Geometria Proporcional Nm1

Geometría Proporcional Colegio nueva era Siglo XXI, Curauma Departamento de Matemática

Contenidos 1. Congruencia 1.1 Definición 1.2 Triángulos Congruentes

2. Figuras Equivalentes 3. Semejanza 3.1 Definición 3.2 Triángulos Semejantes 3.3 Elementos homólogos 3.4 Razón entre áreas y perímetros

4. División de un segmento 4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División Armónica 4.4 Sección áurea o Divina

1. Congruencia 1.1 Definición

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Ejemplos:

(Son congruentes cuando son exactamente iguales)

1.2 Triángulos congruentes Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Ejemplo:

C

F 8

6

A

10

8

6

B

D

10

E

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

Ejemplo: C

F

3

3

α A

α 5

B

D

5

E

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

3° angulo, lado ,angulo (A.L.A) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.

Ejemplo: C 12

F

β

12

α A

β

α B

D

E

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área.

Ejemplo: El cuadrado de lado 2√π , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:

Área = 4π

Área = 4π

3. Semejanza 3.1 Definición Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente iguales, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. J D δ E ε

δ γ β

α A

C B

F

ε

γ β

α

I

H

G Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

D 2 δ C 6 γ 4 ε E β B 3 α 5 A

J

δ

12

F

γ

ε 6

I 8

β α G

Además, están en razón 1:2.

4

10

H

3.2 Triángulos Semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados homólogos proporcionales.

Ejemplo:

F C

3

β

α A

9

4

γ 5

AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AC es homólogo a DF

β 12

γ

α B

D

15

E

Los Lados homólogos están en razón: 1:3 AB = BC = AC = 1 DE EF DF 3

Recuerda que al establecer una semejanza, el orden es fundamental.

Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: R C

γ

β 4

α

A

10

γ

β

α B

P

6

Q

Solución: Los triángulos ABC y PRQ son semejantes y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces: AB = CB = AC PR QR PQ Es decir: AB = 10 = 4 ⇒ PR QR 6

10 = 4 ⇒ 60 = 4∙QR ⇒ 15 = QR QR 6

3.3 Elementos Homólogos Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales. Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.

Ejemplo:

Q C

4

A

3

5

10

6 B R

AB = BC = CA = k PQ QR RP

⇒

8

P

5 = 3 = 4 = 1=k 10 6 8 2

2,4 1 Además, hC = =k = hR 4,8 2 Q C 4

A

hC 5

3

10 6

hR

B R

8

P

3.4 Razón entre Áreas y Perímetros • La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

Ejemplo: Q C 4

A

hC 5

3

10 6

hR

B R

PABC PPQR

=

12 24

=

1 2

8 =k

P

• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

Ejemplo: C 4

A

Q 3

hC

10 6

B

5

hR R

AB PQ AABC APQR

=

8

5 = 1 =k 10 2 =

6 24

=

1 4

= k2

P

4. División de un segmento 4.1 División interior Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

AC = m CB n

A

C

B

Ejemplo: Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?

A

Q

B

Solución: 45 27 A

Q

AQ = 3 ⇒ QB 5

AQ = 3 45 5

Por lo tanto, AB mide 72

B

⇒ AQ = 3∙45 5

⇒ AQ = 27

4.2 División exterior Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

AD = m BD n A

B

D

Ejemplo: Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD? 20

A

B

D

Solución:

20

A

AD = 5 BD 2

⇒

12

B

20 = 5 BD 2

8

⇒ BD =

D

20∙2 5

⇒ BD = 8

4.3 División armónica Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.

AC = AD = m n CB BD

A

C

B

D

Ejemplo: Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12? 12

A

C

B

D

Solución:

12 x

A

36 5

AC = 3 ⇒ CB 2

12 - x C

y

24 B 24 D 5

x = 3 2 12-x

⇒ 2x = 3(12-x) ⇒ 2x = 36 -3x ⇒ 5x = 36 ⇒ x = 36 5

AD = 3 ⇒ BD 2

12+y = 3 ⇒ 24 + 2y = 3y 2 y ⇒ 24 = y

4.4 Sección Áurea o Divina El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.

A Si AX > BX, entonces:

X

B

AB = AX AX BX

ó (AX)2 = AB∙BX

Ejemplo: En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5b? 5b A

P

B

Solución: 5b A

(AP)2 = AB∙PB

⇒ (AP)2 = (AP + 5b)∙5b ⇒ (AP)2 = 5b∙AP + 25b2 ⇒ (AP)2 - 5b∙AP - 25b2 = 0

P

B