Geometrie Diferentiala

Geometrie diferentiala. Curbe plane Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Cercul cu centrul in origine si de raza r scris in coordonate polare are ecuatia a.

b.

2. Un arc de curba definit de ecuatia in coordonate polare: se numeste regulat daca: a.

b.

ρ 2 + ρ ′2 ≠ 0.

3. Pentru un arc de curba definit prin ecuatiile sale polare: , elementul de arc este a. b. d s = ρ 2 + ρ ′2 d θ , 4. Curba de ecuatie

( C ) : ρ = a (1 + cos α )

reprezinta a. un cerc scris in coordonate b. un lantisor

c. o cardioida

polare si de raza 5. Sa se afle lungimea unei bucle a cicloidei ⎧ x = a ( t − sin t ) , t ∈ [ 0, 2π ] ( C ) : ⎪⎨ ⎪⎩ y = a (1 − cos t ) a.

t d s = 2a sin d t , 2

b.

6. Sa se afle lungimea arcului

(C ) : y = a.

a sh

x x − ⎞ a⎛ a a e e + ⎜ ⎟⎟ ; x ∈ [ 0, b ] 2 ⎜⎝ ⎠

b.

b a

7. Unghiul V dintre tangenta si raza vectoare corespunzator unui punct pe o curba definita de ecuatiile sale

polare:

este

a.

8. Spirala logaritmica

b.

isi taie razele vectoare sub un unghi constant de masura: b.

a.

c.

9. Fie curba regulata definita parametric de ecuatiile

. Atunci dreapta de ecuatie:

X −x Y−y = − y′ x′ dusa printr-un punct arbitrar

al curbei reprezinta

a. tangenta la curba

b. normala la curba

10. Fie o curba regulata de ecuatie:

si

un punct pe curba (vezi figura)

y

M ( x, y )

(C )

x T ( X T ,0 )

P ( x,0 )

O

N ( X N ,0 )

Atunci: a.

XT = x −

y ; y′

b.

c.

11. Fie o curba definita prin coordonatele sale polare:

si un punct regulat M situat pe curba (vezi figura). M

θ

ρ

(C )

α x

O

θ N

Atunci: segmentul tangenta polara este a.

c.

MN = ρ 2 + ρ ′2 ,

b.

12. Fie curba plana reprezentata cartezian de ecuatia ( C ): F ( x, y ) = 0,

unde F ∈ C 1 ( D ) . În acest caz, solutiile sistemului

( x, y ) ∈ D ⊂ \ 2

⎧ F ( x, y ) = 0 ⎪ ⎨ Fx′ ( x, y ) = 0 ⎪ ′ ⎩ Fy ( x, y ) = 0

se numesc puncte a. singulare

b. regulate

13. Fie curba de ecuatie:

c. izolate

si M un punct pentru care

( F ′′ )

2

xy

Atunci a. M este un punct izolat b. prin M trec doua ramuri ce admit

− Fx′′2 Fy′′2 > 0,

c. M este un punct regulat d. M este un punct de intoarcere

tangente distincte in acest punct 14. Determinati punctele singulare ale curbei

( C ) : y 2 − ( x − 2 )( x − 1) = 0

si sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare. b.

a. 15. Sa se afle punctele singulare ale curbei

( C ) : x3 + y 3 − 3axy = 0 ,

x>0

si sa se scrie ecuatiile tangentelor corespunzatoare a. , b. Originea este singurul punct singular. Ecuatiile tangentelor este c. Originea este singurul punct singular. Ecuatiile celor doua tangente sunt 16. vectorul normalei la o curba plana regulata este orientat spre b. convexiitatea curbei a. concavitatea curbei 17. Fie o curbă ( C ) şi un punct M regulat în care am definit tangenta şi normala la această curbă .

Dacă notăm cu P proiecţia punctului M pe axa absciselor, atunci se pun în evidenţă următoarele segmente (vezi figura) y

(C )

M ( x, y )

x T ( X T ,0 )

a.

MT − segmentul normala,

P ( x,0 )

O

c.

N ( X N ,0 )

PT − segment tangentă, MN − subnormală,

d. PN − subnormală. MT − subtangentă PT − segmentul tangentă, 18. Fie o curba plana si un punct regulat (vezi fig.) b.

y

(N)

(T )

τ

n

α M

x

O Atunci: a. n = − sin α i + cos α j b. τ = sin α i + cos α j 19. ie

o curba plana iar

c.

τ = cos α i − sin α j

d.

n = sin α i + cos α j

a.i prin M trec două ramuri ce admit tangente distincte în

acest punct (vezi figura ).

(C2 ) M

(C1 )

T1 T2

Atunci: a.

( F ′′ ) ( F ′′ ) ( F ′′ )

2

− Fx′′2 Fy′′2 > 0

2

− Fx′′2 Fy′′2 = 0

2

− Fx′′2 Fy′′2 < 0

xy

b.

xy

c.

xy

20. ie

o curba plana iar

un punct izolat (vezi figura ).

(C ) i M

Atunci: a.

( F ′′ ) ( F ′′ ) ( F ′′ )

2

− Fx′′2 Fy′′2 < 0

2

− Fx′′2 Fy′′2 = 0

2

− Fx′′2 Fy′′2 > 0

xy

b.

xy

c.

xy

21. Fie curba de ecuatie:

(C ) :

x 4 + 2 ax 2 y − ay 3 = 0

Sa se stabileasca care dintre afirmatiile de mai jos este adevarata: a. Originea este singurul punct regulat b. este un punct singular al curbei c. Toate punctele curbei sunt regulate d. Originea este un punct dublu e. Originea este un punct triplu 22. Sa se precizeze concavitatea spiralei lui Arhimede : ( C ) : ρ = aα a. concava inspre pol b. convexa inspre poli 23. Sa se precizeze concavitatea arcului de elipsă: ⎧ x = a cos t AB : ⎨ , t ∈ [ 0, π ] ⎩ y = a sin t a. concav b. convex 24. Fie curba

(C )

definita in coordonate polare de ecuatie:

( C ) ρ = ρ (θ ) .

Notam V - unghiul dintre

tangenta MT si raza vectoare OM . Atunci:

ρ′ ρ ρ 25. Sa se calculeze unghiul V dintre tangenta MT si raza vectoare OM , unde M este un punct oarecare al curbei ( C ) ρ = aekα (spirala logaritmica). a.

a.

1

b.

tgV = k

b.

tgV =

tgV =

1 ρ′

c.

tgV =

ρ ρ′

d.

tgV =

c. d. tgV = k 1 1 tgV = 2 k k 26. Sa se afle subtangenta PT si subnormala PN intr-un punct arbitrar M ( C ) y2 = 2 px .

a. b.

PT = −2 x , PN = p PT = 2 y , PN = p

tgV =

c. d.

PT = p , PN = −2 x PT = p , PN = 2 y

27. Sa se scrie ecuatia tangentei si normalei in punctul M ( 2, −1) la curba:

situat pe parabola

( C ) : x3 + 3x 2 y − y 2 − 2 x + 9 = 0 a.

b.

28. Sa

( t ) : −7 x − y − 13 = 0 (n) : x − 7 y + 9 = 0 ( t ) : 7 x + y + 13 = 0 (n) : x − 7 y + 9 = 0 se

gaseasca

( C ) ρ (θ ) = 5sin 2θ

d.

curbura K

,

( t ) : 7 x + y − 13 = 0 (n) : x − 7 y − 9 = 0 (t ) : x − 7 y − 9 = 0 ( n ) : 7 x + y − 13 = 0

c.

si

raza

de

curbura R

θ ∈ [ 0, 2π )

b. c. K = R = 2 1 1 R=2 K =2 R= 2 2 29. Fie curba ( C ) definita implicit de ecuatia: ( C ) : F ( x, y ) = 0 Atunci: a.

in

K=

a.

M este nod daca ( Fxy′′ ) − Fxx′′ Fyy′′ < 0 in M

b.

M nu un punct izolat daca ( Fxy′′ ) − Fxx′′ Fyy′′ = 0 in M

d.

si

⎛π ⎞ punctul M ⎜ ⎟ ⎝4⎠

M ( x0 , y0 ) ∈

2

c. Prin M trec doua ramuri ale curbei ce admit tangente distincte in acest punct

daca ( Fxy′′ ) − ( Fxx′′ ) ( Fyy′′ ) = 0 in M 2

d. Toate variantele de mai sus sunt adevarate 30. Sa se determine punctele singulare ale conicei data pe ecuatia generala:

( C ) : F ( x, y ) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0

a. Doar conicele nedegenerate au puncte singulare. b. Doar conicele degenerate admit puncte similare. c. Daca A ( x , y ) este un punct dublu al conicei date, exista o singura dreapta 0 0

tangenta ce trece prin acest punct. d. alta varianta. si

un punct pe curba (vezi figura)

y

(C )

M ( x, y )

x T ( X T ,0 )

Atunci:

O

P ( x,0 )

curbura:

K = R =1

2

31. Fie o curba regulata de ecuatie:

la

N ( X N ,0 )

un punct singular.

a.

XT = x −

c.

b.

y ; y′

32. Fie o curba definita prin coordonatele sale polare:

si un punct regulat M situat pe curba (vezi figura). M

θ

ρ

(C )

α x

O

θ N

Atunci: segmentul tangentă polară este a.

c.

MN = ρ 2 + ρ ′2 ,

b.

Completion Complete each sentence or statement. 33. Un punct

in care sunt satisfacute conditiile de regularitate se numeste punct ...

34. Un arc de curba definit de ecuatia vectoriala se numeste ... daca 35. Fie curba de ecuatii parametrice:

si

un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:

reprezinta ... in punctul curent la curba data. 36. Fie curba de ecuatii parametrice:

si

un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:

reprezinta ... in punctul curent la curba data. 37. Fie curba de ecuatii parametrice:

si

un punct regulat situat pe curba. Atunci dreapta de ecuatie:

reprezinta ... in punctul curent la curba data. 38. Fie curba de ecuatie implicita: un punct care satisface conditiile:

si

Atunci,

se numeste ... al curbei

39. Numarul real pozitiv:

reprezinta ... curbei intr-un punct arbitrar al curbei definita parametric de ecuatiile:

40. Se numeste cerc ... intr-un punct

al unei curbei plane

cercul

care are cu

un contact de ordinul doi.

41. Curba a carei ecuatie implicita este:

se numeste ... 42. Curba plana a carei ... constanta este un cerc. 43. Segmentul subnormala corespunzatoare curbei ( C ) : x 3 − xy 2 + 2 x + y − 3 = 0

in punctele in care tangenta si normala in M (1, 1) intersecteaza axa Ox este

...

44. Raportul dintre segmentul tangenta MT si segmentul normala MN, corespunzator unui punctul fixat

al curbei ⎧⎪ x = et cos t C : ( ) ⎨ t ⎪⎩ y = e sin t

are valoarea ... 45. Segmentele tagngenta MT si normala MN corespunzatoare curbei

( C ) : x 3 − xy 2 + 2 x + y − 3 = 0 in punctele in care tangenta si normala in M (1, 1) intersecteaza axa Ox , se gasesc in relatia ... 46. Subnormala PN intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana:

(C ) :

y 2 = 2 px, p > 0

este ... 47. Segmentul de tangenta intr-un punct arbitrar M al curbei ⎧ x = t − th t (tractricea) ( C ) : ⎪⎨ 1 ⎪⎩ y = ch t

este ... 48. Daca in punctul M ( x, y ) ∈ ( C ) :

( F ′′ ) xy

, 2

− Fx′′2 Fy′′2 < 0,

atunci M se numeste ... al curbei. 49. Prin definitie, diferentiala functiei: 50. Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba

se numeste ... al unui arc de curba

( C ) : x3 + 3x2 y − y 2 + 9 = 0

in punctul A ( 0,3) . 51. Fie arcul de curba regulat, definit parametric de ecuatiile: Atunci derivatele de ordinul intai

calculate intr-un punct arbitrar al curbei reprezinta ... ai tangentei

52. Ecuatia: (Y − y ) Fy′ + ( X − x ) Fx′ = 0 reprezinta ... la o curba regulata

, dusa printr-un punct

al curbei.

53. Ecuatia tangentei la curba

in punctul A (1,0 ) .este ...

⎧⎪ x = et cos t C : ( ) ⎨ t ⎪⎩ y = e sin t

54. Sa se calculeze unghiul V dintre tangenta MT si raza vectoare OM unde M punctul corespunzator

parametrului

este situat pe cardioida definita prin

( C ) : ρ = a (1 + cos α ) .

55. Sa se scrie ecuatia normalei la curba

⎧ x = et cos t

( C ) : ⎪⎨

t ⎪⎩ y = e sin t

in punctul A (1,0 ) . 56. Sa se scrie ecuatiile normalei la curba

( C ) : x3 + 3x2 y − y 2 + 9 = 0

in punctul A ( 0,3) . 57. Sa se scrie ecuatiile tangentei la curba

( C ) : x3 + 3x2 y − y 2 + 9 = 0

in punctul A ( 0,3) . 58. Vectorul normalei la o curba plana este orientat spre ... curbei 59. Distanta de la un punct M la punctul T, unde tangenta ( MT ) taie axa Ox se numeste ... 60. Numim segment normala in punctul M al curbei ( C ) distanta de la punctul M la punctul N, unde

normala ( MN ) taie axa ... 61. Proiectia ortogonala ale segmentelor tangenta pe axa Ox se numeste ... 62. Fie curba ( C ) , definita de ecuatiile parametrice ⎧⎪ x = et cos t C : ( ) ⎨ t ⎪⎩ y = e sin t

si M ( 0 ) punctul fixat pe curba.Atunci segmentul subtangenta este ... 63. Segmentul subnormala, corespunzatoare curbei ( C ) : x 3 − xy 2 + 2 x + y − 3 = 0

in punctele in care tangenta si normala in M (1, 1) intersecteaza axa Ox. este PN =... 64. Sa se detemine subtangenta intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana ( C ) : y 2 = 2 px, p > 0

PT=... 65. Sa se detemine subnormala intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana ( C ) : y 2 = 2 px, p > 0

PT = ... 66. Subnormala parabolei y 2 = 2 px este constanta si este egala cu ... 67. Sa se afle segmentul de tangenta intr-un punct arbitrar M al curbei ⎧ x = t − th t ( C ) : ⎪⎨ 1 ⎪⎩ y = ch t

|MT| = ...

68. Segmentul subtangenta polara OT corespunzator spiralei logaritmice

( C ) : ρ = aekx , k > 0. este proportional cu distanta polara a punctului considerat, factorul de proprtionalitate fiind egal cu ... 69. Un punct dublu este pentru o curba un punct... 70. Fie o curba data

si M un punct pe curba a.i. prin acest punct trec in figura alaturata. T

(C2 )

M

(C1 ) Atunci M este punct de ... 71. Fie curba de ecuatie:

Atunci

( C ) : y 2 − ( x − 2 )( x − 1) = 0

este un punctul singular de tip ...

72. Punctul M ( x, y ) ∈ ( C ) de ecuatie F ( x, y ) = 0

se numeste ... al curbei daca:

( F ′′ ) xy

2

− Fx′′2 Fy′′2 > 0

73. Fie parabola de ecuatie carteziana ( C ) : y 2 = 2 px, p > 0 .

Atunci axa

taie segmentul ... in doua parti egale.

74. Sa se determine lungimea arcului de cicloida

cuprins intre punctele

si

75. Sa se determine lungimea lantisorului

(C ) : cuprins intre punctele

x x − ⎞ a⎛ a ⎜⎜ e + e a ⎟⎟ 2⎝ ⎠

si

76. Sa se determine lungimea arcului de cardioida

cuprins intre punctele

y=

si

.

( C ) : ρ = a (1 + cos α )

77. Sa se determine elementul de arc al cercului ds=...

’

78. Să se afle lungimea unei bucle a cicloidei ⎧ x = a ( t − sin t ) , t ∈ [ 0, 2π ] ( C ) : ⎪⎨ ⎪⎩ y = a (1 − cos t )

Ap = AB 79. Un punct

situat pe o curba

se numeste punct ... daca

80. Să se scrie ecuaţia tangentei la curba ⎧ x = et cos t

( C ) : ⎪⎨

t ⎪⎩ y = e sin t

în punctul A (1,0 ) . 81. Să se scrie ecuaţia normalei la curba

⎧ x = et cos t

( C ) : ⎪⎨

t ⎪⎩ y = e sin t

în punctul A (1,0 ) . 82. Fie

o curba plana si

un punct regulat. Atunci dreapta de ecuatie:

( X − x ) Fy′ − (Y − y ) Fx′ = 0 se numeste ... la curba dusa prin punctul M 83. Să se scrie ecuaţiile normalei la curba

( C ) : x3 + 3x 2 y − y 2 + 9 = 0

în punctul A ( 0,3) . 84.

85.

Sensul pozitiv al ... la o curba plana este dat de versorul: dτ n= dα Versorul τ=

dr , τ =1 ds

ne dă sensul pozitiv al ...la o curba plana 86. Fie curba plana:

Atunci, punctul 87. Fie curba plana:

( C ) : y 2 − ( x − 2 )( x − 1) = 0 este un... pentru curba data.

( C ) : y 2 − ( x − 2 )( x − 1) = 0 Atunci, punctul

este un... pentru curba data.

88. Fie curba plana:

( C ) : F ( x, y ) ≡ x 3 + xy 2 + xy + y 3 − 2 x 2 − 2 y 2 = 0

Atunci, punctul originea este un... pentru curba data. 89. Fie conica:

( C ) : F ( x, y ) ≡ a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0

Atunci, un punct 90. Fie

este un punct singular doar daca conica este

un arc de curba plana, iar

1 def ε , = lim R ∆x →0 ∆s unde

are semnificatia din figura alaturata

τ1

y

M′ ε

τ

(C )

M ε j

α

i

α + ∆α

O Atunci,

ε ∆s

reprezinta ...

91. Curbura cercului de raza 1/2 este 92. Inversul raportului

(

x′y ′′ − x′′y ′ x ′2 + y ′2

)

3

se numeste ... a unei curbe regulate (C) din plan. 93. Raportul

(

x′y ′′ − x′′y ′ x ′2 + y ′2

)

3

se numeste ... unei curbe regulate (C) din plan. 94. Să se determine curbura curbei: ⎧x = t

( C ) : ⎪⎨

t2 ⎪y =1+ t − 2 ⎩

x

în punctul

95. Să se determine raza de curbura pentru curba: ⎧x = t ( C ) : ⎪⎨ t2 y t = + − 1 ⎪ ⎩ 2

în punctul

.

96. Să se calculeze raza de curbura a cicloidei:

⎧ x = a ( t − sin t )

( C ) : ⎪⎨

⎪⎩ y = a (1 − cos t )

in punctul

.

97. Să se calculeze curbura curbei corespunzatoare arcului de cicloida: 1 ⎧ ⎪⎪ x = 4 ( t − sin t ) (C ) : ⎨ ⎪ y = 1 (1 − cos t ) ⎪⎩ 4

in punctul

.

98. Curbele plane a căror curbură este constantă sunt ... 99. Fie familia de curbe ( n + 1) − parametrice:

( Cα ...α ) : F ( x, y;α ,α ,...,α ) = 0. Curba ( γ ) se zice ... la o curbă din familia ( C ... ) 1

n+1

1

n +1

2

α1

α n+1

într-un punct M al acestei curbe, dacă cele două curbe au în M un contact de ordinul n. 100. Curbele ( C1 ) şi ( C2 ) admit în punctul M un contact de ordinul n, dacă cele două curbe au ( n + 1) puncte ... 101. Fie curbele plane ( C1 ) şi ( C2 ) . Se spune ca cele două curbe au un contact într-un punct M ce aparţine

ambelor curbe dacă cele două curbe date admit în M aceeasi ... 102. Fie curbele

( C1 ) :

⎧⎪ x = x ( t ) ⎨ ⎪⎩ y = y ( t ) ;

( C2 ) :

⎧⎪ x = x ( t ) ⎨ ⎪⎩ y = y ( t ) ;

( C2 ) :

F ( x, y ) = 0.

Dacă cele două curbe au în punctul M 0 ( t0 ) un contact de ordinul n, atunci t0 este rădăcină multiplă de ordinul ... 103. Fie curbele

( C1 ) :

F ( x, y ) = 0.

Dacă ϕ ( t ) = ϕ ′ ( t ) = ..... = ϕ ( n) ( t ) = 0; ϕ ( n +1) ( t ) ≠ 0,

atunci cele două curbe au în punctul M ( t ) un ... de ordinul n 104. Fie parabola de ecuaţie carteziană ( C ) : y 2 = 2 px, p > 0 .

Atunci axa

taie segmentul ... in doua parti egale.

105. Segmentul subtangenta polara OT corespunzator spiralei logaritmice

( C ) : ρ = aekx , k > 0. este proportional cu distanta polara a punctului considerat, factorul de proprtionalitate fiind egal cu ... 106. Subnormala parabolei y 2 = 2 px este constantă şi este egală cu ... 107. Să se detemine subnormala într-un punct arbitrar la parabola de ecuaţie carteziană ( C ) : y 2 = 2 px, p > 0

PT = ... 108. Sa se detemine subtangenta intr-un punct arbitrar la parabola de ecuatie carteziana ( C ) : y 2 = 2 px, p > 0

PT=... 109. Segmentul subnormala, corespunzătoare curbei ( C ) : x 3 − xy 2 + 2 x + y − 3 = 0

în punctele în care tangenta şi normala în M (1, 1) intersectează axa Ox. este PN =... 110. Sa se calculeze subnormala PN pentru curba

(C )

x3 − xy 2 + 2 x + y − 3 = 0

in punctul M in care curba ( C ) taie axa Oy (vezi figura)

y

M ( x, y )

(C )

.

T ( xT ,0 )

O

P ( x,0 )

N ( X N ,0 )

x

PN= ...

Geometrie diferentiala. Curbe in spatiu Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.

⎧ x = r cos θ ⎪ 1. Curba ( C ) definita prin ecuatiile parametrice: ⎨ y = r sin θ ⎪ z = kθ ⎩

este o:

c. elice conica. d. altă curba din spaţiu.

a. elipsă în spaţiu. b. elice circulara. 2. Curba definita parametric de ecuatiile:

⎧ x = at cos t ⎪ ( C ) : ⎨ y = at sin t , t ∈ [0, 2π ] ⎪ z = bt ⎩

reprezintă: c. o elice conica. a. o elipsă în spaţiu. d. altă curba în spaţiu. b. o elice circulara. 3. Sa se afle elementul de arc al elicei circulare: ⎧ x = a cos t ⎪ ( C ) : ⎨ y = a sin t , t ∈ [ 0, 2π ] ⎪ z = kt ⎩ a.

ds = a 2 − k 2 dt

b.

ds =

1 dt k

c.

ds =

d.

dt a +k 2

ds = a 2 + k 2 dt

2

4. Sa se afle punctele de interesectie dintre curba

(C ) : ( P) :

x = t 2 + 2t + 3, y = 2t 2 + 3t + 1, z = 3t 2 + t + 2, t ∈ \ şi planul ( P ) de ecuaţie:

x+ y+ z −6 = 0

a.

A ( 2, 0, 4 ) , B ( 3,1, 2 )

c.

B ( 3,1, 2 ) , C ( −1, 0, 2 )

b.

A ( 2,0, 4 )

d.

C ( −1, 0, 2 )

5. Să se scrie ecuaţia tangentei la curba G 1 G 2 2 3/ 2 G G r = t2i + t j + tk 2 3

în punctul t = 2 . a.

x−2 = 2

8 3 = z−2 2 1

y−

b.

x−2 y −3 z −2 = = −2 2 1

6. Fie M ( x, y , z ) ∈ (C ) un punct regulat. Planul normal, ( Pn ) la curba ( C ) în punctul M este a. ( Pn ) : ( X − x ) x′ + (Y − y ) y ′ + ( Z − z ) z ′ = 0 b.

( Pn ) : ( X + x ) x′ + (Y + y ) y ′ + ( Z + z ) z ′ = 0

7. Planele normale la curba: trec prin a. originea sistemului de

coordonate

( C ) : x = sin 2 t , b.

y = sin t cos t , z = cos t c. A(1,1,1)

punctul

8. Planul

X sin 2t + Y cos 2t − Z sin t = 0

reprezinta pentru curba

a. planul normal

( C ) : x = sin 2 t ,

y = sin t cos t , z = cos t

b. planul osculator

c. planul binormal

9. Să se scrie ecuaţia tangentei la curba

G 1 G 2 2 3/ 2 G G r = t2i + t j + tk 2 3

.

în punctul a.

x−2 = 2

8 3 = z−2 2 1

y−

b.

10. Sa se scrie ecuaţia tangentei in punctul curent la curba definită implicit de sistemul ⎧⎪ 2 x 2 − y 2 = 0 ⎨ 2 2 ⎪⎩ x + z − 1 = 0 a.

X −x Y−y Z−z = = −4 yz −4 z 0

b.

X −x Y −y Z−z = = −4 yz −4 pz 0

11. Planul normal la curba 2 ⎪⎧ x = z ⎨ 2 ⎪⎩ z = x

dus prin punctul M(1,1,1) este a. 2 X + Y + 4Z − 5 = 0

b.

X + Y − Z −1 = 0

12. Planul osculator la curba 2 ⎪⎧ x = z ⎨ 2 ⎪⎩ z = x

dus prin punctul M(1,1,1) este b. 2 X + Y − 3Z − 1 = 0 a. 2 X − Z − 1 = 0 13. Sa se precizeze planele (A), (B), (C) din figura alaturata.

n Pla

z

A) ( ul

Planul (C ) G b

(C )

G k

G

G i O

G j

M

τ y

x

Planul (B )

a. (A) - planul rectificator (B) - planul osculator (C) - planul normal

b. (A) - planul tangent (B) - planul osculator (C) - planul binormal

c. (A) - planul normal (B) - planul osculator (C) - planul rectificator

14. Sa se scrie ecuatiile tangentei şi a planului normal la curba:

(C ) :

x = et cos t , y = et sin t , z = et , t ∈ \

în punctul M 0 (1, 0,1)

X −1 Y − 0 Z −1 = = , ( Pn ) : 1( X − 1) + 1(Y − 0 ) + 1( Z − 1) = 0 1 1 1 b. X −1 Y − 0 Z −1 = = , ( Pn ) : -1( X − 1) + 1(Y − 0 ) + 0 ( Z − 1) = 0 (t ) : −1 1 0 15. Să se afle versorii tangentei la curba a.

(t ) :

( C ) : x = a cosθ , y = a sin θ , z = bθ

în punctul a.

G

τ (M ) =

G n

G G a j + bk

b.

a 2 + b2

Completion Complete each sentence or statement. 16. Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:

G

τ (M ) =

G G G − a sin θ i + a cosθ j + bk a2 + b2

este o elice ... 17. Curba strimba a carei reprezentare parametrica este:

este o elice ... 18. Curba strimba a carei ecuatie implicita este:

reprezinta un ... 19. Fie curba strimba

care are reprezentarea parametrica:

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar

definita prin:

este ecuatia ... la curba data. 20. Fie curba strimba

care are reprezentarea parametrica:

Atunci ecuatia: reprezinta planul .... la curba intr-un punct arbitar 21. Fie curba strimba

care are reprezentarea parametrica:

.

Atunci ecuatia:

reprezinta planul .... la curba intr-un punct arbitar 22. Fie curba strimba

.

care are reprezentarea parametrica:

definita prin ecuatiile:

Atunci dreapta ce trece printr-un punct arbitar

este ... la curba data. 23. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala:

. Atunci vectorul:

se numeste versorul ... la

curba in punctul curent. 24. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala:

. Atunci vectorul:

se numeste versorul ... la

curba in punctul curent pe curba. 25. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala:

.Notam cu

27. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala:

versul tangentei respectiv al

se numeste versorul ... la curba in punctul curent

binormalei la curba in punctul curent.Atunci vectorul: pe curba. 26. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: normalei principale la curba in punctul curent si cu

respectiv

.Notam cu respectiv versorii tangentei respectiv al raza de curbura corespunzaroare.Atunci:

.Notam :

- versorii triedrului lui Frenet - razele de curbura si respectiv de torsiune corespunzaroare.Atunci:

28. Fie curba regulata de ecuatie vectoriala: tangentei la curba in punctul curent si cu

.Notam cu respectiv versorii binormalei respectiv ai raza de torsiune in punctul curent.Atunci:

29. O curbă pentru care raportul dintre razele de curbură şi de torsiune este constant reprezintă o: 30. Fie o curba strimba pentru care torsiunea sa este . Atunci, curba este ... 31. O curba plana pentru care torsiunea sa . este o dreapta. 32. Curbura unui cerc de raza

este egala cu ...

33. Curbe de ecuatie implicita

⎧ x2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0 ⎨ ⎩z = 0

este un ... 34. Curba de ecuatie:

⎧ ρ = at ⎨ ⎩z = 0

reprezinta ... 35. Fie elicea circulara:

(C ) :

G G G r = ( 2 cos t ) i + ( 2sin t ) j +

G

( 5t ) k

( )

AB situat pe curba ( C ) unde A şi B corespund bijectiv valorilor Sa se calculeze lungimea arcului p

t = 0 şi respectiv t = 1 .

lp = ... AB 36. Să se calculeze elementul de arc pe elicea circulara definită prin 1 1 1 (C ) : x = t cos t ; y = t sin t ; z = t; 2 2 2

ds= ... AM al elicei circulare 37. Să se afle lungimea arcului q

(t > 0)

⎧ ⎪x = ⎪ ⎪ ⎨y = ⎪ ⎪ ⎪z = ⎩

1 cosθ 2 1 sin θ θ ∈ [ 0, 2π ] 2 1 θ; 2

ds= ... 38. Planul de ecuatie: X −x Y−y x′ y′ x′′ y ′′

Z−z z′ = 0 z ′′

se numeste ...la o curba (C) din spatiu dus prin punctul regulat

situat pe curba data.

39. Fie (C) un arc de curba regulat din spatiu iar M(x,y,z) un punct arbitar pe (C). Numarul JG JJG r ′ × r ′′ JG 3 r′ defineste ... curbei 40. Fie (C) un arc de curba regulat din spatiu iar M(x,y,z) un punct arbitar pe (C). Numarul JG JJG JJG r ′ × r ′′ ⋅ r ′′′ JG JJG 2 r ′ × r ′′

(

defineste ... curbei

)

Geometrie diferentiala. Suprafete Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita implicit de ecuatia:

(Σ) :

x + y = z3

a.

1 ⎞ 2 1 ⎞ ⎛ ⎛ ds 2 = ⎜ 1 + 4 ⎟ dx 2 − 2 2 dxdy + ⎜ 1 + 4 ⎟ dy 2 9x y ⎝ 9z ⎠ ⎝ 9z ⎠

b.

1 ⎞ 2 1 ⎞ ⎛ ⎛ ds 2 = ⎜1 + 4 ⎟ dx 2 + 4 dxdy + ⎜ 1 + 4 ⎟ dy 2 9z ⎝ 9z ⎠ ⎝ 9z ⎠

2. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:

⎧ x=u ( Σ ):⎪⎨ y = v ⎪ z = uv ⎩ 2 2 2 2 a. ds = (1 + v ) du + 2uvdudv + (1 + u ) dv 2 b. ds 2 = (1 + u 2 ) du 2 + 2uvdudv + (1 + v 2 ) dv 2 3. Suprafaţa

(S ) :

( u,v ) ∈ \ 2

x = u cos v, y = u sin v, z = a v

este a. regulată b. singulara 4. Fie suprafata definita parametric de ecuatiile: ⎧ x = u cos v ⎪ (Σ) : ⎨ y = u sin v ( u , v ) ∈ \ 2 ⎪ z =u+v ⎩

Atunci ecuatiile planului tangent M 0 ( u = 1, v = π ) sunt, respectiv a. x + y + z = 0 c. x + y + z = π d. x − y − z = π b. x − y − z = 0

5. Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

⎧ x = u cos v ⎪ (Σ) : ⎨ y = u sin v ⎪ z =u+v ⎩

( u, v ) ∈ \ 2

Atunci ecuatiile normalei în punctul M 0 ( u = 1, v = π ) sunt, respectiv b. x + 1 y z − 1 + π a. x + 1 y z − 1 − π = = = = 1 1 1 1 1 1 6. Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

⎧ x = u cos v ⎪ (Σ) : ⎨ y = u sin v ⎪ z =u+v ⎩

( u, v ) ∈ \ 2

Atunci ecuatiile planului tangent M 0 ( u = 1, v = π ) sunt, respectiv b. x + y + z = π a. x − y − z = π 7.

Fie suprafata: ( S ) : x = u cos v, y = u sin v, z = a v Sã se afle elementul de arie pe suprafatã. a.

dσ = u 2 + a 2 du dv

b.

d s 2 = d u 2 + (u 2 + a 2 ) d v 2

b.

ds2 = 8u 2 − 1 d u

8. Fie suprafata :

(Σ ) : x = u 2 + v2 ,

y = u 2 − v 2 , z = uv

Elementul de arc pe curba (γ 2 ) : v = 1 situata suprafata a.

(Σ)

este

ds2 = 8u 2 + 1 d u;

9. Fie suprafata definita parametric de ecuatiile:

⎧ x = u cos v ⎪ (Σ) : ⎨ y = u sin v ( u , v ) ∈ \ 2 ⎪ z =u+v ⎩ Atunci ecuatiile planului tangent şi a normalei în punctul M 0 ( u = 1, v = π ) sunt, respectiv b. a. x + 1 y z −1 − π x +1 y z −1− π x + y + z = π şi x + y + z − π = 0 şi = = = = 1 1 1 1 1 −1 10. Sa se scrie a doua forma fundamentala pentru suprafata definita parametric de ecuatiile: ⎧ x = u cos v ⎪ (Σ) : ⎨ y = u sin v ( u , v ) ∈ \ 2 ⎪ z =u+v ⎩ −1 −1 a. G 2 G n ⋅ d r = −2 (1 + 2u 2 ) 2 dudv + u 2 (1 + 2u 2 ) 2 dv 2 b.

−1 G G n ⋅ d 2 r = −2 (1 + 2u 2 ) 2 dudv − v 2 (1 + 2u 2 ) dv 2

Completion Complete each sentence or statement. 11. O suprafata definita prin ecuatia implicita: pentru care

se numeste ... 12. Fie suprafata Atunci vectorul

si punct ordinar definit prin relatiile:

este versorul ... la suprafata. 13. Fie suprafata regulata . Atunci

versorul ... la suprafata in punctul curent pe suprafata

14. Fie o suprafata

. Atunci

reprezinta o ... pe suprafata

.

15. Fie o suprafata

. Atunci forma patratica:

(unde E,F,G este primul grup de coeficienti ai lui Gauss) se numeste ... a suprafetei

16. Fie o suprafata

si fie

o curba oarecare pe suprafata

.Atunci

se numeste ... de arc pe curba 17. Fie suprafata ne da ... al suprafetei

.Atunci expresia: .

.

18. Fie suprafata

si fie

doua curbe pe suprafata pentru care

. Atunci cele doua curbe se numesc ...

19. Fie o suprafata

. Atunci forma patratica:

se numeste ... a suprafetei

(unde L,M,N este cel de-al doilea grup de coeficienti ai lui Gauss)

20. Fie o suprafata

d s 2 = E d u 2 + 2F d u d v + G d u 2 Relaþia (1) exprimã patratul ... al curbei (γ ) pe suprafaþa (S ) si se mai numestee prima forma pãtratica fundamentala. 21.

Fie (S ) datã de ecuatia explicitã:

( S ) : z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D ⊂ \ 2 Coeficientii lui ... se scriu sub forma:

E = 1 + p 2 , F = pq, G = 1 + q 2 , 22. Pentru o suprafata (S ) datã de ecuatiile parametrice

notam

elementul de arc. Completati semnul corespunzator pentru a obtine o egalitate.

d s = E d u 2 ... 2 F d u d v + G d v 2 23. Pentru o suprafata (S ) datã de ecuatiile parametrice

Atunci relatia

d σ = EG − F 2 d u d v. exprima ...al suprafetei. 24.

Se considera punctul M de intersectie al celor doua curbe. Relatia

G G d r ⋅ δr cos α = G G d r δr

exprima ... a doua curbe pe o suprafata data prin ecuatiile sale vectoriale.

25.

Conditia de ... a doua curbe (γ1 ) si (γ2 ) pe o suprafata este:

26.

Eduδ u + F ( duδ v + dvδ u ) + Gdvδ u = 0

( 4.33)

Fie ( S ) ⊂ \ o suprafatã reprezentatã prin ecuatiile ei parametrice Atunci relatia 3

cos α =

F EG

exprima unghiul a doua curbe ... pe suprafata

27. Fie o suprafata

se numeste ...

.

. Atunci forma patratica:

a doua forma fundamentala a suprafetei

, iar L,M,N este cel de-al doilea grup de coeficienti ai lui

28. Fie ( S ) ⊂ \ 3 o suprafata reprezentata de ecuatiile parametrice, iar ( γu ), ( γv ) curbele de coordonate duse

prin punct M ∈ ( S ) si fie (γ) o curba oarecare trasata pe aceasta suprafata ⎧ ⎪u = u (t )

(γ ) : ⎪⎨

⎪ ⎪ ⎩v = v (t )

prin acelasi punct P.GRelatia: G

1 dr⋅dv cos α = − d s2 R exprima ....curbei (γ) .

29. Fie ( S ) ⊂ \ 3 o suprafata reprezentatã prin ecuatiile ei parametrice Se stie ca unghiul a doua curbe

coordonate este dat de relatia:

cos α =

F . EG

Condtia de ortogonalitate a curbelor este ... G 30. Fie o suprafata (S), iar υ versorul normalei la suprafata intr-un punct arbitar

G G G G υ = cos αi + cos β j + cos γk . Numerele cos α, cos β , cos γ reprezinta ... ai normalei

31. Toate punctele unei sfere sunt ...

32. Elipsoidul este o suprafata ... 33. Originea este un ...pentru conul de rotaţie x2 + y 2 = z 2

34. Să se scrie ecuaţia planului tangent în punctul curent situat pe suprafaţa sferei de rază R. ( S ) : F ( x, y , z ) ≡ x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 35. Fie suprafaţa

(S ):

x 2 + 2 xy + y 2 + 4 xz + z 2 + 2 x + 4 y − 6 z + 8 = 0

Să se afle ecuaţia planului tangent în punctul M ( 0,0, 2 ) . 36. Fie suprafaţa

(S ):

z = 5x2 + 4 y − 3

Să se determine ecuaţia planului tangent în punctul M (1,0, 2 ) . 37. Să se scrie ecuaţiile planului tangent în punctul M (1, 3, 4 ) la suprafaţa

⎧ x=u ⎪ ( S ) : ⎨ y = u 2 − 2v ⎪ 3 ⎩ z = u − 3uv 38. Dacă normala în punctul curent al unei suprafeţe păstrează direcţia fixă, suprafaţa este un ... 39.

Fie suprafata: ( Σ ) : x = 2u − v; y = u 2 + v 2 ; z = u 3 − v3 si punctul M ( 3,5, 7 ) . Atunci ecuatia planului tangent la suprafata in punctul M este ...

40. Sa se scrie prima forma fundamentala pentru suprafata definita de ecuatiile:

⎧ x=u ( Σ ):⎪⎨ y = v ⎪ z = uv ⎩

( u,v ) ∈ \ 2