Funciones De Dos Variables

Funciones de dos variables: Una función de dos variables la podemos describir: • Numéricamente: por medio de una tabla de valores • Algebraicamente: Por una fórmula explícita • Visualmente: Por medio de una gráfica o por medio de curvas de nivel. Algunos ejemplos de funciones de dos variables son: a) La temperatura en un punto de la superficie terrestre, que depende de las coordenadas esféricas de dicho punto (longitud y latitud). Por ejemplo, un punto localizado muy cerca del polo norte (95º O,81º N) será mucho más frío que algún punto cualquiera del territorio de Guatemala (93º O,14º N). b) La altura de un punto en la superficie terrestre, también depende de las coordenadas esféricas de dicho punto (longitud y latitud). Por ejemplo, un punto correspondiente al monte Himalaya (el pico más alto de la Tierra) tiene una altura distinta de algún punto en Holanda, donde por ejemplo, existen sitios por debajo del nivel del mar. c) El volumen V de un cilindro ( V   r 2 h ) es una función cuyo valor va a depender las dos variables r y h. Definición: Una función de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de número reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y). El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir I={ f(x,y)| (x,y)∈D} Con frecuencia se escribe z  f ( x, y ) para hacer explícito el valor tomado por f en un punto (x,y). En este caso se dice que x, y son las variables independientes, y z es la variable dependiente. Observe que la definición dada indica que el dominio es una parte o subconjunto del plano cartesiano y la función le asigna a cada punto de ese segmento de plano, un único número real comprendido en un intervalo de los números reales.

En el caso de que el dominio no sea explícito, y la función está definida por una ecuación, se entiende que ese dominio es todo el conjunto ¡ 2 , es decir, todos los puntos del plano cartesiano. x  y 1 La función f ( x, y )  tiene como x 1 dominio el conjunto de pares (x,y) para los cuales la expresión x  y  1 está bien definida, es decir para cuando x  y  1  0 , esto

x  y 1  0

x 1

x  y 1  0

es el semiplano cuya límite es la recta x  y  1  0 y todos los puntos que se encuentran “por encima” de esa recta. Sin embargo, observe que en la ecuación que define la función existe una expresión racional, de donde que debe excluirse del dominio todo valor que haga que el denominador sea cero. En este caso, se debe excluir cualquier valor x  1 , y este conjunto de puntos son todos aquellos que se encuentran en la recta vertical x  1 . Dicho eso, entonces D f   ( x, y ) | x  y  1  0, x  1 . Por otro lado, la función f ( x, y )  x ln( y 2  x) estará definida en el conjunto de puntos para los cuales y 2  x  0  y 2  x . Dicho conjunto es la parte del plano determinado por la curva y 2  x , es decir, una parábola horizontal que abre hacia la derecha. En este caso son los puntos que se encuentran a la izquierda de de la curva. Note que la curva se grafica en forma punteada indicando que los puntos de tal curva no forman parte del conjunto dominio. Así, el dominio es el conjunto D f   ( x, y ) | y 2  x El punto (3,2) forma parte de los dominios de ambas funciones. En el primer caso,

3  2 1 6 6 . Para el caso de la segunda función,  f (2,3)   2 2 3 1 2 f (3, 2)  3ln(2  3)  3ln(4  3)  3ln(1)  3 0  0  f (3, 2)  0

f (3,2) 

Tome nota de la similitud entre los conceptos de funciones de una variable: f :A¡ B¡ x a y  f ( x) y el de funciones de dos variables: f :A¡ 2 B¡ ( x , y ) a z  f ( x, y ) En el caso de una expresión numérica, como sería una tabla:

Temperatura

ºC

Velocidad del viento (Km/h)

En lugares muy fríos, se usa el concepto de Indice enfriador del viento, que no es otra cosa que un parámetro que describe la severidad del frío que se siente. En este caso, dicho índice es una

función que depende de dos factores: La temperatura real T y la velocidad del viento v; de tal manera que se puede decir que I  f (T , v) . La tabla anterior registra los valores de I recogidos en cierto momento en los Estados Unidos. Por ejemplo, cuando la temperatura real es de -5º y el viento es 20 Km/h, el índice I=f(-5,20)=-12, que quiere decir que la temperatura que se siente en esas condiciones es de -20º , aunque no sea esa la temperatura real. En 1928, dos economistas: Charles Cobb y Paul Douglas propusieron un modelo matemático que describía, según ellos, el comportamiento del fenómeno económico del crecimiento de la economía de Estados Unidos. Aún cuando existen muchos otros factores que no fueron recogidos en dicho modelo, los resultados obtenidos con la ecuación, sorprendentemente son muy similares al comportamiento real de esa economía, según se recoge en la tabla de la derecha. La ecuación funcional del model Cobb-Douglas es: P ( L, K )  1.01L0.75 K 0.25 , donde P cuantifica la producción total en unidades monetarias, L es el dato de las horas de mano de obra usadas en esa producción, y K es la cantidad de capital invertido en la misma. Usando el modelo para los años 1910 y 1920, se tiene que P (147, 208)  1.01 1470.75 2080.25  161.93 , y el dato empírico, según muestra la tabla es 159, muy próximo al dato real, de hecho, sólo con menos de un 2% de error respecto de dato real. P (194, 407)  1.01 1940.75 407 0.25  235.81 y el dato empírico, según muestra la tabla es 159, con sólo un poco más de un 2% de error respecto de dato real. Así, la producción es una función de dos variables, a saber, la mano de obra y el capital de trabajo. Otro ejemplo de una función de dos variables es la altura de algún punto cualquiera de la Tierra. Cada punto está determinado por dos coordenadas: la longitud y la latitud. La longitud es una medida, en ángulos, que se toma a partir de un círculo imaginario origen llamado meridiano de Greenwich (porque pasa por la localidad del mismo nombre, en Inglaterra). La latitud es una medida angular que se toma a partir del paralelo central de la Tierra (Ecuador). De tal manera que cualquier punto puede ser indicado por este par de medidas. Así, el punto de la gráfica corresponde a las coordenadas longitud 95º O y latitud 40º N. La longitud tiene medidas desde 0º hasta 180º (que puede ser en dirección Oeste o en dirección Este) y la latitud se mide desde 0º hasta 90º (que puede ser en dirección Norte o en dirección Sur). Pues bien, la función que mide la altura de un punto sobre el nivel del mar en cualquier parte de la Tierra es una función de dos variables: g ( x, y )  z , donde x es la longitud, y la latitud y z la altura sobre el nivel del mar de ese punto en la Tierra.

Por ejemplo: El volcán Tajumulco (San Marcos) tiene coordenadas geográficas longitud 91º54’ Oeste, y latitud 15º02’ Norte. La altura del volcán Tajumulco es de 4,211 metros sobre el nivel del mar. Así, la función altura g (91.54O,15.02 N )  4, 211 . De tal manera que cada punto determinado por dos coordenadas geográficas tendrá por imagen su altura sobre el nivel del mar. En este ejemplo se observa con claridad el concepto de función, ya que aunque dos puntos de la superficie de la Tierra pueden tener la misma altura, es decir g ( x1 , y1 )  g ( x2 , y2 )  k , k fijo y ( x1 , y1 )  ( x2 , y2 ) , lo que no puede suceder es que un mismo punto tenga dos alturas distintas. Determinar el dominio y la imagen de la función z  g ( x, y )  9  x 2  y 2 La función tiene sentido para todo valor real tal que 9  x 2  y 2  0  9   x 2  y 2   0   x 2  y 2   9 , que es la región plana en forma de círculo con centro en el origen y con un radio de 3 unidades, incluidos los puntos en el círculo. Así el dominio de g, es la región del plano encerrada en el círculo de ecuación. Entonces, el dominio Dg  ( x, y ) | x 2  y 2  9 Por otro lado, si x=0, el máximo valor que podría tomar y es 3, y si x=0, el máximo valor que podría tomar x es 3. Es decir, como z es una raíz positiva, 9  x 2  y 2  9  9  x 2  y 2  3 por lo que 0  z  3  z   0,3 . Por lo que la imagen de la función g es I   x | 0  z  3 .

Otra forma de visualizar el comportamiento de una función de dos variables es considerando su gráfica: Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D⊂ 2, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x,y.z) de 3 tales que z=f(x,y), y (x,y,z) está en D.

=z

Obsérvese que si hubiera una fuente de luz sobre el objeto “que flota”, la sombra proyectada sobre “el suelo” sería el dominio de la función. Esa sombra es una región de puntos y la superficie flotando sería el conjunto de imágenes de la función, es decir, su gráfica. Trazar la gráfica de la función f(x,y)=6-3x-2y La gráfica es un plano que pasa por los ejes de coordenadas indicados. Su dominio es todo el plano 2 porque la expresión algebraica que define la función no se indefine con ningunos valores de x o y.

La gráfica de la función se puede determinar por el hecho de que si hacemos z  6  3x  2 y  6  z  3x  2 y se observa que es un plano, según lo estudiado en el curso de Algebra Lineal. A menos que sea un plano paralelo a una de los planos xy, yz o xz, el plano debe intersecar a los tres ejes coordenados. En tal caso, bastará determinar el valor de una de las variables cuando las otras dos son cero. Así, z  6  3x  2 y, cuando x  y  0  z  6. Cuando x  z  0  y  3. Cuando y  z  0  x  2 . Por lo que los puntos donde el plano interseca a los ejes coordenados son (0,0,6), (0,3,0), (2,0,0). El cuadro anterior muestra la gráfica en el primer octante del espacio. Trace la gráfica de la función g ( x, y )  9  x 2  y 2 . Sabemos que el dominio es un círculo con centro en el origen, de radio 3, x 2  y 2  9 . Por otro lado, establecimos que su imagen es el intervalo  0,3 por lo que z  9  x 2  y 2 . Entonces, z 2  9  x 2  y 2  x 2  y 2  z 2  9 que es claro que representa la ecuación de una esfera con centro en el origen y radio igual 3. Sabiendo que z  0 , la gráfica es la semiesfera con superior, es decir con valores positivos en z.

La función de producción de Cobb-Douglas P ( L, K )  1.01L0.75 K 0.25 , expresada gráficamente corresponde a la superficie que se muestra a la izquierda. Observe que a medida que aumentan los valores de L o K, o ambas, aumenta el valor de P, como era de esperarse.

Encontrar la gráfica, el dominio y la imagen de la función h( x, y )  4 x 2  y 2 Determinemos su dominio. h( x, y )  z  4 x 2  y 2  cuando z=0, tendríamos la “sombra” de la superficie sobre el plano xy. Así 0  4 x 2  y 2  x  y  0 , pero, además, los valores de z no pueden ser negativos, por cuanto, x 2  0, y 2  0 . De esa cuenta, el dominio de h es todo 2. Por otro lado, como el valor de z podría crecer ilimitadamente, sin tomar valores negativos, la imagen de h es +0. Su gráfica, generada por un programa de computadora es: Observe que cuando x  0  z  y 2 , por lo que la gráfica vista desde el eje x, se aprecia un segmento de plano formado por un conjunto de parábolas. Cuando y  0  z  4 x 2 , por lo que la gráfica vista desde el eje y, se aprecia un segmento de plano formado por un conjunto de parábolas.

4x2 y 2 x2 y2 x2 y2 1  1  1  2 k k k k  k Cuando z toma distintos valores k, es decir k  4 x 2  y 2 k   4  2  Es decir, cuando la superficie se ve desde el eje z, con valores distintos de z, se observan un conjunto de elipses.

 

z  y2

2

z  4 x 2 k  4x2  y 2

Lo que se puede apreciar en la última gráfica es lo que se llama curvas de nivel. Es decir, es lo que se vería en el plano xy, con valores distintos de z. Esto es el concepto de curvas de nivel: Definición. Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f). Las curvas de nivel es el conjunto de puntos del dominio de f en los que toma un valor dado k. En otras palabras, muestra dónde la gráfica de f tiene altura k. f(x,y)=k son precisamente las trazas de la gráfica de f del plano horizontal z=k, proyectado sobre el plano xy. Las curvas de nivel para la función de producción CobbDouglas se muestra en la siguiente gráfica:

Las funciones siguientes, tienen todo 2 como dominio y su conjunto posible de valores es de -2 hasta 2. Su gráfica y sus líneas de contorno o curvas de nivel se presentan en las siguientes gráficas:

a) f(x,y)=sen(x)+sen(y)

b) f(x,y)=sen(x)+sen(y)

c)

f ( x, y )   x 2  3 y 2  e  x

d)

f ( x, y )   xye  x

e)

f ( x, y ) 

2

 y2

3 y x  y2 1 2

2

 y2

Funciones de tres o más variables Una función de tres variables es una regla que asigna a cada terna ordenada (x,y,z) de un dominio D  ¡ 3 un número real único denotado por f(x,y,z). Por ejemplo, la temperatura T en punto en la superficie de la Tierra depende de la longitud x y la latitud y del punto y del tiempo t, de modo que se puede escribir T  f ( x, y, t ) . Es casi imposible visualizar una grafica de una función de este tipo porque requeriría intentar visualizarla en cuatro dimensiones. Sin embargo, podemos obtener alguna información si inspeccionamos su superficies de nivel que son las superficies con ecuaciones f(x,y,z)=k donde k es una constante. Así si el punto (x,y,z) se mueve a lo largo y ancho de una superficie, el valor de f(x,y,z) permanece constante. Encontrar el dominio de la función f ( x, y, z )  ln( x  y )  xyseno( z ) . Para que la función esté bien definida, el argumento de ln debe ser mayor que cero, es decir, x  y  0  x  y , por ello, D   ( x, y, z )  ¡ 3 | x  y Halle las superficies de nivel de la función f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2 Las superficies de nivel de la función son k  x 2  y 2  z 2 , donde k es un valor constante, k  0 . Esta ecuación corresponde a la familia de esferas, cada una de ellas con un valor distinto de k.