3 v3

si punctul M 3,5, 7 . Sa se scrie ecuatia normalei la suprafata in punctul M 11. Fie suprafata :

: x u 2 v2 , y

u 2 v 2 , z uv Sa se calculeze elementul de arc pe curba 1 2 : v situata suprafata

Setul 4

Related Documents