Funciones Reales Y Sus Graficas

FUNCIONES REALES Y SUS GRAFICAS Definición

X

Y

. x

. Y=f(x)

Una función es una triada de objeto (X,Y,f); donde X e Y son dos conjuntos y f es una regla que hace corresponder a cada elemento de X un único elemento de Y . Al Conjunto X se le llama dominio de la función y al conjunto Y conjunto de llegada de la función. A una función (X, Y, f) se le denota comúnmente por: f: X se lee “la función f de X en Y ”.

Y ó

X f

Y y

Para indicar que a un elemento x de X, f le hace corresponder el elemento y de Y se escribe Y = f(x) , lo cual se lee y es igual a f de x , lo que significa que y es el valor que toma f en x o que y es la imagen de X mediante f. El elemento x, en este caso, es una preimagen del elemento y. A la variable que usamos para denotar los elementos del dominio se llama variable independiente y la variable que denota la imagen variable dependiente (y). Ejemplo: z = f(t), en cuyo caso la variable independiente es t y la variable dependiente es z. y = f(x) x = variable independiente y = variable dependiente Dadas las funciones: f: x  y y g : x  y Diremos que: f = g  f ( x) = g(x) ∀x ∈ X El rango de la función f: xy es el conjunto formado por todas las imágenes. Esto es

Rango de f ={ f(x) ∈ Y / X ∈ X } Al dominio y al rango de una función f: X Y lo abreviaremos Dom(f) y Rang(f) Ejemplo 1: X

Y

a b c d

1 2 3 4 5

gráfico 1

Sean X = {a,b,c,d}, Y={1,2,3,4,5} Y la función f : X Y, cuya regla f está dada por el gráfico 1 El dominio es el conjunto: Dom(f) = X ={a,b,c,d} El rango es el conjunto de llegada: Rang(f) = [3,4,5] La regla f establece que f(a) =3, f(b) = 3, f(c) = 5, f(d) = 4.

Ejemplo 2: Sea X un conjunto cualquiera, a la siguiente función se le llama función identidad del conjunto X. Ix: X X Ix(x) = x El dominio, es el conjunto de llegada y el rango es el conjunto X. La regla Ix hace corresponder a cada elemento x el mismo elemento x. Recuerde: F(x) es una función si se cumple lo siguiente: 1. Que todo elemento del dominio debe tener una imagen 2. Que todo elemento del dominio tiene exactamente una imagen. Estos Ejemplos :no son funciones.

X = Y2

Y= ± x

Porque a x le corresponde dos imágenes cuando X = 4, y Y= ± 2 (Definiendo el rango: sobre todo el eje y) X

Y 1

8

2

7

El 3 no tiene imagen

3

Funciones Reales: La recta y la ecuación de primer grado. Se llama ecuación de primer grado en dos variables, x e y, a la ecuación: Ax+By+c=0 donde A ≠ 0 ó B ≠ 0 Pendiente de una recta: La pendiente de una recta mide la razón de elevación ó inclinación de la recta. Si P1(x1, y1 ) y P2(x2,y2) son dos puntos distintos cualesquiera en la recta l la cual no es paralela al eje y: entonces la pendiente (m) denotada por m, está dada por: m=

Y 2 − Y1 X 2 − X1

Ec. (1)

En la ecuación Ec(1), X2 ≠ X1 ya que l no es paralela al eje Y

El valor de m calculado de la Ec(1) es independiente de la selección de los puntos P1 y P2 en la recta. Para demostrar esto supóngase que escogemos dos puntos diferentes p1