Funciones Exp-log

PROFRA. MA. DALIA LOZANO GRANDE

MATERIA: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES.

NOCIÓN GENERAL DE FUNCIÓN. Las cantidades que intervienen en una expresión matemática son constantes  cuando tienen  un valor fijo y determinado y son variables cuando toman diversos valores. Existen dos tipos  de variables: las independientes y las dependientes. A las variables dependientes también se  les llama funciones. Ejemplos: 1. Cuando realizamos alguna compra al menudeo, la cantidad a pagar depende ó está  en función de la cantidad comprada. 2. En una carrera a campo traviesa el tiempo invertido está en función de la distancia  recorrida. 3. La velocidad de una computadora está en función de la cantidad de memoria, etc. Para expresar que una variable dependiente está en función de otra independiente, suele  usarse la siguiente expresión:

y=f  x  En este caso se dice que “y” está en función de “x”, es decir que los valores que tome la  variable “y” dependerán de los valores que  le demos  a ”x”; en este caso el paréntesis  no  significa multiplicación. Para   el   estudio   de   diversos   fenómenos   resulta   imprescindible   graficar   las   funciones   y  dependiendo   de   la   forma   en   la   que   se   relacionen   las   variables   dependientes   con   las  independientes tenemos funciones lineales ó cuadráticas, por ejemplo:

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f(x)

f(x)

x

x                            y= f(x)= 4x−2

y =f  x = x2

Gráfica de función lineal                              Gráfica de función cuadrática

Pero   las   hay   de   muy   diversos   tipos.   Por   el   momento   nos   enfocaremos   a   las   Funciones  Exponenciales y Logarítmicas.

FUNCIONES EXPONENCIALES. Algunos   ejemplos   de   funciones   exponenciales   los   podemos   observar   en   los   siguientes  fenómenos: 1. El monto de un capital invertido, crece exponencialmente de acuerdo al tiempo de  inversión si se tiene una tasa de interés fijo. 2. Las poblaciones de diversos microorganismos y animales incluyendo la humana  3. crece de manera exponencial con el transcurso del tiempo. 4. La   curva   que   forman   los   cables   de   alta   tensión   entre   cada   torre   es   una   función  exponencial que incluye al número “e”; dicha curva se llama catenaria. Si tenemos cualquier función del tipo exponencial y requerimos graficarla, podemos hacer  una   tabla   de   valores,   realizar   los   cálculos   requeridos   y   graficar   los   puntos   (pares   de  coordenadas) obtenidos. En este caso dependiendo del valor que tenga la base, la curva  obtenida puede ser de cualquiera de estos tipos:

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Gráficas de: y=ax

         Observa que en ambos casos la curva se hace asíntota al eje “x”. En las siguientes imágenes se muestran varias curvas exponenciales con diferentes bases; en ambos casos: ¿Cómo cambia la función cuando aumenta la base? 5

5

a=4 a=1/4

4

4

a=3

a=1/3

3

3 a=1/2

a=2

-4

-3

-2

-1

2

2

1

1

1

2

      

3

-2

Ejemplos: Graficar las siguientes funciones exponenciales: 1.

y= 2x

2.

y= 0. 25 x

-1

1

2

3

4

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FUNCIONES LOGARÍTMICAS. Los ejemplos de funciones logarítmicas son más limitados puesto que el logaritmo es una  “herramienta” para expresar y manejar las expresiones exponenciales, sin embargo algunos  ejemplos los podemos encontrar en:   El cálculo de la magnitud de los sismos,   Problemas químicos relacionados con el cálculo del PH,   Problemas de mercadotecnia  que tienen que ver con gastos de publicidad.  De cualquier modo cualquier función exponencial simple tiene su equivalente en logaritmos.  Si tenemos una función del tipo logarítmico y requerimos graficarla, podemos hacer una tabla  de   valores,   hacer   los   cálculos   necesarios   y   graficar   los   puntos   (pares   de   coordenadas)  obtenidos. Las   gráficas   de   las   funciones   logarítmicas   pueden   tomar   las   siguientes   formas   básicas,  también dependiendo del valor de la base.

Gráficas de: y= loga x

Observa que en ambos casos la curva se hace asíntota al eje “y”. 

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En las siguientes imágenes se muestran las curvas de los logaritmos base 10 y base “e”  ¿Qué función cambia más rápidamente y porqué? y 3 y=ln(x), donde a=e=2.718281 2 y=log(x)

donde a=10

1

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

Ejemplos: Graficar las siguientes funciones logarítmicas: 1)    y= log2 x 2)    y= log0 . 25 x

10

11

12

13

x 14

15