Funciones

MINISTERIO DE EDUCACION

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN Y CAPACITACIÓN PERMANENTE

LÓGICO MATEMÁTICO

PIURA 2008

FUNCIÓN LINEAL

LOGRO DE APRENDIZAJE RESUELVE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS APLICANDO CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS EMPLEANDO FUNCIONES LINEALES Y COMUNICA LOS RESULTADOS A TRAVÉS DE DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN

Contenidos: • Par Ordenado • Producto cartesiano. • Relaciones. • Regla de Correspondencia. • Dominio y Rango. • Gráficos. • Función Lineal

Situación Problemática

¿Qué significa que un auto vaya a 70 km/h? Determinar la ley que rige la dependencia entre las magnitudes tiempo y espacio recorrido. ¿Cuál es el espacio recorrido en 1/2 hora? ¿Cuánto en 10 minutos? ¿Y cuánto en 8 horas? Respondiendo a estas preguntas y a otras similares, los estudiantes podrán construir el modelo del movimiento rectilíneo uniforme.

2

INTRODUCCIÓN En el mundo actual, y especialmente en los medios de comunicación, gran parte de la información acerca de fenómenos de cambio, bien sean de carácter económico, deportivo, meteorológico e incluso político, se difunde por medio de tablas y graficas, que son dos de las formas de expresar una relación funcional. Por ejemplo, si observas el recibo de consumo de electricidad, podrás encontrar un grafico que te muestra tu consumo mensual, alli tienes la información resumida de todo un año; fácilmente te informaras de cuanto fué tu consumo máximo. El concepto de Función es una noción central en la matemática actual y constituye una idea unificadora de gran importancia. En este modulo, se pretende ante todo, proporcionar una visión general del concepto matemático de función, presentado el tema de manera numérica, gráfica y simbólica, siempre que sea posible. Se presentan diferentes situaciones relacionadas con problemas de la vida real o matemáticas concretas, que permiten una modelización por medio de una función, que con la cual describiremos dichas situaciones, prediciendo en algunos fenómenos que sucederá bajo determinada condiciones.

3

FUNCIÓN LINEAL 1. PAR ORDENADO Llamaremos par ordenado de números reales a la expresión (a, b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente EJEMPLO Son pares ordenados: (3, 5), (-2, 7), (etc). 2. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano es un conjunto de pares ordenados. Si tuviéramos dos conjuntos A y B, el producto cartesiano puede ser expresado también así:

AxB    a, b  / a  A  b  B



Es un subconjunto del producto cartesiano. Lo cual leemos así: “El producto cartesiano A x B, cuyos elementos son los pares ordenados (a, b) tal que las primeras componentes a pertenecen al conjunto A y las segundas componentes b pertenecen al conjunto B” Sean los conjuntos A y B, de modo que: A = { 1, 3, 5 } B = { 2, 4 } Luego: AxB = { (1, 2) , (1, 4) , ( 3, 2) , ( 3, 4) , ( 5, 2) , ( 5, 4)

}

Gráficamente el producto cartesiano puede ser representado así: Diagrama sagital o de flechas A

Tabla de doble entrada

B 1. 3. 5.

B

3

4

.2

A 1

(1, 2)

(1, 4)

.4

3

(3, 2)

(3, 4)

5

(5, 2)

(5, 4)

Diagrama en árbol

1

2

Diagrama cartesiano

5

(1, 4) (3, 4)

(5, 4)

(1, 2)

(5, 2)

4 (3, 2)

2 2

4 2

4 2

4

0 1

3

5

3. RELACIÓN BINARIA

4

Es un subconjunto del producto cartesiano. Es decir en el ejemplo A x B, el conjunto RELACIÓN lo conformara sólo los pares ordenados cuyas componentes cumplan la siguiente condición: a > b. Entonces, con los pares ordenados que cumplan con dicha condición estaremos formando una RELACIÓN R. R = { ( 3, 2 ) , ( 5, 2 ) , ( 5, 4 ) } Así: Como las primeras componentes de cada PAR ORDENADO pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B, tal RELACIÓN se dice que es una: RELACIÖN BINARIA R DE A EN B Lo cual se simboliza así: R:A→B

Donde: El conjunto A se llama conjunto de partida, y el conjunto B se llama conjunto de llegada Vamos a graficar la RELACIÓN obtenida empleado el diagrama sagital, la tabla de doble entrada y el diagrama cartesiano. Diagrama sagital o de flechas A

Tabla de doble entrada

B 1. 3. 5.

B

2

.2

A 1

.4

3

(3, 2)

5

(5, 2)

4

(5, 4)

Diagrama cartesiano (5, 4) 4 (3, 2)

(5, 2)

2 0 1

3

5

4. REGLA DE CORRESPONDENCIA A la CONDICIÓN que se nos da al seleccionar los pares ordenados que conforman una RELACIÓN, se le conoce también con el nombre de REGLA DE CORRESPONDENCIA. a > b es la condición o REGLA DE CORRESPONDENCIA de la RELACIÓN.

5

Se nos pudo haber pedido otra RELACIÓN con otra REGLA DE CORRESPONDENCIA en el mismo producto cartesiano; esta regla pudo ser: a
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EJEMPLO Dados los conjuntos:

A = { 1, 3, 5 } B = { 3, 7, 11 } Hallar y graficar la función: f : A → B definida por: y = 2 x + 1 SOLUCIÓN • Conjunto de partida: A • Conjunto de llegada: B • Producto cartesiano: A x B: AxB = { (1, 3) , (1, 7 ) , (1, 11) , ( 3, 3) , ( 3, 7 ) , ( 3, 11) , ( 5, 3) , ( 5, 7 ) , ( 5, 11) • Regla de correspondencia: y = 2 x + 1 o f( x ) = 2 x + 1 •

}

Determinamos los pares ordenados que pertenecen a la función f, reacordando que las componentes de cada par están relacionados por la regla de correspondencia: Par ordenado (x, y) (1, 3) (1, 7) (1, 11) (3, 3) (3, 7) (3, 11) (5, 3) (5, 7) (5, 11)

x o primera y = f(x) o component segunda componente e X f(x) = 2x +1 1 f (1) = 2(1) + 1 = 3 1 f (1) = 2(1) + 1 = 3 1 f (1) = 2(1) + 1 = 3 3 f (3) = 2(3) + 1 = 7 3 f (3) = 2(3) + 1 = 7 3 f (3) = 2(3) + 1 = 7 5 f (5) = 2(5) + 1 = 11 5 f (5) = 2(5) + 1 = 11 5 f (5) = 2(5) + 1 = 11

(1, 3) ∈ f (1, 7) ∉ f (1, 11) ∉ f (3, 3) ∉ f (3, 7) ∈ f (3, 11) ∉ f (5, 3) ∉ f (5, 7) ∉ f (5, 11) ∈ f

Luego: f = { ( 1, 3) , ( 3, 7 ) , ( 5, 11) } • Grafiquemos: Como la Función es una Relación podemos emplear las gráficas conocidas: Diagrama sagital o de flechas Diagrama cartesiano (5, 11) A f B 11 (3, 7) 1. .3 7 (1, 3) 3. .5 3 5.

.11

0 1

3

5 7

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN •

El dominio D(f) de una función es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de dicha función. • El rango R(f) de una función es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de dicha función. En el ejemplo anterior: D( f ) = { 1, 3, 5 } R ( f ) = { 3, 7, 11 } 7. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Siendo f una función real de variable real, la gráfica de f está formada por el conjunto de puntos del plano que representa al conjunto de pares ordenados de la función. EJEMPLO Graficar la función real: y = x + 1 SOLUCIÓN Hemos afirmado que en una función real los valores que toman x e y son números reales. Esto equivale a decir que en una Función Real, el conjunto de partida es ℜ y el conjunto de llegada también. Esto pude f :ℜ → ℜ simbolizarse así: Lo cual habíamos aprendido a leer como: “La función f de ℜ en ℜ ” • La gráfica está formada por los puntos. Los pares ordenados correspondientes a estos puntos los obtenemos asignando a x cualquier número real, lo que reemplazamos en la Regla de Correspondencia para obtener los respectivos valores de y, esto lo anotamos en una tabla como la siguiente: y = x + 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 y -3 -2 -1 0 2 2 4 •

•

Como se vera, si leemos en forma pares ordenados que dan lugar a los cartesiano +y 4 3 2 • 1 -x -4 -3 -2 -1 0 1 • -1 • -2 • -3 -4 - y

vertical tenemos en la tabla 7 siguientes 7 puntos en el plano •

•

+x 2

3

4

8

8. FUNCIÓN LINEAL Es aquella cura gráfica siempre es una línea recta y cuya Regla de Correspondencia tiene la siguiente FORMA GENERAL: y = a + bx Donde: a es el intercepto de la grafica en el eje y b es la pendiente de la recta. El intercepto con el eje y es un punto que pertenece a la gráfica de la función y también al eje y; es decir: la abscisa x de ese punto es CERO. Esto es: si x = 0 Entonces: y = a + b x y = a + b (0) y = a. FORMAS DE TRAZAR LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL 1. IDENTIFICANDO EL INTERCEPTO a Y LA PENDIENTE b EJEMPLO Graficar la función: y = 4 + 3x SOLUCIÓN • • •

Identificamos el intercepto con el eje y : + 4 Identificamos la pendiente de la recta: + 3 Trazamos la gráfica: y 7 •P 6 5 4•

3 unidades hacia arriba 1 unidad a la derecha

x

y

0

4

1

7

x 0

1

Con dos puntos pertenecientes a la función podemos trazar una sola recta que une a ambos y que será la GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

9

2. TABULADO Esta es otra manera de trazar la gráfica de una función. Veamos el ejemplo anterior: Trazar la gráfica correspondiente a la función f(x) = 4 + 3x • •

• x y

Aquí la variable independiente es x Si a x le damos algunos valores, obtenemos los respectivos valores de y De veste modo estaremos hallando algunos pares ordenados de la función, que podemos escribirlos en una tabla así: -2 -2

•

-1,5 -0,5

-1 1

-0,5 2,5

0 4

0,5 5,5

1 7

Graficamos los puntos correspondientes a cada par ordenado y los unimos por una línea recta. +y • (0,5 ; 5,5)

(-0,5; 2,5) • -x

+x (-2; -2) •

-y 3. IDENTIFICANDO LOS INTERCEPTOS CON LOS EJES x e Y Tomemos el mismo ejemplo anterior: Trazar la gráfica correspondiente a la función: y = 4 + 3x • Calculamos el intercepto de la recta con el eje y (es decir calculamos las coordenadas del punto común a la recta que representa a la función y el eje y); en ese caso x = 0, luego: y = 4 + 3 x y = 4 + 3 (0) y = 4. Luego el intercepto con el eje y es: (0, 4) •

Calculamos ahora el intercepto de la recta con el eje x; en este caso y = 0 luego: y = 4 + 3 x 10

0=4+3x x = - 4/3 Luego el intercepto con el eje x es: (-4/3, 0) • Ubiquemos ambos interceptos en los ejes respectivos del plano cartesiano. +y • (0, 4)

-x

•

• (-4/3, 0)

+x

-y Si unimos los dos puntos con una recta, tendremos la gráfica de la función: +y • (0, 4) (-4/3, 0) • -x

0

+x

-y DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÖN LINEAL Mientras no se nos dé una limitación (llamada también acotación) los valores de x, es decir el DOMINIO de la función lineal es el conjunto ℜ Como a cada valor de x, le corresponde un valor de y según y = a + bx , entonces los valores de y, es decir el RANGO de la función lineal también será el conjunto ℜ EJEMPLO Graficar la función y = 4 + 2 x si x ∈ ] − 2, 2] SOLUCIÓN A cada valor real de x comprendido entre -2 y 2le corresponde un valor de y según y = 4 + 2 x . Esto nos permite tabular pares ordenados del siguiente modo. x y

-2 0

-1 2

0 4

1 6

2 8 11

Graficando en el plano cartesiano los pares ordenados obtenidos: 9 y 8 7 6 5 4 3 2 1 ο -5 -4 -3 -2 -1

1

•

RANGO

2

3

4

5

x

DOMINIO Observando la gráfica notamos que: D( f ) : x ∈ ] − 2, 2 ] R ( f ) : y ∈ ] 0, 8 ] CASOS PARTICULARES DE LA FUNCIÓN LINEAL 1. FUNCIÓN CONSTANTE Si en la forma general de la función lineal: f(x) = a + b x Hacemos que b = 0, entonces tendremos: f(x) = a + 0( x) f(x) = a ; como a es una constante, entonces f(x) = constante EJEMPLO Graficar: f(x) = 3 SOLUCIÓN En el plano cartesiano y

y=3 ó f(x) = 3

3 2 1 0

x

D(f)¡ R ( f )  3

12

2. FUNCIÓN IDENTIDAD Si en la forma general de la función lineal: f(x) = a + b x Tuviéramos que b = 1 y a = 0, entonces tendremos: f(x) = 0 + 1( x) , es decir: f (x) = x ó y = x EJEMPLO Graficar: f(x) = x SOLUCIÓN Esto significa que en todos los pares ordenados de la función ambos componentes son iguales, esto es (1, 1), (2, 2), (3, 3), etc. Además El intercepto con el eje y ( es decir a) es cero La pendiente b es 1 Graficando en el plano cartesiano: y 3

f (x) = x ó y = x

2 1 -3 -2 -1 -1

b=1

•

1

2

3

x

-2 -3

D(f)¡ R(f)¡

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcule

x

e

y

en

la

siguiente

igualdad

de

par

ordenado

(2 x − 1, 8) = (5, y + 5) SOLUCIÓN 2x - 1 = 5 x=2 8=y+5 y=3

13

2.

Dados los siguientes conjuntos

A   x / x  ¥  1  x  4

B   x / x  ¥  3  x  5 hallar el producto cartesiano y grafique por todas las formas posibles. SOLUCIÓN Dados los conjuntos A y B A = { 2, 3 } B = { 3, 4, 5 } Luego: A x B = { ( 2, 3) , ( 2, 4 ) , ( 2, 5) , ( 3, 3) , ( 3, 4 ) , ( 3, 5) } Gráficamente el producto cartesiano puede ser representado así: Diagrama sagital o de flechas A

Tabla de doble entrada

B

B

2.

3

4

5

.3

A 2

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

.5

3

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

.4 3.

Diagrama cartesiano Diagrama en árbol (2, 5) (3, 5) 5 (2, 4) (3, 4) 2

3

4 (2, 3) (3, 3) 3

3

4

5

3

4

5

0 2

3

3. Dados los conjuntos A y B, hallar la relación R de A en B cuya REGLA DE CORRESPONDENCIA se indica; además graficar la relación empleando el diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de doble entrada A = { x / x ∈ N ∧ 1 ≤ x ≤ 2} B = { x / x ∈ N ∧ 1 ≤ x ≤ 2} Regla de correspondencia: y = 2x SOLUCIÓN Dados los conjuntos A y B A = { 1, 2 } B = { 1, 2 } Luego: A x B = { (1, 1) , (1, 2 ) , ( 2, 1) , ( 2, 2 )

} 14

Regla de correspondencia: y = 2 x o f ( x ) = 2 x Determinamos los pares ordenados que pertenecen a la relación R Luego: R = { ( 1, 2) , } • Grafiquemos: Para la Relación podemos emplear las gráficas conocidas: Diagrama sagital o de flechas Diagrama cartesiano •

A

R

B (1, 2)

1.

.1

2.

.2

2

•

1 0 1

2

Tabla de doble entrada B

1

2

A 1

(1, 2) 2

4. Graficar la siguiente función: f ( x) = x + 2 y determinar el dominio y el rango SOLUCIÓN • Identificamos el intercepto con el eje y : + 2 • Identificamos la pendiente de la recta: + 1 • Trazamos la gráfica: y 3 • 2• 1 x 1

2

x

y

0

2

1

3

3

D(f)¡ R(f)¡ Con dos puntos pertenecientes a la función podemos trazar una sola recta que une a ambos y que será la GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

15

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

2 f = { ( 2; 6 ); ( 1; a - b ); ( 1; 4 ); ( 2; a + b); ( 3; 4)} ⊂ R Es una función; hallar f(b). a)1 b) 3 c)5 d)4

e) -1

2. Sea f una función tal que f (2 – 3x) = 3x – 2 para todo número real x, si f(3) = 5 – 4a , hallar el valor de “a”. a) -2 b) 2 c) 3/2 d) 6 e) -3/2 3.

4.

Dada la función f(x + 4) = ax2 – 5a y f(1) = 4, hallar el valor de a. a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -2 Sea f: R → R una función real, tal que f(x) = a – 2x – x2. Si f(-3) = -1, hallar el valor máximo de la función. a) 5 b) 2 c) 3 d) 1 e) 4

5.

Sean f y g funciones reales tales que f(x) = x2 + ax + 2 y g(x) = 2x + 5 si f(g(-2)) = 2a, hallar el valor de a. a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 6

6.

Calcule x e y en la siguiente igualdad de par ordenado ( x + 7, y ) = (10, − 2) . Dar como respuesta la suma de x e y a) 0 b) 1 c) -1 d) -2 e) 3

7.

Calcule x e y en la siguiente igualdad de par ordenado (5 x  2, 6)  (4 x  1/ 2, 5 y ) . Dar como respuesta el producto de x e y a) 1/2 b) 2/5 c) 4/5 d) 9/5 e) 3

8.

Dados los siguientes conjuntos

A   x / x  ¥  11  x  15

B   x / x  ¥  1  x  2

Hallar el producto cartesiano y grafique por todas las formas posibles. 9. Dados los siguientes conjuntos A = { x / x es par ∧ 2 ≤ x < 10} B = { x / x es impar ∧ 6 < x ≤ 11} Hallar el producto cartesiano y grafique por todas las formas posibles. 10.

Dados los conjuntos A y B, hallar la relación R de A en B cuya REGLA DE CORRESPONDENCIA se indica; además graficar la relación empleando el diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de doble entrada A = { x ∈ N / x es par; x ∈ [ 2, 7[ } B = { x ∈ N / x es impar ; x ∈ [ 2, 8] } Regla de correspondencia: y = x +1

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Escribir el dominio y el rango de la relación. 11.

Dados los conjuntos A y B, hallar la relación R de A en B cuya REGLA DE CORRESPONDENCIA se indica; además graficar la relación empleando el diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de doble entrada A = { x ∈ N / x es impar; x ∈ ] 1, 8[ } B = { x ∈ N / x es par ; x ∈ [ 4, 10] } Regla de correspondencia: x + y < 12 Escribir el dominio y el rango de la relación.

12.

Graficar la siguiente función: dominio y el rango.

13.

14.

15.

f ( x) = x − 4; x ∈ [ − 1, 3] y determinar el

Graficar la siguiente función: f ( x) = 3x + 9; x ∈ ] − 3, 5 [ y determinar el dominio y el rango. Graficar la siguiente función: f ( x) = −3 y determinar el dominio y el rango. Graficar la siguiente función: f ( x) = − x y determinar el dominio y el rango.

16.

Graficar la siguiente función: f ( x ) = x + 4; x ∈ [ − 5, 1 [ y determinar el dominio y el rango.

17.

Graficar la siguiente función: f ( x) = 6 x − 2; x ∈ ] − 4, 6 dominio y el rango.

]

y determinar el

17