Fungsi Dan Limit.doc

BAB II FUNGSI DAN LIMITNYA 2.1 Fungsi dan Grafiknya Misal A = {a1,a2, a3, a4, a5}, B = {b1, b2, b3, b4, b5} adalah dua himpunan yang anggotanya berhingga, maka dapat dibuat hubungan (relasi) antara himpunan A dan B, seperti gambar berikut.

B

A

Andaikan A dan B anggotanya tidak berhingga, maka dapat dibuat garis real dalam bentuk sumbu koordinat X dan Y. Semua titik pada sumbu X disebut domain (daerah asal alamiah) sedang semua titik pada sumbu Y yang mempunyai pra peta di A disebut renge.

Y

X

Definisi: Fungsi

adalah

suatu

aturan

korespondensi

satu-satu

yang

menghubungkan setiap objek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan yang kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (range). Untuk memberi nama suatu fungsi digunakan simbol berupa f atau F. Maka f(x) dibaca “fungsi f pada x”. Hal ini menunjukkan nilai yang diberikan oleh fungsi f terhadap nilai x. Jadi secara umum jika f : A -> B adalah fungsi f dari disebut Range. Untuk menentukan daerah asal dan daerah hasil statu fungsi secara lengkap kita harus menyatakan, disamping aturan yang bersesuian daerah asal fungsi. Misalnya jika f adalah fungsi dengan aturan f(x) = x + 1 maka daerah asal alamiah (domain) f(x) adalah semua bilangan real dan daerah hasil (range) adalah semua bilangan real. f(x) = x + 1 daerah asal alamiahnya semua bilangan real karena untuk setiap x bilangan real f(x) mempunyai nilai. Contoh Tentukan daerah asal alamiah dan Range dari: 1. f(x) =

1 x

Jawab Daerah asal alamiah (D) = {x|x < 1} = (- ,1) Daerah hasil (R) = {y|x  0 } = [0,  ) 2. f(x) =

1 1 x2

Jawab Daerah asal alamiah (D) = R – {-1,1} Daerah hasil (R) = R – {0} 3. f(x) =

x2 1

Jawab Daerah asal alamiah (D) = [-1,1]

Daerah hasil (R) = [0,1] 4. f(x) 

1 x 1

Jawab Daerah asal alamiah (D) = (1,  ) Daerah hasil (R) = (0,1) Catatan Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu dalam R, 1. Jika f(x) = f(-x) maka f(x) disebut fungsi genap Contoh a. f(x) = x 2  x 4 adalah fungsi ganjil karena f(-x) = (-x) 2 -(-x) 2 = x 2  x 4 b. f(x) =

1 1 x2

adalah fungsi genap

c. f(x) = 6 adalah fungsi genap 2. Jika –f(x) = f(-x) maka f(x) disebut fungsi ganjil Contoh a. f(x) = x 3  x adalah fungsi ganjil b. f(x) =

2 2  x3

adalah fungsi ganjil

3. jika f(x) = f(-x) = -f(x) maka f(x) disebut fungsi genap dan ganjil Contoh a. f(x) = 0 fungsi genap dan ganjil karena f(x) = 0, -f(x) = -0 = 0 dan f(-x) = 0

sehingga f(x) = f(-x) = -f(x)

4. jika f(x)  f ( x)   f ( x) maka f(x) disebut fungsi tidak genap tidak ganjil. Contoh a. f(x) = 1 – x adalah fungsi bukan genap dan bukan ganjil b. f(x) = x - x 2 adalah fungsi bukan genap bukan ganjil

c. f(x) =

1 adalah bukan fungsi genap bukan fungsi ganjil. 1 x

2.2 Operasi Pada Fungsi Sepertihalnya dengan bilangan, fungsi dapat dioperasikan dengan tanda operasi pada bilangan. Operasi tersebut adalah + (jumlah), - (selisih), : (pembagian), dan . (perkalian). Misal f(x) dan g(x) dua fungsi yang terdefinisi pada suatu selang, maka operasinya adalah: 1. f(x) + g(x) = (f+g)(x) 2. f(x) – g(x) = (f-g)(x) 3. f(x) x g(x) = (fxg)(x) 4.

f ( x)  f  g ( x)  g

 ( x) asalkan g ( x )  0 

f ( x ). f ( x). f ( x). f ( x).... f ( x) ( f . f . f . f ... f )( x ) 5.              =        = f n (x) n faktor

n faktor

Selain

operasi

di

atas,

dua

fungsi

atau

lebih

dapat

dikomposisikan. Jika fungsi f mempunyai daerah hasil f(x) dan fungsi g mempunyai daerah definisi g(f(x)). Maka dapat dikatakan kita telah mengkomposisikan g(x) dengan f(x). Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi fungsi g dengan fungsi f dan dinotasikan dengan gof, sehingga (gof)(x) = g(f(x)).

Dengan cara yang sama kita juga dapat melakukan komposisi f(x) dengan g(x). Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi fungsi f dengan fungsi g dan dinotasikan dengan fog, sehingga (fog)(x) = f(g(x)). Contoh 1. f(x) =

x2  4 ,

g(x) = 2 +

1 1 x

a. f(x) + g(x) =

x2  4

+ (2 +

b. f(x) - g(x) =

x2  4

- (2 +

c. f(x). g(x) = ( x 2  4 )(2 +

a. (fog)(x)

= f(g(x))

=

x

)

x

= g(f(x)) = 1-

1 x

Berdasarkan a dan b (fog)(x)

3. f(x) =

1 ) 1 x

x

=1–(1-

b. (gof)(x)

1 ) 1 x

1 ) 1 x

d. f(x) : g(x) = ( x 2  4 ):(2 +

2. f(x) = 1- x , g(x) = 1 -

1 ) 1 x

1 , g(x) = 2 x

1 x2

 (gof)(x)

a. (fog)(x) = f(g(x)) = b. (gof)(x)

1 2  1 x2

= g(f(x)) = 1  

1   2x

2

=

1   1  2  4  4 x  x  

=

3  4x  x 2 4  4x  x 2

Berdasarkan a dan b (fog)(x)  ( gof )( x)

Soal-soal 1. Tentukan daerah definisi dan daerah hasil dari fungsi berikut: a) f(x) = 1-

1 x

b) g(x) =

1 2x

c) f(x) =

1 x2

d) g(x) = 1- x 2 e) f(x) =

1 , 2 x

f) (x) = x 3 1 g) f(x) = x2 + 4, e. g(x) =

2 x3

,

,

 f 

2. Tentukan daerah definisi (f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x), dan  ( x ) jika: g a. f(x) = 1b. f(x) = c. f(x) =

1 x

1 x2

, g(x) =

, g(x) = 1- x 2

1 , g(x) = x 3 1 2 x 2 x3

d. f(x) = x2 + 4, g(x) = e. f(x) =

1 2x

x 2 3,

g(x) =

x 1

3. Tentukan (fog)(x) dan (gof)(x) jika a. f(x) = 1b. f(x) = c. f(x) =

1 x

1 x2

, g(x) =

, g(x) = 1- x 2

1 , g(x) = x 3 1 2 x 2 x3

d. f(x) = x2 + 4, g(x) = e. f(x) =

1 2x

x 2 3,

g(x) =

x 1

2.3 Fungsi Trigonometri C

r A



y B

x Pada gambar di atas,  ABC adalah sebarang segitiga yang salah satu sudutnya  dan siku-siku pada  CBA. Dengan memisalkan AB = x, BC = y dan AC = r. maka berdasarkan segitiga tersebut terdapat 6

perbandingan

sisi-sisi

segitiga

(goniometri)

yaitu:

AB BC BC AC AC AB , , , , , AC AC AB AB BC BC

Karena  A =  maka perbandingan tersebut dinyatakan dengan: 1. sin  

BC y = AC r

2. cos  

AB x = AC r

3. tan  

BC y = y AB x

4. cot  

AB  = y y BC

5. sec  

6. csc  

x

1



x

1 tan 

r 1 1   x x cos  r

AC AB

r

1

AC   y y BC



r

1 sin 

Karena  ABC salah satu sudutnya siku-siku, maka menurut teorema Pitágoras berlaku: AB 2  BC 2  AC 2  x2  y2  r 2

Selanjutnya

secara

berurutan

membagi

persamaan

dengan r2, x2 dan y2 diperoleh persamaan baru 1.

x2 y2 r2   2 r2 r2 r

x2  y2  r 2

2

2

 x  y        12 r r   cos  

2

  sin  

2

1

 cos   sin   1  (1) 2

2

x2 y2 r2 2. 2  2  2 x x x 2

 y r  12       x  x

2

 1   tan    (sec  ) 2 2

 1  tan 2   sec 2   ( 2)

3.

x2 y2 r2   y2 y2 y2 2

x r     12     y  y   cot  

2

2

 1  (csc  ) 2

 cot 2   1  csc 2   (3)

Persamaan (1), (2), dan (3) di atas dinamakan rumus identitas. Selanjutnya

berdasarkans

perbandingan

tersebut

dapat

dibuat

beberapa humus tentang fungsi trigonometri. Perhatikan gambar berikut ini. k

U



S

l

T



O



Pada

m

P Q gambar

di

atas

terdapat

QOT , TSU , OTU , dan OPU QOT  TSU

4

segitiga

siku-siku,

yaitu

dan diketahui  QOT   ,  TOU   .

sehingga  SUT 



Berdasarkan OPU diperoleh perbandingan panjang sisi Sin POU 

UP dengan UP = PS + SU OU

Karena QOT  TSU maka SU = UT cos



Karena PS = QT dan karena OQT siku-siku di TQU maka OQ = OT cos

 dan QT = OT sin 

Karena OTU siku-siku di OTU maka OT = OU cos  dan UT = OU sin  Karena POU     Sin POU 

UP OU

 sin (    ) =

UP OU

=

PS  SU OU

=

QT  SU OU

=

OT sin   UT cos  OU

=

OU cos  sin   OU sin  cos  OU

Sehingga diperoleh rumus sin (  +

) =

.

sin  cos   sin  cos 

............ (4) Dengan cara yang sama diperoleh: cos POU 

OP , OP = OQ – PQ OU

Karena QOT  TSU maka SU = UT cos



Karena PQ = ST dan karena UST siku-siku di TSU maka ST = SU sin



Karena OTU siku-siku di OTU maka OT = OU cos  dan UT = OU sin  Karena OQT siku-siku di TQU maka OQ = OT cos sin



 dan QT = OT

Karena POU     cos POU 

UP OU

 cos (    ) =

OP OU

=

OQ  PQ OU

=

OQ  ST OU

= =

OT cos   UT sin  OU

OU cos  cos   OU sin  sin  OU

Sehinggda diperoleh rumus cos (  +  ) = cos  cos   sin  sin  ............ (5) Berdasarkan (4) dan (5) dapat ditentukan rumus lain Sin (    ) = sin (   (   )) = sin  cos (  )  cos  sin (  ) = sin  cos   cos  ( sin  ) = sin  cos   cos  sin  ...........(6) Cos (    ) = cos (   (   )) = cos  cos (  )  sin  sin (  ) = cos  cos   sin  (  sin  ) = cos  cos   sin  sin  ...........(7) tan (   ) 

sin (   ) cos(   ) sin  cos   cos  sin 

= cos  cos   sin  sin 

Persamaan di atas dibagi dengan cos  cos  , diperoleh: sin  cos  = cos  cos 

cos  cos  sin   cos  cos  cos  cos  sin  sin   cos  cos  cos 

sin  sin   cos  cos  = sin  cos  1 cos  cos  tan   tan 

= 1  tan  tan  tan   tan 

Sehingga tan (   ) = 1  tan  tan  tan (   ) 

.................... (8)

sin (   ) cos(   ) sin  cos   cos  sin 

= cos  cos   sin  sin  Persamaan di atas dibagi dengan cos  cos  , diperoleh: sin  cos  = cos  cos 

cos  cos  sin   cos  cos  cos  cos  sin  sin   cos  cos  cos 

sin  sin   cos  cos  = sin  cos  1 cos  cos  tan   tan 

= 1  tan  tan  tan   tan 

Sehingga tan (   ) = 1  tan  tan 

.................... (9)

Beberapa rumus fungsi trigonometri yang lain adalah: 1. sin(  )   sin  2. cos( )  cos  3. tan( )   tan           cos    2   2 

4. sin   sin   2 sin 

    2

5. cos   cos   2 cos 

      cos     2 

6. sin 2  2 sin  cos  7. cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2 sin 2 

1 2

8. sin  sin    [cos(   )  cos(   )] 1 2

9. cos  cos   [cos(   )  cos(   )] 10.

sin  cos  

1 [sin(   )  sin(   )] 2

11.

 x sin     2

1  cos  2

12.

 x cos     2

1  cos  2

Bukti rumus di atas ditinggalkan oleh penulis untuk menjadi latihan bagi pembaca. Soal-soal 1. Selidiki fungsi berikut genap, ganjil, bukan genap ataupun ganjil a. f(x) = cos x + sin x b. f(x) = sec x c. f(x) = cos (sin t) d. f(x) = sin 2 x e. f(x) = x 2  sin x f. f(x) =

sin 4 x

2. Buktikan kesamaan berikut. a. (1+ sinx)(1- sinx) =

1 sec 2 x

b. (sec x-1)(sec x +1) = tan 2 x c. sec x – sin x cos x = cos x sec 2 x  1 d.  sin 2 x 2 sec x

e. sin 2 x 

1 1 sec 2 x

f. cos 3y = 4 cos 3 y  3 cos y g. sin 4s = 8 sin s cos 3 s  4 sin s cos s h. (1+ cos x)(1- cos x) = sin 2 x

i.

sin p cos p  1 cos p sec p

j. (1 - cos 2 x)(1  cot 2 x)  1 k. sin t(csc t – sin t) = cos 2 t l.

1  csc 2 y 1  2 csc y sec 2 t

. 2.4 Limit Fungsi 1 Teorema

f(x)  g(x)  xlim f(x)  lim g(x) 1. xlim a a x a

4.

lim  f(x).g(x)  lim f(x). lim g(x)

x a

x a

xa

 f(x)  g(x)  xlim f(x)  lim g(x) 2. xlim a a x a

5.

lim  g(x)     x  a f (x)

lim f(x) x a lim g(x) x a

g(x)  0 dengan xlim a

c .f(x)  c. lim f(x) , c = konstanta 3. xlim a x a lim  f(x)

x a

n

  lim f(x) x  a 

6.

n

2 Bentuk Tak Tentu Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu : 1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya : 63 , 40 . 2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya : 50 3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya : 00 ,  ,    ,1 Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu. 3 Limit Fungsi Aljabar

Jika

diketahui

fungsi

lim f (x )  f (a )

f(x)

dan

nilai

f(a)

terdefinisi,

maka

x a

x 2  2x )  (32  2(3))  9  6  15 1. lim( x 3

Contoh :

lim 5x x  7x  2

2.

 70  0

02  0 5( 0 )  7

x 0

Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak  Tentu yaitu : 00 ,  ,    dan 1 .





3.1 Bentuk  00  Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a.

Catatan : 1. Karena xa, maka (xa)  0 sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan (x  a) 2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a)  0 3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya. Contoh : 1.

lim x x25x9 6  lim ((xx 33)()( xx  23))  lim xx  23 

2.

lim xx3 4xx 252xx 

2

x 3

x 3

3

2

x 0

x 3

2

x ( x  x  5) 2

x (x  4x 2)

x 1

x 2  3  5x  1 x2 x

 lim x 1

x 2  5x  4  x  1 ( x  1)  x 2  3  5x  1

lim (1 1)

2

1 4 4 4







3 2 (2 2)

3.2 Limit Bentuk



   

3 8

  83



 lim xx2 4xx52  2

x 0

3.

lim

3 2 3 3

x 2  3  5x  1 x 2 1



1 6

0 2  0 5 0  4 ( 0) 2 2

x 2  3  5x  1 2

x  3  5x  1

5 2

  lim

( x  1)( x  4 ) x  1 ( x  1)( x  1)  x 2  3 

 lim



( x 2  3)  ( 5x  1) x 1 ( x 2  1)  x 2  3  5x  1

5x  1

 lim

x  1 ( x  1) 



(x 4) x2  3

5

Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian a  0. digunakan rumus : xlim  x

Contoh : 1. 3

2

6x  2x  5x

lim

x   12x3

lim

6x3 x3

2

x

5x x3

x

x

8x x3

6x3 x4

 7x4 

 2x3 

 7x2  8x x   12x3  7x2  3 3

 lim

5 x2

6  2x 

x   12  7 x



600 6 1   12  0  0 12 2



000 0  0 200 2

8 x2



2.

lim

3

2

6x  7x  3x

x   2x

4

3

2

 x  4x

 lim

x   2x 4 x4

2



x x3

x4



3x x4

4x2 x4

 lim

x

6 x



7 x2 1 x



2 

3 x3

4 x2

3.

lim

4

2

5x  3x  2

x   2x3

 4x2  7

 lim

5x 4 x4

2

 3x4  x

x   2x3 x4



4x2 x4



2 x4 7 x4

 lim

5

x  2 x



3 x2



2

x4 4  7 x2 x 4



Kesimpulan: Jika f ( x )  a0 x n  a1 x n 1  .....  an g ( x )  b0 x m  b1 x m1  .....  bm maka: 1. lim x 

f (x) g(x)

2. lim x 

f (x) g(x)

3. lim x 

f (x) g(x)

4.



a0 b0

untuk n = m

 0 untuk n < m   atau - untuk n > m

lim 62xx5 2xx 378xx 2  5

4

3

x 

x 10  2 x 8  3 x 7 12 5 2 x   x  12 x  x

5. lim

3x7 6 x 4 2 6 4 3 2 x  x  7 x  x

6. lim

2 6



1 3

(kesimpulan (1))

0

(kesimpulan (2))



(kesimpulan (3))

3.3 Limit Bentuk     Limit ini umumnya memuat bentuk akar:

Cara Penyelesaian : 1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !

500 5   000 0

lim

 g(x)  

f(x) 

x

f ( x) 

g(x)

f ( x) 

g(x)

   lim  x

f (x)  g(x) f (x ) 

g(x)

2. Bentuknya berubah menjadi   3. Selesaikan seperti pada (2.4.2)  

Contoh: 1.

lim

x

x 2  6x  2  x 2  4x  1 

lim

 x2  4x  1   

x2  6x  2 

lim

x

(x2  6 x 2)(x2  4x 1) x2  6 x  2 

x 

x2  4x 1

10x 1 2 2x  x  x2  4x 1

 lim

x



x2  6x  2 

x2  4x  1

x2  6x  2 

x2  4x  1

pangkat tertinggi pembilang 1, 10x 1  pangkat tertinggi penyebut 1,

 lim

x2  6 x 2  2x2  4x 1 sebab

x 

10 1 1



    

x

10 2

x

5

2. lim

x

lim

2x2  x 

x2  3x  lim

(2x2  x)(x2 3x) 2x2  x  x2 3x

x 

2x2  x 

x 

 lim

x 

 x2  3x2   

lim

ax 2  bx  c  px 2  qx  r 

b q

1) 2 a jika a = p 2)  jika a > p 3) - jika a < p 3. 4. 5.

3  (5)

lim

4x2  3x  1  4x2  5x  2 

lim

4x 2  7x  1  3x 2  x  8  

lim

4x 2  2x  3  5x 2  4x  7  

x x  x

3.4 Limit Bentuk Definisi :



2 4



2 4



1 2

1 

lim 1 

n 





1 n n

2x2  x  x2  3x

x2pangkat  4x tertinggi   pembilang 2, 2 penyebut 1. 2x  xpangkat  x2 3tertinggi x

Secara umum: x 

2x2  x  x2  3x

 e  2,718281.....

n bilangan asli

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut :

    

1  1. xlim 



1 x x



 lim 1  x 

1 x



1 x x

2. lim 1  x   lim 1  x  x 0

x 0

Contoh : 1.

lim1 

4 x x

2.



1 x 2x

3.

x 

lim 1 

x





 

 lim 1  x 



x 4

 lim  1  x  

x 

1 x

1 x



 lim 1 



1 x x

e

x bilangan real

e

       4

4    lim  1  1x   lim 1  1x x  x  4  4  x

1 1 2x  2  2x



1 1   lim 1  3x  x  lim 1  3x  3x  x 0 x 0  



   lim 1  x  3



1 1 2  2x



x 4

4

4

1

 e2

1     lim 1  3x  3x  x 0 

3

 e 3

4 Limit Fungsi Trigonometri Teorema : sin x x 1. lim x  lim sin x  1 x 0 x 0 tan x x 2. lim x  lim tan x  1 x 0 x 0

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi: lim sin ax x 0 bx

ax x 0 sin bx

 lim

 lim

x 0

tan ax bx

ax x 0 tan bx

 lim

tan ax x 0 tan bx

 lim

sin ax x 0 tan bx

 lim

tan ax x 0 sin bx

 lim



a b

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga

f (x )  f (a ) berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka: lim x a Contoh : 1. lim sin 2 x  cos x  sin 0  cos 0  0  1  1 x 0

2.

lim

x 1  2

sin x  cos x 2 sin x 3 cos x



sin 1   cos 1  2 2 2 sin 1  3 cos 1  2 2



1 0 2 0



1 2

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :  00 ,    ,0.  . 4.1 Limit Bentuk sin 3x  1. xlim 0 tan 4x

  0 0

3 4

2 x)

1(12 sin 2x  lim 3x. sin x 2. lim 13xcos . sin x x 0

3.

x 0

sin x  sin a lim x a x a x a

lim

2 sin2 x x 0 3x sin x

 lim

2 cos 1 (x  a). sin 1 (x  a) 2 2 x a

2 sin sin x . sin x x 0 3x

 lim

 lim 2 cos 1 (x  a). 2 x a



2 .(1) 3

sin 1 (x  a) 2 (x  a)



2 3



 2 cos 12 (a  a). 12  cos a

4.2 Limit Bentuk    Limit bentuk     dapat diselesaikan dengan mengubahnya

 . 0 0

ke bentuk Contoh :

1 lim (sec x  tan x)  lim ( cos  x

x  2

x  2

2 cos 1 (   x) sin 1 (   x) 2 2 2 2   x)  sin( x 2 2

 lim

 2 cos 12

sin x ) cos x

1 sin x cos x  x 2

 lim

 lim 2 cos

 2  2 .[12 ]  cos 12   0

x  2

1 2



 2



 x.

sin  . sin x 2  )  sin( x 2x 2

 lim

sin 1 (   x) 2 2 sin(   x) 2

4.3 Limit Bentuk  0. Limit bentuk  0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya

 . 0 0

ke bentuk Contoh :

(1)(sin 1  2 x  1 cos 1 x 2

lim (x  1). tan 1 x  lim 2

x 1

   

1 1 2

  sin  



1 2



  

1 1 2

 

(x  1) sin 1 x 2 x  1 sin( 1   1 x) 2 2

 lim

  (x  1)  sin 1 x   lim  1 2 x  1 sin (1  x)  2  



2 

5 Limit Deret Konvergen Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio (pembanding) : 1 < r < 1. Teorema : S 

a 1r

S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen a : U1 : suku pertama

r

r : rasio, yaitu

U2 U1

Contoh : 1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut : a) 2  1  21  41  ..... b) 3  1  13  91  ..... Jawab : a)

S  1a r  12 1  21  4 2

2. Hitung limit berikut :

2

b)

S  1a r  1 (3 1 )  34  94 3

3





1 a) nlim 

1 4



1 16

1 4n

...





i 1

lim 1  41  161  ... 

Jawab : a)

n n

2    2.3 i  lim n   i 1 i 1  3

b)

n

 2.3 i n

b) lim

lim

2 9

1 4n

....

 2 3n

 11 1 

a 1 r

  

4

a 1r



2 3

4 3

1 2 3



2 3 1 3

2

3. Ubahlah menjadi pecahan biasa ! a) 0,6666 ..... b) 0,242424 ..... Jawab : a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + ..... 

a 1r



0,6 10,1



0,6 0,9



6 9



2 3

b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 + a 1r



0,24 10,01



0,24 0,99



24 99



8 33

4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu ! S  12  1a r  12 Jawab : ...... (1) U2 + U4 + U6 + ... = 4 ar + ar3 + ar5 + ... = 4 ar 1 r 2

 4   1a r  1r r   4

 

...... (2)

Dari (1) dan (2) : 12 1 r r  4  8r  4 

Persamaan (1) : Rasio =

1 2

a 1 r

12r  1r r  12

4  12r  4  4r

 12  1a 1  12  a  6 2

dan suku pertama = 6

5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu ! Jawab : D

R

C

S

Q

A

5 2

5 2 5

P

5

B

Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2. Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2. 50  21 Rasio luas = 100

6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi Definisi :

Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a

f ( x )  f (a ) . jika dan hanya jika lim xa

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu : 1. f(a) terdefinisi (ada)

f ( x ) terdefinisi ada 2. lim x a f ( x )  f (a ) 3. lim xa Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a. Perhatikan gambar berikut : y

1.

f(x) kontinu di x = a, sebab

f(a)

f(x) x

a

y

2.

f(x) f(a)

x

a

y

3.

f(x) diskontinu di x = a, sebab tidak ada

f(x) diskontinu di x = a, sebab  f(a) f(x)

f(a) a

x

Contoh : 1. Tunjukkan bahwa fungsi f ( x)  x 2  x  3 kontinu di x = 1 Jawab : 1) f (1)  12  1  3  1  f(1) terdefinisi





f(x)  lim x 2  x  3  12  1  3  1  lim f ( x ) terdefinisi 2) xlim x 1 1 x 1

f ( x )  f (1) 3) lim x 1

Jadi fungsi f ( x )  x 2  x  3 kontinu di x =1.

2. Selidiki apakah fungsi

f ( 3) 

Jawab : 1)

f (x)  32  9 3 3

 00

x2  9 x3

kontinu di x = 3

(tidak terdefinisi)

Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3 3. Selidiki apakah fungsi

 xx 24 , untuk x  2 f ( x)    4, untuk x  2 2

Jawab : 1) 2)

f(1) = 4 (terdefinisi) x3  1 x 1 x  1

lim f(x)  lim

x 1

3)

kontinu di x = 2

(x  1)(x2  x  1) x 1 x 1

 lim

(terdefinisi) lim f ( x)  f (1) , berarti f(x) disko x 1

2.5 Teorema Limit 2.6 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga 2.7 Kekontinuan Fungsi 2.8 Soal-soal





 lim x2  x  1  12  1  1  3 x 1