Geometria Plana

ESCOLA ESTADUAL PROF. ANDRONICO DE MELLO MATEMÁTICA PROFª ANNA LUISA

Geometria Plana

Quadrilátero Definição: Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.

Quadrilátero ABCD

Elementos Na figura abaixo, temos:

Vértices: A, B, C, e D. Lados: Diagonais: Ângulos internos ou ângulos do quadrilátero ABCD:

.

Quadrilátero ABCD Observações 1.

Todo quadrilátero tem duas diagonais.

2.

O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.

Anna Luisa– Matemática

1

Côncavos e Convexos Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo

Quadrilátero côncavo

Quadrilátero Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º. Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.

Do triângulo ABD, temos : a + b1 + d1 = 180º.

1

Do triângulo BCD, temos: c + b2 + d2 = 180º.

2

Adicionando 1 com 2 , obtemos: a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º a + b + c + d = 360º

Anna Luisa– Matemática

2

Observações 1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo: Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono. 2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º. Se = 360º

Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Exemplo:

h é a altura do paralelogramo.

O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria. Destacamos alguns paralelogramos:

Quadrilátero Retângulo Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos). Exemplo:

Anna Luisa– Matemática

3

Losango Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes. Exemplo:

Quadrado Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes. Exemplo:

É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.

Trapézio Anna Luisa– Matemática

4

É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases. Exemplo:

Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.

Quadrilátero Destacamos alguns trapézios: Trapézio retângulo É aquele que apresenta dois ângulos retos. Exemplo:

Anna Luisa– Matemática

5

Trapézio isósceles É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes. Exemplo:

Trapézio escaleno

É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.

Exemplo: Anna Luisa– Matemática

6

Quadrilátero Propriedades dos Paralelogramos 1ª Propriedade Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

H: ABCD é paralelogramo. T:

Demonstração Afirmativa

Justificativa

1.

Segmentos de paralelas entre paralelas.

2.

Segmentos de paralelas entre paralelas.

2ª Propriedade Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Anna Luisa– Matemática

7

H: ABCD é paralelogramo. T:

Demonstração Afirmativa

Justificativa

1.

Hipótese.

2.

Hipótese.

3.

Lado comum.

4.

Caso L.L.L.

3ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD é paralelogramo T:

Demonstração Afirmativa 1. 2. 3.

Justificativa é diagonal (2ª propriedade) Ângulos correspondentes em triângulos congruentes. Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.

4. 5.

Anna Luisa– Matemática

8

Quadrilátero 4ª Propriedade As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD é paralelogramo. T:

Demonstração Afirmativa

Justificativa

1.

Ângulos alternos internos.

2.

Lados opostos (1ª propriedade).

3.

Ângulos alternos internos.

4.

Caso A.L.A..

5.

Lados correspondentes em triângulos congruentes.

Resumindo: Num paralelogramo: •

os lados opostos são congruentes;

•

cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;

•

os ângulos opostos são congruentes;

•

as diagonais interceptam-se em seu ponto médio. Propriedade característica do retângulo. As diagonais de um retângulo são congruentes.

Anna Luisa– Matemática

9

T: ABCD é retângulo. H:

.

a) Triângulos Sendo R o raio da circunferência circunscrita, r o da inscrita e p = triângulo pode ser calculada das seguintes formas:

Anna Luisa– Matemática

o semiperímetro, a área de um

10

b) Retângulo

c) Paralelogramo

d) Trapézio

e) Losango

f) Quadrado

Anna Luisa– Matemática

11

ESCOLA ESTADUAL PROF. ANDRONICO DE MELLO MATEMÁTICA PROFª ANNA LUISA Lista de Exercicios

Ângulos

Anna Luisa– Matemática

12

Anna Luisa– Matemática

13

Áreas 1) Determine a área das seguintes figuras (em cm):

Anna Luisa– Matemática

14

a)

b)

c)

d)

e)

2) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?

3) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área Anna Luisa– Matemática

15

deste trapézio?

4) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?

5) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos: a) a = 25 e b = 12 b) a = 14 e b = 10

6.

Os "Nove Capítulos sobre a Arte Matemática" é um compêndio chinês de Matemática, com mais de 2300 anos de idade. Nele, encontramos este problema: determine o diâmetro do círculo inscrito no triângulo de lados 6, 8 e 10. Calcule você esse diâmetro.

7.

Seja um triângulo ABC eqüilátero de lado 2. No interior desse triângulo, cuja área é 3 , foi escolhido arbitrariamente um ponto P. Determine a soma das distâncias de P a cada um dos lados do triângulo.

Resp: 4

Resp:

8.

a.)

3

Seis círculos, todos de raio 1cm, são dispostos no plano conforme mostram as figuras a seguir:

Calcule a área do triângulo ABC. Resp: (7 3 + 12 )cm 2

b.)

Calcule a área do paralelogramo MNPQ e compare-a com a área do triângulo ABC. Resp: (

9.

20 3 + 36 )cm 2 . A área do triângulo ABC é 3

3 cm 2 maior do que a área do paralelogramo. 3

Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:

a.)

Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.

b.)

Calcular a área do triângulo ABC.

Resp: 2,25 m Resp:

125 3 cm 2 16

10. Na figura adiante, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semicircunferência de centro A e raio AB=AC=AD=R.

Anna Luisa– Matemática

16

A diagonal AC forma com os lados BC e AD ângulos α e β, respectivamente. Logo, determine a área do quadrilátero ABCD. Resp:

R 2 (sen 2 α + sen β ) 2

11. Um terreno tem o formato de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura adiante:

ˆ D mede 30°. Calcule a área do terreno. O lado AB tem a mesma medida que AD e vale 6m. O ângulo BC Resp: 18( 2 + 3 )m 2

12. A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1 , que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C2. Sabe-se que A e B são pontos da circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C1 e C2. Determine a área da região hachurada.

resp: 9π

13. Uma piscina retangular, de 6m de largura por 12m de comprimento, é contornada por uma superfície ladrilhada de 2m de largura, porém tendo os cantos formando triângulos, como mostra a figura. Determine a área (em m2) dessa região ladrilhada, que está marcada na figura.

Resp: 80

14. Para um quadrado de lado a, determine: o raio da circunferência circunscrita a ele, seu apótema e sua área. Resp:

a 2 a , e a2 2 2

15. Dado um triângulo eqüilátero de lado a, determine: o raio da circunferência circunscrita a ele, seu apótema e sua área. Resp:

Anna Luisa– Matemática

a 3 a 3 a2 3 e , 3 6 4

17

3a 2 3 , determine a área da coroa circular formada 2 circunferências inscrita e circunscrita à ele.

16. Para um hexágono regular de área

pelas

Resp:

Anna Luisa– Matemática

πa 2 4

18