Geometrie Analitica Lectii Bb2
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Geometrie Analitica Lectii Bb2 as PDF for free.
More details
- Words: 18,026
- Pages: 215
Sisteme de ecuatii lineare
Page 1 of 3
Inainte: Transformari elementare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index
Sisteme de ecuatii lineare Sisteme de ecuatii liniare:
(1)
(2)
(3)
In general
Solutii ale sistemelor de ecuatii liniare:
(5)
Numerele
formeaza o solutie a sistemului pentru ca
(6)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de ecuatii lineare
pe de alta parte numerele
Page 2 of 3
nu formeaza o solutie a sistemului pentru ca ele nu
satisfac toate ecuatiile sistemului (7) Se poate arata ca
este unica solutie a acestui sistem.
Definitie 1.1 Un sistem de ecuatii liniare ce admite solutie unica se numeste sistem compatibil determinat. Observatie 1.1 Sistemul
(8)
este un exemplu de sistem compatibil determinat Sistemele pot avea mai multe solutii. De exemplu
(9)
admite solutiile
si
. Verificare pentru
a doua:
(10)
pentru acest sistem o solutie generala e data de formula: unde
este orice numar real. In acest caz
este
numit parametru. Definitie 1.2 Un sistem de ecuatii liniare ce admite mai mult de o solutie(in care caz automat va dmite o infinitate de solutii) se numeste sistem compatibil nedeterminat. Observatie 1.2 Sistemul
(11)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de ecuatii lineare
Page 3 of 3
este un exemplu de sistem compatibil nedeterminat Se poate intampla ca anumite sisteme sa nu aiba nicio solutie. Sistemul
(12)
nu admite nicio solutie. Daca si prin urmare nu se poate ca a doua ecuatie
atunci prin inmultire cu 2 se obtine sa fie satisfacuta.
Definitie 1.3 Un sistem de ecuatii liniare ce admite nu admite nicio solutie se numeste sistem incompatibil. Cum se afla solutiile unui sistem? Metoda substitutiei(invatata in clasa a XI-a).
(13)
Se afla
in functie de
: de unde rezulta ca
din prima ecuatie si se substituie in a doua: ceea ce implica
.
metoda substitutiei este utila in cazul sistemelor de dimensiune mica(putine ecuatii, putine necunoscute). Daca dimensiunea e mare atunci Metoda lui Gauss (sau metoda eliminarilor succesive) ce urmeaza a fi prezentata este mai utila. Deasemenea aceasta metoda se preteaza o executare secventiala pe computer.
Inainte: Transformari elementare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari elementare
Page 1 of 3
Inainte: Metoda lui Gauss Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index
Transformari elementare 1) Se inmulteste una din ecuatiile sistenului cu un numar. Exercitiu 1.1 (inmultim a doua ecuatie cu 2) Notam aceasta transformare simbolic cu
(14)
2) Se inverseaza doua ecuatii din sistem. Exercitiu 1.2 inversam ecuatiile 1 si 3 Notam aceasta transformare simbolic cu
3) Se inmulteste o ecuatie cu un numar real si se aduna la o alta ecuatie din sistem. Exercitiu 1.3 inmultim ec. 1 cu 2 si o scadem din 2-a Notam aceasta transformare simbolic cu
Aceste transformari pot fi utilizate pentru rearanjarea/modificarea ecuatiilor intr-o forma mai accesibila pentru rezolvarea sistemului. De pilda
(17)
Se considera sistemul
(18)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari elementare
Numarul
Page 2 of 3
se numeste pivot. Prima transformare elementara este
adica
Sistemul devine
(19)
Urmatoarea tranformare elementara vizeaza anularea tuturor termenilor de sub si deasupra pivotului, adica , prin urmare efectuam transformarea . Aceasta transformare poate fi efectuata algoritmic doarece stim ca 5 este exact
. Sistemul devine:
(20)
Se trece acum la a doua ecuatie. Noul pivot devine elementul
. Se efectueaza primul pas in
combinatia de transformari elementare ce vizeaza anularea tuturor termenilor de sub si deasupra noului pivot, adica . Se imparte asadar prin pivot ecuatia a doua, si se obtine noua forma a sistemului:
(21)
La fel ca in cazul precedent pentru anularea termenului
se efectueaza transformarea
, adica se scade din ecuatia 1 ecuatia 2 inmultita cu coeficientul termenului ce urmeaza a fi anulat. Se obtine:
(22)
Acesta este si sfarsitul metodei deoarece s-a ajuns la ultima linie si s-au anulat toti termenii de deasupra pivotului de pe ultima linie.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari elementare
Page 3 of 3
Inainte: Metoda lui Gauss Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss
Page 1 of 2
Inainte: Matrici Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Transformari elementare Cuprins Index
Metoda lui Gauss Se considera sistemul:
(23)
Aplicam iar metoda eliminarilor succesive. primul pivot este
. Observati ca daca se
inverseaza ecuatiile 1 si 2 se obtine noul pivot 1deci nu mai e necesara transformarea
.
dar pentru moment sa aplicam metoda direct pe sistemul dat. Impartim deci ecuatia 1 prin pivot
si se obtine:
(24)
Ca si in exemplul anterior efectuam acum transformari vizand anularea termenilor de sub si deasupra pivotului, adica termenii . Sunt necesare deci transformarile si care duc la
Metoda lui Gauss a fost deci aplicata cu succes primei linii. se trece la a doua. Noul pivot devine
, coeficientul corespunzand termenului diagonal..
Transformarea corespunzatoare este
ce duce la
(26)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss
Page 2 of 2
Se vizeaza acum anularea termenilor de sub si deasupra pivotului, adica termenii Sunt necesare deci transformarile
si
. . Dupa efectuarea
trasformarilor se ajunge la:
(27)
(28)
Metoda se opreste aici pentru ca ultima ecuatie nu aduce practic nicio informatie. Ea nu poate fi in niciun fel folosita pentru anularea coeficientilor de deasupra celui de-al treilea 0 din ecuatia a treia. Concluzia este ca
(29)
iar
poate fi orice numar real, cu alte cuvinte sistemul rezolvat este compatibil nedeterminat. De
pilda, dand valoarea
obtinem solutia
.
Inainte: Matrici Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Transformari elementare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Matrici
Page 1 of 3
Inainte: Metoda lui Gauss pe Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss Cuprins Index
Matrici Matricile sunt utilizate pentru stocarea datelor. Scopul este de a usura manipularea acestor date. Sa consideram 3 companii Comp1, Comp2, Comp3 care comercializeaza 2 produse denumite prod1, prod2. Preturile cu care ele comercializeaza aceste produse pot fi stocate sub forma matriceala:
(30)
E suficient sa stocam matricea M
(31)
Asadar o matrice este un tablou de numere ordonate pe linii si coloane. In cazul de fata spunem ca M este pentru ca are 2 linii si 3 coloane. Forma generala a unei matrici
(deci cum m linii, n coloane) este
Se considera sistemul
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Matrici
Page 2 of 3
Se noteaza
se numeste matricea asociata sistemului de mai sus iar sistemului.
se numeste matricea extinsa a
Exercitiu 1.4 Fie sistemul
(33)
Atunci, cu notatiile din definitia precedenta avem ca
Exercitiu 1.5 Sistemul
(34)
nu este compatibil determinat pentru ca
(35)
Noi am demonstrat anterior(cu metoda lui Gauss) ca este compatibil nedeterminat. Sistemul
(36)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Matrici
Page 3 of 3
este compatibil determinat pentru ca
(37)
Inainte: Metoda lui Gauss pe Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss pe matrici
Page 1 of 4
Inainte: Sisteme de inecuatii lineare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Matrici Cuprins Index
Metoda lui Gauss pe matrici Metoda lui Gauss poate fi aplicata direct pe matrici dupa cum urmeaza. Se considera matricea extinsa a sistemului
(38)
adica
(39)
In notatia simbolica inlocuim
ce denumeste ecuatia 1 din sistem cu
matricea extinsa. Se procedeaza la fel pentru pentru
ce denumeste linia 1 din
.
(40)
Se incearca acum eliminarea termenilor de pe a doua coloana cu exceptia elementului diagonal. Noul pivot este . Avem
(42)
Mai departe, se aplica trasformarile elementare ce anuleaza termenii 4/3 si 5/3 de pe a doua coloanaa
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss pe matrici
adica
Page 2 of 4
. Obtinem
Aceasta matrice extinsa corespunde sistemului
(44)
de unde rezulta
(45)
Se considera matricea extinsa a sistemului
(46)
adica
(47)
Primul pivot este 2. Se efectueaza transformarea
(48)
pentru anularea elementelor de pe prima coloana de sub 1 se efectueaza
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss pe matrici
Page 3 of 4
(49)
noul pivot este 2. Deci trebuie efectuata transformarea
(50)
Pentru eliminarea termenilor de sub si deasupra lui 1 pe coloana 2 trebuiesc efectuate transformarile: , ce duca la
(51)
Noul pivot este elementul diagonal de pe linia 3, adica ceea ce ne da
. Impartim linia 3 prin acest pivot:
(52)
Mai departe se vor anula termenii 1.25 si 0.5 de pe coloana 3 prin efectuarea transformarilor . De aici rezulta ca
(53)
Aceasta este matricea extinsa a unui sistem care este echivalent cu cel de la care am plecat. Acest sistem este
(54)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss pe matrici
care are solutia
Page 4 of 4
.
Inainte: Sisteme de inecuatii lineare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Matrici Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de inecuatii lineare
Page 1 of 3
Inainte: Seminar: Sisteme de ecuatii Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss pe Cuprins Index
Sisteme de inecuatii lineare La fel ca sistemele de ecuatii, doar ca in loc de semnul
avem fie
fie
.
De exemplu
(55)
Observatie 1.3 Observam ca putem presupune ca fie numai semnul
fie numai semnul
va
aparea. Intr-adevar, dandu-se sistemul;de inecuatii de mai sus putem inmulti ultima inecuatie cu si in urma schimbarii de semn in inegalitate se obtine
(56)
Daca dorim sa folosim semnul
putem inmulti primele doua inecuatii cu
si se obtine
(57)
Cu aceasta observatie putem presupune ca toate sistemele de inecuatii lineare sunt de tipul
Sistemele de inecuatii liniare pot fi trasformate in sisteme de ecuatii liniare prin folosirea unor
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de inecuatii lineare
necunoscute auxiliare
Page 2 of 3
ce satisfac(impreuna cu necunoscutele
sistemul de ecuatii liniare
(59)
Intr-adevar, daca
sunt solutii ale acestui sistem rezulta, deoarece
sunt negative,
(60)
Sa se rezolve sistemul de inecuatii liniare
(61)
Se considera sistemul linar asociat
(62)
cu
.
Acest sistem se poate rezolva utilizand metoda lui Gauss asa cum a fost arata inainte in ( ). Se porneste cu matricea extinsa a acestui sistem:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de inecuatii lineare
Page 3 of 3
Se porneste cu matricea extinsa a acestui sistem:
(63)
Efectuand aceleasi transformari ca in ( ) se obtine
(64)
ceea ce conduce la
(65)
care e echivalent cu
(66)
deci
(67)
unde
.
Inainte: Seminar: Sisteme de ecuatii Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss pe Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
Page 1 of 6
Inainte: Spatii vectoriale Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de inecuatii lineare Cuprins Index
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare Exercitiu 1.6 Sa se rezolve sistemul de ecuatii
(68)
cu metoda lui Gauss Se considera matricea extinsa a sistemului
(69)
Se efectueaza transformarea
adica
(70)
Se efectueaza transformarile
,
(71)
Impartim apoi
prin al doilea element de pe diagonala
(72)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
Apoi
,
Page 2 of 6
,
(73)
Urmeaza
(74)
si apoi
ce conduce la
(75)
care e matricea extinsa a sistemului
(76)
In cazul in care, la un anumit pas elementul de pe diagonala prin care ar trebui sa impartim este 0, se inverseaza linia respectiva cu o linie de sub ea pentru ca noul element diagonal sa fie diferit de 0. Sa consideram sistemul cu matricea extinsa de mai jos
(77)
pasul 1 in metoda lui Gauss este deja efectuat, ne mutam la linia a doua. Acolo avem un element diagonal egal cu 0, deci vom inversa liniile 2 si 3. Matricea devine
(78)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
Page 3 of 6
Calculul se face in continuare exact ca in exercitiul precedent. Metoda Gauss-Jordan In multe situatii metoda lui Gauss duce la operatii cu multe fractii. O alternativa este folosirea metodei Gauss-Jordan. Sa consideram matricea extinsa din exemplul anterior
(79)
Se alege un element nenul pe prima coloana, de pilda
. Acesta va fi numit pivot.
Numerele din matrice care nu sunt pe aceeasi linie sau coloana cu
se modifica dupa regula
dreptunghiului adica pentru inlocuirea unui numar, de pilda cel de pe linia 2, coloana 2, adica -6 se identifica dreptunghiul cu varfuri diagonal opuse in si adica
(80)
si se pune in locul lui numarul obtinut din produsul numerelor de pe diagonala ce contine pivotul . Punem deci minus produsul numerelor de pe cealalta diagonala, adica pe pozitia 2,2 numarul 2. In acelasi mod punem pe pozitia 2,3 numarul
.
pe pozitia 2,4 numarul
pe pozitia 3,2
pe pozitia 3,3
.
.
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
pe pozitia 2,4
Page 4 of 6
. pe pozitia 3,4
.
Se inlocuieste apoi prima coloana cu exeptia pivotului cu 0. Matricea devine
(81)
Se alege acum ca pivot un element pe a doua coloana, (exceptand cel care e deasemenea pe prima linie), de pilda 2. Vor fi modificate cu regula dreptunghiului toate numerele din matrice cu exceptia celor de pe linia sau coloana pivotului. Avem in pozitia 1,1 -2 in pozitia 1,3 0 in pozitia 1,4 -6 in pozitia 3,1 0 in pozitia 3,3 -10 in pozitia 3,4 -10 Se inlocuieste tot ce e deasupra si sub pivot cu 0. Matricea devine
(82)
Se trece la coloana 3. Automat pivotul trebuie ales numarul de pe pozitia 3,3. Vor fi modificate cu regula dreptunghiului toate numerele din matrice cu exceptia celor de pe linia sau coloana pivotului. in pozitia 1,1 20 in pozitia 1,3 0 in pozitia 1,4 60 in pozitia 2,1 0 in pozitia 2,3 0 in pozitia 2,4 -40 Se inlocuieste coloana 3 cu exeptia pivotului cu 0. Matricea devine
(83)
Sistemul care are aceasta matrice extinsa este
(84)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
iar solutia este
Page 5 of 6
.
Exercitiu 1.7 O firma a raportat in 2004 un profit de 1.5 milioane RON, in 2005 un profit de 1.9 milioane RON iar in 2006 un profit de 2.1 milioane RON. Asumand un model parabolic de crestere a profitului sa se estimeze profitul pe anul 2007. Consideram ca lui 2004 ii corespunde momentul initial 0, lui 2005 ii corespunde momentul 1, lui 2006 momentul 2 iar lui 2007 ii va corespunde momentul 3. Consideram functia
care asociaza fiecarui moment profitul firmei la acel moment. Vom avea deci
(85)
Deoarece se considera ca profitul creste parabolic se incearca gasirea unei functii care sa satisfaca conditiile
cu
alte cuvinte
(86)
Acest sistem se poate rezolva cu metoda lui Gauss si rezulta Urmeaza ca la momentul
.
profitul este
.
Algoritm (Metoda lui Gauss cum a fost descrisa aici): ----------------------for Daca
se inverseaza
cu o linie
cu
si
.
for
(87)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
Page 6 of 6
end end -----------------------
Inainte: Spatii vectoriale Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de inecuatii lineare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Page 1 of 5
Inainte: Combinatie liniara. Sistem de Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale Cuprins Index
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati Exemplu 2.1 Sa consideram multimea numerelor reale relatii: 1.
. Numerele reale satisfac urmatoarele
pentru oricare doua numere reale
2.
.
pentru oricare trei numere reale
3.
pentru
.
. Deci exista un astfel de numar ,0, asa ca
. 4. pentru orice
, adica
admite un element
asa ca
.
5.
, pentru orice
6.
, pentru orice
7.
8.
, pentru orice
, pentru orice
.
.
.
.
Spunem in acest caz ca multimea a numerelor reale formeaza cu operatia de adunare si inmultire cu numerele reale un spatiu vectorial. Exemplu 2.2 Sa consideram multimea cuplurilor de numere reale . Definim operatia de adunare a elementelor din
ca
fiind adunarea pe componente equation(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)de pilda pentru avem ca
Observatie 2.1 Se observa ca suma a doua elemente produce un alt element ce este deasemenea in . Definim operatia de inmultire cu numere reale ca fiind inmultirea pe componente
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Page 2 of 5
equation&alpha#alpha;(x,y)=(&alpha#alpha;x,&alpha#alpha;y) de pilda pentru
avem ca
Observatie 2.2 Se observa ca inmultirea unui element cu un numar real produce un alt element ce este deasemenea in .
Atunci cu aceste operatii
1.
definite anterior elementele din
satisfac urmatoarele relatii:
pentru oricare doua elemente cu
. Explicatie: avem ca deoarece
. aplicand
regulile de adunare ( ) avem ca
2.
pentru oricare trei elemente
. Avem ca
de unde rezulta ca equation(v+w)+z= ((x_1,y_1)+(x_2,y_2))+(x_3,y_3)=(x_1+x_2,y_1+y_2)+(x_3,y_3)=
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Spunem in acest caz ca multimea
Page 3 of 5
a cuplurilor de numere reale formeaza cu operatia de adunare
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Page 4 of 5
pe componente si inmultire cu numerele reale un spatiu vectorial. a lui Exemplu 2.3 Sa consideram submultimea . Avem ca
definita prin dar
.
Atunci deasemenea multimea formeaza cu operatia de adunare pe componente si inmultire cu numerele reale un spatiu vectorial descrise in , . Pentru a arata aceasta trebuie sa aratam ca operatiile de adunare in V si inmultire cu numere real au proprietatea ca produc deasemenea elemente in V (vezi observatiile , ) si ca aceste operatii satisfac proprietatile 1-7 din [ ]. Intr-adevar, daca
cu
atunci , prin urmare
suma este deasemenea in V.
Proprietatile 1-7 se arata la fel ca in [ ]. Verificam numai prima proprietate: pentru oricare doua elemente cu
. Explicatie: avem ca deoarece
. aplicand regulile de
adunare ( ) avem ca
Trecem acum la definitia matematica a spatiilor vectoriale. Fie V o mutime nevida si un corp . De cele mai multe ori va fi fie corpul numerelor reale fie corpul numerelor complexe. Se da o lege de compozitie interna pe V adica o functie si o lege de compozitie externa adica o functie
.
Definitie 2.1 V formeaza un spatiu vectorial(sau liniar) peste corpul 1.
pentru oricare doua elemente
2.
.
pentru oricare trei elemente
3. Exista un element notat 4. pentru orice
daca
exista
asa ca
. pentru
asa ca
.
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Page 5 of 5
5.
, pentru orice
6.
, pentru orice
7.
8.
.
.
, pentru orice
, pentru orice
.
.
Elementele lui V se numesc vectori, elementele lui
se numesc scalari.
In mod similar cu exemplul [ ] in care a fost definit spatiul vectorial se definesc spatiile vectoriale ce sunt formate din toate n-uplele de numere reale: equation ^n = { (x_1,x_2,...,x_n)|x_1,x_2,...,x_n&isin#in;
}
cu operatiile de adunare si scadere equation(x_1,x_2,...,x_n)+(y_1,y_2,...,y_n)=(x_!+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n),&alpha#alpha; (x_1,x_2,...,x_n)=(&alpha#alpha;x_1,&alpha#alpha;x_2,...,&alpha#alpha;x_n) Exemplu 2.4 Aratati ca multimile equation V_1={ (x,-x)|x &isin#in; } formeaza spatii vectoriale peste , ].
}, V_2={ (x,0)|x &isin#in;
cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [
Aratati ca multimile equation V_3={ (x,2x-2)|x &isin#in; }, V_4={ (x+1,-x)|x &isin#in; } nu formeaza spatii vectoriale peste cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [ , ]. Exemplu 2.5 Aratati ca multimile equation V_1={ (x,y,x+y)|x &isin#in; &isin#in; } formeaza spatii vectoriale peste ] cu .
}, V_2={ (x,-y,x-2y)|x
cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [
Inainte: Combinatie liniara. Sistem de Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Combinatie liniara. Sistem de generatori
Page 1 of 2
Inainte: Sistem liniar independent Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale. Definitie si Cuprins Index
Combinatie liniara. Sistem de generatori Definitie 2.2 Un vector
este combinatie liniara a vectorilor
daca exista
asa ca
Exemplu 2.6 In spatiul vectorial si
vectorul
este o combinatie liniara a vectorilor
pentru ca
In spatiul vectorial
vectorul
nu este o combinatie liniara a vectorilor
si
pentru ca daca ar fi atunci am avea
de unde egaland componentele de pe pozitia trei ar rezulta ca 3=0, absurd. Definitie 2.3 Vectorii vector
formeaza un sistem de generatori pentru V daca orice
este o combinatie liniara de vectori
Exemplu 2.7 In spatiul vectorial
vectorii
pentru ca pentru orice vector
adica
vectorul
si
formeaza un sistem de generatori
avem ca
este o combinatie linara a vectorilor
In spatiul vectorial
.
si
.
nu este o combinatie liniara a vectorilor
si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Combinatie liniara. Sistem de generatori
Page 2 of 2
nu formeaza un sistem de generatori pentru V deoarece vectorul scris ca o combinatie liniara a vectorilor
si
nu poate fi
(am arata acest lucru in [ ].
Inainte: Sistem liniar independent Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale. Definitie si Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sistem liniar independent
Page 1 of 2
Inainte: Baza unui spatiu vectorial Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Combinatie liniara. Sistem de Cuprins Index
Sistem liniar independent Definitie 2.4 Vectorii
sunt liniar independenti daca relatia
implica
.
Exemplu 2.8 In spatiul vectorial
vectorii
si
sunt linear independenti pentru ca daca
atunci
de unde rezulta ca
In spatiul vectorial
.
vectorii
nu sunt linear independenti pentru
ca
Exemplu 2.9 Aratati ca doi vectori
sunt linear independenti daca
si numai daca
(89)
Exemplu 2.10 Aratati ca n vectori
sunt linear independenti daca si numai daca
nuciunul nu este o combinatie liniara a celorlalti.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sistem liniar independent
Page 2 of 2
Definitie 2.5 Opusul notiunii de indepenedenta lineara este notiunea de dependenta lineara: Vectorii sunt liniar dependenti daca exista nu toi nenuli astfel incat
Exemplu 2.11 Vectorii
sunt linear dependenti pentru ca In general daca
vectori
atunci sistemul
este o combinatie liniara de
este liniar dependent.
Inainte: Baza unui spatiu vectorial Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Combinatie liniara. Sistem de Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Baza unui spatiu vectorial
Page 1 of 3
Inainte: Transformari liniare Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Sistem liniar independent Cuprins Index
Baza unui spatiu vectorial Definitie 2.6 Vectorii
formeaza o baza a spatiului vectorial
daca ei
sunt liniar independenti si formeaza un sistem de generatori pentru V. Exemplu 2.12 Vectorii
formeaza o baza a spatiului vectorial
pentru ca (a fost
aratat inainte) ca ei sunt linear independenti si ca formeaza un sistem de generatori pentru Teorema 2.1 Daca vectorii
.
formeaza o baza a spatiului vectorial
atunci pentru orice vector
exista scalari unici
asa ca
Exemplu 2.13 Sa consideram spatiul vectorial n-dimensional baza canonica) este formata din vectorii unitari
. O baza a acestui spatiu(numita . Sa aranjam acesti vectori pe
coloane. Pentru orice vector
avem ca
(90)
Exemplu 2.14 Fie
o baza a spatiului vectorial cu
atunci
este deasemenea o baza.
Cum se verifica linear-independenta unui sistem de vectori? Matricea vectorilor se obtine punand vectorii pe coloane, unul langa altul. Daca
atunci matricea acestori doi vectori e data de
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Baza unui spatiu vectorial
Page 2 of 3
(91)
Daca
atunci matricea acestor trei vectori e data
de
(92)
Daca
atunci matricea acestor trei vectori e data de
(93)
Teorema 2.2 Un sistem de vectori
formeaza un sistem liniar independent daca si
numai daca rangul matricei vectorilor este egal cu numarul vectorilor. Teorema 2.3 Un sistem de vectori determinatul matricei vectorilor
formeaza o baza in
daca si numai daca
este diferit de 0.
Sa aratam ca daca
formeaza o baza atunci determinantul matricei vectorilor este
diferit de 0.
Sa presupunem ca equationv_1= (
Deoarece coeficienti unici
sau, folosind scrierea
), v_2= (
), , v_n= (
formeaza o baza rezulta ca dat fiind un vector
)
exista
asa ca
, avem ca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Baza unui spatiu vectorial
equationx_1 (
), +x_2 (
Page 3 of 3
), + x_n (
)= (
)
Cu alte cuvinte, adunanda pe componente rezulta ca
equation(
)= (
prin urmare coeficientii
)
formeaza solutia unica a sistemului
.
Deci acest sistem e compatibil determinat si ca urmare matricea asociata lui(care este si matricea vectorilor ) are determinantul diferit de 0. Invers, daca aceasta matrice are determinantul diferit de 0 implica faptul ca sistemul are solutie unica prin urmare exista coeficienti unici asa ca egalitatea sa fie adevarata. De aici rezulta ca formeaza o baza.
Inainte: Transformari liniare Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Sistem liniar independent Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 1 of 5
Inainte: Vectori si valori proprii Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Baza unui spatiu vectorial Cuprins Index
Transformari liniare este transformare liniara daca 1.
pentru oricare doi vectori
2.
pentru oricare doi vectori
Exercitiu 2.1 Fie
Sa se arate ca
.
.
cu
este o transformare liniara.
Solutie: Fie
,
atunci
Avem deci ca
Pe de alta parte si deci
care e egal cu
. Concluzia este ca
.
Aratam acum a doua proprietate: de unde rezulta ca
Pe de alta parte
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 2 of 5
de unde rezulta ca
. Propozitie 2.1 Daca T este transformare liniara atunci avem ca
Matricea asociata unei transformari liniare baza in V,
baza in
intr-o pereche de baze. Fie
. Descompunem fiecare vector in baza
dupa cum urmeaza
(94)
Matricea asociata lui
in bazele
,
este prin definitie
(95)
Formal, putem scrie egalitatile 187 in forma
Acum, daca un vector
se descompune pe baza atunci utilizand proprietatea
sub forma ca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 3 of 5
si putem scrie aceasta egalitate formal dupa cum urmeaza
resulta atunci formula pentru coordonatele lui
in baza
Exercitiu 2.2 Se considera canonica a lui
:
. Sa se afle matricea lui
in baza
.
Avem ca
Matricea lui
in baza canonica este
Deoarece coordonatele vectorului pentru coordonatele vectorului
in baza canonica sunt
resulta din
in baza canonica este
Formula ne da intr-adevar coordonatele corecte deoarece
Exercitiu 2.3
ca formula
. Calculati matricea lui
.
in baza canonica.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 4 of 5
Matricea lui T se obtine punand vectorii coordonatelor pe coloane:
deci
Exercitiu 2.4 Sa se afle matricea lui
in baza
.
Deci
Sa consideram vectorul sunt
Vrem sa aflam coorodnatele lui
deci cocordonatele lui
in baza
.
in aceeasi baza. Formula
ne da direct ca aceste coordonate
sunt
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 5 of 5
Sa facem o verificare. Utilizand formula de definitie a lui Deasemenea acea baza sunt
avem ca
.
si prin urmare intr-adevar coordonatele lui
in
.
Inainte: Vectori si valori proprii Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Baza unui spatiu vectorial Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Page 1 of 6
Inainte: Vectori liberi Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Transformari liniare Cuprins Index
Vectori si valori proprii Definitie 2.7 Fie o transformare liniara
pentru un numar real sau complex lui
iar
si un vector
este un vector propriu al lui
Exercitiu 2.5 Fie
. Daca exista relatia
spunem ca
asociat valorii proprii
,
valoare proprie a lui
iar
este o valoare proprie a lui . Atunci
este un vector propriu al lui
e
asociat lui
pentru ca
iar
adica
.
Observatie 2.3 Observati ca in exemplul de mai sus propriu asociat lui real.
. In general, orice
este vector propriu asociat lui
este deasemenea vector . Aici
este numar
bf Cum se afla valorile proprii ale unei transformari liniare date? Consideram matricea asociata lui intr-o baza oarecare a lui . Daca putem alege aceasta baza sa fie baza canonica deoarece in acest caz calculele ce urmeaza a fi efectuate sunt mai usor de facut. Sa notam coeficientii matricei A dupa cum urmeaza
Se formeaza urmatorul polinom numit polinomul caracteristic asociat lui caracteristic asociat lui T)
(sau polinomul
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Radacinile lui
Page 2 of 6
(adica solutiile ecuatiei
) sunt exact valorile proprii ale lui
spune si ca aceste radacini sunt valorile proprii ale matricii Exercitiu 2.6 Sa se afle polinomul caracteristic
. Se mai
.
si toate valorile proprii ale transformarii
, Solutie: In baza canonica matricea asociata transformarii
prin urmare polinomul caracteristic al lui
este
este dat de formula
Pentru a afla valorile proprii consideram ecuatia
cu radacinile
. Deci valorile proprii sunt
Exercitiu 2.7 Sa se afle polinomul caracteristic
.
si toate valorile proprii ale transformarii
,
Solutie: Matricea lui transformarii este
in baza canonica a lui
este Solutie: In baza canonica matricea asociata
Polinomul caracteristic este prin urmare
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Page 3 of 6
Rezulta ca valorile proprii sunt solutiile ecuatiei
deci ele sunt
numarata de doua ori si
.
bf Cum se afla vectorii proprii ale unei transformari liniare date? Mai intai se afla dupa metoda descrisa anterior valorile proprii
dupa care pentru
fiecare valoare proprie in parte se calculeaza vectorii proprii corespunzatori. Sa ii calculam pentru prima valoare proprie , pentru celelealte se calculeaza la fel. Dupa definitia
vectorii proprii
corespunzatori valorii proprii
trebuie sa satisfaca
Egalitatea de mai sus este de fapt un sistem liniar ce poate fi rezolvat pentru componentele vectorului pe care incercam sa-l calculam. Daca are matricea
intr-o anumita baza iar
are coordonatele
in acea baza sistemul
se scrie
sub forma
adica
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Page 4 of 6
(96)
Aceasta formula ne da indicatia cum sa calculam vectorii proprii asociati unei valori proprii : Se construieste sistemul ( ) si apoiu se rezolva acest sistem pentru in baza aleasa.
Exercitiu 2.8 S-a demonstrat inainte in sunt
ca valorile proprii al transformarii , . Sa se afle pentru fiecare valoare proprie un vector
propriu asociat. Solutie: Sa aflam un vector propriu pentru valoarea proprie transformarii
Sistemul
. In baza canonica matricea asociata
este
devine
adica
de unde rezulta ca
adica
. Putem spune ca multimea vectorilor proprii
este formata din vectorii de forma
care e echivalenta cu (97) Un vector propriu este de pilda
.
este de asemenea un vector propriu
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
deoarece este in multimea
Page 5 of 6
.
Sa aflam un vector propriu pentru valoarea proprie Atunci cand
sistemul
.
devine
adica
de unde rezulta ca
adica
. Putem spune ca multimea vectorilor proprii este
formata din vectorii de forma
care e echivalenta cu (98) Un vector propriu este de pilda deoarece este in multimea
.
este de asemenea un vector propriu
.
, Exercitiu 2.9 S-a demonstrat inainte in ca valorile proprii al transformarii sunt . Sa se afle vectorii proprii asociati valorii proprii . Solutie: In baza canonica matricea asociata transformarii
Sistemul
este
devine
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Page 6 of 6
adica
ceea ce revine la
(99)
Incercam sa descriem mutimea tuturor solutiilor acestui sistem. Prima coordonata in timp ce urmatoarele doua coordonate satisfac ecuatia
adica
poate fi orice, . Putem
spune ca multimea vectorilor proprii este formata din vectorii de forma
Deoarece
multimea de mai sus poate fiscrisa sub
forma (100) Doi vectori proprii care geneareaza aceasta multime si sunt linear independenti(demonstrati!) sunt si .
Inainte: Vectori liberi Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Transformari liniare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.
Page 1 of 3
Inainte: Vectori coliniari si coplanari. Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi Cuprins Index
Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar. Notam cu
spatiul euclidian tridimensional ale carui proprietati au fost studiate la geometria
elementara din liceu, iar cu V multimea vectorilor liberi asociati lui
.
Vectori liberi. Dupa cum se stie din geometria elementara, fiecarei perechi ordonate de puncte din
i se asociaza segmentul orientat
denumit vector legat. Marimea
vectorului legat
este egala cu distanta
atunci vectorul
se numeste vectorul legat nul.
Definitie 3.1 Doi vectori legati
dintre punctele P si Q. Daca d(P,Q)=0,
si
numesc echipolenti si se scrie
a
se daca
sunt amandoi nuli sau sunt paraleli si au acelasi sens si aceeasi marime (fig. 43). Definitie 3.2 Multimea vectorilor legati care sunt echipolenti cu vectorul legat vectorul liber definit de
se numeste .
Acest vector are prin definitie marimea, directia si sensul lui
.
Definitie 3.3 Un vector liber de marime unitara se numeste versor
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.
Page 2 of 3
Figura 1: Doi vectori paraleli. Vectorul liber definit de perechea de puncte (P,P) se noteaza cu observa ca vectorul are marimea nula si directia nedeterminata. Daca
este vectorul liber definit de
numeste vectorul opus lui
si se numeste vectorul nul. Se
atunci vectorul liber definit de
se noteaza
si se
.
Operatiile cu vectori liberi se definesc prin operatii intre vectori legati corespunzatori rezultatul lor fiind insa independent de alegerea vectorilor legati. Tinand cont de aceasta se pot vizualiza si vectori liberi prin segmente orientate. Definitie 3.4 Suma
a doi vectori liberi
,
se obtine dupa regula paralelogramului (fig.
2, prima imagine) sau a triunghiului(fig. 2, a doua imagine).
Figura: : Regula paralelogramului in prima imagine, regula triunghiului in a doua. Observatie 3.1 Daca un contur format din mai multi vectori se inchide atunci suma lor este nula. Proprietati 3.1 Fie
vectori liberi oarecare. Atunci au loc urmatoarele proprietati:
(101)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.
Definitie 3.5 Prin inmultirea unui vector liber avand aceeasi directie ca si dupa cum
sau
, marimea
cu un scalar
Page 3 of 3
se obtine un vector
si avand sensul lui
sau contrar lui
.
Proprietati 3.2 Inmultirea dintre un vector si un scalar are proprietatile urmatoare:
Proprietati 3.3 Adunarea vectorilor este distributiva fata de inmultirea cu un scalar: (102) Proprietatile de mai sus arata ca multimea vectorilor liberi V este un spatiu vectorial peste R.
Inainte: Vectori coliniari si coplanari. Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
Page 1 of 4
Inainte: Produsul scalar a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Cuprins Index
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala. Definitie 3.6 Doi vectori
se zic coliniari daca au aceeasi directie.
Teorema 3.1 Doi vectori sunt coliniari daca si numai daca sunt liniar dependenti. Demonstratie: Fie doi vectori coliniari
si
. Atunci ei au acelasi versor: (103)
de unde
(104)
unde
. Reciproc, daca
si
sunt liniar dependenti atunci
(105)
$$ Observatie 3.2 Relatia de coliniaritate vectori este adica . Cand
ne arata ca si raportul marimilor celor doi vectorii au sensuri opuse iar
ei
sunt opusi. Definitie 3.7 Trei vectori situati in acelasi plan sau paraleli cu acelasi plan se numesc vectori coplanari.
Definitie 3.8 Fie trei vectori coplanari
pe
care ii deplasam astfel incat sa aiba aceeasi origine. (fig. 3)Se duce prin si
, extremitatea vectorului atunci
, .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
deoarece
Vectorii vectorului
si
si
deci
se numesc componentele
dupa directiile vectorilor
s-a descompus vectorul si
Page 2 of 4
si
. Astfel
dupa directiile vectorilor
.
Figura 2: Descompunerea unui vector dupa doua directii. Teorema 3.2 Descompunerea unui vector dupa directiile a doi vectori este unica. Demonstratie: Presupunem ca descompunerea nu ar fi unica, adica unde
prin urmare
si
si
sau
sunt coliniari, nu se poate, deci
contrazice ipoteza. Deci
si
si
atunci
sau
,
.
$$ Teorema 3.3 Trei vectori sunt coplanari daca si numai daca sunt liniar dependenti. Demonstratie: Daca
sunt liniar dependenti atunci
(106)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
si fie
Page 3 of 4
, atunci
(107)
deci vectorul
este descompus dupa directiile
si
, deci cei trei vectori sunt coplanari.
Reciproc este evident. $$ Teorema 3.4 Spatiul vectorial real al vectorilor liberi din
are dimensiunea 3.
Demonstratie: exercitiu. $$ Observatie 3.3 Analog se poate descompune un vector dupa trei directii necoplanare, iar descompunerea este unica. Definitie 3.9 Expresia care da descompunerea unui vector dupa trei axe rectangulare se numeste expresia analitica a vectorului, adica ,
unde:
,
este baza ortonormata.(vezi Algebra liniara).
Definitie 3.10 (Proiectia unui vector) Fie vectorul pe care il proiectam pe axa
(fig.4)
Proiectia lui
adica segmentul
o notam
(proiectia lui
pe axa x). Notam cu
unghiul format
de directia vectorului cu directia axei(adica versorul atunci exista relatia (108)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
Page 4 of 4
Figura 3: . Teorema 3.5 Proiectia sumei vectorilor dintr-un contur poligonal este egala cu suma proiectiilor vectoriale. Demonstratie: evidenta $$
Inainte: Produsul scalar a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Produsul scalar a doi vectori
Page 1 of 2
Inainte: Produsul vectorial a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori coliniari si coplanari. Cuprins Index
Produsul scalar a doi vectori Notiunea de produs scalar se cunoaste de la algebra liniara. Fie ,
. Pentru
notam cu
spatiul vectorilor liberi si
unghiul dintre vectorii
Teorema 3.6 Functia
si
definita prin
este un produs scalar pe
.
Demonstratie: evidenta. $$ Observatie 3.4 Expresia analitica a produsului scalar a doi vectori este , deoarece
Unghiul a doi vectori nenuli este dat de
(109)
Prin urmare
ceea ce implica . Daca deoarece
sau
si au acelasi sens atunci produsul lor scalar este .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Produsul scalar a doi vectori
Page 2 of 2
Propozitie 3.1 Produsul scalar a doi vectori este egal cu marimea unuia dintre ei inmultita cu proiectia celuilalt pe el. Demonstratie: Prin definitie dar
deci
.
$$ Propozitie 3.2 Produsul scalar este distributiv fata de adunarea vectorilor.
Inainte: Produsul vectorial a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori coliniari si coplanari. Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.
Page 1 of 2
Inainte: Seminarul 1 Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul scalar a doi Cuprins Index
Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori. Definitie 3.11 Produsul vectorial al vectorilor liberi nenuli si neparaleli
si
a carui directie este perpendiculara pe planul vectorilor corespunde miscarii burghiului drept daca se roteste
spre
si
este vectorul , al carui sens
cu burghiul
dintre cei doi
vectori si a carui marime este egala cu aria paralelogramului construit pe cei doi vectori adica
si
Observatie 3.5 1) Daca cel putin unul dintre vectorii si este nul sau daca vectorii sunt paraleli, produsul vectorial este egal prin definitie cu 0. 2) Produsul vectorial a doi vectori este o aplicatie biliniara de la la . Acestui vector ii corespunde tripletul ordonat de numere numite coordonatele euclidiene ale vectorului
in raport cu baza
. Vom scrie
.
Figura 4: . Definitie 3.12 Se numeste reper cartezian in originea reperului iar ale vectorului de pozitie
multimea
. Punctul
se numeste
se numeste baza reperului. Coordonatele euclidiene se numesc coordonatele carteziene ale punctului M fata de
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.
reperul ortonormat
Bijectia dintre
unde
si
determinata prin fixarea reperului cartezian se numeste
sistem de coordonate cartezienesi se noteaza prin
Versorilor
Page 2 of 2
.
le atasam axele de coordonate Ox, Oy, Oz care
au acelasi sens cu sensul pozitiv al acestor versori. Coordonatele carteziene ale punctului M reprezinta marimile algebrice ale proiectiilor ortogonale ale vectorului coordonate(fig. 6)
pe cele trei axe de
Axele au ecuatiile: cele trei axe determina trei plane xOy, yOz, zOx numite plane de coordonate care au ecuatiile: xOy: z=0, yOz: x=0, zOx: y=0. Cele trei plane de coordonate impart spatiul in opt regiuni numite octante.
Figura 5: .
Inainte: Seminarul 1 Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul scalar a doi Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 1 of 12
Inainte: Dreapta in spatiu Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul vectorial a doi Cuprins Index
Seminarul 1 Adunarea, scaderea si inmultirea cu scalari a vectorilor. Exercitiu 3.1 Consideram vectorul
si vectorul
. Sa se afle numarul aceeasi directie ca vectorul
Demonstratie: Sa notam cu
Daca
si
pentru ca suma celor doi vectori sa aiba
.
suma celor doi vectori, deci
au acceasi directie inseamna ca unul e multiplu de celalalt, deci
pentru un numar real
. Prin egalarea componentelor deducem ca
De unde rezulta ca
. $$
Exercitiu 3.2 Asupra unui obiect actioneaza doua forte ca in figura 7, unde ,
,
si
. Sa se gaseasca forta rezultanta.
Demonstratie: Forta rezultanta este suma celor doua forte. Avem
si
.
Va rezulta ca
si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 2 of 12
.
Prin sumare se obtine apoi
.
Figura 6: . $$ Exercitiu 3.3 Sa se gaseasca un vector lungime ca vectorul Demonstratie: Daca
care e paralel cu vectorul
si are aceeasi
. si
sunt paraleli inseamna ca vectorul
se poate obtine din
prin inmultire cu un scalar:
Lungimea lui
este
si ea trebuie sa fie egala cu . Urmeaza ca
si deci
. Deci
. Sunt deci doi vectori ce satisfac conditiile problemei
anume
$$ Exercitiu 3.4 Sa se descompuna vectorul
pe directiile
si
.
Demonstratie:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 3 of 12
Trebuie sa gasim scalarii
si
asa ca .
Egaland componentele vectorilor gasim ca:
Deci
. Descompunerea este: .
Figura 7: . $$ Exercitiu 3.5 Cu ce forta trebuie sa actionam asupra unui obiect de masa 1000Kg pe directia (fig. 1) pentru ca sub actiunea acestei forte obiectul sa se deplaseze pe orizontala? Demonstratie: Forta
trebuie sa aiba aceeasi directie ca
si prin urmare putem scrie un numar real
pentru
. Forta de greutate
e data de
formula este masa obiectului iar
unde este acceleratia
gravitationala. Forta rezultanta este suma celor doua forte:
Pentru ca obiectul sa se miste pe orizontala trebuie ca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 4 of 12
forta rezultanta sa fie pe directia orizontala si deci a doua componenta a ei va trebui sa fie 0:
Figura 8: . si deci
. In concluzie
. $$ Produs Scalar
Exercitiu 3.6 Sunt folosite doua formule pentru calcularea produsului scalar a doi vectori si
Pe de o parte
(110) pe de alta parte (111) unde
este unghiul dintre cei doi vectori. Demonstrati ca cele doua formule sunt echivalente.
Demonstratie: Din figura rezulta descrierea in coordonate polare a celor doi vectori: si
Reprezentarea polara a celor doi vectori este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 5 of 12
Va resulta ca formula (10) e echivalenta cu
Figura 9: .
A doua formula (11) devine
si
deci cele doua formule sunt echivalente. Pentru vectori in spatiu o solutie similara poate fi data. Aplicand teorema lui Pitagora generalizata gasim ca:
Utilizand formula
rezulta ca
Figura 10: . $$ Exercitiu 3.7 (Lucrul mecanic) Asupra unui obiect actioneaza o forta rezultanta
de marime
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 6 of 12
20N ce face un unghi de cu axa orizontala. Obiectul e deplasat sub actiunea acestei forte pe o panta de inclinatie (ca in figura (12) pe distanta 20m. Sa se afle lucrul mecanic efectuat de forta. Demonstratie: Atunci cand forta e constanta ca marime vectoriala iar deplasarea se face pe o linie dreapta lucrul mecanic efectuat de forta e dat de formula:
. In cazul nostru pentru calculul lucrului mecanic vom utiliza formula (11):
Figura 11: . $$ Exercitiu 3.8 (Ortogonalitate) Consideram doi vectori
. Gasiti
pentru ca Demonstratie: Daca cei doi vectori sunt perpendiculari produsul lor scalar trebuie sa fie egal cu 0 ceea ce implica si deci . $$ Exercitiu 3.9 (Ortogonalitate) Consideram curba de ecuatie carteziana fig. (13). Sa se afle un vector normal la curba in punctul
din
.
Demonstratie: Stim ca derivata functiei
evaluata la
panta liniei tangente la graficul lui
ne va da
in punctul
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 7 of 12
Aceasta panta este dreptei prin
este
. Prin urmare ecuatia
si de panta este . Un alt punct pe aceasta dreapta . Va rezulta ca este un
vector tangent la curba vector normal la curba in perpendicular pe
in punctul
. Un
este atunci un vector
, de exemplu
Figura 12: . $$ Exercitiu 3.10 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vetoriala a vectorului pe vectorul fara utilizarea formulei de calcul a proiectiei. Demonstratie: Sa notam
proiectia lui
proiectie are aceeasi directie ca si pentru un numar
pe
. Aceasta
prin urmare pe care urmeaza sa-
l aflam. Conditia satisfacuta de proiectie este ca
Inlocuind gasim ceea ce implica
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 8 of 12
Figura 13: . si deci
de unde rezulta ca
prin urmare
$$ Exercitiu 3.11 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vetoriala a vectorului pe un plan paralel cu vectorii si Demonstratie: Deoarece aceasta proiectie plan paralel la vectorii
e continuta intr-un si
ea va fi o combinatie
liniara de cei doi vectori: (112) Pe de alta parte, paralel la
si
fiind proiectia lui
pe un plan
trebuie ca vectorul
sa fie perpendicular pe acest plan(vezi fig. (15) , prin urmare va fi perpendicular si pe vectorii
si
. Vom avea deci
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 9 of 12
Figura 14: .
(113)
Utilizand formula (12) rezulta
(114)
Avem
Inlocuind in (14) gasim ca
(115)
Rezolvand acest sistem gasim
si
. Prin urmare, proiectia lui
este
(116) $$ Exercitiu 3.12 (Proiectia ortonormala) Sa se afle distanta de la punctul paralel cu vectorii
si
la planul
ce trece prin origine.
Demonstratie: Avem exact numerele din problema anterioara cu amanuntul ca punctul aici este varful vectorului de pozitie din problema anterioara.
de
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 10 of 12
Prin urmare distanta de la
la planul paralel cu
si
ce
trece prin origine va fi exact lungimea vectorului ce pointeaza de la varful lui
la varful lui
care e exact diferenta acestor doi vectori, vom avea deci
$$ Exercitiu 3.13 (ortogonalitate) Consideram punctele inaltimii din
din triunghiul
si
. Sa se afle lungimea
utilizand proprietatile vectorilor.
Demonstratie: Avem
.
Notam inaltimea cu
ca in fig. 16 Avem
. O directie perpendiculara pe si deci
. Pe de alta
parte, avem ca ca
este
. De aici rezulta si deci
Rezolvand aceasta ecuatie gasim ca si, cum , rezulta ca si inaltimii, adica lungimea vectorului
. Lungimea este
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 11 of 12
Figura 15: . $$ Exercitiu 3.14 (produsul mixt) Sa se arate ca vectorii sunt coplanari(sunt continuti in acelasi plan). Demonstratie: trei vectori sunt coplanari daca si numai daca produsul lor mixt este 0.
(117)
$$ Exercitiu 3.15 (produsul vectorial) Sa se arate ca produsul vectorial vectori
a doi
este dat de formula
(118)
Demonstratie: Din definitia produsului vectorial stim ca
pentru orice vector
satisface ecuatia:
. Deducem ca
(119)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 12 of 12
Dezvoltam determinantul dupa ultima linie si obtinem: (120) unde orice triplet
sunt complementii algebrici corespunzatori. Deoarece (20) e valabila pentru rezulta ca
si de aici deducem ca:
. Aceasta relatie se poate scrie sub forma:
(121)
care este echivalenta cu (18) $$
Inainte: Dreapta in spatiu Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul vectorial a doi Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta in spatiu
Page 1 of 1
Inainte: Dreapta determinata de un Sus: < Inapoi: Seminarul 1 Cuprins Index
Dreapta in spatiu O dreapta in spatiu poate fi determinata de 1. un punct si un vector nenul. 2. doua puncte. 3. intersectia a doua plane.
Sectiuni z z z z
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul Dreapta determinata de doua puncte Dreapta orientata Seminarul 2
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
Page 1 of 3
Inainte: Dreapta determinata de doua Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta in spatiu Cuprins Index
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul Fie
un punct,
un vector nenul din
vectorul lui de pozitie, iar
. Dreapta ce trece prin
si are directia lui
o notam cu
(fig.17). Punctul determinata de
, si de
fiind o dreapta daca si numai daca
(122) Ecuatia (22) se numeste ecuatia vectoriala a dreptei determinata de un punct si o directie. Vectorul se numeste vector director, iar coordonatele sale l, m, n se numesc parametrii directori ai dreptei. Evident orice vector cu joaca acelasi rol ca . Coliniaritatea vectorilor scrisa si
,
si
mai poate fi
, sau
(123)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
Page 2 of 3
Figura 16: . Ecuatia (23) este echivalenta cu ecuatiile:
(124)
Ecuatiile (24) se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei (D). Ecuatiile (24) pot fi inlocuite cu
(125)
numite ecuatiile carteziene in
.
Se face conventia ca daca un numitor este este nul atunci numaratorul respectiv trebuie egalat cu 0. Observatie 4.1 1. Daca
,
atunci:
si este o dreapta paralela cu planul 2. Daca
,
.
atunci:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
si este o dreapta paralela cu axa
Page 3 of 3
.
Inainte: Dreapta determinata de doua Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta in spatiu Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta determinata de doua puncte
Page 1 of 1
Inainte: Dreapta orientata Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de un Cuprins Index
Dreapta determinata de doua puncte Fie doua puncte distincte
si
. Se stie ca doua puncte distincte determina o dreapta unica. Vom folosi cazul precedent, adica punctul va fi si vectorul director va fi dat de (fig.18). Directia va fi .
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta orientata
Page 1 of 3
Inainte: Seminarul 2 Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de doua Cuprins Index
Dreapta orientata O dreapta
Fie
in spatiu pe care am ales un sens de parcus se numeste dreapta orientata.
vectorul director al dreptei
director
, atunci sensul pozitiv pe
si acest sens il vom nota cu +. Fie
,atunci multimea
Figura 17: . se numeste partea pozitiva a lui
iar
se numeste partea negativa alui
. De exemplu axele de coordonate
orientate. Vectorului director
al dreptei
este sensul vectorului
sunt drepte
i se poate atasa versorul
numit versor director sau directie orientata. Deci dreapta
poate fi scrisa in forma:
Versorul director
impreuna cu axele de coordonate formeaza cu axele unghiurile directoare ale dreptei (fig.23). Coordonatele lui dreptei . se poate scrie:
numite unghiuri
se numesc cosinusurile directoare ale
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta orientata
Page 2 of 3
sau
Deoarece Unghiul a doua drepte orientate. Fiind date doua drepte si
orientate, de vectori directori
si
atunci unghiul lor este dat de
deci
< cu
sau
Figura 18 : .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta orientata
Atunci
Page 3 of 3
si
Inainte: Seminarul 2 Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de doua Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 1 of 7
Inainte: Planul in spatiu Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta orientata Cuprins Index
Seminarul 2 Exercitiu 4.1 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseasca ecuatia vectoriala a dreptei care trece prin si are directia data de . Sa se transforme ecuatia vectoriala in ecuatia parametrica a dreptei. Demonstratie: Conform formulei ecuatiei vectoriale
unde
si deci
Ecuatia parametrica este:
. Ecuatia carteziana a dreptei se poate gasi prin eliminarea variabilei din ecuatia parametrica a dreptei:
Figura 19: . $$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 2 of 7
Exercitiu 4.2 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi intrebare ca mai sus dar pentru
Demonstratie: Ecuatie vectoriala:
deci
Ecuatia parametrica:
Ecuatia carteziana(obtinuta oprin eliminarea parametrului t)
De notat ca din moment ce pentru orice punct de pe dreapta coordonata egala cu , dreapta va fi paralela cu planul $$
este constanta
Exercitiu 4.3 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi intrebare ca mai sus dar pentru
Demonstratie: Ecuatie vectoriala:
deci
Ecuatia parametrica:
Ecuatia carteziana(obtinuta oprin eliminarea parametrului t)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 3 of 7
De notat ca din moment ce pentru orice punct de pe dreapta coordonatele constante, dreapta va fi paralela cu axa
si
sunt
$$
Exercitiu 4.4 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseasca intersectia dreptei din exercitiul (2.1) cu planul . Demonstratie: Ecuatia parametrica a dreptei este
. In locul unde intersecteaza planul
trebuie sa avem
. Deci
Inlocuind obtinem:
. Deci punctul de intersectie este
.
$$ Exercitiu 4.5 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatia parametrica a dreptei ce trece prin si e perpendiculara pe planul ce contine punctele , ,
.
Demonstratie: Din moment ce avem un punct pe dreapta, ne trebuie doar directia dreptei pentru a aplica formula. dreapta e perpendiculara pe planul ce contine urmare e perpendiculara si pe vectorii
,
,
, prin ce
sunt continuti in acel plan. Deci directia dreptei e directia perpendiculara pe acesti doi vectori ce e data de produsul lor vectorial. Calculam produsul vectorial al celor doi vectori:
(126)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 4 of 7
Putem acum aplica formula de calcul a ecuatiilor vectoriale, parametrice si carteziene exact ca in exemplul (2.2). $$ Exercitiu 4.6 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se arate ca dreptele de ecuatii vectoriale
(127)
nu sunt nici paralele si nici coplanare. Demonstratie: Avem
(128)
De aici rezulta ca directiile celor doua drepte sunt date de vectorii
si respectiv
. Deoarece acestia nu sunt linear dependenti rezulta ca cele doua drepte nu sunt paralele. Deci daca ar fi coplanare ele s-ar intersecta. Sa egalam componentele:
Din prima ecuatie avem
iar din a treia
. Imposibil. Deci nu exista punct de
intersectie. $$ Exercitiu 4.7 (ecuatia vectoriala a dreptei) In conditiile problemei ( ) sa se gaseasca lungimea perpendicularei comune a celor doua drepte. Demonstratie: Perpendiculara comuna exista! Alegem in general doua drepte si care nu sunt paralele si nici nu se intersecteaza, ca in fig. 21. Alegem un punct pe dreapta si trasam prin el o dreapta paralela cu
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 5 of 7
. Proiectam dreapta dreptele
si
intersecteaza in Trasam prin ca
pe planul
generat de
. Proiectia si dreapta
se
. normala
intersecteaza
pe de alta parte deoarece
la planul
. Avem atunci
si e perpendiculara pe este pe proiectia pe
lui
si
trebuie ca
pe
si sa o si intersecteze.
si a
sa fie perpendiculara
Figura 20: . Perpendiculara comuna este unica! Intr-adevar, daca ar exista o alta perpendiculara comuna atunci cele doua perpendiculare vor fi paralele pentru ca sunt ambele perpendiculare pe doua directii diferite(date de si ). Va rezulta ca si sunt in planul generat de cele doua perpendiculare, ceea ce contrazice exercitiul anterior. Pentru determinarea lungimii perpendicularei comune a celor doua drepte date in exercitiul 2.6 folosim ecuatia vectoriala a celor doua drepte. Observam ca orice vector ce incepe pe si se termina pe e dat de formula:
pentru anumite valori ale parametrilor
si
. Noi trebuie sa gasim
si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 6 of 7
in asa fel incat vectorul directia lui
Inlocuind
e perpendicular atat pe
cat si pe directia lui
cu alte cuvinte
obtinem
Figura 21: .
(129)
Va rezulta comune este
si deci
si lungimea perpendicularei $$
Exercitiu 4.8 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatia parametrica a dreptei ce trece prin punctele si . Demonstratie: Deoarece cele doua puncte sunt pe dreapta inseamna ca directia dreptei e data de vectorul
. Putem acum aplica
formula de calcul a ecuatiilor vectoriale, parametrice si carteziene exact ca in exemplul (2.3). $$
Inainte: Planul in spatiu Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta orientata Cuprins Index
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 7 of 7
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 1 of 5
Inainte: Ecuatia normala a planului Sus: < Inapoi: Seminarul 2 Cuprins Index
Planul in spatiu Planul poate fi determinat de: trei puncte necoliniare; doua drepte paralele; o dreapta si un punct exterior ei; un punct si un vector normal la plan. Propozitie 5.1 Ecuatia vectoriala a planului determinat de un punct vector dat
perpendicular pe un
este:
Demonstratie: Fie un plan determinat de un punct
si care este
perpendicular pe un vector dat (fig. 23). Consideram un punct , punct curent al planului (poate genera planul). Deoarece este perpendicular pe orice dreapta din plan.Unind pe cu
obtinem vectorul
si cum
rezulta
sau
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 2 of 5
Figura 22: . $$ Teorema 5.1 (Ecuatia generala a planului) Intr-un sistem de coordonate carteziene, un plan este definit de ecuatia:
unde cel putin unul din coeficientii
este nenul.
Demonstratie: Daca
si
atunci
Din conditia de ortogonalitate rezulta: (130) unde
, ecuatia (30) se numeste ecuatia generala a planului.
$$ Teorema 5.2 Reciproca teoremei (3.1). Orice ecuatie de gradul intai
defineste, in sistemul de coordonate carteziene un plan.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 3 of 5
Demonstratie: Daca
este o solutie a ecuatiei (2) atunci sau
si inlocuind in (2) se
obtine
care este ecuatia unui plan ce trece prin punctul vectorul nenul
si este perpendicular pe
.
Observatie 5.1 1. Ecuatia unui plan in spatiu este nucleul unei functii liniar afine . 2. Doua ecuatii de gradul intai reprezinta acelasi plan daca si numai daca au coeficientii proportionali:
3. Ecuatii particulare ale planului: 1. -ecuatia unui plan care trece prin origine.
2.
3.
$$ Teorema 5.3 Ecuatia planului determinat de trei puncte necoliniare
,
este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 4 of 5
(133)
Demonstratie: Fie trei puncte necoliniare
si vectorii de pozitie
, pozitie
. Pentru ca
si un punct curent
cu vectorul de
sa fie in plan trebuie ca vectorii
sa
fie coplanari, deci produsul mixt trebuie sa fie nul. sau
sau
(134)
$$ Observatie 5.2 1. Ecuatia planului prin taieturi: 2. Patru puncte sunt coplanare daca
Sectiuni z z z z
Ecuatia normala a planului Distanta de la un punct la un plan Unghiul a doua plane Seminarul 3
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 5 of 5
Inainte: Ecuatia normala a planului Sus: < Inapoi: Seminarul 2 Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Ecuatia normala a planului
Page 1 of 2
Inainte: Distanta de la un Sus: Planul in spatiu Inapoi: Planul in spatiu Cuprins Index
Ecuatia normala a planului Teorema 5.4 Fie
cosinusurile directoare ale normalei de plan si
distanta de la origine la
plan. Ecuatia planului astfel determinat este: (forma lui Hesse) Demonstratie: Fie intr-un sistem de axe rectangulare vectorul ,
(136)
(fig. 24)
dus din origine, perpendicular pe planul , cu
.
Punctul P, piciorul perpendicularei duse din origine pe plan are coordonatele . Fie . Cum ceea ce implica
Figura 23: .
sau
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Ecuatia normala a planului
si cum
Page 2 of 2
rezulta ecuatia (1). $$
Observatie 5.3 Trecand ecuatia generala a planului:
la forma
normala se obtine
Inainte: Distanta de la un Sus: Planul in spatiu Inapoi: Planul in spatiu Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Distanta de la un punct la un plan
Page 1 of 2
Inainte: Unghiul a doua plane Sus: Planul in spatiu Inapoi: Ecuatia normala a planului Cuprins Index
Distanta de la un punct la un plan Daca un plan este definit prin ecuatia normala atunci distanta la acest plan este egala cu
de la un punct
(137) Daca planul este dat sub forma generala, distanta
de la punctul
la plan
este:
(138)
Intr-adevar, fie un punct
in planul dat si se considera
vectorul normal
la plan in acest punct(fig. ).
Oricare ar fi pozitia punctului Deoarece
si
, atunci:
.
au, respectiv proiectiile pe axe si
atunci
se va obtine
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Distanta de la un punct la un plan
Page 2 of 2
Figura 24: .
Dar punctul
este in planul considerat:
. de unde
rezulta
Deci
In cazul cand planul este dat in forma generala se reduce aceasta ecuatie in forma normala
Atunci conform celor de mai sus rezulta ca distanta este
Inainte: Unghiul a doua plane Sus: Planul in spatiu Inapoi: Ecuatia normala a planului Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Unghiul a doua plane
Page 1 of 2
Inainte: Seminarul 3 Sus: Planul in spatiu Inapoi: Distanta de la un Cuprins Index
Unghiul a doua plane Cosinusurile unghiurilor intre doua plane, date de ecuatiile
(139)
sunt date de<
(140)
Pentru a obtine relatia (40) vom considera normalele la cele doua plane (fig.26)
,
. Unghiul format de vectorii
si
este dat de formula
Se observa ca planele sunt perpendiculare daca si numai daca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Unghiul a doua plane
Page 2 of 2
Figura 25: . Cele doua plane sunt paralele daca
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 3
Page 1 of 4
Inainte: Pozitii relative in spatiu Sus: Planul in spatiu Inapoi: Unghiul a doua plane Cuprins Index
Seminarul 3 Exercitiu 5.1 (ecuatia vectoriala a planului) Sa se afle ecuatia vectoriala a planului ce contine si e perpendicular pe vectorul . Demonstratie: Formula de calcula ecuatiei:
unde
Daca
Avem:
unde
este un punct de pe plan rezulta ca
si
deci
$$ Exercitiu 5.2 Sa se gaseasca un vector normal la planul
.
Demonstratie: Ecuatia se scrie in forma canonica ceea ce inseamna ca vectorul normal la planul
e
. Alta metoda: Se pot gasi doi vectori continuti in plan si
apoi se poate calcula produsul lor vectorial. $$ Exercitiu 5.3 (plane paralele) Sa se arate ca planele
si
nu sunt
paralele. Demonstratie: daca cele doua plane sunt paralele atunci si directiile normale la ele vor fi paralele. Un vector normal la primul plan este iar la al doilea . Acesti doi vectori nu sunt paraleli pentru ca nu exista nici un scalar asa ca . Concluzia e ca nici planele nu vor fi paralele. $$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 3
Page 2 of 4
Exercitiu 5.4 (plane paralele) Sa se arate ca planele
si
sunt paralele daca si numai daca exista un scalar , Demonstratie: Va rezulta ca daca<
asa ca
, Daca cele doua plane sunt paralele si directiile normale la ele sunt paralele. si sunt paraleli de unde concluzia. ,
,
rezulta ca directiile normale la plane sunt
paralele si deci si cele doua plane sunt paralele. $$ Exercitiu 5.5 (plane paralele) Sa se afle distanta dintre planele paralele de ecuatii si . Demonstratie: Un vector normal la primul plan este plan este
. Alegem
. Un punct pe primul
in asa fel incat
sa aiba varful pe al doilea plan adica
de unde rezulta ca
.
Concluzia este ca distanta dintre plane este exact egala cu Metoda 2: Se poate alege punctul la planul dat de ecuatia
de pe primul plan si apoi calcula distanta de la ca in exercitiul 3.7.
$$ Exercitiu 5.6 (plan prin trei puncte) Sa se gaseasca ecuatia planului ce contine punctele , , .
Demonstratie: Fie un punct
din plan. Vectorii
sunt in acelasi
plan deci produsul lor mixt este 0:
(141)
adica
.
$$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 3
Page 3 of 4
Exercitiu 5.7 (distanta de la un punct la un plan) Se proiecteaza punctul planul
in punctul Q. Sa se gaseasca vectorul
Demonstratie: Un vector normal la plan este urmare
pe .
, prin unde
este un scalar
pe care urmeaza sa-l aflam. Avem
si cum acest vector are varful
pe plan trebuie ca
Deci . Prin urmare
Figura 26: .
Ca o consecinta imediata, distanta de la punctul P la plan este data de formula
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 3
Page 4 of 4
$$
Inainte: Pozitii relative in spatiu Sus: Planul in spatiu Inapoi: Unghiul a doua plane Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
Page 1 of 3
Inainte: Intersectia dintre o dreapta Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Pozitii relative in spatiu Cuprins Index
Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane Vom considera doua plane:
(142)
Aceste plane se intersecteaza atunci cand coeficientii lui proportionali. Intr-adevar daca tripletul
din ecuatiile planelor nu sunt
nu este proportional cu tripletul ordonat
atunci cel putin unul din determinantii
(143)
este diferit de 0. Sistemul format de ecuatiile (47) este un sistem de doua ecuatii cu trei necunoscute si presupunand ca
(144)
atunci sistemul este compatibil,simplu nedeterminat. Rezolvand sistemul se obtine o dreapta a carei parametri directori sunt:
(145)
Cazul a trei plane, de ecuatii
(146)
Aceste ecuatii formeaza un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute. 1. Daca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
Page 2 of 3
atunci sistemul are solutie unica, deci planele se intersecteaza intr-un punct. 2. Daca
, iar unul din determinantii de ordinul doi este nenul, de exemplu
acesta va fi determinantul principal al sistemului. Daca determinantul caracteristic:
atunci sistemul este simplu nedeterminat iar planele trec printr-o dreapta . Daca
atunci sistemul este incompatibil si cum
rezulta ca cele trei plane
se intersecteaza doua cate doua, dupa drepte paralele, deci ele formeaza o prisma nelimitata. 3. Daca
si toti determinantii de ordin doi sunt nuli, presupunand
determinantul principal este de ordinul intai. daca determinantii caracteristici corespunzatori sunt nenuli sistemul este incompatibil deci cele trei plane luate doua cate doua nu au puncte comune si planele sunt paralele intre ele. Daca determinantii caracteristici sunt nuli ecuatiile se reduc la una singura deci planele sunt confundate. Definitie 6.1 Multimea tuturor planelor care trec prin dreapta de intersectie a doua plane date numite plane de bazaformeaza un fascicul de plane avand ca axa acea dreapta. Ecuatia fascicului de plane este:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
Page 3 of 3
Inainte: Intersectia dintre o dreapta Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Pozitii relative in spatiu Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o dreapta si un plan
Page 1 of 2
Inainte: Alte moduri de determinare Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia a doua plane. Cuprins Index
Intersectia dintre o dreapta si un plan Fie o dreapta de ecuatie
si planul:
Coordonatele punctului de intersectie se obtine rezolvand sistemul format de cele doua ecuatii. Egaland rapoartele din ecuatia dreptei cu se obtine
(150)
Sistemul format din aceste ecuatii si ecuatia planului
duce la
(151) de unde
(152)
Daca
atunci
punct. Daca
si
atunci ecuatia nu are solutii finite, deci dreapta este paralela cu planul. Daca
si
ecuatia (2) are o
infinitate de solutii si deci dreapta este continuta in plan.
Inainte: Alte moduri de determinare Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia a doua plane. Cuprins Index
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o dreapta si un plan
Page 2 of 2
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan
Page 1 of 2
Inainte: Seminarul 4 Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia dintre o dreapta Cuprins Index
Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan 1. Fie doua drepte concurente
.<
Ducand prin punctul de concurenta doua drepte
si
dreptele
si
doi vectori coliniari cu vectorii directori ai celor
,
,
, sunt continuti in planul
concurente. Fie
. Acesti vectori fiind situati pe determiant de cele doua drepte
un punct curent in acest plan.Deci vectorii
sunt coplanari:
de unde
2. Fie o dreapta
si un punct Dreapta prin Vectorii
. si punctul
determina un plan. Ducem
vectorul director
al dreptei si
sunt coplanari adica
sau
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan
Page 2 of 2
(155)
Figura 27: . In mod analog se obtine ecuatia planului determinat de doua drepte
(156)
(157)
Inainte: Seminarul 4 Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia dintre o dreapta Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 4
Page 1 of 4
Inainte: Transformari afine Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Alte moduri de determinare Cuprins Index
Seminarul 4 Exercitiu 6.1 (separare) Consideram doua puncte
si
si planul
. Sa se demonstreze ca daca
atunci cele doua puncte
si
sunt de aceeasi parte a planului
atunci cele doua puncte sunt de o parte si de alta a planului Demonstratie: Proiectam punctele punctele
respectiv
respectiv
pe planul
iar daca
.
in
. Atunci, conform problemei
3.7 avem ca
si
Cele doua puncte vor fi de aceeasi parte a lui atunci cand cei doi vectori au acelasi sens, adica atunci cand si au acelasi semn
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 4
Page 2 of 4
Figura 28: . deci atunci cand
.
Cele doua puncte vor fi de o parte si de alta a planului diferite, adica atunci cand
atunci cand cei doi vectori au sensuri . $$
Exercitiu 6.2 (separare) Consideram punctul
si planele paralele
si
atunci punctul
Sa se demonstreze ca daca
este intre cele doua plane,
Demonstratie: Utilizam iar rezultatul din problema 3.7 Proiectam punctul pe cele doua plane in si
si respectiv
. Punctul
se va afla intre cele doua plane daca vectorii paraleli
au sensuri opuse. Conform formulelor de calcul pentru
si
demonstrate in
3.7 rezulta ca cei doi vectori au sensuri opuse atunci cand . $$
Exercitiu 6.3 Sa se demonstreze ca dreapta
si
se afla de o parte si de
alta a planului Demonstratie: Utilizam metoda din exercitiul 4.1. Avem , deci planul separa cele doua puncte. $$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 4
Page 3 of 4
Exercitiu 6.4 Sa se demonstreze ca dreapta
de ecuatie parametrica
si planul
Demonstratie: Directia dreptei e data de
nu sunt paralele.
. Alegem un punct pe plan, de pilda
. Putem scrie atunci ecuatia planului sub forma
din care vedem ca o directie normala la planul dreapta ar fi paralele atunci va trebui ca
. Dar
si
este
. Daca planul si
sa fie perpendiculare:
. Prin urmare planul si dreapta nu sunt paralele.
$$ Exercitiu 6.5 Consideram planul dupa directia
Acest plan este 'mutat' in spatiu
ca in figura 30. Sa se gaseasca ecuatia carteziana a noului plan
. Demonstratie: Fie un punct
in planul pe planul
. Lui ii va corespunde
ca in figura 30. Va rezulta ca
varful vectorului de pozitie este in planul :
si in consecinta satisface ecuatia planului si deci:
In general, daca un obiect geometric(plan, dreapta, paraboloid, sfera,..) e dat de o ecuatie , atunci noul obiect geometric obtinut prin mutarea obiectului pe directia e dat de ecuatia carteziana
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 4
Page 4 of 4
Figura 29: .
$$ Exercitiu 6.6 Consideram o dreapta de ecuatie vectoriala
Inainte: Transformari afine Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Alte moduri de determinare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Page 1 of 5
Inainte: Translatii Sus: < Inapoi: Seminarul 4 Cuprins Index
Transformari afine Consideram un reper cartezian
in planul
si un reper cartezian
in
spatiu. Definitie 7.1 Transformarile afine in plan sunt functii date de formula sau, in scriere matriceala
(159)
Transformarile afine in spatiu sunt functii date de formula
sau, in scriere matriceala
unde
(160)
Definitie 7.2 Pentru transformarea
de mai sus se noteaza
si det(T)=
daca transformarea e 2-dimensionala si equation mat(T)=[
(161)
] si det(T)=
daca transformarea e 3-dimensionala
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Definitie 7.3 Transformarile afine pentru care
Page 2 of 5
se numesc transformari afine
nedegenerate. Problema 7.1 (Operatii cu transformari afine) Suma, diferenta si inmultirea cu scalari a transformarilor afine si sunt transformari afine. Avem de asemenea ca: (162) Demonstratie: Evident. $$ Problema 7.2 (Compunerea transformarilor afine) Se dau doua transformari afine 2dimensionale
Se poate construi , compunerea ca functii a lui si care e o functie ce transforma coordonatele carteziene in coordonatele carteziene . Atunci este o transformare afina data de formula
(164)
Mai mult, avem ca (165) Demonstratie: Evidenta. $$ Observatie 7.1 Aceasta teorema se rescrie similar in cazul transformarilor afine tridimensionale. In particular, pentru doua transformari afine tridimensionale (166) Teorema 7.1 Inversa unei transformari afine nedegenerate
(167)
e transformarea afina data de formula:
(168)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Page 3 of 5
Mai mult, (169) Demonstratie: Evidenta. $$ Observatie 7.2 Aceasta teorema se rescrie similar in cazul transformarilor afine tridimensionale. In particular, pentru o transformare afina tridimensionala nedegenerata (170) Teorema 7.2 Transformarile afine nedegenerate transforma o dreapta in alta dreapta. Demonstratie: Cazul 2-dimensional. Fie o dreapta . Fie
un punct de pe dreapta
. Din teorema
anterioara avem ca
(171)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Page 4 of 5
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Page 5 of 5
Sectiuni z z z z z
Translatii Omotetii Rotatii Simetrii Seminarul 5
Inainte: Translatii Sus: < Inapoi: Seminarul 4 Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 1 of 9
Inainte: Omotetii Sus: Transformari afine Inapoi: Transformari afine Cuprins Index
Translatii Sa consideram un vector
. Fiecarui punct
din plan ii
asociem punctul
ale carui coordonate sunt date de
si
. Aceasta se mai poate scrie transformare care asociaza lui
punctul
. Aceasta
se numeste translatia de vector
.
Figura 30: . Definitie 7.4 Translatia de vector transformare afina
data de formula equation T: [
este ]= [
]+[]
Observatie 7.3 Matricea unei translatii
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 2 of 9
este matricea
identica:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 3 of 9
Observatie 7.4 Atunci cand o translatie de vector
este aplicata unui obiect geometric
, obiectul geometric este mutat in plan in directia vectorului Propozitie 7.1 O functie
pe toata lungimea lui.
este o translatie daca daca si numai daca pentru oricare doua puncte
si
din plan avem ca
Demonstratie: Avem ca pentru orice punct este dat de Pentru un punct
.
vectorul .
din plan sa notam . Sa notam componentele lui
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 4 of 9
cu . Rezulta ca
si deci, scriind pe componente
rezulta ca equation T[
]= [
]+[
] $$
Figura 31: . Alegem un punct translatia
in spatiu si notam
. Asa cum se observa din figura 32
muta orice punct din plan in directia vectorului
pe toata lungimea lui.
un obiect geometric in Teorema 7.3 Fie plan dat de ecuatia carteziana si o translatie de vector
geometrica a lui geometric
. Transformarea
prin este obiectul dat de ecuatia
Demonstratie: Aceasta este o consecinta directa a teoremei (5.8) $$
Figura 32: .
Observatie 7.5 Aplicam translatia de vector
Ecuatia translatiei dreptei este:
Propozitie 7.2 Aplicam translatia de vector
dreptei de ecuatie carteziana
.
dreptei de ecuatie vectoriala
Ecuatia vectoriala a translatiei dreptei este:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 5 of 9
Demonstratie: Evidenta,
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 6 of 9
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 7 of 9
$$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 8 of 9
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 9 of 9
Figura 33: .
Inainte: Omotetii Sus: Transformari afine Inapoi: Transformari afine Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Omotetii
Page 1 of 3
Inainte: Rotatii Sus: Transformari afine Inapoi: Translatii Cuprins Index
Omotetii Sa consideram un scalar
. Fiecarui punct
din plan ii asociem punctul
ale carui coordonate sunt date de si
transformare care asociaza lui raport cu originea .
. Aceasta se mai poate scrie
punctul
. Aceasta se numeste omotetia de scalar in
Definitie 7.5 Omotetiile sunt transformari afine de tipul: equation T: [ ]= [
][
] pentru un scalar
.
Figura 34: . Observatie 7.6 O omotetie nu modifica forma obiectelor ci numai marimea lor. Observatie 7.7 Matricea unei omotetii de scalar in raport cu originea este equation [ ]
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Omotetii
Page 2 of 3
Figura 35: . Determinantul unei omotetii de scalar
este
Observatie 7.8 O omotetie de scalar
transforma un segment
segment
intr-un
paralel cu el si de masura .
Propozitie 7.3 Fie
o omotetie de scalar
Propozitie 7.4 O omotetie
de scalar
si
este aplicata unei drepte
nou-formata va avea ecuatia:
Demonstratie: Sa consideram un scalar
un obiect geometric in plan. Atunci
. Dreapta
.
si un punct
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Omotetii
Page 3 of 3
. Fiecarui punct
din plan ii asociem punctul
astfel incat
. Rezulta ca:
dee unde rezulta ca transformare care asociaza lui in raport cu
Aceasta
punctul
se numeste omotetia de scalar
. daca notam cu omotetia de scalar
cu
in raport cu originea si
translatia de vector
atunci
se poate vedea ca aceasta transformare este exact
. $$
Figura 36: .
Inainte: Rotatii Sus: Transformari afine Inapoi: Translatii Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Rotatii
Page 1 of 4
Inainte: Simetrii Sus: Transformari afine Inapoi: Omotetii Cuprins Index
Rotatii Sa consideram transformarea prin care punctele din plan sunt rotite originii ca in figura 38 astfel incat punctul
radiani in jurul
este
transformat in
.
Vectorul de pozitie
formeaza un unghi
lungimea
cu axa
si are
. Rezulta ca , adica
Vectorul de pozitie cu axa si are lungimea
formeaza un unghi
. Rezulta ca .
Prin urmare avem ca
Figura 37: .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Rotatii
Page 2 of 4
De asemenea
Asadar Definitie 7.6 Rotatia de unghi ]=[ ][
in jurul originii este data de formula: equationT: [ ]
Observatie 7.9 Compunerea a doua rotatii de unghiuri
si
este o rotatie de unghi
. Observatie 7.10 Inversa unei rotatii de unghi
este o rotatie de unghi
.
Observatie 7.11 Multimea rotatiilor din plan impreuna cu operatia de compunere a rotatiilor formeaza un grup. Propozitie 7.5 Rotatiile sunt transformari izometrice, adica pastreaza lungimea segmentelor carora le sunt aplicate. Demonstratie: Notam cu
rotatia de unghi
in jurul
originii. Daca , sunt doua puncte in plan atunci conform cu (95) avem ca distanta dintre punctele $$
Figura 38: .
Observatie 7.12 Sa consideram un scalar
si un punct
. Fiecarui punct
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Rotatii
Page 3 of 4
din plan ii asociem punctul
obtinut prin rotirea lui
radiani in jurul lui
. Aceasta transformare se poate obtine printr-o translatie de vector ,urmata de o rotatie
in jurul
originii si apoi o translatie de vector
.
Figura 39: . Schematic, prin aceste transformari coordonatele se transforma dupa cum urmeaza: equation [
] &rarr#to; [
] &rarr#to; [
][
equation &rarr#to; [
]&rarr#to;
][
]+ [ ]
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Rotatii
Page 4 of 4
ceea ce da in final equation[
]= [
]
Propozitie 7.6 Ca o consecinta a propozitiei (149), rotatiile pastreaza si unghiurile dintre segmentele carora le sunt aplicate. Observatie 7.13 Determinantul unei rotatii de unghi
este
Propozitie 7.7 Fie
un obiect geometric in plan. Atunci
o rotatie de unghi
si
:
Inainte: Simetrii Sus: Transformari afine Inapoi: Omotetii Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Simetrii
Page 1 of 3
Inainte: Seminarul 5 Sus: Transformari afine Inapoi: Rotatii Cuprins Index
Simetrii Fie (D) o dreapta care trece prin origine si face un unghi transformarea prin care punctelor
cu axa
. Sa consideram
din plan le
sunt asociate simetricele lor
fata de dreapta
rotatie de unghi
ca in prima figura din (41). Aplicam o
punctelor planului. Transformatul lui
respectiv
prin rotatie are coordonatele equation [
], respectiv [
]
Figura 40: . Observam ca transformatele punctelor si au aceleasi coordonate in directia si coordonate de semn contrar si egale in modul in directia . Egaland, rezulta: equation sau, in notatie matriceala: equation[ ][ ]= [ in (101) faptul ca inversa rotatiei de unghi adica equation[
][
] Utilizam acum este rotatia de unghi ]^-1= [
]
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Simetrii
equation [
Page 2 of 3
][ ][
]= [
] care e echivalenta cu formula (104)
ce trece prin origine si face un unghi Definitie 7.7 Simetria fata de dreapta este transformarea afina data de formula equationT: [ ]=[
[
] pentru un scalar
cu axa
.
Simetria fata de o dreapta arbitrara (D) Sa presupunem ca dreapta face un unghi cu axa . Alegem un punct arbitrar pe dreapta. Simetria fata de
se poate calcula ca in (5.16). Se aplica mai intai o translatie de vector , dupa care se aplica simetria fata de
transformata dreptei
, dupa care aplicam translatia de vector
. Se gaseste in final ca simetria fata de transforma punctul
in punctul
dat de
equation[
]= [
]
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Simetrii
Page 3 of 3
Inainte: Seminarul 5 Sus: Transformari afine Inapoi: Rotatii Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 1 of 6
Inainte: Aplicatii ale transformarilor geometrice Sus: Transformari afine Inapoi: Simetrii Cuprins Index
Seminarul 5 Exercitiu 7.1 Se considera planul 2x+y-z=3. Sa se gaseasca simetricul punctului fata de acest plan. Demonstratie: O directie normala la plan este plan in
. Vectorul
parte din moment ce
e un multiplu de e proiectia lui
. Proiectam punctul si deci exista
asa ca
Pe de lata
trebuie sa avem ca varful vectorului e pe plan prin urmare
adica
pe
. Deci
de unde
. Rezulta ca simetricul
al lui
fata de plan e dat de de unde . $$ Exercitiu 7.2 Consideram transformarea afina
. Adica
. Sa se afle
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 2 of 6
,
.
Aceasta transformare se aplica punctelor din plan. Sa se afle in ce punct este transformat punctul . Sa se afle in ce este transformata dreapta .
Demonstratie:
.
.
.
contine doua puncte.... $$
Exercitiu 7.3 Consideram transformarea afina ,
.
si
. Adica
. Stim ca
Sa se afle aria triunghiului cu varfuri
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 3 of 6
Demonstratie:
$$
Exercitiu 7.4 Consideram transformarea afina
. Prin aceasta transformare, planul
se transforma in alt plan. Sa se afle ecuatia acestui plan. Demonstratie: Avem
punct pe noul plan, deci
,
,
sau . Le punem in ecuatie deci
sau
plan paralel cu axa
. $$
Exercitiu 7.5 Consideram transformarea afina Prin aceasta transformare, dreapta
. se transforma in alta dreapta. Sa se
afle ecuatia acestei drepte. Demonstratie: Fie
din
.
deci rezolvam sistemul
. Dar
deci
de unde rezulta ca
$$
Exercitiu 7.6 Gasiti o transformare afina care sa transforme dreapta dreapta
in
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 4 of 6
Demonstratie: Sunt multe astfel de transformari. Noi o vom alege pe aceea care invariaza originea si duce (1,0) in (1,0) si (0,1) in (0,-1). Deci . deci
. In acelasi mod
transformarea este<
. Deci
$$
Exercitiu 7.7 Dreapta
e translatata in directia . Sa se afle ecuatia dreptei nou-formate.
Demonstratie: s(t)=r(t)+v $$ Exercitiu 7.8 Planul
e translatat in directia . Sa se afle ecuatia planului nou-format.
Demonstratie: Prin translatie rezulta ca
deci
Inlocuind in ecuatie
echivalent cu
Exercitiu 7.9 Omotetia de scalar
$$
e aplicata dreptei
. Sa se afle ecuatia
dreptei nou-formate. Demonstratie: Prin omotetie rezulta
de unde
Inlocuind in ecuatie
sau
$$
Exercitiu 7.10 Aplicam o rotatie de unghi . Sa se afle noul punct.
Demonstratie: equation[
equation[
punctului
]= [
]= [
][
][
] Inlocuind rezulta ca
] $$
Exercitiu 7.11 Este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 5 of 6
(173) Demonstratie: Da. $$
este inclinat Exercitiu 7.12 Planul figura, dupa care e translatat o unitate in lungul axei
. In acest plan punctul
ca in e rotit
. Sa se gaseasca coordonatele noului punct. Exercitiu 7.13 Sa se gaseasca simetricul punctului
fata de dreapta
. Demonstratie: O directie perpendiculara pe dreapta este . Putem apoi cauta
asa ca
sa aiba varful pe dreapta adica . De aici rezulta ca simetricul este
. Va rezulta ca
$$
Exercitiu 7.14 Sa se arate ca pentru oricare doi vectori avem ca aria triunghiului de laturi
si si varf
este egala cu modulul
determinantului (174) Demonstratie: Putem aplica reprezentarea polara a celor doi vectori si deduce rezultatul imediat. Alternativ, putem plica o rotatie in asa fel incat primul vector se suprapune axei . O rotatie nu schimba aria din moment ce nu schimba unghiul dintre vectori si lungimile lor. De asemenea, o rotatie nu modifica determinatul pentru ca in urma rotatiei de unghi determinantul devine
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 6 of 6
(175)
Inainte: Aplicatii ale transformarilor geometrice Sus: Transformari afine Inapoi: Simetrii Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Organizarea fisierelor brute de imagini
Page 1 of 2
Inainte: Translatii, Rotatii, Dilatari in Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Aplicatii ale transformarilor geometrice Cuprins Index
Organizarea fisierelor brute de imagini Fisiere brute de imagini (raw image files) sunt fisiere organizate pe octeti; excluzand headerul din fisier care indica numarul de pixeli ai imaginii, fiecare octet din fisier corespunde unui pixel din imaginea pe care o vedem.
Un exemplu de fisiere brute de imagini sunt fisierele cu extensii .pgm (Portable Grayscale). Avantajele utilizarii fisiereleor brute sunt ca datorita corespondentei bijective octet din fisierpixel din imagine ele sunt foarte usor de modificat. Dezavantajele sunt ca in cazul imaginilor relativ simple fisierele brute ocupa in mod inutil cantitati mari de memorie. Fisierele optimizate de imagine cu extensii .jpg, .gif, .png sunt fisiere organizate pe biti( fisiere binare) si contin atat date cat si instructiuni. Ele sunt mai mici dar modificarea lor nu este atat de simpla ca in cazul fisierelor brute. Sa consideram fisierul imagine input.pgm de pixeli. El contine litera
ca in imaginea alaturata:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Organizarea fisierelor brute de imagini
Page 2 of 2
Daca fisierul input.pgm va fi deschis cu un editor de text (de exemplu emacs) editorul va afisa:
Indicatorul
arata ca este vorba de un fisier brut,
indica faptul ca avem o
imagine de 22 pe 22 de pixeli iar ultimul numar indica cifra maxima ce poate fi continuta in fiecare octet din fisier. Numarul 255 corespunde culorii albe iar 0 culorii negre. Editorul de text citeste fiecare numar din fiecare octet si afiseaza caracterul al carui cod ASCII este egal cu acel numar. Nu suntem interesati deci in caracterele pe care le afiseaza editorul ci numai in codurile lor ASCII pentru ca ele decid culoarea pixelilor ce corespund caracterelor respective.
Inainte: Translatii, Rotatii, Dilatari in Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Aplicatii ale transformarilor geometrice Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
Page 1 of 3
Inainte: Conice Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Organizarea fisierelor brute de Cuprins Index
Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini Cu un simplu cod C putem trece peste headerul din fisierul input.pgm si apoi copia toate numerele din octetii fisierului input.pgm intr-o matrice de dimensiune . Va insemna de pilda ca
adica primul pixel din
imagine, cel din stanga sus este alb.
In general, daca coloana
inseamna ca pixelul de pe linia
din imagine este alb. Daca
si
atunci pixelul este negru.
Putem apoi crea un alt fisier output.pgm. Copiem headerul din input.pgm in output.pgm si fixam dimensiunea la
de pixeli. Cu alte cuvinte scriem in fisierul
output.pgm urmatorul text:
Alocam memorie unei matrici
de dimensiune
si apoi fixam pentru fiecare
Intr-o bucla C peste valorile
.
intre 0 si
fixam apoi
pentru
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
Page 2 of 3
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
Page 3 of 3
Inainte: Conice Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Organizarea fisierelor brute de Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Conice
Page 1 of 3
Inainte: Reducerea la forma canonica Sus: < Inapoi: Translatii, Rotatii, Dilatari in Cuprins Index
Conice Definitie 9.1 Pentru numerele
date cu
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Conice
Page 2 of 3
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Conice
multimea tuturor punctelor
Page 3 of 3
ce satisfac
(177) se numeste conica. Observatie 9.1 Relatia (162) se mai poate scrie matricial (178) unde (179) Exemplu 9.1 (180) Oricare alta conica din plan se poate transforma printr-o rotatie urmata de o translatie intruna din conicele de mai sus.
Sectiuni z z z z z z
Reducerea la forma canonica a unei conice Intersectia dintre o conica si o dreapta Elipsa Hiperbola Parabola Seminarul 6
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 1 of 5
Inainte: Intersectia dintre o conica Sus: Conice Inapoi: Conice Cuprins Index
Reducerea la forma canonica a unei conice Deoarece matricea (181) este simetrica ea va avea doua valori proprii reale (care pot fi egale) carora le corespund doi vectori proprii
,
pe care noi ii putem alege asa ca ei sa formeze o baza ortonormala. Avem deci ca sunt radacinile ecuatiei de gradul doi:
(182) in timp ce cei doi vectori satisfac ecuatiile (183) si sunt alesi in asa fel incat sa fie unitari si (184) In cazul in care valortile proprii sunt distincte cei doi vectori sunt automat ortogonali. daca avem o valoare proprie dubla atunci alegem cei doi vectori in asa fel incat sa fie ortogonali si (127) sa fie adevarata. Sa consideram matricea
Rezulta atunci ca matricea
se diagonalizeaza in forma (185)
Consideram acum transformarea afina prin care fiecarui punct
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 2 of 5
i se asociaza punctul
dat prin relatia
(186) Aceasta este o rotatie in jurul originii de unghi
. folosind relatia de
mai sus si (128) in ecuatia (121) rezulta ca (187) adica
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 3 of 5
(188) ceea ce conduce la ecuatia pentru
(189)
pentru numerele
. Completam acum patratele si
gasim ca (190) Translatia
,
duce la forma canonica
(191) Sa observam ca pasul de completare a patratelor ce duce la formula (133) nu se poate efectua daca una din valorile proprii este 0 si in acest caz conica e de tip parabolic. Apoi, observam ca daca cele doua valori proprii au acelasi semn conica este de tip eliptic iar daca semnele valorilor proprii sunt diferite conica este de tip hiperbolic. Din moment ce (192) putem colecta informatiile de mai sus in urmatoarea concluzie: (193) Exemplu 9.2 Sa se aduca conica (194) la forma canonica. Demonstratie: Matricea
a formei patratice din demonstratia anterioara este (195)
Ecuatia caracteristica pentru valorile proprii
este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 4 of 5
(196) ceea ce implica
. Lui
ii corespunde
ii corespunde un vector propriu
iar lui
. Normalizandu-i obtinem
si Deoarece
alegem
Va rezulta ca rotatia din exercitiul anterior este (197) adica (198) Inlocuind in ecuatia initiala se obtine
(199)
Prin completarea patratelor se ajunge la
(200)
Facem acum translatia (201) de unde obtinem ecuatia redusa a conicei
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 5 of 5
(202) in raport cu sistemul de referinta canonic definite de versorii
si punctul
$$
Inainte: Intersectia dintre o conica Sus: Conice Inapoi: Conice Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o conica si o dreapta
Page 1 of 3
Inainte: Elipsa Sus: Conice Inapoi: Reducerea la forma canonica Cuprins Index
Intersectia dintre o conica si o dreapta Consideram o dreapta (D) de ecuatii parametrice
si o conica de ecuatie carteziana
Intersectia
corespunde radacinilor
ale ecuatiei polinomiale in
:
(203)
Dupa gruparea termenilor ce contin
se obtine: (204)
Notam
si observam ca ecuatia (147) se poate scrie in
forma (205) Asadar punctele de intersectie dintre dreapta si conica sunt decise de radacinile ecuatiei de mai sus. Discutie: 1. Ecuatia (148) este de gradul doi daca
. Daca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o conica si o dreapta
Page 2 of 3
atunci ecuatia are doua radacini reale si distincte deci dreapta intersecteaza conica in doua puncte distincte. Daca atunci exista un singur punct de intersectie si concluzionam ca dreapta este tangenta la conica. Observam ca in acest caz daca este punctul de intersectie avem din ecuatia (149) ca , deci directia dreptei tangente este perpendiculara pe vectorul si deci ecuatia dreptei tangente este
. Dreapta care trece prin
si este perpendiculara pe dreapta tangenta se numeste
dreapta normala la conica in punctul
. Directia ei este
deci
ecuatia dreptei normale este
Daca conica.
atunci ecuatia de gradul doi (148) nu are solutii reale deci dreapta nu intersecteaza
2. Cand
ecuatia (148) este de gradul intai.
Ea are solutia
daca
deci
Daca
contine un singur punct.
si
ecuatia (148) nu are solutie deci nu exista
un punct de intersectie. Daca insa
si
ecuatia este identic satisfacuta si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o conica si o dreapta
Page 3 of 3
Inainte: Elipsa Sus: Conice Inapoi: Reducerea la forma canonica Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Elipsa
Page 1 of 4
Inainte: Hiperbola Sus: Conice Inapoi: Intersectia dintre o conica Cuprins Index
Elipsa Consideram o elipsa de ecuatie
. Am vazut in sectiunea anterioara ca exista un reper
in raport cu care elipsa are ecuatia
(207) Reperul
se numeste reperul canonic iar ecuatia (150) se numeste ecuatia redusa a
elipsei fata de reperul canonic. Sa presupunem ca reperul canonic cu
. Punctele
,
. In cele ce urmeaza vom renota se numesc focarele elipsei iar distanta
semi-distanta focala a elipsei. Intersectiile curbei cu axele ,
,
se numesc varfurile ei:
,
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Elipsa
Page 2 of 4
.
Teorema 9.1 Elipsa descrisa mai sus este locul geometric al punctelor
din plan
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Elipsa
Page 3 of 4
pentru care
.
Demonstratie: Sa consideram un punct
pe elipsa.
vom avea atunci ca
Pe de alta parte, din ecuatia canonica a elipsei avem ca
. Inlocuind rezulta ca
$$ Teorema 9.2 Aria elipsei de ecuatie (208)
este egala cu
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Elipsa
Page 4 of 4
Demonstratie: Consideram transformarea afina
sau
Se observa ca elipsa se transforma prin aceasta transformare in cercul unitate centrat in origine
Rezulta atunci din teorema (?) din sectiunea anterioara ca aria se transforma dupa formula:
aria cerc De aici rezulta
$$
Inainte: Hiperbola Sus: Conice Inapoi: Intersectia dintre o conica Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 1 of 6
Inainte: Parabola Sus: Conice Inapoi: Elipsa Cuprins Index
Hiperbola Ecuatia redusa a hiperbolei in raport cu reperul canonic
este
(209) Focarele hiperbolei sunt punctele
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 2 of 6
,
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 3 of 6
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 4 of 6
Teorema 9.3 Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 5 of 6
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 6 of 6
Demonstratie: $$
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Parabola
Page 1 of 2
Inainte: Seminarul 6 Sus: Conice Inapoi: Hiperbola Cuprins Index
Parabola Ecuatia redusa a parabolei in raport cu reperul canonic
este
(210)
Focarul parabolei este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Parabola
Page 2 of 2
Teorema 9.4 Parabola este locul geometric al punctelor din plan pentru care
unde
este proiectia lui
pe axa
.
Demonstratie: $$ adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 1 of 15
Inainte: Curbe in 2 si Sus: Conice Inapoi: Parabola Cuprins Index
Seminarul 6 Exercitiu 9.1 Consideram conica de ecuatie equationg(x,y)=13x^2-48xy+27y^2-50x-76=0 1. 2. 3. 4.
Sa se determine tipul conicei. Sa se determine forma redusa a acestei conice. Sa se determine axele (sau axa) de simetrie ale acestei conice. Sa se determine focarele acestei conice.
Demonstratie: Se procedeaza exact ca in exemplul ( ) din acest capitol referitor la reducerea unei conice la forma canonica. Mai intai incercam sa anulam termenul din expresia conicei prin utilizarea unei rotatii. Fie (211)
Valorile proprii
ale lui
satisfac ecuatia
(212)
de unde rezulta ca
.
Suntem acum in masura sa raspundem la prima intrebare. Din moment ce cele doua valori proprii sunt nenule si de semn contrar conica este de tip hiperbolic. Determinam acum vectori proprii
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 2 of 15
corespunzatori lui
si respectiv
. Pentru
trebuie ca
(213)
Alegem
rezulta
In mod similar gasim ca
Dupa normalizare avem ca
.
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 3 of 15
Se poate vedea ca (214)
Facem acum schimbarea de variabile equation( )= (
)= ( )(
)(
) sau (
)
Mai putem scrie: equation
Din teoria expusa in acest capitol rezulta ca forma patratica
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 4 of 15
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 5 of 15
devine
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 6 of 15
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 7 of 15
Putem scrie expresia intreaga prin utilizarea formulei (168)
. Dupa completarea patratelor rezulta ca
sau
Facem acum schimbarea de variabile equationx''=x'-1/3,y''=y'+4 de unde rezulta ca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 8 of 15
Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum reperul canonic. Avem ca daca
atunci
si deci din ecuatiile (168)
,
Si deci originea sistemului canonic este la
.
Sa determinam axele de simetrie ale hiperbolei.
este echivalent cu
Aceasta este axa
. Axa ceea ce ne da
de unde
are ecuatia
.
de unde .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 9 of 15
Pentru determinarea focarelor folosin aceasi metoda de schimbare de variabile. Stim ca in reperul canonic
focarele sunt date de
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 10 of 15
si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 11 of 15
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 12 of 15
Va rezulta atunci
in reperul
si
in reperul
. pentru determinarea coordonatelor
putem folosi formulele (168) si(169).
$$ Exercitiu 9.2 Consideram conica de ecuatie equationg(x,y)=29x^2+24xy+36y^2-50x=0 1. 2. 3. 4.
Sa se determine tipul conicei. Sa se determine forma redusa a acestei conice. Sa se determine axele (sau axa) de simetrie ale acestei conice. Sa se determine focarele acestei conice.
Demonstratie: Se procedeaza exact ca in exemplul ( ) din acest capitol referitor la reducerea unei conice la forma canonica. Mai intai incercam sa anulam termenul
din expresia
conicei prin utilizarea unei rotatii. Fie
(215)
Valorile proprii
ale lui
satisfac ecuatia
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 13 of 15
(216)
de unde rezulta ca
.
Suntem acum in masura sa raspundem la prima intrebare. Din moment ce cele doua valori proprii sunt nenule si au acelasi semn conica este de tip eliptic. Determinam acum vectori proprii
corespunzatori lui
si respectiv
. Pentru
trebuie ca
(217)
Alegem
rezulta
Dupa normalizare avem ca
. In mod similar gasim ca
.
Se poate vedea ca (218)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 14 of 15
Facem acum schimbarea de variabile equation( ) sau (
)= (
)= (
)(
)( )
Mai putem scrie:
equation
Din teoria expusa in acest capitol rezulta ca forma patratica
devine
Putem scrie expresia intreaga prin utilizarea formulei (168)
. Dupa completarea patratelor rezulta ca sau Facem acum schimbarea de variabile equationx''=x'-1/3,y''=y'-1 de unde rezulta ca
Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum reperul canonic. Avem ca daca
atunci
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 15 of 15
si deci din ecuatiile (168)
,
Si deci originea sistemului canonic
este la
. Sa determinam axele de simetrie ale hiperbolei.
este echivalent cu
Aceasta este axa
de unde
. Axa ceea ce ne da
are ecuatia
.
de unde
.
Pentru determinarea focarelor folosim aceeasi metoda de schimbare de variabile. Stim ca in reperul canonic
focarele sunt date de
si
coordonatelor in reperul
in reperul
si
. Va rezulta atunci
. pentru determinarea
putem folosi formulele (168) si(169).
$$
Inainte: Curbe in 2 si Sus: Conice Inapoi: Parabola Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Ecuatia carteziana a unei curbe
Page 1 of 1
Inainte: Ecuatia unei curbe in Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Curbe in 2 si Cuprins Index
Ecuatia carteziana a unei curbe Curbele in 2d sunt colectii de puncte unde colectii de puncte
ce satisfac ecuatii carteziene de tipul este o functie de doua variabile. In 3d curbele sunt
ce satisfac ecuatii carteziene de tipul
unde
sunt
functii de trei variabile. Exemplu 10.1 Dreapta si conicele sunt exemple de curbe. Exemplu 10.2 Curba cardioida este data de ecuatia carteziana (219) Exemplu 10.3 Trifoiul este dat de ecuatia carteziana equation (x^2+y^2)^2=ax(x^2-3y^2)
Figura 41: Trifoiul.
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Ecuatia unei curbe in coordonate polare
Page 1 of 1
Inainte: Ecuatia parametrica a unei Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia carteziana a unei Cuprins Index
Ecuatia unei curbe in coordonate polare Uneori prin utilizarea coordonatelor polare in locul celor carteziene, ecuatia poate fi simplificata. Coordonatele carteziene sunt inlocite de coordonatele
polare
utilizand formulele
,
.
In coordonate polare ecuatia cercului unitate centrat in origine este
.
Exemplu 10.4 Curba cardioida este data de ecuatia in coordonate polare
Exemplu 10.5 Trifoiul este dat de ecuatia in coordonate polare
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Ecuatia parametrica a unei curbe
Page 1 of 2
Inainte: Vectori tangenti la curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia unei curbe in Cuprins Index
Ecuatia parametrica a unei curbe Ecuatiile parametrice ale unei curbe de ecuatie carteziana obtin prin exprimarea coordonatelor
se in functie de un parametru
in asa fel incat expresiile
sa satisfaca ecuatia
Exemplu 10.6 De pilda cercul de raza origine si de ecuatie carteziana
.
centrat in se poate parametriza in forma urmatoare:
equation x(t)=r sin(t), y(t)=r cos(t), t &isin#in;[0,2&pi#pi;) deoarece
satisfac
equation x(t)^2+y(t)^2=r^2(sin(t)^2+cos(t)^2)=r^2. Se observa ca deasemenea equation x(t)=r cos(t), y(t)=r sin(t), t &isin#in;[0,2&pi#pi;) este o parametrizare valida a cercului, in ambele cazuri multimea
raza parametrul
este cercul de
centrat in origine. In primul caz in timp ce punctul corespunzator
parcurge intervalul
parcurge cercul in sens contrar acelor de ceasornic incepand din punctul . In al doilea caz in timp ce parametrul punctul corespunzator incepand din punctul
parcurge intervalul
parcurge cercul in sens contrar acelor de ceasornic .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Ecuatia parametrica a unei curbe
Page 2 of 2
Exemplu 10.7 Ecuatia parametrica a elipsei Elipsa de ecuatie carteziana
se poate parametriza dupa cum urmeaza equation x(t)= a cos
(t), y(t)= b sin(t), t&isin#in;[0,2&pi#pi;) Exemplu 10.8 Ecuatia parametrica a cardioidei: equation x(t)= 2a(1-t^2)/(1+t^2)^2 , y(t)= 4at/(1+t^2)^2
Sectiuni z
Vectori tangenti la curbe
Inainte: Vectori tangenti la curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia unei curbe in Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectii de curbe
Page 1 of 1
Inainte: Cum apar curbele in Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Vectori tangenti la curbe Cuprins Index
Intersectii de curbe In rare cazuri (intersectia a doua drepte sau a unei conice cu o dreapta sunt doua exemple) intersectia a doua curbe poate fi calculata cu o metoda generala. De cele mai multe ori se recurge la o metoda adaptata problemei respective. Exemplu 10.10 Sa se calculeze intersectia cercurilor equation x^2+y^2=1, (x-1)^2+y^2=1 Daca
se afla pe ambele cercuri
atunci el va satisface sistemul equation
de unde rezulta
Se scade prima ecuatie din a doua si se obtine
. Se poate deasemenea utiliza parametrizarea celor doua cercuri
equation
ce duce la un sistem trigonometric.
si deci equation
Daca rezulta ca
rezulta ca
de unde de unde
si si
. Daca .
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Cum apar curbele in practica?
Page 1 of 3
Inainte: Lungimea unei curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Intersectii de curbe Cuprins Index
Cum apar curbele in practica? Curbele pot aparea in practica de pilda ca traiectorii ale unor obiecte sau particule in miscare sub actiunea anumitor forte sau ca intersectii de suprafete. Sa consideram miscarea unui obiect aruncat sub un unghi initiala
cu axa orizontala cu o viteza
. Ignoram efectul frecarii cu aerul.
Sa notam cu
pozitia obiectului la momentul . Deci
inaltimea la care se afla obiectul la momentul
iar
reprezinta distanta parcursa de
obiect pe directia orizontala. Din legile mecanicii avem ca pe de alta parte
reprezinta
. Pe de o parte
,
. Obtinem de aici ca
de unde rezulta ca
.
Utilizand proprietatile primitivelor obtinem ca si
.
Deoarece initial
obtinem ca
. Pe de alta
parte viteza initiala (ca vector) este
ceea ce inseamna ca si
si
. Rezulta de aici ca
.
cu viteza initiala Exemplu 10.11 O piatra este aruncata la un unghi de aprox. de la nivelul solului. Sa se afle distanta pana la locul unde piatra loveste pamantul.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Cum apar curbele in practica?
Page 2 of 3
Din teoria expusa anterior avem ca
si
pamantul avem ca locul unde
deci punem
. In locul unde piatra loveste . Pentru a afla distanta pana la in formula
.
Exemplu 10.12 Pozitia unei particule ce se misca in linie dreapta este data de ecuatia . Sa se afle distanta parcursa de particula dupa doua secunde.
In intervalulde timp
particula se misca inspre stanga pana in punctul
Dupa aceea se misca numai inspre dreapta. La momentul 2 ea va fi in pozitia totala este 2.5.
.
deci distanta
Exemplu 10.13 Sa se parametrizeze cercul unitate centrat in origine in asa fel incat cercul sa fie parcurs incepand din punctul si in sensul acelor de ceasornic.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Cum apar curbele in practica?
Parametrizarea
Page 3 of 3
,
parcurge cercul incepand din
contrar acelor de ceasornic. Pentru a muta punctul de pornire adunam a schimba sensul de parcurgere inlocuim t cu
si in sens la . Pentru
.
,
Inainte: Lungimea unei curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Intersectii de curbe Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Lungimea unei curbe
Page 1 of 3
Inainte: Cuadrice si corpuri de Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Cum apar curbele in Cuprins Index
Lungimea unei curbe
Pentru a calcula lungimea unei curbe
diferentiabile
cu derivata continua se imparte intervalul
pe care se parametrizeaza
curba in subintervale de lungime egala ca in figura de mai jos, deci lungimea fiecarui subinterval va fi . Construim deasemenea numerele ca in figura. Se observa ca pe curba date de formula
si
. Acestor numere
le vor corespunde puncte
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Lungimea unei curbe
Page 2 of 3
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Lungimea unei curbe
Construim segmente ce unesc punctele consecutive lungimea curbei
Page 3 of 3
si
,
si aproximam
cu suma lungimilor acestor segmente:
(220)
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 1 of 6
Inainte: Volumul corpurilor de rotatie Sus: < Inapoi: Lungimea unei curbe Cuprins Index
Cuadrice si corpuri de rotatie Un corp de rotatie se obtine prin rotirea unei curbe in jurul unei drepte. De pilda, sfera unitate centrata in origine este corpul de rotatie obtinut prin rotirea graficului functiei
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 2 of 6
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
in jurul axei
Page 3 of 6
. Torul se obtine prin rotirea cercului de raza
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 4 of 6
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 5 of 6
centrat in
in jurul axei
cu
.
Figura 42: Torul . Prin rotirea unei elipse in jurul unei din axele ei de simetrie se va obtine un elipsoid.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 6 of 6
Figura 43: Elipsoidul .
Sectiuni z {
z
Volumul corpurilor de rotatie
Cuadrice
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Volumul corpurilor de rotatie
Page 1 of 3
Inainte: Cuadrice Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Cuadrice si corpuri de Cuprins Index
Volumul corpurilor de rotatie Sa studiem cazul corpurilor de rotatie obtinute prin rotirea graficului unei functii jurul axei
in
.
Se imparte intervalul
in
subintervale de lungime egala ca in figura de mai
jos, deci lungimea fiecarui subinterval va fi
Construim deasemenea numerele
.
ca in figura.
Figura 44: Corp obtinut prin rotatie in jurul lui Ox . Va rezulta ca volumul total al corpului de rotatie este egal cu suma volumelor ale partilor din corpul de rotatie aflate intre planele verticale prin
si
ca in
figura.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Volumul corpurilor de rotatie
Page 2 of 3
. Pe de alta parte, deoarece pentru n foarte mare
va fi foarte aproape de
spune ca partea din corpul de rotatie aflate intre planele verticale prin
putem si
este
aproape un cilindru si in consecinta avem ca
Prin insumare rezulta ca
Trecand la limita dupa
rezulta ca
. Suma Riemann din dreapta converge la si deci
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Volumul corpurilor de rotatie
Page 3 of 3
(221)
Inainte: Cuadrice Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Cuadrice si corpuri de Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 1 of 11
Inainte: Index Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Volumul corpurilor de rotatie Cuprins Index
Cuadrice Cuadricele sunt colectii de puncte de coordonate
ce satisfac o ecuatie carteziana de
tipul equationa_11x^2+a_22y^2+a_33z^2+2a_12xy+2a_13xz+2a_23yz+2a_10x+2a_20y+2a_30z+a_00 Exemplu 11.1 Exemple de cuadrice: Elipsoidul: equation x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 Un exemplu este prezentat in figura de mai sus. Elipsoidul este un corp de rotatie. Hiperboloidul cu o panza: equation x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 Hiperboloidul cu o panza este corp de rotatie.
Figura 45: Hiperboloidul cu o panza .
Hiperboloidul cu doua panze: equation x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1 Hiperboloidul cu doua panze este corp de rotatie.
Figura 46: Hiperboloidul cu doua panze . Paraboloidul eliptic: equation x^2/a^2+y^2/b^2=2pz Paraboloidul eliptic este corp de rotatie.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 2 of 11
Figura 47: Paraboloidul eliptic .
Paraboloidul hiperbolic: equation x^2/a^2y^2/b^2=2pz Paraboloidul hiperbolic nu este corp de rotatie.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 3 of 11
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 4 of 11
Figura 48: Paraboloidul hiperbolic .
Exemplu 11.2 (Alte cuadrice)
(222)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 5 of 11
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 6 of 11
Aducerea unei cuadrice generale la forma canonica. Cuadricele expuse mai sus sunt in forma canonica in sensul ca nu apar termeni de tipul
si deasemenea, in cazul in care termeni de tipul
sunt prezenti, termenii corespunzatori
nu
mai apar. Din punct de vedere geometric, atunci cand o cuadrica e in forma canonica, axele (sau axa) de simetrie (daca exista) sunt unele din axele reale . De pilda
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 7 of 11
paraboloidul eliptic in forma canonica
simetrie axa
are ca axa de
.
In cele ce urmeaza vom incerca sa aducem la forma canonica o cuadrica de ecuatie generala data de (198). Teoria este aceeasi ca si in cazul conicelor, cuadricei i se aplica mai intai o rotatie (in spatiu) care sa puna cuadrica in forma canonica in raport cu o translatie a reperului nostru. Rotatia este apoi urmata de o translatie.
Pentru aflarea rotatiei se calculeaza valorile proprii
ale matricii
a formei patratice asociate cu ecuatia (198).
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 8 of 11
equation A=[
]
Valorile proprii
equation |
sunt solutiile
ale ecuatiei
|=0
Apoi la fel ca in cazul conicelor se calculeaza o baza ortonormala orientata pozitiv formata din
vectori proprii
pentru valorile proprii
.
Prin urmare ei trebuie sa satisfaca ecuatiile
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
, sa fie liniar independenti, unitari, iar
Page 9 of 11
.
Deoarece matricea formei patratice este simetrica astfel de vectori proprii exista. Cu acesti vectori proprii se construieste matricea
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 10 of 11
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 11 of 11
care are pe coloane vectorii
Notatia de mai sus are urmatoarea semnificatie: daca notam
equation R=[
atunci
]
Ea corespunde rotatiei in spatiu equation [
]=R· [
]
Observam deasemenea ca
(termeni de ordin 1 sau 0)
(223)
Inainte: Index Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Volumul corpurilor de rotatie Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Page 1 of 3
Inainte: Transformari elementare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index
Sisteme de ecuatii lineare Sisteme de ecuatii liniare:
(1)
(2)
(3)
In general
Solutii ale sistemelor de ecuatii liniare:
(5)
Numerele
formeaza o solutie a sistemului pentru ca
(6)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de ecuatii lineare
pe de alta parte numerele
Page 2 of 3
nu formeaza o solutie a sistemului pentru ca ele nu
satisfac toate ecuatiile sistemului (7) Se poate arata ca
este unica solutie a acestui sistem.
Definitie 1.1 Un sistem de ecuatii liniare ce admite solutie unica se numeste sistem compatibil determinat. Observatie 1.1 Sistemul
(8)
este un exemplu de sistem compatibil determinat Sistemele pot avea mai multe solutii. De exemplu
(9)
admite solutiile
si
. Verificare pentru
a doua:
(10)
pentru acest sistem o solutie generala e data de formula: unde
este orice numar real. In acest caz
este
numit parametru. Definitie 1.2 Un sistem de ecuatii liniare ce admite mai mult de o solutie(in care caz automat va dmite o infinitate de solutii) se numeste sistem compatibil nedeterminat. Observatie 1.2 Sistemul
(11)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de ecuatii lineare
Page 3 of 3
este un exemplu de sistem compatibil nedeterminat Se poate intampla ca anumite sisteme sa nu aiba nicio solutie. Sistemul
(12)
nu admite nicio solutie. Daca si prin urmare nu se poate ca a doua ecuatie
atunci prin inmultire cu 2 se obtine sa fie satisfacuta.
Definitie 1.3 Un sistem de ecuatii liniare ce admite nu admite nicio solutie se numeste sistem incompatibil. Cum se afla solutiile unui sistem? Metoda substitutiei(invatata in clasa a XI-a).
(13)
Se afla
in functie de
: de unde rezulta ca
din prima ecuatie si se substituie in a doua: ceea ce implica
.
metoda substitutiei este utila in cazul sistemelor de dimensiune mica(putine ecuatii, putine necunoscute). Daca dimensiunea e mare atunci Metoda lui Gauss (sau metoda eliminarilor succesive) ce urmeaza a fi prezentata este mai utila. Deasemenea aceasta metoda se preteaza o executare secventiala pe computer.
Inainte: Transformari elementare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari elementare
Page 1 of 3
Inainte: Metoda lui Gauss Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index
Transformari elementare 1) Se inmulteste una din ecuatiile sistenului cu un numar. Exercitiu 1.1 (inmultim a doua ecuatie cu 2) Notam aceasta transformare simbolic cu
(14)
2) Se inverseaza doua ecuatii din sistem. Exercitiu 1.2 inversam ecuatiile 1 si 3 Notam aceasta transformare simbolic cu
3) Se inmulteste o ecuatie cu un numar real si se aduna la o alta ecuatie din sistem. Exercitiu 1.3 inmultim ec. 1 cu 2 si o scadem din 2-a Notam aceasta transformare simbolic cu
Aceste transformari pot fi utilizate pentru rearanjarea/modificarea ecuatiilor intr-o forma mai accesibila pentru rezolvarea sistemului. De pilda
(17)
Se considera sistemul
(18)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari elementare
Numarul
Page 2 of 3
se numeste pivot. Prima transformare elementara este
adica
Sistemul devine
(19)
Urmatoarea tranformare elementara vizeaza anularea tuturor termenilor de sub si deasupra pivotului, adica , prin urmare efectuam transformarea . Aceasta transformare poate fi efectuata algoritmic doarece stim ca 5 este exact
. Sistemul devine:
(20)
Se trece acum la a doua ecuatie. Noul pivot devine elementul
. Se efectueaza primul pas in
combinatia de transformari elementare ce vizeaza anularea tuturor termenilor de sub si deasupra noului pivot, adica . Se imparte asadar prin pivot ecuatia a doua, si se obtine noua forma a sistemului:
(21)
La fel ca in cazul precedent pentru anularea termenului
se efectueaza transformarea
, adica se scade din ecuatia 1 ecuatia 2 inmultita cu coeficientul termenului ce urmeaza a fi anulat. Se obtine:
(22)
Acesta este si sfarsitul metodei deoarece s-a ajuns la ultima linie si s-au anulat toti termenii de deasupra pivotului de pe ultima linie.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari elementare
Page 3 of 3
Inainte: Metoda lui Gauss Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss
Page 1 of 2
Inainte: Matrici Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Transformari elementare Cuprins Index
Metoda lui Gauss Se considera sistemul:
(23)
Aplicam iar metoda eliminarilor succesive. primul pivot este
. Observati ca daca se
inverseaza ecuatiile 1 si 2 se obtine noul pivot 1deci nu mai e necesara transformarea
.
dar pentru moment sa aplicam metoda direct pe sistemul dat. Impartim deci ecuatia 1 prin pivot
si se obtine:
(24)
Ca si in exemplul anterior efectuam acum transformari vizand anularea termenilor de sub si deasupra pivotului, adica termenii . Sunt necesare deci transformarile si care duc la
Metoda lui Gauss a fost deci aplicata cu succes primei linii. se trece la a doua. Noul pivot devine
, coeficientul corespunzand termenului diagonal..
Transformarea corespunzatoare este
ce duce la
(26)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss
Page 2 of 2
Se vizeaza acum anularea termenilor de sub si deasupra pivotului, adica termenii Sunt necesare deci transformarile
si
. . Dupa efectuarea
trasformarilor se ajunge la:
(27)
(28)
Metoda se opreste aici pentru ca ultima ecuatie nu aduce practic nicio informatie. Ea nu poate fi in niciun fel folosita pentru anularea coeficientilor de deasupra celui de-al treilea 0 din ecuatia a treia. Concluzia este ca
(29)
iar
poate fi orice numar real, cu alte cuvinte sistemul rezolvat este compatibil nedeterminat. De
pilda, dand valoarea
obtinem solutia
.
Inainte: Matrici Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Transformari elementare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Matrici
Page 1 of 3
Inainte: Metoda lui Gauss pe Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss Cuprins Index
Matrici Matricile sunt utilizate pentru stocarea datelor. Scopul este de a usura manipularea acestor date. Sa consideram 3 companii Comp1, Comp2, Comp3 care comercializeaza 2 produse denumite prod1, prod2. Preturile cu care ele comercializeaza aceste produse pot fi stocate sub forma matriceala:
(30)
E suficient sa stocam matricea M
(31)
Asadar o matrice este un tablou de numere ordonate pe linii si coloane. In cazul de fata spunem ca M este pentru ca are 2 linii si 3 coloane. Forma generala a unei matrici
(deci cum m linii, n coloane) este
Se considera sistemul
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Matrici
Page 2 of 3
Se noteaza
se numeste matricea asociata sistemului de mai sus iar sistemului.
se numeste matricea extinsa a
Exercitiu 1.4 Fie sistemul
(33)
Atunci, cu notatiile din definitia precedenta avem ca
Exercitiu 1.5 Sistemul
(34)
nu este compatibil determinat pentru ca
(35)
Noi am demonstrat anterior(cu metoda lui Gauss) ca este compatibil nedeterminat. Sistemul
(36)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Matrici
Page 3 of 3
este compatibil determinat pentru ca
(37)
Inainte: Metoda lui Gauss pe Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss pe matrici
Page 1 of 4
Inainte: Sisteme de inecuatii lineare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Matrici Cuprins Index
Metoda lui Gauss pe matrici Metoda lui Gauss poate fi aplicata direct pe matrici dupa cum urmeaza. Se considera matricea extinsa a sistemului
(38)
adica
(39)
In notatia simbolica inlocuim
ce denumeste ecuatia 1 din sistem cu
matricea extinsa. Se procedeaza la fel pentru pentru
ce denumeste linia 1 din
.
(40)
Se incearca acum eliminarea termenilor de pe a doua coloana cu exceptia elementului diagonal. Noul pivot este . Avem
(42)
Mai departe, se aplica trasformarile elementare ce anuleaza termenii 4/3 si 5/3 de pe a doua coloanaa
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss pe matrici
adica
Page 2 of 4
. Obtinem
Aceasta matrice extinsa corespunde sistemului
(44)
de unde rezulta
(45)
Se considera matricea extinsa a sistemului
(46)
adica
(47)
Primul pivot este 2. Se efectueaza transformarea
(48)
pentru anularea elementelor de pe prima coloana de sub 1 se efectueaza
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss pe matrici
Page 3 of 4
(49)
noul pivot este 2. Deci trebuie efectuata transformarea
(50)
Pentru eliminarea termenilor de sub si deasupra lui 1 pe coloana 2 trebuiesc efectuate transformarile: , ce duca la
(51)
Noul pivot este elementul diagonal de pe linia 3, adica ceea ce ne da
. Impartim linia 3 prin acest pivot:
(52)
Mai departe se vor anula termenii 1.25 si 0.5 de pe coloana 3 prin efectuarea transformarilor . De aici rezulta ca
(53)
Aceasta este matricea extinsa a unui sistem care este echivalent cu cel de la care am plecat. Acest sistem este
(54)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Metoda lui Gauss pe matrici
care are solutia
Page 4 of 4
.
Inainte: Sisteme de inecuatii lineare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Matrici Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de inecuatii lineare
Page 1 of 3
Inainte: Seminar: Sisteme de ecuatii Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss pe Cuprins Index
Sisteme de inecuatii lineare La fel ca sistemele de ecuatii, doar ca in loc de semnul
avem fie
fie
.
De exemplu
(55)
Observatie 1.3 Observam ca putem presupune ca fie numai semnul
fie numai semnul
va
aparea. Intr-adevar, dandu-se sistemul;de inecuatii de mai sus putem inmulti ultima inecuatie cu si in urma schimbarii de semn in inegalitate se obtine
(56)
Daca dorim sa folosim semnul
putem inmulti primele doua inecuatii cu
si se obtine
(57)
Cu aceasta observatie putem presupune ca toate sistemele de inecuatii lineare sunt de tipul
Sistemele de inecuatii liniare pot fi trasformate in sisteme de ecuatii liniare prin folosirea unor
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de inecuatii lineare
necunoscute auxiliare
Page 2 of 3
ce satisfac(impreuna cu necunoscutele
sistemul de ecuatii liniare
(59)
Intr-adevar, daca
sunt solutii ale acestui sistem rezulta, deoarece
sunt negative,
(60)
Sa se rezolve sistemul de inecuatii liniare
(61)
Se considera sistemul linar asociat
(62)
cu
.
Acest sistem se poate rezolva utilizand metoda lui Gauss asa cum a fost arata inainte in ( ). Se porneste cu matricea extinsa a acestui sistem:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sisteme de inecuatii lineare
Page 3 of 3
Se porneste cu matricea extinsa a acestui sistem:
(63)
Efectuand aceleasi transformari ca in ( ) se obtine
(64)
ceea ce conduce la
(65)
care e echivalent cu
(66)
deci
(67)
unde
.
Inainte: Seminar: Sisteme de ecuatii Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss pe Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
Page 1 of 6
Inainte: Spatii vectoriale Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de inecuatii lineare Cuprins Index
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare Exercitiu 1.6 Sa se rezolve sistemul de ecuatii
(68)
cu metoda lui Gauss Se considera matricea extinsa a sistemului
(69)
Se efectueaza transformarea
adica
(70)
Se efectueaza transformarile
,
(71)
Impartim apoi
prin al doilea element de pe diagonala
(72)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
Apoi
,
Page 2 of 6
,
(73)
Urmeaza
(74)
si apoi
ce conduce la
(75)
care e matricea extinsa a sistemului
(76)
In cazul in care, la un anumit pas elementul de pe diagonala prin care ar trebui sa impartim este 0, se inverseaza linia respectiva cu o linie de sub ea pentru ca noul element diagonal sa fie diferit de 0. Sa consideram sistemul cu matricea extinsa de mai jos
(77)
pasul 1 in metoda lui Gauss este deja efectuat, ne mutam la linia a doua. Acolo avem un element diagonal egal cu 0, deci vom inversa liniile 2 si 3. Matricea devine
(78)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
Page 3 of 6
Calculul se face in continuare exact ca in exercitiul precedent. Metoda Gauss-Jordan In multe situatii metoda lui Gauss duce la operatii cu multe fractii. O alternativa este folosirea metodei Gauss-Jordan. Sa consideram matricea extinsa din exemplul anterior
(79)
Se alege un element nenul pe prima coloana, de pilda
. Acesta va fi numit pivot.
Numerele din matrice care nu sunt pe aceeasi linie sau coloana cu
se modifica dupa regula
dreptunghiului adica pentru inlocuirea unui numar, de pilda cel de pe linia 2, coloana 2, adica -6 se identifica dreptunghiul cu varfuri diagonal opuse in si adica
(80)
si se pune in locul lui numarul obtinut din produsul numerelor de pe diagonala ce contine pivotul . Punem deci minus produsul numerelor de pe cealalta diagonala, adica pe pozitia 2,2 numarul 2. In acelasi mod punem pe pozitia 2,3 numarul
.
pe pozitia 2,4 numarul
pe pozitia 3,2
pe pozitia 3,3
.
.
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
pe pozitia 2,4
Page 4 of 6
. pe pozitia 3,4
.
Se inlocuieste apoi prima coloana cu exeptia pivotului cu 0. Matricea devine
(81)
Se alege acum ca pivot un element pe a doua coloana, (exceptand cel care e deasemenea pe prima linie), de pilda 2. Vor fi modificate cu regula dreptunghiului toate numerele din matrice cu exceptia celor de pe linia sau coloana pivotului. Avem in pozitia 1,1 -2 in pozitia 1,3 0 in pozitia 1,4 -6 in pozitia 3,1 0 in pozitia 3,3 -10 in pozitia 3,4 -10 Se inlocuieste tot ce e deasupra si sub pivot cu 0. Matricea devine
(82)
Se trece la coloana 3. Automat pivotul trebuie ales numarul de pe pozitia 3,3. Vor fi modificate cu regula dreptunghiului toate numerele din matrice cu exceptia celor de pe linia sau coloana pivotului. in pozitia 1,1 20 in pozitia 1,3 0 in pozitia 1,4 60 in pozitia 2,1 0 in pozitia 2,3 0 in pozitia 2,4 -40 Se inlocuieste coloana 3 cu exeptia pivotului cu 0. Matricea devine
(83)
Sistemul care are aceasta matrice extinsa este
(84)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
iar solutia este
Page 5 of 6
.
Exercitiu 1.7 O firma a raportat in 2004 un profit de 1.5 milioane RON, in 2005 un profit de 1.9 milioane RON iar in 2006 un profit de 2.1 milioane RON. Asumand un model parabolic de crestere a profitului sa se estimeze profitul pe anul 2007. Consideram ca lui 2004 ii corespunde momentul initial 0, lui 2005 ii corespunde momentul 1, lui 2006 momentul 2 iar lui 2007 ii va corespunde momentul 3. Consideram functia
care asociaza fiecarui moment profitul firmei la acel moment. Vom avea deci
(85)
Deoarece se considera ca profitul creste parabolic se incearca gasirea unei functii care sa satisfaca conditiile
cu
alte cuvinte
(86)
Acest sistem se poate rezolva cu metoda lui Gauss si rezulta Urmeaza ca la momentul
.
profitul este
.
Algoritm (Metoda lui Gauss cum a fost descrisa aici): ----------------------for Daca
se inverseaza
cu o linie
cu
si
.
for
(87)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
Page 6 of 6
end end -----------------------
Inainte: Spatii vectoriale Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de inecuatii lineare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Page 1 of 5
Inainte: Combinatie liniara. Sistem de Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale Cuprins Index
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati Exemplu 2.1 Sa consideram multimea numerelor reale relatii: 1.
. Numerele reale satisfac urmatoarele
pentru oricare doua numere reale
2.
.
pentru oricare trei numere reale
3.
pentru
.
. Deci exista un astfel de numar ,0, asa ca
. 4. pentru orice
, adica
admite un element
asa ca
.
5.
, pentru orice
6.
, pentru orice
7.
8.
, pentru orice
, pentru orice
.
.
.
.
Spunem in acest caz ca multimea a numerelor reale formeaza cu operatia de adunare si inmultire cu numerele reale un spatiu vectorial. Exemplu 2.2 Sa consideram multimea cuplurilor de numere reale . Definim operatia de adunare a elementelor din
ca
fiind adunarea pe componente equation(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)de pilda pentru avem ca
Observatie 2.1 Se observa ca suma a doua elemente produce un alt element ce este deasemenea in . Definim operatia de inmultire cu numere reale ca fiind inmultirea pe componente
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Page 2 of 5
equation&alpha#alpha;(x,y)=(&alpha#alpha;x,&alpha#alpha;y) de pilda pentru
avem ca
Observatie 2.2 Se observa ca inmultirea unui element cu un numar real produce un alt element ce este deasemenea in .
Atunci cu aceste operatii
1.
definite anterior elementele din
satisfac urmatoarele relatii:
pentru oricare doua elemente cu
. Explicatie: avem ca deoarece
. aplicand
regulile de adunare ( ) avem ca
2.
pentru oricare trei elemente
. Avem ca
de unde rezulta ca equation(v+w)+z= ((x_1,y_1)+(x_2,y_2))+(x_3,y_3)=(x_1+x_2,y_1+y_2)+(x_3,y_3)=
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Spunem in acest caz ca multimea
Page 3 of 5
a cuplurilor de numere reale formeaza cu operatia de adunare
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Page 4 of 5
pe componente si inmultire cu numerele reale un spatiu vectorial. a lui Exemplu 2.3 Sa consideram submultimea . Avem ca
definita prin dar
.
Atunci deasemenea multimea formeaza cu operatia de adunare pe componente si inmultire cu numerele reale un spatiu vectorial descrise in , . Pentru a arata aceasta trebuie sa aratam ca operatiile de adunare in V si inmultire cu numere real au proprietatea ca produc deasemenea elemente in V (vezi observatiile , ) si ca aceste operatii satisfac proprietatile 1-7 din [ ]. Intr-adevar, daca
cu
atunci , prin urmare
suma este deasemenea in V.
Proprietatile 1-7 se arata la fel ca in [ ]. Verificam numai prima proprietate: pentru oricare doua elemente cu
. Explicatie: avem ca deoarece
. aplicand regulile de
adunare ( ) avem ca
Trecem acum la definitia matematica a spatiilor vectoriale. Fie V o mutime nevida si un corp . De cele mai multe ori va fi fie corpul numerelor reale fie corpul numerelor complexe. Se da o lege de compozitie interna pe V adica o functie si o lege de compozitie externa adica o functie
.
Definitie 2.1 V formeaza un spatiu vectorial(sau liniar) peste corpul 1.
pentru oricare doua elemente
2.
.
pentru oricare trei elemente
3. Exista un element notat 4. pentru orice
daca
exista
asa ca
. pentru
asa ca
.
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Page 5 of 5
5.
, pentru orice
6.
, pentru orice
7.
8.
.
.
, pentru orice
, pentru orice
.
.
Elementele lui V se numesc vectori, elementele lui
se numesc scalari.
In mod similar cu exemplul [ ] in care a fost definit spatiul vectorial se definesc spatiile vectoriale ce sunt formate din toate n-uplele de numere reale: equation ^n = { (x_1,x_2,...,x_n)|x_1,x_2,...,x_n&isin#in;
}
cu operatiile de adunare si scadere equation(x_1,x_2,...,x_n)+(y_1,y_2,...,y_n)=(x_!+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n),&alpha#alpha; (x_1,x_2,...,x_n)=(&alpha#alpha;x_1,&alpha#alpha;x_2,...,&alpha#alpha;x_n) Exemplu 2.4 Aratati ca multimile equation V_1={ (x,-x)|x &isin#in; } formeaza spatii vectoriale peste , ].
}, V_2={ (x,0)|x &isin#in;
cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [
Aratati ca multimile equation V_3={ (x,2x-2)|x &isin#in; }, V_4={ (x+1,-x)|x &isin#in; } nu formeaza spatii vectoriale peste cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [ , ]. Exemplu 2.5 Aratati ca multimile equation V_1={ (x,y,x+y)|x &isin#in; &isin#in; } formeaza spatii vectoriale peste ] cu .
}, V_2={ (x,-y,x-2y)|x
cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [
Inainte: Combinatie liniara. Sistem de Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Combinatie liniara. Sistem de generatori
Page 1 of 2
Inainte: Sistem liniar independent Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale. Definitie si Cuprins Index
Combinatie liniara. Sistem de generatori Definitie 2.2 Un vector
este combinatie liniara a vectorilor
daca exista
asa ca
Exemplu 2.6 In spatiul vectorial si
vectorul
este o combinatie liniara a vectorilor
pentru ca
In spatiul vectorial
vectorul
nu este o combinatie liniara a vectorilor
si
pentru ca daca ar fi atunci am avea
de unde egaland componentele de pe pozitia trei ar rezulta ca 3=0, absurd. Definitie 2.3 Vectorii vector
formeaza un sistem de generatori pentru V daca orice
este o combinatie liniara de vectori
Exemplu 2.7 In spatiul vectorial
vectorii
pentru ca pentru orice vector
adica
vectorul
si
formeaza un sistem de generatori
avem ca
este o combinatie linara a vectorilor
In spatiul vectorial
.
si
.
nu este o combinatie liniara a vectorilor
si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Combinatie liniara. Sistem de generatori
Page 2 of 2
nu formeaza un sistem de generatori pentru V deoarece vectorul scris ca o combinatie liniara a vectorilor
si
nu poate fi
(am arata acest lucru in [ ].
Inainte: Sistem liniar independent Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale. Definitie si Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sistem liniar independent
Page 1 of 2
Inainte: Baza unui spatiu vectorial Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Combinatie liniara. Sistem de Cuprins Index
Sistem liniar independent Definitie 2.4 Vectorii
sunt liniar independenti daca relatia
implica
.
Exemplu 2.8 In spatiul vectorial
vectorii
si
sunt linear independenti pentru ca daca
atunci
de unde rezulta ca
In spatiul vectorial
.
vectorii
nu sunt linear independenti pentru
ca
Exemplu 2.9 Aratati ca doi vectori
sunt linear independenti daca
si numai daca
(89)
Exemplu 2.10 Aratati ca n vectori
sunt linear independenti daca si numai daca
nuciunul nu este o combinatie liniara a celorlalti.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Sistem liniar independent
Page 2 of 2
Definitie 2.5 Opusul notiunii de indepenedenta lineara este notiunea de dependenta lineara: Vectorii sunt liniar dependenti daca exista nu toi nenuli astfel incat
Exemplu 2.11 Vectorii
sunt linear dependenti pentru ca In general daca
vectori
atunci sistemul
este o combinatie liniara de
este liniar dependent.
Inainte: Baza unui spatiu vectorial Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Combinatie liniara. Sistem de Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Baza unui spatiu vectorial
Page 1 of 3
Inainte: Transformari liniare Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Sistem liniar independent Cuprins Index
Baza unui spatiu vectorial Definitie 2.6 Vectorii
formeaza o baza a spatiului vectorial
daca ei
sunt liniar independenti si formeaza un sistem de generatori pentru V. Exemplu 2.12 Vectorii
formeaza o baza a spatiului vectorial
pentru ca (a fost
aratat inainte) ca ei sunt linear independenti si ca formeaza un sistem de generatori pentru Teorema 2.1 Daca vectorii
.
formeaza o baza a spatiului vectorial
atunci pentru orice vector
exista scalari unici
asa ca
Exemplu 2.13 Sa consideram spatiul vectorial n-dimensional baza canonica) este formata din vectorii unitari
. O baza a acestui spatiu(numita . Sa aranjam acesti vectori pe
coloane. Pentru orice vector
avem ca
(90)
Exemplu 2.14 Fie
o baza a spatiului vectorial cu
atunci
este deasemenea o baza.
Cum se verifica linear-independenta unui sistem de vectori? Matricea vectorilor se obtine punand vectorii pe coloane, unul langa altul. Daca
atunci matricea acestori doi vectori e data de
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Baza unui spatiu vectorial
Page 2 of 3
(91)
Daca
atunci matricea acestor trei vectori e data
de
(92)
Daca
atunci matricea acestor trei vectori e data de
(93)
Teorema 2.2 Un sistem de vectori
formeaza un sistem liniar independent daca si
numai daca rangul matricei vectorilor este egal cu numarul vectorilor. Teorema 2.3 Un sistem de vectori determinatul matricei vectorilor
formeaza o baza in
daca si numai daca
este diferit de 0.
Sa aratam ca daca
formeaza o baza atunci determinantul matricei vectorilor este
diferit de 0.
Sa presupunem ca equationv_1= (
Deoarece coeficienti unici
sau, folosind scrierea
), v_2= (
), , v_n= (
formeaza o baza rezulta ca dat fiind un vector
)
exista
asa ca
, avem ca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Baza unui spatiu vectorial
equationx_1 (
), +x_2 (
Page 3 of 3
), + x_n (
)= (
)
Cu alte cuvinte, adunanda pe componente rezulta ca
equation(
)= (
prin urmare coeficientii
)
formeaza solutia unica a sistemului
.
Deci acest sistem e compatibil determinat si ca urmare matricea asociata lui(care este si matricea vectorilor ) are determinantul diferit de 0. Invers, daca aceasta matrice are determinantul diferit de 0 implica faptul ca sistemul are solutie unica prin urmare exista coeficienti unici asa ca egalitatea sa fie adevarata. De aici rezulta ca formeaza o baza.
Inainte: Transformari liniare Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Sistem liniar independent Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 1 of 5
Inainte: Vectori si valori proprii Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Baza unui spatiu vectorial Cuprins Index
Transformari liniare este transformare liniara daca 1.
pentru oricare doi vectori
2.
pentru oricare doi vectori
Exercitiu 2.1 Fie
Sa se arate ca
.
.
cu
este o transformare liniara.
Solutie: Fie
,
atunci
Avem deci ca
Pe de alta parte si deci
care e egal cu
. Concluzia este ca
.
Aratam acum a doua proprietate: de unde rezulta ca
Pe de alta parte
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 2 of 5
de unde rezulta ca
. Propozitie 2.1 Daca T este transformare liniara atunci avem ca
Matricea asociata unei transformari liniare baza in V,
baza in
intr-o pereche de baze. Fie
. Descompunem fiecare vector in baza
dupa cum urmeaza
(94)
Matricea asociata lui
in bazele
,
este prin definitie
(95)
Formal, putem scrie egalitatile 187 in forma
Acum, daca un vector
se descompune pe baza atunci utilizand proprietatea
sub forma ca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 3 of 5
si putem scrie aceasta egalitate formal dupa cum urmeaza
resulta atunci formula pentru coordonatele lui
in baza
Exercitiu 2.2 Se considera canonica a lui
:
. Sa se afle matricea lui
in baza
.
Avem ca
Matricea lui
in baza canonica este
Deoarece coordonatele vectorului pentru coordonatele vectorului
in baza canonica sunt
resulta din
in baza canonica este
Formula ne da intr-adevar coordonatele corecte deoarece
Exercitiu 2.3
ca formula
. Calculati matricea lui
.
in baza canonica.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 4 of 5
Matricea lui T se obtine punand vectorii coordonatelor pe coloane:
deci
Exercitiu 2.4 Sa se afle matricea lui
in baza
.
Deci
Sa consideram vectorul sunt
Vrem sa aflam coorodnatele lui
deci cocordonatele lui
in baza
.
in aceeasi baza. Formula
ne da direct ca aceste coordonate
sunt
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari liniare
Page 5 of 5
Sa facem o verificare. Utilizand formula de definitie a lui Deasemenea acea baza sunt
avem ca
.
si prin urmare intr-adevar coordonatele lui
in
.
Inainte: Vectori si valori proprii Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Baza unui spatiu vectorial Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Page 1 of 6
Inainte: Vectori liberi Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Transformari liniare Cuprins Index
Vectori si valori proprii Definitie 2.7 Fie o transformare liniara
pentru un numar real sau complex lui
iar
si un vector
este un vector propriu al lui
Exercitiu 2.5 Fie
. Daca exista relatia
spunem ca
asociat valorii proprii
,
valoare proprie a lui
iar
este o valoare proprie a lui . Atunci
este un vector propriu al lui
e
asociat lui
pentru ca
iar
adica
.
Observatie 2.3 Observati ca in exemplul de mai sus propriu asociat lui real.
. In general, orice
este vector propriu asociat lui
este deasemenea vector . Aici
este numar
bf Cum se afla valorile proprii ale unei transformari liniare date? Consideram matricea asociata lui intr-o baza oarecare a lui . Daca putem alege aceasta baza sa fie baza canonica deoarece in acest caz calculele ce urmeaza a fi efectuate sunt mai usor de facut. Sa notam coeficientii matricei A dupa cum urmeaza
Se formeaza urmatorul polinom numit polinomul caracteristic asociat lui caracteristic asociat lui T)
(sau polinomul
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Radacinile lui
Page 2 of 6
(adica solutiile ecuatiei
) sunt exact valorile proprii ale lui
spune si ca aceste radacini sunt valorile proprii ale matricii Exercitiu 2.6 Sa se afle polinomul caracteristic
. Se mai
.
si toate valorile proprii ale transformarii
, Solutie: In baza canonica matricea asociata transformarii
prin urmare polinomul caracteristic al lui
este
este dat de formula
Pentru a afla valorile proprii consideram ecuatia
cu radacinile
. Deci valorile proprii sunt
Exercitiu 2.7 Sa se afle polinomul caracteristic
.
si toate valorile proprii ale transformarii
,
Solutie: Matricea lui transformarii este
in baza canonica a lui
este Solutie: In baza canonica matricea asociata
Polinomul caracteristic este prin urmare
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Page 3 of 6
Rezulta ca valorile proprii sunt solutiile ecuatiei
deci ele sunt
numarata de doua ori si
.
bf Cum se afla vectorii proprii ale unei transformari liniare date? Mai intai se afla dupa metoda descrisa anterior valorile proprii
dupa care pentru
fiecare valoare proprie in parte se calculeaza vectorii proprii corespunzatori. Sa ii calculam pentru prima valoare proprie , pentru celelealte se calculeaza la fel. Dupa definitia
vectorii proprii
corespunzatori valorii proprii
trebuie sa satisfaca
Egalitatea de mai sus este de fapt un sistem liniar ce poate fi rezolvat pentru componentele vectorului pe care incercam sa-l calculam. Daca are matricea
intr-o anumita baza iar
are coordonatele
in acea baza sistemul
se scrie
sub forma
adica
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Page 4 of 6
(96)
Aceasta formula ne da indicatia cum sa calculam vectorii proprii asociati unei valori proprii : Se construieste sistemul ( ) si apoiu se rezolva acest sistem pentru in baza aleasa.
Exercitiu 2.8 S-a demonstrat inainte in sunt
ca valorile proprii al transformarii , . Sa se afle pentru fiecare valoare proprie un vector
propriu asociat. Solutie: Sa aflam un vector propriu pentru valoarea proprie transformarii
Sistemul
. In baza canonica matricea asociata
este
devine
adica
de unde rezulta ca
adica
. Putem spune ca multimea vectorilor proprii
este formata din vectorii de forma
care e echivalenta cu (97) Un vector propriu este de pilda
.
este de asemenea un vector propriu
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
deoarece este in multimea
Page 5 of 6
.
Sa aflam un vector propriu pentru valoarea proprie Atunci cand
sistemul
.
devine
adica
de unde rezulta ca
adica
. Putem spune ca multimea vectorilor proprii este
formata din vectorii de forma
care e echivalenta cu (98) Un vector propriu este de pilda deoarece este in multimea
.
este de asemenea un vector propriu
.
, Exercitiu 2.9 S-a demonstrat inainte in ca valorile proprii al transformarii sunt . Sa se afle vectorii proprii asociati valorii proprii . Solutie: In baza canonica matricea asociata transformarii
Sistemul
este
devine
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori si valori proprii
Page 6 of 6
adica
ceea ce revine la
(99)
Incercam sa descriem mutimea tuturor solutiilor acestui sistem. Prima coordonata in timp ce urmatoarele doua coordonate satisfac ecuatia
adica
poate fi orice, . Putem
spune ca multimea vectorilor proprii este formata din vectorii de forma
Deoarece
multimea de mai sus poate fiscrisa sub
forma (100) Doi vectori proprii care geneareaza aceasta multime si sunt linear independenti(demonstrati!) sunt si .
Inainte: Vectori liberi Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Transformari liniare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.
Page 1 of 3
Inainte: Vectori coliniari si coplanari. Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi Cuprins Index
Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar. Notam cu
spatiul euclidian tridimensional ale carui proprietati au fost studiate la geometria
elementara din liceu, iar cu V multimea vectorilor liberi asociati lui
.
Vectori liberi. Dupa cum se stie din geometria elementara, fiecarei perechi ordonate de puncte din
i se asociaza segmentul orientat
denumit vector legat. Marimea
vectorului legat
este egala cu distanta
atunci vectorul
se numeste vectorul legat nul.
Definitie 3.1 Doi vectori legati
dintre punctele P si Q. Daca d(P,Q)=0,
si
numesc echipolenti si se scrie
a
se daca
sunt amandoi nuli sau sunt paraleli si au acelasi sens si aceeasi marime (fig. 43). Definitie 3.2 Multimea vectorilor legati care sunt echipolenti cu vectorul legat vectorul liber definit de
se numeste .
Acest vector are prin definitie marimea, directia si sensul lui
.
Definitie 3.3 Un vector liber de marime unitara se numeste versor
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.
Page 2 of 3
Figura 1: Doi vectori paraleli. Vectorul liber definit de perechea de puncte (P,P) se noteaza cu observa ca vectorul are marimea nula si directia nedeterminata. Daca
este vectorul liber definit de
numeste vectorul opus lui
si se numeste vectorul nul. Se
atunci vectorul liber definit de
se noteaza
si se
.
Operatiile cu vectori liberi se definesc prin operatii intre vectori legati corespunzatori rezultatul lor fiind insa independent de alegerea vectorilor legati. Tinand cont de aceasta se pot vizualiza si vectori liberi prin segmente orientate. Definitie 3.4 Suma
a doi vectori liberi
,
se obtine dupa regula paralelogramului (fig.
2, prima imagine) sau a triunghiului(fig. 2, a doua imagine).
Figura: : Regula paralelogramului in prima imagine, regula triunghiului in a doua. Observatie 3.1 Daca un contur format din mai multi vectori se inchide atunci suma lor este nula. Proprietati 3.1 Fie
vectori liberi oarecare. Atunci au loc urmatoarele proprietati:
(101)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.
Definitie 3.5 Prin inmultirea unui vector liber avand aceeasi directie ca si dupa cum
sau
, marimea
cu un scalar
Page 3 of 3
se obtine un vector
si avand sensul lui
sau contrar lui
.
Proprietati 3.2 Inmultirea dintre un vector si un scalar are proprietatile urmatoare:
Proprietati 3.3 Adunarea vectorilor este distributiva fata de inmultirea cu un scalar: (102) Proprietatile de mai sus arata ca multimea vectorilor liberi V este un spatiu vectorial peste R.
Inainte: Vectori coliniari si coplanari. Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
Page 1 of 4
Inainte: Produsul scalar a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Cuprins Index
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala. Definitie 3.6 Doi vectori
se zic coliniari daca au aceeasi directie.
Teorema 3.1 Doi vectori sunt coliniari daca si numai daca sunt liniar dependenti. Demonstratie: Fie doi vectori coliniari
si
. Atunci ei au acelasi versor: (103)
de unde
(104)
unde
. Reciproc, daca
si
sunt liniar dependenti atunci
(105)
$$ Observatie 3.2 Relatia de coliniaritate vectori este adica . Cand
ne arata ca si raportul marimilor celor doi vectorii au sensuri opuse iar
ei
sunt opusi. Definitie 3.7 Trei vectori situati in acelasi plan sau paraleli cu acelasi plan se numesc vectori coplanari.
Definitie 3.8 Fie trei vectori coplanari
pe
care ii deplasam astfel incat sa aiba aceeasi origine. (fig. 3)Se duce prin si
, extremitatea vectorului atunci
, .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
deoarece
Vectorii vectorului
si
si
deci
se numesc componentele
dupa directiile vectorilor
s-a descompus vectorul si
Page 2 of 4
si
. Astfel
dupa directiile vectorilor
.
Figura 2: Descompunerea unui vector dupa doua directii. Teorema 3.2 Descompunerea unui vector dupa directiile a doi vectori este unica. Demonstratie: Presupunem ca descompunerea nu ar fi unica, adica unde
prin urmare
si
si
sau
sunt coliniari, nu se poate, deci
contrazice ipoteza. Deci
si
si
atunci
sau
,
.
$$ Teorema 3.3 Trei vectori sunt coplanari daca si numai daca sunt liniar dependenti. Demonstratie: Daca
sunt liniar dependenti atunci
(106)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
si fie
Page 3 of 4
, atunci
(107)
deci vectorul
este descompus dupa directiile
si
, deci cei trei vectori sunt coplanari.
Reciproc este evident. $$ Teorema 3.4 Spatiul vectorial real al vectorilor liberi din
are dimensiunea 3.
Demonstratie: exercitiu. $$ Observatie 3.3 Analog se poate descompune un vector dupa trei directii necoplanare, iar descompunerea este unica. Definitie 3.9 Expresia care da descompunerea unui vector dupa trei axe rectangulare se numeste expresia analitica a vectorului, adica ,
unde:
,
este baza ortonormata.(vezi Algebra liniara).
Definitie 3.10 (Proiectia unui vector) Fie vectorul pe care il proiectam pe axa
(fig.4)
Proiectia lui
adica segmentul
o notam
(proiectia lui
pe axa x). Notam cu
unghiul format
de directia vectorului cu directia axei(adica versorul atunci exista relatia (108)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
Page 4 of 4
Figura 3: . Teorema 3.5 Proiectia sumei vectorilor dintr-un contur poligonal este egala cu suma proiectiilor vectoriale. Demonstratie: evidenta $$
Inainte: Produsul scalar a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Produsul scalar a doi vectori
Page 1 of 2
Inainte: Produsul vectorial a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori coliniari si coplanari. Cuprins Index
Produsul scalar a doi vectori Notiunea de produs scalar se cunoaste de la algebra liniara. Fie ,
. Pentru
notam cu
spatiul vectorilor liberi si
unghiul dintre vectorii
Teorema 3.6 Functia
si
definita prin
este un produs scalar pe
.
Demonstratie: evidenta. $$ Observatie 3.4 Expresia analitica a produsului scalar a doi vectori este , deoarece
Unghiul a doi vectori nenuli este dat de
(109)
Prin urmare
ceea ce implica . Daca deoarece
sau
si au acelasi sens atunci produsul lor scalar este .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Produsul scalar a doi vectori
Page 2 of 2
Propozitie 3.1 Produsul scalar a doi vectori este egal cu marimea unuia dintre ei inmultita cu proiectia celuilalt pe el. Demonstratie: Prin definitie dar
deci
.
$$ Propozitie 3.2 Produsul scalar este distributiv fata de adunarea vectorilor.
Inainte: Produsul vectorial a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori coliniari si coplanari. Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.
Page 1 of 2
Inainte: Seminarul 1 Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul scalar a doi Cuprins Index
Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori. Definitie 3.11 Produsul vectorial al vectorilor liberi nenuli si neparaleli
si
a carui directie este perpendiculara pe planul vectorilor corespunde miscarii burghiului drept daca se roteste
spre
si
este vectorul , al carui sens
cu burghiul
dintre cei doi
vectori si a carui marime este egala cu aria paralelogramului construit pe cei doi vectori adica
si
Observatie 3.5 1) Daca cel putin unul dintre vectorii si este nul sau daca vectorii sunt paraleli, produsul vectorial este egal prin definitie cu 0. 2) Produsul vectorial a doi vectori este o aplicatie biliniara de la la . Acestui vector ii corespunde tripletul ordonat de numere numite coordonatele euclidiene ale vectorului
in raport cu baza
. Vom scrie
.
Figura 4: . Definitie 3.12 Se numeste reper cartezian in originea reperului iar ale vectorului de pozitie
multimea
. Punctul
se numeste
se numeste baza reperului. Coordonatele euclidiene se numesc coordonatele carteziene ale punctului M fata de
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.
reperul ortonormat
Bijectia dintre
unde
si
determinata prin fixarea reperului cartezian se numeste
sistem de coordonate cartezienesi se noteaza prin
Versorilor
Page 2 of 2
.
le atasam axele de coordonate Ox, Oy, Oz care
au acelasi sens cu sensul pozitiv al acestor versori. Coordonatele carteziene ale punctului M reprezinta marimile algebrice ale proiectiilor ortogonale ale vectorului coordonate(fig. 6)
pe cele trei axe de
Axele au ecuatiile: cele trei axe determina trei plane xOy, yOz, zOx numite plane de coordonate care au ecuatiile: xOy: z=0, yOz: x=0, zOx: y=0. Cele trei plane de coordonate impart spatiul in opt regiuni numite octante.
Figura 5: .
Inainte: Seminarul 1 Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul scalar a doi Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 1 of 12
Inainte: Dreapta in spatiu Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul vectorial a doi Cuprins Index
Seminarul 1 Adunarea, scaderea si inmultirea cu scalari a vectorilor. Exercitiu 3.1 Consideram vectorul
si vectorul
. Sa se afle numarul aceeasi directie ca vectorul
Demonstratie: Sa notam cu
Daca
si
pentru ca suma celor doi vectori sa aiba
.
suma celor doi vectori, deci
au acceasi directie inseamna ca unul e multiplu de celalalt, deci
pentru un numar real
. Prin egalarea componentelor deducem ca
De unde rezulta ca
. $$
Exercitiu 3.2 Asupra unui obiect actioneaza doua forte ca in figura 7, unde ,
,
si
. Sa se gaseasca forta rezultanta.
Demonstratie: Forta rezultanta este suma celor doua forte. Avem
si
.
Va rezulta ca
si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 2 of 12
.
Prin sumare se obtine apoi
.
Figura 6: . $$ Exercitiu 3.3 Sa se gaseasca un vector lungime ca vectorul Demonstratie: Daca
care e paralel cu vectorul
si are aceeasi
. si
sunt paraleli inseamna ca vectorul
se poate obtine din
prin inmultire cu un scalar:
Lungimea lui
este
si ea trebuie sa fie egala cu . Urmeaza ca
si deci
. Deci
. Sunt deci doi vectori ce satisfac conditiile problemei
anume
$$ Exercitiu 3.4 Sa se descompuna vectorul
pe directiile
si
.
Demonstratie:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 3 of 12
Trebuie sa gasim scalarii
si
asa ca .
Egaland componentele vectorilor gasim ca:
Deci
. Descompunerea este: .
Figura 7: . $$ Exercitiu 3.5 Cu ce forta trebuie sa actionam asupra unui obiect de masa 1000Kg pe directia (fig. 1) pentru ca sub actiunea acestei forte obiectul sa se deplaseze pe orizontala? Demonstratie: Forta
trebuie sa aiba aceeasi directie ca
si prin urmare putem scrie un numar real
pentru
. Forta de greutate
e data de
formula este masa obiectului iar
unde este acceleratia
gravitationala. Forta rezultanta este suma celor doua forte:
Pentru ca obiectul sa se miste pe orizontala trebuie ca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 4 of 12
forta rezultanta sa fie pe directia orizontala si deci a doua componenta a ei va trebui sa fie 0:
Figura 8: . si deci
. In concluzie
. $$ Produs Scalar
Exercitiu 3.6 Sunt folosite doua formule pentru calcularea produsului scalar a doi vectori si
Pe de o parte
(110) pe de alta parte (111) unde
este unghiul dintre cei doi vectori. Demonstrati ca cele doua formule sunt echivalente.
Demonstratie: Din figura rezulta descrierea in coordonate polare a celor doi vectori: si
Reprezentarea polara a celor doi vectori este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 5 of 12
Va resulta ca formula (10) e echivalenta cu
Figura 9: .
A doua formula (11) devine
si
deci cele doua formule sunt echivalente. Pentru vectori in spatiu o solutie similara poate fi data. Aplicand teorema lui Pitagora generalizata gasim ca:
Utilizand formula
rezulta ca
Figura 10: . $$ Exercitiu 3.7 (Lucrul mecanic) Asupra unui obiect actioneaza o forta rezultanta
de marime
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 6 of 12
20N ce face un unghi de cu axa orizontala. Obiectul e deplasat sub actiunea acestei forte pe o panta de inclinatie (ca in figura (12) pe distanta 20m. Sa se afle lucrul mecanic efectuat de forta. Demonstratie: Atunci cand forta e constanta ca marime vectoriala iar deplasarea se face pe o linie dreapta lucrul mecanic efectuat de forta e dat de formula:
. In cazul nostru pentru calculul lucrului mecanic vom utiliza formula (11):
Figura 11: . $$ Exercitiu 3.8 (Ortogonalitate) Consideram doi vectori
. Gasiti
pentru ca Demonstratie: Daca cei doi vectori sunt perpendiculari produsul lor scalar trebuie sa fie egal cu 0 ceea ce implica si deci . $$ Exercitiu 3.9 (Ortogonalitate) Consideram curba de ecuatie carteziana fig. (13). Sa se afle un vector normal la curba in punctul
din
.
Demonstratie: Stim ca derivata functiei
evaluata la
panta liniei tangente la graficul lui
ne va da
in punctul
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 7 of 12
Aceasta panta este dreptei prin
este
. Prin urmare ecuatia
si de panta este . Un alt punct pe aceasta dreapta . Va rezulta ca este un
vector tangent la curba vector normal la curba in perpendicular pe
in punctul
. Un
este atunci un vector
, de exemplu
Figura 12: . $$ Exercitiu 3.10 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vetoriala a vectorului pe vectorul fara utilizarea formulei de calcul a proiectiei. Demonstratie: Sa notam
proiectia lui
proiectie are aceeasi directie ca si pentru un numar
pe
. Aceasta
prin urmare pe care urmeaza sa-
l aflam. Conditia satisfacuta de proiectie este ca
Inlocuind gasim ceea ce implica
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 8 of 12
Figura 13: . si deci
de unde rezulta ca
prin urmare
$$ Exercitiu 3.11 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vetoriala a vectorului pe un plan paralel cu vectorii si Demonstratie: Deoarece aceasta proiectie plan paralel la vectorii
e continuta intr-un si
ea va fi o combinatie
liniara de cei doi vectori: (112) Pe de alta parte, paralel la
si
fiind proiectia lui
pe un plan
trebuie ca vectorul
sa fie perpendicular pe acest plan(vezi fig. (15) , prin urmare va fi perpendicular si pe vectorii
si
. Vom avea deci
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 9 of 12
Figura 14: .
(113)
Utilizand formula (12) rezulta
(114)
Avem
Inlocuind in (14) gasim ca
(115)
Rezolvand acest sistem gasim
si
. Prin urmare, proiectia lui
este
(116) $$ Exercitiu 3.12 (Proiectia ortonormala) Sa se afle distanta de la punctul paralel cu vectorii
si
la planul
ce trece prin origine.
Demonstratie: Avem exact numerele din problema anterioara cu amanuntul ca punctul aici este varful vectorului de pozitie din problema anterioara.
de
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 10 of 12
Prin urmare distanta de la
la planul paralel cu
si
ce
trece prin origine va fi exact lungimea vectorului ce pointeaza de la varful lui
la varful lui
care e exact diferenta acestor doi vectori, vom avea deci
$$ Exercitiu 3.13 (ortogonalitate) Consideram punctele inaltimii din
din triunghiul
si
. Sa se afle lungimea
utilizand proprietatile vectorilor.
Demonstratie: Avem
.
Notam inaltimea cu
ca in fig. 16 Avem
. O directie perpendiculara pe si deci
. Pe de alta
parte, avem ca ca
este
. De aici rezulta si deci
Rezolvand aceasta ecuatie gasim ca si, cum , rezulta ca si inaltimii, adica lungimea vectorului
. Lungimea este
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 11 of 12
Figura 15: . $$ Exercitiu 3.14 (produsul mixt) Sa se arate ca vectorii sunt coplanari(sunt continuti in acelasi plan). Demonstratie: trei vectori sunt coplanari daca si numai daca produsul lor mixt este 0.
(117)
$$ Exercitiu 3.15 (produsul vectorial) Sa se arate ca produsul vectorial vectori
a doi
este dat de formula
(118)
Demonstratie: Din definitia produsului vectorial stim ca
pentru orice vector
satisface ecuatia:
. Deducem ca
(119)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 1
Page 12 of 12
Dezvoltam determinantul dupa ultima linie si obtinem: (120) unde orice triplet
sunt complementii algebrici corespunzatori. Deoarece (20) e valabila pentru rezulta ca
si de aici deducem ca:
. Aceasta relatie se poate scrie sub forma:
(121)
care este echivalenta cu (18) $$
Inainte: Dreapta in spatiu Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul vectorial a doi Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta in spatiu
Page 1 of 1
Inainte: Dreapta determinata de un Sus: < Inapoi: Seminarul 1 Cuprins Index
Dreapta in spatiu O dreapta in spatiu poate fi determinata de 1. un punct si un vector nenul. 2. doua puncte. 3. intersectia a doua plane.
Sectiuni z z z z
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul Dreapta determinata de doua puncte Dreapta orientata Seminarul 2
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
Page 1 of 3
Inainte: Dreapta determinata de doua Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta in spatiu Cuprins Index
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul Fie
un punct,
un vector nenul din
vectorul lui de pozitie, iar
. Dreapta ce trece prin
si are directia lui
o notam cu
(fig.17). Punctul determinata de
, si de
fiind o dreapta daca si numai daca
(122) Ecuatia (22) se numeste ecuatia vectoriala a dreptei determinata de un punct si o directie. Vectorul se numeste vector director, iar coordonatele sale l, m, n se numesc parametrii directori ai dreptei. Evident orice vector cu joaca acelasi rol ca . Coliniaritatea vectorilor scrisa si
,
si
mai poate fi
, sau
(123)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
Page 2 of 3
Figura 16: . Ecuatia (23) este echivalenta cu ecuatiile:
(124)
Ecuatiile (24) se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei (D). Ecuatiile (24) pot fi inlocuite cu
(125)
numite ecuatiile carteziene in
.
Se face conventia ca daca un numitor este este nul atunci numaratorul respectiv trebuie egalat cu 0. Observatie 4.1 1. Daca
,
atunci:
si este o dreapta paralela cu planul 2. Daca
,
.
atunci:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
si este o dreapta paralela cu axa
Page 3 of 3
.
Inainte: Dreapta determinata de doua Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta in spatiu Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta determinata de doua puncte
Page 1 of 1
Inainte: Dreapta orientata Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de un Cuprins Index
Dreapta determinata de doua puncte Fie doua puncte distincte
si
. Se stie ca doua puncte distincte determina o dreapta unica. Vom folosi cazul precedent, adica punctul va fi si vectorul director va fi dat de (fig.18). Directia va fi .
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta orientata
Page 1 of 3
Inainte: Seminarul 2 Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de doua Cuprins Index
Dreapta orientata O dreapta
Fie
in spatiu pe care am ales un sens de parcus se numeste dreapta orientata.
vectorul director al dreptei
director
, atunci sensul pozitiv pe
si acest sens il vom nota cu +. Fie
,atunci multimea
Figura 17: . se numeste partea pozitiva a lui
iar
se numeste partea negativa alui
. De exemplu axele de coordonate
orientate. Vectorului director
al dreptei
este sensul vectorului
sunt drepte
i se poate atasa versorul
numit versor director sau directie orientata. Deci dreapta
poate fi scrisa in forma:
Versorul director
impreuna cu axele de coordonate formeaza cu axele unghiurile directoare ale dreptei (fig.23). Coordonatele lui dreptei . se poate scrie:
numite unghiuri
se numesc cosinusurile directoare ale
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta orientata
Page 2 of 3
sau
Deoarece Unghiul a doua drepte orientate. Fiind date doua drepte si
orientate, de vectori directori
si
atunci unghiul lor este dat de
deci
< cu
sau
Figura 18 : .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Dreapta orientata
Atunci
Page 3 of 3
si
Inainte: Seminarul 2 Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de doua Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 1 of 7
Inainte: Planul in spatiu Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta orientata Cuprins Index
Seminarul 2 Exercitiu 4.1 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseasca ecuatia vectoriala a dreptei care trece prin si are directia data de . Sa se transforme ecuatia vectoriala in ecuatia parametrica a dreptei. Demonstratie: Conform formulei ecuatiei vectoriale
unde
si deci
Ecuatia parametrica este:
. Ecuatia carteziana a dreptei se poate gasi prin eliminarea variabilei din ecuatia parametrica a dreptei:
Figura 19: . $$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 2 of 7
Exercitiu 4.2 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi intrebare ca mai sus dar pentru
Demonstratie: Ecuatie vectoriala:
deci
Ecuatia parametrica:
Ecuatia carteziana(obtinuta oprin eliminarea parametrului t)
De notat ca din moment ce pentru orice punct de pe dreapta coordonata egala cu , dreapta va fi paralela cu planul $$
este constanta
Exercitiu 4.3 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi intrebare ca mai sus dar pentru
Demonstratie: Ecuatie vectoriala:
deci
Ecuatia parametrica:
Ecuatia carteziana(obtinuta oprin eliminarea parametrului t)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 3 of 7
De notat ca din moment ce pentru orice punct de pe dreapta coordonatele constante, dreapta va fi paralela cu axa
si
sunt
$$
Exercitiu 4.4 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseasca intersectia dreptei din exercitiul (2.1) cu planul . Demonstratie: Ecuatia parametrica a dreptei este
. In locul unde intersecteaza planul
trebuie sa avem
. Deci
Inlocuind obtinem:
. Deci punctul de intersectie este
.
$$ Exercitiu 4.5 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatia parametrica a dreptei ce trece prin si e perpendiculara pe planul ce contine punctele , ,
.
Demonstratie: Din moment ce avem un punct pe dreapta, ne trebuie doar directia dreptei pentru a aplica formula. dreapta e perpendiculara pe planul ce contine urmare e perpendiculara si pe vectorii
,
,
, prin ce
sunt continuti in acel plan. Deci directia dreptei e directia perpendiculara pe acesti doi vectori ce e data de produsul lor vectorial. Calculam produsul vectorial al celor doi vectori:
(126)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 4 of 7
Putem acum aplica formula de calcul a ecuatiilor vectoriale, parametrice si carteziene exact ca in exemplul (2.2). $$ Exercitiu 4.6 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se arate ca dreptele de ecuatii vectoriale
(127)
nu sunt nici paralele si nici coplanare. Demonstratie: Avem
(128)
De aici rezulta ca directiile celor doua drepte sunt date de vectorii
si respectiv
. Deoarece acestia nu sunt linear dependenti rezulta ca cele doua drepte nu sunt paralele. Deci daca ar fi coplanare ele s-ar intersecta. Sa egalam componentele:
Din prima ecuatie avem
iar din a treia
. Imposibil. Deci nu exista punct de
intersectie. $$ Exercitiu 4.7 (ecuatia vectoriala a dreptei) In conditiile problemei ( ) sa se gaseasca lungimea perpendicularei comune a celor doua drepte. Demonstratie: Perpendiculara comuna exista! Alegem in general doua drepte si care nu sunt paralele si nici nu se intersecteaza, ca in fig. 21. Alegem un punct pe dreapta si trasam prin el o dreapta paralela cu
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 5 of 7
. Proiectam dreapta dreptele
si
intersecteaza in Trasam prin ca
pe planul
generat de
. Proiectia si dreapta
se
. normala
intersecteaza
pe de alta parte deoarece
la planul
. Avem atunci
si e perpendiculara pe este pe proiectia pe
lui
si
trebuie ca
pe
si sa o si intersecteze.
si a
sa fie perpendiculara
Figura 20: . Perpendiculara comuna este unica! Intr-adevar, daca ar exista o alta perpendiculara comuna atunci cele doua perpendiculare vor fi paralele pentru ca sunt ambele perpendiculare pe doua directii diferite(date de si ). Va rezulta ca si sunt in planul generat de cele doua perpendiculare, ceea ce contrazice exercitiul anterior. Pentru determinarea lungimii perpendicularei comune a celor doua drepte date in exercitiul 2.6 folosim ecuatia vectoriala a celor doua drepte. Observam ca orice vector ce incepe pe si se termina pe e dat de formula:
pentru anumite valori ale parametrilor
si
. Noi trebuie sa gasim
si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 6 of 7
in asa fel incat vectorul directia lui
Inlocuind
e perpendicular atat pe
cat si pe directia lui
cu alte cuvinte
obtinem
Figura 21: .
(129)
Va rezulta comune este
si deci
si lungimea perpendicularei $$
Exercitiu 4.8 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatia parametrica a dreptei ce trece prin punctele si . Demonstratie: Deoarece cele doua puncte sunt pe dreapta inseamna ca directia dreptei e data de vectorul
. Putem acum aplica
formula de calcul a ecuatiilor vectoriale, parametrice si carteziene exact ca in exemplul (2.3). $$
Inainte: Planul in spatiu Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta orientata Cuprins Index
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 2
Page 7 of 7
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 1 of 5
Inainte: Ecuatia normala a planului Sus: < Inapoi: Seminarul 2 Cuprins Index
Planul in spatiu Planul poate fi determinat de: trei puncte necoliniare; doua drepte paralele; o dreapta si un punct exterior ei; un punct si un vector normal la plan. Propozitie 5.1 Ecuatia vectoriala a planului determinat de un punct vector dat
perpendicular pe un
este:
Demonstratie: Fie un plan determinat de un punct
si care este
perpendicular pe un vector dat (fig. 23). Consideram un punct , punct curent al planului (poate genera planul). Deoarece este perpendicular pe orice dreapta din plan.Unind pe cu
obtinem vectorul
si cum
rezulta
sau
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 2 of 5
Figura 22: . $$ Teorema 5.1 (Ecuatia generala a planului) Intr-un sistem de coordonate carteziene, un plan este definit de ecuatia:
unde cel putin unul din coeficientii
este nenul.
Demonstratie: Daca
si
atunci
Din conditia de ortogonalitate rezulta: (130) unde
, ecuatia (30) se numeste ecuatia generala a planului.
$$ Teorema 5.2 Reciproca teoremei (3.1). Orice ecuatie de gradul intai
defineste, in sistemul de coordonate carteziene un plan.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 3 of 5
Demonstratie: Daca
este o solutie a ecuatiei (2) atunci sau
si inlocuind in (2) se
obtine
care este ecuatia unui plan ce trece prin punctul vectorul nenul
si este perpendicular pe
.
Observatie 5.1 1. Ecuatia unui plan in spatiu este nucleul unei functii liniar afine . 2. Doua ecuatii de gradul intai reprezinta acelasi plan daca si numai daca au coeficientii proportionali:
3. Ecuatii particulare ale planului: 1. -ecuatia unui plan care trece prin origine.
2.
3.
$$ Teorema 5.3 Ecuatia planului determinat de trei puncte necoliniare
,
este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 4 of 5
(133)
Demonstratie: Fie trei puncte necoliniare
si vectorii de pozitie
, pozitie
. Pentru ca
si un punct curent
cu vectorul de
sa fie in plan trebuie ca vectorii
sa
fie coplanari, deci produsul mixt trebuie sa fie nul. sau
sau
(134)
$$ Observatie 5.2 1. Ecuatia planului prin taieturi: 2. Patru puncte sunt coplanare daca
Sectiuni z z z z
Ecuatia normala a planului Distanta de la un punct la un plan Unghiul a doua plane Seminarul 3
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Planul in spatiu
Page 5 of 5
Inainte: Ecuatia normala a planului Sus: < Inapoi: Seminarul 2 Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Ecuatia normala a planului
Page 1 of 2
Inainte: Distanta de la un Sus: Planul in spatiu Inapoi: Planul in spatiu Cuprins Index
Ecuatia normala a planului Teorema 5.4 Fie
cosinusurile directoare ale normalei de plan si
distanta de la origine la
plan. Ecuatia planului astfel determinat este: (forma lui Hesse) Demonstratie: Fie intr-un sistem de axe rectangulare vectorul ,
(136)
(fig. 24)
dus din origine, perpendicular pe planul , cu
.
Punctul P, piciorul perpendicularei duse din origine pe plan are coordonatele . Fie . Cum ceea ce implica
Figura 23: .
sau
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Ecuatia normala a planului
si cum
Page 2 of 2
rezulta ecuatia (1). $$
Observatie 5.3 Trecand ecuatia generala a planului:
la forma
normala se obtine
Inainte: Distanta de la un Sus: Planul in spatiu Inapoi: Planul in spatiu Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Distanta de la un punct la un plan
Page 1 of 2
Inainte: Unghiul a doua plane Sus: Planul in spatiu Inapoi: Ecuatia normala a planului Cuprins Index
Distanta de la un punct la un plan Daca un plan este definit prin ecuatia normala atunci distanta la acest plan este egala cu
de la un punct
(137) Daca planul este dat sub forma generala, distanta
de la punctul
la plan
este:
(138)
Intr-adevar, fie un punct
in planul dat si se considera
vectorul normal
la plan in acest punct(fig. ).
Oricare ar fi pozitia punctului Deoarece
si
, atunci:
.
au, respectiv proiectiile pe axe si
atunci
se va obtine
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Distanta de la un punct la un plan
Page 2 of 2
Figura 24: .
Dar punctul
este in planul considerat:
. de unde
rezulta
Deci
In cazul cand planul este dat in forma generala se reduce aceasta ecuatie in forma normala
Atunci conform celor de mai sus rezulta ca distanta este
Inainte: Unghiul a doua plane Sus: Planul in spatiu Inapoi: Ecuatia normala a planului Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Unghiul a doua plane
Page 1 of 2
Inainte: Seminarul 3 Sus: Planul in spatiu Inapoi: Distanta de la un Cuprins Index
Unghiul a doua plane Cosinusurile unghiurilor intre doua plane, date de ecuatiile
(139)
sunt date de<
(140)
Pentru a obtine relatia (40) vom considera normalele la cele doua plane (fig.26)
,
. Unghiul format de vectorii
si
este dat de formula
Se observa ca planele sunt perpendiculare daca si numai daca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Unghiul a doua plane
Page 2 of 2
Figura 25: . Cele doua plane sunt paralele daca
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 3
Page 1 of 4
Inainte: Pozitii relative in spatiu Sus: Planul in spatiu Inapoi: Unghiul a doua plane Cuprins Index
Seminarul 3 Exercitiu 5.1 (ecuatia vectoriala a planului) Sa se afle ecuatia vectoriala a planului ce contine si e perpendicular pe vectorul . Demonstratie: Formula de calcula ecuatiei:
unde
Daca
Avem:
unde
este un punct de pe plan rezulta ca
si
deci
$$ Exercitiu 5.2 Sa se gaseasca un vector normal la planul
.
Demonstratie: Ecuatia se scrie in forma canonica ceea ce inseamna ca vectorul normal la planul
e
. Alta metoda: Se pot gasi doi vectori continuti in plan si
apoi se poate calcula produsul lor vectorial. $$ Exercitiu 5.3 (plane paralele) Sa se arate ca planele
si
nu sunt
paralele. Demonstratie: daca cele doua plane sunt paralele atunci si directiile normale la ele vor fi paralele. Un vector normal la primul plan este iar la al doilea . Acesti doi vectori nu sunt paraleli pentru ca nu exista nici un scalar asa ca . Concluzia e ca nici planele nu vor fi paralele. $$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 3
Page 2 of 4
Exercitiu 5.4 (plane paralele) Sa se arate ca planele
si
sunt paralele daca si numai daca exista un scalar , Demonstratie: Va rezulta ca daca<
asa ca
, Daca cele doua plane sunt paralele si directiile normale la ele sunt paralele. si sunt paraleli de unde concluzia. ,
,
rezulta ca directiile normale la plane sunt
paralele si deci si cele doua plane sunt paralele. $$ Exercitiu 5.5 (plane paralele) Sa se afle distanta dintre planele paralele de ecuatii si . Demonstratie: Un vector normal la primul plan este plan este
. Alegem
. Un punct pe primul
in asa fel incat
sa aiba varful pe al doilea plan adica
de unde rezulta ca
.
Concluzia este ca distanta dintre plane este exact egala cu Metoda 2: Se poate alege punctul la planul dat de ecuatia
de pe primul plan si apoi calcula distanta de la ca in exercitiul 3.7.
$$ Exercitiu 5.6 (plan prin trei puncte) Sa se gaseasca ecuatia planului ce contine punctele , , .
Demonstratie: Fie un punct
din plan. Vectorii
sunt in acelasi
plan deci produsul lor mixt este 0:
(141)
adica
.
$$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 3
Page 3 of 4
Exercitiu 5.7 (distanta de la un punct la un plan) Se proiecteaza punctul planul
in punctul Q. Sa se gaseasca vectorul
Demonstratie: Un vector normal la plan este urmare
pe .
, prin unde
este un scalar
pe care urmeaza sa-l aflam. Avem
si cum acest vector are varful
pe plan trebuie ca
Deci . Prin urmare
Figura 26: .
Ca o consecinta imediata, distanta de la punctul P la plan este data de formula
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 3
Page 4 of 4
$$
Inainte: Pozitii relative in spatiu Sus: Planul in spatiu Inapoi: Unghiul a doua plane Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
Page 1 of 3
Inainte: Intersectia dintre o dreapta Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Pozitii relative in spatiu Cuprins Index
Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane Vom considera doua plane:
(142)
Aceste plane se intersecteaza atunci cand coeficientii lui proportionali. Intr-adevar daca tripletul
din ecuatiile planelor nu sunt
nu este proportional cu tripletul ordonat
atunci cel putin unul din determinantii
(143)
este diferit de 0. Sistemul format de ecuatiile (47) este un sistem de doua ecuatii cu trei necunoscute si presupunand ca
(144)
atunci sistemul este compatibil,simplu nedeterminat. Rezolvand sistemul se obtine o dreapta a carei parametri directori sunt:
(145)
Cazul a trei plane, de ecuatii
(146)
Aceste ecuatii formeaza un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute. 1. Daca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
Page 2 of 3
atunci sistemul are solutie unica, deci planele se intersecteaza intr-un punct. 2. Daca
, iar unul din determinantii de ordinul doi este nenul, de exemplu
acesta va fi determinantul principal al sistemului. Daca determinantul caracteristic:
atunci sistemul este simplu nedeterminat iar planele trec printr-o dreapta . Daca
atunci sistemul este incompatibil si cum
rezulta ca cele trei plane
se intersecteaza doua cate doua, dupa drepte paralele, deci ele formeaza o prisma nelimitata. 3. Daca
si toti determinantii de ordin doi sunt nuli, presupunand
determinantul principal este de ordinul intai. daca determinantii caracteristici corespunzatori sunt nenuli sistemul este incompatibil deci cele trei plane luate doua cate doua nu au puncte comune si planele sunt paralele intre ele. Daca determinantii caracteristici sunt nuli ecuatiile se reduc la una singura deci planele sunt confundate. Definitie 6.1 Multimea tuturor planelor care trec prin dreapta de intersectie a doua plane date numite plane de bazaformeaza un fascicul de plane avand ca axa acea dreapta. Ecuatia fascicului de plane este:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
Page 3 of 3
Inainte: Intersectia dintre o dreapta Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Pozitii relative in spatiu Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o dreapta si un plan
Page 1 of 2
Inainte: Alte moduri de determinare Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia a doua plane. Cuprins Index
Intersectia dintre o dreapta si un plan Fie o dreapta de ecuatie
si planul:
Coordonatele punctului de intersectie se obtine rezolvand sistemul format de cele doua ecuatii. Egaland rapoartele din ecuatia dreptei cu se obtine
(150)
Sistemul format din aceste ecuatii si ecuatia planului
duce la
(151) de unde
(152)
Daca
atunci
punct. Daca
si
atunci ecuatia nu are solutii finite, deci dreapta este paralela cu planul. Daca
si
ecuatia (2) are o
infinitate de solutii si deci dreapta este continuta in plan.
Inainte: Alte moduri de determinare Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia a doua plane. Cuprins Index
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o dreapta si un plan
Page 2 of 2
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan
Page 1 of 2
Inainte: Seminarul 4 Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia dintre o dreapta Cuprins Index
Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan 1. Fie doua drepte concurente
.<
Ducand prin punctul de concurenta doua drepte
si
dreptele
si
doi vectori coliniari cu vectorii directori ai celor
,
,
, sunt continuti in planul
concurente. Fie
. Acesti vectori fiind situati pe determiant de cele doua drepte
un punct curent in acest plan.Deci vectorii
sunt coplanari:
de unde
2. Fie o dreapta
si un punct Dreapta prin Vectorii
. si punctul
determina un plan. Ducem
vectorul director
al dreptei si
sunt coplanari adica
sau
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan
Page 2 of 2
(155)
Figura 27: . In mod analog se obtine ecuatia planului determinat de doua drepte
(156)
(157)
Inainte: Seminarul 4 Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia dintre o dreapta Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 4
Page 1 of 4
Inainte: Transformari afine Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Alte moduri de determinare Cuprins Index
Seminarul 4 Exercitiu 6.1 (separare) Consideram doua puncte
si
si planul
. Sa se demonstreze ca daca
atunci cele doua puncte
si
sunt de aceeasi parte a planului
atunci cele doua puncte sunt de o parte si de alta a planului Demonstratie: Proiectam punctele punctele
respectiv
respectiv
pe planul
iar daca
.
in
. Atunci, conform problemei
3.7 avem ca
si
Cele doua puncte vor fi de aceeasi parte a lui atunci cand cei doi vectori au acelasi sens, adica atunci cand si au acelasi semn
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 4
Page 2 of 4
Figura 28: . deci atunci cand
.
Cele doua puncte vor fi de o parte si de alta a planului diferite, adica atunci cand
atunci cand cei doi vectori au sensuri . $$
Exercitiu 6.2 (separare) Consideram punctul
si planele paralele
si
atunci punctul
Sa se demonstreze ca daca
este intre cele doua plane,
Demonstratie: Utilizam iar rezultatul din problema 3.7 Proiectam punctul pe cele doua plane in si
si respectiv
. Punctul
se va afla intre cele doua plane daca vectorii paraleli
au sensuri opuse. Conform formulelor de calcul pentru
si
demonstrate in
3.7 rezulta ca cei doi vectori au sensuri opuse atunci cand . $$
Exercitiu 6.3 Sa se demonstreze ca dreapta
si
se afla de o parte si de
alta a planului Demonstratie: Utilizam metoda din exercitiul 4.1. Avem , deci planul separa cele doua puncte. $$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 4
Page 3 of 4
Exercitiu 6.4 Sa se demonstreze ca dreapta
de ecuatie parametrica
si planul
Demonstratie: Directia dreptei e data de
nu sunt paralele.
. Alegem un punct pe plan, de pilda
. Putem scrie atunci ecuatia planului sub forma
din care vedem ca o directie normala la planul dreapta ar fi paralele atunci va trebui ca
. Dar
si
este
. Daca planul si
sa fie perpendiculare:
. Prin urmare planul si dreapta nu sunt paralele.
$$ Exercitiu 6.5 Consideram planul dupa directia
Acest plan este 'mutat' in spatiu
ca in figura 30. Sa se gaseasca ecuatia carteziana a noului plan
. Demonstratie: Fie un punct
in planul pe planul
. Lui ii va corespunde
ca in figura 30. Va rezulta ca
varful vectorului de pozitie este in planul :
si in consecinta satisface ecuatia planului si deci:
In general, daca un obiect geometric(plan, dreapta, paraboloid, sfera,..) e dat de o ecuatie , atunci noul obiect geometric obtinut prin mutarea obiectului pe directia e dat de ecuatia carteziana
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 4
Page 4 of 4
Figura 29: .
$$ Exercitiu 6.6 Consideram o dreapta de ecuatie vectoriala
Inainte: Transformari afine Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Alte moduri de determinare Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Page 1 of 5
Inainte: Translatii Sus: < Inapoi: Seminarul 4 Cuprins Index
Transformari afine Consideram un reper cartezian
in planul
si un reper cartezian
in
spatiu. Definitie 7.1 Transformarile afine in plan sunt functii date de formula sau, in scriere matriceala
(159)
Transformarile afine in spatiu sunt functii date de formula
sau, in scriere matriceala
unde
(160)
Definitie 7.2 Pentru transformarea
de mai sus se noteaza
si det(T)=
daca transformarea e 2-dimensionala si equation mat(T)=[
(161)
] si det(T)=
daca transformarea e 3-dimensionala
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Definitie 7.3 Transformarile afine pentru care
Page 2 of 5
se numesc transformari afine
nedegenerate. Problema 7.1 (Operatii cu transformari afine) Suma, diferenta si inmultirea cu scalari a transformarilor afine si sunt transformari afine. Avem de asemenea ca: (162) Demonstratie: Evident. $$ Problema 7.2 (Compunerea transformarilor afine) Se dau doua transformari afine 2dimensionale
Se poate construi , compunerea ca functii a lui si care e o functie ce transforma coordonatele carteziene in coordonatele carteziene . Atunci este o transformare afina data de formula
(164)
Mai mult, avem ca (165) Demonstratie: Evidenta. $$ Observatie 7.1 Aceasta teorema se rescrie similar in cazul transformarilor afine tridimensionale. In particular, pentru doua transformari afine tridimensionale (166) Teorema 7.1 Inversa unei transformari afine nedegenerate
(167)
e transformarea afina data de formula:
(168)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Page 3 of 5
Mai mult, (169) Demonstratie: Evidenta. $$ Observatie 7.2 Aceasta teorema se rescrie similar in cazul transformarilor afine tridimensionale. In particular, pentru o transformare afina tridimensionala nedegenerata (170) Teorema 7.2 Transformarile afine nedegenerate transforma o dreapta in alta dreapta. Demonstratie: Cazul 2-dimensional. Fie o dreapta . Fie
un punct de pe dreapta
. Din teorema
anterioara avem ca
(171)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Page 4 of 5
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Transformari afine
Page 5 of 5
Sectiuni z z z z z
Translatii Omotetii Rotatii Simetrii Seminarul 5
Inainte: Translatii Sus: < Inapoi: Seminarul 4 Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 1 of 9
Inainte: Omotetii Sus: Transformari afine Inapoi: Transformari afine Cuprins Index
Translatii Sa consideram un vector
. Fiecarui punct
din plan ii
asociem punctul
ale carui coordonate sunt date de
si
. Aceasta se mai poate scrie transformare care asociaza lui
punctul
. Aceasta
se numeste translatia de vector
.
Figura 30: . Definitie 7.4 Translatia de vector transformare afina
data de formula equation T: [
este ]= [
]+[]
Observatie 7.3 Matricea unei translatii
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 2 of 9
este matricea
identica:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 3 of 9
Observatie 7.4 Atunci cand o translatie de vector
este aplicata unui obiect geometric
, obiectul geometric este mutat in plan in directia vectorului Propozitie 7.1 O functie
pe toata lungimea lui.
este o translatie daca daca si numai daca pentru oricare doua puncte
si
din plan avem ca
Demonstratie: Avem ca pentru orice punct este dat de Pentru un punct
.
vectorul .
din plan sa notam . Sa notam componentele lui
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 4 of 9
cu . Rezulta ca
si deci, scriind pe componente
rezulta ca equation T[
]= [
]+[
] $$
Figura 31: . Alegem un punct translatia
in spatiu si notam
. Asa cum se observa din figura 32
muta orice punct din plan in directia vectorului
pe toata lungimea lui.
un obiect geometric in Teorema 7.3 Fie plan dat de ecuatia carteziana si o translatie de vector
geometrica a lui geometric
. Transformarea
prin este obiectul dat de ecuatia
Demonstratie: Aceasta este o consecinta directa a teoremei (5.8) $$
Figura 32: .
Observatie 7.5 Aplicam translatia de vector
Ecuatia translatiei dreptei este:
Propozitie 7.2 Aplicam translatia de vector
dreptei de ecuatie carteziana
.
dreptei de ecuatie vectoriala
Ecuatia vectoriala a translatiei dreptei este:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 5 of 9
Demonstratie: Evidenta,
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 6 of 9
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 7 of 9
$$
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 8 of 9
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii
Page 9 of 9
Figura 33: .
Inainte: Omotetii Sus: Transformari afine Inapoi: Transformari afine Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Omotetii
Page 1 of 3
Inainte: Rotatii Sus: Transformari afine Inapoi: Translatii Cuprins Index
Omotetii Sa consideram un scalar
. Fiecarui punct
din plan ii asociem punctul
ale carui coordonate sunt date de si
transformare care asociaza lui raport cu originea .
. Aceasta se mai poate scrie
punctul
. Aceasta se numeste omotetia de scalar in
Definitie 7.5 Omotetiile sunt transformari afine de tipul: equation T: [ ]= [
][
] pentru un scalar
.
Figura 34: . Observatie 7.6 O omotetie nu modifica forma obiectelor ci numai marimea lor. Observatie 7.7 Matricea unei omotetii de scalar in raport cu originea este equation [ ]
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Omotetii
Page 2 of 3
Figura 35: . Determinantul unei omotetii de scalar
este
Observatie 7.8 O omotetie de scalar
transforma un segment
segment
intr-un
paralel cu el si de masura .
Propozitie 7.3 Fie
o omotetie de scalar
Propozitie 7.4 O omotetie
de scalar
si
este aplicata unei drepte
nou-formata va avea ecuatia:
Demonstratie: Sa consideram un scalar
un obiect geometric in plan. Atunci
. Dreapta
.
si un punct
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Omotetii
Page 3 of 3
. Fiecarui punct
din plan ii asociem punctul
astfel incat
. Rezulta ca:
dee unde rezulta ca transformare care asociaza lui in raport cu
Aceasta
punctul
se numeste omotetia de scalar
. daca notam cu omotetia de scalar
cu
in raport cu originea si
translatia de vector
atunci
se poate vedea ca aceasta transformare este exact
. $$
Figura 36: .
Inainte: Rotatii Sus: Transformari afine Inapoi: Translatii Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Rotatii
Page 1 of 4
Inainte: Simetrii Sus: Transformari afine Inapoi: Omotetii Cuprins Index
Rotatii Sa consideram transformarea prin care punctele din plan sunt rotite originii ca in figura 38 astfel incat punctul
radiani in jurul
este
transformat in
.
Vectorul de pozitie
formeaza un unghi
lungimea
cu axa
si are
. Rezulta ca , adica
Vectorul de pozitie cu axa si are lungimea
formeaza un unghi
. Rezulta ca .
Prin urmare avem ca
Figura 37: .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Rotatii
Page 2 of 4
De asemenea
Asadar Definitie 7.6 Rotatia de unghi ]=[ ][
in jurul originii este data de formula: equationT: [ ]
Observatie 7.9 Compunerea a doua rotatii de unghiuri
si
este o rotatie de unghi
. Observatie 7.10 Inversa unei rotatii de unghi
este o rotatie de unghi
.
Observatie 7.11 Multimea rotatiilor din plan impreuna cu operatia de compunere a rotatiilor formeaza un grup. Propozitie 7.5 Rotatiile sunt transformari izometrice, adica pastreaza lungimea segmentelor carora le sunt aplicate. Demonstratie: Notam cu
rotatia de unghi
in jurul
originii. Daca , sunt doua puncte in plan atunci conform cu (95) avem ca distanta dintre punctele $$
Figura 38: .
Observatie 7.12 Sa consideram un scalar
si un punct
. Fiecarui punct
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Rotatii
Page 3 of 4
din plan ii asociem punctul
obtinut prin rotirea lui
radiani in jurul lui
. Aceasta transformare se poate obtine printr-o translatie de vector ,urmata de o rotatie
in jurul
originii si apoi o translatie de vector
.
Figura 39: . Schematic, prin aceste transformari coordonatele se transforma dupa cum urmeaza: equation [
] &rarr#to; [
] &rarr#to; [
][
equation &rarr#to; [
]&rarr#to;
][
]+ [ ]
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Rotatii
Page 4 of 4
ceea ce da in final equation[
]= [
]
Propozitie 7.6 Ca o consecinta a propozitiei (149), rotatiile pastreaza si unghiurile dintre segmentele carora le sunt aplicate. Observatie 7.13 Determinantul unei rotatii de unghi
este
Propozitie 7.7 Fie
un obiect geometric in plan. Atunci
o rotatie de unghi
si
:
Inainte: Simetrii Sus: Transformari afine Inapoi: Omotetii Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Simetrii
Page 1 of 3
Inainte: Seminarul 5 Sus: Transformari afine Inapoi: Rotatii Cuprins Index
Simetrii Fie (D) o dreapta care trece prin origine si face un unghi transformarea prin care punctelor
cu axa
. Sa consideram
din plan le
sunt asociate simetricele lor
fata de dreapta
rotatie de unghi
ca in prima figura din (41). Aplicam o
punctelor planului. Transformatul lui
respectiv
prin rotatie are coordonatele equation [
], respectiv [
]
Figura 40: . Observam ca transformatele punctelor si au aceleasi coordonate in directia si coordonate de semn contrar si egale in modul in directia . Egaland, rezulta: equation sau, in notatie matriceala: equation[ ][ ]= [ in (101) faptul ca inversa rotatiei de unghi adica equation[
][
] Utilizam acum este rotatia de unghi ]^-1= [
]
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Simetrii
equation [
Page 2 of 3
][ ][
]= [
] care e echivalenta cu formula (104)
ce trece prin origine si face un unghi Definitie 7.7 Simetria fata de dreapta este transformarea afina data de formula equationT: [ ]=[
[
] pentru un scalar
cu axa
.
Simetria fata de o dreapta arbitrara (D) Sa presupunem ca dreapta face un unghi cu axa . Alegem un punct arbitrar pe dreapta. Simetria fata de
se poate calcula ca in (5.16). Se aplica mai intai o translatie de vector , dupa care se aplica simetria fata de
transformata dreptei
, dupa care aplicam translatia de vector
. Se gaseste in final ca simetria fata de transforma punctul
in punctul
dat de
equation[
]= [
]
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Simetrii
Page 3 of 3
Inainte: Seminarul 5 Sus: Transformari afine Inapoi: Rotatii Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 1 of 6
Inainte: Aplicatii ale transformarilor geometrice Sus: Transformari afine Inapoi: Simetrii Cuprins Index
Seminarul 5 Exercitiu 7.1 Se considera planul 2x+y-z=3. Sa se gaseasca simetricul punctului fata de acest plan. Demonstratie: O directie normala la plan este plan in
. Vectorul
parte din moment ce
e un multiplu de e proiectia lui
. Proiectam punctul si deci exista
asa ca
Pe de lata
trebuie sa avem ca varful vectorului e pe plan prin urmare
adica
pe
. Deci
de unde
. Rezulta ca simetricul
al lui
fata de plan e dat de de unde . $$ Exercitiu 7.2 Consideram transformarea afina
. Adica
. Sa se afle
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 2 of 6
,
.
Aceasta transformare se aplica punctelor din plan. Sa se afle in ce punct este transformat punctul . Sa se afle in ce este transformata dreapta .
Demonstratie:
.
.
.
contine doua puncte.... $$
Exercitiu 7.3 Consideram transformarea afina ,
.
si
. Adica
. Stim ca
Sa se afle aria triunghiului cu varfuri
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 3 of 6
Demonstratie:
$$
Exercitiu 7.4 Consideram transformarea afina
. Prin aceasta transformare, planul
se transforma in alt plan. Sa se afle ecuatia acestui plan. Demonstratie: Avem
punct pe noul plan, deci
,
,
sau . Le punem in ecuatie deci
sau
plan paralel cu axa
. $$
Exercitiu 7.5 Consideram transformarea afina Prin aceasta transformare, dreapta
. se transforma in alta dreapta. Sa se
afle ecuatia acestei drepte. Demonstratie: Fie
din
.
deci rezolvam sistemul
. Dar
deci
de unde rezulta ca
$$
Exercitiu 7.6 Gasiti o transformare afina care sa transforme dreapta dreapta
in
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 4 of 6
Demonstratie: Sunt multe astfel de transformari. Noi o vom alege pe aceea care invariaza originea si duce (1,0) in (1,0) si (0,1) in (0,-1). Deci . deci
. In acelasi mod
transformarea este<
. Deci
$$
Exercitiu 7.7 Dreapta
e translatata in directia . Sa se afle ecuatia dreptei nou-formate.
Demonstratie: s(t)=r(t)+v $$ Exercitiu 7.8 Planul
e translatat in directia . Sa se afle ecuatia planului nou-format.
Demonstratie: Prin translatie rezulta ca
deci
Inlocuind in ecuatie
echivalent cu
Exercitiu 7.9 Omotetia de scalar
$$
e aplicata dreptei
. Sa se afle ecuatia
dreptei nou-formate. Demonstratie: Prin omotetie rezulta
de unde
Inlocuind in ecuatie
sau
$$
Exercitiu 7.10 Aplicam o rotatie de unghi . Sa se afle noul punct.
Demonstratie: equation[
equation[
punctului
]= [
]= [
][
][
] Inlocuind rezulta ca
] $$
Exercitiu 7.11 Este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 5 of 6
(173) Demonstratie: Da. $$
este inclinat Exercitiu 7.12 Planul figura, dupa care e translatat o unitate in lungul axei
. In acest plan punctul
ca in e rotit
. Sa se gaseasca coordonatele noului punct. Exercitiu 7.13 Sa se gaseasca simetricul punctului
fata de dreapta
. Demonstratie: O directie perpendiculara pe dreapta este . Putem apoi cauta
asa ca
sa aiba varful pe dreapta adica . De aici rezulta ca simetricul este
. Va rezulta ca
$$
Exercitiu 7.14 Sa se arate ca pentru oricare doi vectori avem ca aria triunghiului de laturi
si si varf
este egala cu modulul
determinantului (174) Demonstratie: Putem aplica reprezentarea polara a celor doi vectori si deduce rezultatul imediat. Alternativ, putem plica o rotatie in asa fel incat primul vector se suprapune axei . O rotatie nu schimba aria din moment ce nu schimba unghiul dintre vectori si lungimile lor. De asemenea, o rotatie nu modifica determinatul pentru ca in urma rotatiei de unghi determinantul devine
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 5
Page 6 of 6
(175)
Inainte: Aplicatii ale transformarilor geometrice Sus: Transformari afine Inapoi: Simetrii Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Organizarea fisierelor brute de imagini
Page 1 of 2
Inainte: Translatii, Rotatii, Dilatari in Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Aplicatii ale transformarilor geometrice Cuprins Index
Organizarea fisierelor brute de imagini Fisiere brute de imagini (raw image files) sunt fisiere organizate pe octeti; excluzand headerul din fisier care indica numarul de pixeli ai imaginii, fiecare octet din fisier corespunde unui pixel din imaginea pe care o vedem.
Un exemplu de fisiere brute de imagini sunt fisierele cu extensii .pgm (Portable Grayscale). Avantajele utilizarii fisiereleor brute sunt ca datorita corespondentei bijective octet din fisierpixel din imagine ele sunt foarte usor de modificat. Dezavantajele sunt ca in cazul imaginilor relativ simple fisierele brute ocupa in mod inutil cantitati mari de memorie. Fisierele optimizate de imagine cu extensii .jpg, .gif, .png sunt fisiere organizate pe biti( fisiere binare) si contin atat date cat si instructiuni. Ele sunt mai mici dar modificarea lor nu este atat de simpla ca in cazul fisierelor brute. Sa consideram fisierul imagine input.pgm de pixeli. El contine litera
ca in imaginea alaturata:
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Organizarea fisierelor brute de imagini
Page 2 of 2
Daca fisierul input.pgm va fi deschis cu un editor de text (de exemplu emacs) editorul va afisa:
Indicatorul
arata ca este vorba de un fisier brut,
indica faptul ca avem o
imagine de 22 pe 22 de pixeli iar ultimul numar indica cifra maxima ce poate fi continuta in fiecare octet din fisier. Numarul 255 corespunde culorii albe iar 0 culorii negre. Editorul de text citeste fiecare numar din fiecare octet si afiseaza caracterul al carui cod ASCII este egal cu acel numar. Nu suntem interesati deci in caracterele pe care le afiseaza editorul ci numai in codurile lor ASCII pentru ca ele decid culoarea pixelilor ce corespund caracterelor respective.
Inainte: Translatii, Rotatii, Dilatari in Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Aplicatii ale transformarilor geometrice Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
Page 1 of 3
Inainte: Conice Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Organizarea fisierelor brute de Cuprins Index
Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini Cu un simplu cod C putem trece peste headerul din fisierul input.pgm si apoi copia toate numerele din octetii fisierului input.pgm intr-o matrice de dimensiune . Va insemna de pilda ca
adica primul pixel din
imagine, cel din stanga sus este alb.
In general, daca coloana
inseamna ca pixelul de pe linia
din imagine este alb. Daca
si
atunci pixelul este negru.
Putem apoi crea un alt fisier output.pgm. Copiem headerul din input.pgm in output.pgm si fixam dimensiunea la
de pixeli. Cu alte cuvinte scriem in fisierul
output.pgm urmatorul text:
Alocam memorie unei matrici
de dimensiune
si apoi fixam pentru fiecare
Intr-o bucla C peste valorile
.
intre 0 si
fixam apoi
pentru
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
Page 2 of 3
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
Page 3 of 3
Inainte: Conice Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Organizarea fisierelor brute de Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Conice
Page 1 of 3
Inainte: Reducerea la forma canonica Sus: < Inapoi: Translatii, Rotatii, Dilatari in Cuprins Index
Conice Definitie 9.1 Pentru numerele
date cu
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Conice
Page 2 of 3
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Conice
multimea tuturor punctelor
Page 3 of 3
ce satisfac
(177) se numeste conica. Observatie 9.1 Relatia (162) se mai poate scrie matricial (178) unde (179) Exemplu 9.1 (180) Oricare alta conica din plan se poate transforma printr-o rotatie urmata de o translatie intruna din conicele de mai sus.
Sectiuni z z z z z z
Reducerea la forma canonica a unei conice Intersectia dintre o conica si o dreapta Elipsa Hiperbola Parabola Seminarul 6
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 1 of 5
Inainte: Intersectia dintre o conica Sus: Conice Inapoi: Conice Cuprins Index
Reducerea la forma canonica a unei conice Deoarece matricea (181) este simetrica ea va avea doua valori proprii reale (care pot fi egale) carora le corespund doi vectori proprii
,
pe care noi ii putem alege asa ca ei sa formeze o baza ortonormala. Avem deci ca sunt radacinile ecuatiei de gradul doi:
(182) in timp ce cei doi vectori satisfac ecuatiile (183) si sunt alesi in asa fel incat sa fie unitari si (184) In cazul in care valortile proprii sunt distincte cei doi vectori sunt automat ortogonali. daca avem o valoare proprie dubla atunci alegem cei doi vectori in asa fel incat sa fie ortogonali si (127) sa fie adevarata. Sa consideram matricea
Rezulta atunci ca matricea
se diagonalizeaza in forma (185)
Consideram acum transformarea afina prin care fiecarui punct
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 2 of 5
i se asociaza punctul
dat prin relatia
(186) Aceasta este o rotatie in jurul originii de unghi
. folosind relatia de
mai sus si (128) in ecuatia (121) rezulta ca (187) adica
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 3 of 5
(188) ceea ce conduce la ecuatia pentru
(189)
pentru numerele
. Completam acum patratele si
gasim ca (190) Translatia
,
duce la forma canonica
(191) Sa observam ca pasul de completare a patratelor ce duce la formula (133) nu se poate efectua daca una din valorile proprii este 0 si in acest caz conica e de tip parabolic. Apoi, observam ca daca cele doua valori proprii au acelasi semn conica este de tip eliptic iar daca semnele valorilor proprii sunt diferite conica este de tip hiperbolic. Din moment ce (192) putem colecta informatiile de mai sus in urmatoarea concluzie: (193) Exemplu 9.2 Sa se aduca conica (194) la forma canonica. Demonstratie: Matricea
a formei patratice din demonstratia anterioara este (195)
Ecuatia caracteristica pentru valorile proprii
este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 4 of 5
(196) ceea ce implica
. Lui
ii corespunde
ii corespunde un vector propriu
iar lui
. Normalizandu-i obtinem
si Deoarece
alegem
Va rezulta ca rotatia din exercitiul anterior este (197) adica (198) Inlocuind in ecuatia initiala se obtine
(199)
Prin completarea patratelor se ajunge la
(200)
Facem acum translatia (201) de unde obtinem ecuatia redusa a conicei
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Reducerea la forma canonica a unei conice
Page 5 of 5
(202) in raport cu sistemul de referinta canonic definite de versorii
si punctul
$$
Inainte: Intersectia dintre o conica Sus: Conice Inapoi: Conice Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o conica si o dreapta
Page 1 of 3
Inainte: Elipsa Sus: Conice Inapoi: Reducerea la forma canonica Cuprins Index
Intersectia dintre o conica si o dreapta Consideram o dreapta (D) de ecuatii parametrice
si o conica de ecuatie carteziana
Intersectia
corespunde radacinilor
ale ecuatiei polinomiale in
:
(203)
Dupa gruparea termenilor ce contin
se obtine: (204)
Notam
si observam ca ecuatia (147) se poate scrie in
forma (205) Asadar punctele de intersectie dintre dreapta si conica sunt decise de radacinile ecuatiei de mai sus. Discutie: 1. Ecuatia (148) este de gradul doi daca
. Daca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o conica si o dreapta
Page 2 of 3
atunci ecuatia are doua radacini reale si distincte deci dreapta intersecteaza conica in doua puncte distincte. Daca atunci exista un singur punct de intersectie si concluzionam ca dreapta este tangenta la conica. Observam ca in acest caz daca este punctul de intersectie avem din ecuatia (149) ca , deci directia dreptei tangente este perpendiculara pe vectorul si deci ecuatia dreptei tangente este
. Dreapta care trece prin
si este perpendiculara pe dreapta tangenta se numeste
dreapta normala la conica in punctul
. Directia ei este
deci
ecuatia dreptei normale este
Daca conica.
atunci ecuatia de gradul doi (148) nu are solutii reale deci dreapta nu intersecteaza
2. Cand
ecuatia (148) este de gradul intai.
Ea are solutia
daca
deci
Daca
contine un singur punct.
si
ecuatia (148) nu are solutie deci nu exista
un punct de intersectie. Daca insa
si
ecuatia este identic satisfacuta si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectia dintre o conica si o dreapta
Page 3 of 3
Inainte: Elipsa Sus: Conice Inapoi: Reducerea la forma canonica Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Elipsa
Page 1 of 4
Inainte: Hiperbola Sus: Conice Inapoi: Intersectia dintre o conica Cuprins Index
Elipsa Consideram o elipsa de ecuatie
. Am vazut in sectiunea anterioara ca exista un reper
in raport cu care elipsa are ecuatia
(207) Reperul
se numeste reperul canonic iar ecuatia (150) se numeste ecuatia redusa a
elipsei fata de reperul canonic. Sa presupunem ca reperul canonic cu
. Punctele
,
. In cele ce urmeaza vom renota se numesc focarele elipsei iar distanta
semi-distanta focala a elipsei. Intersectiile curbei cu axele ,
,
se numesc varfurile ei:
,
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Elipsa
Page 2 of 4
.
Teorema 9.1 Elipsa descrisa mai sus este locul geometric al punctelor
din plan
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Elipsa
Page 3 of 4
pentru care
.
Demonstratie: Sa consideram un punct
pe elipsa.
vom avea atunci ca
Pe de alta parte, din ecuatia canonica a elipsei avem ca
. Inlocuind rezulta ca
$$ Teorema 9.2 Aria elipsei de ecuatie (208)
este egala cu
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Elipsa
Page 4 of 4
Demonstratie: Consideram transformarea afina
sau
Se observa ca elipsa se transforma prin aceasta transformare in cercul unitate centrat in origine
Rezulta atunci din teorema (?) din sectiunea anterioara ca aria se transforma dupa formula:
aria cerc De aici rezulta
$$
Inainte: Hiperbola Sus: Conice Inapoi: Intersectia dintre o conica Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 1 of 6
Inainte: Parabola Sus: Conice Inapoi: Elipsa Cuprins Index
Hiperbola Ecuatia redusa a hiperbolei in raport cu reperul canonic
este
(209) Focarele hiperbolei sunt punctele
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 2 of 6
,
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 3 of 6
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 4 of 6
Teorema 9.3 Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 5 of 6
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Hiperbola
Page 6 of 6
Demonstratie: $$
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Parabola
Page 1 of 2
Inainte: Seminarul 6 Sus: Conice Inapoi: Hiperbola Cuprins Index
Parabola Ecuatia redusa a parabolei in raport cu reperul canonic
este
(210)
Focarul parabolei este
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Parabola
Page 2 of 2
Teorema 9.4 Parabola este locul geometric al punctelor din plan pentru care
unde
este proiectia lui
pe axa
.
Demonstratie: $$ adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 1 of 15
Inainte: Curbe in 2 si Sus: Conice Inapoi: Parabola Cuprins Index
Seminarul 6 Exercitiu 9.1 Consideram conica de ecuatie equationg(x,y)=13x^2-48xy+27y^2-50x-76=0 1. 2. 3. 4.
Sa se determine tipul conicei. Sa se determine forma redusa a acestei conice. Sa se determine axele (sau axa) de simetrie ale acestei conice. Sa se determine focarele acestei conice.
Demonstratie: Se procedeaza exact ca in exemplul ( ) din acest capitol referitor la reducerea unei conice la forma canonica. Mai intai incercam sa anulam termenul din expresia conicei prin utilizarea unei rotatii. Fie (211)
Valorile proprii
ale lui
satisfac ecuatia
(212)
de unde rezulta ca
.
Suntem acum in masura sa raspundem la prima intrebare. Din moment ce cele doua valori proprii sunt nenule si de semn contrar conica este de tip hiperbolic. Determinam acum vectori proprii
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 2 of 15
corespunzatori lui
si respectiv
. Pentru
trebuie ca
(213)
Alegem
rezulta
In mod similar gasim ca
Dupa normalizare avem ca
.
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 3 of 15
Se poate vedea ca (214)
Facem acum schimbarea de variabile equation( )= (
)= ( )(
)(
) sau (
)
Mai putem scrie: equation
Din teoria expusa in acest capitol rezulta ca forma patratica
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 4 of 15
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 5 of 15
devine
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 6 of 15
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 7 of 15
Putem scrie expresia intreaga prin utilizarea formulei (168)
. Dupa completarea patratelor rezulta ca
sau
Facem acum schimbarea de variabile equationx''=x'-1/3,y''=y'+4 de unde rezulta ca
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 8 of 15
Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum reperul canonic. Avem ca daca
atunci
si deci din ecuatiile (168)
,
Si deci originea sistemului canonic este la
.
Sa determinam axele de simetrie ale hiperbolei.
este echivalent cu
Aceasta este axa
. Axa ceea ce ne da
de unde
are ecuatia
.
de unde .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 9 of 15
Pentru determinarea focarelor folosin aceasi metoda de schimbare de variabile. Stim ca in reperul canonic
focarele sunt date de
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 10 of 15
si
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 11 of 15
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 12 of 15
Va rezulta atunci
in reperul
si
in reperul
. pentru determinarea coordonatelor
putem folosi formulele (168) si(169).
$$ Exercitiu 9.2 Consideram conica de ecuatie equationg(x,y)=29x^2+24xy+36y^2-50x=0 1. 2. 3. 4.
Sa se determine tipul conicei. Sa se determine forma redusa a acestei conice. Sa se determine axele (sau axa) de simetrie ale acestei conice. Sa se determine focarele acestei conice.
Demonstratie: Se procedeaza exact ca in exemplul ( ) din acest capitol referitor la reducerea unei conice la forma canonica. Mai intai incercam sa anulam termenul
din expresia
conicei prin utilizarea unei rotatii. Fie
(215)
Valorile proprii
ale lui
satisfac ecuatia
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 13 of 15
(216)
de unde rezulta ca
.
Suntem acum in masura sa raspundem la prima intrebare. Din moment ce cele doua valori proprii sunt nenule si au acelasi semn conica este de tip eliptic. Determinam acum vectori proprii
corespunzatori lui
si respectiv
. Pentru
trebuie ca
(217)
Alegem
rezulta
Dupa normalizare avem ca
. In mod similar gasim ca
.
Se poate vedea ca (218)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 14 of 15
Facem acum schimbarea de variabile equation( ) sau (
)= (
)= (
)(
)( )
Mai putem scrie:
equation
Din teoria expusa in acest capitol rezulta ca forma patratica
devine
Putem scrie expresia intreaga prin utilizarea formulei (168)
. Dupa completarea patratelor rezulta ca sau Facem acum schimbarea de variabile equationx''=x'-1/3,y''=y'-1 de unde rezulta ca
Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum reperul canonic. Avem ca daca
atunci
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Seminarul 6
Page 15 of 15
si deci din ecuatiile (168)
,
Si deci originea sistemului canonic
este la
. Sa determinam axele de simetrie ale hiperbolei.
este echivalent cu
Aceasta este axa
de unde
. Axa ceea ce ne da
are ecuatia
.
de unde
.
Pentru determinarea focarelor folosim aceeasi metoda de schimbare de variabile. Stim ca in reperul canonic
focarele sunt date de
si
coordonatelor in reperul
in reperul
si
. Va rezulta atunci
. pentru determinarea
putem folosi formulele (168) si(169).
$$
Inainte: Curbe in 2 si Sus: Conice Inapoi: Parabola Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Ecuatia carteziana a unei curbe
Page 1 of 1
Inainte: Ecuatia unei curbe in Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Curbe in 2 si Cuprins Index
Ecuatia carteziana a unei curbe Curbele in 2d sunt colectii de puncte unde colectii de puncte
ce satisfac ecuatii carteziene de tipul este o functie de doua variabile. In 3d curbele sunt
ce satisfac ecuatii carteziene de tipul
unde
sunt
functii de trei variabile. Exemplu 10.1 Dreapta si conicele sunt exemple de curbe. Exemplu 10.2 Curba cardioida este data de ecuatia carteziana (219) Exemplu 10.3 Trifoiul este dat de ecuatia carteziana equation (x^2+y^2)^2=ax(x^2-3y^2)
Figura 41: Trifoiul.
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Ecuatia unei curbe in coordonate polare
Page 1 of 1
Inainte: Ecuatia parametrica a unei Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia carteziana a unei Cuprins Index
Ecuatia unei curbe in coordonate polare Uneori prin utilizarea coordonatelor polare in locul celor carteziene, ecuatia poate fi simplificata. Coordonatele carteziene sunt inlocite de coordonatele
polare
utilizand formulele
,
.
In coordonate polare ecuatia cercului unitate centrat in origine este
.
Exemplu 10.4 Curba cardioida este data de ecuatia in coordonate polare
Exemplu 10.5 Trifoiul este dat de ecuatia in coordonate polare
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Ecuatia parametrica a unei curbe
Page 1 of 2
Inainte: Vectori tangenti la curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia unei curbe in Cuprins Index
Ecuatia parametrica a unei curbe Ecuatiile parametrice ale unei curbe de ecuatie carteziana obtin prin exprimarea coordonatelor
se in functie de un parametru
in asa fel incat expresiile
sa satisfaca ecuatia
Exemplu 10.6 De pilda cercul de raza origine si de ecuatie carteziana
.
centrat in se poate parametriza in forma urmatoare:
equation x(t)=r sin(t), y(t)=r cos(t), t &isin#in;[0,2&pi#pi;) deoarece
satisfac
equation x(t)^2+y(t)^2=r^2(sin(t)^2+cos(t)^2)=r^2. Se observa ca deasemenea equation x(t)=r cos(t), y(t)=r sin(t), t &isin#in;[0,2&pi#pi;) este o parametrizare valida a cercului, in ambele cazuri multimea
raza parametrul
este cercul de
centrat in origine. In primul caz in timp ce punctul corespunzator
parcurge intervalul
parcurge cercul in sens contrar acelor de ceasornic incepand din punctul . In al doilea caz in timp ce parametrul punctul corespunzator incepand din punctul
parcurge intervalul
parcurge cercul in sens contrar acelor de ceasornic .
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Ecuatia parametrica a unei curbe
Page 2 of 2
Exemplu 10.7 Ecuatia parametrica a elipsei Elipsa de ecuatie carteziana
se poate parametriza dupa cum urmeaza equation x(t)= a cos
(t), y(t)= b sin(t), t&isin#in;[0,2&pi#pi;) Exemplu 10.8 Ecuatia parametrica a cardioidei: equation x(t)= 2a(1-t^2)/(1+t^2)^2 , y(t)= 4at/(1+t^2)^2
Sectiuni z
Vectori tangenti la curbe
Inainte: Vectori tangenti la curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia unei curbe in Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Intersectii de curbe
Page 1 of 1
Inainte: Cum apar curbele in Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Vectori tangenti la curbe Cuprins Index
Intersectii de curbe In rare cazuri (intersectia a doua drepte sau a unei conice cu o dreapta sunt doua exemple) intersectia a doua curbe poate fi calculata cu o metoda generala. De cele mai multe ori se recurge la o metoda adaptata problemei respective. Exemplu 10.10 Sa se calculeze intersectia cercurilor equation x^2+y^2=1, (x-1)^2+y^2=1 Daca
se afla pe ambele cercuri
atunci el va satisface sistemul equation
de unde rezulta
Se scade prima ecuatie din a doua si se obtine
. Se poate deasemenea utiliza parametrizarea celor doua cercuri
equation
ce duce la un sistem trigonometric.
si deci equation
Daca rezulta ca
rezulta ca
de unde de unde
si si
. Daca .
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Cum apar curbele in practica?
Page 1 of 3
Inainte: Lungimea unei curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Intersectii de curbe Cuprins Index
Cum apar curbele in practica? Curbele pot aparea in practica de pilda ca traiectorii ale unor obiecte sau particule in miscare sub actiunea anumitor forte sau ca intersectii de suprafete. Sa consideram miscarea unui obiect aruncat sub un unghi initiala
cu axa orizontala cu o viteza
. Ignoram efectul frecarii cu aerul.
Sa notam cu
pozitia obiectului la momentul . Deci
inaltimea la care se afla obiectul la momentul
iar
reprezinta distanta parcursa de
obiect pe directia orizontala. Din legile mecanicii avem ca pe de alta parte
reprezinta
. Pe de o parte
,
. Obtinem de aici ca
de unde rezulta ca
.
Utilizand proprietatile primitivelor obtinem ca si
.
Deoarece initial
obtinem ca
. Pe de alta
parte viteza initiala (ca vector) este
ceea ce inseamna ca si
si
. Rezulta de aici ca
.
cu viteza initiala Exemplu 10.11 O piatra este aruncata la un unghi de aprox. de la nivelul solului. Sa se afle distanta pana la locul unde piatra loveste pamantul.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Cum apar curbele in practica?
Page 2 of 3
Din teoria expusa anterior avem ca
si
pamantul avem ca locul unde
deci punem
. In locul unde piatra loveste . Pentru a afla distanta pana la in formula
.
Exemplu 10.12 Pozitia unei particule ce se misca in linie dreapta este data de ecuatia . Sa se afle distanta parcursa de particula dupa doua secunde.
In intervalulde timp
particula se misca inspre stanga pana in punctul
Dupa aceea se misca numai inspre dreapta. La momentul 2 ea va fi in pozitia totala este 2.5.
.
deci distanta
Exemplu 10.13 Sa se parametrizeze cercul unitate centrat in origine in asa fel incat cercul sa fie parcurs incepand din punctul si in sensul acelor de ceasornic.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Cum apar curbele in practica?
Parametrizarea
Page 3 of 3
,
parcurge cercul incepand din
contrar acelor de ceasornic. Pentru a muta punctul de pornire adunam a schimba sensul de parcurgere inlocuim t cu
si in sens la . Pentru
.
,
Inainte: Lungimea unei curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Intersectii de curbe Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Lungimea unei curbe
Page 1 of 3
Inainte: Cuadrice si corpuri de Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Cum apar curbele in Cuprins Index
Lungimea unei curbe
Pentru a calcula lungimea unei curbe
diferentiabile
cu derivata continua se imparte intervalul
pe care se parametrizeaza
curba in subintervale de lungime egala ca in figura de mai jos, deci lungimea fiecarui subinterval va fi . Construim deasemenea numerele ca in figura. Se observa ca pe curba date de formula
si
. Acestor numere
le vor corespunde puncte
.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Lungimea unei curbe
Page 2 of 3
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Lungimea unei curbe
Construim segmente ce unesc punctele consecutive lungimea curbei
Page 3 of 3
si
,
si aproximam
cu suma lungimilor acestor segmente:
(220)
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/22/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 1 of 6
Inainte: Volumul corpurilor de rotatie Sus: < Inapoi: Lungimea unei curbe Cuprins Index
Cuadrice si corpuri de rotatie Un corp de rotatie se obtine prin rotirea unei curbe in jurul unei drepte. De pilda, sfera unitate centrata in origine este corpul de rotatie obtinut prin rotirea graficului functiei
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 2 of 6
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
in jurul axei
Page 3 of 6
. Torul se obtine prin rotirea cercului de raza
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 4 of 6
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 5 of 6
centrat in
in jurul axei
cu
.
Figura 42: Torul . Prin rotirea unei elipse in jurul unei din axele ei de simetrie se va obtine un elipsoid.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice si corpuri de rotatie
Page 6 of 6
Figura 43: Elipsoidul .
Sectiuni z {
z
Volumul corpurilor de rotatie
Cuadrice
adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Volumul corpurilor de rotatie
Page 1 of 3
Inainte: Cuadrice Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Cuadrice si corpuri de Cuprins Index
Volumul corpurilor de rotatie Sa studiem cazul corpurilor de rotatie obtinute prin rotirea graficului unei functii jurul axei
in
.
Se imparte intervalul
in
subintervale de lungime egala ca in figura de mai
jos, deci lungimea fiecarui subinterval va fi
Construim deasemenea numerele
.
ca in figura.
Figura 44: Corp obtinut prin rotatie in jurul lui Ox . Va rezulta ca volumul total al corpului de rotatie este egal cu suma volumelor ale partilor din corpul de rotatie aflate intre planele verticale prin
si
ca in
figura.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Volumul corpurilor de rotatie
Page 2 of 3
. Pe de alta parte, deoarece pentru n foarte mare
va fi foarte aproape de
spune ca partea din corpul de rotatie aflate intre planele verticale prin
putem si
este
aproape un cilindru si in consecinta avem ca
Prin insumare rezulta ca
Trecand la limita dupa
rezulta ca
. Suma Riemann din dreapta converge la si deci
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Volumul corpurilor de rotatie
Page 3 of 3
(221)
Inainte: Cuadrice Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Cuadrice si corpuri de Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 1 of 11
Inainte: Index Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Volumul corpurilor de rotatie Cuprins Index
Cuadrice Cuadricele sunt colectii de puncte de coordonate
ce satisfac o ecuatie carteziana de
tipul equationa_11x^2+a_22y^2+a_33z^2+2a_12xy+2a_13xz+2a_23yz+2a_10x+2a_20y+2a_30z+a_00 Exemplu 11.1 Exemple de cuadrice: Elipsoidul: equation x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 Un exemplu este prezentat in figura de mai sus. Elipsoidul este un corp de rotatie. Hiperboloidul cu o panza: equation x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 Hiperboloidul cu o panza este corp de rotatie.
Figura 45: Hiperboloidul cu o panza .
Hiperboloidul cu doua panze: equation x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1 Hiperboloidul cu doua panze este corp de rotatie.
Figura 46: Hiperboloidul cu doua panze . Paraboloidul eliptic: equation x^2/a^2+y^2/b^2=2pz Paraboloidul eliptic este corp de rotatie.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 2 of 11
Figura 47: Paraboloidul eliptic .
Paraboloidul hiperbolic: equation x^2/a^2y^2/b^2=2pz Paraboloidul hiperbolic nu este corp de rotatie.
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 3 of 11
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 4 of 11
Figura 48: Paraboloidul hiperbolic .
Exemplu 11.2 (Alte cuadrice)
(222)
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 5 of 11
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 6 of 11
Aducerea unei cuadrice generale la forma canonica. Cuadricele expuse mai sus sunt in forma canonica in sensul ca nu apar termeni de tipul
si deasemenea, in cazul in care termeni de tipul
sunt prezenti, termenii corespunzatori
nu
mai apar. Din punct de vedere geometric, atunci cand o cuadrica e in forma canonica, axele (sau axa) de simetrie (daca exista) sunt unele din axele reale . De pilda
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 7 of 11
paraboloidul eliptic in forma canonica
simetrie axa
are ca axa de
.
In cele ce urmeaza vom incerca sa aducem la forma canonica o cuadrica de ecuatie generala data de (198). Teoria este aceeasi ca si in cazul conicelor, cuadricei i se aplica mai intai o rotatie (in spatiu) care sa puna cuadrica in forma canonica in raport cu o translatie a reperului nostru. Rotatia este apoi urmata de o translatie.
Pentru aflarea rotatiei se calculeaza valorile proprii
ale matricii
a formei patratice asociate cu ecuatia (198).
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 8 of 11
equation A=[
]
Valorile proprii
equation |
sunt solutiile
ale ecuatiei
|=0
Apoi la fel ca in cazul conicelor se calculeaza o baza ortonormala orientata pozitiv formata din
vectori proprii
pentru valorile proprii
.
Prin urmare ei trebuie sa satisfaca ecuatiile
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
, sa fie liniar independenti, unitari, iar
Page 9 of 11
.
Deoarece matricea formei patratice este simetrica astfel de vectori proprii exista. Cu acesti vectori proprii se construieste matricea
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 10 of 11
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Cuadrice
Page 11 of 11
care are pe coloane vectorii
Notatia de mai sus are urmatoarea semnificatie: daca notam
equation R=[
atunci
]
Ea corespunde rotatiei in spatiu equation [
]=R· [
]
Observam deasemenea ca
(termeni de ordin 1 sau 0)
(223)
Inainte: Index Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Volumul corpurilor de rotatie Cuprins Index adi 2006-11-05
https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n... 1/23/2007
Related Documents
Geometrie Analitica Lectii Bb2
December 2019 24
Geometrie Analitica - Probleme
December 2019 13
Geometrie Analitica Raspunsuri
May 2020 5
Sinteze-geometrie-analitica
May 2020 24
16161114 Geometrie Analitica Raspuns 2008set2
June 2020 1More Documents from ""
Ortho_noms_en_i1
April 2020 39
Fiche Lecture Cp Ce1 Ce2 2
December 2019 62
Img_0011
December 2019 65
Planche1
April 2020 43
Note 1id Info
December 2019 58