Geofisica

TEOREMA DE L'HÔPITAL

Sean f y g derivables en un entorno reducido de a: E*(a,r) verificando:

1.

y

2. Existe

Entonces

Demostración: Podemos suponer que f(a) = 0 y g(a) = 0 (si no, razonamos con las «ampliadas»).

El

hecho

entorno

de

que

exista

garantiza

Además, en ese entorno es

Haciendo un razonamiento análogo para (a-r,a) será:

en

un

, pues si g(x) = 0, aplicando el

teorema de Rolle en [a,x] existe Aplicando el teorema de Cauchy a f y g en [a,x] (a < x < a + r):

Es decir, Cuando x >a también c >a y por tanto:

que

GENERALIZACIÓN En las hipótesis correspondientes se verifica:

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

TEOREMA DE ROLLE

Sea f definida en [a,b], verificando:

1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b]. 2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b). 3. f(a) = f(b). En estas condiciones existe al menos un punto del interior del intervalo x0 c (a,b) en el que se anula la derivada primera: f´(x0) = 0 ; es decir, la recta tangente a la función en ese punto es horizontal. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA El teorema asegura que, en las condiciones del enunciado, existe al menos un punto en el que la tangente a la curva es horizontal. Para ir de a a b, al ser la función continua, o bien va recta (función constante) o, en al menos un punto, tiene que doblar con tangente horizontal por ser derivable.

OBSERVACIONES Si no se verifican las condiciones del enunciado, no podemos garantizar la existencia del punto; aunque este punto pueda existir, siempre dependerá de la función de que se trate. EJEMPLO 1 Sea f(x) = Dec(x) = x - [x] y f:[0,1]--->R. f no es continua en b = 1. Se cumplen las condiciones (2) y (3) y es f´(x) = 1 en (0,1), por lo que no existe tal punto.

EJEMPLO 2 Sea f(x) = |x| en [-1,1]. f no es derivable en 0. Se verifican las condiciones (1) y (3), pero no existe tal punto.

TEOREMA DE LAGRANGE o TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL o TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS

Sea f definida en [a,b], verificando:

1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b]. 2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b). En estas

condiciones

existe

un punto

del

interior del intervalo x0 c (a,b)

tal

que INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Este teorema expresa la existencia de un punto c de (a,b) tal que la recta tangente en T(c,f(c)) es paralela a la cuerda de extremos A(a,f(a)) y B(b,f(b)), ya que las pendientes respectivas coinciden:

OBSERVACIONES Analicemos las hipótesis: EJEMPLO 1 Sea f(x) = |x| en [-1,2]. Es continua en [-1,2] (1), pero no es derivable en (-1,2) (2), ya que no es derivable en 0. Por lo tanto no cumple el teorema. La pendiente de la cuerda AB es mAB=1/3 y en

cambio:

EJEMPLO 2

Sea f definida en [0,1] por f no es continua en [0,1] (1) pero sí es derivable en (0,1)

´(x) = 2x.

pero

Ahora

y

(2)

, y es f

,