Gab Hiperbola.docx

IRISAN KERUCUT

A. HIPERBOLA 1. Pengertian dan Sifat-sifat Hiperbola Hiperbola merupakan kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri. Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dengan mengiris bangun kerucut yang saling bertolak belakang memotong tegak lurus bangun kerucut tersebut tetapi tidak memotong puncak kerucut. Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap besarnya. Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus hiperbola. Jadi hiperbola di lukis jika diketahui dua titik fokus hiperbola dan suatu ruas garis yang panjangnya kurang dari jarak kedua titik fokus itu diketahui. Y b y x a

y

b x a

T (x,y) ( 0,b )

.

(-a,0 )

F2( -c,0)

( a,0 )

O

. F1( c,0)

X

( 0, -b )

Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F1 & F2 adalah focus hiperbola, titik puncak ( -a, 0 ) & ( a,0 ), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang sumbu minor = 2b.

Geometri Analitik Bidang / FKIP UMRAH

1

2. Persamaan Hiperbola a. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 ) 

Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :

b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2 atau

x2 y 2  1 a 2 b2

Dengan : Pusat ( 0,0 ) Titik focus F1 ( -c , 0 ) & F2 ( c , 0 ) Titik puncak ( -a , 0 ) & ( a , 0 ) Panjang sumbu mayor = 2a Panjang sumbu minor = 2b 𝑎

Persamaan asimptot : 𝑦 = ± 𝑏 𝑥 Persamaan direktriks : 𝑥 = ±

𝑎2 𝑐

𝑐

Eksentrisitas: 𝑒 = 𝑎 Panjang lactus rectum =



2𝑏 2 𝑎

Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :

b2 y 2  a 2 x 2  a 2b2 atau

y 2 x2  1 a 2 b2

Dengan : Pusat ( 0, 0 ) Titik focus F1( 0, -c ) & F2 ( 0, c ) Titik puncak ( 0, -a ) & ( 0, a ) Panjang sumbu mayor = 2a Panjang sumbu minor = 2b 𝑎

Persamaanasimptot : 𝑦 = ± 𝑏 𝑥 Persamaandirektriks : 𝑦 = ±

𝑎2 𝑐

Contoh 1 : Diketahui persamaan hiperbola

𝑥2

− 16

𝑦2 9

= 1, tentukan :

Geometri Analitik Bidang / FKIP UMRAH

2

Koordinat titik puncak, Koordinat titik focus, Persamaan asimptot, Persamaan direktriks, Eksentrisitas, dan Panjang lactus rectum. Jawab : 𝑥2

𝑦2

Dari persamaan hiperbola 16 −

= 1 , diperoleh a2 = 16, maka a = 4 dan b2 = 9, maka b = 3

9

c  a2  b2  42  32  16  9  25  5 Koordinat titik puncak : ( - a, 0 ) = ( - 4, 0 ) & ( a, 0 ) = ( 4, 0 ) Koordinat titik fokus : ( - c, 0 ) = ( -5, 0 ) & ( c, 0 ) = ( 5, 0 ) 𝑏

3

Persamaan asimptot : 𝑦 = ± 𝑎 𝑥 = ± 4 𝑥 Persamaan direktriks : 𝑥 = ± 𝑐

5

eksentrisitas : 𝑒 = 𝑎 = 4 panjang lactus rectum =

2𝑏 2 2

𝑎2 𝑐

=

=±

2.32 4

42 5

= ±

9

16 5

1

= ±3 5

1

= 2 = 42

Contoh 2 : Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya ( 0, 5 ) & ( 0, -5 ). Jawab : Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5) diperoleh c=5.

b  c2  a2  52  32  25  9  16  4 Jadi persamaan hiperbolanya adalah y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2  2 1  2  2 1   1 2 a b 3 4 9 16

b. Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α, β ) 

Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :

 x   a2

2

y  b2

2

1

Dengan : Pusat( α, β ) Titik fokus F1( α - c, β ) & F2 ( α + c, β ) Titik puncak ( α - a, β ) & ( α + a, β ) Panjang sumbu mayor = 2a Panjang sumbu minor = 2b 𝑏

Persamaan asimptot : 𝑦 − 𝛽 = ± 𝑎 (𝑥 − 𝑎) Geometri Analitik Bidang / FKIP UMRAH

3

Persamaan direktriks :𝑥 = 𝑎 ±



𝑎2 𝑐

Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :

y a2

2

 x    b2

2

1

Dengan : Pusat ( α, β ) Titik fokus F1( α , β - c ) & F2 ( α, β + c ) Titik puncak ( α , β - a ) & ( α, β + a ) Panjang sumbu mayor = 2a Panjang sumbu minor = 2b 𝑎

Persamaana simptot : 𝑦 − 𝛽 = ± 𝑏 (𝑥 − 𝑎) Persamaan direktriks : 𝑦 = 𝛽 ±

𝑎2 𝑐

Contoh 3 : 2 2 Diketahuipersamaanhiperbola 4 x  3 y  24 x  18 y  27  0 . Tentukan:

Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, persamaan asimptot, dan persamaan direktriks Jawab : Nyatakan terlebihdahulu persamaannya kedalam bentuk baku

 x   a2

2

y  b2

2

1

4 x 2  3 y 2  24 x  18 y  27  0 4 x 2  24 x  3 y 2  18 y  27 4  x 2  6 x   3  y 2  6 y   27

    4  x  3  9  3 y  3  9  27

4  x  3  32  3  y  3  32  27 2

2

2

2

4  x  3  36  3  y  3  27  27 2

2

4  x  3  3  y  3  27  27  36 2

2

Geometri Analitik Bidang / FKIP UMRAH

4

4  x  3  3  y  3  36 2

2

4  x  3  3  y  3  36 2

 x  3

2

9

2

 y  3  12

2

1

Dari persamaan diatas, diperoleh 𝛼 = −3 𝑑𝑎𝑛 𝛽 = 3, aa = 9, maka a = 3 dan b2 = 12, maka b = 2 3 ,

c  a2  b2  9  12  21 Koordinat titik pusat ( α, β ) = ( -3, 3 ) Koordinat titik puncak ( α - a, β ) = ( -3-3, -3 ) = ( -6, -3 ) & ( α + a, β ) = ( -3+3, -3 ) = ( 0, -3 ) Koordinat titik fokus : F1( α - c, β ) = ( -3- 21 , 3 ) & F2 ( α + c, β ) = ( -3+ 21 , 3 ) 𝑏

Persamaan asimptot : 𝑦 − 𝛽 = ± 𝑎 (𝑥 − 𝑎) ↔ 𝑦 − 3 = ± Persamaan direktriks : 𝑥 = 𝑎 ±

𝑎2 𝑐

↔ 𝑥 = −3 ±

32 √21

2√3 3

(𝑥 + 3)

↔ 𝑥 = −3 ±

9 √21

3

↔ 𝑥 = 𝑥 − 3 ± 7 √21

3. Garis Singgung Hiperbola Persamaan hiperbola yang berpusat di O (0,0) adalah : 𝑥2 𝑦2 − =1 𝑎2 𝑏 2 Maka persamaan garis singgung yang melalui titik (x1 , y1 ) adalah : 𝑥1 𝑥 𝑦1 𝑦 − 2 =1 𝑎2 𝑏 Sedangkan persamaan hiperbola yang berpusat di P (p,q) adalah : (𝑥 − 𝑝)2 (𝑦 − 𝑞)2 − =1 𝑎2 𝑏2 Maka persamaan garis singgung yang melalui titik (x1 , y1) adalah : (𝑥1 − 𝑝)(𝑥 − 𝑝) (𝑦1 − 𝑞)(𝑦 − 𝑞) − =1 𝑎2 𝑏2 Contoh 4 : Tentukanlah persamaan garis singgung pada hiperbola

(𝑥+𝑦)2 24

−

(𝑦−1)2 50

= 1 di titik (-1, 6) !.

Jawab : Pertama, kita perhatikan persamaan hiperbola tersebut : (𝑥 + 𝑦)2 (𝑦 − 1)2 − =1 24 50 Persamaan hiperbola tersebut berpusat di titik (-7,1) atau p = -7 dan q = 1. Sedangkan a2 = 24 dan b2 = 50. Hiperbola tersebut melalui titik (-1,6) berarti x1 = -1 dan y1 = 6. Geometri Analitik Bidang / FKIP UMRAH

5

Dengan persamaan garis singgung kita tentukan dengan memakai rumus: (𝑥1 −𝑝)(𝑥−𝑝)

.

𝑎2 (−1+7)(𝑥+7)

.

24 6(𝑥+7)

.

−

24 𝑥+7

.

4

−

− −

(𝑦1 −𝑞)(𝑦−𝑞) 𝑏2 (6−1)(𝑦−1)

5(𝑦−1)

𝑦−1 10

50

50

=1

=1

=1

=1

10(x + 7) – 4(y – 1) = 40 10x + 70 – 4y + 4 = 40 10x – 4y + 74 – 40 = 0 10x – 4y + 34 = 0 5x – 2y + 17 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 5x – 2y + 17 = 0 Jika persamaan yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya

𝑥2 𝑎2

𝑦2

− 𝑏2 = 1, maka persamaan

garis singgungnya adalah : …… persamaan 1 Jika persamaan yang berfokus pada sumbu y, hiperbolanya

𝑦2 𝑎2

𝑥2

− 𝑏2 = 1 , maka persamaan garis

singgungnya adalah : ……persamaan 2

y = mx

jika persamaan hiperbolanya

(𝑥−𝑝)2

y – q = m (x – p)

𝑎2

−

(𝑦−𝑞)2 𝑏2

= 1 maka persamaan garis singgungnya adalah :

….. persamaan 3.

Jika persamaan hiperbolanya

(𝑥1 −𝑝)(𝑥−𝑝) 𝑎2

−

(𝑦1 −𝑞)(𝑦−𝑞) 𝑏2

= 1, maka persamaaan garis singgungnya

adalah : y – q = m(x – p)

Contoh 5 : Tentukalah persamaan garis singgung pada hiperbola 16y2 – 9x2 = 9 yang tegak lurus terhadap garis √2𝑥 + y = 0 !. Jawab : Kita perhatikan √2x + y = 0 gradient m1 = – Dan yang akan kita cari adalah gradient m2 yang tegak lurus dengan m1 . Dengan : m1 . m2 = -1 m2 = Geometri Analitik Bidang / FKIP UMRAH

6

m2 = kemudian kita perhatikan persamaan hiperbola : 16y2 – 9x2 = 9 Kita ubah ke bentuk baku agar kita dapat menentukan nilai a2 dan b2. Kemudian ruas kita bagi dengan 9 agar ruas kanannya bernilai satu sehingga persamaan hiperbola terebut menjadi :

Dari persamaan hiprbola ini terlihat bahwa persamaan garis singgung ang memenuhi adalah persamaan 2. Sehingga persamaan garis singgungnya adalah : y = mx y= y= y= jadi persamaan garis singgung hiperbola terebut adalah y =

Geometri Analitik Bidang / FKIP UMRAH

7

RANGKUMAN

HIPERBOLA

Persamaan Hiperbola

Persamaan Hiperbola

yang berpusat di ( 0,0 )

yang berpusat di( α, β )

Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :

b x a y  a b 2 2

2 2

2 2

x2 y 2 atau 2  2  1 a b

Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :

b y a x  a b 2

2

2 2

2 2

y 2 x2 atau 2  2  1 a b

Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :

 x   a2

2



y b2

2

1

Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah : 2 2  y      x    1 a2

b2

persamaan garis singgung yang

persamaan garis singgung yang

melalui titik (x1 , y1 ) adalah : 𝑥1 𝑥 𝑦1 𝑦 − 2 =1 𝑎2 𝑏

melalui titik (x1 , y1) adalah : (𝑥1 − 𝑝)(𝑥 − 𝑝) (𝑦1 − 𝑞)(𝑦 − 𝑞) − 𝑎2 𝑏2 =1

Geometri Analitik Bidang / FKIP UMRAH

8

DAFTAR PUSTAKA

https://toermoedy.files.wordpress.com/2010/11/bab-vi-hiperbola.pdf Di unduh pada tanggal 13 april 2017. http://andalanpelajar.com/pluginfile.php/364/mod_label/intro/Teori%20Hiperbola.pdf Di unduh pada tanggal 13 april 2017. http://directory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/Geometri%20Analitik/Bab-7%20OK.pdf

Di

unduh pada tanggal 13 april 2017. http://ilmuhitung.com/persamaan-garis-singgung-pada-hiperbola/ Di unduh pada tanggal 13 april 2017.

Geometri Analitik Bidang / FKIP UMRAH

9