Gaya Dan Medan Magnet

Gaya dan Medan Magnet Kutub utara geografi

Kutub utara magnetik

Sumbu rotasi

Sumbu magnetik

Medan magnet Sebagaimana halnya dengan konsep medan listrik, konsep medan magnet juga diperlukan untuk menjelaskan gaya antara dua benda yang tidak saling bersentuhan. Gaya Lorentz Medan magnet mempengaruhi benda bermuatan yang sedang bergerak. F Gaya akibat medan magnet yang dialami oleh partikel bermuatan yang bergerak adalah

F = qv × B

B adalah kuat medan magnet

v

B

CK-FI112-06.1

Jika selain medan magnet ada juga medan listrik, maka gaya yang dialami partikel bermuatan adalah Gaya Lorentz

F = Fcoul + Fmag = qE + qv × B = q (E + v × B )

Beberapa penerapan gaya Lorentz Prinsip gaya lorentz dapat digunakan untuk menentukan jenis muatan suatu partikel (+, − atau tak bermuatan).

Jika × bermuatan + × × × × ×

Jika tak bermuatan × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×

Gaya magnet arahnya selalu tegak lurus permukaan yang dibentuk oleh v dan B. Artinya F selalu tegak lurus dengan v, dan untuk v yang besarnya konstan dan arahnya tegak lurus dengan arah B, maka gerak muatan adalah gerak melingkar beraturan pada suatu bidang datar tertentu.

× × × ×

× × × ×

× × × ×

Jika × × bermuatan − × × ×B ×

× × × × × × × B×

× × × ×

× × × ×

× × × ×

× × × ×

× × × ×

2R

Gaya yang membuat benda bergerak melingkar (gaya sentripetal) adalah gaya magnet, yang besarnya

F = qvB

Jika v dan B saling tegak lurus

CK-FI112-06.2

mv mv 2 → R = Sehingga qvB = Bq R Artinya untuk partikel dengan v yang sama, jari-jari lintasannya ditentukan oleh perbandingan massa dan muatan → prinsip penggunaan spektrometer massa medan magnet konstan yang arahnya ke luar bidang gambar R partikel dengan m/q tertentu

sumber ion

Jika arah v tidak tegak lurus dengan arah B, misalnya v = voxi+voyj+vozk sedangkan B = Bo k, maka

F = qv × B = q (vox i + voy j + voz k ) × (Bo k ) = qBo (voy i − vox j) percepatan yang dialami muatan

a=

F

m

=

qBo (voy i − vox j) m

kecepatan muatan tiap saat

CK-FI112-06.3

qBot (v i − vox j) + (vox i + voy j + voz k ) m oy  qBovoyt   qB v t  =  + vox i +  − o ox + voy  j + voz k m   m  

v(t ) = ∫ adt + v (0) =

posisi muatan tiap saat adalah

Gerak muatan dalam ruang tiga dimensi

r(t ) = ∫ v (t )dt + ro

 qBovoyt 2   qBovoxt 2  = + voxt i +  − + voyt  j + vozt + ro  2m   2m    Lintasan muatan tersebut adalah berbentuk heliks

B

Keberadaan medan listrik dan medan magnet secara simultan dapat digunakan sebagai pemilih kecepatan (velocity selector). E = Eok z

v = vo j y

x

B = Boi

CK-FI112-06.4

Gaya coulomb yang dialami benda

Fcoul = qE = (qE o )k Gaya magnet yang dialami benda

Fmag = qv × B = q (v o j) × (Boi) = −(qv oBo )k Gaya total

Ftotal = Fcoul + Fmag = q (E o − v oBo )k Partikel akan bergerak lurus (tidak mengalami gaya) jika

vo =

Eo Bo

Gaya magnet pada muatan bergerak (arus) Arus listrik adalah muatan yang bergerak, karenanya bila suatu penghantar yang dialiri arus berada dalam daerah bermedan magnet, maka penghantar tersebut akan mengalami gaya magnet.

dl

Kawat berarus

B

→

Tinjau elemen yang panjangnya dl yang arahnya searah dengan arah arus. Jika pada penghantar ada muatan dq yang kecepatannya v, maka →

dl v= dt

CK-FI112-06.5

I =

sedangkan

dq → dq = Idt dt →

gaya yang dialami oleh elemen dl adalah  →  →   dl  dF = dqv × B = (Idt )  × B = I dl× B   dt      Gaya total pada potongan kawat adalah

→  F = ∫ dF = I ∫ dl× B   

Jika I konstan

→

Jika dl = (dx )i + (dy ) j + (dz )k dan B = (Bx )i + (By ) j + (Bz )k , maka →

dl× B = ((dx )i + (dy ) j + (dz )k ) × ((Bx )i + (By ) j + (Bz )k ) = (Bz dy − By dz )i + (Bx dz − Bz dx ) j + (By dx − Bx dy )k Contoh penggunaannya: Misalkan suatu potongan penghantar yang dialiri arus I (dalam arah sumbu x positif) terletak di ruang bermedan magnet B = Bo(i+j). Potongan kawat terletak di sepanjang sumbu x dari x = 0 sampai x = L →

Karena kawat terletak sepanjang sumbu x, maka dl = (dx )i Sehingga →

dl× B = (dx )i × Bo (i + j) = (Bodx )k

CK-FI112-06.6

Gaya pada potongan kawat L

→

∫ (dl× B) = I ∫ (Bodx )k = (BoIL)k

F=I

x =0

seluruh kawat

y B

F 0

x

L

Bila suatu kumparan yang dialiri arus listrik berada dalam ruang bermedan magnet, maka kumparan tersebut dapat mengalami momen gaya z

F2

a B

y x

b

Gaya F1 dan F2 adalah

F1

F1 = Ia ( −i) × B ( j) = IaB ( −k ) F2 = Ia (i ) × B ( j) = IaB (k )

Pasangan gaya tersebut membentuk suatu momen gaya b  b  τ = τ1 + τ2 = r1 × F1 =  ( j) × IaB ( −k ) +  ( − j) × IaB (k ) 2 2 = IabB ( −i) CK-FI112-06.7

Momen gaya tersebut dapat dinyatakan dengan menggunakan besaran baru yaitu momen magnet µ µ = Iab (n) = IA(n)

sehingga

n adalah vektor normal permukaan kumparan

τ = µ×B n I

Hukum Biot-Savart Eksperimen yang dilakukan oleh H.C. Oersted menunjukkan bahwa adanya arus listrik (muatan listrik yang bergerak) dapat menimbulkan medan magnet. Untuk menentukan medan magnet yang disebabkan oleh muatan yang bergerak (arus listrik) ada dua cara yang dapat digunakan yaitu dengan hukum Biot-Savart dan dengan hukum Ampere. Hukum Biot-Savart mempunyai kemiripan dengan hukum Coulomb (untuk menentukan medan listrik) sedangkan hukum Ampere mempunyai kemiripan dengan hukum Gauss (untuk menentukan medan listrik).

CK-FI112-06.8

Medan magnet di titik P akibat

→

→

dl

elemen dl →

I

∧

I dl× r dB = k r2

r

P

∧

dengan r adalah vektor satuan dalam arah r (yaitu vektor →

posisi titik P dari elemen dl .

k adalah tetapan yang besarnya bergantung pada medium tempat sistem berada. Jika dalam medium hampa, maka

k =

µo 4π

dengan µo adalah permeabilitas ruang hampa →

Arah medan magnet yang ditimbulkan oleh elemen dl →

∧

ditentukan dari hasil operasi perkalian vektor dl× r . Untuk menentukan medan magnet yang disebabkan oleh seluruh bagian kawat, maka →

B=

∫ dB = k seluruh penghantar

∫ seluruh penghantar

∧

I dl× r r2

CK-FI112-06.9

Hukum Ampere Penentuan medan magnet yang disebabkan oleh adanya arus listrik dapat juga dilakukan dengan menggunakan hukum Ampere. Penggunaan hukum Ampere terutama akan memudahkan jika terdapat kesimetrian sumber medan magnet. Perumusan hukum Ampere I →

∫ B • dl = µo I dalam →

dl Beberapa contoh
Tentukan medan magnet yang dihasilkan oleh kawat yang panjangnya L yang dialiri arus I dB

P θ r

−L/2

x

a

L/2

→

Tinjau elemen dl =dx (i) yang berada pada posisi x. Medan magnet pada titik P akibat elemen tersebut adalah

µ dB = o 4π

 → ∧  dx (i) × r∧  µ d l × r    o  I I = 2 2   r  4π  r    

CK-FI112-06.10

dengan

r = r (− sin θ i + cos θ j)

dan

r = (− sin θ i + cos θ j)

∧

r=

a cos θ

x = a tan θ → dx =

a cos2 θ

dθ

Sehingga ∧

 cos2 θ  dx (i) × r  a  ((i) × ( − sin θ i + cos θ j) dθ  = 2 2 cos r2 a θ    =

1

cos θdθ (k )

a

Jadi

dB =

µoI  cos θdθ   (k ) 4π  a 

Medan magnet di titik P akibat seluruh kawat adalah B=

∫ dB = seluruh kawat

µoI  cos θdθ  µ oI ( k ) = (k ) ∫ cos θdθ   ∫ 4π π a 4 a   seluruh seluruh kawat

kawat

(*)

θ2

=

µ oI µI (k ) ∫ cos θdθ = o (k )(sin θ 2 − sin θ 1 ) 4πa 4πa θ1

Batas integralnya adalah

x = x ujung kiri = −

x = x ujung kanan =

L

 L  → θ 1 = arctan −  → sin θ 1 = 2  2a 

L

 L  → θ 2 = arctan  → sin θ 2 = 2  2a 

−L 2

2 a +

L2 4

L 2

2 a +

L2 4

CK-FI112-06.11

Jadi

  µoI  L B= 4πa  2 L2  a + 4 

      

(**)

Jika kawat tersebut sangat panjang, maka B=

µ oI 2πa

Dapat diperoleh dari persamaan (*) ataupun dari (**)

Untuk kawat yang sangat panjang terdapat kesimetrian yang tinggi sehingga dapat juga digunakan hukum Ampere I r Loop Ampere yang berupa lintasan tertutup

→

dl

Hukum Ampere →

∫ B • dl = ∫ Bdl = B ∫ dl = B (2πr ) = µoI → B = Karena B selalu searah dengan dl

Karena B konstan di sepanjang lintasan

µ oI 2πr

Arus yang dilingkupi oleh loop Ampere yang dibuat

CK-FI112-06.12