Funciones

Universidad Tecnológica de Panamá Elaborado por: Dean, Ema Pérez, Diego Ing. Marítima y Portuaria Grupo: 9IL111 Profesor: Jaime Pérez Materia: Calculo III II Semestre

FUNCIONES

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Fecha 23 de Noviembre de 2017

Introducción

Este resumen nos sirve para estudiar las trayectorias, velocidades y aceleraciones de los cuerpos en movimiento. Nuestro trabajo responderá a las preguntas comunes sobre las trayectorias y movimientos de proyectiles, planetas y satélites. En la última sección usaremos el cálculo vectorial para deducir las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas a partir de las leyes de Newton sobre el movimiento y la gravitación.

Funciones Vectoriales

Cuando una partícula se mueve a través del espacio durante un intervalo de tiempo I, pensamos en las coordenadas de la partícula como funciones definidas en I: x = ƒ(t)

y = g(t)

z = h(t)

t ∈ I (1)

Los puntos forman la curva en el espacio que llamaremos la trayectoria de la partícula. Las ecuaciones e intervalo de la ecuación (1) parame trizan la curva. Una curva en el espacio también puede representarse en forma vectorial. El vector

(2) del origen a la posición de la partícula P(f(t), g(t), h(t)) en el instante t es el vector posición de la partícula. Las funciones f, g y h son las funciones componentes del vector de posición. Consideremos la trayectoria de la partícula como la curva descrita por r durante el intervalo de tiempo I. No sería fácil trazar estas curvas a mano. La ecuación (2) define a r como una función vectorial de la variable real t en el intervalo I. Más en general, una función vectorial o una función con valores vectoriales sobre un conjunto dominio D es una regla que asigna un vector en el espacio a cada elemento en D. Por ahora, los dominios serán intervalos de números reales que producirán una curva en el espacio. Funciones vectoriales representarán entonces superficies en el espacio. Las funciones vectoriales en un dominio del plano o del espacio también dan lugar a “campos vectoriales”, que son importantes para estudiar el flujo de un fluido, los campos gravitacionales y los fenómenos electromagnéticos. En el capítulo 16 analizaremos los campos vectoriales y sus aplicaciones.

Nos referiremos a las funciones con valores reales como funciones escalares, para distinguirlas de las funciones vectoriales. Los componentes de r son funciones escalares de t. Cuando definimos una función con valores vectoriales mediante sus funciones componentes, suponemos que el dominio de la función vectorial es el dominio común de los componentes.

Límites y Continuidad

La forma en que definimos los límites de funciones con valores vectoriales es similar a como definimos los límites de funciones con valores reales. Definición en función vectorial: Sea r(t) = ƒ(t)i + g(t)j + h(t)k una función vectorial y L un vector. Decimos que r tiene un límite L cuando t tiende a y escribimos:

Si para todo número ∈ > 0, existe un número correspondiente d > 0 tal que para toda t

Si

, entonces lim 𝑟(𝑡) = 𝐿 precisamente cuando 𝑡→0

Proporciona una manera práctica para calcular límites de funciones verticales. Definimos la continuidad para funciones vectoriales de la misma forma en que definimos la continuidad para funciones escalares.

Derivadas y Movimiento

Suponga que r(t)= f(t)i + g(t)j +h(t)k es el vector posición de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio y que f, g y h son funciones diferenciables (derivables) de t. entonces, la diferencia entre las posiciones de la particula en el instante t y el instante t + ∆𝑡 es ∆𝑟 = 𝑟(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑟(𝑖) En términos de componentes,

Cuando ∆𝑡 tiende a cero, parecen ocurrir tres cosas en forma simultánea. Primero, Q tiende a P a lo largo de la curva. Segundo, la recta secante PQ parece tender a una posición límite, tangente a la curva en P. Y tercero, el cociente