Fungsi Komponen Asli.pptx

FUNGSI EKSPONEN ASLI

Definisi 1. Fungsi Eksponensial Asli Fungsi eksponesial Asli adalah invers fungsi logaritma Asli, dan ditulis exp, yaitu : 𝑦 = exp 𝑥 ⟺ 𝑥 = ln 𝑦 Dari definisi 1, diperoleh hasil : (1)exp(ln 𝑥) = exp 𝑦 = 𝑥, untuk semua 𝑥 > 0

(2)ln(exp 𝑥) = ln(𝑦) = 𝑥, untuk semua nilai 𝑥

Definisi 2. Bilangan 𝑒

Bilangan 𝑒 adalah bilangan riil positif yang bersifat ln 𝑒 = 1. Nilai bilangan 𝑒 sampai dengan tujuh angka decimal adalah 2,7182818. Jadi, 𝑒 ≈ 2,7182818284 Karena telah didefinisikan bahwa, ln 𝑒 = 1, maka exp 1 = 𝑒. Sehingga untuk sembarang bilangan riil 𝑥 berlaku: 𝑒 𝑥 = exp(ln 𝑥) = exp(𝑥 ln 𝑒) = exp 𝑥

Dengan demikian, definisi fungsi eksponensial asli pada Definisi 1 dapat ditulis menjadi, 𝑦 = 𝑒 𝑥 = exp 𝑥 ⟺ 𝑥 = ln 𝑦 Oleh karena itu bentuk (1) dan (2) akibat dari Definisi 2 dapat ditulis menjadi, 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥, untuk 𝑥 > 0 ln 𝑒 𝑥 = 𝑥, untuk semua nilai 𝑥 Berdasarkan hasil (1) dan (2) serta Definisi 1 dan Definisi 2, dapat diturunkan sifat-sifat fungsi

eksponensial asli berikut ini.

Teorema A Sifat- sifat Eksponensial asli Sifat – sifat eksponensial asli. Andaikan 𝑎 dan 𝑏 sembarang bilangan riil, maka :

(1)𝑒 𝑎 𝑒 𝑏 = 𝑒 𝑎+𝑏 𝑒𝑎 (2)𝑒 𝑏

= 𝑒 𝑎−𝑏

(3) 𝑒 𝑎

𝑏

= 𝑒 𝑎𝑏

(1)𝑒 𝑎 𝑒 𝑏 =

(2)

𝑒𝑎 𝑒𝑏

exp(ln 𝑒 𝑎 𝑒 𝑏 ) = exp(ln 𝑒 𝑎 + ln 𝑒 𝑏 ) = exp 𝑎 + 𝑏 = 𝑒 𝑎+𝑏

= exp

(3) 𝑒 𝑎

𝑏

𝑒𝑎 ln 𝑏 𝑒

exp ln 𝑒 𝑎

= exp ln 𝑒 𝑎 − ln 𝑒 𝑏 = exp 𝑎 − 𝑏 = 𝑒 𝑎−𝑏 𝑏

= exp 𝑏 ln 𝑒 𝑎 = exp 𝑏𝑎 = exp 𝑎𝑏 = 𝑒 𝑎𝑏

Turunan Fungsi Eksponensial Asli Karena, 𝑒 𝑥 merupakan invers dari fungsi ln 𝑥, dan fungsi logaritma asli adalah fungsi yang diferensiabel, maka fungsi eksponensial juga diferensiabel atau mempunyai turunan fungsi

untuk

menentukan

rumus,

𝑑 𝑥 𝑒 𝑑𝑥

dapat

menggunakan aturan penurunan secara implisit. Oleh karena itu, diambil : 𝑦 = 𝑒 𝑥 atau , 𝑥 = ln 𝑦

Dengan mendefinisikan kedua ruas secara implisit terdapat 𝑥, diperoleh : 1=

1 𝑑𝑦 , 𝑦 𝑑𝑥

atau

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑦 = 𝑒𝑥

Dengan demikian turunan dari 𝑒 𝑥 adalah juga 𝑒 𝑥 . Jadi, 𝑑 𝑥 𝑒 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 Dari hasil ini diperoleh rumus umum, turunan fungsi eksponensial asli yang dinyatakan pada teorema berikut ini : Teorema 4. Andaikan 𝑦 = 𝑒 𝑢 dan 𝑢 = 𝑓(𝑥) yang diferensiabel, maka menurut Aturan Rantai :𝑑 𝑒 𝑢 = 𝑑𝑢 𝑒 𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Teorema 4. Andaikan 𝑦 = 𝑒 𝑢 dan 𝑢 = 𝑓(𝑥) yang diferensiabel, maka menurut Aturan Rantai : 𝑑 𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑒 = 𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑥

1. Carilah

𝑑𝑦 𝑑𝑥

dari 𝑦 =

3 ln 𝑥 𝑥 𝑒

Penyelesaian : Misalkan 𝑦 = 𝑒 𝑢 , dan 𝑢 = 𝑥 3 ln 𝑥, maka menurut Aturan Rantai diperoleh : 𝑑𝑦 𝑑𝑢 3 ln 𝑥 𝑑 𝑢 𝑥 =𝑒 =𝑒 𝑥 3 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 𝑥 3 ln 𝑥 2 3 =𝑒 3𝑥 ln 𝑥 + 𝑥 𝑥 3 ln 𝑥 2 𝑥 = 𝑥 (3 ln 𝑥 + 1) 𝑒

Teorema B. Andaikan 𝑦 = 𝑒 𝑢 dan 𝑢 = 𝑓(𝑥) yang diferensiabel, maka menurut Aturan Rantai : 𝑑 𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑒 = 𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑥

2. Tentukanlah

𝑑𝑦 𝑑𝑥

dari 𝑦𝑒 𝑥 + 2𝑥 = 𝑥 ln 𝑦

Penyelesaian : Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap 𝑥, diperoleh : 𝑑 𝑥 𝑑 𝑑 𝑒 + 𝑒𝑥 𝑦 +2 𝑥 = ln 𝑦 𝑥 + 𝑥 ln 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 𝑦𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 = ln 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑥 1 𝑑𝑦 𝑦𝑒 𝑥 − 𝑥 = ln 𝑦 − 2 − 𝑦𝑒 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦(ln 𝑦 − 2 − 𝑦𝑒 𝑥 ) = 𝑑𝑥 𝑦𝑒 𝑥 − 𝑥 𝑦

3. Tentukanlah

𝑑𝑦 𝑑𝑥

jika 𝑦 = 𝑒 (ln 𝑥)/𝑥

Penyelesaian: Misalkan 𝑦 = 𝑒 𝑢 , dan 𝑢 = (ln 𝑥)/𝑥, maka menurut Aturan Rantai diperoleh : 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑 ln 𝑥 1 𝑢 (ln 𝑥)/𝑥 (ln 𝑥)/𝑥 =𝑒 =𝑒 =𝑒 (1 − ln 𝑥) 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥