Geometri Kel 6 Bab 7-1.docx

Tugas Kelompok

PENERAPAN SEGITIGA KONGRUEN

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Perkuliahan Geometri

Oleh: Kelompok 6 1.

Benti Yulius

(15205003)

2.

Steffani Komala Sari

(15205053)

3.

Ceria

(15205063)

4.

Siti Zulaika

(15205079)

Dosen Pembimbing: Bapak Dr. Yerizon, M.Si.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2016 M

KATA PENGHANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh. Ucapan puji serta wujud kesyukuran kehadirat Allah SWT berkat limpahan rahmat, taufik serta hidayah-Nya kepada penulis, sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.Maksud dan tujuan penyusunan makalah “Penerapan Segitiga Kongruen” ini untuk memenuhi tugas perkuliahan Geometri. Pada kesempatan ini dengan segala kerendahan hati, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada : 1. Bapak Dr. Yerizon, M.Si selaku dosen pembimbing pada perkuliahan Geometri telah membantu, memberi ilmu, membimbing dan mengarahkan dalam penyusunan makalah ini. 2. Semua pihak yang telah berpartisipasi, membantu dan mengarahkan dalam penyusunan makalah ini. Penulis menyadari bahwa penyusunan makalah ini masih jauh dari kata sempurna.Demi kesempurnaan penyusunan makalah ini penulis mengharapkan kritik serta saran yang bersifat constructive dari pembaca.Akhirnya harapan penulis semoga makalah ini dapat memberikan informasi yang berguna khususnya pada pembahasan Geometri dan memberikan manfaat dalam pengembangan khazamah keilmuan.

Padang, Maret 2016

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman KATA PENGANTAR .............................................................................................. DAFTAR ISI.............................................................................................................. BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ A. Latar Belakang ....................................................................................... B. Rumusan Masalah ................................................................................... C. Tujuan ..................................................................................................... BAB II PEMBAHASAN ........................................................................................... A. Menggunakan Segitiga Kongruen untuk Membuktikan Sisi-sisi dan Sudut-sudut Kongruen ...................................................................... B. Menggunakan Segitiga Kongruen untuk Membuktikan Sifat Khusus dari Garis .................................................................................... C. Klasifikasi dan Bagian Khusus Segitiga.................................................. a) Menggambar Garis (Bagian) Tambahan ........................................... b) Tinggi dan Garis Tengah .................................................................. D. Segitiga Sama Kaki ................................................................................. a) Membuktikan Sebuah Segitiga Sama Kaki ....................................... E. Pembuktian Kongruensi Ganda ............................................................... BAB III PENUTUP .................................................................................................. Kesimpulan.............................................................................................. DAFTAR PUSTAKA

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Geometri (dari bahasa Yunani yaitu geo = bumi, metria = pengukuran) secara harafiah berarti pengukuran tentang bumi, geometri adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Membandingkan dua benda secara geometris dapat dilihat dari dua aspek, yaitu bentuk dan ukurannya. Satu benda yang memiliki bentuk yang sama tapi dengan ukuran yang berbeda banyak dijumpai atau digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya miniatur bangunan dan bangunan sebenarnya, peta suatu daerah dengan daerah sesungguhnya dan lain-lain. Dua benda yang memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda disebut sebangun. Adanya kesebangunan antara dua benda akan berguna untuk mengungkapkan informasi yang berkaitan pada benda kedua dengan memanfaatkan informasi pada benda pertama atau sebaliknya. Kesebangunan dan kekongruenan bangun datar khususnya segitiga merupakan bagian dari pembahasan Geometri.Segitiga adalah bangun datar tiga dimensi yang dibuat dari tiga buah sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut.Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segitiga adalah 180 derajat. Mengenai kekongruenan bangun datar khususnya segitiga akan dijelaskan dalam makalah ini, yang berjudul “Penerapan Segitiga Kongruen”.

B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, maka rumusan masalah dalam makalah ini dapat dikemukakan sebagai berikut : 1. Bagaimana menggunakan segitiga yang kongruen untuk dapat membuktikan bahwa sisi dan sudut yang kongruen ? 2. Bagimana dengan menggunakan segitiga yang kongruen untuk dapat membuktikan sifat khusus dari garis ? 3. Apa klasifikasi dan bagian khusus dari segitiga ? 4. Bagaimana pembuktikan segitiga sama kaki ? 5. Apa arti dari kongruensi ganda ? 6. Bagaimana pembuktian dari kongruensi ganda ?

C. Tujuan Adapun tujuan penulisan dalam makalah ini dapat dikemukakan sebagai berikut :

1. Untuk memahami penerapan segitiga yang kongruen untuk membuktikan bahwa sisi dan sudut yang kongruen. 2. Untuk memahami penerapan segitiga yang kongruen untuk membuktikan bahwa terdapat sifat khusus dari garis. 3. Untuk memahami klasifikasi dan bagian-bagian khusus dari segitiga. 4. Untuk memahami proses pembuktian dari segitiga sama kaki. 5. Untuk memahami arti/defenisi dari kongruensi ganda. 6. Untuk memahami proses pembuktian dari kongruensi ganda.

BAB II PEMBAHASAN 1. MenggunakanSegitigaKongruen

untukMembuktikanSisi-sisi

dan

Sudut-sudut

Kongruen. Berdasarkan

informasi

pada

Gambar1,

kesimpulanapa

yangdapat

ditariktentangbagaimana mengukurperbandingan sudutRdanH?

Gambar 1

Secara sepintas, mungkin tampak cukup informasi untuk menarikkesimpulan tentang sudut-sudut tersebut. Namun, dengan Postulat SAS, ∆PLR = ∆GMH. Kita perlu mengingat definisi segitiga kongruen: Jika dua segitiga sama-sama memiliki enam pasang bagian bersesuaianyang kongruen, maka segitiga tersebut adalah kongruen. Dalam hal ini, karena kitatahu bahwa dua segitiga kongruen, kita dapat menggunakan kebalikan dari definisisegitiga kongruen untuk menyimpulkan bahwa semua pasangan sisi yang bersesuaian dan semua pasangansudut yang bersesuaian harus kongruen. Karena sudut R dan H adalah sudut yang bersesuaian maka sudut-sudut tersebut harus kongruen. Alasan ini merupakan metode yang sangat berguna untuk membuktikan sisi atau sudut kongruen, asalkan mereka adalah bagian dari segitiga yang dapat dibuktikan kekongruenannya. Setelah sepasang segitiga terbukti kongruen, maka setiap sepasang bagian yang bersesuaian dapat dinyatakan menjadi kongruen, berdasarkan prinsip bahwa bagian yang bersesuaian dari segitiga kongruen adalah kongruen, disingkat sebagai CPCTC.

Contoh 1 : ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ Diberikan :𝐴𝐵 𝐴𝐷 dan 𝐵𝐶 𝐷𝐶 . Buktikan :∡𝐵 = ∡𝐷

Solusi : Rencana:

SudutBdanDmerupakan

bagian

salingbersesuaian

darisegitigaABCdanADC.Setelahmembuktikansegitiga-segitiga

tersebutsebangun,

kemudian kita menyimpulkan bahwapasangan sudut tersebutadalah kongruen. Diagram berikut menunjukkan bahwasegitigadapat dibuktikankongruendenganPostulatSSS. Bukti: Cara I : 1. 2. 3. 4.

Pernyataan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ 𝐴𝐷 dan 𝐵𝐶 𝐷𝐶 . ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ 𝐴𝐶 △ 𝐴𝐵𝐶 ≅△ 𝐴𝐷𝐶 ∡𝐵 ≅ ∡𝐷

Alasan 1. 2. 3. 4.

Diberikan Sifat Refleksi perkongruenan Postulat SSS CPCTC

Cara II : ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ Berdasarkan gambar, diberikan ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 dan 𝐵𝐶 𝐷𝐶 Akan ditunjukkan ∡𝐵 = ∡𝐷 ̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ dan 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ maka ∠𝐵 bersesuaian dengan ∠𝐷 Karena 𝐴𝐵 Berdasarkan sifat refleksi perkongruenan, berdasarkan gambar, maka ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 Karena ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐷,

̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 𝐷𝐶 dan ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 makaberdasarkan Postulat SSS △

𝐴𝐵𝐶 ≅△ 𝐴𝐷𝐶 Karena △ 𝐴𝐵𝐶 ≅△ 𝐴𝐷𝐶 maka berdasarkan CPCTC ∡𝐵 ≅ ∡𝐷 Contoh 2 : ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ , 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ , 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ Diberikan :𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ Buktikan :𝐴𝐶 𝐷𝐵

Solusi : Rencana: ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝑑𝑎𝑛 ̅̅̅̅ 𝐷𝐶 masing-masing adalah sisisegitigaABCdanDBC.Setelah membuktikansegitiga tersebut kongruent, kitakemudian dapatmenyimpulkanbahwa pasanganyang

diinginkanadalah

kongruen.Gambar

tersebut

menunjukkan bahwametodeSASbisa diterapkan. Bukti : Cara I :

1. 2. 3.

Pernyataan ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ (sisi) 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶 𝐷𝐶 ⊥ 𝐵𝐶 Sudut ABC dan DCB adalah sudut siku-siku

4. 5. 6. 7.

∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐷𝐶𝐵 (sudut) ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ (sisi) 𝐵𝐶 ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐶𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐵 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶

Alasan 1. Diberikan . 2. Diberikan . 3. Garis tegak lurus saling berpotongan pada segitiga siku-siku. 4. Semua sudut siku-siku kongruen. 5. Sifat refleksi perkongruenan. 6. Postulat SAS. 7. CPCTC.

Cara II : ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ (sisi), 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ dan 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ Jika 𝐴𝐵 Akan ditunjukkan ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅ 𝐷𝐵 ̅̅̅̅ maka ∠𝐴𝐵𝐶 adalah siku-siku Karena ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ maka ∠𝐷𝐶𝐵 adalah siku-siku Karena 𝐷𝐶 Karena ∠𝐴𝐵𝐶 dan ∠𝐷𝐶𝐵 adalah siku siku maka ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐷𝐶𝐵 ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ Karena sifat refleksi perkongruenan maka 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐶 ̅̅̅̅ , ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐷𝐶𝐵 dan 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ maka menurut Postulat SAS ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ Karena 𝐴𝐵 ∆𝐷𝐶𝐵 Karena ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐶𝐵 maka menurut CPCTC ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅ 𝐷𝐵

Sama seperti pada gambar danmasalahyang menjadi lebih rumit, maka kita bisa menerapkanempat langkah prosedur sebagai berikut: Membuktikansisidan/atausudutkongruenmenggunakansegitiga kongruen. 1. MENGIDENTIFIKASI. Mengidentifikasipasangansegitigayang mengandungbagianbagian yangperlu dibutikan kongruen. 2. RENCANA.

Merencanakan

bagaimanauntuk

membuktikanpasanganyang

dipilihdarisegitigakongruendengan

terlebih

dahulumenandaidiagramdengan‘diberikan’. menandaisetiappasangtambahanbagianyang

Kemudian mungkinkongruensebagai

akibat

darisudut vertikal, tegak lurus, garis, garis paralel, supplement (komplemen) dari sudut, atausudutbersamaatau sisi. 3. MEMILIH. Pilihmetode kekongruenanuntuk digunakan. 4. MENULIS. Menulis buktinya.

Contoh 3 : ̅̅, ̅̅̅̅̅ ̅̅ dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ≅ ̅̅ ̅̅̅̅ Diberikan :𝑀𝑃 𝑆𝑇 𝑀𝑃 ∥ ̅̅ 𝑆𝑇 𝑃𝐿 ≅ 𝑅𝑇 ̅̅̅̅ ∥ 𝐿𝑀 ̅̅̅̅ Buktikan :𝑅𝑆

Solusi : Untuk

membuktikansepasangsisi

garisparalel,

kitabiasanya

harusmembuktikanbahwayang sesuaisepasang sudutadalah kongruen. ̅̅̅̅adalah untuk menjadisejajar 1. Berdasarkanpada gambar, kita melihat bahwa, jika𝑅𝑆 ̅̅̅̅ , dengan𝐿𝑀

kita

harusmembuktikan

bahwa∡𝑆𝑅𝑇 ≅ ∡𝑀𝐿𝑃.

Ini

berartibahwasegitigayang berisiinisudutharus dibuktikankongruen. Oleh karena itu, kitaharus membuktikan∡𝑆𝑅𝑇 ≅ ∡𝑀𝐿𝑃 2. Tandai gambar berdasarkanyang diberikan pada soal atau “given”. 3. GunakanSASPostulat. 4. Menuliskanbuktinya.

Bukti : Cara I : Pernyataan ̅̅ (sisi) ̅̅̅̅̅ 1. 𝑀𝑃 ≅ ̅̅ 𝑆𝑇 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ∥ 𝑆𝑇 2. 𝑀𝑃 3. ∡𝑀𝑃𝐿 ≅ ∡𝑆𝑇𝑅 (sudut) 4. 5. 6. 7.

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (sisi) 𝑃𝐿 ≅ 𝑅𝑇 ∆𝑅𝑆𝑇 ≅ ∆𝐿𝑀𝑃 ∡𝑆𝑅𝑇 ≅ ∡𝑀𝐿𝑃 ̅̅̅̅ 𝑅𝑆 ∥ ̅̅̅̅ 𝐿𝑀

Alasan 1. Diberikan. 2. Diberikan . 3. Jika dua garis sejajar, maka sudut yang bersesuaian adalah kongruen. 4. Diberikan . 5. Postulat SAS. 6. CPCTC. 7. Jika dua garis memiliki sudut yang bersesuaian kongruen, maka garis tersebut sejajar.

Cara II : ̅̅̅ dan ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ Jika ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑃 ≅ ̅𝑆𝑇 𝑀𝑃 ∥ ̅𝑆𝑇 Akan ditunjukkan ̅̅̅̅ 𝑅𝑆 ∥ ̅̅̅̅ 𝐿𝑀 ̅̅̅̅ maka ∡𝑀𝑃𝐿 ≅ ∡𝑆𝑇𝑅 ̅̅̅̅ ∥ 𝑅𝑇 ̅̅̅̅ dan 𝑀𝑃 ̅̅̅̅̅ ∥ 𝑆𝑇 Karena 𝑃𝐿 ̅̅ , ∡𝑀𝑃𝐿 ≅ ∡𝑆𝑇𝑅 dan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅maka menurut Postulat SAS ∆𝑅𝑆𝑇 ≅ Karena ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑃 ≅ ̅̅ 𝑆𝑇 𝑃𝐿 ≅ 𝑅𝑇 ∆𝐿𝑀𝑃 Karena ∆𝑅𝑆𝑇 ≅ ∆𝐿𝑀𝑃 maka menurut CPCTC ∡𝑆𝑅𝑇 ≅ ∡𝑀𝐿𝑃 Karena ∡𝑀𝑃𝐿 ≅ ∡𝑆𝑇𝑅 dan ∡𝑆𝑅𝑇 ≅ ∡𝑀𝐿𝑃 maka ̅̅̅̅ 𝑅𝑆 ∥ ̅̅̅̅ 𝐿𝑀

2. MenggunakanSegitigaKongruen untukMembuktikanSifat Khusus dari Garis. Pada bagian sebelumnya kita menggambarkan bagaimana segitiga kongruen dapat digunakan untuk membuktikan sepasang garis sejajar.Demikian pula, dengan menunjukkan pertama bahwa pasangan yang tepat dari segmen atau sudut kongruen, garis dapat dibuktikan sudut atau segmen garis-atau sepasang garis dapat terbukti tegak lurus.

Untuk membuktikan bahwa garis membagi dua sudut atau segmen, kita harus menunjukkan bahwa garis membagi sudut atau segmen menjadi dua bagian yang kongruen. Sepasang garis dapat terbukti menjadi tegak lurus dengan menunjukkan salah satu dari berikut :  Garis berpotongan membentuk sudut kanan.  Garis berpotongan membentuk sepasang sudut yang berdekatan kongruen. Misalnya, dari diagram yang menyertainya, kita dapat menyimpulkan bahwa : ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅  ̅̅̅̅ 𝐵𝑋membagi ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 dengan terlebih dahulu membuktikan bahwa𝐴𝑋 𝑋𝐶  ̅̅̅̅ 𝐵𝑋membagi∡𝐴𝐵𝐶dengan terlebih dahulu membuktikan bahwa ∡1 ≅ ∡2 ̅̅̅̅ dengan terlebih dahulu membuktikan bahwa ∡3 ≅ ∡4(yaitu, dengan ̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐶  𝐵𝑋 menunjukkan sepasang sudut yang berdekatan adalah kongruen).

Contoh 4 : Diberikan :∡1 ≅ ∡2, ̅̅̅̅̅ ≅ 𝑇𝑀 ̅̅̅̅̅ 𝑅𝑀 ̅̅̅̅membagi ∡𝑅𝑆𝑇. Buktikan:𝑆𝑀

Solusi : Rencana: Tujuan kami adalah untuk membuktikan ∡𝑅𝑆𝑀 ≅ ∡𝑇𝑆𝑀dengan membuktikan ∆𝑅𝑆𝑀 ≅ ∆𝑇𝑆𝑀. Menandai diagram menunjukkan bahwa SAS Postulat diterapkan.

Bukti :

Pernyataan ̅̅̅̅̅ ≅ 𝑇𝑀 ̅̅̅̅̅. (sisi) 1. 𝑅𝑀

Alasan 1. Diberikan .

2. ∡1 ≅ ∡2. (sudut)

2. Diberikan .

3. ̅̅̅̅ 𝑆𝑀 ≅ ̅̅̅̅ 𝑆𝑀. (sisi)

3. Properti refleksif kongruensi.

4. ∆𝑅𝑆𝑀 ≅ ∆𝑇𝑆𝑀

4. SAS Postulat.

5. ∡𝑅𝑆𝑀 ≅ ∡𝑇𝑆𝑀

5. CPCTC.

̅̅̅̅ membagi ∡𝑅𝑆𝑇 6. 𝑆𝑀

6. Segmen yang membagi sudut menjadi

dua

sudut

kongruen

yang adalah

sudut garis-bagi. (Catatan. Ini adalah membalikkan

definisi

sudut

bisektris).

Contoh 5 : ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ Diberikan :𝐿𝐻 𝐿𝑁 ̅̅̅̅membagi𝐻𝑁 ̅̅̅̅̅ 𝐿𝐵 ̅̅̅̅ ⊥ ̅̅̅̅̅ Buktikan:𝐿𝐵 𝐻𝑁 Solusi : Rencana

:

Tunjukkan

∡𝐿𝐵𝐻 ≅ ∡𝐿𝐵𝑁dengan

membuktikan∆𝐿𝐵𝐻 ≅

∆𝐿𝐵𝑁menggunakan SSS.

Bukti : Pernyataan

Alasan

̅̅̅̅ ≅ 𝐿𝑁 ̅̅̅̅ . (sisi) 1. 𝐿𝐻

1. Diberikan.

2. ̅̅̅̅ 𝐿𝐵 bisects ̅̅̅̅̅ 𝐻𝑁

2. Diberikan.

3. ̅̅̅̅ 𝐵𝐻 ≅ ̅̅̅̅ 𝐵𝑁. (sisi)

3. A bisector divides a segment into two congruent segments.

4. ̅̅̅̅ 𝐿𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐿𝐵. (sisi)

4. Properti refleksif kongruensi.

5. ∆𝐿𝐵𝐻 ≅ ∆𝐿𝐵𝑁

5. SSS Postulat.

6. ∡𝐿𝐵𝐻 ≅ ∡𝐿𝐵𝑁

6. CPCTC.

7. ̅̅̅̅ 𝐿𝐵 ⊥ ̅̅̅̅̅ 𝐻𝑁

7. Jika dua garis berpotongan membentuk sudut yang berdekatan kongruen, maka garis tegak lurus.

RINGKASAN  Untuk membuktikan garis membagi dua bagian (atau sudut) yang menunjukkan bahwa membagi bagian (atau sudut) menjadi dua bagian (atau suduut) yang kongruen.  Untuk membuktikan sebuah garis tegak lurus dengan garis lain adalah dengan memperlihatkan garis-garis bertemu untuk membentuk sudut kanan atau, sederajat, sepasang dari sudut yang berdekatan itu adalah kongruen.

3. Klasifikasi dan Bagian Khusus Segitiga. Selain mengklasifikasi segitiga lancip, siku-siku, atau tumpul dari aturan sudut, kita dapat mengklasifikasikan segitiga sesuai dengan jumlah sisi-sisinya yang kongruen. Lihat gambar 2 : “Sebuah segitiga yang sisi tak sama panjang dan tidak memiliki sisi kongruen.”

“Sebuah segitiga sama kaki memiliki setidaknya dua sisi kongruen.”

“Sebuah segitiga sama sisi memiliki tiga sisi kongruen.”

Perhatikan bahwa sebuah segitiga sama sisi juga sama kaki. Beberapa defenisi lebih lanjut mengenai bagian-bagian dari segitiga sama kaki yang diberikan pada gambar 3: Ujung Sudut / Titik Sudut Kaki

Kaki

Alas / Dasar Sudut alas / dasar Gambar 3 :Kaki adalah sisi kongruen; ujung sudut / titik sudut adalah sudut yang ada di antara kaki; dasar adalah sisi yang ujung sudutnya berlawanan / bertentangan; sudut dasar adalah sudut yang ada di dasar dan terletak berlawanan dengan kaki segitiga. 3.1 Menggambar Garis (Bagian) Tambahan Untuk dapat menyelesaikan bukti, mungkin perlu untuk menarik garis yang lain. Ini dikenal dengan “ekstra” garis kadang-kadang disebut juga sebagai garis bantu. Sebagai contoh, garis tambahan dibutuhkan untuk langkah-langkah membuktikan bahwa ukuran dari sudut segitiga adalah 180  . Ingat bahwa bukti ini mensyaratkan bahwa garis yang ditarik memenuhi dua kondisi : melewati titik sudut segitiga yang diberikan, dan pada saat yang sama yaitu sejajar dengan sisi yang sudutnya berlawanan. Kadang-kadang mungkin perlu untuk menggambar bentuk tambahan. Mengingat satu atau lebih kondisi, apakah selalu mungkin untuk menarik garis bantu yang memenuhi kondisi ini ? Jika demikian, berapa banyak garis yang berbeda dapat ditarik yang memenuhi kondisi tertentu ? Sebuah keistimewaan tertentu dari kondisi geometri dapat membuat keberadaan garis bantu yang diinginkan menjadi determined, underdetermined, atau overdetermined. Garis tambahan dikatakan sebagai :  Determined, jika tepat satu garis dapat ditarik yang memenuhi kondisi tertentu. Sebagai contoh, garis bantu ditarik sehingga membagi sudut tertentu karena setiap sudut memiliki tepat satu garis. Misalnya, pada gambar 7.4 menggambarkan bahwa,

melalui titik yang pada garis, garis (bagian) dapat ditarik sejajar, tegak lurus, atau ke titik tengah bagian.  Underdetermined, jika terlalu sedikit kondisi yang diberikan, sehingga lebih dari satu garis dapat ditarik untuk memenuhi kondisi. Misalnya, pada gambar 7.5 lebih dari satu garis yang dapat ditarik melalui titik B dari segitiga ABC sehingga garis memotong sisi AC. P

l

A

B

P

A

H

B

P

A

M

B

Gambar 4 : Setiap garis-garis (bagian) ini determined, karena berdasarkan kondisi yang diberikan, tepat satu garis yang dapat ditarik.  Overdetermined, jika terlalu banyak kondisi yang diberikan, sehingga tidak selalu mungkin untuk menarik satu garis secara bersamaan memenuhi semua kondisi ini. Misalnya, pada gambar 7.6 kita tidak bisa yakin bahwa garis kita ditarik melalui sudut B dari segitiga ABC … sisi AC. B

A

C

Gambar 5 : Jalur ini underdetermined karena lebih dari satu garis yang dapat ditarik.

B

A

M

H

C

Gambar 6 : Jalur ini overdetermined karena kita tidak dapat yakin bahwa tegak lurus turun dari tik B juga akan berpotongan pada AC atau titik tengahnya. Contoh6 : 1. Untuk gambar terlampir, klasifikasikanlah setiap garis yang akan anda gambar sebagai determined, underdetermined, atau overdetermined. B

A

P

C

a. Menggambar BP. b. Melalui titik B menggambar garis yang membagi AC. c. Melalui titik B menggambar garis yang memotong AC. d. Menarik garis melalui titik A dan sejajar dengan BC. e. Menggambar BP sehingga BP membagi sudut ABC. f. Melalui titik B gambar lah sebuah garis yang tegak lurus terhadap AC. Solusi : a. Determined. b. Determined. c. Underdetermined. d. Determined. e. Overdetermined.

f. Determined.

3.2 Tinggi Dan Garis Tengah Dalam setiap segitian garis tengah dan tinggi dapat digambar dari berbagai titik manapun ke sisi yang berlawanan dari titik itu.  Sebuah garis tengah dari segitiga adalah bagian yang ditarik dari titik sudut segitiga ke titik tengah dari sisi yang berlawanan. C

Tinggi

A

Median

H

M

B

AM = MB  Tinggi segitiga adalah bagian yang ditarik dari titik sudut segitiga secara tegak lurus ke sisi yang berlawanan atau seperti gambar yang terlampir, ke sisi berlawanan yang diperpanjang. C

Tinggi

H

A

B

Contoh7 : 1. Buktikan bahwa median/garis tengah ditarik ke dasar segitiga sama kaki membagi titik sudut. Solusi : a. Menuliskan kembali, jika perlu, pernyataan masalah dalam bentuk “jika … maka”. Sebagai contoh :

BUKTI: Jika median/garis tengah ditarik ke dasar segitiga sama kaki, maka titik sudut membagi. b. Identifikasi hipotesis (yang diberikan), yang berisi “Jika…” c. Mengidentifikasi kesimpulan (yang dibuktikan), yang berisi “Kemudian …” d. Menggambar dan pemberian label diagram yang sesuai. HIPOTESIS/DUGAAN :

AB  AC AM adalah garis tengah sisi BC KESIMPULAN :

AM membagi sudut BAC Gambar : A

12 1

B

M

C

e. Lanjutkan seperti biasa sampai tiba direncana sebelum menulis bukti dua kolom. RENCANA ;

BM  CM Karena garis tengah membagi dua bagian.  AMB   AMC ini disebabkan karena postulat SSS. Sudut 1 dan 2 yaitu sudut yang kongruen disebabkan karena CPCTC. AM membagi sudut BAC (bagian yang dibagi menjadi dua sudut yang kongruen dikenal sebagai garis-bagi sudut). Bukti dua kolom yang tersisa untuk anda.

4. Segitiga Sama Kaki Setelah menggambar beberapa segitiga sama kaki seperti gambar di bawah ini, Anda mungkin menduga bahwa ada hubungan antara besarnya sudut yang terletak di hadapan sisi-sisi yang kongruen.

TEOREMA 1 (TeoremaSudut-sudutDasar ) “Jikaduasisisegitigakongruen, maka sudut yang berhadapan dengan sisi sisitersebut kongruen.”

5. Buktinya mudah setelah garis bantu ditarik. ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐵 ̅̅̅̅ Diberikan:𝐴𝐵 Pembuktian :∡𝐴 ≅ ∡𝐵

RENCANA : Dari pembahasan sebelumnya, Untuk membuktikan sudutA kongruen dengan sudut C dengan membuktikan bahwa sudut-sudut ini adalah sudut-sudut yang berkorespondensi dari segitiga-segitiga kongruen. Untuk membentuk dua segitiga yang dapat dibuktikan kongruen. Kita dapat menggambar garis bagi ∡𝐴𝐵𝐶, yang akan memotong titik misalkan R.Selanjutnyasegitiga-segitiga yang dihasilkan tadi dapat dibuktikan kongruen dengan Postulat SAS. (

CATATAN

:

Hal

inijugamemungkinkanuntukmembuktikanteoremainidenganmenggambargaristinggiataug arisberatkesisiAC.)

x y

Bukti :

Pernyataan ̅̅̅̅ (Side) 1. ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐵

Alasan 1. Diberikan.

2. Gambarkan garis bagi∡𝐴𝐵𝐶, yang

2. Satusudutmemilikitepatsatugarisbagi.

̅̅̅̅ , memotong 𝐴𝐶 misalkantitikR. 3. ∡𝐴𝐵𝑅 ≅ ∡𝐶𝐵𝑅 (Angle)

3. Garis bagi sudut membagi sudut menjadi duas udut kongruen.

̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝑅 ̅̅̅̅ (Side) 4. 𝐵𝑅

4. Propeti kekongruenan refleksi.

5. ∆𝐴𝐵𝑅 ≅ ∆𝐶𝐵𝑅

5. Ponsulat SAS.

6. ∡𝐴 ≅ ∡𝐶

6. CPCTC.

Contoh 8 : Ukuransudutpuncakdarisegitigasama

kaki

adalahtiga

lebihbesardariukuransudutdasar. Cariukuransebuahsudutdasarsegitiga.

Solusi : Berdasarkanteoremajumlahsudutsegitiga 180°maka: 3 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 180° 5𝑥 = 180° 𝑥 = 36° Jadi, ukuransebuah sudut dasarnyaadalah36°.

Contoh 9 : ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ Diberikan :𝑆𝑅 𝑆𝑇

kali

̅̅̅̅, 𝑀𝑄 ̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑆𝑇 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑅𝑆 𝑀𝑃 ̅̅̅̅. M adalahtitiktengahdari𝑅𝑇 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝑄 Buktikan :𝑀𝑃

RENCANA : DenganpenerapanTeorema 1, ∡𝑅 ≅ ∡𝑇. Menandai diagram menunjukkanbahwasegitiga MPR dan MQT dapatdibuktikankongruendenganmenggunakanTeorema AAS. Bukti : Pernyataan ̅̅̅ 1. ̅̅̅̅ 𝑆𝑅 ≅ ̅𝑆𝑇

Alasan 1. Diberikan. 2. Jikaduasisisegitigaadalah kongruen,

2. ∡𝑅 ≅ ∡𝑇

makasudut berhadapan dengansisisisitersebutadalahkongruen.

̅̅ 3. ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑃 ⊥ ̅̅̅̅ 𝑅𝑆, ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑄 ⊥ ̅̅ 𝑆𝑇 4. Angles MPR dan MQT

3. Diberikan. 4. Garistegaklurusberpotonganmembentuk

adalahsudutsiku-siku

sudut-sudutsiku-siku.

5. ∡𝑀𝑃𝑅 ≅ ∡𝑀𝑄𝑇

5. Semuasudutsiku-sikuadalahkongruen.

̅̅̅̅ 6. 𝑀 adalah titik tengah dari 𝑅𝑇

6. Diberikan 7.

7. ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑅𝑀 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝑇𝑀

Sebuahtitiktengahmembagisebuahsegmenga ris.

8. ∆𝑀𝑃𝑅 ≅ ∆𝑀𝑄𝑇

8. Theorema AAS.

9. ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑃 ≅ ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑄

9. CPCTC.

4.1 MembuktikanSebuahSegitigaAdalahSama Kaki. Kebalikandariteoremasudutdasarjugaadalahteorema yang dapatdigunakan.

TEOREMA 2 (Kebalikanteoremasudutdasar) “Jikaduasudutsegitigakongruen, berhadapanadalahkongruen”

makasisi-sisi

yang

Pembuktiansecaraumum : Diberikan :∡𝐴 ≅ ∡𝐶 ̅̅̅̅ Pembuktian : ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐵 RENCANA : Menggambargaris-bagisudut

B,

sisi

AC

di

dihasilkandapatdibuktikankongruen ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐵 ̅̅̅̅oleh AAS.Terlihatbahwa𝐴𝐵

R.Pasangansegitiga

yang

denganmenggunakanTeorema CPCTC.

(Garis

bantu

lainnya,

seperti

garisberatataugaristinggijugadapatditarik) Bukti : Pernyataan

Alasan

1. ∡𝐴 ≅ ∡𝐶 (Angle)

1. Diberikan.

2. Gambarkangaris-

2. Satusudutmemilikitepatsatugarisbagi.

bagi∡𝐴𝐵𝐶, yang ̅̅̅̅ ,misalkanti memotong𝐴𝐶 tikR. 3. ∡𝐴𝐵𝑅 ≅ ∡𝐶𝐵𝑅 (Angle)

3. Garisbagisudutmembagisudutmenjadidu asudutkongruen.

̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝑅 ̅̅̅̅ (Side) 4. 𝐵𝑅

4. Propeti kekongruenan refleksi.

5. ∆𝐴𝐵𝑅 ≅ ∆𝐶𝐵𝑅

5. Ponsulat AAS.

̅̅̅̅ 6. ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐵

6. CPCTC.

Teorema

2

Inisecarakhususbergunadalammembuktikanbahwasebuahsegitigaadalahsama

kaki.

Untukmembuktikanbahwasegitigaadalahsama kaki, tunjukkansalahsatudariberikut:  Sepasangsisiadalahkongruen.  Sepasangsudutadalahkongruen

(karenadengan

Teorema

2)

sisi

yang

sama

lain

berhadapanharuskongruen).

Contoh 10 : ̅̅ ̅̅̅̅̅ ∥ ̅̅ Diberikan :𝑊𝑅 𝑆𝑇 ̅̅̅̅̅̅garis bagi ∡𝑆𝑅𝐸 𝑊𝑅 Pembuktian :∆ 𝑆𝑅𝑇adalahsegitiga sama kaki

Solusi : RENCANA : Perlihatkanbahwasudut-sudut

dasar

kongruen

satu

denganmenunjukkanbahwasetiappasangansudut yang kongruendibentukoleh garis bagi

sudut.

Karenasudutdasarkongruendengansudut-sudut

yang

kongruen,

sudutitukongruenterhadap yang lain dansegitigatersebutadalahsama kaki. Bukti : Pernyataan

Alasan

̅̅̅̅̅ garis bagi ∡𝑆𝑅𝐸 1. 𝑊𝑅

1. Diberikan.

2. ∡1 ≅ ∡2

2. Garisbagimembagisudutmenjadidua sudut

yang kongruen. ̅̅̅ 3. ̅̅̅̅̅ 𝑊𝑅 ∥ ̅𝑆𝑇

3. Diberikan.

4. ∡1 ≅ ∡𝑆

4. Jikaduagaris sejajar, makasudutdalamberseberanganadalahkongrue n.

5. ∡2 ≅ ∡𝑇

5. Jikaduagarissejajar, maka sudut yang bersesuaianadalahkongruen.

6. ∡𝑆 ≅ ∡𝑇

6. Sifat transitif kekongruenan.

7.∆ 𝑆𝑅𝑇adalahsegitigasa 7. Sebuah segitiga yang memilikisepasangsudutkongruenadalah sama

ma kaki

kaki.

Contoh 11 : Buktikanbahwa, jikaduagaristinggisegitigakongruen, makasegitigatersebutsama kaki. ̅̅̅̅ garis tinggi ̅̅̅̅ Diberikan :𝐶𝐷 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 garistinggi𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 Pembuktian :∆ 𝐴𝐵𝐶 adalahsegitigasama kaki

RENCANA : Tujuankitaadalahuntukmenunjukkan ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐵𝐶𝐴 dengan membuktikan∆ 𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆ 𝐶𝐸𝐴.GambartersebutmenyarankanHy-Leg Postulatuntukdigunakan: ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 (Hy) dan ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 (leg)

Bukti : Pernyataan

Alasan

1. ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 garis tinggi ̅̅̅̅ 𝐴𝐵

1. Diberikan.

̅̅̅̅ 2. ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 garis tinggi 𝐵𝐶

2. Diberikan.

3. Segitiga ADC dan CEA

3. Segitiga yang

adalahsegitigasiku-siku.

mengandungsebuahsegitigasiku-

sikudisebutsegitigasiku-siku. (CATATAN :langkahinimenggabungkanbeberapa langkah yang jelas). ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ 4. 𝐶𝐷 𝐴𝐸 (leg)

4. Diberikan.

5. ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 (hy)

5. Refleksi.

6. ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐶𝐸𝐴

6. Hy-Leg Posulate

7. ∡𝐵𝐴𝐶 ≅ ∡𝐵𝐶𝐴

7. CPCTC.

8.

8. Sebuahsegitiga yang ∆ 𝐴𝐵𝐶adalahsegitiga sama kaki

memilikisepasangsudutkongruenadalahsam a kaki.

5. Pembuktian Kongruensi Ganda Dalam beberapa masalah yang muncul mungkin tidak memberikan informasi yang cukup untuk membuktikan sepasang segitiga kongruen.Akan tetapi, setelah pemerikasaan

lebih

lanjuthalitumemungkinkanuntukmembuktikanpasangansegitigakongruenlainnyauntukme ndapatkan

bagian-bagian

yang

berkorespondensi,

yang

kemudiandapatdigunakanuntukmembuktikanpasangansegitigakongruen yang asli/awal. Masalah-masalahinicenderungsulitdanakanmembutuhkansejumlahpekerjaan

trial-and-

error.

Contoh 12 : ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐵 ̅̅̅̅ Diberikan :𝐴𝐵 𝐸adalah titik tengah ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 Pembuktian :∆ 𝐴𝐵𝐶adalahsegitigasama kaki

Solusi : RENCANA : 1. Berdasarkan yang diketahui, ∆ 𝐴𝐸𝐷 bisa dibuktikan kongruen dengan ∆ 𝐶𝐸𝐷jika diketahui bahwa ∡𝐴𝐸𝐷 adalah kongruen dengan ∡𝐶𝐸𝐷.

2. Segitiga AEB dan CEB dapatterbuktikongruendenganPostulat SSS. 3. Dengan CPCTC, ∡𝐴𝐸𝐷 = ∡CED. 4. ∆𝐴𝐸𝐷 ≅ ∆𝐶𝐸𝐷dengan teorema SAS

Bukti: Pernyataan

Alasan

Bagian I : Untuk membuktikan∆𝐀𝐄𝐁 ≅ ∆𝐂𝐄𝐁 1. ̅̅̅̅ AB ≅ ̅̅̅̅ CB (side) ̅̅̅̅ 2. 𝐸 adalah titik tengah 𝐶𝐵

1. Diberikan 2. Diberikan 3.

3. ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 (side)

Titiktengahmembagisegmenk eduasegmenkongruen.

̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐸 ̅̅̅̅ (side) 4. 𝐵𝐸

4. Refleksi

5. ∆𝐴𝐸𝐵 ≅ ∆𝐶𝐸𝐵

5. Ponsulate SSS

Bagian II : Untuk membuktikan ∆𝐀𝐄𝐃 ≅ ∆𝐂𝐄𝐃 6. ∡𝐴𝐸𝐷 ≅ ∡𝐶𝐸𝐷 (Angle)

6. CPCTC

7. ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 ≅ ̅̅̅̅ 𝐷𝐸 (side)

7. Refleksi

8. ∆𝐴𝐸𝐷 ≅ ∆𝐶𝐸𝐷

8. Posulate SAS

Contoh 13 : ̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ Diberikan :𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ∥ ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝑆 ̅̅̅̅ 𝐴𝑅 ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ Pembuktian :𝐵𝑅 𝐷𝑆

RENCANA : 1. Pasangan

yang

diinginkandarisegmengarisdapatdibuktikankongruenjikahalitudapatmembuktikanbah wa∆𝐵𝑅𝑆 ≅ ∆ 𝐷𝑆𝑅. (CATATAN : walaupun pasangan yang diinginkan dari segmen garis

jugaterkandung

dalam

segitiga

ARB

dan

CSD,

upayauntukmembuktikansegitigatersebutkongruenakan sia-sia.) 2. Denganpembuktianpertama△ ARD ≅ △ CSB juga kita bisa memperoleh bagianbagian kongruen yang diperlukan untuk membuktikan pasangan segitiga kongruen yang diinginkan. Segitiga ARD dan CSB adalahkongruen dengan SAS. ̅̅̅̅ dan ∡1 ≅ ∡2. Karena suplemen sudut kongruen adalah ̅̅̅̅ ≅ 𝑆𝐵 3. Dengan CPCTC, 𝑅𝐷 kongruen, sudut 3 dan 4 adalah kongruen. 4. ̅̅̅̅ 𝑅𝑆 ≅ ̅̅̅̅ 𝑅𝑆jadi∆𝐵𝑅𝑆 ≅ ∆𝐷𝑅𝑆 oleh SAS, dan̅̅̅̅̅ 𝐵𝑅 ≅ ̅̅̅̅ 𝐷𝑆 oleh CPCTC.

Bukti: ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ Diberikan :𝐵𝐶 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ ||𝐴𝐷 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝑆 ̅̅̅̅ 𝐴𝑅 ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ Dibuktikan :𝐵𝑅 𝐷𝑆 Perhatikanbahwa : ̅̅̅̅ | |𝐴𝐷 ̅̅̅̅dan𝐴𝑅 ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝑆 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 Denganmenariksebuahgarislurusdari

titik

A

ke

titik

C

maka∡𝐶 ≅ ∡ 𝐴(

̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ sudutberseberangdalamadalahkongruen). Menurut postulatSAS :𝐵𝐶 𝐴𝐷, ∡𝐶 ≅ ∡ 𝐴, ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝑆 ̅̅̅̅ . Maka∆𝐴𝑅𝐷 ≅ ∆𝐶𝐵𝑆. Menurut postulat CPCTC maka𝑅𝐷 ̅̅̅̅, ∡1 ≅ ̅̅̅̅ ≅ 𝑆𝐵 𝐴𝑅 ∡ 2. Karenasudutberpelurusadalahkongruen,

maka ∡3 ≅

∡ 4adalahkongruen.Karena̅̅̅̅ 𝑅𝑆 ≅ ̅̅̅̅ 𝑅𝑆 , ∡3 ≅ ∡ 4, ̅̅̅̅ 𝑅𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝑆𝐵makamenurutpostulat SAS ∆𝐵𝑅𝑆 ≅ ∆𝐷𝑅𝑆. ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ Sehinggamenurut CPCTC 𝐵𝑅 𝐷𝑆.

Contoh 14 : ̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ Diberikan :𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 ̅̅̅̅ . ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 𝑑𝑎𝑛 ̅̅̅̅ 𝐶𝐺 masing-masing digambar tegak lurus dengan ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 dan𝐴𝐸

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ≅ 𝐸𝐺 Dibuktikan :𝐷𝐹

Solusi : Pembuktikanpertamayaitu ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴𝐶𝐸 untuk mendapatkan pasangan tambahan dari bagian-bagian kongruen yang dibutuhkan untuk membuktikan bahwa ∆𝐷𝐹𝐵 ≅ ∆𝐸𝐶𝐺. Rencana : 1. ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴𝐶𝐸oleh SAS karena ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 , ∡𝐴𝐵𝐷 ≅ ∡𝐴𝐶𝐸 (suplemendarisudut̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ sudut alas kongruenadalah kongruen) dan𝐵𝐷 𝐶𝐸 . Oleh karena itu ∡𝐷 ≅ ∡𝐸. 2. ∆𝐷𝐹𝐵 ≅ ∆𝐸𝐶𝐺oleh AAS karena ∡𝐷 ≅ ∡𝐸, ∡𝐷𝐹𝐵 ≅ ∡𝐸𝐺𝐶 (sudut siku-siku adalah kongruen) dan ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 . Oleh karena itu, ̅̅̅̅ 𝐷𝐹 ≅ ̅̅̅̅ 𝐸𝐺 oleh 𝐶𝑃𝐶𝑇𝐶.

Bukti: Pernyataan

Alasan

Bagian I : Untukmembuktikan ∆𝐀𝐁𝐃 ≅ ∆𝐀𝐂𝐄 1. Diberikan. ̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ (side) 1. 𝐴𝐵 2. ̅̅̅̅ 𝐵𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 (side) 3. ∡𝐴𝐵𝐷 ≅ ∡𝐴𝐶𝐸 (Angle)

2. Diberikan. 3. Suplemen dari sudut-sudut alas kongruenadalahkongruen.

4. ∆𝐴𝐸𝐵 ≅ ∆𝐶𝐸𝐵

4. Postulat SAS.

5. ∡𝐷 ≅ ∡𝐸

5. CPCTC.

Bagian II : Untuk

membuktikan∆DFB ≅ ∆ECG

6. Diberikan.

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐷 6. 𝐵𝐹 ̅̅̅̅ 𝐶𝐺 ⊥ ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 7. ∡𝐷𝐹𝐵 ≅ ∡𝐸𝐺𝐶 (Angle)

7. Sudutsiku-sikuadalahkongruen. 8.Sisi-sisi

8. ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 (side)

dihadapansudutkongruenadalahkon gruen.

9. ∆𝐴𝐸𝐷 ≅ ∆𝐶𝐸𝐷 10. ̅̅̅̅ 𝐷𝐹 ≅ ̅̅̅̅ 𝐸𝐺

9. Postulat SAS. 10. CPCTC.