Geometria Das Superfícies Máximas No Pseudo Espaço De Lorentz Minkowski

1 ISMAEL TEIXEIRA DA SILVA GEOMETRIA DAS SUPERFÍCIES MÍNIMAS EM

3

E SUPERFÍCIES MÁXIMAS

TIPO ESPAÇO EM L 3 .

(Dissertação apresentada à Universidade Vale do Rio Verde – UNINCOR como parte das exigências do Programa de Mestrado em Matemática e Estatística, área de concentração Geometria Diferencial, para obtenção do título de Mestre em Matemática e Estatística.) Orientador: Prof. Dr. Irwen Valle Guadalupe

Três Corações 2007

2 SUMÁRIO Página RESUMO........................................................................................................................... 4 ABSTRACT....................................................................................................................... 4 INTRODUÇÃO................................................................................................................. 5 1 PRELIMINARES ........................................................................................................... 7 2 ESPAÇO TRIDIMENSIONAL EUCLIDIANO R 3 ....................................................... 11 3 ESPAÇO VETORIAL DE LORENTZ-MINKOWSKI L 3 .............................................. 13 3.1 Norma e base ortonormal ..............................................................................................14 3.2 Cone tipo tempo ........................................................................................................... 15 3.3 O produto vetorial no espaço L 3 .................................................................................. 18 4 GEOMETRIA DIFERENCIAL DE SUPERFÍCIES TIPO ESPAÇO EM R 3 E L 3 ......... 20 4.1 O plano tangente .......................................................................................................... 25 4.2 O vetor normal unitário ................................................................................................. 26 4.3 A primeira forma fundamental ....................................................................................... 30 5 A APLICAÇÃO NORMAL DE GAUSS E A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL 34 5.1 A geometria da aplicação normal de Gauss ................................................................... 34 5.2 Curvatura normal e curvaturas principais ....................................................................... 40 5.3 A curvatura Gaussiana e a curvatura média em coordenadas locais ................................ 42 6 LINHAS DE CURVATURA E LINHAS ASSINTÓTICAS ........................................... 49 7 SUPERFÍCIES MÍNIMAS EM R 3 E MÁXIMAS TIPO ESPAÇO EM L 3 .................... 54 7.1 Catenóides ................................................................................................................... 56 7.1.1 Catenóide em R 3 . ..................................................................................................... 57 7.1.2 Catenóide de primeiro tipo em L 3 . ............................................................................ 61 7.1.3 Catenóide de segundo tipo em L 3 . ............................................................................ 65 7.1.4 Catenóide de terceiro tipo em L 3 . ............................................................................. 69 7.2 Helicóides .................................................................................................................... 71 7.2.1 Helicóide em R 3 . ...................................................................................................... 71 7.2.2 Helicóide de primeiro tipo em L 3 . ............................................................................. 75 7.2.3 Helicóide de segundo tipo em L 3 . ............................................................................. 78 7.2.4 Helicóide de terceiro tipo em L 3 . .............................................................................. 81 7.3 Superfícies de Enneper ................................................................................................. 82 7.3.1 Superfície de Enneper em R 3 . ................................................................................... 82 7.3.2 Superfície de Enneper de primeiro tipo em L 3 . .......................................................... 86 7.3.3 Superfície de Enneper conjugada de primeiro tipo em L 3 . .......................................... 89 7.3.4 Superfície de Enneper de segundo tipo em L 3 . .......................................................... 92

3 7.3.5 Superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L 3 . ......................................... 95 7.3.6 Superfície de Enneper de terceiro tipo em L 3 . ........................................................... 98 7.4 SUPERFÍCIES DE SCHERK ..................................................................................... 99 7.4.1 Superfície de Scherk em R 3 . ..................................................................................... 99 7.4.2 Superfície de Scherk de primeiro tipo em L 3 . ........................................................... 102 7.4.3 Superfície de Scherk de segundo tipo em L 3 . ........................................................... 106 7.4.4 Superfície de Scherk de terceiro tipo em L 3 . ............................................................ 107 8 GEOMETRIA COM O SOFTWARE MATHEMATICA ............................................. 109 8.1 Geometria das superfícies no espaço tridimensional de Lorentz Minkowski - L³............ 109 8.2 Deformação isométrica do helicóide em catenóide em L³.............................................. 112 CONCLUSÃO ................................................................................................................ 114 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................. 116

4 RESUMO O objetivo deste trabalho é estudar inicialmente a geometria das superfícies mínimas no espaço Euclidiano R 3 . Paralelamente será feito o mesmo estudo para as superfícies máximas tipo espaço na métrica de Lorentz-Minkowski, L 3 . Após o estudo das aplicações de Gauss e a determinação dos coeficientes da Primeira e Segunda Forma Fundamental, serão estudadas as curvaturas gaussiana, média, normal e principais além das linhas de curvatura e assintóticas, comparando os resultados obtidos para estas superfícies nos dois espaços. O software Mathematica será utilizado como ferramenta com a finalidade de desenvolver uma rotina de programação que permita o cálculo da geometria de qualquer superfície mínima em R 3 e máxima em L 3 .

ABSTRACT The aim of this work initially is to study the geometry of the minimal surfaces in the Euclidian space R 3 . Similarly, it will be made the same study for the maximal spacelike surfaces in the Lorentz-Minkowski space, L 3 . After studying the Gauss map and the determination of the coefficients of the first and second fundamental form, the Gaussian, mean, normal and main curvatures besides the asymptotic and curvature lines, will be studied, comparing the obtained results for those surfaces in the two spaces. The Mathematica software will be used as tool with the purpose to develop a programming routine that allows the calculation of the geometry of any minimal surface in R 3 and maximal in L 3 .

5

INTRODUÇÃO

A idéia de superfície mínima vem de 1760 com um problema proposto por Lagrange: dada uma curva fechada simples C, qual a menor superfície que tem esta curva como fronteira? Em 1762 Lagrange desenvolveu um algoritmo para o cálculo de variações que deu lugar ao que hoje conhecemos por equação diferencial de Euler-Lagrange, onde tratou de encontrar uma superfície de área mínima e contorno pré-fixado e como conseqüência estabeleceu a equação que satisfaz o traço mínimo e cujas soluções definem o que conhecemos por superfícies de curvatura média constante (nula no caso das superfícies mínimas). f x, y : 1

f 2y f xx

2f x f y f xy

1

f 2x f yy

0

7. 1

Interessado mais em questões teóricas, Lagrange não se preocupou em encontrar soluções concretas não triviais da equação (7.1). Foi Euler quem primeiro conseguiu rodar a curva chamada catenária para se obter uma superfície mínima que chamou de alysseide, posteriormente denominada catenóide por J. Plateau, cujas experiências em meados do século XIX que deram uma nova importância às superfícies mínimas, quando imergiu arames moldados na forma de curvas espaciais em uma solução de água, sabão e glicerina, percebendo que as superfícies formadas pela fina película era a de menor área possível a ser formada por aquela determinada curva (FIGURA 7.1), por ser a superfície que apresentava a menor energia potencial, resultado das interações entre suas moléculas (DO CARMO, 2005)[6].

FIGURA 0.1 Superfície moldada por película de sabão.

Um novo desafio, então, surgiu para os matemáticos: provar os resultados experimentais de Plateau, e a questão vaga proposta por Lagrange passou a ser conhecida por "problema de Plateau " que consiste em determinar a menor superfície que cobre uma curva

6 fechada dada. Este trabalho tem por objetivo fazer um estudo comparativo das superfícies mínimas no espaço tridimensional euclidiano,

3

e de Lorentz-Minkowski, L 3 , também denominado

pseudo-espaço de Lorentz-Minkowski. Este último tem sua importância nas aplicações em Física, onde sua maior expressão é na Teoria da Relatividade especial de Albert Einstein, onde é mais comumente formulada. Nessa configuração as três dimensões usuais do espaço são combinadas com uma única dimensão do tempo para formar uma variedade quadrimensional para representar um espaço-tempo. Inicialmente, define-se o espaço vetorial de um modo geral e algumas de suas propriedades e logo após uma breve descrição do espaço tridimensional euclidiano

3

e do

pseudo-espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski, L 3 . Após esta breve descrição, inicia-se um estudo da geometria diferencial das superfícies mínimas em

3

e máximas tipo espaço em L 3 , definindo uma superfície regular

parametrizada e suas curvas coordenadas. Ainda no mesmo capítulo inicia-se a diferenciação dos dois espaços, definindo o plano tipo espaço e o plano tangente à superfície além da primeira forma fundamental. A seguir, faz-se o estudo da aplicação normal de Gauss nos dois espaços definindo a segunda forma fundamental e o cálculo das curvaturas: normal, Gaussiana, média e principais. O capítulo seis apresenta as aplicações da primeira e segunda forma fundamentais na determinação das linhas de curvatura e linhas assintóticas para as superfícies em Inicia-se, então, o estudo específico das superfícies mínimas em

3

e L3.

3

e máximas em

3

L , onde determina-se todas as características geoméricas anteriormente definidas para as famílias do catenóide, helicóide, superfícies de Enneper e superfícies de Scherk, cujos resultados são comparados posteriormente para que se possa verificar as diferenças entre as duas métricas. Finalizando, é apresentada uma sugestão de rotina de programação para o cálculo da geometria das superfícies nas duas métricas, desenvolvida para o software Mathematica da Wolfram Research Inc., software este utilizado durante o desenvolvimento deste estudo não só na determinação dos cálculos mas também na construção das superfícies aqui mencionadas.

7

1 PRELIMINARES

Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita. Uma forma bilinear em V é uma aplicação bilinear g : V

V

, isto é, para u, v, w

Ve ,

, g satisfaz as seguintes

propriedades: P1.

gu

v, w

g u, w

g v, w

P2.

g u, v

w

g u, v

g u, w

P3.

g u, v

g u, v

P4.

g u, v

g u, v

Uma forma bilinear g em V é dita simétrica se satisfaz: P5.

g u, v

g v, u , para todo u, v

V.

Definição 1.1. Seja g uma forma bilinear simétrica de V. Dizemos que g é: 1.

Positiva definida se para todo v

2.

Positiva semi-definida se g v, v

0, para todo v

3.

Negativa definida se para todo v

0, g v, v

4.

Negativa semi-definida se g v, v

5.

0, g v, v

0.

0.

0, para todo v

Não-degenerada se, para cada v g v, u 0.

V.

V.

0 existe, pelo menos um vetor u

Observa-se que se g é não degenerada e v

V é tal que g u, v

V, tal que

0 para todo u

V,

então v é o vetor nulo. Diz-se que g é degenerada se g não é não-degenerada, isto é, para cada v u

V, é tal que g v, u

0, todo

0.

Definição 1.2 Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno sobre V, caso particular de forma bilinear, é uma função ,

:V

V

, que a cada par de vetores u, v associa

um número real, que satisfaz as seguintes propriedades: P6.

v, v

P7.

0, onde v, v

u, v

P8.

u

P9.

u, v

0 se, e somente se v

u, v , para todo

v, w

u, w v, u

v, w

.

0

8

n

Em

a função definida por n i 1

u, v onde u

u1, u2, . . . , un , v

uivi

u1v1 n

v1, . . . , vn

u2v2 . . . unvn

(1.1)

, é o produto escalar chamado de produto escalar

usual ou produto escalar euclidiano. Pelo fato de ser um caso particular de forma bilinear, o produto escalar verifica também as propriedades P1 a P5.

Seja g uma forma bilinear simétrica em V. Então, se W

V é um subespaço vetorial

de V, a restrição g|W W, denotada por g|W, é também uma forma bilinear simétrica. Além disso, se g é positiva (negativa), (semi) definida o mesmo ocorre com g|W.

Definição 1.3. O índice v, de uma forma bilinear simétrica g em V é a maior das dimensões dos subespaços W de V , tal que g|W é negativa definida. Em outras palavras: v

max dim W; W é subespaço de V e g|W é negativa definida

Logo, 0

v

dim V e v

0 se, e somente se, g é positiva semi-definida.

Definição 1.4. Se g é uma forma bilinear simétrica em V, a função Q : V definida por Q u

,

g u, u é chamada de forma quadrática associada a g.

Exemplo 1.1. A forma quadrática Q, associada a forma bilinear u, u , onde u, u é um produto escalar usual de

2

, é dada por: Qu

u 21

u 22 .

Dada uma base e 1 , e 2 , . . . , e n de V, a matriz n

n, g ij

g ei, ej

é chamada de

matriz de g relativa à base e 1 , e 2 , . . . , e n . Nota-se que, como g é simétrica, g ij é uma matriz simétrica. Além disso, dados u, v v

n i 1

V, existem números reais u i , v j tais que u

n i 1

uiei e

v j e i . Portanto, g u, v

g

n i 1

uiei,

n j 1

vjej

n i,j 1

uivj ei, ej

n i,j 1

g ij u i v j .

Lema 1.1. Uma forma bilinear simétrica em um espaço V é não-degenerada se, e somente se, sua matriz relativa a qualquer base é uma matriz invertível. Logicamente, será degenerada se a matriz não possuir uma inversa.

9 Demonstração: Seja e 1 , e 2 , . . . , e n v

V, então g v, w

0 para todo w

uma base qualquer de V. Observe que dado

V se, e somente se, g v, e i

0 para i

1, 2, . . , n. Temos

também que, como a matriz g ij é simétrica, vale: g vi, ei

g

vjej, ei

g ij v j .

Assim, g é degenerada se, e somente se, existem números reais v 1 , v 2 , . . . , v n , não todos nulos, tal que

g i,j v j

0, para i

j

1, 2, . . , n. Mas isso é equivalente a dizer que as

colunas de g ij são linearmente dependentes, isto é, que g ij não possui inversa.

Vamos considerar um espaço vetorial real V com produto interno. Definição 1.5. Um vetor u

V é dito nulo ou neutro se u

Definição 1.6. Dizemos que dois vetores u, v se u, v todo u

0. Dois subconjuntos A, B A e todo v

0eQ u

u, u

0.

V são ortogonais, e escrevemos u v,

V são ditos ortogonais, e escrevemos A B, se u v para

B.

Dado um subespaço W

V, seja W

v

V; v W .

Pode-se mostrar que W é também um subespaço de V chamado de ortogonal de W. Lema 1.2. Se W é um subespaço de um espaço V com produto interno, então: 1. 2.

dim W W

dim W

dim V

W Demonstração: (1) Seja e 1 , e 2 , . . . , e n uma base de V adaptada a W, isto é, tal que e 1 , . . . , e k seja uma

base de W. Temos que v

W se, e somente se, v, e i

0 para 1

i

k, ou seja, se e somente

se, n j 1

onde v

n j 1

g ij v j

0

1

i

k

1. 2

vjej.

Logo, a igualdade (1.2) é um sistema de k equações lineares com n incógnitas. Mas, pelo lema 1.1, as linhas da matriz g ij são linearmente independentes e, portanto, a matriz acima, tem posto k. Assim, o espaço das soluções de (1.2) possui dimensão n de (1.2) é exatamente W , segue que dim W (2) Seja v

n

k. Como o espaço solução

k.

W. Então v W ou seja, v

W

. Logo W

W

. Porém pelo

item (1), estes dois subespaços possuem a mesma dimensão e assim sendo, são iguais.

10

Um subespaço W é dito não-degenerado se g|W é não-degenerada. Note que se V é um espaço vetorial com uma forma bilinear g, todos os subespaços de V são não-degenerados.

Lema 1.3. Um subespaço W de V é não-degenerado se, e somente se V é soma direta de W e W . Demonstração: Assumiremos como verdadeira a seginte identidade: dim W

W

dim W

W

dim W

dim W

1. 3

De acordo com o item (1) do lema (1.2), dim W identidade (1.3), W equivalentes a V

W W

V se, e somente se, dim W W . Porém, W

W

w

W

dim W

n. Assim, pela

0. Mas estas duas condições são

W; w W

0 se, e somente se g|W é

não-degenerada, ou seja, se, e somente se, W é não degenerado.

Segue do lema (1.3) e da igualdade W

W, que W é não-degenerado se, e

somente se W também é não-degenerado.

Definição 1.7. Seja V um espaço vetorial com produto interno g, a norma ||v||, de um vetor v

V, será dada por: ||v||

g v, v .

Dizemos que um vetor u

(1.4)

V é unitário se ||u|| 1. Usualmente, um conjunto de

vetores mutuamente ortogonais e unitários, será chamado de um conjunto ortonormal. Prova-se que se dim V

n, um conjunto ortonormal de n vetores é necessariamente uma base de V.

Lema 1.4 Um espaço vetorial com produto interno possui uma base ortonormal (BOLDRINI et al1980[3]).

É sempre conveniente ordenar os vetores em uma base ortonormal de forma que os sinais negativos, se houver, apareçam nas primeiras posições, para satisfazer a condição de que u, u

0 é tipo espaço. Neste caso, a n-upla j

1,

2, . . . ,

n

1, . . . , 1, 1, . . . 1

é chamada de assinatura de g. Usa-se também a notação

,..., , ,...,

.

11 3

2 ESPAÇO TRIDIMENSIONAL EUCLIDIANO

Seja o espaço vetorial tridimensional 3 i 1

u, v

u i v i onde u

u1, u2, u3 e v

3

Assim sendo, diz-se que

munido do produto escalar euclidiano

v 1 , v 2 , v 3 são vetores de u 23

u 22

u 21

||u||

3

3

, e a norma euclidiana

2. 1

é um espaço normado. Esta aplicação já definida no

capítulo anterior, satisfaz, segundo Picado(2003, p.2)[16] aos seguintes axiomas de norma: 1.

u

3

2.

u

3

3.

u, v

3

, ||u

4.

u, v

3

, u, v

0 , ||u|| 0 ,

, || u|| | | ||u|| v|| ||u|| ||v|| (desigualdade triangular) ||u|| ||v|| (desigualdade de Cauchy-Schwarz)

O produto escalar euclidiano verifica a seguinte propriedade: u, v

||u|| ||v|| cos onde é o ângulo entre u e v.

O referido espaço é dotado de uma forma bilinear simétrica e é degenerado.

Definição 2.1. O produto vetorial u u

u1, u2, u3 , v

3

v1, v2, v3

v (também denotado u

v) de

, definido por: e1 e2 e3

u

v

2. 2

u1 u2 u3 v1 v2 v3

onde e 1 , e 2 , e 3 é uma base ortonormal de

3

.

Observação 2.1. O símbolo à direita de (2.2) não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em lugar de escalares. Trata-se apenas de uma notação mais simples. Geometricamente, pode-se ver que ||u

v|| é a área do paralelogramo determinado

pelos vetores u, v, conforme Swokowski(1994, p.248)[19]. O produto vetorial, segundo Steimbruch, Winterle(1987)[18], goza das seguintes propriedades: 1.

u

2.

v u

v v

3

u , u, v u

v

u

3.

u

v

w

u

v

4.

u

v

w

u, w v

.

v, u

. w

u, v w

As propriedades (1) e (2) confirmam que o produto vetorial é uma função bilinear

12 (COIMBRA, 1994 [4]).

Definição 2.2. Sejam os vetores u, v, w 3

vetores u, v, w

ao número real u, v

3

. Denomina-se produto misto dos três

w definido por: u1 u2 u3

u, v

w

det

v1

v2

v3

2. 5

w1 w2 w3 Propriedades: 1.

u, v

w

2.

u, v

w

u

v, w , u, v, w

3

.

0 se, e somente se, u, v, w são linearmente dependentes.

13

3 ESPAÇO VETORIAL DE LORENTZ-MINKOWSKI L 3

3

Definição 3.1. Seja Dados x

x1, x2, x3 e y

denotaremos por L

3

3

y 1 , y 2 , y 3 em x, y

Chamaremos

x 1 , x 2 , x 3 |x 1 , x 2 , x 3

x1y1

1 3 1,

,

o espaço real 3-dimensional.

, definimos o pseudo produto escalar de x e y por

x2y2

x3y3

3. 1

de espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski e

1

3 1.

Definição 3.2. Seja v um vetor em um espaço L 3 . Dizemos que v é: 1.

Tipo espaço (spacelike) se v, v

2.

Tipo luz (lightlike) ou neutro se v, v

3.

Tipo tempo (timelike) se v, v

1

0 ou v

1

0.

0ev

1

0

0

Exemplo 3.1. Seja L 3 o espaço de Lorentz-Minkowski de dimensão 3 e o vetor genérico u 1.

u 1 , u 2 , u 3 . Temos que:

Os vetores u Seja u

u 1 , u 2 , u 3 , com |u 1 |2 2, 3, 1 . Temos que u, u

|u 2 |2 1

|u 3 |2 , são do tipo espaço. 22

32

12

4

10

6

Logo, pela definição (3.2), u é tipo espaço. 2.

Os vetores u Seja u

u 1 , u 2 , u 3 , com |u 1 |2 5, 3, 4 . Temos que u, u

|u 2 |2 1

|u 3 |2 , são do tipo luz. 52

32

42

25

25

0

Logo, pela definição (3.2), u é tipo luz. 3.

Os vetores u Seja u

u 1 , u 2 , u 3 , com |u 1 |2 3, 2, 2 . Temos que u, u

|u 2 |2 1

|u 3 |2 , são do tipo tempo. 32

22

22

9

8

1

Logo, pela definição (3.2), u é tipo tempo. Seja W um subespaço do espaço de Lorentz-Minkowski e ,

1

o pseudo produto

escalar de L 3 . Existem três possibilidades mutuamente exclusivas para W: 1.

g|W é positivo definido, isto é, W é um espaço com produto interno. Neste caso, dizemos que W é do tipo espaço.

2.

g|W é não degenerado de índice 1, ou seja, W é um espaço de Lorentz-Minkowski. Neste caso, dizemos que W é tipo tempo.

3.

g|W é degenerado. Dizemos então que W é tipo luz.

14

Observação 3.1 Como o pseudo produto escalar definido por (3.1) não é positivo definido, este não pode ser, portanto, um produto interno.

3.1 Norma e Base Ortonormal

Definição 3.3. Se v

v1, v2, v3

L 3 definimos a norma de v por:

1

v 22

| v 21

||v|| | v, v 1 | 2

v 23 |

3. 2

Dois vetores u e v em L 3 são ortogonais se u, v verifica u, u

1

0 e um vetor u em L 3 que

1 é chamado de vetor unitário.

1

Definição 3.4. Uma base v 1 , v 2 , v 3 em L 3 é chamada de base ortonormal se os vetores v i, j , i, j

1, 2, 3, são mutuamente ortogonais. 1, se i vi, vj

1

j

1, se i

j

0, se i

j

1 2, 3

Exemplo 3.2. Os vetores canônicos e 1

1, 0, 0 , e 2

0, 1, 0 , e 3

0, 0, 1

formam a base ortonormal canônica de L 3 . Teorema 3.1. (Naber, 1993 [14]) Suponha que u é um vetor tipo tempo e v vetor tipo tempo ou nulo. Seja 3 1

v

yjej, i

e1, e2, e3

uma base ortonormal de L 3 com u

a)

xiyi

0, neste caso, u, v

1

0, ou

b)

3 1

xiyi

0, neste caso, u, v

1

0

Demonstração: 1

3 2

y 2j

y 21

u 2i v 2j i, j

u3v3

Pela

suposição,

u, u

1

3 2

x 2i

x 21

0

e

1, 2 e então temos que x 2i y 2j

Tem-se que, para qualquer t ty 1

temos

0, assim,

|x 1 y 1 | 0

xiei e

j, então:

3 1

v, v

0 é um 3 1

x1

2

ty 2

x2

2

ty 3

1/2

3. 3

, x3

2

y 2j t 2

2 xiyj t

x 2i i, j

1, 2, 3 e i

j.

assim, considerando uma equação quadrática em t, essa expressão não pode ter raízes reais

15 distintas, logo, o discriminante deve assumir um valor menor ou igual a zero, isto é, 4 xiyj

2

0. Assim, x 2i y 2j

4 x 2i y 2j

x 2i y 2j

xiyj 1/2

2

e temos que,

|x i y j |

3. 4

Combinando (3.3) e (3.4) obtemos |x 1 y 1 | |x i y j | |x 1 y 1 assim, em particular, x 1 y 1

0 e além disso, u, v

Então, |x 1 y 1 | |x i y j | x i y j , logo, x i y j x1y1

0, então u, v

x2y2

x1y1

0 e assim u, v

1

x3y3|

3. 5

0. Supomos, por adição, que x 3 y 3

1

0, isto é, u, v

0.

0. Em outras palavras, se

1

0

Corolário 3.1. Se v é um vetor tipo tempo em L 3 e u

0 é ortogonal a v, então u é

um vetor tipo espaço. Demonstração: u

u1, u2, u3

Seja

o

vetor

0 e v, v

1

v

v2v2

L3

v1, v2, v3

e

v3v3|

0, temos que |v 1 v 1 | |v i v j | v i v j , logo |v 2 |2

como tipo tempo, ou seja, v, v Assim, u

tempo

L3.

Utilizando (3.5) temos que |v 1 v 1 | |v i v j | |v 1 v 1 Se v 1 v 1

tipo

1

|v 3 |2

|v 1 |2 , definimos v

0.

u 1 , u 2 , u 3 é tipo espaço se, e somente se u, u

0, isto é, |u 2 |2

1

|u 3 |2

|u 1 |,

conforme exemplo (3.1). Exemplo 3.3. Sejam v em L 3 . Supondo v

e1

1, 0, 0 e u

e2

0, 1, 0 vetores da base canônica

e 1 tipo tempo, temos:

|v 1 v 1 | 1

|v i v j | 0

v é tipo tempo.

|u 1 u 1 | 0

|v i v j | 1

u é tipo espaço.

3.2 Cone tipo tempo (O’Neill, 1993 [15])

Seja

o conjunto de todos os vetores tipo tempo em L 3 . para u Cu

v

| u, v

1

,

0

3

é o cone tipo tempo de L (Figura 3.2) contendo u. O cone tipo tempo oposto é C u

Cu

Visto que u é tipo espaço,

v

| u, v

1

0

é a união disjunta desses dois cones tipo tempo.

16

FIGURA 3.1 Cone tipo tempo em L 3 .

Exemplo 3.3. Consideremos o vetor u Cu ou seja, v

v1, v2, v3

v

1, 0, 0 . Para u, temos

| u, v

1

0

e

u, v

1

0 e

v1

0

e

v1

0

. Logo, v, v v 21

0

1

v 23

v 22

v 21

v 23

v 22

0

Lema 3.1. Dois vetores tipo tempo v e w em L 3 estão no mesmo cone tipo tempo se, e somente se v, w

1

0.

Demonstração: Temos que, se v somente se, v, w

1

u ||u||

0. Considerando C

unitário tipo tempo. Vamos escrever v

C u e w é tipo tempo, então w

au

C u , podemos assumir que u é um vetor

v, w

bu

w, onde v , w

v e w são vetores tipo tempo, temos: v, v a 2 u, u

0

1

au

v , au

1

2a u, v

v

0

1

v, v

1

Como u é um vetor tipo tempo unitário u, u a2 1

v, v

1

a2

v, v

1

1

0 1. Logo,

1

0

|a| ||v || Analogamente, sendo w um vetor tipo tempo, temos, w, w b 2 u, u

w, bu

1

2b u, w

b

1

0

1

bu 2

C u se, e

w

1

w, w

1

w, w

0

1

0

1

0

u . Considerando que

17 b2

w, w

1

|a| ||w|| Temos ainda, v, w

au

1

v , bu

ab u, u ab pois u, w

a u, w

1

v,w u, v

1

Pela |b| ||w||

w b u, v

1

v,w

1

1

1

0, visto que u é perpendicular a v e w.

1

desigualdade

de

Cauchy-Schwarz

e

observando

que

|a| ||v ||

e

|ab| ||v || ||w||, temos, | v , w 1 | ||v || ||w|| |ab|. Como

sinal v, w

v

Cu,

sinal ab

1

a

0,

temos

por

conseqüência

que

sinal b , confirmando o resultado.

Muitos resultados do espaço vetorial com produto interno têm uma versão análoga em L 3 . Por exemplo, em um espaço com produto interno a desigualdade de Cauchy-Schwarz permite a definição do ângulo

entre v

e w como o único número 0

v, w 1 . Um resultado análogo em L 3 é o que segue. ||v|| ||w||

cos

Proposição 3.1. Sejam v e w vetores tipo tempo em L 3 . Então: a.

| v, w 1 | ||v|| ||w||, com igualdade se, e somente se, v e w são colineares.

b.

Se v e w estão no mesmo cone tipo tempo de L 3 , há um número v, w 1 ||v|| ||w||

cosh

0, tal que

3. 3

onde é o ângulo hiperbólico entre v e w. Demonstração: (a) Escreva w w, w

1

av

w, av

2

a v, v

w

w, w

1 1

a 2 v, v w, w

2

a v, v

1

w, w

1

1

0, temos,

1

w, w

1

w, com w

1

2a v, w

1

Sendo v, w w, w

av

1

0

1

0

Por outro lado, v, w

2 1

v, av

w

v, av

w

a v, v

1

2 1 2 1

v, av v, w

1

w

2 1

a v, v

1

v, w

1

v . Sendo w tipo tempo, temos:

tal que

18 Como v, w v, w

2 1

a v, v

2 1

w, w

1

2

0, resulta em:

1

w, w

1

1

1

0, pois w é tipo espaço e v, v

Visto que w, w v, w

2 1

||w||2 ||v||2

w, w

1

v, v

||w||2 ||v||2

v, v

1

0, pois v é tipo tempo, temos:

1

| v, w 1 | ||v|| ||w||

Evidentemente, a igualdade é válida se, e somente se, w, w equivalente a w

0, resultando em w

1

0, o que é

av. Logo, v e w são colineares.

(b) Se v e w estão no mesmo cone tipo tempo, então v, w

1

0, por isso:

| v, w 1 | ||v|| ||w|| | v, w 1 | ||v|| ||w||

1

e, portanto, existe um ângulo 0 que cosh

| v, w 1 | ||v|| ||w||

e

tal que cosh

1

cosh

v, w 1 . Convém observar ||v|| ||w||

1.

3.3. O Produto Vetorial no Espaço L 3

L 3 . Define-se o produto vetorial de u

Definição 3.5 Seja u, v v

v 1 , v 2 , v 3 , nesta ordem como sendo o único vetor u

v

u1, u2, u3 e

L 3 definido por:

e1 e2 e3 u

v

u1

u2 u3

v1

v2 v3

3. 4

onde e 1 , e 2 , e 3 é uma base ortonormal de L 3 . Rodrigues(2006, p.21)[17] demonstra que o produto misto de três vetores u, v, w

L 3 onde u

u1, u2, u3 , v

v1, v2, v3 e w

w1 , w2 , w3 é dado por:

u1 u2 u3 u, v

w

det

1

v1

v2

v3

w1 w2 w3 Propriedades: 1. 2. 3. 4.

u

v

au u

v bv

v

u, u

u w

au

w

bv

w

0 se, e somente se u, v são linearmente dependentes. v

1

v, u

v

1

0

3. 5

19

5. 6.

u u

onde u, v, w, z

v, w v

z w

det

1

v, w 1 u

L 3 e a, b

u, z

1

v, z

1

u, w

1

v, w

1

u, w 1 v

.

As propriedades acima descritas são também demonstradas por Rodrigues(2006, p.22-26)[17].

20

4 GEOMETRIA DIFERENCIAL DE SUPERFÍCIES TIPO ESPAÇO EM

3E

L3 2

Definição 4.1. Uma superfície regular é uma aplicação X : U ou M 1.

2.

L 3 de um conjunto aberto U

2

M M

3

para M tal que:

X é diferenciável, o que significa que se X u, v x u, v , y u, v , z u, v , u, v U, as funções x u, v , y u, v derivadas parciais contínuas de todas as ordens em U. (Condição de regularidade) Para cada q

U a diferencial dX

q

:

2

escrevermos e z u, v têm

M é um-a-um.

A aplicação X é chamada de parametrização e as variáveis u e v são chamadas de parâmetros da superfície X. O conjunto imagem S

X u, v

M é chamado de traço de X

(FIGURA 4.1).

FIGURA 4.1 Superfície regular em M .

Para dar à condição (2) uma forma mais familiar, vamos calcular a matriz da aplicação linear dX

q

f1

0, 1, 0 , f 3

1, 0, 0 , f 2

nas bases canônicas e 1

u0, v0

0, 1 de

2

com parâmetros u, v e

0, 0, 1 de M com coordenadas x, y, z .

Definição 4.2 Seja X : U fixando-se q

1, 0 e e 2

2

M

uma superfície parametrizada, então,

U, as curvas u

X u, v 0 e v

X u0, v

são chamadas curvas coordenadas de X em q (FIGURA 4.2). Esta curva tem em X

q

o vetor tangente x, y, z u u u

X u

Xu

21 onde as derivadas são calculadas no ponto u 0 , v 0 e um vetor é indicado pelos seus componentes na base f 1 , f 2 , f 3 (FIGURA 4.2).

FIGURA 4.2 Curvas coordenadas de uma superfície regular em M .

Pela definição de diferencial, dX

x, y, z u u u

e1

Analogamente, usando a curva coordenada u V

X u

Xu

u 0 (imagem por X da curva

u 0 , v ), obtemos: dX

x, y, z v v v

e2

X v

Assim, a matriz jacobiana da aplicação linear dX

dX

x u y u z u

q

Xv. q

x v y v z v

na referida base é:

4. 1

A condição (2) pode agora ser expressa requerendo que dois vetores coluna desta matriz sejam linearmente independentes; isto é; equivalentemente, que o produto vetorial Xu

Xv

0; ou ainda de outro modo, que um dos determinantes de ordem 2 da matriz dX

denominados determinantes jacobianos x, y u, v

x u y u

não seja nulo no ponto q.

x v y v

;

y, z u, v

y u z u

y v z v

;

x, z u, v

x u z u

x v z v

q

22 Exemplo 4.1 Plano (tipo espaço): seja p 0 a

a1, a2, a3

aplicação X :

e b 2

x 0 , y 0 , z 0 um ponto de M

L3,

vetores ortonormais tipo espaço de L 3 . Consideremos a

b1, b2, b3

M dada por X u, v

p0

ua

vb,

2

u, v

então X é uma superfície regular parametrizada. De fato, X u, v

x0

ua 1

vb 1 , y 0

ua 2

vb 2 , z 0

ua 3

vb 3

Observa-se que X é de classe C , pois cada uma de suas funções ordenadas é de classe C . Temos que, x, y, z u u u x, y, z v v v

Xu Xv Logo, X u

Xv

A imagem X

a 2

b

a1, a2, a3

a

b1, b2, b3

b

0, pois a e b são linearmente independentes.

é um plano em M (chamado plano tipo espaço). Esse plano passa

por p 0 e é perpendicular ao vetor tipo tempo a

b.

Exemplo 4.2 A pseudo-esfera (FIGURA 4.3) definida por S 21

L3; x2

x, y, z

y2

z2

1

é uma superfície regular.

4 2

z

0 -2 -4 -4 -2

-4 -2

0

y

0

2 2 4

x

4

FIGURA 4.3 Pseudo-esfera no espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski - L 3

Verifica-se que a aplicação X 1 : U

2

L 3 dada por:

23 X 1 u, v u, v

U,

2

onde

u, v, L3; w

u, v, w

v2

1 0

u2

e U

, u, v

L2; v2

u2

1

é uma

parametrização de S 21 . De fato, x2

y2

z2

u2

v2

u2

v2

1 v2

u2

v2

1

u2

1 Observa-se, ainda, que X 1 U é a parte aberta de S 21 sobre o plano uv. Sendo v2

u2

1, a função

v2

1

u 2 tem derivadas parciais contínuas de todas as ordens. Então,

X 1 é diferenciável verificando a condição (1). Analogamente, X2 : U

2

podemos

definir

parametrizações

como

a

seguinte.

L 3 dada por: X 2 u, v

u, v,

v2

1

u2

.

Verificamos que X 2 é uma parametrização de S 21 . De fato, x2

y2

z2

u2

v2

u2

v2

1 v2

1

u2

v2

Observa-se que X 1 U

u2

1

X 2 U cobre S 21 exceto o "equador " (FIGURA 4.4).

1.0 0.5

z

0.0 -0.5 -1.0 -1.0 -0.5 0.0

y

-1.0 -0.5 0.0

0.5 0.5 1.0

FIGURA 4.4 Representação de X 1 U

x

1.0

X2 U .

Usando os planos uw e wv, definimos as parametrizações: X 3 u, w

u,

1

w2

u2 , w

Seja

24 X 4 u, w

u,

w2

1

u2 , w

X 5 v, w

1

w2

v 2 , v, w

X 6 u, w

1

w2

v 2 , v, w

Pode-se mostrar que a condição (2) de regularidade se verifica. Para isso, considere X 1 u, v

u, v,

X1 u

X 1u

X1 v

X 1v

v2

1

u2 u v2

1, 0, 1

v2

1

1

1 1 1

,

u2 e3 u v2 v v2

0

X 1v 0

,

u2

v

0, 1, e1 e2

X iu

. Assim, temos:

u2 1

u v2

u

2

v

, 1

v2

u2

,1

u2

Assim, ||X 1u

X 1v ||2

u2 v2 u2

1 u2

1

v2

1 2

1

v

1 v2

u2

1 v2 u2

v2 v2 u2

1

u2 0, pois v 2

u2

1

Logo, os vetores X 1u e X 1v são linearmente independentes.

Para mais aplicações, é conveniente utilizar outras parametrizações de S 21 . Seja U

2

u, v

; u, v

L 3 dada, por:

e seja X : U X u, v

Evidentemente, X U

sinhu, cosh u sech v, cosh u tanh v S 21 . Verifica-se que X é uma parametrização de S 21 .

De fato, x

2

y

2

z

2

sinh 2 u

cosh 2 u sech 2 v

cosh 2 u tanh 2 v

sinh 2 u

cosh 2 u sech 2 v

sinh 2 u

cosh 2 u

1

tanh 2 v

25

2

z

0 -2 4 2 2

0

y

0

-2

x

-2 -4

FIGURA 4.5 Forma parametrizada da pseudoesfera em L 3 .

4.1 O Plano tangente

Definição 4.3 Seja X : U vetor w t

M

2

M uma superfície regular parametrizada. Um

é chamado vetor tangente a X em q

X u t , v t é uma curva da superfície, tal que u t 0 , v t 0

Definição 4.4 O plano tangente a X em q

u0, v0

se w

t 0 , onde

u0, v0 .

u 0 , v 0 é o conjunto de todos os vetores

tangentes a X em q, obtidos como combinação linear de X u u 0 , v 0 e X v u 0 , v 0 , que será denotado por T q X (FIGURA 4.6).

FIGURA 4.6 Plano tangente a X em q

u0, v0

XU.

26

3

Definição 4.5 Um plano em M M

ou M

L 3 é tipo espaço se a métrica

induzida é Riemanniana.

2

Definição 4.6 Uma superfície X : U

M é chamada superfície tipo espaço

se o plano tangente em todo ponto é tipo espaço, isto é, v, v v

0 ou v, v

1

0 para cada

T q X.

3

Exemplo 4.3. Toda superfície (clássica) em

Exemplo 4.4 O plano X u, v

p0

ua

é tipo espaço.

vb, u, v

2

e p0

x0, y0, z0

L3, a

L 3 , é uma superfície tipo espaço.

e b são vetores ortonormais de M De fato, sejam

a1, a2, a3 e b b 1 , b 2 , b 3 vetores tipo espaço de M. Temos, X Xu a a1, a2, a3 u Y Xv b b1, b2, b3 v Logo, X é uma superfície tipo espaço.

Exemplo H2 1

x, y, z

4.5

L3; x2

O y2

pseudo z2

espaço

hiperbólico

1 (FIGURA 4.7).

2 0

z

-2 -2 0

y

-2 0

2 2

FIGURA 4.7 Pseudo espaço hiperbólico.

x

é

definido

por

27 Pode-se mostrar que a aplicação X : U

2

L3 , U

2

u, v

, u, v

dada por: X u, v

u2

1

v 2 , u, v ; u, v

U

é uma parametrização de H 2 1 . De fato, x2

y2

z2

1 1

u2

2

v2

u2

v2

u2

u2

v2

v2

1 Para mais aplicações, é conveniente utilizar outras parametrizações de H 2 1 . Seja U

2

u, v

; u, v

L 3 dada por:

e seja X : U X u, v

cosh u cosh v, cosh u sinhv, sinhu H 2 1 . Pode-se mostrar que X é uma parametrização de

Evidentemente, X U H2 1 . De fato, x2

y2

cosh 2 u cosh 2 v

z2

cosh 2 u sinh 2 v

cosh 2 u cosh 2 v cosh 2 u

sinh 2 v

sinh 2 u

sinh 2 u

sinh 2 u

1 Considerando esta última parametrização de H 2 1 , temos, Xu

sinhu cosh v, sinhu sinhv, cosh u

Xu, Xu

1

sinh 2 u cosh 2 v

sinh 2 u sinh 2 v

sinh 2 u cosh 2 v sinh 2 u 1 Xv Xv, Xv

sinh 2 v

cosh 2 u

cosh 2 u

cosh 2 u

0

cosh u sinhv, cosh u cosh v, 0 1

cosh 2 u sinh 2 v

cosh 2 u cosh 2 v

cosh 2 u

sinh 2 v

cosh 2 u

0

cosh 2 v

Então, o pseudo espaço hiperbólico H 2 1 é uma superfície tipo espaço.

Exemplo LC

x, y, z

L3

4.6

O

0 ; x2

y2

cone z2

tipo

luz

0 (FIGURA 4.8).

aberto

é

definido

por

28

z

60 40 20 0 -20 -40 -60 -60 -40 -20

-60 -40 -20

0

0

20

y

20

40

40 60

x

60

FIGURA 4.8 Cone tipo luz.

Pode-se mostrar que a aplicação X : u2

X u, v

2

0 v 2 , u, v

é uma parametrização de LC . De fato, x2

y2

z2

u2 u2

v2 v2

2

u2

u2

v2

v2

0 u2

Considerando X u, v Xu Xu, Xu

Xv Xu, Xu

2u , 1, 0 2 u2 v2 1

u

u

2

v2

, 1, 0

u2

1 u v2 u2 u2 v2 u2 v2 v2 0 2 u v2 2

2v , 0, 1 2 u2 v2 1

u 2

v 2 , u, v , temos,

v2

1 u v2 v2 u2 v2 u2 v2 2

u v2

, 0, 0

L 3 dada por

29 u2

0 u v2 Logo, o cone tipo luz LC é uma superfície tipo espaço. 2

4.2 O Vetor Normal Unitário

2

Seja X : U

M M

3

ou M

L 3 uma superfície tipo espaço. Se X u e

X v são vetores tipo espaço do plano tangente T q X, então existe uma única direção normal a este plano e, portanto, existem exatamente dois vetores unitários normais a X em q, como sendo o vetor Xu Xv q . Nq ||X u X v || Se o domínio da superfície X é um aberto U uma aplicação diferenciável N : U

Se M

3

2

então, variando u, v

U temos

M , denominada aplicação normal de Gauss, definida por X u X v u, v . N u, v ||X u X v ||

, a imagem de N u, v está contida na esfera unitária, centrada na origem

(FIGURA 4.9).

FIGURA 4.9 Aplicação normal de Gauss para o espaço tridimensional Euclidiano

Por outro lado, se M

L 3 , temos que X u

Xv, Xu

1

Xu

3

.

Xv, Xv

1

0, e

30 assim, X u

X v , pelo corolário (3.1), é um vetor tipo tempo. O vetor normal à superfície é

perpendicular ao plano tangente. Conseqüentemente, o vetor unitário N

q

é um vetor tipo tempo de L 3 (FIGURA

4.10) cuja imagem N u, v está contida no pseudo espaço hiperbólico H2 1

L3; x2

x, y, z

y2

z2

1, x

0 .

FIGURA 4.10 Aplicação normal de Gauss para o espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski L3.

4.3 A Primeira Forma Fundamental

2

Definição 4.7 Seja X : U tipo espaço. A forma quadrática I

q

v v

:TqX I

q

M M

3

ou M

L 3 uma superfície regular

dada por v, v

||v||2

0;

T q X, é chamada primeira forma fundamental da superfície regular X

M em q

X, aqui

denotada por I q . Expressa-se a primeira forma fundamental na base parametrização X u, v

em q

u0v0

Xu, Xv

associada à

(FIGURA 4.11). Visto que um vetor tangente

31 t I

X u t ,v t , t t0 ,

q

Xuu

t0

x, x , com q

Xu, Xu

q

u

Xu, Xu

q

u

2

2

u 0 , v 0 , temos:

q

Xvv , Xuu 2

Eu

I Xvv

q

Xu, Xv qu v 2 Xu, Xv qu v

2Fu v

Gv

Xv, Xu qu v Xv, Xv

2

q

Xv, Xv

q

v

2

2

v

4. 2

onde, E u0, v0

Xu, Xu

q

F u0, v0

Xu, Xv

q

G u0, v0

Xv, Xv

q

4. 3

FIGURA 4.11 Primeira forma fundamental.

De outra forma, seja v

T q X tal que v

aX u q

bX v q , onde a, b

.

Logo, I

q

v, v

aX u q

q

a2 Xu, Xu

bX v q , aX u q

2ab X u , X v

q

q

bX v q

b2 Xv, Xv

q

Utilizando as expressões (4.3), temos: I

a2E

q

q

2abF q

b2G

q

4. 4

em que E, F, G são funções das variáveis u e v e possuem as seguintes propriedades: 1.

E u, v

0 e G u, v

2.

E u, v G u, v

0, para todo u, v , pois os vetores X u e X v são não-nulos.

F 2 u, v

0

De fato, como ||X u

X v ||2

Xu, Xv

2

||X u ||2 ||X v ||2 , temos que

32 F2

EG

||X u ||2 ||X v ||2

Xu, Xv

u u

v, u

v

v, u

det

1

v

v, u

v

1

v, v

1

u, u

1

u, v

1

Xu, Xu

1

2 1

det Xv, Xv

F2

Xu, X v

1

Xv, Xv

1

Xu, Xu

1

Xu, X v

1

F2

1

EG.

X v é tipo tempo, temos: Xu, X v

1

2 1

Xu, Xu

1

Logo, em qualquer M EG

0

X v , temos:

u, v

Xu, X v

1

Porém, como X u u

Xu, v

X v ||2

||X u

L 3 , aplicando a propriedade (5) da definição (3.3), produto

Observação 4.1 Se M vetorial em L 3 , para u

2

X v ||2

||X u

Xv, Xv

Xu, Xu

1 3

M

ou M

Xv, Xv

1

Xu, X v

1

2 1

0

L 3 , a forma quadrática satisfaz

0

Geometricamente, a primeira forma fundamental se apresenta como ferramenta para se calcular medidas sobre a superfície (comprimento de curvas, ângulos de vetores tangentes, áreas de regiões), sem fazer menção ao espaço ambiente que esta se encontra, (TENENBLAT,1990 [20]).

Exemplo 4.7 Seja X u, v 3

tipo espaço ortonormais de M , M ortogonal a w1

p0

uw1

ou M

vw2 , u, v

2

onde w1 e w2 são vetores

L 3 isto é, X descreve o plano tipo espaço

w2 que passa por p 0 . Então, X u u, v

w1 e X v u, v

w2 . A primeira forma

fundamental é dada por: E

Xu, Xu

||w1 ||2

F

Xu, Xv

w1 , w2

G

Xv, Xv

||w2 ||2

I

q

a2E

I

q

a2

2abF

1 0 (são ortonormais) 1

b2G

b 2 , a, b

Exemplo 4.8 Consideremos em u, v

2

Xv

r sin u, r cos u, 0 0, 0, 1

E

Xu, Xu

r 2 sin 2 u

F

Xu, Xv

0

G

Xv, Xv

1

I

a2E

q

a superfície X u, v

que descreve o cilindro circular reto de raio r , S

primeira forma fundamental de X u, v é dada por: Xu

3

2abF

b2G

r 2 cos 2 u

r2

x, y, z

r cos u, r sin u, v , 3

; x2

y2

1 . A

33 I

a2r2

q

b 2 , a, b

,r

0

Exemplo 4.9 O pseudo espaço hiperbólico H 2 1 X:

2

L 3 , onde X u, v

1

u2

v 2 , u, v , u, v

X u, v é dada por:

1

u u2

v2

1

v u2

v2

Xu Xv E

F G

Iq

, 1, 0 , 0, 1 u2 u2 v2

1

u2 1 u2 v2 1 u2 v2 1 v2 0 1 u2 v2 uv Xu, Xv 1 1 u2 v2 v2 Xv, Xv 1 1 u2 v2 v2 1 u2 v2 1 u2 v2 1 u2 0 1 u2 v2 a 2 E 2abF b 2 G

1

Xu, Xu

1

1

v2

1 2

2

a2

2ab

uv u2 v2

u2

1

u v 1 u v2 1 1 a 2 v 2 a 2 2abuv b 2 u 2 b 2 2 u v2 1 av bu 2 a 2 b 2 , a, b . u2 v2 1

1

2

b2

2

admite a parametrização

. A primeira forma fundamental de

34

5 A APLICAÇÃO NORMAL DE GAUSS E A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

2

Seja X : U

3

M M

L 3 uma superfície tipo espaço de M .

ou M

2

Definição 5.1: O sinal de uma superfície tipo espaço X : U 1, se N, N

M é:

1

-1, se N, N

1

5.1 A geometria da aplicação normal de Gauss

Definição 5.2 Seja X u, v uma superfície tipo espaço de M M orientada pelo vetor unitário normal N. Se X u, v tem sinal , isto é, sinal N, N

3

ou M

L3

, as superfícies

em M com o mesmo sinal são dadas por (AKUTAGAWA, NISHIKAWA, 1990 [1]): S 2 1 , se

M

H

2

1

1 , se

5. 1

1

onde S 2 1 é a esfera unitária e H 2 1 o pseudo-espaço hiperbólico. M toma seus valores em M. Esta aplicação N : U

A aplicacão N : U

M é

chamada "aplicação normal de Gauss de X u, v ". Pode-se verificar que a aplicação normal de Gauss é diferenciável. A diferencial dN

q

de N em q

U é uma aplicação linear de T q X em T N q M. Como T

mesmos espaços vetoriais, dN

q

A aplicacão linear dN parametrizada (tipo espaço) curva

t

X e T N q M são os

pode ser obtida como uma aplicação linear dN q

parametrizada N

q

t

T

q

T

q

q

X

X T

T

q

q

X opera de forma que para cada curva

em X u, v , com

X

u 0 ,v

q, consideramos a curva

0

N t na superfície M, o que equivale a restringir o vetor normal N à

t . O vetor tangente N 0

dN

q

0 é um vetor de T

Proposição 5.1: A diferencial dN

q

T

q

X

T

q

q

X (DO CARMO, 2005 [5]).

X da aplicação de Gauss é uma

aplicação linear auto-adjunta. Demonstração: dN

q

w1 , w2

w1 , dN

q

w2

Como

dN

q

para uma base

é

linear,

w1 , w2

de T

basta q

verificar

X . Seja x u, v

que uma

35 parametrização de X em q e X u , X v a base associada de T curva parametrizada em X, com dN

q

0

dN

q

0

xuu 0

X. Se

t

X u t ,v t

é uma

q, temos:

xvv 0

d N u t ,v t dt Nuu 0

q

t 0

Nvv 0 ;

em particular, dN q x u

N u e dN

xv

q

N v . Portanto, para provar que dN

é auto adjunta, é

q

suficiente mostrar que Nu, xv Para ver isto, derivamos

xu, Nu

N, x u

0 e

N, x v

0, em relação a v e u,

respectivamente, e obtemos: Nv, xu

N, x uv

0,

Nu, xv

N, x vu

0.

Assim, Nu, xv

N, x uv

O fato de ser dN q : T

q

X

T

associar a dN q uma forma quadrática Q em T

Nv, xu

X uma aplicação linear auto-adjunta nos permite

q q

X dada por Q v

dN

q

v ,v ,v

T

q

X.

Definição 5.3: A forma quadrática II

q

v

dN

q

v ,v

é chamada a segunda forma fundamental da superfície tipo espaço X u, v em q. Observação 5.1: Por motivos geométricos, utilizamos a forma quadrática Q.

Seja X u, v uma parametrização em um ponto q X, e seja

t

X u t ,v t

U de uma superfície tipo espaço

uma curva parametrizada em X, com q

u 0 , v 0 . Para

simplificar a notacão, convencionaremos que todas as funções que aparecem abaixo indicam seus valores no ponto q. O dN

vetor

N u t ,v t

tangente Nuu

a

t

em

q

é

Xuu

Xvv

Nvv .

Portanto, a expressão da segunda forma fundamental na base X u , X v é dada por: II

q

dN

,

Nuu

Nvv , Xuu

Nu, Xu u

dN 2

, Xvv

Nu, Xv

Nv, Xu u v

Nv, Xv v

2

e

36 Sendo N, X u

N, X v

0, então temos,

e

Nu, Xu

N, X uu

f

Nv, Xu

N, X uv

g

Nv, Xv

N, X vv

II q

eu

N, X vu

5. 2

Nu, Xv

portanto, obtemos: 2

2fu v

gv

2

5. 3

onde e, f e g são chamados de coeficientes da segunda forma fundamental da superfície parametrizada X u, v . De

modo mais simples, pode-se escrever os coeficientes da segunda forma

fundamental em função de outros parâmetros. e

Nu, Xu Xu Xv ||X u X v ||

N

N, X uu

De acordo com a propriedade (2) da primeira forma fundamental, temos: ||X u

X v ||

EG

F2

Exemplo 5.1 O Pseudo espaço hiperbólico em L 3 dado pela parametrização: X u, v

cos u cosh v, cosh u sinhv, sinhu

Xu

sinhu cosh v, sinhu sinhv, cosh u

Xv

cosh u sinhv, cosh u cosh v, 0 e1

Xu

Xv

e2

e3

sinhu cosh v sinhu sinhv cosh u cosh u sinhv cosh u cosh v

Xu

Xv

cosh 2 u cosh v, cosh 2 u sinhv, sinhu cosh u

||X u

X v ||

| cosh 4 u cosh 2 v

||X u

X v ||

| cosh 2 u|

E

Xu, Xu

1

sinh 2 u E

0

cosh 4 u sinh 2 v

sinh 2 u cosh 2 u|

cosh u

sinh 2 u cosh 2 v

sinh 2 u sinh 2 v

cosh 2 u

cosh 2 u

1

F

Xu, Xv

F

1

sinhu cosh v cosh u sinhv

1

cosh 2 u sinh 2 v

sinhu cosh v cosh u sinhv

0

G

Xv, Xv

G

cosh 2 u

EG

F2

cosh 2 u

cosh u

cosh 2 u cosh 2 v

37 Logo, ||X u

X v ||

F2

EG

Rodrigues(2006)[17], demonstra que X u

X v , X uu é o mesmo valor em

3

quanto

em L 3 . Assim, podemos dizer que: Xu ||X u

e

Xu

Xv ,X X v || uu

X v , X uu F2

EG

,

onde E, F, G são os coeficientes da primeira forma fundamental, Analogamente, temos, f

Xu ||X u

Xv ,X X v || uv

Xu

Xu ||X u

Xv ,X X v || vv

Xu

g

X v , X uv F2

EG

X v , X vv F2

EG

Verifica-se que a segunda forma fundamental independe da curva escolhida. Seja t

v

X u t ,v t

u t0 , v t0

aX u u 0 , v 0 X u, v

u0, v0

bX v u o v 0 ,

tal

que

u t0 , v t0

q

considere u t0 , v t0

uma e

curva t0

qualquer

v,

isto

é,

a, b .

Como t

u t Xu u t , v t

t

u t Xu u t , v t v t

2

v t Xv u t , v t e u t

X vv u t , v t

2

X uu u t , v t

2u t v t X uv u t , v t

v t Xv u t , v t

temos que II

q

v

t0 , N u0, v0 a 2 X uu , N

2ab X uv , N

b 2 X vv , N

onde esta última expressão não depende da curva

t.

Utilizando as expressões (5.2), podemos reescrever a equação (5.3) de uma forma mais simples como II

q

v

a2e

q

2abf

q

Exemplo 5.2 Consideremos em u, v

2

Xv X uu

3

q

r sin u, r cos u, 0 0, 0, 1 r cos u, r sin u, 0

5. 4

a superfície X u, v

que descreve o cilindro circular reto de raio r, S

segunda forma fundamental de X u, v é dada por: Xu

b2g

x, y, z

r cos u, r sin u, v , 3

; x2

y2

1 . A

38 X vv

0, 0, 0

X uv

0, 0, 0 r2; F

E

0; G

1 r sin u

Xu

e

X v , X uu

1 2 r 1

F2

EG

1 r 2 cos 2 u r r

det

r cos u 0

0

0

0

r cos u

1

r sin u 0

r sin 2 u

sin u cos u 0 Xu

f

X v , X uv

1 1 1

F2

EG

0

det

0

0

1

0

0

0

0 sin u cos u 0 Xu

g

X v , X vv

EG

F

1 1 1

2

0

det

0

0

1

0

0

0

0 II

q

a2e

II

q

a2 r

II

q

2abf

q

b2g

q

2ab 0

q

b2 0

a 2 r, a

Exemplo 5.3 Considere o pseudo espaço hiperbólico H 2 1 com a parametrização X u, v

u2

1

v 2 , u, v , u, v

1

u u2

v2

1

v u2

v2

Xu Xv

X uu

v2 1 u2 v2 1

X vv

u2 1 u2 v2 1

X uv u E

uv v2 1

v2

1 1

2

u

2

v2

;

, 1, 0 , 0, 1

3 2

3 2

3 2

, 0, 0

, 0, 0

, 0, 0

2

. A segunda forma fundamental de X u, v é dada por:

39 F G e

uv ; 1 u2 v2 1 u2 1 u2 v2 X u X v , X uu EG

F

1

2

1 1 v2

1 1

u2

u

1 1 v2

2

u2

1 v2 1

u2

v2

1

v2 1 u2 v2 1

uv u2 v2 u2

3 2

det

2

1

u u2 v u2

1

v2 1 u2 v2 1

0 1

v2

v2 1 u2 v2 1

v2

1 0

v2

3 2

0 0

3 2

1

v2

1 u v2 1 X u X v , X uv 2

f

EG

F

1

2

1 v2

1 1

u

2

u2

1 2

v 1

u

2

v2

1

uv 1 v2

g

u2 1 uv u2 v2 1 X u X v , X vv 1

u2

v2

1

uv u2 v2 u2

3 2

v2

2

det

1 u

2

u 1 u2 v2 v 1 u2 v2 uv 3 2 u v2 1 2 uv v2 1

1 1 1

v2 u

u2 u u2

2

2

v 1

1 1 v2 1

u2

1 2

1 v2

0 1 0 0

3 2

F2

EG

1

1 0

u

2

v2

u2 1 u2 v2 1 1

1

3 2

uv u2 v2 u2

v2

2

det

1

u u2 v u2

u2 1 u2 v2 1

3 2

0 1

v2

u2 1 u2 v2 1 1

1 0

v2

3 2

0 0

40 II

a2e

q

2abf

q

q

b2g q ,

Logo, II

v2

a2

q

u

2

1 v

2

2ab

1

u

uv v2 1

2

u2

b2

u

1 a 2 v 2 a 2 2abuv b 2 u 2 u2 v2 1 av bu 2 a 2 b 2 , a, b . u2 v2 1

2

1 v2

1

b2

5.2 Curvatura normal e curvaturas principais

R2

Definição 5.4: Seja X : U espaço em M e q

u0, v0

I. A função k n : T

T

q

X, v

q

X

0

II q v Iq v

kn v que para cada vetor v

R 3 ou M

MM

L 3 uma superfície tipo

R dada por 5. 5

0, é chamada de curvatura normal de X u, v em q.

Observação 5.2: Se v

T

q

X, v

0, então k n v

k n v para todo

R,

0.

Daremos uma interpretação geométrica da curvatura normal e da segunda forma fundamental II q . No caso da superfície tipo espaço X u, v em L 3 . Consideremos o vetor unitário v

T

q

X e uma curva regular

s

superfície X u, v , onde s é o comprimento de arco de , tal que u s 0 , v s 0 Seja N o vetor normal unitário à superfície X u, v , ao longo de ,N ,N

0

1

t

,N 1

t

, dN

, N

1

II

1

t

1

X u s ,v s

da

qe

v.

s0

(FIGURA 5.1). Temos,

0

q

Supondo que a curvatura da curva

em s 0 não se anula, k s 0

0. Utilizando as

equações de Frenet (DO CARMO, 2005[5]), obtemos: s0

s0

s0

s0

Portanto, kn v

II

q

v

s0 , N u s0 , v s0

k s0 n s0 , N u s0 , v s0 kn

1

1

k s 0 cosh

onde n s 0 é o vetor tipo espaço unitário normal à curva n, N .

5. 6 em s 0 e n, N

1

cosh , em que

41

FIGURA 5.1 Ângulo entre os vetores n e N.

Observação 5.3: No caso da superfície tipo espaço X u, v em interpretação análoga para a curvatura normal k n e a segunda forma fundamental II

3

, temos uma

q

. Neste caso,

obtemos: kn v onde cos

II

k s 0 cos

q

n, N . Da álgebra linear sabemos que dN é uma aplicação linear auto-adjunta. Então existe

uma base ortonormal e 1 , e 2 de T

q

Além disso, k 1 e k 2 fundamental II

q

X tal que dN e 1 k1

k2

restrita ao círculo unitário de T

k 1 e 1 e dN e 2

k2e2.

são o máximo e o mínimo da segunda forma q

X, extremos da curvatura normal em q.

Definição 5.5: O máximo da curvatura normal k 1 e o mínimo da curvatura normal k 2 são chamadas curvaturas principais em q nas direções correspondentes, isto é, as direções dadas pelos auto-vetores e 1 e e 2 são chamadas de direções principais em q. Retornando a (4.4) e (5.3) em (5.5), temos: II q a 2 e 2abf b 2 g kn , a, b Iq a 2 E 2abF b 2 G

5. 7

Exemplo 5.4 Consideremos a superfície X u, v descreve o cilindro circular reto de raio r, S cilindro é:

x, y, z

3

; x2

r cos u, r sin u, v , u, v y2

2

que

1 . A curvatura normal do

42 I

a2r2

q

II

q

a2r a 2 e 2abf b 2 g a 2 E 2abF b 2 G

II q Iq

kn

b2

a2r

kn

2 2

a r

b2

, a, b

.

Exemplo 5.5 Considere o pseudo espaço hiperbólico H 2 1 . Sua curvatura normal de X u, v é dada por: I

bu 2 a 2 b 2 u2 v2 1 av bu 2 a 2 b 2 u2 v2 1 II q a 2 e 2abf b 2 g ; Iq a 2 E 2abF b 2 G av bu 2 a 2 b 2 u2 v2 1 av bu 2 a 2 b 2 u2 v2 1 1 av

q

II kn

kn kn

q

1

5.3 A curvatura Gaussiana e a curvatura média em coordenadas locais

2

Definição 5.6: Seja X : U

3

MM

ou M

L 3 uma superfície tipo

espaço de M. A curvatura Gaussiana K e a curvatura média H de X em q são as funções K, H : U

definidas por: K

det dN

q

5. 8

1 tra dN q 2 onde tra é o traço da matriz da aplicação linear dN. H

5. 9

Proposição 5.2: A curvatura Gaussiana e a curvatura média de uma superfície tipo espaço X u, v em M em função das curvaturas principais são dadas por: K

k1k2

5. 10

1 k k 5. 11 1 2 2 Demonstração: Como dN q é uma aplicaçao linear auto-adjunta, existe uma base H

ortonormal e 1 , e 2 de T q X tal que

43

dN

q

e1

k1e1

dN

q

e2

k2e2

5. 12

onde k 1 e k 2 são as curvaturas principais. Assim, a matriz da aplicação linear dN

com relação a esta base e 1 , e 2 é:

q

k1

0

0

k2

k1

0

0

k2

Portanto, temos: K

det

1 tra 2

H

k1

0

0

k2

2

Teorema 5.1: Seja X : U

k1k2

1 2

M M

k1

3

k2

ou M

L 3 uma superfície tipo

espaço X de M. Então a curvatura Gaussiana K e a curvatura média H de X são dadas por: eg f 2 EG F 2 1 eG 2fF gE H 2 EG F 2 onde e, f, g são os coeficientes da segunda forma fundamental de X e E, F, G são os coeficientes K

da primeira forma fundamental de X. Demonstração: Vamos calcular K e H utilizando a base

Xu, Xv

associada à

parametrização X u, v de X. Assim, temos que N, N Logo, N u , N

.

Nv, N

0

Portanto, N u e N v pertencem a T q X, e assim podemos escrever: Nu

a 11 X u

a 21 X v

Nv

a 12 X u

a 22 X v

5. 13

e, portanto, dN

a 11 u

a 12 v N u

a 21 u

a 22 v N v

que pode ser escrito na forma matricial como dN

u

a 11 a 12

u

v

a 21 a 22

v

Isto mostra que na base X u , X v , dN é dada pela matriz a ij , i, j

1, 2.

Para obter os valores de a ij em termos dos coeficientes da primeira e segunda forma

44 fundamentais a partir de (5.13), temos: e

Nu, Xu

a 11 E

a 21 F

f

Nu, Xv

a 11 F

a 21 G

f

Nv, Xu

a 12 E

a 22 F

g

Nv, Xv

a 12 F

a 22 G

5. 14

As relações (5.14) podem ser expressas em forma matricial por e f

a 11 a 21

E F

f g

a 12 a 22

F G

5. 15

de onde temos 1

a 11 a 21

e f

E F

a 12 a 22

f g

F G

1

E F

em que

E F

é a matriz inversa de

F G

F G

1

E F

E F

x y

1 0

F G

F G

w z

0 1

que resulta em Ex

Fw

1

Fx

Gw

0

e

Ey

Fz

0

Fy

Gz

1

Resolvendo os sistemas lineares acima temos, G F ,z F ,w E x ,y EG F 2 EG F 2 EG F 2 EG F 2 Logo, a matriz inversa será: 1

E F F G

G

1 EG

F

2

F

F E

Temos então que a 11 a 21

e f

a 12 a 22

f g

a 11 a 21

1

a 12 a 22

EG

a 11 a 21 a 12 a 22

EG e f

F

2

F

2

1 EG

G

1 F

2

F

F E G

f g

F

F E

Ge

Ff fE

Fe

Gf

Fg gE

Ff

e daí decorrem as seguintes expressões para os coeficientes a ij da matriz sw dN na base Xu, Xv :

45 fF EG eF EG gF EG fF EG

a 11 a 12 a 21 a 22

eG F2 fE F2 fG F2 gE F2

5. 16

As equações (5.13), com os valores obtidos em (5.16), são conhecidas como equações de Weingarten, que podem ser escritas da seguinte forma: fF eG Xu EG F 2 gF fG Xu EG F 2

Nu Nv

eF fE Xv EG F 2 fF gE Xv EG F 2

Utilizando (5.16) em (5.8) e (5.9), obtemos:

Kq

det dN q

det

fF eG EG F 2 gF fG EG F 2

eF fE EG F 2 fF gE EG F 2

fF eG fF gE eF fE 2 2 EG F EG F EG F 2 fF eG fF gE eF fE gF fG EG F 2 2

gF fG EG F 2

Logo, ge f 2 GE F 2

K e ainda,

Hq

1 tra a ij 2 1 2 1 2

1 tra 2

fF eG EG F 2 gF fG EG F 2

fF eG fF gE EG F 2 EG F 2 fF eG fF gE EG F 2 Logo,

eF fE EG F 2 fF gE EG F 2

5. 17

46

H

1 eG 2fF gE 2 EG F 2

5. 18

Corolário 5.1: As curvaturas principais são raízes da equação quadrática k2

2 Hk

K

0

Portanto, k

H

H

2

K

Demonstração: De (5.12) sabemos que k 1 e k 2 são autovalores de dN, portanto, satisfazem a equação dN v para algum v

T

q

X, v

kv

kI v

0 em que I é a matriz identidade. Como a aplicação linear dN

kI não

possui inversa, esta possui determinante nulo, isto é, a 11

det ka 11

ka 22

a 11 a 22

k2

a 12 a 21

k

a 21 k2

a 12 a 22

a 22

0

k

a 11 k

a 11 a 22

a 12 a 21

0

ou k2

k tra dN

det dN

0

Retornando a (5.8) e (5.9), obtemos k2

2 Hk

K

2

K

0

5. 19

e, portanto, k

H

H

5. 20

Pode-se com isso dizer que a curvatura gaussiana K é o produto das curvaturas principais k 1 e k 2 , K

k1 k2

5. 21

e a curvatura média H é o valor médio das curvaturas principais k 1 e k 2 1 k k H 5. 22 1 2 2

Pode-se resumir as fórmulas para as métricas Euclidiana e de Lorentz-Minkowski no seguinte quadro:

47 3

Forma genérica I

q

a2E

II

q

a2e

b2G

2abF

2abf b 2 g II q Iq ge f 2 GE F 2 1 eG 2fF gE 2 EG F 2

kn K H k1, k2

H

H2

K

L3

a2E

2abF

b2G

a2E

2abF

b2G

a2e

2abf

b2g

a2e

2abf

b2g

k cos

k cosh

ge f 2 GE F 2 1 eG 2fF gE 2 EG F 2

ge f 2 GE F 2 1 eG 2fF gE 2 EG F 2

H

H2

K

QUADRO 5.1 Fórmulas para cálculo da geometria de superfícies em

Exemplo 5.6 Consideremos a superfície X u, v descreve o cilindro circular reto de raio r, S

H2

H

e L3.

r cos u, r sin u, v , u, v 3

x, y, z

3

K

; x2

y2

2

que

1 , vamos encontrar:

curvatura gaussiana K , curvatura média H e curvaturas principais k 1 e k 2 . r2;

E I

II kn K K H H k

a2r2

q

e

F

0;

G

1

b2

r;

f

0;

g

0

a2r

q

a2r a2r2 b2 ge f 2 GE F 2 0 1 eG 2fF gE 2 EG F 2 1 2r H2

H 1 2r

K

1 r 2 r2

1 2r

1 2r

2

1 , 2r 1 e k2 r

Logo, k 1

Observa-se que K

0. k1 k2

0 e k1

k2

H

2

Exemplo 5.7 Considere o pseudo espaço hiperbólico H 2 1 . Vamos encontrar: curvatura gaussiana K , curvatura média H e curvaturas principais k 1 e k 2 . E

v2

1 1

u2

v2

;

F

1

uv ; u2 v2

G

u2

1 1

u2

v2

48 bu 2 a 2 b 2 u2 v2 1 v2 1 ; f 2 u v2 1 u2 av

Iq e

II kn

uv ; v2 1

g

u2 u

2

1 v2

1

bu 2 a 2 b 2 u2 v2 1

av q

1 u2

2

ge f GE F 2

K

v2

1

1

v2 1 u2 v2 1 1 u2 1 v2 2 2 1 u v 1 u2 v2

u2

u2 1

uv v2 1 uv u2 v2

2

2

1 1 eG 2fF gE 2 EG F 2 v2 1 1 u2 2 2 uv2 2 2 1 u v 1 1 u2 v2 u v 1 1 2 2 1 u 1 v2 2 2 1 u v 1 u2 v2

H

1 k

H

k1

k2

H2 1

K

1

1

2

1

uv u2 v2 1

u2

1

2

v

uv u2 v2

2

u

2

v2

1 1 1

u

2

v2

49

6 LINHAS DE CURVATURA E LINHAS ASSINTÓTICAS

Definição 6.1: Se uma curva regular e conexa reta tangente a

em X é tal que para todo q

é uma direção principal em q, então dizemos que

a

é uma linha de curvatura de

X.

Proposição 6.1 (TENENBLAT, 1990 [20]): Sejam X u, v parametrizada w

aoXn q

regular

e

q

u0, v0

um

ponto

de

X u, v .

Um

uma superfície vetor

não

nulo

b o X n q é uma direção principal de curvatura principal k o , se e somente se, a o e b o

satisfazem o sistema de equações: eo

koEo ao

fo

k o Fo b o

0

fo

k o Fo a o

go

koGo bo

0

6. 1

Proposição 6.2: (Olinde Rodrigues) Seja X : U superfície parametrizada regular e Então,

t

X u t ,v t , t

I

3

M M

ou M

L 3 uma

uma curva regular em X u, v .

é uma linha de curvatura de X u, v (FIGURA 6.1) se, e somente se, existe uma função t,t

onde N t

I, tal que para todo t

I, temos: dNt t t 0 dt N u t , v t é o vetor normal de superfície em u t , v t , t

I.

Geometricamente significa dizer que, como dN pode assumir qualquer direção, esta pode estar na direção de

t , e se isto ocorrer, ou seja, se dN é um múltiplo de

t são linearmente dependentes, Neste caso, a função para todo t

é uma linha de curvatura. t

kn

t

kn

é uma curvatura principal de X em u t , v t ,

I e k n é a curvatura normal na direção dx das linhas de curvatura. Demonstração: Suponhamos que

t

é uma linha de curvatura. Considerando

t , vamos provar que para todo t, o vetor tangente a X em q

por: w é nulo.

t , e aí dN e

dNt dt

t

t

u t , v t , definido

50

FIGURA 6.1 Linha de curvatura de uma superfície regular.

De fato, como w t

Nuu

Nvv

kn

t

Xuu

X v v , das relações que

definem os coeficientes das formas fundamentais após multiplicar ambos os membros por X u e efetuar o produto interno, segue que: w, X u

eu eu e

fv fv kn

kn

t

kn t Eu

Eu

Fv

t Eu

kn

f

t Fv

kn

t Fv

e w, X v

fu

gv

fu f

gv kn

kn

t

kn t Fu

Fu

Gv

t Fu

kn

g

t Gv

kn

t Gv

Como k n é uma direção principal, decorre de (6.1) que:

logo, w, X u

w, X v

w, X u

e

knE u

f

knF v

0

w, X v

f

knF u

g

knG v

0

0, isto é, w t

Portanto, d N t dt

t

0 para todo t. t

0, onde

Reciprocamente, se d N t dt anula, isto é, ainda de (6.1):

t

t

t

kn

t (pela proposição 6.2).

0, então o produto interno X u , X v se

e

tEu

f

tFv

0

f

tFu

g

tGv

0

Portanto, segue da relação (6.1) que u t , v t , cuja curvatura principal é

t , ou seja,

t é uma direção principal de X em t

kn

t , donde se conclui que

t é

51 uma linha de curvatura.

Como subproduto, temos que a equação diferencial dN

k n dx

0

onde k n é a curvatura normal na direção dx das linhas de curvatura e dx é uma direção qualquer da superfície X u, v . Pela equação (5.19) das direções principais, k 2

2 Hqk

K

0, podemos,

q

segundo Erviti, Torrano(2006, p.53)[7], escrever

det

k2

2 k

E

F

G

e

f

g

0

6. 2

De fato: Partindo de k n

e

2f 2gx E 2Fx Gx 2 2f

e

2f 2gx E 2Fx Gx 2

kn

gx 2 2F

2xf E

2Fx

Gx

2Gx 2 2

2xf gx 2 2F 2Gx E 2Fx Gx 2 e 2xf gx 2 E 2Fx Gx 2

e

2gx

e 2fx gx 2 e derivando com respeito a x, temos, E 2Fx Gx 2 2xf gx 2 2F 2Gx 0 2 E 2Fx Gx 2

2 f gx 2 F Gx daí,

e 2fx gx 2 E 2Fx gx 2

f gx F Gx é claro que e

gx 2

2fx e fx E Fx

então, k n

e

f gx F Gx

Logo, f gx e fx kn x E Fx F Gx e fx F Gx f gx E eF

eGx

x 2 gF

fG

fFx

fGx 2

x gE De

xf

gx e E

2Fx

gx 2

E

Fx

xF

Gx

x f gx x F Gx

e 2fx gx 2 E 2Fx Gx 2

kn x

fx

6. 3

fE

eG 2

x gF

x f gx x F Gx

e 2fx E 2Fx

gx 2 gx 2

x f gx x F Gx

Fx fFx

fE fG

gFx 2

gEx eF x gE

0 eG

fE

eF

0,

fazendo

CE

2BF

(equação diferencial da I forma fundamental) e voltando ao determinante (6.2), temos:

AG

0

52 gF

fG x 2

A

gF

fG

gE

eG x

B

gE

eG

fE

eF

1

C

fE

eF

Assim, a equação diferencial das linhas de curvatura é: CE fE

2BF

AG

0

eF X u , X u

gE

fE

eG X u , X v 2

eF u

gE

gF

fG X v , X u

eG u v

gF

0

fG v

2

0

6. 4

que finalmente se memoriza melhor resolvendo o determinante: v det

2

uv

u

E

F

G

e

f

g

Definição 6.2: Seja X : U

2

0

M

6. 5

3

M

Uma direção assintótica de X em q é uma direção w

ou M

L 3 uma superfície e q

T q X tal que a curvatura normal k n w

U. 0

na direção w.

Definição 6.3: Uma curva linha assintótica de X, se para todo t

I

t

X u t ,v t , o vetor

sobre uma superfície X u, v é uma t é uma direção assintótica (FIGURA

6.2).

Podemos determinar a quantidade de direções assintóticas em q em termos da curvatura Gaussiana K em q.

Proposição 6.3: Seja X u, v . Então,

t

X u t ,v t ,t

I uma curva sobre uma superfície

t é uma linha assintótica (FIGURA 6.2) se, e somente se, as funções u t e v t

satisfazem a equação eu

2

2fu v

gv

2

0

6. 6

onde e, f, g são os coeficientes da segunda forma fundamental de X em u t , v t .

53

FIGURA 6.2 Direção assintótica e linha assintótica de uma superfície regular. Demonstração: Pela definição de linha assintótica, temos que assintótica de X se, e só se, k n

t

0, para todo t

I.

Assim, kn

t

II q

eu

2

2fu v

gv

2

0

6. 7

é uma linha

54 3 E MÁXIMAS TIPO ESPAÇO EM

7 SUPERFÍCIES MÍNIMAS EM

Definição 7.1 Uma superfície parametrizada regular X : U superfície mínima se a sua curvatura média é identicamente nula, isto é, H

2

L3.

M será chamada

0.

Tais superfícies no espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski foram estudadas por Kobayashi (1983)[11] que as denominou superfícies máximas devido a curvatura Gaussiana K ser sempre positiva, e posteriormente por Van de Woestijne (1990)[21] que classificou todas as superfícies mínimas regradas, de revolução e de translação conhecidas, definindo-as como sendo F2

tipo espaço quando a forma quadrática EG

0 e caso contrário, denominou-as de superfícies

Lorentzianas. Aledo, Galvez (2003)[2] e Lopes(2002)[13] mostram que a partir das representações 3

de Weierstrass sobre cada superfície em

se obtêm as parametrizações dos diversos tipos de

superfícies que constituem cada família em L 3 . Lopes (2003, p.57)[12] demonstra que:

Teorema 7.1 Existe uma correspondência entre as superfícies máximas do tipo espaço do L 3 e as mínimas do

3

.

A representação do teorema acima não nos garante, porém, uma unicidade na correspondência, já que a mesma superfície pode ser obtida através de mais de uma representação de Weierstrass. De acordo com o tipo de superfícies obtidas a partir do movimento de curvas, pode-se encontrar os seguintes tipos: 1.

Superfícies de revolução: As superfícies de revolução formam uma das classes mais simples de superfícies não triviais. Uma superfície de revolução é uma superfície obtida por rotação de uma curva plana, chamada curva geratriz, em torno de uma reta nesse plano, a que se chama eixo de revolução. Por exemplo, o parabolóide (FIGURA 7.2) obtido pela rotação de uma parábola fixa no vértice em torno de seu eixo de simetria.

40

z

20 0 4

-2

2

0

0

x

-4

2

-2 -4

4

y

55 FIGURA 7.1 Parabolóide 2.

Superfícies regradas: Uma superfície regrada é uma superfície gerada por uma reta movendo-se ao longo de uma curva chamada diretriz. Portanto, uma superfície regrada é uma união de retas chamadas retas diretoras da superfície. Como exemplo de superfície regrada tem-se o hiperbolóide de uma folha (FIGURA 7.3).

FIGURA 7.2 Hiperbolóide de uma folha. 3.

Superfície de translação: Uma superfície é gerada por translação quando uma curva se desloca paralelamente a si mesma ou sobre outra curva plana usualmente normal à primeira. Como exemplo, tem-se o parabolóide hiperbólico (FIGURA 7.4), obtido quando se desloca uma parábola com curvatura para dentro sobre uma hipérbole com curvatura para fora.

z

20 10 0 -10 -20

x

4 2 0 -2 -4

2

0

4

-2

-4

y

FIGURA 7.3 Parabolóide hiperbólico ou "sela de cavalo ".

Historicamente, os três primeiros exemplos de superfícies mínimas não triviais em um espaço de euclideano tridimensional eram o catenóide, o helicóide e as superfícies mínimas de translação. Juntamente com os planos, os catenóides são as únicas superfícies mínimas de revolução, os helicóides as únicas superfícies mínimas regradas enquanto as superfícies de Scherk são as únicas superfícies mínimas de translação.

56 Ao definir os diversos tipos de superfícies máximas, Van de Woestijne (1990)[21] deu uma nova classificação às superfícies máximas em L 3 enunciando e demonstrando os seguintes teoremas:

Teorema 7.2. Toda superfície máxima de revolução tipo espaço em L 3 é congruente a parte de uma das seguintes superfícies: i.

Plano tipo espaço;

ii.

Catenóide de primeiro tipo;

iii.

Catenóide de segundo tipo;

iv.

Superfície de Enneper de segundo tipo.

Teorema 7.3. Toda superfície máxima regrada tipo espaço em L 3 é congruente a parte de uma das seguintes superfícies: i.

Plano tipo espaço;

ii.

Helicóide de primeiro tipo;

iii.

Helicóide de segundo tipo;

iv.

Superfície conjugada de Enneper de segundo tipo.

Teorema 7.4. Toda superfície máxima de translação tipo espaço em L 3 é congruente a parte de uma das seguintes superfícies: i.

Plano tipo espaço;

ii.

Superfície de Scherk de primeiro tipo.

As parametrizações a seguir não serão demonstradas neste trabalho. Tais formas são descritas por Do Carmo(2005)[5], Kobayashi(1983)[11], Lopes(2002)[12], Tenenblat(1990)[20], Van de Woestijne(1990)[21] e Walrave (1995, p.460[22]).

7.1 Catenóides

São superfícies de revolução obtidas através da rotação da catenária em torno de um dos eixos do sistema x, y, z .

57

3

7.1.1 Catenóide em

Superfície obtida pela revolução da catenária em torno do eixo Ox. Sua parametrização em

3

pode ser dada por: X u, v

FIGURA 7.4 Catenóide em

3

u, cosh u cos v, cosh u sin v

.

Derivadas de ordem superior: Xu

1, cosh u cos v, sinhu sin v

Xv

0, cosh u sin v, cosh u cos v

X uu

0, cosh u cos v, cosh u sin v

X vv

0, cosh u cos v, cosh u sin v

X uv

0, sinhu sin v, sinhu cos v

a) I Forma Fundamental: E

Xu, Xu

sinh 2 u cos 2 v

sinh 2 u sin 2 v

sinh 2 u

1 E

cosh 2 u

F

Xu, Xv

F

1

sinhu cos v cosh u sin v

sinhu sin v cosh u cos v

0

G

Xv, Xv

G

cosh 2 u

I

a2E

q

0 2abF

cosh 2 u sin 2 v b2G

cosh 2 u cos 2 v

58 a 2 cosh 2 u I

a2

q

2ab 0

b 2 cosh 2 u

b 2 cosh 2 u, a, b

.

b) II Forma Fundamental: cosh 2 u cosh 2 u

F2

EG

cosh 4 u

cosh 2 u

F2

EG

0

1 1 Xu EG F 2

e

1 cosh 2 u

cos 2 v cosh 2 u

e

1

f

1 Xu EG F 2 1 cosh 2 u

f

X v , X uu

X v , X uv

1 cosh 2 u

0

sinhu cos v

sinhu sin v

cosh u sin v cosh u cos v

0 cosh u cos v

cosh u sin v

1

sinhu sin v

sin 2 v cosh 2 u

1 cosh 2 u

cosh u sin v sinhu cos v

sinhu cos v

0

cosh u sin v cosh u cos v

0

sinhu sin v sinhu cos v

cosh u cos v sinhu sin v

0 1 1 Xu EG F 2

g

X v , X vv

1 cos 2 v cosh 2 u 2 cosh u g

1 cosh 2 u

sinhu cos v

sinhu sin v

0

cosh u sin v

cosh u cos v

0

cosh u cos v

cosh u sin v

sin 2 v cosh 2 u

1

II

q

a2e

II

q

a2 1

II

q

b2

b2g

2abf

2ab 0

b2 1

a 2 , a, b

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: K K

eg EG

f2 F2

1 1 cosh 4 u

1 cosh 4 u Como em

3

todas as superfícies mínimas possuem curvatura gaussiana K

todos os seus pontos são hiperbólicos.

0,

59 c.2) Curvatura Média: H H

1 eG 2fF Eg 2 EG F 2 0

cosh 2 u EG

1

1 2

0 1 cosh 2 u F2

c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq Kn

b2 a2 , a, b a 2 b 2 cosh 2 u

.

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k2

2 0 k

k2

1 0 cosh 4 u 1 cosh 4 u 1 e k2 cosh 2 u

k2 k1

K

0 1 cosh 4 u

0

1 cosh 2 u

d) Linhas de Curvatura: 2

fE

eF u

gE

eG u v

gE

1 cosh 2 u

2 cosh 2 u u v u

gF

fG v

2

0

0

1 cosh 2 u uv

eG u v 0

0

0 0ev

0 As linhas de curvatura do catenóide são as curvas coordenadas - meridianos e

paralelos.

FIGURA 7.5 Linhas de curvatura do catenóide em

3

.

60

e) Linhas Assintóticas 2

eu

1 u v

2

2fu v

gv

2

2

1v

0

u

Para v

u :

v u 1 dv 1 dt dv dt dv v

0

2

u

v

2

dt

t

Para v

u :

v dv dt dv

u

dt

v

t

1 1

Para u

dv

dt

v

u v 1 du 1 dt du dt u

t

Para u

v

u v 1 du 1 dt du dt u

t Retornando a X u, v

C1 t C2 t

t

, cosh t t

onde , , e

, cosh t .

cos t cos t

u, cosh u cos v, cosh u sin v , temos as linhas assintóticas: , cosh t

sin t

, cosh t

sin t

61

FIGURA 7.6 Linha assintótica do catenóide em

3

.

7.1.2 Catenóide de primeiro tipo em L 3 O catenóide de primeiro tipo em L 3 , também denominado por Yang, Kim(2006)[23] catenóide elíptico, é obtido pela rotação da catenária em torno de um eixo tipo tempo. Pode ter como parametrização: X u, v

u, sin v sinhu, cos v sinhu

FIGURA 7.7 Catenóide de primeiro tipo em L 3 .

Derivadas de ordem superior: Xu

1, sin v cosh u, cos v cosh u

X uu

0, sin v sinhu, cos v sinhu

Xv

0, sinhu cos v, sinhu sin v

X vv

0, sinh u sin v, sinh u cos v

X uv

0, cosh u cos v, cosh u sin v

62

a) I Forma Fundamental: E

Xu, Xu

cosh u sin 2 v

1 E

sinh 2 u

F

Xu, Xv

F

cos 2 v cosh 2 u

cos 2 v

1

0

sin v cosh u sinhu cos v

1

0

sinh 2 u cos 2 v

cos v cosh u sinhu sin v

0

G

Xv, Xv

sinh 2 u cos 2 v G

sinh 2 u

I

a2E

q

2abF

a 2 sinh 2 u I

sin 2 v cosh 2 u

1

1

a2

q

sinh 2 u sin 2 v

sin 2 v b2G

2ab 0

b sinh 2 u

b 2 sinh 2 u, a, b

.

b) II Forma Fundamental: sinh 2 u sinh 2 u

F2

EG

F2

EG

sinh 2 u

1 Xu EG F 2

e

sinh 4 u

X v , X uu

1

1 cos 2 v sinh 2 u sinh 2 u e

1

f

1 Xu EG F 2

X v , X uv

1 sinh 2 u

1 sinhu cos v cosh u sin v sinh 2 u f

0

sinhu cos v

sinhu sin v

0

sin v sinhu

cos v sinhu

1 sinh 2 u cos 2 v sinh 2 u

sin 2 v

1

sin v cosh u

cos v cosh u

0

sinhu cos v

sinhu sin v

0

cosh u cos v

cosh u sin v

cosh u cos v sinhu sin v

0 1 Xu EG F 2

g

X v , X vv

1 cos 2 v sinh 2 u sinh 2 u g

sin v cosh u cos v cosh u

sin 2 v sinh 2 u

1 sinh 2 u

1

1

1

1

1 sinh 2 u

sin 2 v sinh 2 u

1

sin v cosh u cos v cosh u

0

sinhu cos v

sinhu sin v

0

sinhu sin v

sinhu cos v

1 sinh 2 u cos 2 v sinh 2 u

sin 2 v

63 II

a2e

q

a2 1 II

b2

q

b2g

2abf

b2 1

2ab 0 a 2 , a, b

.

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: K K

eg f 2 1 1 0 EG F 2 sinh 2 u sinh 2 u 0 1 sinh 4 u Como todas as superfícies máximas em L 3 possuem curvatura gaussiana K

0,

todos os seus pontos são elíticos. c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg 2 EG F 2

H H

1 2

1

sinh 2 u 0 1 sinh 2 u sinh 4 u

0

c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq a2 b2 , a, b a b 2 sinh 2 u

Kn

2

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k

H

k

K

k1

k2

K

0

H2

K

1 sinh 4 u 1 sinh 2 u

d) Linhas de Curvatura: fE

eF u

2

1 sinh 2 u

u

eG u v

sinh 2 u u v

1

2 sinh 2 u u v uv

gE

gF

fG v

2

0

0

0

0 0ev

0 As linhas de curvatura do catenóide de primeiro tipo são as curvas coordenadas -

meridianos e paralelos.

64

FIGURA 7.8 Linhas de curvatura do catenóide de primeiro tipo em L 3 .

e) Linhas Assintóticas 2

eu

1 u v

2

2fu v

gv

2

2

1v

u

Para v

u :

v u 1 dv 1 dt dv dt dv v

dt

t

Para v

u :

v dv dt dv

dt

v

t

u

1 1

Para u

dv

v

u v 1 du 1 dt du dt u

0

2

u

v

2

t

Para u

v

u v 1 du 1 dt

dt

0

65 du u

dt t Retornando a X u, v , temos as linhas assintóticas:

C1 t C2 t

t

, sin t t

onde , , e

, sin t

sinh t

, cos t

sinh t

sinh t

, cos t

sinh t

.

FIGURA 7.9 Linha assintótica do catenóide de primero tipo em L 3 .

7.1.3 Catenóide de segundo tipo em L 3

O catenóide de segundo tipo em L 3 , também denominado catenóide hiperbólico, é obtido pela revolução da catenária ao redor de um eixo tipo espaço. Sua parametrização pode ser dada por: X u, v

cosh u sin v, sin v sinhu, v

FIGURA 7.10 Catenóide de segundo tipo em L 3 .

66 Derivadas de ordem superior: Xu

sin v sinhu, sin v cosh u, 0

X uu

sin v cosh u, sin v sinhu, 0

Xv

cosh u cos v, sinh u cos v, 1

X vv

cosh u sin v, sinh u sin v, 0

X uv

sinh u cos v, cosh u cos v, 0

a) I Forma Fundamental: E

Xu, Xu

sin 2 v sinh 2 u

1

sin 2 v cosh 2 u F

Xu, Xv

F

sinh 2 u

1

sin v sinhu cosh u cos v

1

cosh 2 u cos 2 v

sin v cosh u sinhu cos v

0

0

G

Xv, Xv

cos 2 v cosh 2 u

1

sinh 2 u cos 2 v

1

sinh 2 u

sin 2 v

G

a2E

q

b 2 sin 2 v

2ab 0

b 2 sin 2 v, a, b

a2

q

b2G

2abF

a 2 sin 2 v I

0

sin 2 v

E

I

sin 2 v cosh 2 u

b) II Forma Fundamental: sin 2 v sin 2 v

F2

EG

F2

EG

sin 2 v

1 Xu EG F 2

e

sin 4 v

X v , X uu

1

1 sin 2 v cosh 2 u sin 2 v e

1

f

1 Xu EG F 2 1 cosh 2 u

f

0

X v , X uv

1 sin 2 v

sin 2 v sinh 2 u

1

1 sin 2 v

sinhu sin v cosh u cos v

sin v sinhu

sin v cosh u

0

cosh u cos v

sinhu cos v

1

sin v cosh u

sin v sinhu

0

1 sin 2 v cosh 2 u sin 2 v

sinh 2 u

sin v sinhu

sin v cosh u

0

cosh u cos v

sinhu cos v

1

sinhu cos v

cosh u cos v

0

cosh u sin v sinhu cos v

67

1 Xu EG F 2

g

X v , X vv

1 sin 2 v cosh 2 u sin 2 v g II

1

sin 2 v sinh 2 u

sin v sinhu

sin v cosh u

0

cosh u cos v

sinhu cos v

1

cosh u sin v

sinhu sin v

0

1 sin 2 v cosh 2 u sin 2 v

1 a2e

q

b2 1

2ab 0

a2

q

b2g

2abf

a2 1 II

1 sin 2 v

b 2 , a, b

.

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: eg f 2 1 1 0 EG F 2 sin 2 v sin 2 v 1 K sin 4 v c.2) Curvatura Média:

K

1 eG 2fF Eg 2 EG F 2

H H

1 2

1

sin 2 v EG

gF

fG v

0 1 sin 2 v F2

0

c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq a2

Kn

a

2

b2 , a, b b sin 2 v 2

.

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k

H

k

K

k1

k2

K

0

H2

K

1 sin 4 v 1 sin 2 v

d) Linhas de Curvatura: fE

eF u

1 sin 2 u 2

2 sin u u v uv

0

2

gE

eG u v

sin 2 u u v

1 0

0

2

0

sinh 2 u

68 u

0ev

0 As linhas de curvatura do catenóide de segundo tipo são as curvas coordenadas -

meridianos e paralelos.

FIGURA 7.11 Linhas de curvatura do catenóide de segundo tipo em L 3 .

e) Linhas Assintóticas 2

eu

1 u v

2

2fu v

gv

2

2

1v

u

Para v

u :

v u 1 dv 1 dt dv dt dv v

dt

t

Para v

u :

v dv dt dv

dt

v

t

u

1 1

Para u

dv

v

u v 1 du 1 dt du dt u

0

2

u

v

2

t

Para u

v

dt

0

69 u v 1 du 1 dt du dt u

t

Retornando a X u, v C1 t

cosh t

C2 t

cosh t

onde , , e

cosh u sin v, sin v sinhu, v , temos as linhas assintóticas: sin t sin t

, sin t

sinh t

, sin t

,

sinh t

t ,

t

.

FIGURA 7.12 Linha assintótica do catenóide de segundo tipo em L 3 .

7.1.4 Catenóide de terceiro tipo em L 3

O catenóide de terceiro tipo em L 3 , também denominado catenóide parabólico, é obtido pela revolução da catenária ao redor do outro eixo tipo espaço. Sua parametrização, segundo Van de Woestijne( 1990, p. 350)[21] é dada por: X u, v

v, cos v cos u, cos v sin u

FIGURA 7.13 Catenóide de terceiro tipo em L 3 .

70

Derivadas de ordem superior: Xu

cos v sin u, cos v cos u, 0

X uu

cos v cos u, cos v sin u, 0

Xv

sin v cos u, sin v sin u, 1

X vv

cos v cos u, cos v sin u, 0

X uv

sin v sin u, sin v cos u, 0

a) I Forma Fundamental: E

Xu, Xu

cos v sin u, cos v cos u, 0 ,

1 2

cos v sin u E F F

cos v cos u

02

cos v sin u, cos v cos u, 0

cos 2 v sin 2 u

cos 2 v cos 2 u

cos 2 v Xu, Xv

1

cos v sin u cos u sin v

1

cos 2 u sin 2 v

cos u cos v sin u sin v

0

G

Xv, Xv

G

cos 2 v

EG

2

F2

cos 2 v

cos 2 v

sin 2 u sin 2 v

1

cos 4 v

0

Como a forma quadrática EG

F2

0, onde podemos concuir que a referida

superfície não é tipo espaço. O quadro abaixo compara os resultados obtidos para a família de catenóides. 3

Parâmetros

Primeiro tipo em L 3 Segundo tipo em L 3

E

cosh 2 u

sinh 2 u

sin 2 v

F

0

0

0

2

G

cosh u

sinh u

sin 2 v

e

1

1

1

f

0

0

0

1 1 sinh 4 u a2 b2 2 a b 2 sinh 2 u 1 sinh 2 u 1 sinh 2 u

1 1 sin 4 v a2 b2 2 a b 2 sin 2 v 1 sin 2 v 1 sin 2 v

g K Kn k1 k2

a2

1 1 cosh 4 u a2 b2 b 2 cosh 2 u 1 cosh 2 u 1 cosh 2 u

2

QUADRO 7.1 Comparativo da família de catenóides.

71

7.2 Helicóides

Definição 7.2 Sejam X u, v

e X u, v ,

u, v

2

U

Dizemos que X e X são superfícies isométricas, se para todo u, v primeira forma quadrática de X e X coincidem, isto é, E u, v G u, v

U os coeficientes da

E u, v , F u, v

F u, v ,

G u, v .

7.2.1 Helicóide em

3

Considere uma hélice cilíndrica dada por b

, superfícies simples.

t

a cos t, a sin t, bt , t

,a

0 e

0. Por cada ponto da hélice pode-se traçar uma reta paralela ao plano xy e que intersecta o eixo

Oz. A superfície gerada por essas retas é chamada helicóide. É uma superfície regrada obtida pela isometria do catenóide (FIGURA 7.18), cuja parametrização pode ser dada por: X u, v

FIGURA 7.14 Helicóide em

3

.

u cos v, u sin v, v

72

FIGURA 7.15 Deformação isométrica do catenóide em helicóide.

Para se verificar a isometria entre o catenóide e o helicóide, é necessária uma mudança de parâmetro na equação acima para que as duas superfícies sejam compatíveis. Assim, fazendo v

veu

a sinhu, 0

v

2 e

u

,

mudança esta que é possível uma vez que a aplicação é evidentemente bijetora, e o Jacobiano u ,u u, v

a cosh u

0

logo, uma nova representação paramétrica do helicóide, tomando a X u, v

1, é:

sinhu cos v, sinhu sin v, v

a) I Forma Fundamental: E

Xu, Xu

cosh 2 u

F

Xu, Xv

0

G

Xv, Xv

cosh 2 u

I

q

a2E

I

q

a2

2abF

b2G

b 2 cosh 2 u, a, b

.

Comparando os resultados obtidos acima com aqueles obtidos para o catenóide em 3

, percebe-se que E C

EH

cosh 2 u, F C

FH

então, que as superfícies são localmente isométricas.

b) II Forma Fundamental:

0 e GC

GH

cosh 2 u, caracterizando,

73

e f g q

II

q

a2e

cosh 4 u

0

F2 cosh 2 u 1 X u X v , X uu EG F 2 1 X u X v , X uv EG F 2 1 X u X v , X vv EG F 2

EG

II

cosh 2 u cosh 2 u

F2

EG

0 1 0

b2g

2abf

2ab, a, b

.

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: eg f 2 EG F 2 1 K cosh 4 u c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0

K

c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq Kn

a

2ab , a, b b 2 cosh 2 u

2

.

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

K

0

1 e k2 cosh 2 u

k1

1 cosh 2 u

d) Linhas de Curvatura: eF u

2

gE

cosh 2 u v

2

cosh 2 u u

fE

u

2

v

2

u

Para v v

v

t

u :

eG u v 2

gF

fG v

2

0

74 Para v v

u :

t

Para u u

v

t

Para u u

v :

t

Retornando a X u, v C1 t

sinh t

C1 t

sinh t

onde , , e

sinhu cos v, sinhu sin v, v , temos as linhas de curvatura: cos t

, sinh t

cos t

, sinh t

sin t

, t

sin t

,

t

.

FIGURA 7.16 Linha de curvatura do helicóide em

3

.

e) Linhas Assintóticas eu

2

2fu v

u

v

0

gv

2

0

As linhas assintóticas do helicóide são as curvas coordenadas - meridianos e paralelos.

FIGURA 7.17 Linhas assintóticas do helicóide em

3

.

75

7.2.2 Helicóide de primeiro tipo em L 3

Superfície conjugada ao catenóide de primeiro tipo em L 3 , o helicóide de primeiro tipo, ou helicóide elíptico é uma superfície regrada cuja parametrização pode ser dada por: X u, v

v, cosh u cos v, cosh u sin v

FIGURA 7.18 Helicóide de primeiro tipo em L 3 .

a) I Forma Fundamental: E

Xu, Xu

1

sinh 2 u

F

Xu, Xv

1

0

G

Xv, Xv

1

sinh 2 u

I

q

a2E

I

q

a2

2abF

b2G

b 2 sinh 2 u, a, b Comparando os resultados obtidos para o catenóide e para o helicóide de primeiro

tipo em L 3 , percebe-se que a isometria entre a família de catenóides e a família de helicóides, tipo a tipo, existe também no espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski (MILANI, SHOJAEIFA, 2006[13]).

76

FIGURA 7.19 Deformação do catenóide de primeiro tipo em helicóide de primeiro tipo em L 3 .

b) II Forma Fundamental: EG EG e f g

F2

sinh 4 u

F2 sinh 2 u 1 X u X v , X uu 1 EG F 2 1 X u X v , X uv 1 EG F 2 1 X u X v , X vv 1 EG F 2

II

q

a2e

II

q

2ab, a, b

2abf

b2g .

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: eg f 2 EG F 2 1 K sinh 4 u c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0

K

c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq

0 1 0

77 Kn

2ab , a, b b 2 sinh 2 u

a2

.

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k1

k2

K

0 1 sinh 2 u

d) Linhas de Curvatura: eF u

2

gE

1 sinh 2 u u

2

1 sinh 2 u v

fE 2

u

2

v

u

sinh u v

gF 2

fG v

2

0

0

2

2

v

Para v v

2

2

sinh u u

eG u v

u :

t

Para v v

t

Para u u

v

t

Para u u

u :

v

t Retornando a X u, v

v, cos v cosh u, cosh u sin v , temos as linhas de

curvatura: C1 t

t

C2 t onde , , e

, cos t t

, cos t

cosh t cosh t

, cosh t

sin t

, cosh t

sin t

.

FIGURA 7.20 Linha de curvatura do helicóide de primeiro tipo em L 3 .

78

e) Linhas Assintóticas: eu 2u uv u

2

2f u v

v

gv

2

0

0

0 0ev

0 As linhas assintóticas do helicóide de primeiro tipo são as curvas coordenadas -

meridianos e paralelos

FIGURA 7.21 Linhas assintóticas do helicóide de primeiro tipo em L 3 .

7.2.3 Helicóide de segundo tipo em L 3

Superfície conjugada ao catenóide de segundo tipo em L 3 , o helicóide de segundo tipo, ou helicóide hiperbólico, é uma superfície regrada cuja parametrização pode ser dada por: X u, v

cos v sinhu, cos v cosh u, u

FIGURA 7.22 Helicóide de segundo tipo em L 3 .

79

a) I Forma Fundamental: E

Xu, Xu 1

cos 2 v cosh 2 u

F

Xu, Xv

F

1

sinh 2 u

cos v cosh u sinhu sin v

1

cos v sinhu cosh u sin v

0

G

Xv, Xv sin 2 v

sin 2 v sinh 2 u

1

sinh 2 u

sin 2 v cosh 2 u

cosh 2 u

sin 2 v

G

a2E

q

2abF

a 2 sin 2 v I

cos 2 v sinhu

sin 2 v

E

I

cos 2 v cosh 2 u

1

a2

q

b2G

2ab 0

b 2 sin 2 v

b 2 sin 2 v, a, b

b) II Forma Fundamental: EG EG e f g II

q

II

q

sin 2 v sin 2 v

F2

sin 4 v

F2 sin 2 v 1 X u X v , X uu 1 EG F 2 1 X u X v , X uv 1 EG F 2 1 X u X v , X vv 1 EG F 2 a2e

2abf

b2g

2ab, a, b

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: eg f 2 EG F 2 1 K sin 4 v c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0

K

0 1 0

0

80 c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq Kn

2ab , a, b b 2 sin 2 v

a2

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k1

k2

K

0

1 sin 2 v

d) Linhas de Curvatura: fE

2

1 sin v u sin 2 u u u

2

gE

eG u v 2

2

1 sin v v sin 2 u v

2

v

u

2

gF

fG v

2

0

0

2

2

v

Para v v

2

eF u

u :

t

Para v v

t

Para u u

v :

t

Para u u

u :

v :

t Retornando a X u, v

C1 t

cos t

C2 t

cos t

onde , , e

sinh t sinh t .

cos v sinhu, cos v cosh u, u , temos as linhas de curvatura:

, cos t , cos t

cosh t

,

cosh t

t ,

t

81 FIGURA 7.23 Linha de curvatura do helicóide de segundo tipo em L 3 .

e) Linhas Assintóticas eu

2

2f u

2 1 u u

0ev

v

v

gv

2

0

0 0 As linhas de curvatura do helicóide tipo 2 são as curvas coordenadas - meridianos e

paralelos.

FIGURA 7.24 Linhas assintóticas do helicóide de segundo tipo em L 3 .

7.2.4 Helicóide de terceiro tipo em L 3

Superfície conjugada ao catenóide do terceiro tipo em L 3 , o helicóide do terceiro tipo, também chamado helicóide parabólico, é uma superfície regrada com parametrização: X u, v

u cosh v, u sinhv, v

FIGURA 7.25 Helicóide de terceiro tipo em L 3 .

82

a) I Forma Fundamental: E

Xu, Xu

1

1

F

Xu, Xv

1

0

G

Xv, Xv

1

u2

EG

F2

1 u2

1 1

u2

1 F2

Como a forma quadrática EG

0, esta não é uma superfície tipo espaço.

O quadro abaixo compara os resultados obtidos para a família de helicóides. 3

Parâmetros

Primeiro tipo em L 3 Segundo tipo em L 3

E

cosh 2 u

sinh 2 u

sin 2 v

F

0

0

0

2

2

G

cosh u

sinh u

sin 2 v

e

0

0

0

f

1

1

1

g K Kn

a2

k1 k2

0 1 cosh 4 u 2ab b 2 cosh 2 u 1 cosh 2 u 1 cosh 2 u

a2

0 1 sinh 4 u 2ab b 2 sinh 2 u 1 sinh 2 u 1 sinh 2 u

a2

0 1 sin 4 v 2ab b 2 sin 2 u 1 sin 2 v 1 sin 2 v

QUADRO 7.2 Comparativo da família de helicóides

7.3 Superfícies de Enneper

3

7.3.1 Superfície de Enneper em

A superfície de Enneper em

3

é a superfície parametrizada

3 u 2 uv 2 , v v vu 2 , u 2 v 2 , u, v . 3 3 De acordo com Do Carmo(2005, p.243)[5], a verificação de que a superfície de

X u, v

u

3

Enneper é uma superfície mínima não apresenta maiores dificuldades. Ao se trocar u, v por v, u , troca-se, na superfície x, y, z por 2

y, x, z . Assim, ao se efetuar uma rotação positiva de

em torno do eixo Oz seguida de uma simetria no plano xy, a superfície permanece invariante.

83 Outra carcterística interessante desta superfície definida por Alfred Enneper (1830-1885) é que ela possui auto interseções como se pode ver na figura 7.26.

FIGURA 7.26 Superfície de Enneper em

a) I Forma Fundamental: u2

v2

1

2

v2

1

2

E

Xu, Xu

F

Xu, Xv

G

Xv, Xv

I

q

a2E

2abF

b2G

I

q

a2

b2 u2

v2

0 u2

2 1 , a, b

b) II Forma Fundamental: EG EG

F2 F2

u2

v2

u2

1 v2

4

1

2

1 X u X v , X uu EG F 2 1 X u X v , X uv EG F 2 1 X u X v , X vv EG F 2

e f g II

q

a2e

II

q

2 a2

2abf

b2g

b 2 , a, b

c) Curvaturas:

.

2 0 2

3

.

84 c.1) Curvatura Gaussiana: f2 F2 4 2 u v2

eg EG

K K

1

4

c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0 c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq Kn

2 a2 b2 b2 u2 v2

a2

1

2

, a, b

.

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k1

K

u

0 2 v2

2

1

e k2

2

u

2 v2

2

1

2

d) Linhas de Curvatura: fE

eF u 2 u2

4 u2 uv u

2

gE

v2 v2

1 1

2

2

eG u v 2 u2

uv

v2

gF 1

2

fG v uv

2

0

0

0

0 v

0 As linhas de curvatura da superfície de Enneper em

3

meridianos e paralelos.

FIGURA 7.27 Linhas e curvatura da superfície de Enneper em

3

.

são as curvas coordenadas -

85

e) Linhas assintóticas eu

2

2u

2

2u

2

v

2fu v

2

2 v

0

0

2

2v u

Para v v

2

gv

u :

t

Para v v

t

Para u u

u : v:

t

Para u u

v:

t Retornando a X u, v

u3 3

u

v3 3

uv 2 , v

vu 2 , u 2

v 2 , temos as linhas

assintóticas: t

3 2

t C2 t

3

t

t

C1 t

onde , , e

t

3 ,

3

t

, t

t

3

3

t 2

2

2

t

,

2

t

t t

t

t

2

t

t

2

,

t

3

t

t

3

2

.

FIGURA 7.28 Linha assintótica da superfície de Enneper em

3

.

Observa-se pela (FIGURA 7.29) que as linhas assintóticas u

v

u

v

constante

86 7.3.2 Superfície de Enneper de primeiro tipo em L 3

A superfície de Enneper de primeiro tipo em L 3 é a superfície parametrizada u2

X u, v

u3 3

v2, u

uv 2 , v

u2v

v3 3

, u, v

FIGURA 7.29 Superfície de Enneper de primeiro tipo em L 3 .

a) I Forma Fundamental: u2

v2

1

2

v2

1

2

E

Xu, Xu

1

F

Xu, Xv

1

G

Xv, Xv

1

I

q

a2E

2abF

b2G

I

q

a2

b2 u2

v2

0 u2

2 1 , a, b

b) II Forma Fundamental: EG EG

F2

u2

F2

v2

u2

1 v2

4

1

2

1 X u X v , X uu 1 EG F 2 1 X u X v , X uv 1 EG F 2 1 X u X v , X vv 1 EG F 2

e f g II

q

a2e

II

q

2 a2

2abf

b2g

b 2 , a, b

.

2 0 2

.

2

e u2

v2

1.

87

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: f2 F2 4 v2 1

eg EG

K K

u2

4

c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0 c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq Kn

2 a2 b2 b2 u2 v2

a2

1

2

, a, b

.

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k1

k2

K

0 2 v2

u2

1

2

d) Linhas de Curvatura: fE 2 4

eF u u2 u2

uv u

v2 v2

2

1

gE

eG u v

2

2 u2

2

0

1 uv

gF v2

1

2

fG v

2

uv

0

0

0 v

0 As linhas de curvatura da superfície de Enneper de primeiro tipo são as curvas

coordenadas - meridianos e paralelos.

88

FIGURA 7.30 Linhas e curvatura da superfície de Enneper de primeiro tipo em L 3 .

e) Linhas assintóticas 2

eu

2fu v 2

2u v

0

0

2

2v u

Para v v

2

2v

2

2u

2

gv

u :

t

Para v v

u :

t

Para u u

v :

t

Para u u

v :

t u2

Retornando a X u, v

u3 3

v2, u

uv 2 , v

u2v

v3 3

, temos as linhas

assintóticas: C1 t

2

t

3

t

, t

t

3

t

2

t

v2,

,

t

2

t

3

t

t

2

t

3 t

C2 t

2

3

t

t onde , , e

2

t

3 .

,

t

3

t 3

t

t

2

89

FIGURA 7.31 Linha assintótica da superfície de Enneper de primeiro tipo em L 3 .

7.3.3 Superfície de Enneper conjugada de primeiro tipo em L 3

É a superfície parametrizada X u, v

2uv, v

u2v

v3 , u3 3 3

uv 2

u

FIGURA 7.32 Superfície de Enneper conjugada de primeiro tipo em L 3 .

a) I forma fundamental E

Xu, Xu

1

F

Xu, Xv

1

G

Xv, Xv

1

I

q

a2E

I

q

u2

u2

1

2

v2

1

2

0 u2

b2G

2abF v2

v2

1

2

a2

b 2 , a, b

90

b) II forma fundamental F2

EG

u2

F2

EG

v2

u2

4

1 v2

2

1

1 X u X v , X uu 1 EG F 2 1 X u X v , X uv 1 EG F 2 1 X u X v , X vv 1 EG F 2

e f g II

q

a2e

II

q

4ab, a, b

0 2 0

b2g

2abf

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: eg EG

K K

u

2

f2 F2 4 v2 1

4

, u2

v2

1.

c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0 c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq Kn

u2

4ab 2 1 a2

v2

b2

, a, b

.

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k1

k2

K

0 u

2

2 v2

1

2

, u2

v2

1.

gF

fG v

d) Linhas de Curvatura: fE

eF u

v Para v

2

u u :

gE

eG u v

2

0

91 v

t

Para v v

t

Para u u

u : v

t

Para u u

v

t Retornando a X u, v

v3 , u3 3 3

u2v

2uv, v

uv 2

u , temos as linhas

assintóticas: C1 t

2t

t

,

t

t

2

3

t

t

3

,

3

t

t

3

2

t

t C2 t

2 t

t

,

t

t

2

t

3

t 3

,

3

t 3

t

t

t onde , , e

.

FIGURA 7.33 Linhas de curvatura da superfície de Enneper conjugada de primeiro tipo.

e) Linhas assintóticas eu

2

2fu v

u

v

0

gv

2

0

As linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo são as curvas coordenadas - meridianos e paralelos.

92

FIGURA 7.34 Linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de pimeiro tipo.

7.3.4 Superfície de Enneper de segundo tipo em L 3

A superfície de Enneper de segundo tipo em L 3 é a superfície parametrizada u3 3

X u, v

uv 2

u, u

u3 3

uv 2 , 2uv , u, v

FIGURA 7.35 Superfície de Enneper de segundo tipo em L 3 .

a) I Forma Fundamental: E

Xu, Xu

1

4u 2

F

Xu, Xv

1

0

G

Xv, Xv

1

4u 2

I

q

a2E

I

q

4u 2 a 2

2abF

b2G

b 2 , a, b

.

2

,u

0.

93 b) II Forma Fundamental: F2

EG

4u 2 4u 2

F2

EG

16u 4

4u 2

1 X X v , X uu 1 2 u 4u 2 1 X u X v , X uv 1 EG F 2 1 X u X v , X vv 1 EG F 2

e f g II

q

a2e

II

q

2 a2

2abf

0 2

b2g

b 2 , a, b

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: eg f 2 EG F 2 1 , u 0. K 4u 4 c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0

K

c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq a 2 b 2 , a, b 2u a 2 b 2

Kn

.

2

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k1

k2

K

0

1 ,u 2u 2

0.

d) Linhas de Curvatura: fE

eF u

2

4u 2

2

2 uv u

gE

eG u v

4u 2 u v

gF

fG v

2

0

0

0 v

0 As linhas de curvatura da superfície de Enneper de segundo tipo são as curvas

coordenadas - meridianos e paralelos.

94

FIGURA 7.36 Linhas e curvatura da superfície de Enneper de segundo tipo em L 3 .

e) Linhas assintóticas 2

eu

2fu v 2

2u 2

2u v

2

2v

2

0

0

2

2v u

Para v v

gv

u :

t

Para v v

t

Para u u

v

t

Para u u

u :

v

t u3 3

Retornando a X u, v

uv 2

u, u

u3 3

uv 2 , 2uv , temos as linhas

assintóticas: 3

t

C1 t

t

3

C2 t

t

2

onde , , e

2

t 3

t

t

3 .

2

t ,

t

1,

3

t

t

3

1

2

t

, 2t

t

t

2

3

t 3

t

v2,

t

95

FIGURA 7.37 Linha assintótica da superfície de Enneper de segundo tipo em L 3 .

7.3.5 Superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L 3

É a superfície parametrizada X u, v

u2v

v3 3

v, v

u2v

v3 , u2 3

v2

FIGURA 7.38 Superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L 3 .

a) I forma fundamental E

Xu, Xu

1

4u 2

F

Xu, Xv

1

0

G

Xv, Xv

1

4u 2

I

q

a2E

I

q

4u 2 a 2

2abF

b2G

b 2 , a, b

96 b) II forma fundamental F2

EG

F2 4u 2 1 X u X v , X uu 1 EG F 2 1 X u X v , X uv 1 EG F 2 1 X u X v , X vv 1 EG F 2

EG e f g II

q

II

q

16u 4

a2e

2abf

0 2 0

b2g

4ab, a, b

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana: eg f 2 EG F 2 1 , u 0. K 4u 4 c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0

K

c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq ab , a, b u2 a2 b2

Kn

.

c.4) Curvaturas Principais: k2

2Hk

k1

k2

K

0

1 ,u 2u 2

0.

d) Linhas de Curvatura: fE

eF u

v

u

Para v v

2

u :

t

Para v

u :

gE

eG u v

gF

fG v

2

0

97 v

t

Para u u

v

t

Para u u

v

t v3 3

u2v

Retornando a X u, v

v3 , u2 3

u2v

v, v

v 2 , temos as linhas

assintóticas: C1 t

t

2

t

2

onde , , e

,

t

t

2

3

t

,

t

t

3

t

t

3

t

t 2

t

t

3

2

t

C2 t

3

t

t

3

2

t

,

2

t

3

t 3

,

2

t .

FIGURA 7.39 Linhas de curvatura da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L 3 .

e) Linhas assintóticas eu

2

2fu v

u

v

0

gv

2

0

As linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo são as curvas coordenadas - meridianos e paralelos.

98

FIGURA 7.40 Linhas assintóticas da superfície de Enneper conjugada de segundo tipo em L 3 .

7.3.6 Superfície de Enneper de terceiro tipo em L 3

A superfície de Enneper de terceiro tipo em L 3 é a superfície parametrizada por: X u, v

v3 3

u2v

3 v, 2uv, v 3

u2v

v , u, v

2

FIGURA 7.41 Superfície de Enneper de terceiro tipo em L 3 .

a) I Forma Fundamental: Para a parametrização desta superfície, Van de Woestijne utilizou a assinatura da métrica dx

2

dy 2

E

Xu, Xu

1

4v 2

F

Xu, Xv

1

0

G

Xv, Xv

1

0

EG

F2

dz 2 .

0, logo, a superfície de Enneper de terceiro tipo não é uma superfície tipo espaço. O quadro seguinte compara os valores obtidos para as superfícies de Enneper.

99 3

Parâmetros u2

E F

v2

Primeiro tipo em L 3 1

2

u2

0 u2

G

v2

v2

1

Conj. de 1 o . tipo em L 3

2

u2

0 1

2

u2

v2

v2

1

2

u2

v2

2

2

0

f

0

0

2

g

2 4 v2

2 4 v2

0 4 v2

Kn k1 k2

a2

u2 1 4 2 a2 b2 b2 u2 v2 1 2 u2 v2 1 2 2 u2 v2 1 2

2

a2

u2 1 4 2 a2 b2 b2 u2 v2 1 2 u2 v2 1 2 2 u2 v2 1 2

u2 2

a2

E

4u 2

4u 2

F

0

0 4u 2

G

4u

e

2

0

f

0

2

g

2 1 4u 4 2 a b2 2 2 2u a b2 1 2u 2 1 2u 2

K Kn k1 k2

0 1 4u 4 ab u2 a2 b2 1 2u 2 1 2u 2

QUADRO 7.3 Comparativo da família das superfícies de Enneper.

7.4 Superfícies de Scherk

7.4.1 Superfície de Scherk em

1

2

1

4

4ab b2 u2 v2 2 u2 v2 1 2 u2 v2 1

Parâmetros Segundo tipo em L 3 Conjugada de 2 o . tipo em L 3

2

2

0

e

K

1

3

A superfície de Scherk em 3 é uma superfície de translação dada por cos v , u, v 2 X u, v u, v, log cos , u, v , . 2 u

1 2

2

2

100

FIGURA 7.42 Superfície de Scherk em

3

.

A superfície de Scherk foi descoberta por Heinrich Ferdinand Scherk (1798-1885) sobre um domínio em forma de tabuleiro de xadrez (GRAY, 1999[10]).

a) I Forma Fundamental: sec 2 u

E

Xu, Xu

F

Xu, Xv

G

Xv, Xv

I

q

a2E

I

q

a 2 sec 2 u

tan u tan v sec 2 v b2G

2abF

2ab

b 2 sec 2 v , a, b

tan u tan v

b) II Forma Fundamental: EG EG

F2

sec 2 u

F2

tan 2 v

sec 2 u

tan 2 v

1 X u X v , X uu EG F 2 1 X u X v , X uv EG F 2

e f

1 Xu EG F 2

g II

q

II

q

a2e

2abf

X v , X vv

sec 2 u sec 2 u tan 2 v 0 sec 2 v sec 2 u tan 2 v

b2g

a 2 sec 2 u b 2 sec 2 v , a, b sec 2 u tan 2 v

c) Curvaturas: c.1) Curvatura Gaussiana:

.

.

101

K

f2 F2 sec 2 u sec 2 v sec 2 u tan 2 v

eg EG

K

2

c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0 c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq Kn

a 2 sec 2 u

2ab

a 2 sec 2 u b 2 sec 2 v tan u tan v b 2 sec 2 v

Tomando o ponto de sela q 2

u, v

sec 2 u

tan 2 v

0, 0 , tem-se que:

2

a b , a, b . a2 b2 c.4) Curvaturas Principais:

Kn

k2

2Hk

K 0 sec u sec v e k sec u sec v k1 2 sec 2 u tan 2 v sec 2 u tan 2 v No ponto q u, v 0, 0 , tem-se que k1

1 e k2

1

d) Linhas de Curvatura: fE u

eF u

2u v

0

v

0

2

gE

eG u v

gF

fG v

2

0

3

As linhas de curvatura da superfície de Scherk em meridianos e paralelos.

FIGURA 7.43 Linhas e curvatura da superfície de Scherk em

3

.

são as curvas coordenadas -

102

e) Linhas assintóticas 2

eu

sec 2 u u

2fu v 2

2

gv sec 2 v v

0 2

Tomando o ponto q sec 2 0 u u

2

0, 0 , tem-se:

2

v

Para v v

sec 2 0 v

u, v

u :

t

Para v v

t

Para u u

u : v :

t

Para u u

v:

t Retornando a X u, v

C1 t C2 t

t

,t t

onde , , e

, log

, t

cos v u, v, log cos u

, temos as linhas assintóticas:

cos t cos t

, log

cos t cos t

.

FIGURA 7.44 Linha assintótica da superfície de Scherk em

3

.

7.4.2 Superfície de Scherk de primeiro tipo em L 3

A superfície de Scherk de primeiro tipo em L 3 é uma superfície de translação dada,

103 segundo Walrave (1995, p.46)[22] por: u, v, log cosh v cosh u

X u, v

2

, u, v

, tanh 2 u

tanh 2 v

FIGURA 7.45 Superfície de Scherk de primeiro tipo em L 3 .

a) I Forma Fundamental: tanh 2 u

E

Xu, Xu

1

1

0

F

Xu, Xv

1

tanh v tanh u

G

Xv, Xv

1

1

I

q

a2E

2abF

I

q

a2 1

tanh 2 u

tanh 2 v

0

b2G b2 1

2ab tanh v tanh u

tanh 2 v , a, b

.

b) II Forma Fundamental: tanh 2 u

tanh 2 v

EG

F2

e

1 X u X v , X uu 1 EG F 2 1 X u X v , X uv 1 EG F 2

f

1 Xu EG F 2

g II II

1

q

2

a e

2abf

a 2 tanh 2 u q

1

c) Curvaturas:

X v , X vv

0 nas condições impostas acima. tanh 2 u tanh 2 u

1

1 tanh 2 v

0

1

1

tanh 2 v tanh 2 u

1 tanh 2 v

2

b g 1 tanh 2 u

b2 1

tanh 2 v

tanh 2 v

, a, b

.

1.

104 c.1) Curvatura Gaussiana: eg f 2 EG F 2 sech 2 u sech 2 v tanh 2 u tanh 2 v 1

K K

No ponto q

u, v

2

0, 0 , tem-se que K

1.

c.2) Curvatura Média: 1 eG 2fF Eg H 2 EG F 2 H 0 c.3) Curvatura Normal: II q Kn Iq a 2 tanh 2 u

Kn

tanh 2 u

a2 1

No ponto q

u, v

2

b2 1

2ab tanh v tanh u

tanh 2 v

b2 1

1

tanh 2 v

1

tanh 2 u

tanh 2 v

0, 0 , tem-se que:

2

a b , a, b . a2 b2 c.4) Curvaturas Principais:

Kn

k2

2Hk

k1

k2

K

0 sech u sech v tanh u tanh v 1

d) Linhas de Curvatura: fE

tanh 2 v 1 Em q u

2

eF u

gE

eG u v

1 tanh v tanh u 2

tanh u u, v

0ev

2

v

gF 2

fG v

2

0

0

tanh v 0, 0 , tem-se: 2u v

0

0 As linhas de curvatura da superfície de Scherk de primeiro tipo são as curvas

coordenadas - meridianos e paralelos.

105

FIGURA 7.46 Linhas de curvatura da superfície de Scherk de primeiro tipo em L 3 .

e) Linhas Assintóticas 2

eu

2fu v

2

gv

tanh 2 u 1 tanh 2 u tanh 2 v Tomando-se q u

2

v

2

1

1

tanh 2 v tanh 2 u

1 v tanh 2 v

2

0

0, 0

0

u

Para v v

u

u, v

2

v

0

u :

t

Para v v

t

Para u u

u : v:

t

Para u u

v:

t Retornando a X u, v

C1 t C2 t

t

,t

, log

t

, t

onde , , e

.

cosh t cosh t

, log

cosh t cosh t

u, v, log cosh v cosh u

, temos as linhas assintóticas:

106

FIGURA 7.47 Linha assintótica do catenóide de primeiro tipo em L 3 .

7.4.3 Superfície de Scherk de segundo tipo em L 3

A superfície de Scherk de segundo tipo em L 3 é uma superfície de translação dada por: u, v, log cosh v sinhu

X u, v

, u, v

2

,u

0.

FIGURA 7.48 Superfície de Scherk de segundo tipo em L 3 .

a) I Forma Fundamental: coth2 u

E

Xu, Xu

1

1

F

Xu, Xv

1

tanh v cothu

G

Xv, Xv

1

1

EG

F

2

1

0

tanh 2 v 2

coth u

0 2

tanh v

0

O valor assumido por EG não é uma superfície tipo espaço.

F2

0 indica que a superfície de Scherk de segundo tipo

107

7.4.4 Superfície de Scherk de terceiro tipo em L 3

A superfície de Scherk de terceiro tipo em L 3 é uma superfície de translação dada por: X u, v

u, v, log sinhv sinhu

, u, v

2

, u, v

0.

FIGURA 7.49 Superfície de Scherk de terceiro tipo em L 3 .

a) I Forma Fundamental: coth2 u

E

Xu, Xu

1

1

F

Xu, Xv

1

cothv cothu

G

Xv, Xv

1

1

Iq

a2E

2abF

Iq

a2 1

coth2 u

coth2 v b2G 2ab cothv cothu

b2 1

coth2 v

b) II Forma Fundamental: EG

F2

1 coth2 u

coth2 v

0

Logo, a referida superfície não é tipo espaço. O quadro abaixo compara os valores obtidos para as superfícies de Scherk em tipo 1 em L 3 .

3

e

108 3

Parâmetros

sec 2 u

E F

tan u tan v

G

sec 2 v sec 2 u sec 2 u tan 2 v

e f

0 sec 2 u sec 2 u tan 2 v

g K

sech 2 u tanh u tanh v

1

sech 2 v sech 2 u tanh 2 u tanh 2 v

1

0 sech 2 v tanh 2 u tanh 2 v

1 2

a a2

2

k1

b , a, b b2 1

k2

1

Kn

Tipo 1 em L 3

Calculadas para o ponto q

1 2

a a2

2

b , a, b b2 1 1

u, v

0, 0

QUADRO 7.4 Comparativo da família de superfícies de Scherk.

109

8 GEOMETRIA COM O SOFTWARE MATHEMATICA

Com o crescente desenvolvimento da tecnologia de computadores, os softwares passaram a ocupar um lugar de destaque entre os pesquisadores e estudiosos de todos os ramos da matemática. Gray (1999)[10] utiliza o software Mathematica para desenvolver rotinas de programação para o cálculo e apresentação gráfica de curvas e superfícies em

3

.

Seguindo a linha proposta pelo autor acima citado, o mesmo software foi aqui utilizado para construir uma nova rotina de programação que permita estudar a geometria das superfícies máximas em L 3 , tanto nos cálculos quanto no traçado das superfícies. Para gerar figuras em movimento, tornou-se necessário o uso de outro aplicativo: o JavaView, que incorporado ao Mathematica gera em uma nova janela, a superfície que pode ser movimentada livremente com o auxílio do mouse, permitindo a observação de qualquer ângulo, o que muito ajuda na observação da geometria da superfície. O mesmo software pode gerar também um seqüência de imagens no formato .gif (figuras 7.15 e 7.19) que, com a auxílio do Windows Movie Maker ou algum animador de gifs, mostra uma movimentação da superfície como em um filme.

8.1 Geometria das superfícies no espaço tridimensional de Lorentz Minkowski - L 3 .

"Geometria de Superfícies no espaço tridimensional de Lorentz Minkowski - L3" Clear[u,v,f1,f2,f3,Fu,Fv,Fuu,Fvv,Fuv,NF,NX,Xu,Xv,Xuu,Xuv,Xvv,NT,E1,F1,G1,L1,M1,N1,PFF, SFF,Q,KG,KM,KN,KP1,KP2,LC,LA] f1[u,v] ; f2[u,v] ; f3[u,v] ; "Superfície Paramétrica X[u,v]" X {f1[u,v],f2[u,v],f3[u,v]} "Derivadas de ordem superior" "Xu " Xu {D[f1[u,v],u],D[f2[u,v],u],D[f3[u,v],u]} "Xv " Xv {D[f1[u,v],v],D[f2[u,v],v],D[f3[u,v],v]} "Xuu "

110 Xuu {D[Xu[[1]],u],D[Xu[[2]],u],D[Xu[[3]],u]} "Xuv " Xuv {D[Xu[[1]],v],D[Xu[[2]],v],D[Xu[[3]],v]} "Xvv " Xvv {D[Xv[[1]],v],D[Xv[[2]],v],D[Xv[[3]],v]} "Produto vetorial em L3 entre u {u1,u2,u3} e v {v1,v2,v3}" Clear[CrossMinko,DotMinko,NormaMinko,vetor1,vetor2] CrossMinko[vetor1_,vetor2_]: Simplify[{vetor1[[3]]*vetor2[[2]]-vetor1[[2]]*vetor2[[3]], vetor1[[3]]*vetor2[[1]]-vetor1[[1]]*vetor2[[3]],vetor1[[1]]* vetor2[[2]]-vetor1[[2]]*vetor2[[1]]}] "Produto escalar de vetor1 e vetor2 em L3" DotMinko[vetor1_,vetor2_]: Simplify[-(vetor1[[1]]*vetor2[[1]]) vetor1[[2]]*vetor2[[2]] vetor1[[3]]*vetor2[[3]]] "Norma em L3" NormaMinko[vetor1_,vetor2_]: Simplify[Sqrt[Abs[-(vetor1[[1]]*vetor2[[1]]) vetor1[[2]]*vetor2[[ vetor1[[3]]*vetor2[[3]]]]] "Vetor normal da superfície X(u,v) no espaço L3" "Xu " Xu "Xv " Xv " produto vetorial em L3 para Xu e Xv" norma Simplify[CrossMinko[Xu,Xv]] "Norma em L3" norma Simplify[NormaMinko[norma,norma]] "Vetor normal da Superfície X[u,v]" "NX" NX Simplify[CrossMinko[Xu,Xv]/norma] "Verificação se o vetor normal é do tipo tempo" "NT" NT Simplify[DotMinko[NX,NX]] "Coeficientes da primeira forma fundamental" "Xu " Xu "Xv " Xv "E"

111 E1 DotMinko[Xu,Xu] "F " F1 DotMinko[Xu,Xv] "G " G1 DotMinko[Xv,Xv] "Coeficientes da segunda forma fundamental" "e " L1 DotMinko[Xuu,NX] "f " M1 DotMinko[Xuv,NX] "g " N1 DotMinko[Xvv,NX] "Determinação da I Forma Fundamental" "PFF" Simplify[PFF a^2*E1 2*a*b*F1 b^2*G1] "Determinação da II Forma Fundamental" "SFF" Simplify[SFF a^2*L1 2*a*b*M1 b^2*N1] "Verificação do sinal da forma quadrática Q EG-F^2" "Q " Simplify[E1*G1-F1^2] Cálculo das curvatura " "Curvatura Gaussiana " "KG " Simplify[KG

(M1^2 - L1*N1)/((E1*G1 - F1^2)]

"Curvatura Média " "KM " Simplify[KM

-1/2*((((L1*G1 - 2*M1*F1

"Curvatura Normal" "KN " Simplify[SFF/PFF] "Curvaturas Principais" "KP1 " Simplify[KP1

KM

Sqrt(KM^2

KG)]

KM - Sqrt(KM^2

KG)]

"KP1 " Simplify[KP1

E1*N1)/( E1*G1 - F1^2))]

112 "Equação diferencial das linhas de curvatura" "LC " Simplify[(M1*E1-L1*F1)*(u’)^2 (N1*E1-L1*G1)*u’*v’ (N1*F1-M1*G1)*(v’)^2

0]

"Equação diferencial das linhas assintóticas" "LA " Simplify[-L1*(u’)^2-2*M1*u’*v’-N1*(v’)^2

0]

"Traço da superfície" ParametricPlot3D[X,{u,-Pi,Pi},{v,-Pi,Pi},Boxed- alse,Axes- False,ViewPoint- {0.862,

-6.827,

0.352}, AspectRatio- 1]

Convém ressaltar que o programa acima foi feito para ser utilizado com a pseudo-métrica

u1, u2, u3 , v1, v2, v3

u1, u2, u3 , v1, v2, v3

u1v1

u2v2

u1v1

u2v2

u3v3.

Para

o

uso

de

u 3 v 3 , como o feito em algumas superfícies aqui citadas,

torna-se necessário efetuar pequenas modificações em algumas linhas do programa.

8.2 Deformação isométrica do helicóide em catenóide em L 3 .

Deformação isométrica do helicóide em catenóide L3 - "heltocat" heltocat[t_][u_,v_]: Sinh[ t]{-v,-Cosh[u]*Cos[v],-Cosh[u]*Sin[v]} Cosh[t]{u,-Sinh[ u]*Sin[v], -Sinh[u]*Cos[v]} ParametricPlot3D[heltocat[0][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},Boxed- False,Axes- False, AspectRatio- 1,ViewPoint- {0.880,0.000, -2.060}] ParametricPlot3D[heltocat[Pi/40][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi}, Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1,ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}] ParametricPlot3D[heltocat[Pi/20][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi}, Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1, ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}] ParametricPlot3D[heltocat[Pi/10][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi}, Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1, ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}] ParametricPlot3D[heltocat[Pi/5][u, v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},Boxed- False,AxesFalse,AspectRatio- 1,ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}]

113 ParametricPlot3D[heltocat[3Pi/10][ u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi}, Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1,ViewPoint{ 0.880, 0.000, -2.060}] ParametricPlot3D[heltocat[2Pi/5][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi}, Boxed- False,Axes- False,AspectRatio- 1, ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}] ParametricPlot3D[heltocat[Pi][u,v],{u,-Pi/2,Pi/2},{v,-2Pi,2Pi},BoxedFalse,Axes- False,AspectRatio- 1,ViewPoint- {0.880, 0.000, -2.060}]

A programação acima refere-se ao catenóide e helicóide de primeiro tipo. Para os outros tipos, torna-se necessário mudar a parametrização das superfícies.

114

CONCLUSÃO

Ao finalizar o presente trabalho, verificou-se que vários resultados foram obtidos no estudo comparativo das superfícies mínimas em

3

e máximas tipo espaço em L 3

Concluiu-se que os vários tipos de superfícies que surgem no pseudo-espaço de Lorentz-Minkowski são decorrência das aplicações de Weierstrass durante o processo de parametrização, sendo que nem todas as superfícies obtidas são tipo espaço. Porém, o uso da pseudo-métrica relação a

u1, u2, u3 , v1, v2, v3

u1, u2, u3 , v1, v2, v3

1

1

u1v1

u1v1 u2v2

u2v2

u 3 v 3 que modifica os cálculos em

u 3 v 3 , não altera os resultados obtidos para

as superfícies estudadas. Uma outra verificação importante é a manutenção da deformação isométrica entre o catenóide e o helicóide em L 3 para cada tipo de superfície destas famílias. Durante o desenvolvimento deste estudo foram definidos vários conceitos de geometria diferencial e demonstrados alguns teoremas importantes para a sua compreensão, ressaltando as diferenças entre as duas métricas e concluindo que a primeira forma fundamental, pode ser determinada da mesma forma para ambas. Posteriormente, o desenvolvimento da aplicação normal de Gauss nos deu subsídios para se determinar a segunda forma fundamental e as curvaturas média, Gaussiana, normal e principais. A grande diferença que se percebe é a troca de sinal da curvatura Gaussiana, sempre negativa nas superfícies mínimas em

3

e sempre positiva

nas superfícies máximas em L 3 , sendo esta a razão da denominação "superfície máxima". Com o uso do teorema de Olinde Rodrigues pôde se chegar à equação diferencial das linhas de curvatura, que assim como as linhas assintóticas não apresentaram modificação na forma de serem determinadas. Comparações entre os resultados obtidos para a geometria de cada família de superfícies foram realizadas ao final de cada estudo para facilitar a compreensão das diferenças decorrentes da mudança na métrica. Analisando os resultados obtidos para a geometria das diferentes superfícies de cada família em L 3 verifica-se muito mais que uma simples mudança de sinal ou funções trigonométricas, uma mudança completa na geometria das superfícies. Dentre os resultados que podem ser verificados nas figuras correspondentes a cada superfície destacam-se: O catenóide em

3

não possui singularidade, ao contrário do catenóide de primeiro tipo

3

em L . O helicóide em

3

é construído em um cilindro circular reto ao redor do eixo

longitudinal do cilindro, enquanto o helicóide de primeiro tipo em L 3 é construído entre dois cilindros circulares retos de diâmetros diferentes.

115 Os helicóides de segundo e terceiro tipos em L 3 possuem sombras semelhantes às sombras dos catenóides em

3

e de primeiro tipo em L 3 .

Finalmente pôde-se avaliar e constatar a eficiência do software Mathematica para o auxílio dos cálculos. O software mostrou-se também muito eficiente no traçado das superfícies, tanto em

3

quanto em L 3 , apesar de alguns recursos não disponíveis que podem ser supridos com

a integração do software JavaView. Acredita-se com isso que esta pesquisa venha a enriquecer o campo da geometria diferencial, ao mesmo tempo que desperta o interesse pelo estudo comparativo de outros tipos de superfícies para as duas métricas aqui trabalhadas, bem como da utilização de softwares que auxiliem no estudo da geometria das superfícies em

3

e em L 3 .

116

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