Funciones.docx

Funciones El significado de la palabra función la utilizamos frecuentemente en nuestras vidas. Si te dicen que el precio de las naranjas es de 0,79 € el kilo pero que también las hay a 0,86 €, incluso a 1,22 € el kilo, dirás: “las de 1,22 € probablemente sean las mejores”. Estás relacionando la calidad con el precio o que el precio depende con la calidad. En lugar de utilizar las palabras: relacionar, depender, etc., en matemáticas, en el caso de las naranjas, diríamos que el precio está en función (depende) de la calidad. El consumo de gasolina de un coche está en función con la velocidad que éste lleve; a mayor velocidad, mayor consumo. El tiempo que tardes en llegar al pueblo vecino cuando vas en bicicleta está en función con la velocidad que lleves. En las funciones, vemos que hay dos partes: calidad-precio, distancia-velocidad, tiempo-velocidad, etc. Es como si estuviésemos trabajando con dos incógnitas o variables, por ejemplo, x e y. En todos los casos, comprobamos que una variable está dependiendo de la otra, o mejor, una está función de la otra. En el caso de las naranjas, el precio depende o está en función con la calidad. El tiempo invertido en mi viaje en bicicleta depende, está en función con la velocidad que lleve, etc.

¿Cómo llamamos a las dos variables de una función?

A la x la llamamos variable independiente. A la y la llamamos variable dependiente; y depende del valor de x o y está en función de x.

¿Cómo escribimos una función? De un modo muy sencillo:

Estamos diciendo que y está en función de x. Observación: Si quieres tener ideas claras en Matemáticas, procura resolver el mayor número posible de ejercicios y problemas.

27.1 Tenemos la siguiente igualdad:

Si x vale 3 ¿cuál será el valor de y?

Respuesta: y = 6 Solución En la igualdad, 2 y x se multiplican, luego y valdrá:

27.2 En la igualdad: Respuesta: y = 4

27.3 En el problema anterior ¿cuál es el valor de f (3)? Respuesta: f (3) = 7 Solución Sabemos que podemos escribir f(x) como si fuera y (y es una función de x) Cuando x vale 3 podemos escribir:

27.4 En

¿cuánto vale f (5)?

Respuesta: 4 Solución

27.5 En la igualdad

¿Cuánto vale y cuando x es igual a 4?

Respuesta: 4 Solución Sustituyes x por 4 y haciendo operaciones tenemos: REPRESENTACIÓN DE LOS VALORES DE X E Y EN EL EJE DE COORDENADAS CARTESIANAS

Cuando estudies cuestiones de representaciones gráficas es aconsejable que utilices papel cuadriculado, te facilitará el trabajo. Para colocar un punto en un eje de coordenadas, necesitas saber el valor de las dos variables x e y. Una vez conocidas, no tienes más que colocar en el eje correspondiente el valor de cada una de ellas. A partir de estos dos valores, trazas dos rectas paralelas a los ejes y el lugar donde éstas se corten señalará el punto que buscamos. Ejemplo: 27.6 Supongamos la igualdad: cuando x = 1.

. Coloca el punto en un eje de coordenadas

Respuesta: Cuando x vale 1, y vale 4:

27.7 Cuando x vale 3 calcula el valor de f(x) en la ecuación:

y sitúa el punto en un eje de coordenadas. Respuesta: Cuando x vale 3, y es igual a 2. Solución

El punto (3,2) queda situado del modo siguiente:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA CUANDO A LA VARIABLE INDEPENDIENTE LE DAMOS VARIOS VALORES

Hasta ahora hemos visto el modo de representar un punto, es decir, cuando a la variable independiente le dábamos un solo valor y a la variable independiente le correspondía su valor correspondiente. Ahora le damos a x varios valores y después, calculamos los valores correspondientes de y. 27.8 Representamos gráficamente la ecuación: y = 2x + 1. Respuesta:

Solución Podemos hacer una tabla de valores de x e y en forma de tabla horizontal o vertical. La tabla en forma horizontal sería dando valores a x y calculando los de y:

Ves que a x le hemos dado valores desde – 2 hasta 2, es decir: -2, -1, 0, 1, 2. Para hallar los valores de y vamos sustituyendo los de x en la ecuación: y = 2x + 1 y obtenemos los de la función: -3, -1,1, 3 y 5 que los hemos representado, como has visto, en la Respuesta. La misma Tabla en forma vertical:

A partir de aquí, colocamos cada punto en los ejes de coordenadas y cuando los tengamos a todos en su lugar correspondiente, los unimos con una línea. 27.9 Representa gráficamente la ecuación:

Observación: Procura dar valores a x de modo que el cociente entre 2 obtengas números enteros, de este modo, podrás situar los puntos de un modo más sencillo. Hemos dado a x valores cuyo numerador sea un número par que al dividirlo por 2, el cociente, o sea el valor de y sea un número entero. Los valores que damos a x son: -3, -1, 1, 3, 5,…… , como ves, valores impares, de este modo, al dividirlos por 2 consigues números enteros. Respuesta:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO Todas las representaciones gráficas que hemos hecho hasta ahora son de primer grado, es decir, que el exponente de la variable independiente sea 1. Según lo estudiado y comprobado podemos decir que la representación gráfica de las ecuaciones de primer grado son líneas con una mayor o menor inclinación que las llamamos funciones lineales. 27.10 ¿Cómo es la representación gráfica de la función: f(x) = x? Respuesta: Una recta que pasa por el origen de coordenadas con un ángulo de 45º: Solución Has de fijarte en que las dos variables son iguales, es decir, si x vale -4, también y vale 4

. PENDIENTE DE UNA RECTA

Recuerda que hemos dicho que pendiente de una recta es la inclinación de la misma. En la figura que tienes a continuación verás que cuanto mayor es el ángulo A mayor será la dificultad para subir:

Ves que el ángulo A está formado por los lados que representan a la carretera y el plano horizontal (que generalmente no lo vemos). Cuanto mayor sea la inclinación de la carretera mayor será la dificultad para ascender por ella. La inclinación que se representa con la letra m viene dada por el cociente entre la altura a subir (100 m.) y la distancia horizontal hasta la perpendicular del final de la subida (1.000 m.):

Para una misma recta, cualquier tramo de ella tiene el mismo valor de m. En una carretera depende de los diversos tramos. Sabemos que las pendientes de las carreteras que nos conducen a la cima de un puerto varían. Observa la figura siguiente:

Tienes en color negro la línea inclinada. Supongamos que el lado de cada cuadrícula, en línea discontinua, mide 1 cm. Si divides, en cada tramo determinado por un triángulo, el valor de su lado vertical, entre el valor de su lado horizontal, obtienes el mismo resultado, en el este caso concreto, la pendiente vale 2. Para una misma recta la pendiente en cualquier punto de ella tiene el mismo valor

FORMA DE LAS ECUACIONES CUYAS RECTAS PASAN POR EL ORIGEN DE COORDENADAS Todas las ecuaciones de la forma:

donde m un numero que equivale a la pendiente En todas las ecuaciones de este tipo, la recta pasa por el origen de coordenadas:

Si te fijas en la figura notarás que todas las líneas pasan por el origen de coordenadas (0,0) y cuanto menor sea el valor de m, menor será también la inclinación. Todas estas líneas si tuviésemos que trazarlas, por ejemplo, en la pizarra de la clase, lo más cómodo sería comenzando de la zona inferior izquierda hacia arriba y derecha. ¿Qué sucede cuando el valor de m es negativo, o cuando el producto mx es negativo? Lo comprobamos en la figura siguiente:

Las líneas las podemos trazar partiendo de arriba (zona negativa del eje x) y descendiendo hacia la derecha. FORMA DE LAS ECUACIONES CUYAS RECTAS NO PASAN POR EL ORIGEN DE COORDENADAS Son de la forma:

Hemos añadido un número representado por b (a veces encontrarás que viene representado por n y que puede ser negativo). A b se la denomina término independiente (porque no depende del valor de x) y también ordenada en el origen. b también nos indica el lugar donde la recta corta al eje vertical del eje de coordenadas. Por eso hemos dicho que es la ordenada en el origen (punto rojo en la figura siguiente). Estos tipos de ecuaciones como: y = 2x + 3, sus representaciones gráficas no pasan por el origen de coordenadas:

Comprobarás que b nos indica el valor vertical que nos separa del origen de coordenadas. 27.11 En la ecuación y = 2x ¿Cuánto vale la pendiente? Comprueba la respuesta. Respuesta: 2 Solución Como es de la forma y = mx vemos que m vale 2. Comprobación:

En la ecuación que nos dan: y = mx, despejando a la pendiente tenemos: Como los valores de yy de x los conocemos, (x = 1, y = 2) según vemos en la figura

tendremos: FUNCIÓN AFÍN Hablamos de afinidad cuando dos o más personas tienen parecidos gustos, opiniones, etc. S i yo con otros muchos aficionados compartimos el amor por nuestro equipo de fútbol somos afines en cuanto a nuestro cariño por el equipo. Posiblemente, de esta idea proceda la existencia de la función afín. En Matemáticas decimos, casi siempre sin mencionar el porqué, la función afín tiene la forma:

permaneciendo invariable el sumando mx.

¿Será porque tienen algunas características semejantes, parecidas, afines…? Quizá sí. Si observas las funciones de las siguientes figuras y su correspondiente representación gráfica comprobarás:

a) Sus pendientes son iguales (2). b) El sumando mx está presente en todas las funciones. c) En todos los casos, el término independiente b señala el punto donde cada recta corta al eje de ordenadas y (señalados en color rojo). ¿No encuentras afinidad entre ellas?

27.12 ¿Cuál de estas dos funciones: y = 4x -3; y = 4x + 3 tiene mayor pendiente? Respuesta: Tienen la misma pendiente. DOMINIO Y RECORRIDO DE LAS FUNCIONES Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x). Recorrido: Llamado también imagen, codominio o rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente (y). Cuando nos hemos referido al dominio hemos dicho: “conjunto de valores que puede tomar x…” ¿por qué decimos puede?

Porque no todos los valores son válidos, por ejemplo, si la función es:

vemos

que si a x le das el valor cero, te queda: El valor infinito no lo podemos representar si no es con un signo o una palabra. El infinito no es un número, es un concepto, una idea, luego, no nos vale como valor numérico de y. Otro caso sería el de la función: A x no le podemos dar el valor de un número negativo, por ejemplo: porque los números negativos no tienen raíz cuadrada. (Ningún número multiplicado por sí mismo -incluido su signo- puede darte un valor negativo). Como nos hemos referido a conjunto de números válidos que damos a la variable independiente (X) como dominio y al conjunto de valores que recibe la variable dependiente (Y) recorrido podemos representarlos para la función :

En amarillo, el conjunto de valores de x con su correspondiente imagen del valor de la variable dependiente y en el conjunto Y teniendo en cuenta que la función es:.

¿Cómo serían las representaciones gráficas de las funciones

Veamos la correspondiente a

Comentario:

Si a x le das el valor -1, el valor de y será:

y de

Si a x le das el valor -1,5, el valor de y será: tienes en la tabla de la izquierda.

, etc. Tal como lo

Llevamos estos valores al eje de coordenadas y notarás que las ramas de las dos figuras que obtenemos se aproximan a los ejes a medida aumentan los valores de x. Por grande que sea el valor de x , por ejemplo, 1234, tendríamos:

Aunque x fuese mayor que un número 20 cifras, el cociente nunca sería cero, luego y puede valer 0,000000….. y todos los ceros que quieras que siempre aparecerá un valor que represente un valor que no sea igual a cero. Esto hace que las ramas y los ejes parece que tiendan a juntarse.

Analizamos la función: En la siguiente figura puedes ver los valores que hemos dado a x:

Han sido positivos porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo. Notarás que no hemos obtenido una línea recta como representación gráfica, esto se

debe a que el exponente de x no ha sido 1 sino

Recuerda que las raíces podemos convertirlas en potencias cuyos exponentes son fraccionarios correspondiendo el numerador, al exponente del radicando y el denominador, al índice de la raíz siendo la base de la potencia el radicando:

Ejemplos:

FUNCIONES CON ÍNDICE IMPAR

En las raíces de índice par:

Comprobamos con +2:

ahora con – 2: si el número de veces que multiplicamos un número (positivo o negativo) por sí mismo es par, el resultado es positivo.

Por eso decimos que no existe raíz de índice par de un número negativo: No existe ningún número que multiplicado por sí mismo sea – 16.

En las raíces de índice impar:

Comprobamos: si el número de veces que multiplicamos un número negativo por sí mismo es impar, el resultado es negativo. INTERVALOS Cuando calculamos dominios nos encontramos, a veces, con ciertas dificultades que se refieren a que no todos los valores que damos a la variable independiente pueden ser

válidos para la la función, por ejemplo:

1) No podemos decir que todos los valores que demos a x son válidos porque la diferencia 3 – x ha de ser 0, 1, 2, 3. No podemos dar a x el valor 4 porque la diferencia sería negativa y no existen raíces cuadradas de números negativos. ¿Y si le damos a x valores negativos? Serían válidos porque si a x le damos el valor – 51 podemos escribir - ( - 51) = 51.

Si a x en le doy los valores que veo en la tabla que tienes más abajo, notarás que los valores de y son válidos:

Como puedes comprobar, los valores negativos que le damos a x son válidos para la función.

¿Para qué valores de x no es válida la función: Respuesta: Para x = -1 Solución

Si x es igual a – 1 el denominador vale 0 y puede ser aceptado como valor de y.

que como no es número real no

¿Qué entendemos por intervalo? Es un conjunto de valores reales comprendido entre dos números. Cuando nos dicen: “el valor x está comprendido entre – 2 y 5” Nacen dudas: ¿vale el valor – 2? ¿es a partir de este valor? ¿vale el valor 5? Estas y otras dudas las tenemos que dejar bien aclaradas. Intervalos cerrados

Los intervalos los representamos en segmentos indicando los límites de los valores. ¿Se incluyen o excluyen los valores situados en los extremos del segmento teniendo en cuenta solamente los que hay entre ellos?

En este segmento los valores de x están comprendidos entre a y b pero ¿los valores a y b hay que tenerlos también en cuenta? Cuando en un intervalo los valores extremos hemos de tenerlos en cuenta escribimos entre corchetes: [a, b] y llamamos intervalo cerrado. La figura anterior los valores en color verde incluye a los valores a y b:

Podemos escribir: En el intervalo [a, b] x recibe todos los valores iguales o mayores que a y menores o iguales a b.

Intervalos abiertos Son los que los valores extremos del intervalo no hemos de tenerlos en cuenta (en el ejemplo los ponemos con color rojo). Para saber si los intervalos son abiertos, los valores extremos los escribimos entre paréntesis:

Podemos escribir: También puedes encontrarte con el símbolo ]a, b[ para indicar que se trata de un intervalo abierto. Intervalos semiabiertos por la izquierda Son los abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha:

Podemos escribir: Como ves, los valores de x lo forma el conjunto de todos los que sean mayores que a y menores o iguales a b. Intervalos semiabiertos por la derecha Son los cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha:

Podemos escribir: Lo forman los valores iguales o mayores que a y menores que b. ¿Es correcto escribir

?

Respuesta: Es incorrecto.

Solución Hemos estudiado que es un símbolo, no es un número real, por lo tanto, no podemos incluirlo como válido. En el lugar del corchete de cierre habremos de colocar un paréntesis: 27.15 ¿Cuál es el dominio de la función y = 2x? Respuesta: Todos los números reales.

27.16 ¿Cuál es el dominio de la función Respuesta: Todos los números reales menos el 1. Solución

?

Recuerda que hemos de evitar que el cociente sea igual a cero porque el cociente sería

27.17 ¿Cuál es el dominio de la función

?

Respuesta: Todos los números reales positivos a partir de 1. Solución El radicando x – 1 debe ser mayor o igual que cero para que no sea negativo (no olvides ; pasando el – 1 a la

que no existen raíces cuadradas de números negativos): derecha de la desigualdad:

, vemos que x deber ser mayor o igual a 1.

27.18 ¿Cuál es el dominio de la función

?

Respuesta: Todos los números reales excepto 3 y – 1. Solución El denominador es una ecuación de 2º grado que calculando las raíces tenemos:

Estos valores que hemos obtenido hacen que el denominador sea igual a cero por lo que no hemos de tenerlos en cuenta. 27.19 Calcula el dominio de y = x – 4 Respuesta: Todos los números reales.

27.20 ¿Cuál es el dominio de

?

Respuesta: Todos los números reales menos el 2.

27.21 ¿Cuál es el dominio de la función

?

Respuesta: Todos los números reales.

27.22 ¿Cuál es el dominio de la función Respuesta: Todos los números reales.

?

27.23 ¿Cuál es el dominio de

?

Respuesta: Todos los reales positivos a partir de 4 (incluido). Solución El radicando ha de ser igual o mayor que cero, nunca negativo. Esto quiere decir:

pasamos - 4 al otro lado de la desigualdad:

Nos indica que el dominio es desde 4 (incluido) y todos los que son mayores que él.

ABREVIAR EL VOCABULARIO Hemos resuelto unos cuantos ejercicios cuyas respuestas contienen excesivas palabras. Es aconsejable que aprendamos, además de lo estudiado en intervalos, unos pocos símbolos que nos permitan escribir de un modo fácil, claro y breve parte del vocabulario que utilizamos en el estudio de las funciones:

Nota.- Probablemente encuentres símbolos diferentes con un significado similar. Ejemplos: 1) 2) 3)

se lee “A es el conjunto de los 5 primeros múltiplos de 2”. se lee “5 no pertenece al conjunto A”. se lee “k pertenece al conjunto A y es igual a un múltiplo de 7”.

4) se lee “5 pertenece al conjunto de los números naturales entonces – 5 pertenece al conjunto de los números enteros”. 5) se lee “para todo elemento x que pertenece al conjunto F, el valor de x pertenece al conjunto de los números enteros”.

6) se lee “existe por lo menos un elemento x que pertenece al conjunto F tal que x pertenece al conjunto de los números racionales”.

APLICACIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS A continuación resolvemos unos ejercicios donde aplicamos lo estudiado en intervalos y en el reciente vocabulario. 27.24 Calcula el dominio de las funciones: a) b)

Respuestas: Solución En los dos ejercicios vemos que podemos dar cualquier valor a las variables, es decir, que cualquier valor del conjunto de los números reales es válido.

27.25 Calcula el dominio de la función:

Respuesta: Solucion: El denominador no tiene que valer cero porque el cociente no nos daría un valor real. El valor de x no debe ser 3. Por lo tanto, el dominio de la función corresponde a los valores de x pertenecientes al conjunto de los números reales menos el 3.

27.26 Calcula el dominio de la función

Respuesta:

Solución

El denominador es una ecuación de 2º grado: Estas dos respuestas nos indican los valores de x que hacen que el denominador sea cero,

27.27 Calcula el dominio de la función

Respuesta: Solución El radicando ha de ser positivo y para ello v ha de valer 5oun número mayor que 5: es decir: Todos los valores de v desde 5 (incluido) en adelante, pertenecen al dominio de la función k(v).

27.28 Calcula : Respuesta: – 4

Solución Comprobamos:

27.29 ¿ Cuál es el dominio de

?

Respuesta: Solución Nos da igual que el radicando sea positivo que negativo puesto que el índice de la raíz es negativo lo que significa que todos los números reales son válidos. REPRESENTACIÓN DE LOS VALORES DE UNA FUNCIÓN SOBRE UNA RECTA HORIZONTAL

Se trata de algo muy sencillo, representar sobre el eje de abscisas los valores de una función. Con un ejemplo resuelto será suficiente para que lo entiendas. Supongamos el ejercicio siguiente:

27.30 ¿ Cuál es el dominio de

?

Solución

Resolvemos la ecuación de 2º grado: Vemos que todos los valores comprendidos entre (1,4), es decir: 2 y 3 hacen que el radicando sea negativo, en cambio, con el resto de valores será positivo. Si es negativo el valor de sustitución no es válido, porque no existe una raíz de índice par que sea negativa. Cuanto acabamos de decir lo llevamos a un eje de abscisas:

Fijamos los valores:

Fíjate que tenemos dos grupos de valores que son válidos. Unimos estos dos grupos con su símbolo correspondiente U (unión de ambos grupos válidos). No necesitamos indicar que los elementos de x pertenecen a un conjunto determinado porque ya especificamos sus valores concretos.

Respuesta:

27.31 Calcula el dominio de la función:

Respuesta:

27.32 ¿ Cuál es el dominio de la función :

Respuesta: Solución

El radicando ha de ser positivo, por lo tanto,

Pasando – 16 a la derecha de la inecuación

de donde

Llevamos estos valores a la recta de abscisas:

27.33 Calcula el dominio de la función

Respuesta: Solución Como en otras ocasiones, hallamos las raíces del denominador:

Comprobamos que – 3 y 2 son los valores que hacen que el denominador valga cero, es decir, no nos interesan. El resto de los valores reales son válidos y los representamos sobre la recta:

En verde, los valores del dominio de la función. En rojo, los dos valores que hemos de excluirlos.

Podemos escribir que el

.

DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Recuerda que generalmente se trabaja con radianes y no con grados. Para pasar de grados a radianes debemos efectuar el cálculo

siguiente: Para pasar de radianes a grados:

El seno de un ángulo viene dado por el cociente de un valor real (cateto opuesto) por la hipotenusa que es otro valor real. Vemos que nos movemos dentro de Lo puedes comprobar muy fácilmente a partir de la pantalla:

Basta que escribas el cálculo que deseas hacer:

Puedes escribir los números en radianes o grades sin paréntesis:

Las palabras abreviadas referidas a cada función son:

Puedes escribir la cantidad que quieras sea en grados o radianes no importa, ni su signo, siempre obtendrás un número real por eso podemos decir que:

Dominio de la tangente Si queremos determinar el dominio de la tangente hemos de tener en cuenta que

Esto quiere decir que el cos(x) no debe tomar el valor 0. Es decir, has de evitar el 0 del denominador. ¿Cuándo el cos(x) vale 0?

(Los ángulos expresados con nos referimos a su medida en radianes). Por si no recuerdas, un radián equivale a un ángulo cuyo arco mide la longitud del radio. Una circunferencia completa tiene 2 radianes.

Aprendimos en Trigonometría que el

valen 0.

La circunferencia trigonométrica tiene un radio igual a 1, es decir, su longitud equivale a

.Como la tenemos dibujada en el centro de coordenadas, cada cuadrante equivale

a

.

Lo podemos comprobar en la pantalla de Google:

En el tercer cuadrante:

también vale cero.

Supongamos un ángulo superior a 360º, por ejemplo 450º quiere decir que damos una

vuelta completa más 90º: 360º + 90º = 450º y como 90º equivale a

tendríamos:

Veamos en

Si a

también el coseno vale 0.

le sumas dos cuadrantes:

Los cosenos de impares de

sumando obtenemos

que como ves, se tratan de coeficientes valen 0.

El dominio de la tangente lo podemos escribir según lo que acabamos de estudiar:

Dominio de la cotangente

Sabemos que el valor de la ctan, cotang, cotg,… procede de dividir Como ves, el sen(x) no debe tomar el valor 0. Por otra parte, estudiamos anteriormente que lo quiere decir que

, es decir, no existe. Cualquier múltiplo de no participa del dominio de la cotangente por no ser un número real. Por todo esto podemos decir que:

Quizá no estaría mal agregar, aunque no sea imprescindible la matización:

El dominio comprende los números reales menos los múltiplos de sea un número entero.

con tal de que k

En cambio: Dominio de la secante

Sabemos que la secante es el inverso del coseno:

Vemos que hemos de evitar que el denominador sea cero, es decir, los múltiplos

impares de

.

Un número impar procede de: 2k+1. Cualquiera que sea el valor de k lo hacemos par al multiplicarlo por 2 y si a éste número obtenido le sumamos la unidad tendremos un número impar. Si el factor de

es par siempre podremos simplificarlo por el denominador (2):

Según lo que acabamos de estudiar podemos decir que el dominio de la función secante:

siempre que k sea un número entero.

Si el valor de k no es entero no pertenece al dominio:

Dominio de la cosecante: Recordamos que la cosecante equivale al inverso del seno:

En este caso hemos de eludir los valores de x cuyo seno valga 0. Son válidos todos los ángulos múltiplos de que los obtendremos multiplicando a éste por k siempre que k sea un número entero de modo que el dominio lo escribiremos:

DOMINIO DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS Sabemos que el logaritmo de un número es el exponente al que hemos de elevar la base para obtener el número.

En el ejemplo: la base es 10 el número es N el logaritmo es x Según la definición tendremos: La base ha de ser positiva y mayor que cero: 10,2.71,0,2. ¿Puede valer la base de los logaritmos menos que 1, es decir, 0
Supongamos que

Imaginemos que

, esto significa que

, lo que significa:

Observamos que porque ambos son iguales a N. Tomamos logaritmos en los dos miembros de la igualdad en base 10:

Despejamos y (logaritmo en la nueva base): Sabemos que el logaritmo de la base

, lo mismo que

, etc. por

ello:

Sustituyendo el valor de x:y = Ejemplo: ¿Cuál es el logaritmo de 2 en base 0,43? Respuesta: log(2) / log(0,43) = -0,821293556 El número del cual calculamos su logaritmo debe ser positivo > 0, no existen logaritmos de números negativos. Existen logaritmos negativos cuando los números son positivos y menores que la unidad, ejemplos: log(0,3) = -0,522878745 log(0,0021)= -2,67778071 Los logaritmos se hallan de números reales y positivos lo que significa que su dominio será:

Acabamos de indicar: “el dominio puede ser…” porque en cada caso convendrá analizar:

27.34 Halla el dominio de la función: Respuesta: Solución La cantidad que tienes entre paréntesis 6-3x debe valer >0 porque no podemos tomar logaritmos ni de cero ni de numeros negativos. log(6-3x)>0, es decir, 6>3x, , simplificando:2>x. Observa que al 2 no lo tenemos en cuenta porque no podemos tomar logaritmos de 0. 27.35 Calcula el dominio de la función f(x)= log(x+2)

Respuesta: Solución El número del que obtenemos el logaritmodebe ser mayor que 0, (x+2)>0. Veamos que x ha de ser mayor que -2: x>-2 por lo que el dominio será:

27.36 Calcula el dominio de la función

Respuesta: Solución Veamos que

debe ser mayor que cero.

Como x está elevado al cuadrado, sea cual fuere el signo del valor de la variable, al sustituir en

será positivo.

será positivo siempre que x esté comprendido en el intervalo un lado, y por otro,

Los valores situados en el intervalo con línea roja no cumplen con la inecuación

DOMINIO DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

OBSERVACIÓN:

,por

RECORRIDO DE LAS FUNCIONES

RECORRIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Su representación gráfica es:

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN En la figura siguiente observamos que la función se acerca o tiende a 3, a medida que crece el valor de x:

INDETERMINACIONES

USO DEL CONJUGADO DE UN BINOMIO EN LA RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES

Funciones Continuas

FUNCIONES A TROZOS

FUNCIONES CONDICIONALES

El punto