Geometria I

GEOMETRIA I ¿Qué es la Geometría? Ya se ha visto, en el desarrollo de una teoría matemática existen algunas propiedades que constituyen el punto de partida y, por lo tanto, se acepta como verdaderas, sin demostrar: son los AXIOMAS En cambio las propiedades que se demuestran constituyen los Teoremas Para realizar la demostración partimos de ciertos datos o información que se considera Verdadera y llegamos a un resultado o Conclusión. El conjunto de datos que sirve de punto de partida constituyen la Hipótesis. La conclusión a la cual se quiere llegar es la Tesis. El proceso o razonamiento lógico que permite pasar de la hipótesis a la tesis, es la Demostración.

Conceptos fundamentales La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos:  El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.

 La recta: Una recta se representa con una porción de la misma y se la designa con una letra de imprenta minúscula.

 El plano: Un plano se representa con una porción del mismo y se lo designa con una letra griega.

Relaciones fundamentales

Los tres conceptos anteriores están relacionados a través de las relaciones de pertenencia e inclusión:  Los puntos pertenecen a las rectas y los planos.

 Las rectas están incluidas en los planos.

Postulados Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos geométricos que se aceptan sin demostrar y que surgen de la simple observación. 1. Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.

2. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.

El conjunto de rectas que concurren en un punto se denomina haz de rectas. 3. Toda recta está incluida en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitos planos.

El conjunto de planos que pasa por una recta se denomina haz de planos. 4. Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual pertenecen.

5. A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.

6. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto pertenece al mismo y la recta está incluida en él.

7. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano.

También puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan una recta que está incluida en el plano. 8. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.

Definición Todo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos porciones, cada una de ellas recibe el nombre de semirrecta. Al punto que da lugar a las dos semirrectas opuestas se lo llama origen. Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los cuales pertenece a cada semirrecta:  Semirrecta de origen O que pasa por el punto A  Semirrecta de origen O que pasa por el punto B

Características de las semirrectas  Todo punto de una recta pertenece a una de las dos semirrectas o coincide con el origen.  La intersección de dos semirrectas opuestas es el punto de origen.

 La unión de dos semirrectas opuestas es toda la recta.

Definición Dados dos puntos A y B, se llama segmento a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Los puntos A y B se denominan extremos del segmento.

Se observa que:  Dos puntos pertenecientes a una misma semirrecta determinan un segmento que no contiene al origen.

 Dos puntos pertenecientes a distintas semirrectas determinan un segmento que contiene al origen.

Se verifican las siguientes propiedades:  Igualdad de segmentos: se verifican las leyes reflexiva, simétrica y transitiva.  Relación de orden de segmentos: forman un conjunto ordenado.

Igualdad de segmentos  Carácter reflexivo: todo segmento es igual a si mismo.

 Carácter simétrico: Si un segmento es igual a otro, éste es igual al primero.

 Carácter transitivo: Si un segmento es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primer segmento es igual al tercero.

Relación de orden  Si un segmento es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, el primer segmento es mayor que el tercero.

 Si un segmento es mayor que otro y éste es igual a un tercero, el primer segmento es mayor que el tercero.

 Si un segmento es igual a otro y éste es mayor que un tercero, el primer segmento es mayor que el tercero.

Postulado de las tres posibilidades Dados dos segmentos, debe verificarse una y sólo una de las siguientes tres posibilidades:

Definición Se define como segmentos consecutivos a aquellos que cumplen las siguientes propiedades:  Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.

 Si los segmentos consecutivos pertenecen a una misma recta son consecutivos alineados: tienen un extremo en común y los puntos restantes pertenecen a semirrectas opuestas.

Definición La suma de segmentos consecutivos alineados es igual al segmento formado por los extremos no comunes de los segmentos (la unión de los puntos de ambos segmentos).

La adición de segmentos es ley de composición interna. Para sumar dos segmentos, éstos deben ser consecutivos. Si los segmentos no son consecutivos, deben colocarse sobre una recta segmentos congruentes a los dados en forma consecutiva alineada.

La adición de segmentos cumple con las siguientes leyes y propiedades:  Ley de cierre y uniforme  Ley conmutativa y asociativa

 Existencia del elemento neutro

Ley de cierre La suma de dos segmentos es cerrada o completa ya que su resultado es siempre un segmento.

Ley uniforme La adición de segmentos es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembros de una igualdad se le suma un mismo segmento se obtiene otra igualdad.

Definición Restar un segmento menor o igual a otro es encontrar un tercer segmento que sumado al segundo de como resultado el primer segmento.

La sustracción de segmentos es ley de composición interna. Para restar dos segmentos deben colocarse sobre una recta segmentos congruentes a los dados. Se coloca el segmento minuendo sobre el segmento sustraendo, haciendo coincidir uno de sus extremos.

La sustracción de segmentos cumple con las siguientes leyes y propiedades:  Corolarios  Ley uniforme  Existencia del elemento neutro En cambio, no cumple con las siguientes:  Ley de cierre  Ley conmutativa y asociativa

Corolarios  Si a un segmento se le suma otro y al resultado se le resta este último, se obtiene el primer segmento.

 Si a un segmento se le resta otro y al resultado se le suma este último, se obtiene el primer segmento.

Ley de cierre La sustracción de dos segmentos no es cerrada o completa ya que su resultado es un segmento si y sólo si el minuendo es mayor que el sustraendo.

Ley uniforme La sustracción de dos segmentos es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembros de una igualdad se le resta un mismo segmento se obtiene otra igualdad.

Existencia del elemento neutro Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

El segmento nulo es el elemento neutro de la sustracción de segmentos.

Ley conmutativa La sustracción de segmentos no es conmutativa, ya que depende del orden entre minuendo y sustraendo: al cambiar el orden de los mismos la diferencia varía.

Ley asociativa La sustracción de segmentos no es asociativa, ya que depende de la forma que se asocien los operandos: si se reemplazan dos operandos por su diferencia efectuada, la diferencia final varía.

Ley de composición interna Se llama ley de composición interna a las operaciones definidas entre elementos de un mismo conjunto. La adición y sustracción de segmentos son ley de composición interna

a ) Menciona los segmentos que determinan A, B, y C C

sobre la recta r.

B r

b) Determina la semirrecta que determinan A, B y C

A

sobre la r. c) Resolver: ( AB + BC)- AB = ;(AC – BC) + BC =

r ·B ·A α D ·

·C

Coloque sobre la línea puntuada el signo є o C (incluido) según corresponda:

A……r

AB…….r

CD……r

B……α

AB……r

r………α

C…….α

AB…….α

Demostración

Tesis: Si dos Rectas al cortarse forman un ángulo recto, entonces los otros tres también son rectos Demostración

Tesis: Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes.

Definición Toda recta perteneciente a un plano separa al mismo en dos porciones, cada uno de ellos recibe el nombre de semiplano. A la recta que da lugar a los dos semiplanos se la llama frontera o recta de división frontera o recta de división.

Para diferenciar los semiplanos se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los cuales pertenece a cada semiplano:  Semiplano respecto a la recta r que contiene al punto A  Semiplano respecto a la recta r que contiene al punto B

Propiedades de los semiplanos Se observa que:  La intersección de dos semiplanos determinados por una recta es la recta de división.

 La unión de dos semiplanos determinados por una recta es todo el plano.

 Todo punto de un plano pertenece a uno de los dos semiplanos o a la recta de división.

 Todo segmento determinado por dos puntos de distintos semiplanos corta a la recta de división.

 Todo segmento determinado por dos puntos del mismo semiplano no corta a la recta de división.

Definición Cuando dos rectas se cortan, forman en el plano 4 regiones llamadas ángulos.

Dados dos planos se llama ángulo convexo a la intersección del semiplano respecto de la recta que contiene al punto B y el semiplano respecto a la recta que contiene al punto A.

Si en cambio, se considera la unión de los dos semiplanos queda determinado un ángulo cóncavo. Si se suprime un ángulo convexo del plano, lo que queda es un ángulo cóncavo.

Las relaciones angulares verifican las siguientes propiedades:  Igualdad de ángulos: se verifican las leyes reflexiva, simétrica y transitiva.  Relación de orden de ángulos: forman un conjunto ordenado.

Identificación de un ángulo Por lo tanto, un ángulo es la porción de plano delimitado por dos semirrectas del mismo origen, y está delimitado por:  Un vértice: punto de origen de las dos semirrectas que lo forman.

 Dos lados: semirrectas cuyo origen forma el vértice del ángulo.

Los ángulos se identifican por tres letras donde:  La letra central corresponde al vértice.  Las otras dos letras son puntos cualesquiera de las semirrectas que lo forman.

Cuando los lados del ángulo son dos semirrectas opuestas se denomina ángulo llano. El ángulo llano a un semiplano.

Punto interior a un ángulo Todo punto perteneciente a un ángulo que no pertenece a sus lados se llama punto interior al ángulo.

Semirrecta interior a un ángulo Toda semirrecta cuyo origen coincide con el vértice del ángulo y sus demás puntos son interiores al ángulo se llama semirrecta interior al ángulo.

Segmento y ángulo Si un segmento tiene sus extremos en los lados de un ángulo, toda semirrecta interior a ese ángulo corta al segmento en un punto interior al ángulo.

Igualdad de ángulos Dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma amplitud. Al colocar uno encima del otro haciendo coincidir el vértice y uno de sus lados, el otro lado coincide.  Carácter reflexivo: todo ángulo es igual a si mismo.

 Carácter simétrico: Si un ángulo es igual a otro, éste es igual al primero.

 Carácter transitivo: Si un ángulo es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primer ángulo es igual al tercero.

Definición  Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado y el vértice en común.

 Varios ángulos son consecutivos cuando cada uno es consecutivo solamente con el anterior y con el siguiente.

Definición La suma de ángulos consecutivos es igual al ángulo formado por los lados no comunes de los ángulos (la unión de los puntos de ambos ángulos).

La adición de ángulos es ley de composición interna. Para sumar dos ángulos, éstos deben ser consecutivos. Si los ángulos no son consecutivos, deben colocarse sobre el plano ángulos congruentes a los dados en forma consecutiva.

La adición de ángulos cumple con las siguientes leyes y propiedades:  Ley de cierre y uniforme  Ley conmutativa y asociativa  Existencia del elemento neutro

Ley de cierre La suma de dos ángulos es cerrada o completa ya que su resultado es siempre un ángulo.

Ley uniforme La adición de ángulos es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembros de una igualdad se le suma un mismo ángulo se obtiene otra igualdad.

Ley conmutativa La adición de ángulos es conmutativa, ya que no depende del orden de los mismos: al cambiar el orden de los ángulos la suma no varía.

Ley asociativa La adición de ángulos es asociativa, ya que no depende de la forma que se asocien los mismos: si se reemplazan dos ángulos por su suma efectuada, el resultado no varía.

Elemento neutro Un ángulo es nulo cuando sus lados coinciden.

El ángulo nulo es el elemento neutro de la adición de ángulos.

Ley de composición interna Se llama ley de composición interna a las operaciones definidas entre elementos de un mismo conjunto. La adición y sustracción de ángulos son ley de composición interna.

Definición Restar un ángulo menor o igual a otro es encontrar un tercer ángulo que sumado al segundo de como resultado el primer ángulo.

La sustracción de ángulos es ley de composición interna. Para restar dos ángulos deben colocarse sobre el plano ángulos congruentes a los dados. Se coloca el ángulo minuendo sobre el ángulo sustraendo, haciendo coincidir uno de sus lados y el vértice.

La ángulos de segmentos cumple con las siguientes leyes y propiedades:  Corolarios  Ley uniforme  Existencia del elemento neutro En cambio, no cumple con las siguientes:  Ley de cierre  Ley conmutativa y asociativa

Corolarios  Si a un ángulo se le suma otro y al resultado se le resta este último, se obtiene el primer ángulo.

 Si a un ángulo se le resta otro y al resultado se le suma este último, se obtiene el primer ángulo.

Ley de cierre La sustracción de dos ángulos no es cerrada o completa ya que su resultado es un ángulo si y sólo si el minuendo es mayor que el sustraendo.

Ley uniforme

La sustracción de dos ángulos es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembros de una igualdad se le resta un mismo ángulo se obtiene otra igualdad.

Elemento neutro Un ángulo es nulo cuando sus lados coinciden.

El ángulo nulo es el elemento neutro de la sustracción de ángulos.

Ley conmutativa La sustracción de ángulos no es conmutativa, ya que depende del orden entre minuendo y sustraendo: al cambiar el orden de los mismos la diferencia varía.

Ley asociativa La sustracción de ángulos no es asociativa, ya que depende de la forma que se asocien los operandos: si se reemplazan dos operandos por su diferencia efectuada, la diferencia final varía.

Ley de composición interna Se llama ley de composición interna a las operaciones definidas entre elementos de un mismo conjunto. La adición y sustracción de ángulos son ley de composición interna.

Angulos convexos Un ángulo convexo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará dentro del ángulo.

Los ángulos convexos se clasifican en:  Agudos  Rectos  Obtusos  Llanos Angulos cóncavos Un ángulo cóncavo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará fuera del ángulo.

Los ángulos cóncavos son mayores que un llano.

Angulos rectos

Un ángulo recto es aquel formado por el cruce de dos rectas perpendiculares.

Todos los ángulos rectos son iguales.

Angulos llanos Un ángulo llano es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas.

Todo ángulo llano es igual a dos rectos.

Angulos agudos Un ángulo agudo tiene una abertura menor a la del ángulo recto.

Angulos obtusos Un ángulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ángulo recto.

Unidades angulares La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º.

Por lo tanto:  Angulo agudo < 90º  Angulo recto = 90º  Angulo obtuso > 90º y < 180º  Angulo llano = 180º  Angulo cóncavo > 180º El sistema de medición de los ángulos se llama sexagesimal. Recibe este nombre porque cada unidad menor al grado se divide en 60 partes para obtener la siguiente:

Angulos complementarios Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes da como resultado un recto.

Angulos adyacentes Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común y el otro lado está formado por dos semirrectas opuestas.

 Los ángulos adyacentes son siempre suplementarios, ya que su suma es igual a un llano.  Si dos ángulos adyacentes son iguales, ambos son ángulos rectos. Angulos opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen un vértice en común y sus lados son semirrectas opuestas.

Teorema: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Angulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes da como resultado un llano.

Teorema Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Hipótesis

Tesis

Demostración Considerando el ángulo adyacente a :

Como es también adyacente a :

Como dos ángulos que tienen igual suplemento son iguales, y resultan iguales.

que es lo que se quería demostrar.

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.

El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:  Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.  Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma. Rectas paralelas Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas:  Con regla y escuadra  Con regla y compás Teorema: En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.

Propiedades de la perpendicularidad  Carácter reflexivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter reflexivo.

 Carácter simétrico: Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.

 Carácter transitivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter transitivo.

Propiedades del paralelismo  Carácter reflexivo: Toda recta es paralela a si misma.

 Carácter simétrico: Si una recta es paralela a otra, ésta es paralela a la primera.

 Carácter transitivo: Si una recta es paralela a otra y ésta es paralela a una tercera, la primera recta es paralela a la tercera.

Teorema En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.

Hipótesis

Tesis

Demostración (por el método del absurdo) Si a no fuera paralela a b , las rectas se cortarían en un punto R.

Por hipótesis, por el punto R pasarían dos rectas perpendiculares a la recta c.

y ésto es absurdo ya que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a la misma.

Angulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera determinan ocho ángulos.

De acuerdo a la ubicación de los mismos se clasifican en:  Angulos interiores y exteriores  Angulos correspondientes  Angulos alternos  Angulos conjugados

Angulos interiores Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas se llaman ángulos interiores.

Angulos exteriores Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores.

Angulos correspondientes Si dos ángulos están ubicados de un mismo lado de la transversal, uno es interior y el otro es exterior, se los llama ángulos correspondientes.

Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales. Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos correspondientes iguales, las rectas son paralelas.

Angulos alternos internos Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambos son internos, se los llama ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales. Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos internos iguales, las rectas son paralelas. Angulos alternos externos Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambos son externos, se los llama ángulos alternos externos.

Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales. Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos externos iguales, las rectas son paralelas.

Definición de lugar geométrico Una figura es el lugar geométrico de los puntos que cumplen una propiedad cuando:  Todos los puntos de la figura cumplen esa propiedad  Todo punto que cumple la propiedad pertenece a la figura.

Distancia de un punto a una recta

Se llama distancia de un punto a una recta al segmento de perpendicular comprendido entre el punto y la recta y cumple las siguientes propiedades:  Propiedad 1: La distancia de un punto a una recta es menor a cualquier otro segmento oblicuo comprendido entre ese punto y esa recta.

 Propiedad 2: Si dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta tienen sus pies equidistantes del pie de la perpendicular, son congruentes.

 Propiedad 3: Dados dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta, el menor será aquel cuyo pie se encuentre más próximo al pie de la perpendicular. Las propiedades recíprocas a las anteriores son:  Recíproca 1: El menor de los segmentos comprendidos entre un punto y una recta es la distancia del punto a esa recta.  Recíproca 2: Si dos segmentos comprendidos entre un punto y una recta son iguales, sus pies equidistan de la perpendicular trazada entre ese punto y la recta.  Recíproca 3: Dados dos segmentos oblicuos entro un punto y una recta, si el primero es menor que el segundo, el primer pie estará más cerca del pie de la perpendicular que el segundo pie.

Propiedad 1 La distancia de un punto a una recta es menor a cualquier otro segmento oblicuo comprendido entre ese punto y esa recta.

Hipótesis

Tesis

Demostración es un triángulo rectángulo donde:

Como en todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa:

que es lo que se quería demostrar.

Propiedad 2 Si dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta tienen sus pies equidistantes del pie de la perpendicular, son congruentes.

Hipótesis

Tesis

Demostración y

son triángulos rectángulos donde:

De acuerdo a los criterios de igualdad de triángulos rectángulos:

Por lo tanto:

que es lo que se quería demostrar.

Propiedad 3 Dados dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta, el menor será aquel cuyo pie se encuentre más próximo al pie de la perpendicular.

Hipótesis

Tesis

Demostración Para el triángulo

, es un ángulo exterior, por lo tanto:

(1) Por ser

rectángulo:

(2) De (1) y (2)

Como en todo triángulo a mayor ángulo se opone mayor lado:

que es lo que se quería demostrar.

Bisectriz de un ángulo Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Por lo tanto, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo.

Mediatriz de un segmento Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular que lo divide en dos segmentos iguales. Por lo tanto, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

a) En todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacente a él. b) Demuestra que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 4 R.

Bibliografía Lic. L. Galdós –“Geometría /Trigonometría” Puig Adam- Curso de Geometría Alzán y Jaime Elementos de Trigonometría Rectilínea y Esferica