Funciones En R

Funciones en R Definición: Sean A y B conjuntos. Una función f de A en B es un subconjunto de producto cartesiano AxB que verifica: ∀x ∈ A, ∃y ∈ B tal que ( x, y ) ∈ f Si ( x, y1 ) ∈ f y ( x, y 2 ) ∈ f , entonces y1 = y 2 .

i. ii. •

Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida o dominio de f, al conjunto B conjunto de llegada de f.

•

El conjunto

{ ( x, y ) : y = f ( x )} , se lo denomina el grafo de una función.

Definición: Se denomina recorrido de una función f : A → B, A ⊂ R al conjunto Re c( f ) = { y ∈ B : y = f ( x )} Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas Definición: Una función f : A → B, A ⊂ R es inyectiva si ∀x1 , x 2 ∈ A : f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x 2 o también, utilizando la contra recíproca, si ∀x1 , x 2 ∈ A : x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) Definición: Una función f : A → B se dice sobreyectiva si verifica: ∀y ∈ B, ∃x ∈ A tal que y = f ( x ) o también f : A → B es sobreyectiva ⇔ Re c( f ) = B . Definición: f : A → B, A ⊂ R se dice que es una función biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Funciones Monótonas Definición: Sea f : [ a, b ] → R y sean x1 , x 2 ∈ [ a, b] . Se dice que: i. ii. iii. iv.

f es creciente en [ a, b] si: x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) . f es estrictamente creciente en [ a, b] si: x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) . f es decreciente en [ a, b] si: x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) . f es estrictamente decreciente en [ a, b] si: x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .

Definición: f se dice que es monótona en [ a, b] si f es creciente o decreciente en [ a, b] . Definición: f se dice que es monótona a trozos en [ a, b] si f es monótona en cada subintervalo de [ a, b] .

Observación: La ecuación constante f ( x ) = k , es la única que es a la vez creciente y decreciente. Teorema: Si f y g son estrictamente crecientes en [ a, b] , entonces g  f es estrictamente creciente. Si f y g son estrictamente decrecientes en [ a, b] , entonces g  f es estrictamente decreciente. Demostración: i. Si f y g estrictamente crecientes. x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) ⇒ g ( f ( x1 ) ) < g ( f ( x 2 ) )

⇒ g  f ( x1 ) < g  f ( x 2 )

ii.

Si f y g estrictamente decrecientes. x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) ⇒ g ( f ( x1 ) ) > g ( f ( x 2 ) )

⇒ g  f ( x1 ) > g  f ( x 2 )

Observación: Que sucede con la composición g  f si f es estrictamente creciente y g estrictamente decreciente. x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) ⇒ g ( f ( x1 ) ) > g ( f ( x 2 ) ) ⇒ g  f ( x1 ) > g  f ( x 2 ) ⇒ g  f es decreciente Teorema: Si f : [ a, b] → R es estrictamente monótona, entonces f es infectiva en [ a, b] . Demostración: i. Si f : [ a, b ] → R es creciente x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) , lo que a su vez implica que x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) Por lo tanto f es inyectiva. ii.

Si f : [ a, b ] → R es decreciente x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) , lo que a su vez implica que x1 ≠ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) Por lo tanto f es inyectiva.

Funciones Pares e Impares Definición: Sea f : [ − a, a ] → R . Se dice que f es par en [ − a, a ] si ∀x ∈ [ − a, a ], f ( − x ) = − f ( x ) Definición: Sea f : [ − a, a ] → R . Se dice que f es impar en [ − a, a ] si ∀x ∈ [ − a, a ], f ( − x ) = f ( x )