Funkcije_trigonometrija.pdf

FUNKCIJE I dio određiva je do e e od os o područja defi i ije fu k ije Uvod Ako i a o skupove A i B real ih rojeva te fu k iju f koja svako ele e tu skupa A pridružuje ele e t skupa B o da skup A zovemo do e a ili područje defi i ije fu k ije a skup B kodo e a ili područje vrijed osti.

Piše o : → fu k ije f a = α.

(funkcija f preslikava sa A a B . Iz slike

ože o isto tako vidjeti da vrijed ost

Funkcija ima svoj graf �, čije će o se određiva ju posvetiti u kas iji djelovi a. Najed ostav ija funkcija ima graf pravac i ima eksplicitni oblik � = � + gjde su k i l realni brojevi a x je element domene. Ovdje će o još spo e uti i kvadrat u fu k iju � = � + �+ čiji je graf para ola. (Napo e a: važ o je zapa titi redosljed koefi ije ata a se uvijek alazi uz � , b uz x a c je slobodan koeficijent. Ako je a egativa para ola je us jere a pre a dole od os o „tuž a je“ ako je a pozitiva para ola je us jere a pre a gore od os o „ as iješe a je“. Ako su svi koefi ije ti , , ≠ tada se ultočke određuju po oću poz ate formule �

,

=

− ±√

−

u slučaju da je

veliči a a drugu i korje ova je

= 0 rješava o jed adž u pre a iva je

ijele jed adž e. Prito

Određiva je do e e

epoz a i a pote ija od x

a jed u a poz atih

tre a paziti da i a o 2 rješe ja od os o staviti z ak ± ispred rješe ja.)

Do e u fu k ije određuje o kako i odredili je graf točke x . Zato su nam za domenu potrebne vrijednosti koje znamo nacrtati u pravokut o koordi at o sustavu te tre a paziti a ekoliko karakteristič ih pri jera. 1.

� = �+ Ova funkcija nema nikakvih ogra iče ja pa je je a do e a ijeli skup real ih rojeva � Primjer: � =

2.

� =

�−

� � ℎ �

⇒�

= �

= �

Ovaj slučaj i a ogra iče je a aziv ik koji ora iti ≠ �. Dijeljenje sa nulom je zabranjena operacija, a zapravo iznosi ∞ što će o vidjeti kas ije . Međuti udući da ∞ ne znamo nacrtati u pravokutnom koordinatnom sustavu onda taj slučaj ora o izuzeti iz do e e fu k ije pa kaže o da za ∞ vrijednost domene funkcija nije definirana. Određiva je do e e započi je o postavljanjem uvjeta ℎ � ≠ . Ovis o o vrsti fu k ije oda ire o ači rješava ja od os o određiva ja ula. Primjer: � � = �+ U roj iku i a o li ear u fu k iju ez orag iče ja, a u aziv iku a se pojavljuje varija la x pa slijedi da i a o fu k iju h(x) za koju ora vrijediti ogra iče je da ije ula ℎ � =

�+

9

≠

⇒ �≠−

9

pa, udući da e a više dodat ih ogra iče ja, do e a aše fu k ije je ijeli skup real ih

brojeva osim − i piše o do e a fu k ije je �

9

= � \ {− }

Primjer:

� = +�−� Sada u aziv iku i a o kvadrat u jed adž u prepoz aje o je po −� ) i ona mora biti ≠ Budući su sva tri koefi ije ta različita od ule potre o je upotrije iti for ulu −� + � + 3.

≠

⇒ �

,

=

− ±√

� =− � =

⇒ �

−

=

− ±√ + −

= � \ {− , }

=

− ± −

� = √ � Kada i a o fu k iju od x pod korije o tada a je jedi o važ o postaviti uvjet da je � �. Kada je funkcija g(x) linearna � = � + tada rješava o o ič u ejed adž u gdje do iva o kao rezultat da x ora iti veće ili jed ako od nekog realnog broja

Primjer: � =√ �− Jedini uvijet je da je funkcija pod korjenom

Domena funkcije �

�

⇒ �−

⇒�

= [ , ∞ (Napomena: kada imamo znak

��

pored tog x-a stavljamo uvijek uglatu zagradu [ ili ] a

kada imamo < � � >, bez jednako onda stavljamo � � . Dodatno kod broja ±∞ uvijek stavljamo � � ) � =

Ukoliko je funkcija g(x) oblika

�+

rješava o pose

�+

o

etodo

kojo

će o u rzati postupak. I ače, duži

pute , ova ejed adž a se rješava po oću ko i a ija. Budući da se radi o ejed adž i a i i a o razlo ak gdje i roj ik i aziv ik isu ko sta te ora o postaviti slučajeve za koje vrijedi ejed adž a. U ovo slučaju udući da g x ora iti veće ili jed ako ula z ači da i aša g x tre ala iti pozitiv a, a razlo ak je pozitiva ako su i roj ik i aziv ik > (to bi bio prvi slučaj ili ako su i roj ik i aziv ik < što i io drugi slučaj . Tre alo i sada riješiti i prvi i drugi slučaj te vidjeti gdje se o i poklapaju i to i ila aša do e a. Budući da a je to previše posla poslužiti će o se triko i ijelu ejed adž u po ožiti sa kvadrato aziv ika. Tako se išta eće pro ije iti jer z a o da je kvadrat uvijek pozitivan broj. Sada smo dobili produkt dviju zagrada čiji ože je i dobili kvadratnu funkciju. Međuti i eće o ožiti. ) a o da je graf kvadrat e fu k ije para ola i z a o odrediti je e ultočke pa će o po oću ultočki a rtati graf i iz grafa odrediti gdje je aša g x veća ili jed aka uli. Budući da i a o dvije zagrade koje se ože u jesto uvrštava ja u for ulu za ultočke ultočke ćemo odrediti tako da prvu i drugu zagradu izjed ači o sa ulo Napo e a: ulu sa des e stra e ože o do iti ako je ili jeda ili drugi čla = 0) Primjer:

� = √ Izraz pod korje o

tre a iti veći ili jednak nuli

M oži o ijelu ejed adž u sa kvadrato

�+ �−

�+ �−

/∙

�−

aziv ika i do iva o kvadrat u jed adž u. �+

�−

�+

�−

Vrijed ost će o odrediti iz grafa. Naprije tre a aći ultočke od os o ejed adž u pretvoriti u jed adž u. =

Ovo vrijedi ako je ili prva zagrada = 0 ili druga. Uzi a o u o zir o a slučaja i do iva o zapravo ultočke. �+

=

⇒� = −

�−

=

⇒ �=

Iz gor je jed adž e vidi o da su o a koefi ije ta uz varija lu x pozitiv a pa će i koefi ije t uz � biti pozitivan odnosno parabola će iti as iješe a.

Budući da i a o još i razlo ak

4.

�=

7

⇒�

� =

= −∞, − ] ⋃

�

7

⇒ �

= −∞, − ] ⋃ [ , +∞

ora o se tu po ri uti i da aziv ik ije ula pa do e a e i s jela uključivati ultočku , +∞

Logaritamska funkcija ima jedini uvijet da je

� >�

Zadaci:

1. 2. 3. 4. 5.

� =

√ �+ �

� = �� � � = √

� =

� =

�

�

+�

√ln −�

+

� − �

�√ �

TRIGONOMETRIJSKI ZAPIS KOMPLEKSNOG BROJA

Kompleksni broj ima oblik =

+

Sastoji se od real og i i agi ar og dijela i agi ar i dio je uz i agi ar u jedi i u i . Budući da i a i koordi atu ože o ga a rtati u koordinatnom sustavu (Napo e a: i ače se ko pleks i rojevi prikazuju rtaju u ko pleks oj rav i i te real i i ko pleks i roj e ože o a rtatu u isto koordi at o sustavu).

y

z r=|z| sinϕ ϕ cosϕ

Uzi ajući ove vrijed osti po oću trigo o etrije

Ti e s o do ili o lik sa koji

�+

o liku koji se zove trigo o etrijski.

�

će o lakše izvoditi sve opera ije po oću slijedećih for ula

M ože je ko pleks ih rojeva

2.

Dijeljenje kompleksnih brojeva

4.

ože o ko pleks i roj zapisati u slijedeće =

1.

3.

x

=

co� � + �

=

Potenciranje

�

Korjenovanje �

�

√ = √

=

� −� �

�

�+

+

+

�+ �

� +�

� −� �

+

= ,…, −

�+

�

(Napomena: kada imamo korijen n-tog stup ja tada o i a rješe ja. Pri jer: ako i a o drugi korije od ekog roja x tada i a o i dva rješe ja √ i −√

pa e s ije o iti jed o rješe je izostaviti)

zato jer kvadriranjem oba broja dobivamo

Primjeri: 1.

=

�

+

�

,

=√

�

+

�

. Odredite

Rješe je: Ovo će o jed ostav o riješiti sa o korište je for ula � � = ��� � + �

,

� �

, + � �

5

√ . � +�

�+ �

= √ (

=

√

� = �

�

�− �

(

=

�+ �

+

� −�

� =

�

⇒

� + ��

⇒ 5√

=

� � � �

2.

Napiši u trigo o etrijsko

�

o liku

5

= √√ = = = =

=

⇒ √ (

� �

⇒ √ (

�

⇒ √ (

⇒ √ (

=

�

�

−

�

+

�

�

+

)

� + ��

+ � �

⇒ √ (

Rješe je: Trigonometrijski obik kompleksnog broja je

�

√

)=

�+

�

+

� −�

�+� � � � ( +

=

√� = √ �

�

√

+� �

�− �

+

)=

+

� �

+

�

+

�

+

)

�+

) ) )

�

+

�

)

= �+ � Da i ogli iz ašeg počet og o lika do iti trigo o etrijski potre o je odrediti r i kut ϕ, a sve će o apraviti po oću gor je slike. r je udalje ost ko pleks og roja z od ishodišta, a ujed o a sli i vidi o da je to hipote uza pravokut og trokuta. Iz Pitagorinog teorema tada imamo da je Sada a

= √ + = √ =| |= √ + tre a kut a udući da i a o poz ate vrijed osti za x i y iz trigonometrije najpogodnija funkcija nam je tangens. Za kut

jako je važ o u koje kvadra tu se alazi o, a to će o odrediti iz aših vrijed osti pozitiva IV kvadra tu. Što to z ači? Da kut e ože o raču ati direktno nego izvesti ga � = � − � �

�

⇒ �� =

�

�= � �=

−

=

=

, = °− ,

,

, ° °=

,

i

egativa

⇒ nalazimo se u

°

(Napo e a: kod određiva ja kuta ora o uvijek paziti da li se radi o radija i a kutevi su iskaza i po oću �) ili stupnjevima. O ič o kada se radi o ta lič i vrijed osti a kuta, a to su vrijed osti za koje od ah z a o o koje kutu se radi o da ga zapisujemo u radijanima i oduzimamo od vrijednosti �. U suprot o , kao što se desilo u aše pri jeru morali smo se poslužiti kalkulatorom da odredimo vrijednost �− � onda bez da diramo opcije kalkulatora dobivamo vrijednost kuta u stupnjevima pa u to slučaju tre a oduzi ati od ° = �) (Napomena: svaki put kada se pojavi zadatak da imate kompleksni broj zapisa u alge arsko o liku te sa ji e tre a ešto raditi prije svega ga pretvaramo u trigonometrijski oblik i zatim primjenjujemo gornje formule.) Zadaci: 1. Po

oži ko pleks e rojeve

=− −

,

=−

+ ,

=

2.

Za

3.

Odredite z ako vrijedi da je √ + + √

4. 5.

√

+

= −

= √ −

odredite vrijednost izraza =

Odredite trigonometrijski zapis kompleksnog broja

Odredite z ako vrijedi

�5

− −

=

=√

� 6

−

�

� � � 6

TRIGONOMETRIJA (Primjena trigonometrijskih funkcija) Prezentacija se nalazi na http://prezi.com/3yg7h4bbfejm/trigonometrija/ Riješe a su i o jaš je a prva zadatka ostale avede e u preze ta iji riješite sa i za vjež u i javite se u slučaju da i a pitanja. 1.

Odredite koefi ije t tre ja a kosi i pod kute od stup jeva a kojoj i tijelo tre alo ostati u rav oteži. Rješe je: Iz zadatka vidi o da tijelo ora ostati rav oteži što z ači da suma svih sila koje djeluju na njega mora biti = 0. Sile su vektori te da bi ih mogli zbrajati moraju biti u istoj ravnini. Za ravninu uzimamo poznati pravokutni koordinatni sustav. Skicirajmo problem.

Na aše tijelo a kosi i djeluju sa o dvije sile mg – sila teža μN – sila tre ja u ožak koefi ije ta tre ja i or al e sile podloge N – sila kojom podloga djeluje na tijelo) Te dvije sile djeluju svaka u svo s jeru i isu oko ite, a kut eđu njima nam je nepoznat. Kako bi ih mogli zbrojiti odgovara nam da postavimo koordinatni sustav prema kosini (okomito i paralelno na kosinu) te sve sile rastavimo na komponente koje djeluju u tim smjerovima. Poznat nam je kut α a iz slič osti trokuta ože o isti kut pro aći i iz eđu ko po e ti sile teže. Napo e a: odlučili s o se a zakre uti sustav jer više sila i a o u ti sile teže će o odrediti po oću trigo o etrije.

s jerovi a tre je i N , a ko po e te

Kreće o sa rav i o ∑� =

⇒ �� − �� sin

=

* i us zato što iz slike vidi o da je jed a sila us jere a pre a gore a druga pre a dole koji predz ak već sa o da su suprot og prdz aka

Budući a

ije poz ato i

�� = �� sin

�� sin ⇒� = �

g i N kreće o u drugu rav i u ∑� =

�=

Kolika je visi a sta la čiji vrh dvije oso e eđuso Rješe je: Naprije tre a ski irati pro le .

�

⇒ � − �� cos

� = �� cos �=

Uvrsti o azad u izraz za μi do iva o

2.

=

�� sin

��

��√

√

�

=

ije važ o koja će i ati

�� �

=

�

��

=

√

= ,

o udalje e ,

gledaju pod kutevi a od 9, i

stupa j?

Što je zada o? I a o dvije oso e u točka a B i C te su o e eđuso o udalje e za a = , . Dalje i a o kuteve α = 9, ° i β = 61°, a zanima nas koliko je visina h=? Napo e a: udući da i a o kuteve ože o se poslužiti trigonometrijom ali moramo paziti jer ne znamo koliko su pro atrači udalje i od sta la = ? ) og toga postavlja o sustav od dvije jed adž e sa dvije epoz a i e. Kako a se jed a od epoz a i a alazi a kateti a i h je jed a od kateta iskoristiti će o trigo o etrijsku fu k iju tg kuta kako bi skratili postupak. tan

=

ℎ �+�

ℎ ℎ ⇒� = � tan Sada će o izraz za uvrstiti u prvu jed adž u i do iti h. ℎ tan = ℎ �+ tan Budući da i a o epoz a i u u aziv iku potre o je ijelu jed adž u po ožiti sa aziv iko jed adž u pre a iva je epoz a o a a jed u sta u a poz atih veliči a adrugu stra u tan

(� +

3.

ℎ ) tan tan ℎ=

=

ℎ tan tan = ℎ ⇒ℎ( − ) = � tan tan tan , � ∙ tan 9, ° tan ° = ≈ � tan ° − tan 9, °

= ℎ ⇒ � tan

� tan tan tan − tan

Neka Su čeve zrake padaju pod kute od duži e koliko je du ok krater?

i srediti

+

stup ja a površi u

jese a.Ako prito

u krateru stvara sje u

Rješe je: Ski a pro le a da a je lijevo. Iz slič osti trokuta ože o zaključiti da se isti kut upada zrake po avlja iz eđu upadne zrake i udaljenosti odnosno duži e sje e pa ože o direktno primijeniti trigonometrijsku formulu. Napo e a: po ov o će o upotrije iti fu k iju ta ge s udući se radi o katetama pa nam je ona najpogodnija. tan

=

ℎ ⇒ ℎ = � tan �

=

� ∙ tan

°≈

�