Funciones1

ACTIVIDADES SOBRE FUNCIONES. 3º ESO 1.- Las siguientes gráficas describen a dos aviones ligeros, A y B. La primera gráfica muestra que el avión B es más caro que el A. ¿Qué otras informaciones podemos sacar de ella? Precio

Velocidad de crucero

B

B

A

A

Antigüedad Autonomía de vuelo

Tamaño

Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o no justificando tu respuesta en cada caso.

A

• • • • •

B

•

Capacidad

El avión más viejo es más barato El avión más rápido es más pequeño El avión más grande es más viejo El avión más barato transporta menos pasajeros El avión que transporta menos pasajeros debe repostar con más frecuencia El avión más rápido transporta menos pasajeros.

Dibuja en tu cuaderno dos sistemas de coordenadas cartesianas. En el primero de ellos, representa en el eje de ordenadas la antigüedad y en el de abscisas la velocidad. En el segundo, representa en ordenadas el tamaño y en abscisas la

autonomía de vuelo. Representa en cada uno de ellos los dos puntos correspondientes a los aviones A y B.

2.- El siguiente dibujo muestra la pista de una montaña rusa en la que los coches se desplazan de A a B a una velocidad lenta y constante. Describe, por escrito y A B mediante una gráfica, cómo variará la D velocidad de estos coches en su G F desplazamiento desde A hasta G. C

E

3º ESO. Gráficas y Funciones

1

Velocidad de los coches

A

B

C

D

E

F

G

Distancia recorrida en la pista Las siguientes tareas te ayudarán a ver cómo has realizado tu gráfica. Tapa el dibujo de la montaña rusa e intenta responder a las siguientes preguntas utilizando sólo la gráfica que has dibujado. - ¿ En qué partes de la pista viaja más rápido el coche?. ¿Y más despacio? - ¿Dónde va más rápido el coche, en B o en D?. ¿En D o en F?. ¿En C o en E?. - ¿Dónde acelera?. ¿Dónde decelera?. Corrige tus respuestas mirando de nuevo el dibujo de la pista de la montaña rusa. Si encuentras algún error dibuja de nuevo la gráfica.

Velocidad de los coches

A

B

C

D

E

F

G

Distancia recorrida en la pista Dibuja tus propios perfiles de pistas de montaña rusa. En una hoja aparte, dibuja la gráfica (velocidad – distancia) que correspondería a cada una de ellas. ¿Se podría reconstruir el perfil de una montaña rusa a partir de la gráfica (velocidad – distancia) correspondiente?. ¿Observas alguna relación entre la forma de una pista de la montaña rusa y la forma de su gráfica?. Si es así, escribe una explicación. ¿Hay alguna excepción?. 3.- Supón que tuvieras que elegir al azar 100 personas y medir lo que pesan. Después les pides que realicen tres deportes: salto de altura, levantamiento de peso y lanzamiento de dardos. Dibuja diagramas de puntos que indiquen cómo esperas que sean los resultados. Indica claramente las suposiciones que hagas.

3º ESO. Gráficas y Funciones

2

Altura saltada

Peso levantado

Puntuación diana

Peso

Peso

Peso

4.- Cada una de estas cuatro figuras tiene un área de 36 unidades cuadradas.

A

B C

D

Marca con las letras A, B, C y D los 4 puntos del gráfico inferior que representan a estas figuras. ¿Puedes dibujar una quinta figura de 36 unidades cuadradas que corresponda al quinto punto?. Explícalo. Dibuja un diagrama que represente a todos los rectángulos con un área de 36 unidades cuadradas. ¿Qué sucede si incluyes en tu gráfica todas las figuras con el mismo área? 5.- Lee con tención el siguiente texto y, a continuación, dibuja las gráficas que ilustran la situación planteada. En los mismos ejes de coordenadas, dibuja las gráficas que representan las relaciones entre las siguientes variables : Población del insecto cóccido/tiempo y Población de mariquitas/tiempo. “El insecto cóccido algodonoso australiano fue introducido accidentalmente en América en 1868 y aumentó en número hasta que pareció que iba a destruir los huertos de cítricos californianos. Su predador natural, la mariquita, fue introducida artificialmente en 1889 y esto redujo rápidamente la población del insecto cóccido. Posteriormente se utilizó DDT para intentar reducirlo aún más. Sin embargo, el resultado fue que aumentó su número ya que la mariquita era mucho más sensible al DDT y esto se convirtió de nuevo en un serio problema”. 6.- En la recolección de fresas un capataz dice a su cuadrilla “Cuanta más gente tengamos para ayudar, antes terminaremos de recoger estas fresas”. Utilizando los siguientes ejes, haz una gráfica que ilustre esta situación. 3º ESO. Gráficas y Funciones

3

tiempo

Nº de personas Explica en qué te has basado para dibujar la gráfica. En particular responde a las siguientes cuestiones: ¿Debería ir la gráfica “hacia arriba” o “hacia abajo”. ¿Por qué? ¿Debería ser la gráfica una línea recta?. ¿Por qué?. ¿La gráfica debería cortar a los ejes?. Si es así, ¿dónde?. Si no, ¿por qué no?. 7.- Aquí tienes dos tablas de valores: Tiempo de combustión

x (horas)

0

1

2

Altura de la vela

y (cm)

8

6

4

Lado de la alfombra cuadrada

x (m)

1

2

3

Área de la alfombra

y (m2)

1

4

9

a) ¿Cuándo dejará de arder la vela?. ¿Puedes completar la tabla de valores? b) ¿Para qué lado de la alfombra resultará un área de 25 m2?. ¿Puedes continuar la tabla de valores? c) La altura de la vela (y) varía según el tiempo que está encendida (x). El área de la alfombra cuadrada (y) varía según la medida del lado (x). ¿Qué diferencias hay entre las formas en que varían estas dos magnitudes?. ¿Qué forma tendrán sus gráficas?. Representa gráficamente ambas tablas y comprueba las repuestas dadas a la pregunta anterior. 8.- Un chicle cuesta 2 céntimos de euro. Supón que x es el número de chicles que vas a comprar e y el total de pesetas que has de pagar. ¿Cómo varía y respecto a x?. Selecciona la frase apropiada de la lista que aparece en Listado 1º Haz un esbozo de la gráfica en tu cuaderno. 3º ESO. Gráficas y Funciones

4

Construye una tabla de valores y dibuja una gráfica con la mayor exactitud en la hoja de papel milimetrado. (en el eje x: 1 cm para 1 chicle; en el eje y: 1 cm = 2 ctmos. De euro). Compara el gráfico con el esbozo. 9.- Una colonia de bacterias dobla su tamaño cada hora. A las 12 del mediodía se estima su tamaño en 1 millón de bacterias. Suponiendo que x representa el número de horas transcurridas desde el mediodía e y representa el tamaño de la colonia, Hacer las mismas tareas que en el ejercicio anterior. LISTADO 1º Aquí tienes una serie de frases que describen los tipos de variación y te puede ayudar para elaborar las respuestas de las cuestiones planteadas en los ejercicios 6, 7 y 8. 1)

Cuando x crece: • y crece • y decrece

2)

Aumentos iguales de x se corresponden con • aumentos iguales de y • disminuciones iguales de y • aumentos cada vez mayores de y • disminuciones cada vez mayores de y • aumentos cada vez menores de y • disminuciones cada vez menores de y

3)

Cuando x toma valores grandes • y toma valores grandes • y toma valores pequeños • y se hace cero

4)

y va aumentando con • una tasa media de variación (TMV) constante • una TMV creciente • una TMV decreciente.

10.- Dadas las gráficas siguientes describe brevemente el tipo de variación que muestran ayudándote de las frases proporcionadas en el listado 1. ¿Crees que existe algún tipo de relación entre los diferentes tipos de variación y la forma de la gráfica?. y

y

x

a)

3º ESO. Gráficas y Funciones

x

b)

5

y

y

x

x

c)

d) y

y

x

e)

x

f)

11.- En la primera tabla del ejercicio 5, x representa el tiempo de encendido de la vela en horas e y la altura de la vela. La ecuación que expresa la relación entre ambas variables es: y = 8 - 2x. Escribe la ecuación correspondiente a la relación representada en la segunda tabla del mismo ejercicio y la ecuación que relaciona las variables que aparecen en los ejercicios 6 y 7. ¿Existe algún tipo de relación entre la forma de la ecuación obtenida en cada caso y el tipo de variación o la forma de la gráfica?. 12.- En cada una de las situaciones que siguen, describe como varía y con x. Dibuja un esbozo de la gráfica correspondiente. 1) Se cuelgan masas de una goma elástica, las masas suspendidas son x gramos y la longitud de la goma y cm. 2) En el brazo izquierdo de una balanza se han colocado 3 masas a una distancia de 4 unidades respecto al pivote. La balanza se equilibra colocando y masas en el extremo derecho a una distancia de x unidades respecto al pivote.

4 unidades

x unidades

3 masas

y masas

13.- La compañía Maquinaria Variada de Alquiler (MVA) alquila, por horas, herramientas y equipos para realizar diversas tareas: máquinas para pintar, para limpiar alfombras, lijadoras, aspiradoras, etc. El precio del alquiler (en €) depende del tipo de máquina y el número de horas que se va a utilizar. Para que los clientes sepan cuanto les va a costar el alquiler cada máquina lleva una etiqueta como la siguiente: Artículo: Pistola para pintar. Mod. A Precio del alquiler = 3º ESO. Gráficas y Funciones

Nº de Horas

x3

+ 9,5 6

Etiquetas del mismo tipo se encuentran en otros modelos de máquinas para pintar. Artículo: Pistola para pintar. Mod. B Precio del alquiler =

Nº de Horas

x 4,2

+6

Artículo: Pistola para pintar. Mod. C Precio del alquiler =

Nº de Horas

x 7,2

¡) Con estos datos calcula cuál de las tres máquinas resulta más económica para alquilarla durante los siguientes tiempos: a) 1 hora

b) 1'5 horas

c) 2 horas

d) 2'5 horas

e) 3 horas

Un empleado de la empresa ha tenido la idea de simplificar estas etiquetas. Para ello ha designado al número de horas por la letra x y el precio del alquiler por la letra y. De esta forma la cantidad a pagar por alquilar x horas el modelo A viene dada por la siguiente fórmula: y = 3x + 9,5 2) Escribe las fórmulas que corresponden a los modelos B y C. 3) ¿A qué tipo de ecuación general corresponden dichas fórmulas?. Completa la tabla siguiente y representa en los mismos ejes de coordenadas los puntos correspondientes a la función que relaciona nº de horas (x) - precio del alquiler (y) en cada modelo. Nº de horas (x)

1

2

3

4

5

Alquiler mod A (y) "

mod B (y)

"

mod C (y)

4) Determinar, a partir de la gráfica, para que número de horas resulta más rentable el alquiler de cada uno de ellas. 5) ¿Cómo podrían hallarse exactamente dichos números? ¿Qué relación tienen con las abscisas de los puntos de corte de las rectas?. 6) ¿Qué relación tiene con ello el coeficiente de x en cada ecuación? ¿ y el término independiente?. 7) ¿Cómo podemos estar seguros que las gráficas son rectas?. 8) ¿Cuánto aumenta en cada caso y cuando x aumenta en una unidad? 9) ¿En qué punto corta cada una de las rectas al eje de ordenadas? 10) Determinar una ecuación que corresponda al alquiler de una cuarta máquina que resulte más rentable que las anteriores para cualquier número de horas que se alquile. Lo mismo con la condición de que resulte más cara que los tres modelos anteriores. Se han encontrado dos facturas correspondientes al alquiler de una cuarta máquina (mod. D) en las que se puede leer lo siguiente: 3º ESO. Gráficas y Funciones

7

Por 3 horas...................18 € Por 5 horas...................21 € 11) ¿Cuál será, en este caso, la ecuación que determina el alquiler y en función del número de horas x.? 12) Lo mismo para otra máquina de la que se sabe que su alquiler cuesta 1,2 € por hora y que por 4 horas se han pagado 21 €. 14.- Dadas las funciones f(x) = 2x -1 y g(x) = -3x + 2 . Completar la siguiente tabla:

x

-2

-1

0

1

f(x)

-5

-3

-1

1

d1

----

2

2

2

2

5

8

g(x) d1

----

¿Qué se observa al examinar las diferencias d1 de las funciones f y g ?. ¿En qué casos coinciden con la pendiente de las gráficas de esas funciones?. ¿Cómo puede explicarse esto?. 15.- De una función y = f(x) se sabe que para x = 0 toma el valor f(0) = 1 y por cada unidad que aumenta x, f(x) aumenta en 3 unidades. Se pide: a) Indica cuál de las siguientes fórmulas corresponde a dicha función: (i) (ii) (iii) (iv)

y y y y

= = = =

3x - 1 1 - 3x 3x + 1 3x

b) Justifica la respuesta dada en el apartado anterior. 16.- Sea f(x) = -3x + n, donde n es una constante, cuando x aumenta en una unidad ..... (i) (ii) (iii) (iv)

f(x) f(x) f(x) f(x)

aumenta n unidades disminuye 3 unidades aumenta 3 unidades aumenta - 3 + n unidades

17.- Dos amigos poseen cada uno un potro. en el momento de la compra ambos animales pesaban igual. Un mes después se encuentran y Juan dice a María: “Mi potro pesa 10 kg. más”. A lo que ésta responde: “El mío aumento un 20 % su peso”. “Entonces - concluye Juan- siguen pesando los dos lo mismo”. 1ª.- ¿Cuánto pesaban originalmente los potros?. Al cabo de tres meses vuelven a encontrarse y María le dice a Juan: “Mi potro ha seguido aumentando su peso un 20% cada mes” y Juan le responde: “El mío también ha seguido engordando 10 kilogramos cada mes, así que siguen pesando igual”. 2ª.- Dibuja un gráfico del desarrollo del peso de los potros desde el momento de la compra. ¿Es cierta la afirmación de Juan de que siguen pesando lo mismo?. ¿Cómo puedes convencerle de que al cabo de cuatro meses no pueden pesar los mismo?. 3ª.- Encuentra una función que describa el crecimiento del potro de Juan (f(t) = peso en kilogramos, t = tiempo en meses). 3º ESO. Gráficas y Funciones

8

4ª.- Analiza gráfica y analíticamente cómo es la velocidad de crecimiento en el caso del potro de Juan. 5ª.- En el caso del crecimiento del potro de María, el valor siguiente se obtiene del anterior multiplicando por una constante (factor de crecimiento) si se toman intervalos iguales. (crecimiento exponencial). Calcula la ecuación del crecimiento para el potro de María (g(t) = peso en kilogramos, t = tiempo en meses).

18.- Dibuja la gráfica de una función que pasa por los puntos A y B representados en el sistema de coordenadas cartesianas de la figura y contesta la siguiente pregunta: ¿Cuántas gráficas diferentes que pasen por esos dos puntos podrían trazarse?

Y B

Explica la respuesta.

A

X

19.- Dibuja la gráfica de una función cuya gráfica pasa por los puntos A, B y C que aparecen en el sistema de coordenadas cartesianas de la figura y contesta la misma pregunta que el ejercicio anterior. Y B

A

C

X

20.- Un científico está estudiando un cultivo de bacterias. Se sabe que el número de bacterias de un cultivo depende de la temperatura.

Nº de bacterias 10 6 / cm 3 5 4

El científico ha marcado dos puntos en el siguiente sistema de coordenadas, correspondientes al número de bacterias a las temperaturas de 10º C y 25º C respectivamente.

3 2

En la siguiente fase de la experiencia, el científico necesita saber cuál es el número de bacterias a 20º C. Calcula dicho número y explica cómo lo has obtenido.

1

-1

10

20

30

40

3º ESO. Gráficas y Funciones

50

El científico quiere predecir el número de bacterias que habrá a 30º. Determina dicho número y explica cómo lo obtienes. 9

¿Cuál sería el número de bacterias a 45º?. Explica cómo has obtenido la respuesta. 21.- Un camión está cargado con cajas. Cada una pesa 20 kg y el camión vacío pesa 4500 kg. a) Calcular el peso total del camión en el caso de que transporte 125 cajas. b) Determinar el número de cajas que transporta cuando el peso total del camión es 6740 kg. c) Si se designa por W el peso total del camión y por x el número de cajas que transporta, escribir una ecuación que exprese W en función de x. 22.- El siguiente gráfico da la velocidad de un ciclista en su recorrido del entrenamiento diario. En él queda reflejado que subió un pequeño puerto e hizo una parada en la cima para beber agua, antes de iniciar el descenso. Utilizando el gráfico, contesta las siguientes preguntas con la máxima precisión que te sea posible. Velocidad (km/h) 50 40 30 20 10

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo (minutos)

a) Determina su velocidad aproximada a los 15 minutos de iniciar el entrenamiento. b) Halla en qué momentos la velocidad del ciclista fue de 30 km/h. c) Señala los intervalos de tiempo en que la velocidad se ha incrementado. d) ¿En qué intervalo ha decrecido con mayor rapidez la velocidad?. e) ¿ En qué momento alcanzó el ciclista la cima del puerto?. 23.- Una pequeña compañía destina a obras sociales una cantidad C de sus beneficios (p), que depende del número de productos vendidos (n), de acuerdo con las siguientes fórmulas: C = 0'1(p - 100000)

y

p = 10000 n - n2

a) ¿Qué cantidad destina a obras sociales cuando tiene una venta de 50 productos?. b) Escribe una fórmula expresando C en función de n. 24.- Dada la función real de variable real y = f(x), indica cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas. • • • • • • • •

A cada valor de x le corresponde a lo sumo un solo valor de y. Cualquier paralela al eje de ordenadas corta a la gráfica de la función f por lo menos en un punto. El dominio y el recorrido de f son subconjuntos de números reales. x es la variable independiente e y la variable dependiente. Una función puede venir representada por una gráfica. Una función puede representarse por una tabla de valores de doble entrada. Una función puede representarse por la suma de dos números dados. Una función puede representarse por medio de una fórmula algebraica.

26.- Indica cuáles de las siguientes definiciones corresponden a la de una función y = f(x) monótona creciente en (a, b). 3º ESO. Gráficas y Funciones

10

•

•

f(x) es creciente en (a, b) si dados dos valores cualesquiera x1, x2 de (a, b), tales que x1 < x2 se cumple que f( x1) < f(x2 ). f(x) es decreciente en (a, b) si dados dos valores cualesquiera x1, x2 de (a, b), tales que x1 < x2 se cumple que f( x1) ≥ f(x2 ).

3º ESO. Gráficas y Funciones

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