Funkcije_ii_dio.pdf

FUNKCIJE (II dio) Osi

do e e za fu k iju

ože o ispitati još eka svojstva koja će a

po oći da odredi o jeg graf.

1.

Jednakost funkcija – za dvije fu k ije f i g kaže o da su ispu je a slijedeća tri uvjeta a. Imaju jednake domene � = � b. Imaju jednake kodomene � = � c. Imaju jednaka pravila = (Napomena: Ukoliko bilo koji od ovih uvjeta nije zadovoljen fu k ije su različite. Ako je sve jed ako osi do e e, a do e u jed e fu k ije ože o s a jiti suziti tako da ude ista kao i do e a druge funkcije onda je druga funkcije restrikcija druge funkcije)

2.

Parnost i neparnost funkcija – Ispituje o da li je graf fu k ije si etriča zr ala s o ziro a os pa as za i a da li će o dobiti istu vrijednost funkcije kada uzmemo suprotan x. Funkcija je parna ako vrijedi −� = � . Ako je −� = − � o da je fu k ija epar a i je graf je si etriča s o ziro a ishodište koordi at og sustava. Ukoliko e vrijedi i jed a od ovih tvrd ji kaže o da fu k ija ije i par a i epar a

3.

Periodič ost fu k ije – zanima nas da li se nakon neke vrijednosti funkcija, pa tako i njen graf, ponavlja. Kaže o da je real a fu k ija f periodič a ako postoji real i roj � > takav da vrijedi � + � = � . Pri tom se broj P zove period funkcije f, a najmanji realni broj P za koji je relacija ispunjena zove se temeljni ili osnovni period funkcije f. (Napomena: ako je P period fu k ije o da je i P također period fu k ije). Periodič e fu k ije sa koji a s o se već upoz ali su trigo o etrijske funkcije, pa tako funkcije sinx i cosx imaju temeljni period � (Napomena: znamo da se vrijednosti sinus i kosinus funkcije ponavljaju kada napravimo cijeli krug), a funkcije tgx i ctgx imaju temeljni period od �. Trigonometrijska funkcija sinus ima oblik � = � � � + gdje A oz ačava a plitudu od os o ajveću vrijed ost koju dostiže fu k ija, je kruž a frekve ija, a po ak u fazi Iz os za koji je po ak uta fu k ija iz ishodišta. Može iti pozitivan i egativa . Nas će za i ati određiva je te elj og perioda fu k ije koji se

ože odrediti iz kruž e frekve ije � =

(Napo e a: u slučaju da je fu k ija f x z roj dviju trigo o etrijskih fu k ija tada se određuje te elj i period zase fu k iju i o da je ukup i te elj i period zajed ički višekrat ik o a perioda.) Primjeri:  Odredite temeljni period funkcije � = cos � −

�

�

.

o za svaku

Rješe je: I a o os ov i o lik fu k ije pa tre a sa o uvrstiti u for ulu za te elj i period fu k ije.



�

�=

=

�

= �

Odredite temeljni period funkcije � = � � �. Rješe je: Sada e a o o lik fu k ije gdje ože o od ah pri ije iti for ulu za te elj i period, ali e a o iti z roj fu k ija gdje i ogli odrediti svaki period pose o i o da aći zajed ički višekrat ik. Tu će o pri ije iti formulu za pretvor u u oška u z roj trigo o etrijskih fu k ija spo i jali s o je a prvo satu u preze ta iji trigonometrije) �

⇒

=

sin

� =

+

sin � +

+ sin

Znamo da je sinus neparna funkcija pa vrijedi sin −� = − � � Pa ože o dalje pisati Sada

ože o odrediti period pose

� =

o svake fu k ije

�

� =

4.

)ajed ički period je � = �

� =

�−

�

�

=

�

−

sin − � �

�

= �

Nultočke – vrijednosti na x osi za koje je funkcija f(x)=0. Postupak je da vrijednost funkcije izjed ači o sa ulo fu k ije traži o ultočke.

i ovis o o vrsti

Zadaci: 1.

Odredite da li su slijedeće fu k ije par e � � −� � − � = � � + � = � + −� � + −� � = ln − ln � +� � −� � = √� − � + − ln � +� � =

2.

Odredite jesu li slijedeće fu k ije jed ake

� = � = 3.

Odredite temeljni period funkcija

� =

x+

�−

� =

�

�+ �− 8 � = �

,

� =

� , �+

l g �− −2

� =

4.

l

�

,

� =

,

� =

� − +

� = sin 8� + � =

� +

cos

�

�

Odredite ultočke fu k ija � = �+ � = � − �+ � = � √� − � =

� =

�−

l (x4 −x2 − )

�

�+

�+ �