thx to nikosia35 ... d'p smart
raspunsurile corecte sunt cu litera mare !!!!! Algoritm de alegere şi notare Fiecare subiect va contine 10 (zece) itemi, respectiv alese dupa cum urmeaza: A_3 (trei) itemi B_3 (trei) itemi C_2 (doua) itemi D_1 (un) item E_1 (un) item Fiecare item va fi notat cu 10%. Nu se acorada puncte din oficiu.
raspunsurile corecte sunt cu litera mare !!!!! Geometrie Analitica A_Spatii vectoriale
>>>>> sem 1 ... spiruharet mate-info
MULTIPLE CHOICE 1. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1, e2 ,..., en } o baza a lui V.
Daca B ′ este o alta baza a lui V, atunci a.
b.
C.
2. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1, e2 ,..., en } o baza a lui V, iar
x ∈ V \ {0} un vector arbitar a.i. Atunci a. b. C.
, unde
.
este o baza a lui V este o multime liniar independenta
3. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1 , e2 ,..., en } o baza a lui V, iar
x ∈ V \ {0} un vector arbitar a.i. Atunci a. b. C.
, unde
.
este o baza a lui V este o multime liniar independenta
4. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1 , e2 ,..., en } o baza a lui V, iar
x ∈ V \ {0} un vector arbitar a.i. Atunci a. b. C.
, unde
.
este o baza a lui V este o multime liniar independenta
5. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si fie B = {e1, e2 ,..., en } o baza a lui V, iar
x ∈ V \ {0} un vector arbitar a.i. Atunci a.
este o baza a lui V
, unde
.
b. C.
6. In
este o multime liniar independenta
\4
cu structura canonica de
\
- spatiu vectorial, se considera multimea:
⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 + x2 − 2 x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ − x3 = 0⎬ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ x1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 0 x x x + − = ⎪ ⎪ ⎪ 2 3 4 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci W este un subspatiu vectorial de dimensiune a. b. c. D.
7. In
4 3 1 2
\4
cu structura canonica de \ - spatiu vectorial, se considera multimea:
⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 + x2 − 2 x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ − = 0 x x W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ 1 ⎬ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x + x − 2x = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 4 ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci spatiul generat de W notat Sp(W) nu contine vectorul a. B. e = ( 2,3,1,0) c.
8. In
\4
cu structura canonica de
\
- spatiu vectorial, se considera multimea:
⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 + x2 − 2 x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ − x3 = 0⎪ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ x1 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 0 x x x + − = ⎪ ⎪ ⎪ 2 3 4 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci, din punct de vedere geometric, spatiul generat de W notat A. un plan b. un subspatiu de dimensiune 3
este
c. o dreapta
\4
9. In
cu structura canonica de \ - spatiu vectorial, se considera multimea:
⎧ ⎧ ⎪ ⎪ x1 + x2 − 2 x4 = 0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ − x3 = 0⎬ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ x1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + − = x x x 2 0 ⎪ ⎪ ⎪ 3 4 ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci, din punct de vedere geometric, spatiul generat de W este A.
, cu
{α ⋅ e + β ⋅ f + γ ⋅ g α, β , γ ∈ \} unde,
b.
e = (2,3,1, 0) , f = (−1, −2, 0,1) si
g = (1, −1, 2,1) c.
cu
10. Fie
f : \ 3 → \ 2 o aplicatie definita prin:
f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) . Atunci f este o a. functionala liniara b. forma patratica
11. Fie
c. forma biliniara D. aplicatie liniara
f : \ 3 → \ 2 o aplicatie liniara definita prin:
f ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) . Atunci, matricea A, a aplicatiei f relativ la baza canonica este a.
B.
⎛ 1 −1⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ A = ⎜⎜ 0 1 ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝−1 0 ⎠⎟⎟
c.
12. Fie
f : \ 3 → \ 2 o aplicatie liniara definita prin:
f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) . Atunci, nucleul aplicatiei f, notat
este
a. B. ker f = {α ⋅ e α ∈ \ } unde, e = (1,1,1) c. d. e.
13. Fie
unde,
f : \ 3 → \ 2 o aplicatie liniara definita prin: f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) .
Atunci, nucleul aplicatiei f si imaginea sa notate egale cu a. B. c. d. e.
14. Fie
si
sunt de dimensiuni, respectiv,
0 si 3 1 si 2 2 si 3 3 si 0 2 si 1
f : \ 3 → \ 2 o aplicatie liniara definita prin: f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x3 , −x1 + x2 ) .
Atunci, imaginea aplicatiei f, notata
este
a. b. c. d.
unde, unde, e = (1,1,1)
E.
15. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste
\ si B = {e1, e2 , e3 } o baza a lui V3 .
Se considera S = { f1 , f 2 , f3 , f 4 } un sistem de vectori din V3 ai carui vectori sunt definiti prin relatiile: f1 = e1 + 2e2 + e3 , f 2 = e1 + 7e2 + 4e3 , f3 = −e1 + e2 + e3 , f 4 = e1 + 4e2 + 2e3
Sa se caracterizeze mutimea S. a. Multimea S formeaza un sistem de generatori de dimensiune 2. b. Multimea S formeaza un subspatiu de dimensiune 1. c. Multimea S formeaza o baza a spatiului . D. Multimea S formeaza un sistem de generatori de dimensiune 3. 16. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste \ si B = {e1 , e2 , e3 } o baza a lui V3 .
Se considera S = { f1 , f 2 , f3 , f 4 } un sistem de vectori din V3 ai carei vectori sunt dati dati prin relatiile: f1 = e1 + 2e2 + e3 , f 2 = e1 + 7e2 + 4e3 , f3 = −e1 + e2 + e3 , f 4 = e1 + 4e2 + 2e3
Sa se determine spatiul generat de S, notat
si sa se precizeze o baza
a lui S
a.
, b.
,
c.
,
D.
,
17. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste
Se considera
o alta baza a lui V3 ai carei vectori sunt dati prin relatiile:
Sa se determine cordonatele vectorului a.
\ si B = {e1, e2 , e3 } o baza a lui V3 .
in baza
.
b. C. d.
18. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste
Se considera
\ si B = {e1, e2 , e3 } o baza a lui V3 .
o alta baza a lui V3 ai carei vectori sunt dati dati prin relatiile:
Sa se determine matricea de trecere de la baza B baza a.
.
b.
C.
19. Fie V3 un spatiu vectorial cu trei dimensiuni peste
Se considera
⎛ 3 −5 8 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ C −1 = ⎜⎜−1 2 −3⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ 1 −1 5 ⎠⎟⎟
\ si B = {e1, e2 , e3 } o baza a lui V3 .
o alta baza a lui V3 ai carei vectori sunt dati dati prin relatiile:
Sa se determine formulele de trecere de la baza B baza
.
A. e1 = 3 f1 − f 2 + f3 , f 2 = −5 f1 + 2 f 2 − 3 f 3 , f 3 = 8 f1 − 3 f 2 + 5 f 3 b. c. d. e1 = 3 f1 − 5 f 2 + 8 f 3 , f 2 = − f1 + 2 f 2 − 3 f3 , f3 = f1 − 3 f 2 + 5 f3
20. In
\4
cu structura canonica de
\ - spatiu vectorial, se considera multimea:
⎧ ⎫ ⎧ x1 − x2 + x3 − x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ W =⎪ x , x , x , x S : ∈ \ ( ) ⎨ ⎨( 1 2 3 4 ) ⎬ ⎪ ⎪ x1 − 2 x3 ⎪ − x4 = 0⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ Atunci, din punct de vedere geometric, spatiul generat de W este A. un plan b. o dreapta c. 4
\
d. un hiperplan de dimensiune 3
21. In
\4
cu structura canonica de
\ - spatiu vectorial, se considera multimea:
⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 − x2 + x3 − x4 = 0⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ 2 0 x x x − − = 1 3 4 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci spatiul generat de W nu contine vectorul a. b. C.
22. In
\4
cu structura canonica de
\ - spatiu vectorial se considera multimea:
⎧ ⎫ ⎧ ⎪ x1 − x2 + x3 − x4 = 0⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ W = ⎨( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ ( S ) : ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ 2 0 x x x − − = 3 4 ⎪ ⎪ ⎩ 1 ⎪ ⎩ ⎭ Atunci, spatiul generat de W este dimensiune a. B. c. d.
23. In
3 2 1 4
\4
cu structura canonica de
\ - spatiu vectorial, se considera multimea:
⎧ ⎫ ⎪ x1 − x2 + x3 − x4 = 0⎪ ⎪ ⎪( x , x , x , x ) ∈ \ 4 ( S ) : ⎧ ⎪ ⎪ W =⎨ ⎨ ⎬ 1 2 3 4 ⎪ ⎪ − 2 x3 − x4 = 0⎪ x 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ Atunci spatiul generat de W este a.
cu
B. c.
24. Fie in spatiul vectorial real
, cu cu
M2 ( \ ) sistemele de vectori:
si
⎧ ⎛1 0⎞⎟ ⎛0 1⎞⎟ ⎛0 0⎞⎟ ⎛1 0⎞⎟⎫ ⎪ ⎪ ⎟⎟ , A2 = ⎜⎜ ⎟⎟ , A3 = ⎜⎜ ⎟⎟ , A4 = ⎜⎜ ⎟⎟⎪ S =⎪ ⎨ A1 = ⎜⎜⎜ ⎬ ⎜ ⎜ ⎜ ⎪ ⎝0 0⎠⎟ ⎝1 0⎠⎟ ⎝0 1⎠⎟ ⎝0 1⎠⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ B = ⎜⎛⎜1 0⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜1 2⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜0 0⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜1 0⎞⎟⎟⎬ ⎪ S′ = ⎨ 1 2 3 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎪ ⎪ ⎝0 2⎠ ⎝2 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Atunci spatiile generate de
si
sunt de dimensiuni, respectiv egale cu:
a. 1 si 3 b. 2 si 4
c. 3 si 4 D. 3 si 3
25. Baza canonica a spatiului vectorial
M2 ( \ ) al matricelor de dimensiune 2x2 cu elemente
numere reale este multimea A.
b.
c.
26. Spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 5 notat a. 5
B. 6
c. 4
27. Spatiul vectorial al functiilor reale definite pe , notat A. b. 1
este de dimensiune
F
este de dimensiune
c. 2 d. 0
28. Spatiul vectorial complex a. 3 b. 4
este de dimensiune egala cu c. D. 2
29. Baza canonica a spatiului vectorial al polinoamelor de grad cel mul 4 cu coeficienti din
notat
este multimea
a. b. C.
30. Fie in spatiul vectorial real M2 ( \ ) sistemele de vectori :
si
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ A = ⎜⎜⎛1 0⎞⎟⎟ , A = ⎛⎜⎜0 1⎞⎟⎟ , A = ⎛⎜⎜0 0⎞⎟⎟ , A = ⎛⎜⎜1 0⎞⎟⎟⎬ ⎪ S =⎨ 1 2 3 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎪ ⎪ ⎝0 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ B = ⎜⎛⎜1 0⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜1 2⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜0 0⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜1 0⎞⎟⎟⎬ ⎪ S′ = ⎨ 1 2 3 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎪ ⎪ 0 2 2 0 0 1 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Sa se stabileasca natura acestora. A.
si
liniar dependente
b.
si
liniar independente
31. Fie
si
c.
liniar dependenta si liniar independenta d. liniar independenta si liniar dependenta
doua subspatii ale spatiului vectorial real M2 ( \) , iar
, si ,
respectiv doua baze ale acestora. Sa se scrie formulele de trecere de la baza a. B. c.
la baza
32. Fie in spatiul vectorial real M2 ( \ ) sistemele de vectori:
si
⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ A = ⎜⎜⎛1 0⎞⎟⎟ , A = ⎛⎜⎜0 1⎞⎟⎟ , A = ⎛⎜⎜0 0⎞⎟⎟ , A = ⎛⎜⎜1 0⎞⎟⎟⎬ ⎪ S =⎨ 1 2 3 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎪ ⎪ 0 0 1 0 0 1 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ B = ⎜⎛⎜1 0⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜1 2⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜0 0⎞⎟⎟ , B = ⎛⎜⎜1 0⎞⎟⎟⎬ ⎪. S′ = ⎨ 1 2 3 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎪ ⎪ ⎝0 2⎠ ⎝2 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 1⎠⎪ ⎪ ⎩ ⎭
Sa se indice subspatiile generate de
si
, notate respectiv prin
si
.
a.
b.
C.
si
33. O baza a lui , ca spatiu vectorial real, poate fi multimea: a.
B.
34. Nucleul unei aplicatii liniare
c.
este
a. un subspatiu vectorial al lui b. multimea vida daca este injectiva C. un subspatiu vectorial al lui 35. Imaginea unei aplicatii liniare
este
a. multimea V daca este surjectiva. B. un subspatiu vectorial al lui c. un subspatiu vectorial al lui 36. Fie
cu
o aplicatie liniara. Notam si nucleul respectiv imaginea aplicatiei , iar dimensiunea acestora. Atunci una din afirmatiile de mai jos este falsa:
a. Daca este surjectiva B. este subsaptiu al lui W c.
d. Daca e.
este injectiva atunci
37. Fie
doua spatii vectoriale de dimensiuni n si respectiv m, iar liniara.Una dintre urmatoarele de mai jos este falsa. Precizati care este aceasta.
o aplicatie
a. Daca T este surjectiva atunci T este un izomorfism de spatii vectoriale B. c. d. Daca T este injectiva atunci T este un izomorfism de spatii vectoriale e. 38. Fie
un sistem finit de vectori ai unui spatiu vectorial finit dimensional V. Presupunem ca contine cel putin un vector nenul. Care afirmatie este falsa ?
a. Daca S este liniar independent, atunci S poate fi completat pana la o baza a lui V; B. Daca S este baza a lui V, atunci ea este strict inclusa intr-un sistem de vectori liniar
independenti din V. este un sistem de generatori atunci formeaza o baza a lui V. este liniar independent atunci formeaza o baza a lui V.
c. Daca d. Daca 39. Fie
o aplicatie liniara.Notam
. Atunci una dintre
afirmatiile de mai jos este falsa. a.
este un spatiu liniar in raport cu operatiile de adunare si inmultire cu scalari
B. c. Daca d.
se mai noteaza cu si se mai noteaza cu
si se mai numeste dualul spatiului vectorial atunci si se mai numeste dualul spatiului vectorial V
40. Fie sistemele de vectori
si Atunci un dintre afirmatiile de mai jos este falsa. a. b. V si W genereaza acelasi subspatiu c. d. E.
41. Fie sistemele de vectori
si Atunci una dintre afirmatiile de mai jos este adevarata. a. b. c. D. e. 42. Spatiul vectorial al polinoamelor cu coeficienti reali notat A.
b. 4
43. Fie
c. 3
este de dimensiune. d. 0
multimea matricelor de dimensiune 2x2 cu coeficienti intr-un corp comutativ , iar si
, multimea matricelor simetrice, repectiv antisimetrice. Atunci una dintre
afirmatiile de mai jos este adevarata. a. B. c.
Multimea
formeaza baza a subsp.
d.
formeaza baza a subsp.
Multimea
44. Fie
multimea matricelor de dimensiune 2x2 cu coeficienti intr-un corp comutativ , iar si
, multimea matricelor simetrice, repectiv antisimetrice. Atunci una dintre
afirmatiile de mai jos este falsa. A. b.
si sunt subspatii ale lui
c. d.
Multimea
formeaza baza a subspatiului
e.
Multimea
formeaza baza a
subspatiului 45. Fie
multimea matricelor de dimensiune 2x2 cu coeficienti intr-un corp comutativ , iar si
, multimea matricelor simetrice, repectiv antisimetrice. Atunci una dintre
afirmatiile de mai jos este falsa. a.
sunt subspatii ale lui
b.
Multimea
formeaza baza a subspatiului
C.
Multimea
nu formeaza
baza a spatiului d.
, unde e.
si
46. In spatiul vectorial real \ 3 [ X ] se considera multimea S = { f0 , f1 , f 2 , f3 , f 4 } unde,
f0 = 1, f1 = x, f 2 = x ( x −1) , f3 = x ( x −1)( x − 2) , f 4 = x ( x −1)( x − 3) Atunci una dintre afirmatiile de mai jos este falsa: a. b. c. Multimea
nu formeaza baza a lui
d. Multimea
este liniar independenta
E. Multimea S formeaza o baza a lui \ [ X ] 3 47. In spatiul vectorial real
se considera multimea S = { f0 , f1 , f 2 , f3 , f 4 } unde,
f0 = 1, f1 = x, f 2 = x ( x −1) , f3 = x ( x −1)( x − 2) , f 4 = x ( x −1)( x − 3) Atunci una dintre afirmatiile de mai jos este adevarata. a. Multimea S formeaza o baza a lui B. Daca multimea
lui sunt:
este baza canonica a
atunci formulele de trecere de la baza
c. Multimea
la baza
este liniar independenta
d.
Exista scalarii
a.i
unde
este baza canonica a lui \ 3 [ X ] e. Multimea
48. In spatiul vectorial real
nu formeaza baza a lui se considera bazele
si Atunci matricea de trecere de la baza
baza
a.
c.
b.
D.
49. In spatiul vectorial real
este
se considera bazele
a subspatiului
si . Fie sunt:
. Atunci formulele de de trecere de la baza
baza
A. b. c.
50. În spaţiul vectorial
\ 3 peste corpul numerelor reale \ , se consideră sistemele de vectori:
B = {e1 = (−1,0,1) , e2 = (1,1,0) , e3 = (0, −1,1)} si
B ′ = { f1 = (0,1,1) , f 2 = (1,0, −1) , f3 = (1, −1,0)}
iar
\3 . Sa se stabileasca care dintre urmatoarele afirmatii sunt false: (1) Multimile
si
formeaza baze ale spatiului vectorial
(2) Matricea de trecere de la baza
(3) Matricea de trecere de la baza
la baza
la baza
este
este
(4) Matricea de trecere de la baza canonica la baza
este
\3
(5) Coordonatele vectorului x relativ la baza
sunt
la baza
sunt
(6) Formulele de trecere da la baza
(7) Formulele de trecere de la baza
a. (4), (5)
la baza
b. (2), (7)
sunt
c. (1), (2), (3), (5)
51. Fie
doua spatii vectoriale si Care dintre urmatoarele afirmatii sunt false:
D. (6), (7)
o aplicatie liniara.
(1) T injectiva (2) T surjectiva T inversabila (3) Daca T injectiva si atunci (4) Pentru orice V si W are loc descompunerea (5) Daca atunci . a. (3), (4)
B. (3), (5)
52. Fie
c. (1), (2)
doua spatii vectoriale si Care dintre urmatoarele afirmatii sunt false:
o aplicatie liniara.
(1) dimensiunea nucleului se mai numeste rangul lui T, iar dimensiunea imaginii se numeste defectul lui T. (2) Daca T este injectiva atunci . (3) si (4) Daca T este surjectiva atuci T este inversabila. a. (3)
b. (2), (3)
c. (2), (4)
D. (1)
53. Sa se cerceteze care dintre urmatoarele aplicatii nu sunt liniare:
(1) (2) (3) (4) (5)
unde
este derivata formala a polinomului
a.
54. Fie
B. (1), (2), (5)
(3), (4)
spatiul vectorial real si
Sa se scrie vectorul
c. (1), (2),(3)
baza canonica a sa.
in raport cu baza a lui
a. b.
55. Fie
C. d.
spatiul vectorial real si
Sa se scrie vectorul
baza canonica a sa.
in raport cu baza din
a. b.
.
C. d.
56. Fie
spatiul euclidian real tridimensional. Folosind procedeul de ortogonalizare GrammSchmidt, sa se gaseasca o baza ortonormata pentru subspatiul generat de vectorii .
a. b. C.
57. Fie
o aplicatie liniara, iar
baza canonica a lui
Sa se precizeze care dintre urmatoarele afirmatii sunt false
. Se stie ca
(1) Matricea aplicatiei linare in baza canonica este (2) (3) (4) Daca
atunci
(5) Matricea aplicatiei
a. (2) 58. Fie
b.
relativ la baza canonica este
(1), (3)
C. (3)
o aplicatie liniara, iar
d.
(4), (5)
baza canonica a lui
. Se stie ca
Sa se precizeze care dintre urmatoarele afirmatii sunt adevarate:
(1) Matricea aplicatiei linare in baza canonica este (2) (3) (4) Daca atunci (5) Valorile proprii asociate operatorului T sunt A. (3), (4), (5) 59. Fie
b. (3), (5)
o aplicatie liniara, iar
matricea asociata in baza canonica este
c. (2)
d.
(1), (3)
baza canonica a lui
. Se stie ca
Sa se precizeze care dintre urmatoarele afirmatii sunt false: (1) (2)
, unde
(3) (4) (5) Valorile proprii asociate operatorului T sunt a. (3), (5) 60. Fie
b. (2),(5)
c.
(1), (3), (4),
o aplicatie liniara, iar
D.
(1)
baza canonica a lui
. Se stie ca
matricea asociata in baza canonica este
Sa se precizeze care dintre afirmatiile de mai jos sunt false: (1) (2) T este un endomorfism injectiv. (3) Valorile proprii corespunzatoare marticei A sunt (4) Subspatiul propriu asociat valorii proprii
este
(5) A. (3), (4),(5) b. (1), (2)
c. , (1), (2), (3), (4),(5) d. (2)
61. Se dau sistemele de vectori din
sunt liniar independente:
S1 = {(−4, −2, 2) , (6,3, −3)} si Care dintre afirmatiui de mai jos sunt false:
unde
(1) S1 este liniar dependenta (2) S1 şi S 2 nu formeaza sisteme de generatori (3) S 2 este liniar independenta, dar nu formeaza sistem de generatori pentru (4) (5) A. (5) b. (1), (2), (4), (5)
c. (3), (4) d. (1), (2)
62. Se dau sistemele de vectori din
sunt liniar independente:
S1 = {(2,3, −1) , (0, −2,1) , (−1, −1, −1)} si S2 = {(−1, 2,1) , (−1,1, 2) , (−1, −1, 4)} Care dintre afirmatiui de mai jos sunt adevarate: (1) (2) S 2 nu formeaza sistem de generatori pentru (3) S 2 este liniar independenta, dar nu formeaza sistem de generatori pentru (4) (5) A. (5) b. (1), (2), (5)
c. (1), (2) d. (3), (4)
63. Se dau sistemele de vectori:
S1 = {(1, α, 0) , (α,1,1) , (1,0, α)} si
unde, α, β , γ ∈ \ . Sa stabileasca care dintre urmatoarele afirmatii sunt adevarate: (1) S1 este liniar independent ⇔ α = 0 sau α = ± 2 (2) S 2 este liniar dependent ⇔ γ = 0 sau γ =
1 β ± β ( β + 4) , unde 2
(
β ∈ (−∞, −4] ∪ [0, +∞) (3) Daca (4) Pentru
(5) Pentru a.
(3), (5)
atunci S1 este liniar dependent si S 2 formeaza un sistem de generatori si si C. (1), (3)
)
b. (3), (4)
d.
(2) ,(5)
64. In \ 3 , cu structura canonica de spatiu vectorial peste campul \ , se considera sistemele
de vectori:
S1 = {e1 = (0,1, −1) , e2 = (−1, 0,1) , e2 = (1, −1, 0)}
S2 = {e1 = (1, 0, −1) , e2 = (0, −1, 2) , e2 = (1, −1, 0)} S3 = {e1 = (1,1,1) , e2 = (0,1, −1) , e3 = (−1, 0 − 2) , e4 = ( 2,1,3)} S4 = {e1 = (−1,1,1) , e2 = (1, −1, 0) , e3 = (0, 0,1) , e4 = (1, 0, −1)} Sa se precizeze care dintre urmatoarele afirmatii sunt false: (1) S1 , S 2 şi S3 sunt liniar independente, S 4 este liniar dependent, S3 este un sistem de generatori iar, S3 formeaza o baza an \ 3 . (2) S1 , S 2 şi S 4 sunt liniar independente, S3 este liniar dependent, S1 nu este un sistem de generatori, iar, S 2 şi S 4 formeaza o baza an \ 3 . (3) S1 , S3 şi S 4 sunt liniar dependente, S 2 este liniar independent, S 2 şi S 4 sunt sisteme de generatori, iar, S 2 formeaza o baza an \ 3 . (4) S 2 , S3 şi S 4 sunt liniar dependente, S1 este liniar independent, S1 şi S 4 sunt sisteme de generatori şi S1 formeaza o baza an \ 3 (5) A. b. c. d.
(1), (2), (4) (2), (3) (3) , (4) (5)
4 65. Care dintre urmatoarele multimi nu formeaza subspatiu peste \ , cu structura canonica de \
- spatiu vectorial: ⎧ ⎪ x1 − x2 + x3 − x4 = 0 (1) ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x1 − 2 x3 − x4 = 0 ⎧ x1 + x2 − 2 x4 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (2) ⎨ x1 − x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x2 + x3 − 2 x4 = 0
(3) x1 + x2 + x3 + x4 = 1
⎧ x1 − x2 + x3 − x4 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x1 − 2 x2 − x3 + x4 = 0 (4) ⎪ ⎨ ⎪ x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩−2 x1 + x3 − 2 x4 = 1
a. b.
(2) şi (4) (2) şi (3)
c. D.
(1) şi (4) (3) şi (4)
66. Fie P n (K ) multimea polinoamelor de grad cel mult n cu coeficienti an corpul K . Aplicatia
Φ :P n ( K) → K definita prin: 1
Pk 6 Φ ( Pk ) = ∫ Pk ( x ) dx 0
este: c. forma patratica d. automorfism de spatii vectoriale
a. forma biliniara B. forma liniara
67. Fie P n (K ) multimea polinoamelor de grad cel mult n cu coeficienti an corpul K . Aplicatia
T : P n ( K) → P n+1 ( K) definita prin:
este a. forma biliniara B. operator liniar 68.
c. automorfism de spatii vectoriale d. forma patratica
Fie V un K – spatiu vectorial. şi g : V ×V → K o aplicatie biliniara cu proprietatea G G g v, v = 0
( )
Atunci g este: A. simetrica b. antisimetrica
c. forma liniara d. forma polara
69. Fie V un K – spatiu vectorial, şi g : V ×V → K o aplicatie biliniara. Atunci,
q : V → K definita prin q ( x) = g ( x, x) este a. forma biliniara B. forma patratica
c. automorfism de spatii vectoriale d. aplicatie liniara
70. Fie o baza B = {(1,3,5) , (6,3, 2) , (3,1, 0)} in spatiul aritmetic real \ 3 . Atunci coordonatele
vectorilor bazei canonice a lui \ 3 an raport cu noua baza B sunt respectiv: a. b.
(1, 0,0) , (0,1, 0), (0, 0,1) (2, −5,9) , (6,5, −8) ,(13, −2,5)
(1, 2,3), (−2,3,1) , (3, −1, 0) (−2,5, −9) , (6, −15, 28) , (−3,8, −15)
c. D.
71. Care dintre urmatoarele afirmatii sunt false:
(1) Multimea, S=
{( x , x , x , x ) ∈ \ 1
2
3
4
4
}
2 x1 − x2 + x3 − x4 = 1
formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3. (2) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ], multimea
{
B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3
}
este liniar independenta (3) Intr – un spatiu infinit dimensional V , orice sistem de vectori S = {v1 , v2 ,..., vn } liniar independent formeaza o baza a lui V . (4) Intr – un spatiu finit dimensional V , orice sistem de vectori S = {v1, v2 ,..., vn } liniar independent este un sistem de generatori pentru V . a. (2) (3) (4) b. (2) (3)
C. (1) (2) (3) d. (4)
72. Care dintre urmatoarele afirmatii sunt adevarate:
{
}
(1) Sistemul de vectori S = 1, 2, 3, 5 din spatiul vectorial \ peste corpul \ , este liniar independent. (2) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ], multimea
{
B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3
este liniar independenta (3) Multimea, S=
{( x , x , x , x ) ∈ \ 1
2
3
4
4
}
}
x1 − x2 + 3 x3 − 2 x4 = 0
formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3. (4) Intr – un spatiu finit dimensional V , orice sistem de vectori S = {v1, v2 ,..., vn } liniar independent este un sistem de generatori pentru V . A. (3) (4) b. (2)
c. (1) (2) (3) (4) d. (1) (4)
73. Ca re dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:
(1) In spatiul polinoamelor de grad cel mult egal cu n, notat \ n [ X ] multimea
{
}
B = 1, X , X 2 ,..., X n este un sistem de genratori.
(2) Fie V un spatiu vectorial peste campul K si W ⊂ V un subspatiu al lui V. Atunci, ∀α, β ∈ K si ∀x, y ∈ W avem: αu + βv ∈ V (3) Multimea S a solutiilor unui sistem liniar neomogen cu m ecuatii si n necunoscute, n
∑ aij x j = bi ,
aij , bi ∈ \ (i = 1,..., m)
j =1
formeaza subspatiu vectorial al lui \ n peste corpul \ .
{
}
(4) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci subspatiul generat de L este
⎛ 1 1 ⎞ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \} unde, e1 = ⎜⎜⎜− , , −1, 0⎟⎟⎟ si e2 = ⎨0, , 0,1⎬ ⎪ ⎪ ⎝ 3 3 ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ 3 ⎭
a. (4) b. (3)
c. (1) (2) (4) D. (1) (2)
74. Care dintre urmatoarele afirmatii sunt false:
{
}
(1) Sistemul de vectori S = 1, 2, 3, 5 din spatiul vectorial \ peste corpul \ , este liniar independent. (2) Multimea, S=
{( x , x , x , x ) ∈ \ 1
2
3
4
4
}
x1 − x2 + 3 x3 − 2 x4 = 0
formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3.
{
}
(3) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci, subspatiul generat de L este Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \} unde, e1 = {−1,3,3, 0} si e2 = {0,1,0,3} (4) Multimea S a solutiilor unui sistem liniar omogen cu m ecuatii si n necunoscute, n
∑ aij x j = 0,
aij ∈ \ (i = 1,..., m)
j =1
nu formeza subspatiu vectorial al lui \ n peste corpul \ . a. (3) (4) b. (1) (3) (4)
C. (1) (4) d. (1) (2)
75. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:
{
}
(1) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci, subspatiul generat de L este
Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \} unde, e1 = {−1,3,3, 0} si e2 = {0,1, 0,3} (2) Multimea S a solutiilor unui sistem liniar omogen cu m ecuatii si n necunoscute, n
∑ aij x j = 0,
aij ∈ \ (i = 1,..., m)
j =1
formeaza subspatiu vectorial al lui \ n peste corpul \ . (3) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 3 x − 2 y = 0 si E ′′ = ( x, y ) ∈ \ 2 2x + y = 0 din \ 2 .
{
}
Atunci, \ 2 = E ′ ⊕ E ′′
{
{
}
}
(4) Sistemul de vectori S = 1, 2, 3, 5 din spatiul vectorial \ peste corpul \ , este liniar dependent. a. (2) B. (3)
c. (1) (4) d. (4)
76. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:
{
}
(1) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 3 x − 2 y = 0 si
{
}
E ′′ = ( x, y ) ∈ \ 2 2x + y = 0 din \ 2 .Atunci,
{
}
(2) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci subspatiul generat de L este ⎛ 1 1 ⎞ ⎧ 1 ⎫ Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \} unde, e1 = ⎜⎜⎜− , , −1, 0⎟⎟⎟ si e2 = ⎪⎨0, , 0,1⎪⎬ ⎪ ⎪ ⎝ 3 3 ⎠ ⎪ 3 ⎪ ⎩ ⎭ (3) Multimea, S=
{( x , x , x , x ) ∈ \ 1
2
3
4
4
}
x1 − x2 + 3 x3 − 2 x4 = 0
formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 4 (4) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ], multimea
{
B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3
}
este liniar dependenta a. B.
c. d.
(1) (2) (3) (4)
(1) (2) (3)
77. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:
(1) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 x − 2 y = 0 si E ′′ = ( x, y, z ) ∈ \ 3 2x + y − z = 0
{
}
{
din \ 2 . Atunci, subspatiul generat de multimea E ′ ∩ E ′′ este,
}
Sp ( E ′ ∩ E ′′) = {α ⋅ e α ∈ \} , unde e = (2,1,5) (2) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ], multimea
{
B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3
}
formeaza un sistem de generatori
{
}
(3) Fie L = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ \ 4 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0, x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 0 . Atunci, subspatiul generat de L nu este Sp ( L) = {αe1 + βe2 α, β ∈ \} unde, e1 = {−1,3,3, 0} si e2 = {0,1, 0,3} (4) Rangul unui sistem de vectori S este egal cu numarul minim de vectori liniari independenti din S a. b.
c. (3) D. (3) (4)
(1) (2) (2) (4)
78. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:
(1) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 x − y = 0 si E ′′ = ( x, y ) ∈ \ 2 x + 2 y = 0 din \ 2 .
{
}
{
}
Atunci, intersectia subspatiilor este E ′ ∩ E ′′ ≠ {0 \ 2 } (2) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ], multimea
{
B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3
nu formeaza un sistem de generatori (3) Multimea, S=
{( x , x , x , x ) ∈ \ 1
2
3
4
4
}
}
x1 − x2 + 3 x3 − 2 x4 = 0
nu formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3. (4) Rangul unui sistem de vectori S este egal cu numarul maxim de vectori liniari independenti din S a. b.
c. (1) (3) D. (4)
(2) (3) (2) (4)
79. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:
(1) Fie subspatiile vectoriale: E ′ = ( x, y ) ∈ \ 2 x − 2 y = 0 si E ′′ = ( x, y, z ) ∈ \ 3 2x + y − z = 0 din \ 2 .
{
}
{
}
Atunci, subspatiul generat de multimea E ′ ∩ E ′′ este, . Sp ( E ′ ∩ E ′′) = {α ⋅ e α ∈ \} , unde (2) Multimea, S=
{( x , x , x , x ) ∈ \ 1
2
3
4
4
}
2 x1 − x2 + x3 − x4 = 1
nu formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune 3.
(3) In spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult egal cu 3, notat \ 3 [ X ], multimea
{
B = 2 + X ,1 + X + X 2 ,1− X 2 ,1 + X + 2 X 2 − X 3
}
formeaza baza pentru \ 3 [ X ] (4) Fie T : Vn → Wm o aplicatie liniara, unde n, m sunt dimensiunile spatiilor V, respectiv W . Notam: Im (T ) - imaginea aplicatiei liniare. Atunci: daca m ≠ n ⇒ T este bijectiva A. (2) b. (1) (3) (4)
c. (1) (3) d. (1) (4)
80. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:
(1) Fie T : Vn → Wm o aplicatie liniara, unde n, m sunt dimensiunile spatiilor V, respectiv W . Notam: Im (T ) - imaginea aplicatiei liniare. Atunci, daca m ≠ n ⇒ T este surjectiva. (2) Fie V/K – un spatiu vectorial si 1V : V → V aplicatia identitate a multimii V.Atunci, 1V este liniara (3) Fie V si W doua K – spatii vectoriale si T : V → W o aplicatie liniara a.i. G G G x 0 ∈ ker (T ) , x 0 ≠ 0 . Atunci, T este injectiva. (4) Fie T : V → W o aplicatie liniara, iar ker (T ) - nucleul aplicatiei liniare. Atunci:
ker (T ) este un subspatiu al lui W. a. (2) b. (1) (2) (3)
c. (1) (3) (4) D. (3) (4)
81. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:
(1) Fie U, V si W , K – spatii vectoriale peste acelasi camp de scalari K , iar S si T doua aplicatii liniare, definite prin: S T U ⎯⎯ → V ⎯⎯ →W avand matricele asociate relativ la bazele A, respectiv, B. Atunci, T D S este o aplicatie liniara, avand matricea C asociata, relativ la B a spatiului V, egala cu C = A ⋅ B (2) Fie T : V → W o aplicatie liniara si A, matricea aplicatiei relativ la o baza B . Atunci: exista un vector b ∈W a.i. T ( x) = Ax + b ∀x ∈ V (3) Fie T : Vn → Wm o aplicatie liniara, unde n, m sunt respectiv, dimensiunile spatiilor peste acelasi corp K. Daca T este injectiva ⇒ m = n (4) Matricea aplicatiei biliniare, g : \ 3 × \ 3 → \ , definita prin:
g ( x, y ) = x1 y2 − x2 y3 + x3 y1 relativ la baza canonica a lui
este
⎛0 1 0⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ A = ⎜⎜0 0 1⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝1 0 0⎠⎟⎟ a. (2) (3) (4) b. (2) c. (1) (2) (3) (4)
D. (1) (2) (4) e. (2) (4)
82. Care dintre urmatoarele asertiuni sunt adevarate:
(1) Fie \ 3 - spatiul euclidian real si sistemul de puncte: S = { A0 = (1, 1, 1) , A1 = (0, 1, 1) , A2 = (1, 0, 1) , A3 = (0, 0, 0)}
Atunci multimea de vectori
este liniar independenta.
(2) Fie A n un spatiu vectorial n – dimensional si K n spatiul vectorial standard n – dimensional. Atunci A n si K n sunt izomorfe (3) Fie V/K – un spatiu vectorial si T : V → V o aplicatie liniara. Atunci, T se mai numeste si endomorfism al spatiului V. (4) Fie T : V → W o aplicatie liniara, iar ker (T ) - nucleul aplicatiei liniare. Atunci: este un subspatiu al lui W. a. b. C. d.
(1), (2), (1), (1),
(2) (3) (2), (3), (4) (4)
Geometrie Analitica B_Algebra Vectoriala MULTIPLE CHOICE 1. Fie vectorii
. Sa se precizeze care
dintre afirmatiile de mai jos sunt adevarate: (1) Vectorii (2) Vectorii (3)
sunt coplanari sunt necoplanari
(4) (5) a. (5) b. (3), (4) 2. Notam
c. (2), (3), (5) D. (2)
multimea vectorilor liberi si fie vectorii ,
unde adevarate:
sunt necoplanari. Sa se precizeze care dintre afirmatiile de mai jos sunt
(1) Vectorii sunt coplanari numere reale a.i. (2) Pentru orice numere reale nu toate nule a.i. (3) Exista (4) Vectorii nu pot forma o baza in spatiul (5) Daca
atunci
a. (3), (5) b. (1), (4)
3. Fie trei vectori
rezulta ca
c. (2), (5) D. (2)
. Notam prin
.Notam:
Atunci: a.
c.
b.
D.
4. Sa se calculeze unghiul obtuz format de medianele corespunzatoare laturior congruente ale
unui triunghi dreptunghic isoscel. a.
c.
B.
d.
5. Vectorii
si
formeaza intre ei un unghi de masura Caculati masura unghiului format de vectorii
a.
c.
b.
D.
6. Vectorii
.
formeaza intre ei un unghi de masura . Caculati c.
b.
d.
7. Vectorii
si au lungimile egale respectiv cu .
A.
formeaza intre ei un unghi de masura Caculati c.
B.
d.
8. Vectorii
si au lungimile egale respectiv cu .
a.
formeaza intre ei un unghi de masura
cu
Caculati c.
b.
D.
a.i.
si au lungimile egale respectiv .
a.
9. Fie
si au lungimile egale respectiv cu
. Atunci
a. b.
10. Fie
c. D.
a.i.
. Atunci
a. b.
C. d.
11. Sa se precizeze care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:
(1) Daca sunt doi vectori necoliniari atunci, masura unghiului format de vectorii este egala cu masura unghiului format de vectorii si (2) Daca sunt doi vectori necoliniari atunci, si reprezinta ca vectori diagonalele paralelogramului construit pe laturile vectorilor . (3) Vectorul este ortogonal pe vectorul (4) (5)
si
.
a. (2) b. (2), (3), (4), (5)
C. (1) d. (4), (5)
12. Sa se precizeze care dintre urmatoarele asertiuni sunt false:
(1) Daca sunt doi vectori necoliniari atunci, masura unghiului format de vectorii este egala cu masura unghiului format de vectorii si (2) Daca sunt doi vectori legati atunci, si reprezinta ca vectori diagonalele paralelogramului construit pe laturile vectorilor . (3) Vectorul este coliniar cu vectorul (4) (5)
.
a. (1) b. (4), (5)
c. (2) D. (1), (2), (3), (5)
13. Se dau vectorii
calculeze A. 22 b.
avand lungimile respectiv . c. d. 51
. Sa se
si
14. Se dau vectorii
avand lungimile respectiv
. Sa se
calculeze a. 22 B. 24
15. Se dau vectorii
c. d.
avand lungimile respectiv
. Sa se
calculeze a. B. 20
16. Se dau vectorii
c. 24 d.
avand lungimile respectiv
. Sa se
calculeze A. 22 b.
c. 20 d.
17. Sa se puna in corespondenta relatiile (1), (2), (3) cu afirmatiile (A), (B), (C).
(1)
; (2)
; (3)
.
este ascutit (A) Unghiul dintre (B) Vectorii sunt ortogonali este obtuz (C) Unghiul dintre A. (1) si (B), (2) si (A), (3) si (C) b. (1) si (B), (2) si (C), (3) si (A)
c. (1) si (C), (2) si (A), (3) si (B) d. (1) si (A), (2) si (C), (3) si (B)
18. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC format de punctele
din spatiul geometriei
euclidiene, iar O originea spatiului. Atunci a.
GA + GB + GC
OG
OA + OB + OC
GA
b.
C. GA + GB + GC 0 d. OA + OB + OC 0
19. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC format de punctele
din spatiul geometriei euclidiene, iar O originea spatiului. Atunci doua dintre afirmatiile de mai jos sunt adevarate
(1) GA + GB + GC GA + GB + GC 0;
OG; (2) OA + OB + OC (5) GA + GB + GC
A. (2) si (4) b. (3) si (4)
OG; (3) OA + OB + OC
GA; (4)
OG; (6) OA + OB + OC 0.
c. (1) si (6) d. (3) si (5)
20. Trei forte P, Q si S sunt pe directiile a trei drepte perpendiculare doua cate doua si au
marimile respectiv, egale cu Sa se determine marimea rezultantei R. A. b.
c. d.
21. Trei forte P, Q si S sunt pe directiile a trei drepte perpendiculare doua cate doua si au
marimile respectiv, egale cu Sa se determine marimea rezultantei R. A. b.
c. d.
22. Fie vectorii
. Atunci proiectia vectorului
pe axa Ox
este de lungime a.
c.
b.
D. 1
23. Fie vectorii
. Atunci proiectia vectorului
pe axa Ox
este de lungime a. 1 b.
c. D.
24. Fie vectorii
. Atunci proiectia vectorului
pe planul
yOz este de lungime a. b.
C. 8 d.
25. Fie vectorii
laturile vectorilor
. Atunci aria paralelogramului construit pe este
a. b.
c. 25 D.
26. Fie vectorii A. b.
coliniari. Atunci: c. d.
si si
si si
27. Fie vectorii A. b.
necoliniari. Atunci: c. d.
si si
si
28. Fie vectorii A. b.
coplanari. Atunci: c. d.
si
si si
29. Fie vectorii
Atunci:
a. B. Pentru
si
,
sunt
c.
, coplanari.
d.
si necoplanari.
necoliniari.
si
sunt ,
30. Fie vectorii a.
, si coliniari B. Pentru si necoliniari.
Atunci: sunt sunt
c.
si sunt necoplanari. d. Daca atunci sunt necoplanari.
31. Fie vectorii
vectorul A. b.
. Sa se descompuna dupa directiile vectorilor
.
c. d.
32. Fie vectorii
vectorul
sunt
. Sa se descompuna dupa directiile vectorilor
.
a. B.
c. d.
33. Se da triunghiul ABC in care AB A. Exista b. Oricare c.
Oricare
si AC
si
are loc descompunerea AM are loc descompunerea AM
. Atunci: cu
are loc descompunerea AM
34. Se da triunghiul ABC in care AB
si AC
si
bisectoarea unghiului A unde
si AC
si
a.i
. Atunci:
si AC
si
a.i
. Atunci:
si AC
si
a.i
. Atunci:
Atunci: a.
AD b.
AD
C.
AD
unde
35. Se da triunghiul ABC in care AB a.
AM b.
AM
C. AM
36. Se da triunghiul ABC in care AB a. b. C.
AM AM AM
37. Se da triunghiul ABC in care AB a.
AM
.
b. C.
AM AM
38. Se da triunghiul ABC in care AB
si AC
si
a.i
. Atunci:
a.
AM b.
AM
C. AM
39. Se dau vectorii
care fac intre ei doi cate doi un unghi de masura stiind ca .
modulul vectorului a.
C.
b.
d.
40. Se dau vectorii
care care satisfac conditia
. Sa se calculeze
stiind ca
.
A.
c.
b.
d.
41. Se dau vectorii unitate
. Sa se determine
care care satisfac conditia
. Sa se calculeze
. a. B.
c. d.
42. Presupunand ca vectorii
din
sunt diferiti de vectorul
pentru ca sa existe egalitatea a. Egalitatea este adevarata b. sa fie coliniar cu c. D.
sa fie coplanari sa fie perpendicular pe planul determinat de
si
sa se gaseasca o conditie
43. Intr-un cerc de centru O se duc coardele AB si CD care se intersecteaza perpendicular in
punctul P. Atunci a. PA+PB+PC+PD B. PA+PB+PC+PD c. PA+PB+PC+PD
OP PO
44. Fie M, N, P respectiv mijloacele laturilor unui triunghi
si O un punct oarecare din planul
triunghiului. Atunci A. OM+ON+OP=OA+OB+OC b. 2(OM+ON+OP)=OA+OB+OC c. OM+ON+OP=2(OA+OB+OC)
45. Fie vectorii
necoliniari. Atunci vectorul
a. perpendicular pe b. coliniar cu
46. Fie vectorii
c. coliniar cu D. perpendicular pe
necoplanari. Atunci vectorul
A. perpendicular pe b. perpendicular pe
determine proiectia vectorului
48. Fie punctele
B.
,
punctul D la planul a.
49. Fie punctele
punctul D la planul
este
c. coliniar cu d. coliniar cu
47. Fie vectorii
a.
este
b.
,
, Sa se determine pe dreapta suport a vectorului c.
d.
, si . Sa se determine distanta h de la utilizand doar operatiile cu vectori. c.
D.
, si . Sa se determine distanta h de la utilizand doar operatiile cu vectori.
a.
B.
c.
d.
50. Sa se calculeze lucrul mecanic efectuat de o forta F 3i 2j 5k pentru a deplasa punctul ei de
aplicatie rectiliniu intre punctele
si
a.
c.
b.
. D.
51. Sa se calculeze lucrul mecanic efectuat de o forta F i 2j 3k pentru a deplasa punctul ei de
aplicatie rectiliniu intre punctele
si
a.
c.
b.
. D.
52. Sa se calculeze lucrul mecanic efectuat de rezultanta a trei forte N
Q
i
3i 2j k, P 3i 4j 2k, k, pentru a deplasa punctul ei de aplicatie rectiliniu intre punctele si
j .
a.
b.
C.
d.
53. Sa se determine sinusul unghiului format de vectorii
si A.
c.
b.
d.
54. Sa se determine parametrul real
.
pentru care vectorii si
sunt perpendiculari. a.
b.
C.
55. Sa se determine parametrii reali
d.
pentru care vectorii si
sunt perpendiculari. A.
b.
,
,
c.
,
d.
,
56. Sa se gaseasca un vector
coliniar cu vectorul
A.
c.
b.
d.
astfel incat
57. Se dau punctele
. Care dintre asertiunile de
mai jos sunt adevarate: sunt coplanare (1) Punctele (2) Vectorii AB, AC, AD sunt necoplanare (3) Vectorii AD si BC sunt coliniari (4) Vectorii AC si BD sunt ortogonali a. (2), (3), (4) B. (1)
c. (2), (4) d. (1), (2), (3)
58. Se dau vectorii
. Determinati vectorul
stiind ca este
ortogonal pe axa Oz si verifica relatiile:
a. B.
c. d.
59. Se dau vectorii
.
Determinati vectorul
stiind ca verifica relatiile:
a. B.
c. d.
60. Sa se determine proiectia vectorului a a.
i
j
b.
61. Sa se determine proiectia vectorului a i
.
c.
j
k pe dreapta de ecuatie
.
D.
k pe dreapta avand cosinusii directori
a.
b.
c.
D.
62. Sa se determine proiectia vectorului a
i j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz iar, cu axa Oy un unghi ascutit.
respectiv unghiurile A.
b.
c.
d.
63. Sa se determine proiectia vectorului a i
j k pe dreapta care face cu axele Ox, Oz iar, cu axa Oy un unghi ascutit .
respectiv unghiurile a.
B.
c.
d.
64. Sa se determine proiectia vectorului determinat de punctele
pe iar, cu axa Oz un
dreapta care face cu axele Ox, Oy respectiv unghiurile unghi obtuz . a.
B.
c.
65. Calculati proectia vectorului
d.
pe dreapta suport a vectorului
. a.
b.
c.
66. Se dau vectorii
. Calculati
A.
c.
b.
d.
67. Se dau vectorii
D.
. Calculati
a.
C.
b.
d.
68. Se dau punctele
. Sa se calculeze proiectia
vectorului AB pe directia vectorului CD. a.
b.
69. Se dau vectorii
c.
care formeaza intre ei un unghi de masura
stind ca a.
70. Se dau
si b. 12
71. Se dau
si
A. 30
b.
72. Vectorii
73. Vectorii
c.
D.
. Calculati c. 2
D. 16
. Calculati c. 16
d. 2
sunt ortogonali. Sa se calculeze
stiind ca A. b.
. Sa se determine
. b. 10
a.
D.
. , ,
c. d.
formeaza intre ei un unghi de masura
, ,
. Calculati numerele:
stiind ca A. b.
. ,
c. d.
, ,
74. Fie vectorii
,
,
. Atunci
b.
c.
si
a.
76. Fie vectorii
, ,
necoliniari a.i.
A.
75. Fie vectorii
,
. Atunci b.
C.
a.i
A. ortogonali 77. Se dau vectorii oarecare
. Atunci vectorii b. arbitari
sunt c. coliniari
. Atunci vectorii
sunt a. coliniari
78. Se dau vectorii oarecare
b. coplanari
C. necoplanari
care verifica egalitatea
. Atunci
A. b. c.
79. Se dau vectorii oarecare
care verifica egalitatile: .
Atunci
a. b.
C.
sunt coliniari sunt coplanari
80. Se dau vectorii oarecare
sunt coplanari sunt coliniari
d.
care verifica egalitatile: .
Atunci a. b.
c.
sunt coplanari sunt coliniari
sunt coliniari sunt coliniari
D.
81. Fie vectorii
Sa se calculeze:
a. B. c. d.
82. Se dau punctele
a.
Calculati:
,
b.
,
83. Se dau punctele a. 13
C.
,
Calculati aria triunghiului b. 11
c.
D. 14
84. Se dau punctele
.
e. 9
Calculati lungimea inaltimii duse din
latura A.
c. 5
b. 13
d.
85. Calculati sinusul unghiului format de vectorii
si
pe
a.
b.
c.
86. Vectorul
este ortogonal pe vectorii un unghi obtuz. Determinati coordonatele vectorului A.
c.
b.
d.
D.
si stiind ca
87. Un vector
, ortogonal pe axa si pe vectorul unghi ascutit. Determinati coordonatele vectorului stiind ca
a.
c.
b.
D.
88. Determinati un vector
, perpendicular pe vectorii
si formeaza cu axa
, formeaza cu axa .
si
, care
satisface conditia . A.
c.
b.
d.
89. Fie vectorii
a.
Sa se calculeze
,
b.
C.
,
90. Fie vectorii
, Sa se calculeze
a.
c.
b.
D.
un
91. Fie un triedru avand ca directii vectorii
. Precizati care dintre. Precizati care dintre
triedrele de mai jos sunt drept orientate (4) (5) (6)
(1) (2) (3) a. (1), (5), (6) b. (2), (5), (6)
c. (2), (4), (6) D. (1), (3), (4)
92. Fie un triedru avand ca directii vectorii
. Precizati care dintre. Precizati care dintre
triedrele de mai jos sunt drept orientate (1) (2) (3)
(4) (5) (6)
a. (1), (4) B. (1), (3), (4)
c. (2), (5), (6) d. (2), (4), (6)
93. Fie un triedru avand ca directii vectorii
mixt
stiind ca
A. 24 b. 26
94. Vectorul
, ortogonali doi cate doi. Calculati produsul . c. d. 10
este ortogonal pe vectorii
Calculati produsul mixt
care formeaza intre ei un unghi de masura
stiind ca
a. b.
. C. 27 d. 36
95. Fie trei vectori
si
produsul mixt al lor. Notam: .
Atunci: a.
B.
c.
d.
.
96. Fie trei vectori
iar,
produsul scalar, respectiv produsul mixt al
lor. Notam: ,
.
Atunci: a. b.
c. D.
97. Fie trei vectori a.
iar
. Atunci:
coplanari ortogonali doi cate
B.
c. d.
doi 98. O conditie necesara si sufucienta ca vectorii a. Egalitatea B. Sa existe c. Egalitatea
99. Fie
sa fie fie coplanari este ca
sa fie satisfacuta pentru nu toti nuli a.i. sa aiba loc egalitatea sa fie satisfacuta
numere reale
trei vectori arbitrari iar .
Atunci: a.
b.
C.
2
ortogonali doi cate doi 100. Fie trei vectori
.
Sa se determine a. b. C.
101. Fie vectorii a. necoplanari
.Atunci vectorii b.
coliniari
C. coplanari
sunt
102. Fie vectorii
.Atunci vectorii
A. necoplanari
b.
sunt
c. coplanari
coliniari
103. Fie vectorii
.Atunci vectorii
sunt A. coplanari
b.
c. necoplanari
coliniari
104. Punctele
sunt
a. varfurile unui
B. coplanare
c. varfurile unui tetraedru
paralelogram de arie 5
de volum 13
105. Punctele
sunt
a. varfurile unui
B. coplanare
c. varfurile unui tetraedru
paralelogram de arie 5
de volum 13
106. Fie punctele
planul
. Atunci distanta de la punctul D la este egala cu
a.
b.
107. Se da un tetraedru
C. 11
. Se dau coordonatele varfurilor , , Sa se determine coordonatele punctului D stiind ca este situat pe axa . A.
,
de volum
b.
c.
108. Care este relatia de calcul pentru dublul produs vectorial a trei vectori
a. B. c.
109. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:
(1) (2) (3) a. (2) b. (1), (2), (3)
c. (1), (2) D. (1), (3)
110?. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:
(1) (2) (3) a. (1), (2) b. (1), (2), (3)
c. (3) d. (1), (3)
111. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:
(1) (2) (3) a. (1), (2) B. (2), (3)
c. (1) d. (1), (2), (3)
112. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:
(1) (2) (3) a. (1), (2) b. (1)
C. (2), (3) d. (3)
113. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:
(1) (2) (3) A. (2), (3) b. (1), (2), (3)
c. (1), (2) d. (1)
114. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:
(1) (2) (3) a. (1), (2), (3) B. (2), (3)
c. (1), (2) d. (1)
115. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:
(1) (2) (3) a. (1) B. (1), (2)
c. (2), (3) d. (1), (2), (3)
116. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:
(1) (2) (3) a. (1), (2) B. (3) 117. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:
c. (2) d. (1)
(1) (2) (3) a. (1), (2) b. (2)
c. (2), (3) D. (3)
118. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:
(1) (2) (3) A. (3) b. (1), (2)
c. (2), (3) d. (2)
119. Care dintre urmatoarele relatii sunt adevarate:
(1) (2) (3) a. (2), (3) B. (1), (3)
c. (1), (2) d. (2)
120. Care dintre urmatoarele relatii sunt false:
(1) (2) (3) A. (2), (3) b. (1), (2)
c. (3) d. (2)
Geometrie Analitica C_Dreapta si planul in spatiu MULTIPLE CHOICE
, spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } . Sa se scrie scrie ecuatia planului care trece prin originea reperului şi are subspatiul director determinat de vectorii v1 = e1 + e2 + e3 şi v2 = e1 − e2 + e3 .
1. Fie
a. b.
2. Fie
C. x1 − x 3 = 0 d.
x1 − x 2 + x3 = 0 x1 − x 2 − x3 = 0
, spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } .Sa se scrie
ecuatia generala a planului ce trece prin punctul P0 (2,1, −1) şi are directia determinata de vectorii v1 = 3e1 + e2 + e3 şi v2 = e1 − e2 + 2e3 a. B.
3. Fie
x 2 + x3 = 0 3 x1 − 5 x 2 − 4 x3 − 5 = 0
c.
x1 + x3 −1 = 0 d. 3 x1 − x 2 + 5 x 3 = 0
, spatiul euclidian real raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } .Sa se scrie
ecuatia generala a planului ce trece prin punctul Q0 (5, −3, 2) şi este paralel cu planul x1Ox3 . a. B.
x1 + 2 x 2 + x3 −1 = 0 x3 − 2 = 0
c.
x1 − x 2 − 4 x3 = 0 d. 3 x1 − x 2 + 5 x 3 = 0
, spatiul afin real raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } , se considera dreptele afine:
4. In spatiul afin real
⎧ ⎪ x1 − 2 x 2 + x3 − 4 = 0 x1 − 2 x 2 + 3 x3 + 1 ⎪ = = şi ( d 2 ) : (d1 ) : ⎨ 1 2 3 ⎪ −2 2 5 ⎪ ⎩2 x + x − x + 2 = 0
Sa se scrie ecuatiile generale ale dreptelor care se sprijina pe (d1 ) şi (d 2 ) şi au subspatiul director, vectorul v = −e1 + 2e2 + e3 . a.
1 2 3 ⎧ ⎪ ⎪5 x + 6 x − 2 x − 8 = 0 ⎨ 1 2 3 ⎪ ⎪ ⎩ x − 6 x − 2 x + 12 = 0
c.
1 2 3 ⎧ ⎪ ⎪−7 x + 6 x + 5 x + 12 = 0 ⎨ 1 2 3 ⎪ ⎪ ⎩ 8x − 5x − 2 x + 3 = 0
b. ⎪ ⎧7 x1 + 6 x 2 − 5 x3 + 12 = 0 ⎪
D. ⎪ ⎧5 x1 + 6 x 2 − 2 x3 + 8 = 0 ⎪
⎨ 1 2 3 ⎪ ⎪ ⎩ 8x + 5x − 2 x − 3 = 0
⎨ 1 2 3 ⎪ ⎪ ⎩8 x + 5 x − 2 x − 3 = 0
, spatiul afin real raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } , se considera dreptele de ecuatii:
5. In spatiul afin real
(d ) :
x1 −1 x 2 − 2 x3 + 1 = = şi −1 1 2
(d ′) :
Sa se determine distanta antre dreptele (d ) şi A.
b.
103 4
6. Ecuatia
B.
( d ′)
c.
17 4
reprezinta in
a. un punct
x1 + 1 x 2 − 3 x 3 + 1 = = −2 2 4
d.
137 4
: c. o dreapta
un plan
d. multimea vida
raportat la reperul cartezian R = {O; e1 , e2 , e3 } , se considera dreptele de ecuatii:
7. In spatiul afin real
(d ) :
x1 −1 x 2 − 2 x3 + 1 = = şi −1 1 2
Sa se determine pozitia relativa a dreptelor (d ) şi a. drepte diferite b. drepte concurente 8. Ecuatia
(1) o dreapta in a. (1),( 2) 9. Multimea punctelor
( d ′)
c. drepte confundate D. drepte paralele
reprezinta (2) un plan in b.
11 4
(1) care verifica:
(3) o dreapta in plan C. (2), (3)
reprezinta: a. doua plane
B.
o dreapta
10. Multimea punctelor
c.
un plan
care verifica:
reprezinta: A. un plan b. un plan c. un plan daca 11. Punctel
care verifica:
reprezinta: A. un punct nesiuat situat in plan b. un punct situat in plan 12. Punctul
care verifica:
reprezinta: A. un punct situat in plan b. un punct nesiuat situat in plan 13. Multimea punctelor
care verifica:
reprezinta: a. un plan care trece prin punctul b. un plan care trece prin origine C. un plan care trece prin punctul
14. Ecuatiile parametrice ale planului ce trece prin punctul
este
si are directiile
(1) (2) a. (1)
B.
15. Planul care trece prin punctul
(1) a.
(2)
si este paralel cu palnul
are ecuatia:
(2) B.
(1)
(2)
16. Ecuatia planului ce trece prin prin punctul
si are directiile
este
(1)
(2)
A. (1)
b.
(2)
17. Ecuatia planului ce trece prin prin punctele
vectorul
,
este
(1)
(2)
A. (1)
b.
(2)
18. Ecuatia planului ce trece prin prin punctul
(1)
si este paralel cu planul
este
(2)
a. (2)
B.
19. Ecuatia planului ce trece prin prin punctele
vectorul
, paralel cu
este
(1) si
si este paralel cu
A.
b.
c.
20. Planul ce trece prin prin punctele
si
si este perpendicular pe planul
are ecuatia generala: a.
b.
C.
21. Ecuatia planului ce trece prin punctele a.
este
b.
C.
22. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie:
a.
B.
23. Determinati versorul normalei la suprafata de ecuatie:
a.
B.
24. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor:
si A. paralele
b. secante
c. confundate
25. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor:
si a. paralele
B.
c. confundate
secante
26. Sa se determine intersectia planelor:
si
a. B.
dreapta de ecuatie: dreapta de ecuatie:
c. multimea vida 27. Sa se determine unghiul diedrul al planelor:
si A.
b.
c.
28. Sa se determine unghiul diedru al planelor:
si a.
b.
C.
29. Sa se determine unghiul diedrul al planelor:
si a.
B.
c.
30. Sa se determine unghiul diedru al planelor:
si A.
b.
31. Determinati valorile parametrilor si
c.
a.i. planele: si
sa fie paralele. a.
B.
32. Determinati valorile parametrilor si
c.
a.i. planele: si
sa fie paralele.
a.
b.
33. Determinati valorile parametrilor si
C.
a.i. planele: si
sa fie perpendiculare. A.
b.
34. Determinati valorile parametrilor si
c.
a.i. planele: si
sa fie perpendiculare. a.
B.
c.
35. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor:
si a.
B.
c.
36. Sa se determine unghiul diedru ascutit al planelor:
si a.
b.
C.
37. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este paralel cu planul:
A.
b.
38. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul
c.
si este paralel cu planul:
a.
B.
c.
39. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul a.
B.
si este paralel cu planul c.
40. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul
si are normala data de
directia dreaptei:
a.
b.
C.
41. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul
si are normala data de
directia dreaptei:
a.
b.
C.
42. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul
si are normala data de
directia dreaptei:
A.
b.
c.
43. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:
A.
b.
c.
44. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe dreapta:
a.
B.
c.
45. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin origine si este perpendicular pe planele:
.
, a.
B.
c.
46. Sa se formeze ecuatia planului ce trece prin punctul
si este perpendicular pe
planele: si a.
b.
C.
47. Care este pozitia relativa a planelor:
, a. Au un punct comun
,
b. Au o dreapta comuna
C. Secante doua cate doua
48. Care este pozitia relativa a planelor:
, a. secante doua cate doua
,
b. au o dreapta comuna
C. au un punct comun
49. Care este pozitia relativa a planelor:
, a. au un punct comun
,
b. secante doua cate doua
50. Determinati valorile parametrilor reali
C. au o dreapta comuna
si a.i. planele:
,
,
sa aibe un punct comun. A.
b.
c.
,
51. Determinati valorile parametrilor reali
si a.i. planele:
,
,
sa aibe o dreapta comuna. A.
,
b.
,
c.
,
52. Determinati valorile parametrilor reali
si a.i. planele:
,
,
sa fie secante doua cate doua. a.
B.
c.
,
,
53. Sa se determine planul care taie axele de coordonate in punctele in care planele
, intersecteaza respectiv, aceste axe. a.
b.
C.
54. Sa se scrie ecuatia planului perpendicular pe planul
in punctele
respectiv,
a.
si taie axele
. b.
C.
55. Sa se stabileasca pozitia punctului a. punct situat in plan
fata de planul B.
56. Sa se stabileasca pozitia punctului a. punct exterior planului
punct exterior planului fata de planul
B.
.
.
punct situat in plan
57. Sa se stabileasca pozitia dreptei
fata de planul . a. dreapta paralela cu
b. dreapta continuta in
planul 58. Sa se stabileasca pozitia dreptei
plan
C. dreapta inteapa planul
si
fata de planul . a. dreapta inteapa planul
b. dreapta continuta in
C. dreapta paralela cu
plan
planul
59. Sa se stabileasca pozitia dreptei
fata de planul . a. dreapta continuta in
b. dreapta inteapa planul
C. dreapta paralela cu
plan
planul
60. Sa se calculeze distanta de la punctul
la planul .
A.
b.
61. Sa se calculeze unghiurile
cu axele de coordonate si distanta
c.
formate de normala la planul
de la origine la acelasi plan.
a. b. C. 62. Sa se calculeze unghiurile
cu axele de coordonate si distanta a. b.
formate de normala la planul
de la origine la acelasi plan.
C. 63. Sa se calculeze unghiurile
formate de normala la planul
de la origine la acelasi plan.
cu axele de coordonate si distanta a. B. c.
64. Sa se calculeze distanta d de la punctul
, a.
la planul ce trece prin punctele
. b.
C.
65. Sa se calculeze distanta d dintre planele:
, A.
.
b.
c.
66. Sa se calculeze distanta d dintre planele:
, a.
b.
C.
67. Doua fete ale unui cub coincid cu planele
si
.
Calculati volumul V al cubului. A.
b.
68. Sa se determine un punct pe axa
c.
situat la distanta
de planul .
A.
b.
,
69. Sa se determine un punct pe axa
c.
, echidistant cu punctul
, si cu planul
. A.
,
b.
70. Sa se determine un punct pe axa
c.
,
,
echidistant cu planele si
A.
,
b.
,
c.
71. Sa se scrie ecuatiile dreptelor de intersectie ale planului
cu planele de coordonate. A.
b.
c.
72. Dreapta
contine a. axa
B.
axa
c. axa
,
73. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor
, si este paralela cu axa
.
a.
b.
C.
74. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor
, si este paralela cu axa
.
A.
b.
c.
75. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor
, si este paralela cu axa a.
. b.
C.
76. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta obtinuta din interesectia planelor
, .
si contine punctul A.
b.
c.
77. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor
, una din directiile sale fiind vectorul . a.
B.
c.
78. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor
,
si este perpendiculara pe planul . A.
b.
c.
79. Sa se scrie ecuatia planului sttind ca proiectiile sale pe planele de coordonate sunt
reprezenztate de dreapta
si este perpendiculara pe planul . a.
b.
C.
80. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta
si este perpendiculara vectorul
, de extremitati .
A.
b.
c.
81. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta de interesectie a planelor
, una din directiile sale fiind vectorul . A. b. c. 82. Sa se scrie proiectiile dreptei
pe planele de coordonate. a.
B.
c.
83. Sa se scrie proiectiile dreptei
pe planul
A.
b.
c.
84. Sa se scrie ecuatia planului a carei proiectie pe planul
este dreapta
a.
b.
85. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei
C.
a.
B.
c.
86. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei
A.
b.
c.
87. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul
vectorul a.
si are ca directie
. B.
c.
88. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul
si este paralela cu
dreapta
A.
b.
c.
89. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul
dreapta
A.
b.
c.
si este paralela cu
90. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul
si este paralela cu
axa A.
b.
c.
91. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul
si este paralela cu
axa A.
b.
c.
92. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctul
si este paralela cu
axa a.
b.
C.
93. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei ce trece prin punctele a.
B.
94. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei
a. b. C.
95. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale dreptei
c.
si
.
a.
b.
C.
96. Sa se scrie ecuatiile vectoriale ale planului a.
,
B.
c.
,
97. Fie triunghiul
de varfuri parametrice ale medianei dusa din varful C. A.
sa se scrie ecuatiile
b.
c.
98. Fie triunghiul
de varfuri canonice ale bisectoarei intreioare unghiului B. a.
b.
sa se scrie ecuatiile C.
99. Sa se determine cosinusul unghiului format de dreptele
si
a.
b.
C.
100. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta
si este paralela cu dreapta
a.
b.
,
C.
Geometrie Analitica D_Conice MULTIPLE CHOICE 1. Sa se precizeze natura conicei
si sa scrie ecuatiile tangentelor
paralele cu dreapta .
.A
b.
Cerc;
c.
Elipsa;
Hiperbola;
2. Sa se determine centrul conicei
daca exista si sa se determine punctele de intersectie cu axele de coordonate a. Hiperbola; B.
;
Elipsa;
,
;
,
c. Nu exista;
3. Determinati punctele de intersectie ale parabolelor
; .A
,
,
,
b.
,
c.
,
4. Sa se precizeze natura conicelor punand in corespondenta (1) (5) cu
(1) (2) (3) (4) (5) .A
(1) elipsa reala; (2) hiperbola nedegenerata; (3) elipsa imaginara; (4)hiperbola degenerata
b. (1) elipsa reala; (2) parabola; (3) hiperbola nedegenerata; (4) elipsa degenerata c. (1) elipsa reala; (2) elipsa imaginara; (3) hiperbola nedegenerata; (4) elipsa
degenerata
5. Sa se precizeze centrul fiecareia dintre urmatoarele conice, daca acesta exista:
(1) (2) (3) (4) (5)
.A
(1)
; (2)
b. (1) c. (1 ) -
; (2) ;
(2) -
; (3) ; (3) ; (3)
;
(4)
;
(4) ; (4)
; (5) -
; (5) ; (5)
6. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt cu centru
(1)
;
(2) (3) (4) (5) .A
(1) (2) (4) (5)
b. (5)
c. (1)
7. Sa se reduca la forma canonica conica
a.
b.
C.
8. Sa se reduca la forma canonica conica
.A
b.
c.
9. Sa se reduca la forma canonica conica
.A
b.
c.
10. Sa se reduca conica la forma canonica
. .A
b.
c.
(2) (5)
11. Sa se reduca conica la forma canonica
. .A
b.
c.
12. Sa se precizeze natura conicei
. a. hiperbola degenerata in doua puncte b. hiperbola echilatera C. hiperbola degenerata in doua drepte
13. Sa se precizeze natura conicei
. a. elipsa imaginara b. elipsa degenerata in doua puncte C. elipsa degenerata intr-un punct
14. Sa se precizeze natura conicei
. a. hiperbola degenerata in doua drepte b. hiperbola imaginara C. hiperbola reala
15. Sa se precizeze natura conicei
.
.A
elipsa reala
b. elipsa imaginara c. elipsa degenerata in doua drepte
16. Sa se reduca conica la forma canonica:
.A
b.
c.
17. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice, sa se precizeze natura
conicelor: (1) (2) (3) (4) (5) (6) asociind numerelor (1) (5), codurile .A
respectiv elipsei, parabolei si hiperbolei.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
b. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
c. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
18. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care dintre
urmatoarele conice este cu centru (1)
(2) (3) (4) (5) (6) a. (3) (4) (5) (6)
b. (2) (3) (4) (6)
C. (1) (2) (4) (6)
19. Calculand eventual invariantul , corespunzator fiecarei conice sa se precizeze care dintre
urmatoarele conice sunt fara centru (1) (2) (3) (4) (5) (6) .A
(3) (5)
b. (1) (2) (4)
c. (4) (6)
20. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip parabolic:
(1) (2) (3) (4) (5)
a. (3)
C. (1) (2) (3) (4) (5)
b. (1) (4) (5)
d. (1) (2) (5)
21. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip eliptic:
(1) (2) (3) (4) (5)
a. (1) (2) (3) (4) (5) b. (1) (2) (5)
c. (1) (4) (5) D. Nici una
22. Sa se precizeze care dintre urmatoarele conice sunt de tip hiperbolic:
(1) (2) (3) (4) (5)
.A
Nici una
b. (1) (2) (3) (4) (5)
23. O conica care poate fi scrisa sub forma:
este de tip
c. (1) (2) (5) d. (1) (4) (5)
a. hiperbola
b. elipsa
C. paraba
24. Pentru o conica de tip parabola, numarul
defineste a. panta dreptei dierctoare b. produsul semiaxelor
a parabolei
C. parametrul parabolei
a si b
25. Sa se determine parametrul fiecareia dintre urmatoarele parabole:
(1) (2) (3) (4)
a. (1)
(2)
(3)
(4)
(2)
(3)
(4)
(2)
(3)
(4)
(2)
(3)
(4)
B.
(1) c. (1) d.
(1)
26. Matricea asociata unei conice este o matrice a. oarecare
27. Invariantii conicei
B.
simetrica
c. antisimetrica
sunt: a.
,
B.
,
c.
,
28. Invariantii conicei
sunt: a.
,
b.
,
C.
,
29. Conica
este de tip a. hiperbola
b. elipsa
C. parabola
b. un punct dublu
c. doua punctesimetrice
30. Conica
este degenerata in .A
doua drepte care trec prin centrul conicei
fata centrul conicei
Geometrie Analitica E_Cuadrice MULTIPLE CHOICE 1. Cuadrica de ecuatie
reprezinta a. un paraboloid eliptic
d.
b. o cuadrica degenerata
E. o sfera
un hiperboloid cu o panza
c. un elipsoid
2. Cuadrica de ecuatie
reprezinta A. un hiperboloid cu o panza
d. un elipsoid
b. un paraboloid eliptic
e. o cuadrica degenerata
c. o sfera
3. Cuadrica de ecuatie
reprezinta a. un elipsoid
d. o sfera
B.
e.
un paraboloid eliptic
c. o cuadrica degenerata
4. Cuadrica de ecuatie
un hiperboloid cu o panza
reprezinta A. un hiperboloid cu o panza
d. un elipsoid
b. o sfera
e. o cuadrica degenerata
c. un paraboloid eliptic
5. Cuadrica de ecuatie
reprezinta a. un elipsoid
d. o cuadrica degenerata
b. un paraboloid eliptic
E.
un hiperboloid cu o panza
a. un paraboloid eliptic
d.
un hiperboloid cu o panza
b. o cuadrica degenerata
e. un paraboloid de rotatie
c. o sfera
6. Cuadrica de ecuatie
reprezinta
C. un paraboloid hiperbolic
7. Cuadrica de ecuatie
reprezinta
a.
un hiperboloid cu o panza
b. un paraboloid de rotatie
D. un paraboloid eliptic e. un paraboloid hiperbolic
c. o cuadrica degenerata
8. Cuadrica de ecuatie
reprezinta a.
un hiperboloid cu o panza
b. o cuadrica degenerata
d. un paraboloid de rotatie e. un paraboloid hiperbolic
C. un paraboloid eliptic
9. Precizati natura conicei de intersectie dintre cuadrica
si planul
A. Elipsa de centru
c.
b. Elipsa de centru
d. Hiperbola de centru
Parabola de parametru
10. Precizati pozitia planului
fata de cuadrica
A. plan tangent
b. plan secant
c. plan exterior
11. Pentru ce valori ale parametrului real
planul
este tangent la elipsoidul
a.
b.
C.
d.
12. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului
fata de elipsoidul
.
a. plan exterior
b. plan secant
C. plan tangent
13. Sa se stabileasca pozitia relativa a planului
fata de cuadrica
. a. plan secant
B.
plan tangent
14. Sa se determine o valoare a parametrului real
este tangent la elipsoidul
c. plan exterior
pentru care planul
. A.
b.
c.
15. Sa se precizeze natura cuadricei
a. paraboloid eliptic
c. paraboloid hiperbolic
B.
d. hiperbolid cu o panza
hiperbolid cu doua panze
16. Sa se precizeze natura cuadricei
a. hiperbolid cu o panza
c. paraboloid hiperbolic
B.
d. hiperbolid cu doua panze
paraboloid eliptic
17. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata
si dreapta
a.
,
B.
,
18. Sa se gaseasca punctele de intersectie dintre suprafata
c.
,
si dreapta
a.
B.
,
c.
,
19. Sa se scrie ecuatia planului tangent la parabolidul
in punctul a.
b.
C.
20. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se calculeze invariantul
corespunzator si sa decida natura cuadricei.
a.
B.
.
c.
.
.
Cuadrica degenerata
Cuadrica nedegenerata
Cuadrica nedegenerata
21. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se calculeze invariantul
corespunzator si sa decida natura cuadricei.
A.
b.
Conica nedegenerata
c.
Conica degenerata
Conica nedegenerata
22. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Determinati invariantul A.
si precizati daca cuadrica este cu centru. b.
.
.
c.
.
Cuadrica cu centru
Cuadrica fara centru
Cuadrica fara centru
23. Fie cuadrica de ecuatie generala
. si
Sa stabileasca pozitia punctelor
.
a. A este pe cuadrica
D. A interior si B exterior
b. Ambele puncte sunt pe cuadrica
e. Ambele puncte sunt exterioare
c. Ambele puncte sunt interioare
24. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa stabileasca pozitia punctelor
si
.
a. A este pe cuadrica
D. A interior si B exterior
b. Ambele puncte sunt pe cuadrica
e. Ambele puncte sunt exterioare
c. Ambele puncte sunt interioare
25. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se calculeze centrul cuadricei, daca acesta exista. a.
b.
C.
26. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se calculeze invariantii , , a.
,
,
B.
,
,
c.
,
,
27. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se scrie matricea formei patratice asociate. A.
b.
c.
28. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se scrie matricea formei patratice asociate. A.
b.
c.
29. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se scrie matricea formei patratice asociate. A.
b.
c.
30. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se scrie matricea
corespunzatoare.
a.
c.
B.
d.
31. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se scrie matricea
corespunzatoare.
a.
C.
b.
d.
32. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se calculeze invariantul
corespunzator si sa stabileasca natura cuadricei.
a.
B.
c.
Cuadrica degenerata
Cuadrica nedegenerata
Cuadrica nedegenerata
33. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se calculeze cuadricei, daca acesta exista. a.
b.
C.
34. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se scrie forma patratica asociata. a. b. C.
35. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se scrie forma patratica asociata. A. b. c.
36. Cuadrica de ecuatie generala
. este o A. Cuadrica nedegenerata
b. Cuadrica degenerata
cu centru
c. Cuadrica nedegenerata
fara centru
fara centru
37. Fie cuadrica de ecuatie generala
. Sa se calculeze invariantii si corespunzatori. a.
b.
,
C.
,
,
38. Matricea asociata unei cuadrice este a. arbitrara
B.
c. antisimetrica
simetrica
39. Cuadrica de ecuatie generala
. reprezinta A. un elipsoid
40. Daca A si
b. un paraboloid
c. un hiperboloid
sunt matricele asociate unei cuadrice, iar ,
a.
,
,
c.
B.
,
,
d.
si corespunzatori, atunci
,
, ,
,