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1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS. (Libro, tema 5)  

1.1.

ÚTILES Y MATERIALES DE DIBUJO TÉCNICO:

A) FORMATOS NORMALIZADOS DE PAPEL: En  el  dibujo  técnico  el  tamaño  del  papel  está  establecido  por  una  norma  internacional.  A  partir  de  un  rectángulo de papel de 1m2 de superficie (llamado formato A0), se obtienen el resto de tamaños, dividiendo  el papel por la mitad. Así pues, un A4 es la mitad de un A3, por ejemplo.    Rectángulo  A0  FORMATOS   dividido  en  el    A2 841 x 1189 A0 resto de formatos.    594 x 841 A1   A1 420 x 594 A2  

A4

 

 

A6

 

A6

A3 A5

A3

297 x 420

A4

210 x 297

A5

148 x 210

105 x 148 A6     B) LÁPIZ DE GRAFITO: Está formado por una “mina” o barra de mineral de grafito mezclado con arcilla, que va 

protegida por una cubierta de madera. Dependiendo del porcentaje de grafito o arcilla, tendremos una mina   “blanda” (grasa, de trazo oscuro)  o “dura” (seca, de trazo gris).             El lápiz de grafito va numerado para indicar su grado de dureza. La numeración escolar americana, de origen  francés, es sencilla pero limitada (0, 1, 2, 2´5, 3, 4). La europea, de origen inglés (que es la que nos interesa),  tiene 20 números que van del gris claro al negro. Se utiliza la letra " H" (“hard”, duro en inglés) para señalar  los lápices duros y la " B" (“black”, negro en inglés) para lápices blandos. Hay también un lápiz marcado como  " F" (“firm”, firme, fuerte).             Además  de  estas  dos  numeraciones,  algunos  lápices  llevan  en  su  extremo  un  código  de  color  para  reconocerlo con facilidad (rojo, azul, negro, verde, etc.). Ejemplo, el lápiz HB:                  

  El portaminas normalizado es un instrumento muy útil para trazar líneas con un grosor definido: 0´3, 0´5, 0´7, etc. generalmente finas. El lapicero de barra es un portaminas que se utiliza de forma parecida al lápiz tradicional, ya que tiene minas del mismo grosor: 2 mm.    

C) LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN: Son dos instrumentos de dibujo con forma de triángulo rectángulo.    - LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: Tienen un ángulo recto y dos agudos. Los lados que forman 90º se llaman “catetos” (cateto significa perpendicular) y el lado restante (lado mayor) se llama “hipotenusa”. La hipotenusa es, por tanto, el lado opuesto al ángulo de 90º.

             

90º 

45º                                        45º 

90º 

30º                                          60º 

ESCUADRA:  Triángulo  rectángulo    ISÓSCELES, con dos lados iguales y  uno desigual.   

CARTABÓN:  Triángulo  rectángulo  ESCALENO, que tiene los tres lados  desiguales.  

Como  los  ángulos  agudos  son  iguales,  su  medida  es  de  45º,  de  modo que:  

En  este  caso,  los  ángulos  agudos  son  respectivamente  de  30º  y  60º,  de modo que:  

RECUERDA:                    30º +60º + 90º = 180º Los ángulos interiores de            45º + 45º + 90º = 180º un triángulo suman 180º        - TRAZADO DE PARALELAS: Utilizamos las hipotenusas de la escuadra y del cartabón (señaladas en rojo) como se indica en los dibujos, para aprovechar su mayor longitud. 1. Vamos a trazar rectas 2. Después acercamos la 3. Trazamos las paralelas a la 4. El cartabón puede ser paralelas a la recta “m”. hipotenusa del cartabón para recta m desplazando la escuadra sustituido por una regla: Acercamos la hipotenusa de apoyarla en la escuadra. sobre el cartabón. la escuadra hacia la recta. m m m

Observa: Cuando desplazamos la escuadra, sujetamos el cartabón. Cuando trazamos las líneas, sujetamos la escuadra.  

- TRAZADO DE PERPENDICULARES: Se gira la escuadra 90º haciendo “bisagra” con el vértice del ángulo recto. 1. Partiendo del trazado de paralelas, 2. Sujetando bien el cartabón, giramos 3. Trazamos las perpendiculares a la hacemos el giro de 90º a la escuadra, la escuadra: la hipotenusa estará recta m desplazando la escuadra sobre apoyándonos en su vértice “O”. el cartabón. perpendicular. m m

m

O O  

‐  DIBUJAR UN CUADRADO: Haciendo paralelas y perpendiculares podemos dibujar con facilidad rectángulos. Pero para hacer cuadrados es necesario trazar antes una diagonal del mismo, que se obtiene con un cateto de la escuadra: 1.  Por  el  método  ya  conocido,  dibujamos  dos  rectas  perpendiculares,  2. Desplazando un poco la escuadra, pasamos un cateto por el vértice: obteniendo un vértice del cuadrado:                                    

3. Usamos el cateto para dibujar 4. Trazamos desde cualquier punto de la diagonal un par de rectas paralelas a las dos la diagonal del cuadrado: primeras, cerrando así la figura:

RESULTADO  

- ÁNGULOS: Mostramos algunos ejemplos de ángulos, partiendo de una recta horizontal. 1. Ajustamos la escuadra a la línea y el cartabón a la escuadra:

2. Desplazamos la escuadra un poco:

3. Si situamos el cartabón sobre la escuadra, obtenemos 4 ángulos: 60º, 120º, 30º y 150º 120º

 

150º

ACTIVIDAD DE PARALELAS Y PERPENDICULARES: - LÍNEAS A ROTULADOR NEGRO. RECTÁNGULOS COLOREADOS A LÁPICES DE MADERA. - EMPLEAR SÓLO 3 COLORES (EN CLARO Y EN OSCURO) DE FORMA HOMOGÉNEA. - SE PUEDEN DEJAR HUECOS EN BLANCO O EN NEGRO. - UTILIZAR GRADACIONES EN RECTÁNGULOS INCOMPLETOS DEL ALREDEDOR.

Ejemplos de trabajos de alumnos:

1. DIBUJO TÉCNICO: TRAZADOS GEOMÉTRICOS. (Libro, tema 5)  

1.2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO: EL PUNTO Y LA LÍNEA. 1.2.1. EL PUNTO Y SU REPRESENTACIÓN. Podemos definir el PUNTO como la señal más pequeña que se puede dibujar sobre le plano. Es, por tanto, la unidad mínima de comunicación visual (o bien la unidad mínima de representación). El punto es conceptualmente tan pequeño, que su forma es irrelevante. En la medida en que lo reconocemos como triángulo, cuadrado, círculo o simple mancha irregular, deja de ser punto para convertirse en una forma. Geométricamente, el punto no tiene medida, y queda definido como el lugar donde se cortan dos líneas. Se puede representar de varias formas, unas más recomendables que otras, y va acompañado de una letra mayúscula (A, B, C, D, etc.) para localizarlo mejor. Algunos ejemplos: SE RECOMIENDAN:

NO SE RECOMIENDAN (dan lugar a imprecisiones):

A

B

C

A

D

E

F

C

B

D

1.2.2. LA LÍNEA Y SU REPRESENTACIÓN. Podemos definir la LÍNEA como una sucesión de puntos sobre el plano. -

Cuando esta sucesión de puntos se produce en una sola dirección, nos encontramos con la LÍNEA RECTA. Cuando la dirección varía paulatinamente (poco a poco), nos encontramos con la LÍNEA CURVA.

Para distinguirla del punto, la línea se acompaña con una letra minúscula (a, b, c, d, etc.). LA RECTA

LA CURVA m

a

1.2.2. TIPOS DE LÍNEAS. Podemos clasificar las líneas en dos grandes grupos: - Las simples: RECTA y CURVA. - Las compuestas: formadas por segmentos de rectas y/o de circunferencias. A) La línea RECTA Longitud de la recta: Línea recta

Semirrecta (Media recta)

r

∞

∞

Es infinitamente larga (símbolo y por tanto, no se puede medir.

∞ ),

A

m

Segmento de recta

∞ 

Es una recta limitada por un punto. También es infinitamente larga. La definimos como la recta que parte de un punto y se extiende hacia el infinito.

A

B

Es una recta limitada por 2 puntos. Por tanto, tiene medida. La definimos como la parte de la recta comprendida entre dos puntos. Se puede nombrar así: AB

Situación de la recta sobre el plano: VERTICAL

HORIZONTAL

INCLINADA

m n

t

Posición entre dos RECTAS del plano: PARALELAS

SECANTES

Dos rectas contenidas en un plano Dos rectas son secantes cuando se CORTAN, es decir, tienen un punto en son paralelas cuando por más que común, aunque esto suceda fuera del papel. se prolonguen, no se cortan (no tienen un punto en común). OBLICUAS PERPENDICULARES

∞

m 

∞ 

∞

n 

∞  d

d d

Las parejas de puntos más próximos de dos rectas paralelas guardan siempre la misma distancia (d).

Dividen el plano en cuatro ángulos iguales llamados ángulos rectos (90º). r 90º 90º

P 

90º

Dividen el plano en cuatro ángulos iguales dos a dos. Dos agudos (<90º) y dos obtusos (>90º). P 

t

90º

m

n

Como la circunferencia está dividida en Las rectas concurrentes que se 360 partes iguales llamadas “grados”, cortan fuera del papel son también cada ángulo recto medirá 90º (360º oblicuas: dividido entre 4). Símbolos: a  Perpendicular 

r

b 

t 

B) La línea CURVA: Cerrada: Circunferencia

Elipse

Todos sus puntos están a la misma Curva cónica especial. Todos sus puntos distancia (d) del Centro (O). tienen la misma suma de distancias (d) a los Focos (F1 y F2) F1

O    d

F2 a            b 

a+b= d

Abierta: Arco: Segmento de circunferencia A      O                       B 

Semicircunferencia

Parábola

Arco de 180º (Media circunferencia)

Curva cónica especial (utilizada, por ejemplo, para diseñar las antenas parabólicas).

A               O                    B

F 

Posiciones entre DOS CIRCUNFERENCIAS: Exteriores

Secantes

Distanciadas entre sí.

Tangentes exteriores

Se cortan: Tienen 2 puntos en común.

Tienen un solo punto en común.

A O1

O2 

O1

O2 

O1

T 

O2 

B T: “Punto de tangencia”

Tangentes interiores Tienen un solo punto en común.

T 

O2

O1

T: “Punto de tangencia” 

Interiores Concéntricas Tienen el mismo centro.

O2 O1

Interiores Excéntricas Tienen distinto centro.

O2 O1

Posiciones entre RECTA y CIRCUNFERENCIA: Exteriores

Secantes

Distanciadas entre sí.

Tangentes

Se cortan: Tienen 2 puntos en común. s 

e 

Tienen un solo punto en común. t 

A

O1

O1

O1

T

B T: “Punto de tangencia”

B) Las líneas COMPUESTAS: En este grupo englobamos diferentes tipos de líneas más o menos complejas, que están formados por varios segmentos consecutivos de recta, o bien de circunferencia, o de ambos elementos (recta y circunferencia). - Segmentos de recta: Línea poligonal abierta Llamamos ángulo a la parte del plano determinada por dos semirrectas que parten de un punto en común.

La línea poligonal abierta está constituida por segmentos de recta consecutivos (no alineados) que forman ángulos entre sí. Ejemplos:

∞ V

∞

Línea poligonal cerrada

Línea “quebrada”

Aquella en la que están unidos el primer y último segmento:

Polígono: figura plana limitada por tres o más segmentos consecutivos (no alineados) llamados lados.

- Segmentos de circunferencia: Ejemplos de enlaces entre fragmentos de varias circunferencias. Abiertas: Enlaces de semicircunferencias.

Cerradas: Curvas “técnicas”. Formadas por 4 arcos de circunferencia:

Línea “ondulada”

A Línea “espiral” de dos centros, A y B.

B

ÓVALO: Sustituye a la elipse ya que se puede trazar con compás. OVOIDE: forma de “huevo”.

La segunda espiral la trazamos interior a la primera, a 10 mm. del punto A.

A

B

Con el A4 en posición horizontal y un eje que lo divide por la mitad, situamos los centros A y B a 20 mm. de distancia para trazar la primera espiral hasta llegar a los límites del papel.

Una vez dibujada la espiral con el compás, se decora con dibujos artísticos como: trenzados de cuerdas, ramas con hojas, animales (serpiente, insectos), cuentas de collar, etc... que van coloreados con lápices.

1.3. LA CIRCUNFERENCIA:

B

A

- LA CIRCUNFERENCIA es una línea curva cerrada y plana, formada por puntos que están a la misma distancia de otro punto fijo, llamado centro (O).

r

- Esta distancia se denomina radio (r).

Cualquier punto, A, B o C, de la circunferencia está situado a la misma distancia “r” del centro O.

r O

r C

- EL CÍRCULO es la superficie plana contenida dentro de la circunferencia.

- ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA: r (radio): es un segmento de recta que une el centro (O) con un punto cualquiera de la circunferencia.

a A

c

c (cuerda): es el segmento (AB) que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

C

d (diámetro): es una cuerda (CD) que pasa por el centro de la circunferencia, y por tanto, el mayor segmento inscrito en ella. Su longitud es doble del radio (d = 2r). a (arco): es un segmento de circunferencia, es decir, la parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos (AB).

B

d

O

D

s (semicircunferencia): es un segmento de circunferencia comprendido entre los puntos extremos de un diámetro (CD). Es por tanto, un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia.

s

- EJERCICIOS: 1. Trazar una circunferencia de la que conocemos el radio (25 mm.) y dos puntos de la misma A y B: r A Los datos son el radio y dos puntos A y B situados en el plano.

A

Para resolverlo, imaginamos el trazado resuelto y analizamos la relación entre los elementos:

B

Como puede apreciarse, el centro O, que no conocemos, estará a 25 mm (el radio) de los puntos A y B.

r O

r

B

Por tanto, trazamos con el compás desde A y B dos arcos de 25 mm que se cortan en el punto O, centro de la circunferencia que buscamos. Desde O, con radio r hacemos la circunferencia. El ejercicio puede tener una segunda solución si obtenemos O a la derecha de los puntos A y B.

1

r

2

r A

r

A B O

B r

r

2. Dividir una circunferencia de 30 mm de radio en seis partes iguales. La solución a este ejercicio es bien sencilla, ya que una propiedad matemática de la circunferencia es que su radio la divide en 6 partes iguales. Bastará por tanto, con tomar un punto cualquiera “A” de la misma y trasladar el radio seis veces sobre ella: B, C…

1

r

2

r

A

A F

B

B

O

O

r

r E

C D

APLICACIONES DE ESTE TRAZADO: Formas poligonales.

DISEÑOS DECORATIVOS: Si al dividir en 6 partes iguales, trazamos una circunferencia por cada uno de los puntos, obtenemos el dibujo de una flor geométrica:

ESTRELLA ENTRELAZADA: Partiendo de la estrella de 6 puntas, unimos los vértices opuestos mediante segmentos (- - - - -), obteniendo así los vértices (A, B, C, D, E, F) de otra estrella interior más pequeña. Si borramos algunas líneas, podremos observar la figura geométrica entrelazada.

A B F C E D

Ejemplos:

1.4. LOS ÁNGULOS: DEFINICIÓN: Llamamos ángulo a la región del plano comprendida entre dos semirrectas (llamadas lados) que parten de un punto en común (llamado vértice).

∞

l

V

V: vértice, origen de los lados.

Ángulo l

l:

lado.

∞: símbolo del infinito.

∞

“NOTACIÓN”: Los ángulos se pueden nombrar de diversas formas: Por su vértice, por tres puntos, o por letras griegas. Ejemplos: Por su vértice: Se dibuja

A

Por tres puntos:

Se escribe

Â, Ô, etc…

Se dibuja

Letras griegas:

Se escribe

Se dibuja

Se escribe

B

O

α

AOB

α

A No se utilizará todo el alfabeto griego, sino algunas letras: α, β, γ, δ, ε, λ, π, φ, ω…

SISTEMA DE MEDIDA: Los ángulos se miden según el escala sexagesimal, que divide la circunferencia en 360 partes iguales llamadas “grados”. Un grado se divide a su vez en 60 minutos y un minuto en 60 segundos: 1 revolución: 360º (grados) 1º: 60’ (minutos) 1’: 60’’ (segundos) TIPOS DE ÁNGULOS: AGUDO

RECTO

OBTUSO

β

α

LLANO

π

< 90º

90º

COMPLEMENTARIOS

SUPLEMENTARIOS

ω

>90º

180º

Ángulos de dos rectas que se cortan: La pareja de ángulos obtusos

α

α β Suman 90º α + β = 90º

α

ω

Suman 180º α + ω = 180º

ε

α π

ω

y ω, son iguales y se llaman opuestos por el vértice. La pareja de ángulos agudos ε y π, también son iguales y se llaman opuestos por el vértice.

EJERCICIOS DE ÁNGULOS. Averiguar el valor del ángulo desconocido: 1

2

3

4

β

57º

β

α Solución: Los dos ángulos son complementarios, (suman 90º). Por tanto, α = 90º - 57º α = 33º

ω

112º 25º

Solución: Los dos ángulos son suplementarios, (suman 180º). Luego β = 180º - 112º β = 68º

ω ω

α

Solución: ω y 25º son iguales y opuestos, luego ω = 25º.

ω

3ω

Solución: Los seis ángulos ω (ω+ω+ω+3ω) suman 180º, por lo que su medida sería:

Como β y ω suman 180º (suplementarios), β = 155º. ω = 180º : 6 = 30º Como α y β son opuestos e 3ω = 90º iguales, α = 155º.

TRAZADOS DE ÁNGULOS CON COMPÁS: 1. Hallar la semirrecta bisectriz a un ángulo: La bisectriz es una semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales (dos ángulos iguales) desde su vértice:

α:2

V

b

α:2

MÉTODOS: A. Desde el vértice trazamos un arco que determina en los

B. Desde el vértice V trazamos 2 arcos de radio cualquiera

lados del ángulo los puntos A y B. Tomando desde ellos otra medida cualquiera (dos arcos que se corten), obtenemos el punto C de la bisectriz:

que determinan en los lados los pares de puntos A y B, C y D. Si unimos dichos puntos mediante dos segmentos que se corten, obtenemos el punto E de la bisectriz.

C A

A

A

V

E

V

C

V B

B

B D

2. Trazar ángulos de 30º, 60º y 90º con el compás: La circunferencia se divide en seis partes iguales (ángulos de 60º) con su radio. De esta propiedad se obtiene el método para dibujar los ángulos de 30º, 60º y 90º. Partimos de una semirrecta de vértice O: D B

60º

C

B

O

B

C

60º O

30º

O A

Desde O con un radio cualquiera se obtiene A y con el mismo radio, desde A obtenemos B.

A Repetimos el trazado del ángulo de 60º, pero añadimos un tercer arco desde B, obteniendo C.

O

A

En este trazado, desde O, vamos obteniendo puntos A, B, C y D con el mismo radio.

TRAZADOS GEOMÉTRICOS:

1. Trazar la recta mediatriz: - Observando su forma, podemos definir la mediatriz “m” como la línea recta perpendicular a un segmento que lo divide en dos partes iguales. Dicha recta pasa por su punto medio (M).

2. Trazar una recta perpendicular a otra desde un punto “C” de la misma:  Los datos de partida en este ejercicio son una recta “r” y un punto “C” situado sobre ella. Ni la recta tiene una medida concreta (es infinita), ni el punto está situado en un lugar específico:

O

3. Trazar una recta perpendicular por el extremo “O” de una semirrecta:

 El dato de partida en este ejercicio es una semirrecta limitada por el punto “O”. Este ejercicio tiene varias soluciones. Vamos a optar por resolverla mediante ángulos de 60º (división de la circunferencia en 6 partes iguales mediante el radio).

Recordemos:

Pasos a seguir: B

60º O

O

O

A

1. Desde O con un radio cualquiera se obtiene A

A

2. Desde A, con el mismo radio, trazamos del ángulo de 60º, obteniendo B.

D

D B

C

O

B

C

O

A

A

4. Desde C, con el mismo radio, obtenemos D..

3. Desde B, con el mismo radio, trazamos otro ángulo de 60º, obteniendo C.

B

C

O

A

5. Unimos O y D.

4. Trazar una recta paralela a otra a una distancia cualquiera:  El dato de partida en este ejercicio es una recta “m” a la que queremos trazar una recta paralela sin

importar la distancia a la que se encuentre. Para resolverlo, situamos un punto “P” sobre ella y trazamos una semicircunferencia y dos arcos de 60º (división de la circunferencia en 6 partes iguales como en el ejercicio anterior).

P

m

1. Trazar una circunferencia de 25 mm. de radio que pase por los puntos A y B.

A

2. Dividir una circunferencia de 30 mm. de radio en 6 partes iguales:

B

3. Trazar la recta mediatriz “m” al segmento AB

4. Trazar una recta perpendicular a la recta “r” por un punto “P” de la misma.

A

B

r

P

5. Trazar una recta perpendicular “p” por el extremo “A” de

6. Trazar una recta paralela “p” a la recta “m”, a una distancia

una semirrecta “m” dada.

cualquiera.

A

m m

1. Trazar una circunferencia de 25 mm. de radio que pase por los puntos A y B.

2. Dividir una circunferencia de 30 mm. de radio en 6 partes iguales: r

A

r A

B F

B O

O r r

E

C D

3. Trazar la recta mediatriz “m” al segmento AB

4. Trazar una recta perpendicular “m” a la recta “r” por un punto “P” de la misma.

C

C

A

B r

P A

B

D m

m

5. Trazar una recta perpendicular “p” por el extremo “A” de

6. Trazar una recta paralela “p” a la recta “m”, a una distancia

una semirrecta “m” dada.

cualquiera.

p B

A

C

D

p

m A

O

m

B