Gate Haye Manteghi

‫گیتهای منطقی‬ ‫لزوم استفاده از جبر بول‬ ‫اصول و قضایای جبر بول‬ ‫معرفی توابع سوئیچینگ‬ ‫جدول درستی توابع‬ ‫پیاده سازی سیستم مبتنی بر ‪ 0‬و ‪ 1‬برای کامپیوترهای دیجیتال‬ ‫استفاده از جبر بول و منطق درست یا نادرست‬

‫تعریف جبر بول‬ ‫سیستمی متشکل از مجموعه ای مانند ‪ K‬با دو یا چند عضو و دو عملگر ‪ ).( AND‬و ‪ )+( OR‬به طوریکه اگر ‪ a‬و ‪b‬‬ ‫عضو ‪ K‬باشند ‪ b 0a‬و ‪ a+b‬نیز عضو مجموعه ‪ K‬باشند‪.‬‬ ‫اصول جبر بول‪:‬‬ ‫الف) عناصر منحصر به فرد ‪ 0‬و ‪ 1‬عضو مجموعه ‪ K‬هستند‪:‬‬ ‫‪a+0=a‬‬ ‫‪a.1=a‬‬ ‫عناصر همانی‬ ‫ب)خاصیت جابجایی‪:‬‬ ‫برای هر عضو ‪ a‬و ‪ b‬در ‪: K‬‬ ‫‪a+b=b+a‬‬ ‫‪a.b=b.a‬‬ ‫ج)خاصیت شرکت پذیری‪:‬‬ ‫برای هر ‪ a,b,c‬در ‪:K‬‬ ‫‪a+)b+c(=)a+b(+c‬‬ ‫‪a.)b.c(=)a.b(.c‬‬ ‫د)توزیع پذیری‪:‬‬ ‫برای هر ‪ a,b,c‬در ‪:K‬‬ ‫(‪a+)b.c(=)a+b(.)a+c‬‬ ‫(‪a.)b+c(=)a.b(+)a.c‬‬

‫ه) وجود متمم‪:‬‬ ‫برای هر ‪ a‬در ‪ K‬یک عضو منحصر به فرد ¯‪ a‬در ‪ K‬وجود دارد به طوریکه‪:‬‬ ‫برای راحتی در نگارش‬ ‫معمول ً از نوشتن ‪ .‬در عبارتها صرف نظر می کنند‪:‬‬ ‫‪a.b=ab‬‬

‫قضایای جبر بول‪:‬‬ ‫‪ ) A‬هم ارزی‪:‬‬ ‫‪a+a=a‬‬ ‫‪a.a=a‬‬ ‫‪ )B‬عضو بی اثر برای ‪ .‬و ‪+‬‬ ‫برای عمل ‪:+‬‬ ‫‪a+0=a‬‬ ‫برای عمل ‪: .‬‬ ‫‪a.1=a‬‬ ‫‪)C‬قضیه بازگشت‪:‬‬

‫‪ )D‬قضیه جذب‪:‬‬ ‫‪a + ab = a‬‬ ‫‪a)a+b( = a‬‬ ‫‪)E‬قضیه شبه جذب‪:‬‬

‫‪ )G‬دمورگان ‪:‬‬

‫استفاده از قضایا برای ساده کردن عبارتهای جبر بول‬

‫توابع سوئیچینگ‬ ‫تابعی از چند متغییر بولی و عملگرهای ‪ .‬و ‪ +‬مانند‪:‬‬ ‫‪f)a ,b ,c(= ab + ac + bc‬‬ ‫اگر ‪ n‬متغیر داشته باشیم‬ ‫هر متغیر دو حالت‪ 0 :‬و ‪1‬‬ ‫بنابراین‪ 2 :‬به توان ‪ n‬حالت مختلف از ترکیب ورودی ها داریم‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫جدول درستی‬ ‫برای هر تابع سوئیچینگ یا مدار منطقی می توان یک جدول درستی یا جدول مشخصات تعریف کرد که این جدول‬ ‫بیان کننده وضعیت مدارخواهد بود‪.‬‬

‫در جدول درستی تمامی حالتهای مختلف ورودی های تابع را نشان می دهیم ‪ ،‬سپس به ازای هر ترکیب ورودی بر‬ ‫اساس عملکرد تابع ‪ ،‬خروجی را مشخص می کنیم‪ .‬به عبارت دیگر این جدول بیان کننده عملکرد منطقی تابع و مدار‬ ‫معادل آن است‪.‬‬ ‫فرمهای متعارف ‪ SOP‬و ‪POS‬‬ ‫مینترم ها و ماکسترم ها‬ ‫گیتهای منطقی‬ ‫قطعات الکترونیک گیت ها‬ ‫فرمهای متعارف برای نمایش توابع سوئیچینگ ‪:‬‬ ‫‪ :SOP‬جمع جملت کمینه‬ ‫‪ :POS‬ضرب جملت بیشینه‬

‫‪ SOP‬جمع حاصلضرب ها‬ ‫‪ OR‬کردن عبارتهای ‪ AND‬شده‬

‫‪ POS‬ضرب حاصلجمع ها‬ ‫‪ AND‬کردن عبارتهای ‪ OR‬شده‬

‫جملت کمینه و بیشینه یا ‪:‬‬ ‫‪Minterm‬‬ ‫‪Maxterm‬‬ ‫‪ Minterm‬ها‬ ‫‪m‬‬ ‫جمله ضرب از همه ‪ n‬متغیر یک تابع به صورت متمم یا غیرمتمم‬ ‫در تابع ‪ n‬متغیره ‪ 2‬به توان ‪ n‬حالت از مینترم ها را داریم‬ ‫مثال برای ‪ 2‬متغیر‪:‬‬

‫‪ Maxterm‬ها‬ ‫‪M‬‬ ‫جمله جمع از همه ‪ n‬متغیر یک تابع به صورت متمم یا غیرمتمم‬ ‫در تابع ‪ n‬متغیره ‪ 2‬به توان ‪ n‬حالت از ماکسترم ها را داریم‬ ‫مثال برای ‪ 2‬متغیر‪:‬‬

‫شماره گذاری مینترم ها و ماکسترم ها‬ ‫تعداد متغیر ‪n :‬‬ ‫تعداد مینترم یا ماکسترم ‪ 2 :‬به توان ‪n‬‬ ‫‪<m<sub>0...m<sub>n-10...M<sub>n-1
‫نمایش استاندارد با مینترم یا ماکسترمهای تابع‪:‬‬ ‫استفاده از ‪ SOP‬یا ‪POS‬‬ ‫(‪ f)A,B,C‬برابر است با‪:‬‬

‫مدارهای منطقی دیجیتال یا مدارهای سوئیچینگ‬ ‫ترکیب سری و موازی عناصری به نام گیت‬ ‫گیت‪ :‬مسیرهای باز یا بسته سیگنال‬ ‫به لحاظ ساختار فیزیکی قادرند در طی چند نانوثانیه روشن یا خاموش شوند‬ ‫در طراحی الکترونیکی مدارهای منطقی دو استاندارد معروف به کار می رود‪:‬‬ ‫‪TTL‬‬ ‫در این منطق‪ 5 ،‬ولت معادل ‪ 1‬منطقی می باشد‪.‬‬ ‫‪CMOS‬‬ ‫در این منطق‪ 12 ،‬ولت معادل ‪ 1‬منطقی می باشد‪.‬‬ ‫انواع گیت ‪:‬‬ ‫گیت ‪: AND‬‬ ‫همانطور که از نامش پیداست مانند "و" رفتار می کند یعنی در صورتی که یکی از ورودیهای آن ‪ 0‬باشد خروجی آن‬ ‫صفر خواهد بود‪.‬‬

‫‪OUT‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫گیت ‪: OR‬‬

‫‪OUT‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫گیت ‪:NOT‬‬ ‫این گیت در ازای ورودی ‪ 0‬یا ‪ 1‬معکوس آن را به خروجی می فرستد‪.‬‬

‫‪IN=0 ----> OUT=1‬‬ ‫‪IN=1 ----> OUT=0‬‬

‫گیت ‪:NOR‬‬ ‫این گیت به عنوان یک المان منطقی ساده‪ ،‬عمل دو گیت ‪ OR‬و ‪ NOT‬را با هم ادغام کرده‪ ،‬در یک گیت نشان می‬ ‫دهد و شامل دو یا چند ورودی و یک خروجی می شود‪.‬‬

‫‪OUT‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫گیت ‪:NAND‬‬ ‫این گیت به عنوان یک المان منطقی ساده‪ ،‬عمل دو تابع ‪ AND‬و ‪ NOT‬را با هم ادغام کرده‪ ،‬و در یک گیت نشان می‬ ‫دهد‪ .‬این مدار شامل دو یاچند ورودی و یک خروجی است‪.‬‬

‫‪OUT‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫گیت ‪:XOR‬‬ ‫این گیت شامل دو یا چند ورودی و یک خروجی است‪ .‬در گیت ‪ XOR‬در صورتی خروجی ما یک می شود که فقط‬ ‫یکی از ورودیهای ما یک باشد‪.‬‬

‫‪OUT‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫گیت ‪:XNOR‬‬ ‫این گیت شامل دو یا چند ورودی و یک خروجی است در گیت ‪ XNOR‬در صورتی خروجی یک می شود که یا هر دو‬ ‫ورودی صفر و یا هر دو ورودی یک باشد‪.‬‬

‫‪OUT‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪IN‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫قطعات الکترونیکی‬ ‫گیت های منطقی‬ ‫‪AND‬‬

‫‪OR‬‬

‫‪NOT‬‬

‫‪NAND‬‬

NOR

XOR