Funciones B

Funciones I.

Relación (R). Para saber que es una función es necesario comprender el concepto de “Relación”: Dado dos conjuntos A y B, podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre todos y algunos elementos del primer conjunto con uno más elementos del segundo conjunto. B

A 1. 2. 3.

a. b. c.

En donde R ={(1;a); … ; (2;b); …}

II.

Función Es una relación en la cual cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento del conjunto de llegada.

X

((x) = )

f=

1. Método Práctico para identificar funciones: se traza una recta paralela al eje y, si dicha recta corta en dos puntos la gráfica “NO ES FUNCIÓN”.

Sí es función.

2. Tipos de funciones: a. Función Inyectiva: Es aquella función que tiene elementos distintos en el dominio a los cuales les corresponde elementos distintos del B

A 1. 2. 3.

a. b. c. d.

rango. Una forma sencilla de identificar una función inyectiva es trazando líneas paralelas a la abscisa, si ésta corta en dos puntos, “NO ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA”.

b. Función Sobreyectiva: es la función en la cual el rango es igual al dominio.

A

B 1. 2. 3.

1. 2. 3.

c. Función Biyectiva: es aquella función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

3. Funciones Especiales a. Función Constante: es aquella función en la que los valores del eje y siempre van a ser el mismo. FORMA:

y=ax+b; donde a=0 / y=b

•

Ejemplo: y=2 X 1 0 1 2 3

D(f)={ R} R(f)={ 2}

Y 2 2 2 2 2

b. Función Identidad: es aquella función en la que tanto los valores del eje x como del eje y son iguales. FORMA: •

y=ax+b; donde a=1 / b=0 / y=x

Ejemplo: y=x X 1 0 1 2 3

Y -1 0 1 2 3

c. Función Lineal: FORMA: bЄR •

Caso 1: y=2x

y=ax+b; donde aЄR /

D(f)={ R} R(f)={ R}

X 1 0 1 2 3

Y -2 0 2 4 6

D(f)={ R} R(f)={ R}

ObObservación: Cuando el coeficiente es mayor que 1, la gráfica se junta al eje y.

•

Caso 2:

X 1 0 1 2

Y 0.5 0 0.5 1

y=x/2

D(f)={ R} R(f)={ R}

Observación: Cuando el coeficiente es menor que 1 se aleja del eje y.

•

Caso 3: y=x+2

X 1 0 1 2

Y 1 2 3 4

Observación: Si a la función se le suma un valor cualquiera, la gráfica subirá.

•

D(f)={ R} R(f)={ R}

Caso4: y=2x+1

X 1 0 1 2

Y 1 1 3 5

Observación: Si la función se ve afectada por un coeficiente y además se le suma cualquier número, la gráfica tiende a tomar la forma del eje y.

D(f)={ R} R(f)={ R}

III.

Composición de Funciones

1. Definición: dada dos funciones f: A

B y g: B

C, dónde la imagen de f

está contenida en g, se define la composición

, para todos

los elementos de NOTA: •

, se lee, Composición de f con g.

Ejemplo: f(x)= 2x / g(x)=3x+1

-1. 0. 1.

(gof)(x) = g (f(x))

-2. 0. 2.

-5. -1. 7.

(fog)(x) = f (g(x))

= 3 (2x) + 1

= 2x (3x+1)

= 6x + 1

= 6x + 2

2. Propiedades: Si: f(x)= 3x+2

/

g(x)= x+3

/

h(x)= 2x-1

a. La Composición de Funciones cumple la propiedad Asociativa.

6x+8 = 6x+8

b. La Composición de Funciones no cumple la propiedad conmutativa

3x+11 = 3x+5

IV.

Funciones Reales de Variables Reales

1. Definición: Una función se llamará FUNCION REAL DE VARIABLE REAL cuando tanto el conjunto de partida como el de llegada sean subconjuntos de los Números Reales.

2. Dominio: Es el conjunto de todas las primeras componentes, se ubica en el eje de las abscisas.

3. Rango: Es el conjunto de todas las segundas componentes, se ubica en el eje de las ordenadas.

4. Casos de Dominios:

a. Primer Caso: Cuando el dominio está enunciado explícitamente no hay nada que calcular. Sea la función: f(x)=

-4; x Є [-4;

Dominio= [-4;

]

]

b. Segundo Caso: Es aquel caso en el cual los valores de x deben ser diferentes de cero. Sea la función: f(x)=

x≠0

Dominio= R – {0}

c. Tercer Caso: Es aquel caso en el cual la función está afectada por una raíz. Sea la función: f(x)= Dominio= [9;

V.

x≥9 [

Función Cuadrática 1. Definición: La función cuadrática es aquella función de: FORMA:

f(x)=a

+ bx + c; donde a ≠ 0

2. Propiedades: a. Todos los valores de la función son mayores o iguales a cero. b. Cada número de x cumple: f(x) = f(-x). c. El menor valor de la función es cero.

3. Características: a. Las parábolas son crecientes y decrecientes. Además tienen un punto máximo o mínimo.

b. Son continuas porque no presentan cortes en su trazo. c. Son simétricas. 4. Casos de Funciones Cuadráticas: a. Caso 1: FORMA: y= ; donde si a > 1, la abertura de la parábola será hacia arriba y si a < 1, la abertura de la parábola será hacia abajo. •

Ejemplo: y= X 2 1 0 1 2

Y 8

D(f)={R } R(f)={ }

2 0 2 8

b. Caso 2: FORMA: y= ; donde si “a” es una fracción, la parábola tiende a acercarse al eje x. X 2 1 0 1 2

Y -2 0.5 0 0.5 -2

•

Ejemplo: y= -

D(f)={R } R(f)={ } c. Caso 3: Forma: y= gráfica. •

X 2 1 0 1 2

Ejemplo: y= 3

+c; donde “c” indicará cuanto debe de subir la

+1

Y 13 4 0 4 13

d. Caso 4 : FORMA: y= +bx + c; donde si se le aumenta una cantidad que se encuentra dentro de un exponente cuadrático, la parábola se desplaza a la derecha o izquierda según convenga.

D(f)={R} R(f)=[1; [

•

Ejemplo: y=

X 2 1 0 1 2

Y -2

D(f)={R } R(f)={ }

-1 0 1 2

No olvides q ue puedes h allar el intercepto e n el eje x e y igualando c ada variable a ce ro, es decir: x = 0 e y = 0.

VI.

Función Raíz Cuadrada

1. Definición: Se define como: y=

; donde x ≥ 0.

2. Característica: El valor que está dentro de la raíz cuadrada siempre será mayor o igual a cero, ya que de lo contrario no pertenecería a los reales.

D(f)={ } R(f)={ }

3. Ejemplos:

a. y =

X Y 1 1. 4 2 2 8 4

X -1 3 8 1 5 X 1 0 1 3

Y 0 2 3 4 Y 0 -1 1.4 -2

b. y =

D(f)={ } R(f)={ }

D(f)=[-1; [ R(f)={ } D(f)=[-1; [ R(f)={ }

VII.

Función Valor Absoluto 1. Definición: La función valor absoluto asocia a cada número su valor absoluto, es decir, su valor sin tener en cuenta el signo. FORMA: y = |x|

D(f)={R } R(f)={ }

•

De acuerdo con la definición, “x” puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio está representado por los números reales. Las imágenes de “x” corresponden a los números positivos, por lo que el rango está determinado por los reales positivos.

•

Cuando el signo negativo antecede a la función, ésta se invierte. y= - |x|

X 1 0 1 3

Y 0 -1 1.4 -2

D(f)={R } R(f)={ }

2. Casos de Funciones Valor Absoluto: a. Caso 1: Cuando se le suma o resta unidades, fuera del valor absoluto, la gráfica sube o baja respectivamente. y= |x|+ 2 y= |x|+

y= |x|- 2

X 1 0 1

X 1 0 1

Y 3 2 3

Y -1 -2 -1

+

D(f)={R } R(f)={ [

D(f)={R } R(f)={ [

b. Caso 2: Si un signo negativo antecede a la función, la gráfica se invierte.

y= -|x|+ 5 X 2 1 0 1 2

y= -|x|- 5 X 2 1 0 1 2

Y 3 4 5 4 3

D(f)={R } R(f)={ [

c.

Y -7 -6 -5 -6 -7

D(f)={R } R(f)={ [

c. Caso 3: Cuando se le suma o resta unidades a la función, dentro del valor absoluto, la gráfica se desplaza a la derecha o a la izquierda respectivamente. y= |x-3| y= |x+3| X Y 3 4 4 3 5 2 4 1 D(f)={R 0 }3 1 R(f)={ 4 2 5}

D(f)={R } R(f)={ }

X 4 3 2 1 0 1 2

Y 3 4 5 4 3 4 5

X 2 1 0 1 2

d. Caso 4: Cuando se multiplica un número a la función, dentro del valor absoluto, la gráfica se X Y 10 separa del eje y. 2 5 1 y= |3x| 0 0 1 5 2 10

Y 6 3 0 3 6

D(f)={R } R(f)={ }

VIII.

y= |5x|

D(f)={R } R(f)={ }

Función Máximo Entero

1. Definición: Es aquella función que usa el número entero no mayor que el mismo número. a. Ejemplo: y = •

En general, si “K” es un entero cumple:

•

Para hallar los intervalos a los que pertenece “x”: K ≤ x< K+1.

K=2; 2 ≤ x < 3 K=1; 2 ≤ x < 2 K=0; 2 ≤ x < 1 K=-1; 2 ≤ x D(f)={R <0 } K=-2; 2 ≤ x R(f)={Z < -1 }

= K.

2. Casos de Funciones Máximo Entero: a. Caso 1: Cuando se multiplica un número fuera del valor máximo entero. •

Ejemplo: y= 2

, donde y= 2x

K=2; 2 ≤ x < 3; y=4 K=1; 2 ≤ x < 2; y=2 K=0; 2 ≤ x < 1; y=0 K=-1; 2 ≤ x < 0; D(f)={R } y=-2 R(f)={2n; K=-2; 2 ≤ x < -1; nЄZ y=-4}

b. Caso 2: Cuando se multiplica un número dentro del valor máximo entero. •

Ejemplo: y=

K=2; 2 ≤ x < 1.5 K=1; 2 ≤ x < 1 K=0; 2 ≤ x < 0.5 K=-1; 2 ≤ x < 0 D(f)={R K=-2; 2 ≤ x < } -0.5 R(f)={Z }

•

c. Caso 3: Cuando se le suma un valor dentro del valor máximo entero. •

Ejemplo: y=

K=2; 2 ≤ x < 2 K=1; 2 ≤ x < 1 K=0; 2 ≤ x < 0 K=-1; 2 ≤ x D(f)={R < -1 } K=-2; 2 ≤ x R(f)={Z < -2 }

d. Caso 4: Cuando se le suma un valor fuera del valor máximo entero. •

Ejemplo: y =

K=2; 2 ≤ x < 3; y=3 K=1; 2 ≤ x < 2; y=2 K=0; 2 ≤ x < 1; y=1 K=-1; 2 ≤ x < 0; y=0D(f)={R } 2 ≤ x < -1; K=-2; R(f)={Z y=-1 }

+1

e. Caso 5: Cuando se le suma el mismo valor que está dentro del máximo entero. •

Ejemplo: y=

+x

K=2; 2 ≤ x < 3; y=2+x; 4 ≤ x <5 K=1; 2 ≤ x < 2; y=1+x; 2 ≤ x <3 K=0; 2 ≤ x < 1; y=x; 0 ≤ x < 1 K=-1; 2 ≤ x < 0; y=-1+x; -2 ≤ D(f)={R } x < -1 R(f)={…[4; 5[ y=-2+x; u [2; K=-2; 2 ≤ x < -1; -4 3[ } ≤ x < -5