Funciones

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA PROFESORA ANA BLANCO DE GONZÁLEZ, EdD Profa. Ana Blanco de González, EdD

1

RELACIÓN •Correspondencia •Asociación •Conjunto de pares ordenados Profa. Ana Blanco de González, EdD

2

Dominio:

(Dom)

Elementos del conjunto de partida que están relacionados

Rango:

(Rgo)

Elementos del conjunto de llegada que están relacionados

Imágenes: Elementos del conjunto de partida que están relacionados

Profa. Ana Blanco de González, EdD

3

Representación: •Frases: •Los países y sus capitales •Los venezolanos y sus números de cédula •Un estudiante y sus calificaciones

•Ecuaciones: •y = x2

•Ejes cartesianos Profa. Ana Blanco de González, EdD

4

Diagramas: Conjunto de partida

R

Conjunto de llegada

Perú

Lima

Colombia

Bogotá

Venezuela

Caracas

Ecuador

Quito

Bolivia

La Paz

Dom R = {P, C, V, E, V} Rgo R = {L, B, C, Q, L} Profa. Q, Ana Blanco Imag R = {L, B, C, L} de González, EdD

5

FUNCIÓN Relación donde todos los elementos del conjunto de partida tienen sólo una imagen en el conjunto de llegada Conclusión: Todos los elementos del conjunto Ana Blanco de González, EdD de partida están en Profa. el dominio

6

Función

Relación Profa. Ana Blanco de González, EdD

7

Definición de Función: Dados dos conjuntos A y B tal que f: A  B entonces: f es función

⇔ f⊆ AxB

∧

α )∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B: (x,y) ∈ f b) (x,y) ∈ f ∧(x,z) ∈ f ⇒ y = z

Profa. Ana Blanco de González, EdD

8

Notación funcional

y =f (x) Variable

Nombre de

Variable

dependiente

la función

independiente

•Se lee: y es igual a f de x •Se interpreta: los valores de y dependen de los valores de x • y es la imagen de x • x es la preimagen o contraimagen de y Profa. Ana Blanco de González, EdD

9

• Criterio

para determinar si una relación es una función a partir de su gráfica: Basta con verificar que cualquier recta vertical corta en a lo más un punto

a la gráfica

• Criterio

para determinar el dominio de una función a partir de su gráfica: Basta con trazar rectas verticales en los extremos de la gráfica. El Intervalo comprendido entre las rectas representa el dominio de la función • Criterio

para determinar el rango de una función a partir de su gráfica: Basta con trazar rectas horizontales en los extremos de la gráfica. El Intervalo comprendido entre las rectas representa el rango de la función Profa. Ana Blanco de González, EdD

10

No es función

No es función

Función

Función

Profa. Ana Blanco de González, EdD

11

Dominio: [a,b] a

b

Dominio: [a,b] U [c,d] a

b

c

d

Profa. Ana Blanco de González, EdD

12

i

Rango: [0,i]

0

i

Rango: 0

[m,k] U [0,i]

K m Profa. Ana Blanco de González, EdD

13

Funciones de una variable: Cuando el valor de una variable depende del valor de una variable independiente

Funciones de varias variables: Cuando el valor de una variable depende del valor de varias variables independientes

Profa. Ana Blanco de González, EdD

14

Ejemplos: i) El área de un círculo depende de la longitud de su radio (Función de una variable)

A(r)= π .r2

ii) El área de un triángulo depende de la longitud de su base y la longitud de su altura (Función de dos Profa. variables) Ana Blanco de González, EdD

A(b,h)=b.h/2 15

Ejemplos: iii) El volumen de un paralelepípedo depende de la longitud del ancho, largo y altura (Función de tres variables)

V(l,a,h)=l.a.h

iv) Las ganancias de una compañía dependen de varios factores: costo, producción, mano de obra, etc. (Función de varias variables) Profa. Ana Blanco de González, EdD

G(c,l,k,q,p)=U 16

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE Funciones cuyos dominios y rangos son subconjuntos de los números reales R

f:R

R Conjunto de llegada

Conjunto de partida

Rango

Dominio Profa. Ana Blanco de González, EdD

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Cálculo del dominio de una función Para calcular el dominio de cualquier función, deben considerarse las siguientes restricciones: • Para funciones con raíces de índice par, la cantidad subradical debe ser mayor que cero o igual a cero • Para funciones logarítmicas, el argumento debe ser mayor que cero • Para funciones expresadas como denominador debe ser distinto de cero

fracciones,

el

• Se intersecan los dominios, una vez aplicadas las restricciones y el resultado es el dominio de la función Profa. Ana Blanco de González, EdD

18

Cálculo del dominio de una función

Ejemplo: Calcula el dominio de la siguiente función

Ln (x − 3 x − 4) f(x) = x −5 2

Profa. Ana Blanco de González, EdD

19

Cálculo del dominio de una función

• Se considera f como resultado de la operación de dos funciones: 2

f(x) = Ln (x − 3 x − 4)

f 2 (x) =

1 x −5

• Se aplican las restricciones a cada una de las funciones:

i) x − 3 x − 4 > 0 ⇒ x ∈ (-∞,-1) ∪ (4, ∞) 2

ii) x − 5 > 0 ⇒ x > 5 ⇒ x ∈ (5, ∞) Profa. Ana Blanco de González, EdD

20

Cálculo del dominio de una función

• Se intersecan los intervalos resultantes de las restricciones:

-∞ ∞

-1

0

4

5

• El intervalo resultado de la intersección es el dominio de la función f: Dom f = (5,∞) Profa. Ana Blanco de González, EdD

21

Clasificación de funciones reales Enteras Explícitas

Algebraicas

Racionales Implícitas

Trascendentes Profa. Ana Blanco de González, EdD

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Clasificación de funciones Sea f: A  B • Función Inyectiva Si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas

f es inyectiva ⇔ ∀a,b∈A: a≠ b ⇒ f(a)≠ f(b) o también f es inyectiva ⇔ ∀a,b∈A: f(a) = f(b) ⇒ a = b • Función Biyectiva: Si f es inyectiva y sobreyectiva Profa. Ana Blanco de González, EdD

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Clasificación de funciones Sea f: A  B • Función Sobreyectiva: Si cada elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio

f es sobreyectiva ⇔ ∀ b∈B ∃ a ∈A: b = f(a) o también f es sobreyectiva ⇔ Ranf = B • Función Biyectiva: Si f es inyectiva y sobreyectiva

Profa. Ana Blanco de González, EdD

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Clasificación de funciones • Criterio para determinar si una función es inyectiva a partir de su gráfica: Basta con verificar que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en a lo más un punto • Criterio para determinar si una función es sobreyectiva a partir de su gráfica: Basta con verificar con rectas horizontales que a cualquier y le corresponde un x, es decir, al menos un punto según la gráfica

Profa. Ana Blanco de González, EdD

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No es inyectiva

Es inyectiva

No es sobreyectiva

No es sobreyectiva

No es biyectiva

No es biyectiva

Es inyectiva Es sobreyectiva Es biyectiva Profa. Ana Blanco de González, EdD

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Clasificación de funciones reales Sea f: A  R f es par

⇔ ∀ x ∈ A: f(x) = f(-x)

f es impar ⇔ ∀ x ∈ A ∧ -x ∈ A: f(x) = -f(-x) • Una función par tiene gráfica simétrica con respecto al eje y • Una función impar tiene gráfica simétrica con respecto al origen • Una gráfica simétrica con respecto al eje x corresponde a una relación, no es función • Existen funcionesProfa. que no son pares ni impares Ana Blanco de González, EdD

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Es impar Es par

Simétrica con respecto al eje y

Simétrica con respecto al eje y y = f (x) = f (-x)

• -x

y

∧

y = f (x)

- y = f (-x)

y

•

-x

•

•

x

x -y

No es par No es impar Profa. Ana Blanco de González, EdD

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Clasificación de funciones reales Sea f: A  R y un intervalo I ⊆ A f es creciente en I

⇔ ∀ a,b ∈ I: a < b ⇒ f(a) < f(b)

f es decreciente en I ⇔ ∀ a,b ∈ I: a < b ⇒ f(a) > f(b) También f es no-decreciente en I ⇔ ∀ a,b ∈ I: a < b ⇒f(a) ≤ f(b) f es no-creciente en I

⇔ ∀ a,b ∈ I: a < b ⇒f(a) ≥ f(b)

Profa. Ana Blanco de González, EdD

29

Gráficamente: En el intervalo (- ∞,0) es Decreciente: a < b ∧ f (a) > f (b) En el intervalo (0,∞) es Creciente: c < d ∧ f (c) < f (d) f(a)

• -∞

a

f(d) b

•

0

f(c) f(b)

• c

•

Profa. Ana Blanco de González, EdD

d

∞

30

Gráficamente: En el intervalo (- ∞,0) f es Creciente: a < b ∧ f (a) < f (b) En el intervalo (0,∞) f es Creciente: c < d ∧ f (c) < f (d) f(d)

•

f(c)

-∞

a

•

b

•

0

c

•

d

∞

f(b) f(a)

Profa. Ana Blanco de González, EdD

31

Clasificación de funciones reales Sea

f: A  B

f tiene un máximo en a ⇔ ∀ x ∈ A: f(x) ≤ f(a) f tiene un mínimo en b ⇔ ∀ x ∈ A: f(x) ≥ f(b) También f tiene un máximo en a ⇔ f(a) es el máximo de Ranf f tiene un mínimo en b ⇔ f(b) es el mínimo de Ranf Profa. Ana Blanco de González, EdD

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Gráfica de una función real de una variable real Conjunto de todos los puntos (x,f(x)) Para graficar funciones es útil determinar los puntos de corte con los ejes coordenados, sea f(x) = y Corte con el eje x: se resuelve la ecuación f(x) =0 los puntos obtenidos pueden ser más de uno, se escriben (xi,0) Corte con el eje y:

y

• •

•

0

•

•x

se calcula: y = f(0) el punto es único, se escribe Profa. Ana Blanco de González, EdD

33

Traslado horizontal de la gráfica de una función real de una variable real: Siendo y = f(x) ∧ g(x) = f(x+a) La gráfica de g es equivalente a la gráfica de f trasladada a unidades horizontalmente Si a > 0 la gráfica de f se traslada hacia la izquierda

y

0

Si a < 0 la gráfica de f se traslada hacia la derecha Profa. Ana Blanco de González, EdD

x

34

Traslado vertical de la gráfica de una función real de una variable real: Siendo y = f(x) ∧ g(x) = f(x) + k La gráfica de g es equivalente a la gráfica de f trasladada k unidades verticalmente

y

Si k > 0 la gráfica de f se traslada hacia arriba Si k < 0 la gráfica de f

0

x

se traslada hacia abajo Profa. Ana Blanco de González, EdD

35

Traslado simultáneo de la gráfica de una función real de una variable real: Siendo y = f(x) ∧ g(x) = f(x+a) + k La gráfica de g es equivalente a la gráfica de f trasladada a unidades horizontalmente k unidades verticalmente

y

0

Profa. Ana Blanco de González, EdD

x

36

Algunas Funciones Reales

Función Constante: Ejemplos :

y=1

f(x) = c

y=-3

Profa. Ana Blanco de González, EdD

y=5

37

Algunas Funciones Reales

Función Lineal:

f(x) = m x + k

• A y = m x + k se le llama Ecuación de la recta

• La representación gráfica de la Función Lineal es una recta cuyos puntos de corte con los ejes son: - Corte con el eje x: (-k/m,0) - Corte con el eje y: (0,k) •Al valor m se le llama pendiente de la recta Profa. Ana Blanco de González, EdD

38

Ejemplos de funciones lineales:

f(x) = x +5 -3

g(x) = -x +1

Profa. Ana Blanco de González, EdD

h(x) = x

39

Algunas Funciones Reales

Función Cuadrática: f(x) = ax2 +bx +c • Representación gráfica: una parábola • Si a > 0 la concavidad es hacia arriba (f es cóncava) • Si a < 0 la concavidad es hacia abajo (f es convexa) • Corte con el eje x: (x1, 0)(x2, 0) • Corte con el eje y: (0,c) • Vértice: (-b/2a, f(-b/2a)) Profa. Ana Blanco de González, EdD

40

Ejemplos de funciones cuadráticas:

f(x) = x2

g(x) = -x2 -1

h(x) = (x-5)2 -1

Profa. Ana Blanco de González, EdD

41

Algunas Funciones Reales

Función Potencial: f(x) = a xn •Si n = 0 corresponde a la función constante f(x) = a • Si n < 0 la gráfica es una curva asintótica con respecto a los ejes coordenados •Si n = -1 la gráfica se denomina hipérbola rectangular, y crece o decrece indefinidamente a medida que x toma valores cercanos a cero y viceversa •Si 0 < n < 1 la gráfica es una curva, y crece o decrece moderadamente a medida que x cambia de valor • Si n = ½ corresponde a la función raíz cuadrada f(x) = √x, la gráfica es la mitad de una parábola Profa. Ana Blanco de González, EdD

42

Algunas Funciones Reales

Función Potencial: f(x) = a xn •Si n = 1/3 corresponde a la función raíz cúbica f(x) = 3√x •Si n = 1 corresponde a la función lineal f(x) = a x • Si n > 1 la gráfica es una curva, y crece o decrece pronunciadamente a medida que x cambia de valor • Si n = 2 corresponde a la función cuadrática f(x) = a x2 • Si n = 3 corresponde a la función cúbica f(x) = a x3 • El signo de a determina el cuadrante del sistema de coordenadas donde se ubica la gráfica de la función • En economía estas funciones son usadas frecuentemente, consideradas sólo para valores a > 0 Profa. Ana Blanco de González, EdD

43

Ejemplos de funciones potenciales: f(x) = x-1

g(x) = -x-1

h(x) = x-3

Profa. Ana Blanco de González, EdD

i(x) = -x-3

44

Ejemplos de funciones potenciales: j(x) = x1/3

k(x) = x1/2

m(x) = x4

Profa. Ana Blanco de González, EdD

q(x) = -x4

45

Ejemplos de funciones cúbicas:

f(x) = x3

g(x) = 2 x3

h(x) = - 2 x3

Profa. Ana Blanco de González, EdD

46

Algunas Funciones Reales

Funciones Polinómicas: f(x) = cnxn + c n-1 xn-1 +... +c2x2 + c1x1 + c0 F.Constante:f(x)= c0 F.Lineal:f(x)= c1x1 + c0 F.Cuadrática: f(x)= c2x2 + c1x1 + c0 F.Cúbica:f(x)= c3x3 + c2x2 + c1x1 + c0 Profa. Ana Blanco de González, EdD

47

Algunas Funciones Reales

Función Valor Absoluto: f(x) =  x Ejemplos: f(x) = x

g(x) = -x - 1

h(x) = x-5- 1

Profa. Ana Blanco de González, EdD

48

Algunas Funciones Reales

Función Exponencial: f(x) = ax

(a>0 ∧a≠ 1)

Ejemplos: f(x) = (½)x

g(x) = 2x

h(x) = (2x+ 5 ) - 3

Profa. Ana Blanco de González, EdD

49

Algunas Funciones Reales

Función Logarítmica:

f(x) = logax

Ejemplos: f(x) = ln x

g(x) = ln (x + 3)

h(x) = ln(x-5) - 2

Profa. Ana Blanco de González, EdD

50

Gráfica de una función a trozos • Considerando sus respectivos dominios, cada una de las funciones se grafica por separado • Luego se representan en un sistema de coordenadas único Profa. Ana Blanco de González, EdD

51

Ejemplo: construye la gráfica de la siguiente función x − 1 ln( x + 5)  f ( x) =  2  x − 3x + 2 − 5

si - ∞ < x < -5 si - 5 < x < −1 si − 1 ≤ x ≤ 4 si 4 < x < ∞

Profa. Ana Blanco de González, EdD

52

Ejemplo: La gráfica de f(x) = x – 1 es la siguiente:

Profa. Ana Blanco de González, EdD

53

Ejemplo: La gráfica de f(x) = ln(x + 5) es la siguiente:

Profa. Ana Blanco de González, EdD

54

Ejemplo: La gráfica de f(x) = x2 – 3 x + 2 es la siguiente:

Profa. Ana Blanco de González, EdD

55

Ejemplo: La gráfica de f(x) = – 5 es la siguiente:

Profa. Ana Blanco de González, EdD

56

Ejemplo: Se representan las funciones dadas en un único sistema de coordenadas, considerando los respectivos dominios de cada función

X-1 -∞

Ln(x+5)

-5

-1

-5

X2-3x+2

0

4

Profa. Ana Blanco de González, EdD

+∞

57

Ejemplo: La gráfica de f es la siguiente:

Profa. Ana Blanco de González, EdD

58

Operaciones con funciones Al operar funciones: • Se ubican en el sistema de ejes coordenados los dominios de cada una de las funciones • Se intersecan los dominios • Se operan las funciones en cada uno de los intervalos así construidos • En aquellos intervalos donde no se definen todas las funciones, no se realiza la operación (en ese caso no hay intersección) Profa. Ana Blanco de González, EdD

59

Operaciones con funciones

Ejemplo: Dadas las funciones f y g, construye las funciones: f + g , f – g , f . g , f / g. Indica el dominio x2– 3 x + 4 f (x) =

x + 4 - 2 ln (x – 2) 6

g(x) =

si x ∈ (- ∞, - 3) si x ∈ [-3, - 1] si x ∈

(- 1, + ∞)

si x ∈ (- ∞, - 4)

ln (x – 2)

si x ∈ [-3, 1)

x - 3 + 1

si x ∈[ 1, + ∞) Profa. Ana Blanco de González, EdD

60

Operaciones con funciones • Los intervalos resultantes de la intersección son: (-∞,-4)

(-4,-3) (-3,-1) (-1,1) (1,∞)

• Cualquier función resultado de una operación entre f y g, estará definida en esos intervalos

f -∞ ∞

-3

-∞

-4 -3

-1

0

g

0

1

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∞

61

Operaciones con funciones • En el intervalo (-∞,-4) se operan las funciones: (x2– 3 x + 4) y 6 • En el intervalo (-4,-3) no se operan funciones, solo está (x2– 3 x + 4) • En el intervalo (-3,-1) se operan las funciones: x + 4 - 2 y ln (x – 2) • En el intervalo (-1,1) se operan las funciones: ln (x – 2) y ln (x – 2) • En el intervalo (1,∞) se operan las funciones: ln (x – 2) y x - 3 + 1

x2– 3 x + 4

6 -∞ ∞

ln (x – 2)

x + 4 - 2

ln (x – 2) -4 -3

-1

0

x - 3 + 1 1

Profa. Ana Blanco de González, EdD

∞ 62

Operaciones con funciones

Por ejemplo: (x2– 3 x + 4) + 6

si x ∈ (-∞,-4]

(f + g)(x)= x + 4 - 2 + ln (x – 2)

si x ∈ [-3,-1]

ln (x – 2) + ln (x – 2)

si x ∈ (-1,1)

ln (x – 2) + x - 3 + 1

si x ∈ [1,∞)

El Dominio de la función f + g: (-∞,-4] ∪ [-3,-1] ∪ (-1,1) ∪ [1,∞) o también: (-∞,-4] Profa. ∪ Ana [-3,∞) Blanco de González, EdD

63

Cálculo de la compuesta de dos funciones Dadas f(x) y g(x) para calcular la compuesta: • Se verifica la condición de existencia de la compuesta • Si se pide (f o g)(x), se calcula f(g(x)), es decir, se calcula g(x) y a este resultado se le aplica f • Si se pide (g o f)(x), se calcula g(f(x)), es decir, se calcula f(x) y a este resultado se le aplica g Profa. Ana Blanco de González, EdD

64

Cálculo de la compuesta de dos funciones

Ejemplo: Dadas f y g, calcula f o g y g o f f(x) = x2 – 1

g(x) = Ln x

Se calcula el dominio y el rango de f y g, para verificar la condición de existencia de (fog) ó (gof) Domf = R Domg =(0,∞)

Rgof = [-1,∞) Rgog = R

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65

Cálculo de la compuesta de dos funciones

Para fog, la condición de existencia Rgog ∩ Domf ≠ ∅ se cumple: R∩R≠ ∅ Entonces, se calcula f(g(x)): g(x) = Ln x

f(x) = (x)2 – 1

(f o g)(x) = f (g(x)) (f o g)(x) = (g(x))2 - 1 (f o g)(x) = (Lnx)2 - 1 (f o g)(x) = (Lnx)2 - 1 Profa. Ana Blanco de González, EdD

66

Cálculo de la compuesta de dos funciones

Para gof, la condición de existencia Rgof ∩ Domg ≠ ∅ se cumple: [-1,∞) ∩ (0,∞) ≠ ∅ Entonces, se calcula g(f(x)): f(x) = x2 – 1

g(x) = Ln (x)

(g o f)(x) =

g (f(x))

(g o f)(x) = Ln (f(x)) (f o g)(x) = Ln (x2 - 1) (f o g)(x) = Ln (x2 - 1) Profa. Ana Blanco de González, EdD

67

Cálculo de la inversa de una función Para calcular la inversa de una función f: • Se verifica la condición de existencia de f - 1 • Analíticamente: - en la ecuación y = f(x) se despeja x - se intercambian los nombres: en lugar de y se escribe x, en lugar de x se escribe f - 1 • Gráficamente: - las gráficas de f y f respecto al origen

-1

son simétricas con

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68

Cálculo de la inversa de una función

Ejemplo: Dada f(x) = x2 – 1 calcula f -1 (1) Se calcula el dominio y el rango de f: Domf = R Rgof = [-1,∞) (2) Se representa gráficamente f, la cual es una función cuadrática Profa. Ana Blanco de González, EdD

69

Cálculo de la inversa de una función (3) Se verifica la condición de existencia de la inversa de f, es decir si f es una función biyectiva: (i) ¿Es f inyectiva? No porque f(1) = f(-1) = 0 Para que f sea inyectiva se hace restricción al dominio garantizando que no haya dos x con la misma imagen (ii) ¿Es f sobreyectiva? No porque Rgof ≠ R Para que f sea sobreyectiva se hace restricción al conjunto de partida garantizando que todas las y sean imagen de alguna x

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70

Cálculo de la inversa de una función

Analíticamente: (1) Se despeja x de la ecuación:

f(x) = x − 1 2

y = x −1 2

x2 = y +1 x = ± y +1 (2) Se hace restricción, tomando una de las dos soluciones:

x=

y +1

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71

Cálculo de la inversa de una función

Analíticamente: (3) Se intercambian los nombres: en lugar de y se escribe x, en lugar de x se escribe f -1

x =

y +1

↓

↓

f =

x +1

-1

!!!!!!! f -1 es la inversa de f !!!!!!! Profa. Ana Blanco de González, EdD

72

Cálculo de la inversa de una función

Gráficamente: Las gráficas de f –1 y f son simétricas con respecto al origen

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73

Cálculo de la inversa de una función

Analíticamente: Se puede comprobar que f y f -1 son inversas, con la composición de ambas funciones:

f(x) = x − 1 2

f (x) = x + 1 -1

f (f(x)) = f(x) + 1 -1

= (x − 1) + 1 2

= x −1+1 2

= x2 = x

f(f (x)) = ( f (x) ) − 1 -1

-1

(

2

)

2

f(f (x)) = x + 1 − 1 = x + 1 -1 = x -1

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74