Garis Singgung Sma Kelas 11.docx

1. Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Perhatikan gambar di bawah ini! Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari AC = r1. Lingkaran B berpusat di B dengan jari-jari BE = r2.

AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran (s). CE adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, dimana CE⊥AC. Melalui titik B, kita dapat menarik garis BD yang sejajar dengan garis CE. (BD//CE), sehingga CD = BE = r2, dan ∠ADB = 90o. Maka ΔADB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Phythagoras, yaitu: AB2 = AD2 + BD2 BD2 = AB2 – AD2 = AB2 – (AC + CD)2 = s2 – (r1 + r2)2 Karena BD//CE dan ∠ADB = ∠ACE = 90o, maka CE = BD. Jadi, CE2 = s2 – (r1 + r2)2. Sehingga, dapat kita simpulkan bahwa panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah:

d2 = s2 – (r1 + r2)2 dengan r1 > r2, dan d : panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran r1 : jari-jari lingkaran pertama r2 : jari-jari lingkaran kedua

2. Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Perhatikan gambar di bawah ini! Lingkaran A berpusat di A dengan jari-jari AD = r1. Lingkaran B berpusat di B dengan jari-jari BE = r2.

AB adalah jarak kedua titik pusat lingkaran (s). DE adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran, dimana DE⊥AD. Melalui titik B, dapat ditarik garis BC yang sejajar garis DE (BC//DE), sehingga BE = CD = r2, dan ∠ACB = 90o. Maka ΔACB adalah segitiga siku-siku, sehingga berlaku teorema Phythagoras, AB2 = AC2 + BC2 BC2 = AB2 – AC2 = AB2 – (AD – CD)2 = s2 – (r1 – r2)2 Karena BC//DE dan ∠ACB = ∠ADE = 90o, maka DE = BC. Jadi, DE2 = s2 – (r1 – r2)2. Maka panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran dirumuskan:

l2 = s2 – (r1 – r2)2 dengan r1 > r2, dan l : panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran s : jarak antara kedua pusat dua lingkaran r1: jari-jari lingkaran pertama r2: jari-jari lingkaran kedua

Contoh Soal Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm. Panjang jari-jari lingkaran yang besar adalah 6 cm. Jika jarak antara kedua titik pusat sama dengan 17 cm, hitunglah panjang jari-jari yang lingkaran kecil! Penyelesaian: d = 15 cm, r1 = 6 cm, s = 17 cm d2 = s2 – (r1 + r2)2 152 = 172 – (6 + r2)2 225 = 289 – (6 + r2)2 (6 + r2)2 = 289 – 225 = 64 6 + r2 = √64 6 + r2 = 8 r2 = 8 – 6 = 2 cm Jadi panjang jari-jari lingkaran kecil adalah 2 cm

Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, Anda harus paham dengan teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Pada Gambar di atas, dua buah lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, berjari-jari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh: 1) jari-jari lingkaran P = R; 2) jari-jari lingkaran Q = r; 3) garis singgung persekutuan dalam = AB = d; 4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p. Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis SQ sejajar AB, sehingga ∠PSQ = ∠PAB = 90° (sehadap). Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°. Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r. Perhatikan bahwa ∠PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh: QS2 = PQ2 - PS2 QS = √(PQ2 - PS2) QS = √(PQ2 – (R + r)2) Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

Contoh Soal

Pada gambar di atas, panjang jari-jari MA = 5 cm, panjang jari-jari NB = 4 cm, dan panjang MN = 15 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya. Penyelesaian: Diketahui MA = 5 cm, NB = 4 cm, dan MN = 15 cm. Garis singgung persekutuan dalamnya adalah AB. AB = √( MN2 – (MA + NB)2) AB = √(152 – (5 + 4)2) AB = √(225 – 81) AB = √144 AB = 12 cm Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm.

Contoh Soal 1 Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 6 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain. Penyelesaian Diketahui: d = 24 cm p = 26 cm R = 6 cm Ditanyakan r = ?

Jawab : d = √(p2 – (R + r)2) atau d2 = p2 – (R + r)2 242 = 262 – (6+ r)2 576 = 676 – (6 + r)2 (6 + r)2 = 676 – 576 (6 + r)2 = 100 6

+

r

= √100

6 + r = 10 r = 10 – 6 r=4 Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 4 cm Contoh Soal 2 Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 12 cm dan 5 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 24 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam. Penyelesaian: Diketahui: p = 24 cm R = 12 cm r = 5 cm Ditanyakan: d = ? Jawab: d = √(p2 – (R + r)2) d = √(242 – (12 + 5)2) d = √(242 –172) d = √(576 – 289) d = √287 d = 16,94 Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 16,94 cm

Contoh Soal 3 Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm. Penyelesaian Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut

Diketahui: p = 30 cm R = 14 cm r = 4 cm Ditanyakan: d = ? Jawab: d = √(p2 – (R + r)2) d = √(302 – (14 + 4)2) d = √(302 –182) d = √(900 – 324) d = √576 d = 24 Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm Contoh Soal 4

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain. Penyelesaian Diketahui: d = 15 cm p = 17 cm R = 3 cm Ditanyakan r = ? Jawab : d = √(p2 – (R + r)2) atau d2 = p2 – (R + r)2 152 = 172 – (3+ r)2 225 = 289 – (3 + r)2 (3 + r)2 = 289 – 225 (3 + r)2 = 64 3+r=8 r=8–3 r=5 Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm

Contoh Soal 1 Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 11 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm maka tentukan jarak kedua pusat lingkaran Penyelesaian Diketahui: d = 12 cm R = 11 cm r = 2 cm Ditanyakan p = ? Jawab : d = √(p2 – (R - r)2) atau d2 = p2 – (R - r)2 122 = p2 – (11 - 2)2 144 = p2 – 81 p2 = 225 p = √225 p = 15 cm Jadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah 15 cm Contoh Soal 2 Dua lingkaran masing-masing berjari-jari 15 cm dan 8 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 2 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut. Penyelesaian:

Diketahui: s = 2 cm R = 15 cm r = 8 cm Ditanyakan: d = ? Jawab: p=s+R+r p = 2 cm + 15 cm + 8 cm p = 25 cm d = √(p2 – (R - r)2) d = √(252 – (15 - 8)2) d = √(625 –49) d = √(576) d = 24 cm Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm Contoh Soal 3 Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm dan jarak kedua pusatnya 13 cm. Panjang salah satu jari-jari lingkaran 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari yang lainnya! Penyelesaian Diketahui: d = 12 cm R = 8 cm p = 13 cm Ditanyakan: r = ?

Jawab: d = √(p2 – (R - r)2) atau d2 = p2 – (R - r)2 122 = 132 – (8 - r)2 144 = 169 – (8 - r)2 (8 - r)2 = 169 –144 (8 - r)2 = 25 (8 - r) = √25 (8 - r) = 5 r=8-5 r = 3 cm Jadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 3 cm Contoh Soal 4 Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 29 cm dan 14 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya 36 cm. Hitung jarak pusat kedua lingkarannya! Penyelesaian Diketahui: d = 36 cm R = 29 cm r = 14 cm Ditanyakan p = ? Jawab : d = √(p2 – (R - r)2) atau d2 = p2 – (R + r)2 362 = p2 – (29 - 14)2 1296 = p2 – 225 p2 = 1296 + 225 p2 = 1521

p = √1521 p = 39 cm Jadi, jarak pusat kedua lingkarannya adalah 39 cm Contoh Soal 5 Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ= 26 cm, panjang jari-jari lingkaran masing-masing 12 cm dan 2 cm. Hitung panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran!

Penyelesaian: p = 26 cm R = 12 cm r = 2 cm

d = √(p2 – (R - r)2) d = √(262 – (12 - 2)2) d = √(676 –100) d = √(576) d = 24 cm Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm cara cepat menghitung panjang sabuk lilitan minimal pada lingkaran. Rumus: p = nr + 2πr atau p = (n + 2π)r

Di mana: p = panjang lilitan r = jari-jari lingkaran n = banyaknya jari-jari lingkaran yang kena tali jika titik pusatnya dihubungkan. Tidak perlu penjelasan panjang lebar, sekarang perhatikan contoh soal berikut ini Contoh Soal 1 Gambar di bawah adalah penampang enam buah drum yang berbentuk tabung dengan jari-jari 28 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut.

Penyelesaian: Jika titik pusat lingkaran yang kena tali di hubungkan dengan sebuah garis (garis merah), maka banyaknya jari-jari yang kena garis ada 12 (n = 12)

p = nr + 2πr p = 12 . 28 cm + 2.(22/7). 28 cm p = 336 cm + 176 cm p = 512 cm Contoh Soal 2 Gambar di bawah adalah penampang enam buah kaleng yang berbentuk tabung dengan jari-jari 10 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah kaleng tersebut.

Penyelesaian: Jika titik pusat lingkaran yang kena tali di hubungkan dengan sebuah garis (garis merah), maka banyaknya jari-jari yang kena garis ada 12 (n = 12)

p = nr + 2πr p = 12 . 10 cm + 2.(3,14). 10 cm p = 120 cm + 62,8 cm p = 182,8 cm Contoh Soal 3 Lima buah pipa air disusun seperti pada gambar di bawah. Hitunglah panjang tali yang digunakan untuk melilitkan pipa-pipa tersebut jika jari-jari pipa 3 cm.

Penyelesaian: Jika titik pusat lingkaran yang kena tali di hubungkan dengan sebuah garis (garis merah), maka banyaknya jari-jari yang kena garis ada 10 (n = 10)

p = nr + 2πr p = 10 . 3 cm + 2.(3,14). 3 cm p = 30 cm + 18,84 cm p = 48,84 cm Contoh Soal 4 Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika diameter pipa 14 cm, hitung panjang tali minimal untuk mengikat kelima pipa tersebut. Penyelesaian:

CX =√(AC2 – AX2) CX =√(142 – 72) CX =√(196 – 49) CX =√147 DC = √(DX2 + CX2) DC = √(212 + (√147)2) DC = √(441 + 147) DC = √(588) DC = √196.3 DC = 14√3 Lilitan minimal = 2.DC + DE + 2πr

Lilitan minimal = 2. 14√3 cm + 6.7 cm + 2(22/7)7 cm Lilitan minimal = 28√3 cm + 42 cm + 44 cm Lilitan minimal = (86 + 28√3) cm