Funcions Elementals-solucions

Matemàtiques I. 1r de Batxillerat

IES Alcúdia

Funcions elementals -- Solucions 1. Quina és la funció dibuixada? f(x)= Representa la funció g(x)= 2·f(x)+1

La funció representada és f(x)=sin x Hem de dibuixar g(x)=2·sin x + 1 3

2

2

1

1 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

0

4

-3

-1

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

-2

-2

Respon: Dom g= R Rec g= [-1,3] 2. Quina és la funció dibuixada? f(x)= Representa la funció g(x)= 1 / f(x)

Hi ha representada f(x)=cos x Ens demanen dibuixar g(x)=1/cos x = sec x

2

4 3

1

2 1

0

-3

-2

-1

0

0

1

2

3

4

5

-3

-2

-1

-1 -1 0

1

2

3

4

5

-2 -3

-2

-4

Respon: Dom g=R-{π/2+2πk, 3π/2+2πk} Rec g=(-∞,-1]∪[1,+∞) 3. Representa la funció f(x)=ex representa també, y=–ex i y=e–x Recorda: e=2,71828183···

Si dibuixes ex ,e-x és el simètric respecte l’eix Y. -ex és el simètric respecte l’eix X

8

8

y=e-x

6

6

4

4

2

2 0

0 -3

-2

-1

-2

y=ex

0

1

2

3

-3

-2

-1

-2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

0

1

2

y=-ex

3

Matemàtiques I. 1r de Batxillerat

IES Alcúdia Fixem-nos que hem de dibuixar un logaritme decimal (base=10). La funció g(x) és la desplaçada 6 unitats a l’esquerra sobre l’eix X

4. Representa la funció f(x)=log x Dibuixa la funció g(x)=log(x+6) 2 1 0 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-1

log(x+6)

log x

-2

Respon: Dom f=(0,+∞) Dom g=(-6,+∞) Recorda que el valor absolut no modifica la part positiva de la gràfica. Només inverteix la part negativa

5. Representa y=1–x2 Utilitza-ho per dibuixar y= | 1–x2 | 4

y=|1–x2|

3 2 1 0 -4

-3

-2

-1

-1 0

1

2

3

4

y=1–x2

-2 -3 -4

Recorda: |a| és el valor absolut de a 6. Aquí tens un tros de la gràfica de y=tg x Quina és la funció inversa? Representa-la 5

La funció inversa d’una tangent és l’arc tangent y-1 = arctg x. La gràfica és la simètrica respecte de la bisectriu del primer quadrant. y=tg x

4 3

y=arctg x

2 1 -5

-4

-3

-2

0 -1 -1 0

1

2

3

4

5

-2 -3 -4 -5

Rec (arctg x)= (-π/2, π/2)

Matemàtiques I. 1r de Batxillerat

IES Alcúdia

7. Utilitza les gràfiques per resoldre l’equació sin x = cos x. Dóna x en graus i radiants. 2

y=cos x

Els valors aproximats: x=-2,3 x=0,8 x=3,9 radiants Podem comparar amb les solucions exactes x= π /4 + k π

y=sin x

1 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

Els punts de tall de les dues gràfiques són solucions de l’equació trigonomètrica sin x = cos x

4

-1 -2

8. Descriu les propietats (Dom, Rec, talls, etc.) de la funció f(x)=sin(x) / x 2

Dom f = R – {0} Rec f = [-0.22 , 1) Talls amb eix Y: no talla Talls amb eix X: són els mateixos que el sinus x=0+π·k excepte x=0 Simetries: és simètrica respecte l’eix Y Periodicitat: no és periòdica

1

1

0 -10

-5

0

5

10

Nota: Aquesta funció s’anomena sinus cardinal y = sinc x

-1

9. Mitjançant les gràfiques de 2x i 2-x, representa y=2x + 2-x .

L’objectiu és que siguis capaç de sumar gràficament les funcions de forma aprox.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 -3

-2

-1

-1

0

1

2

3

Nota: fixa’t que quan x és gran (+ o -) la gràfica és pràcticament 2x o 2-x, mentre que a x=0 el valor de la suma val 2.

Matemàtiques I. 1r de Batxillerat

IES Alcúdia

10. Aquí tens la gràfica de y=x3. Calcula i dibuixa la seva funció inversa.

-5

-4

-3

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0 -1 -1 0

-2

La funció inversa és y = 3 x . La gràfica s’obté del simètric respecte la bisectriu

1

2

3

4

-5

5

-3

-4

-4

-5

-5

-1

y=3 x

1

2

3

4

Dom f = [-4, 4] 0

1

2

3

4

5

-1

12. Associa cada gràfica amb l’equació y=|0,5·cos x| y=-sin x y=sin(x+π/2) 2

Nota: Fixau-vos que la funció y=sin(x+π/2)=cos x

y = sin( x + π / 2)

y = − sin x 1

Això ho podeu veure de la relació sin(90+a) = cos a

y =| 0.5 cos x |

0 -5

-3

-1

1

-1

-2

5

Ens demanen el domini de la funció f(x) Per que l’expressió tengui sentit cap de les dues arrels pot tenir un radicant negatiu. Aleshores, s’ha de complir simultaniament 4+x > 0 4-x > 0 Aquest sistema d’inequacions ens diu que x > -4 i que x < 4. És a dir:

0 -2

0 -1 -1 0

-3

1

-3

-2

-2

2

-4

-3

-2

11. Per a quins valors de x té sentit f ( x) = 4 + x + 4 − x − 2 2 ?

-5

-4

y=x3

3

5