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UNIDAD 7: FUNCIONES Antes de comenzar el estudio de las funciones se debe hacer un breve repaso sobre valor absoluto junto con algunas de sus propiedades, debido a que dicho concepto será utilizado en esta unidad. 7.1 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto x de un número real x se define como sigue:  x si x  0 x   x si x  0

Además: 

x2  x



x  a  x  a



x  a  a  x  a



x  a  x  a o x  a

Se estudiará el concepto de función a partir de un ejemplo o estudio de caso: ESTUDIO DE CASO: Un granjero tiene 24 m de cerca y desea encerrar un terreno rectangular limitado por un rio de orilla recta. Exprese el área del terreno en términos de la longitud del ancho del terreno. Además determine las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea la más grande (área máxima) Considérese la siguiente figura:

y

x

Se supondrá que el terreno tiene un largo y y un ancho x . Por lo tanto el área del terreno es: A  xy

La ecuación anterior expresa el área A del terreno en términos del largo y y del ancho x . Pero se debe expresar A en términos de x . Para tal efecto, se debe tener en cuenta que el granjero solamente dispone de 24 m cerca para encerrar el terreno, es decir: 2 x  y  24

Ahora si se despeja y en la ecuación anterior: y  24  2 x y se reemplaza y en la ecuación del área se tiene que: WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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A  x24  2 x 

A  24 x  2 x 2

La ecuación anterior expresa el área A del terreno en términos del ancho x . Es decir, A depende de x Según el ejemplo la magnitud A depende de la magnitud x . Esto es lo mismo que decir A está en función de x . Esta dependencia entre A y x se simboliza como: Ax   24 x  2 x 2

 La variable A se denomina variable dependiente.  La variable x se denomina variable independiente. Veamos qué pasa con el área A si el ancho del terreno es igual a 4 . Es decir, si x  4 : Si x  4 , entonces A  244  242  A  64 Lo anterior se denota de la siguiente manera: A4  64

Y se denomina evaluar el área A en x  4  Hallemos A0  240  202  A0  0 Es claro que x no puede ser 0 ya que A valdría 0 . Además x no puede ser negativo ( x  0 ) ya que x representa una longitud.  Hallemos A12  2412  2122  A12  0 Es claro que x no puede ser 12 ya que A valdría 0 . Además x no puede ser mayor que 12 ( x  12 ) debido a que A sería negativo ( A  0 ). A no puede ser negativo ya que A representa un área. ¿Qué valores puede tomar x ? Valores entre 0 y 12 , sin incluir al 0 y sin incluir al 12 . Es decir 0  x  12 El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, que en este caso es x , se denomina Dominio y se representa con la letra D . Según el ejemplo: D  x  R : 0  x  12  0, 12

Por otro lado, para determinar las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea máxima, se debe graficar la ecuación: A  24 x  2 x 2

Para tal efecto se completa cuadrados: WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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 2 x 2  24 x  A





 2 x 2  12 x  A

x

2



 12 x  

A 2

x  62  36   A 2

x  62   A  36 2

x  62   12  A  72 La anterior ecuación representa una parábola con vértice en 6, 72 , eje de simetría paralelo a A y abierta hacia abajo, cuya gráfica se muestra en la siguiente figura: A

6, 72

X

Según la gráfica, es claro que el valor más grande de A es 72 y se obtiene cuando x  6 . Es decir: A6  246  26  A6  72 2

Reemplazando x  6 en la ecuación y  24  2 x para hallar el valor de y se tiene que: y  24  26  y  12

Por lo tanto, las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea máxima son: Largo: y  12 Ancho: x  6 ¿Qué valores tomara A ? Valores mayores que 0 y menores o iguales que 72 . Es decir 0  A  72 El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, que en este caso es A se denomina Imagen y se representa con la letra I . Según el ejemplo: WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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I  A  R : 0  A  72  0, 72

A continuación se define formalmente lo que es una función. 7.1 FUNCIÓN Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D llamado Dominio, exactamente un elemento f x  de un conjunto I , llamado Imagen. Tal asignación se puede expresar claramente mediante el siguiente diagrama sagital: D I f x

f(x)

Se acostumbra a hacer explícito el valor de la función f evaluada en un valor x de la siguiente manera y  f x  , donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Ejemplo No. 113 Dada la siguiente función f x  

18 , exprésela como una ecuación y halle f  2 x x 2

Solución: Para expresar la función anterior como una ecuación se hace explícito el valor de la función evaluada en x haciendo y  f x  , por lo tanto: D f I y

18 x x 2

-2

18  3  f  2  3 Por otro lado, f  2  2  2   2

f(-2)

El resultado anterior se puede entender mejor mediante el siguiente diagrama sagital: 7.2.1 Dominio de una función El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de tal manera que la función esté bien definida. 7.2.2 Imagen de una función La imagen de una función es el conjunto de valores que tomará la variable dependiente. WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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Ejemplo No. 114 Halle el dominio de las siguientes funciones: a.

f x  

b.

f x   4  x 2

c.

f x   x 2  x  2

18 x x 2

Solución: a. La función f x  

18 está bien definida si x 2  x  0 . Es decir, si: x x 2

xx  1  0  x  0 y x  1  0

Entonces x  0 y x  1 Por lo tanto D  x  R : x  0  x  1  R  0,1 D   , 0  0, 1  1, 

La representación gráfica del dominio es la siguiente:

b. La función f x   4  x 2 está bien definida si 4  x 2  0 . Es decir, si: x 2  4  x 2  4  x 2  4  x  2   2  x  2

Por lo tanto D  x  R : 2  x  2 D   2, 2

La representación gráfica del dominio es la siguiente:

c. La función f x   x 2  x  2 está bien definida si x 2  x  2  0 . Es decir, si x  2x  1  0

x  2x  1 es mayor o igual que cero si x  2  0  x  1  0  x  2  0  x  1  0 WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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Para determinar cuáles valores de x cumplen con la anterior condición se debe hacer lo siguiente:

  x  2  0   x  1  0     x  2  0    x  1  0    x  2  x  1    x  2  x  1   ,2  ,1   2,   1,   ,2  1,  Por lo tanto D  x  R : x  2  x  1 D   ,2  1, 

La representación gráfica del dominio es la siguiente:

Ejemplo No. 115 Un recipiente rectangular con su parte superior abierta tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su largo es el doble de su ancho. El material para construir la base cuesta 10 dolares el m2 y el material para los lados cuesta 6 dolares el m2. Exprese el costo del material en función del ancho de la base. Solución: Se sabe que: Costo del material ( C ) = Costo de la base ( CB ) + Costo de los lados ( CL ) Pero: CB = 10 x Área de la base ( AB ) y CL = 6 x Área de los lados ( AL )

Dónde: AB  2 x x   AB  2x 2

AL  xh  xh  2xh  2xh  AL  2 xh  4 xh

Por lo tanto:

 

CB  10 2 x 2  CB  20x 2

CL  62 xh  4 xh   CL  36 xh

Lo que da como resultado final: C  20 x 2  36 xh WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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Pero se debe expresar el costo del material C en función del ancho x de la base del recipiente. Para tal efecto se debe tener en cuenta que el volumen V del recipiente es 10 m3, es decir V  10 Pero: V  2 x x h)  2 x 2 h  V  2 x 2 h Por lo tanto: 2 x 2 h  10

Despejando h de la ecuación anterior y reemplazándola en la ecuación del costo del material C se tiene que: h

5 x2

Por lo tanto: 180 5  C  20 x 2  , con x  0 2 x x

C  20 x 2  36 x

Ejemplo No. 116 Exprese el área de un triángulo equilátero en función de la longitud de uno de sus lados. Solución: El área A del triángulo equilátero es igual al área A1 del triángulo rectángulo de la izquierda más el área A2 del triángulo rectángulo de la derecha. Es decir: A  A1  A2 Siendo A1  A2 x h bh 2 xh   A2  Pero A2  4 2 2 2

3x x2 3x 2  x 2 2 2  h Además x  h     h  x   h  4 4 2 2 2

2

x  3x  3x 2    A2  Por lo tanto A2   4  2  8

Con lo que A 

3x 2 3x 2 3x 2 2 3x 2    A 4 8 8 8

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7.2.3. Grafica de una función La gráfica de una función f independiente es el conjunto: G

x, y  R

2

: y  f x 

de una variable

A



3x 2 A 4

Ejemplo No. 117 Grafique la función del ejemplo anterior. Solución:

x

La grafica de dicha función se muestra en la figura de la derecha: Ejemplo No. 118 Trace la gráfica de la función valor absoluto f x   x Solución:  x si x  0  x si x  0

Según la definición de valor absoluto se tiene que: f x   x  

De lo anterior se tiene que la gráfica de f coincide con la recta y  x , a la derecha del eje Y , y coincide con la recta y   x , a la izquierda del eje Y . Y

y x

X 0

7.2.4 Simetría Si una función f satisface f  x   f x  , para todo número x en su dominio D , entonces f se denomina función par. El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje Y . Esto significa que si se traza la gráfica de f para x  0 , se obtiene toda la gráfica con solo reflejarla con respecto al eje Y . WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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Si una función f satisface f  x    f x  , para todo número x en su dominio D , entonces f se denomina función impar. El significado geométrico de una función impar es que su gráfica es simétrica con respecto al origen. Esto significa que si se traza la gráfica de f para x  0 , se obtiene toda la gráfica con solo girarla 180 alrededor del origen. Ejemplo No. 119 Y

Y

y  x2

y  x3

X X

f x   x 2 es par, ya que:

f x   x 3

f  x    x   x 2  f x 

f  x    x    x 3   f x 

es impar, ya que: 3

2

NOTA: La gráfica de una función de una variable independiente es una curva en el plano XY , pero no toda curva en el plano XY es la gráfica de una función de una variable independiente. 7.2.5 Prueba de la recta vertical Una curva en el plano XY es la gráfica de una función de una variable independiente si y solamente si ninguna recta vertical corta a la curva más de una vez. Y

Y

X La curva representa la gráfica de una función.

X La curva no representa la gráfica de una función.

ACTIVIDAD No. 48 1. Halle f x  h y f 2  h si f x   x  x 2 2. Una función está definida por f x   3x  1 . Determine la solución de la ecuación f 2 x   f x  1  4 WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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3. Sea f una función definida por f x   2 x  1 . Encuentre los valores de h para los cuales 2  h está en el dominio de f 4. Si f x   x  1 . Pruebe que: x 1

a. b.

1 f     f a  a 1  1 f     f a   a

5. Si f x   x 2  x . Pruebe que f a 1  f  a 6. Si f x   1 . Pruebe que f a   f b   f  ab  x

7. Si

y  f x 

y f x   5 x  3 . Pruebe que 4x  5

ba x  f y

8. Si f x   1 . Pruebe que f x  h  f x    x

9. Grafique las siguientes funciones: a. f x   x  x b. g x   2 x c. hx  

h x  xh 2

x x

10. Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos cosas. Si la función es par o impar, aplique la simetría para trazar la gráfica: a. f x   x 2 b. g x   x 3 c. hx   x 2  x d. f x   x 3  x 11. Halle el dominio de las siguientes funciones empleando notación de conjuntos y notación de intervalos: a.

f x   x 2  4

e.

f x   8  2 x 4

b.

2 x f x   2 x  5x  6

f.

2 x f x   x3

c.

x x2 1 f x   2 x  x  12

g.

f x  

x 1 2x  3

d.

f ( x) 

h.

f ( x) 

4  x2 x  2 1

16  x 2 x2  4 1

12. Si Un punto Px, y  se mueve, en sentido horario, sobre la parábola x  22  16 y  5  0 . Exprese mediante una función de una variable independiente la distancia del punto Px, y  al punto 2,2 WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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13. Exprese mediante una función de una variable independiente, el área del rectángulo que tiene dos vértices en el eje X y los otros dos en la parábola y  16  x 2 , por arriba del eje X . 14. Dada una esfera de radio R , exprese mediante una función de una variable independiente el volumen del cono circular recto de radio r altura h que puede inscribirse en la esfera. 15. Una hoja de papel de dimensiones 12 cm de largo y 8 cm de ancho, se corta por las esquinas en cuadros de x cm de lado. a. Pruebe que el volumen de la caja rectangular que se puede construir a partir de la hoja viene dado por V  4 x6  x 4  x  , con 0  x  4 b. Estime el volumen máximo que puede tener la caja. 16. Una pista de patinaje de 400 m de longitud tiene lados paralelos y extremos semicirculares, tal como se muestra en la figura 1. Exprese el área A encerrada por la pista en función del diámetro d de los semicírculos. 17. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo, tal como se muestra en la figura 2. Si el perímetro de la ventana es de 3 m, exprese el área A de la ventana en función del ancho x de la misma.

Figura 1

Figura 2

18. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes, la primera parte de longitud x cm y la segunda parte de longitud y cm, tal como se muestra en la figura 3. El primer segmento se dobla para formar un triángulo equilátero y el segundo segmento se dobla para formar un cuadrado. Exprese el área AC del cuadrado y el área AT del triángulo en función de la longitud x del primer segmento. 19. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triángulo equilátero, tal como se muestra en la figura 4. Si el perímetro de la ventana es de 30 m. Exprese el área A de la ventana en función de su ancho x . 20. Se desea construir un recipiente con forma de cilindro circular recto para que contenga 1000 cm3 de aceite, tal como se muestra en la figura 5. Exprese el área superficial del cilindro en función de su altura.

Figura 3

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Figura 4

Figura 5

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7.3 MODELOS MATEMÁTICOS Un modelo matemático es una descripción matemática de un fenómeno o evento del mundo real. 7.3.1 Modelos lineales Un modelo matemático es lineal si la gráfica de la función asociada al modelo es una línea recta. La función asociada a un modelo lineal se denomina función lineal y es de la forma: f x   mx  b

Ejemplo No. 120 La compañía Silicon Valley puede producir 1000 chips por mes a un costo total de 25000 dólares, y 1025 chips a 25500 dólares. Si la compañía vende cada chip a 30 dólares, halle las funciones lineales de costo, ingreso y utilidad. Solución: Una función lineal de costo es de la forma: C  mx  b

Si x1  1000 entonces C1  25000 Si x2  1025 entonces C2  25500 Por lo tanto, la pendiente m sería: m 

C 2  C1 25500  25000 500    20  m  20 x2  x1 1025  1000 25

La función lineal de costo quedaría de la siguiente forma C  20 x  b Como x  1000 y C  25000 , entonces el valor de b sería: 25000  201000  b

b  25000  20000 b  5000

Por lo tanto, la función lineal de costo es: C  20x  5000 Si la compañía vende cada chip a 30 dólares, entonces el ingreso I de vender x chips es 30 x . Por lo tanto, la función lineal de ingreso es: I  30 x

Si tenemos en cuenta que la utilidad U es igual al ingreso I menos el costo C , es decir U  I  C . Entonces la función lineal de utilidad es: WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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U  I  C  U  30 x  20 x  5000  U  30 x  20 x  5000  U  10 x  5000

En la siguiente figura la recta C representa la gráfica de la función lineal de costo y la recta I representa la gráfica de la función lineal de ingreso: Costo e Ingreso

I C (500,15000)

Cantidad de chips (x)

La línea recta que representa la gráfica de la función lineal de costo se intercepta con la línea recta que representa la gráfica de la función lineal de ingreso en el punto (500, 15000) denominado punto de equilibrio. Si se producen menos de 500 chips se obtendrán pérdidas debido a que el costo de producción será mayor que los ingresos obtenidos por las ventas (la recta C está por encima de la recta I), si se producen 500 chips el costo será igual al ingreso (la recta C se intercepta con la recta I) y si se producen más de 500 chips el costo de producción será menor que el ingreso obtenido por las ventas (la recta C está por debajo de la recta I) 7.3.2 Modelos cuadráticos Un modelo matemático es cuadrático si la gráfica de la función asociada al modelo es una parábola. La función asociada a un modelo cuadrático se denomina función cuadrática y es de la forma: f x   ax 2  bx  c

Dicha parábola tiene su vértice en x  

b 2a

Además, si a  0 la parábola es abierta hacia arriba y si a  0 la parábola es abierta hacia abajo. Ejemplo No. 121 La cantidad W de dióxido de carbono (en libras) que produce un auto deportivo depende de su rendimiento de combustible de acuerdo con la ecuación cuadrática W  x 2  70 x  1375 , con 15  x  40 . Donde x representa el rendimiento de combustible (en millas por galón). Según el modelo anterior ¿cuál es el rendimiento de combustible del automóvil que produce la menor cantidad de dióxido de carbono? WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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Solución: La gráfica de la ecuación W  x 2  70 x  1375 es una parábola que se muestra en la siguiente figura: W: cantidad de dióxido (libras)

Tenemos que a  1 y b  70 , por lo tanto, su vértice está en: x

(35,150)

b  70   35 2a 21

Si x  35 entonces: W  150 La parábola tiene el vértice en 35,150 y es abierta hacia arriba ya que a  0 . Por lo tanto, el rendimiento de combustible del automóvil que produce la menor cantidad de dióxido de carbono es 35 millas por galón.

X: rendimiento de combustible (millas por galón)

7.3.3 Modelos exponenciales Son modelos cuya función asociada se denomina función exponencial y son de la forma: f x   Ab x

Con A, b  R y b  0 Ejemplo No. 122 En las primeras etapas de la epidemia del SIDA la cantidad de personas infectadas se duplica cada 6 meses, y en enero de 1985 se estimaba que había 1.3 millones de personas contagiadas. a) Suponga un modelo de crecimiento exponencial y determine un modelo que pronostique la cantidad de personas infectadas a los t años después de 1985. b) Use el modelo para estimar la cantidad de personas infectadas en octubre de 1985. c) Grafique el modelo exponencial. Solución: a) En el momento t  0 (enero de 1985) la cantidad de infectados era 1.3 millones. Como ese número se duplica cada 6 meses, se cuadruplica cada año. A los t años se requiere, en consecuencia, multiplicar los 1.3 millones originales por 4 t . De esta manera el modelo es:

 

P  1.3 4t , con t  0

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b) Octubre de 1985 corresponde a t 

9  0.75 , ya que octubre es 9 meses después de enero. 12

Por lo tanto para estimar la cantidad de personas infectadas en octubre de 1985 se debe evaluar la función exponencial Pt   1.34t  en t 





9  0.75 . Veamos: 12

P0.75  1.3 4 0.75  3.6770

Es decir habrán 3.6770 millones de personas infectadas en octubre de 1985.

c) La gráfica de la función exponencial Pt   1.34t  se muestra en la siguiente figura:

7.3.4 Modelos logarítmicos Los logarítmicos son modelos cuya función asociada se denomina función logarítmica y son de la forma: f x   Log a x

Con a  R y a  0 Ejemplo No. 123 Una epidemia de influenza se difunde entre la población de Estados Unidos. Se estima que 150 millones de personas son susceptibles a esta cepa en particular. Ya hay 10000 personas enfermas y esa cantidad se duplica cada 2 semanas. Como asesor del Secretario de Salud debe usted pronosticar el curso de la epidemia. En particular, el Secretario requiere conocer: a) Cuántas personas habrán enfermas en un mes. b) Cuándo habrá 1 millón de personas infectadas. WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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c) Cuándo habrá 10 millones de personas infectadas. d) Cuándo habrá 100 millones de personas infectadas. Observación: Aunque la difusión inicial de una epidemia parece ser exponencial, no puede continuar así debido a que el tamaño de la población susceptible es limitado. Un modelo matemático que se suele usar para las epidemias es la curva logarítmica, la cual viene dada por la siguiente ecuación: At  

NP0 P0  N  P0 k t

Donde:  At  es la población infectada en el instante de tiempo t  P0 es la población infectada al principio. Es decir, es la población enferma en t  0  k es una constante que determina la rapidez de difusión de la epidemia. Solución: En la siguiente figura se muestra el comportamiento de la curva logarítmica: Población infectada At  N

P0 0

Tiempo t (en semanas)

La parte inicial de esta gráfica describe en forma aproximada un crecimiento exponencial. Veamos por qué: Primero se multiplica el numerador y el denominador de la curva logarítmica por k t para obtener: At  

NP0 k t P0 k t  N  P0 

Como k t se acerca a 1 a medida que t se acerca a 0, el denominador de la curva logarítmica quedaría como: P0 1  N  P0   P0  N  P0  N WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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Es decir, At   P0 k t a medida que t es pequeño (se acerca a 0) o lo que es equivalente At  crece en forma exponencial en la primera parte de la epidemia. Por otra parte, como el término k t se hace pequeño (se acerca a 0) a medida que t aumenta, la curva logarítmica quedaría como At   N . Es decir At   N a medida que t aumenta. Para hacer los pronósticos se tiene que: At  

NP0 15000000010000 1500000000000   t t P0  N  P0 k 10000  150000000  10000k 10000  149990000 k t 

150000000 1  14999 k t

Se requiere hallar el valor de k . Veamos como: Se sabe que la difusión inicial de la epidemia está determinada por At   P0 k t y que además A2  20000 Por lo tanto, 20000  10000k 2 

20000  k2  2  k2  k  2 10000

De esta manera la curva logarítmica es At  

150000000 1  14999

 2

t

cuya gráfica es:

a) Para determinar cuántas personas habrá enfermas en un mes, se debe evaluar la curva logarítmica en t  4 (cuatro semanas). Veamos: A4 

150000000 1  14999

 2

4

 3.9992  10 4  39992

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Funciones

Página 176

Es decir, dentro de un mes (4 semanas) habrá enfermas 3.9992 10 4  39992 personas. Para realizar los demás pronósticos se debe despejar t de la curva logarítmica: A

150000000 1  14999

 2

t

 A1  14999   14999  Ln

 2

 2

t

 2

t

t

  150000000  A  14999 

A  150000000  A 

 2

t

 150000000  A   Ln    tLn 14999 A  



 2

t

A  150000000

150000000  A 14999 A

 A  2   Ln 150000000  14999 A 



 150000000  A  Ln  14999 A    t  A   Ln 2

 

Se debe evaluar esta última función en A  1000000 , A  10000000 y A  100000000 . Veamos:  150000000  1000000   Ln   14999 1000000   13.3068 t 1000000    Ln 2

 

 150000000  10000000   Ln   14999 10000000   20.1304 t 10000000    Ln 2

 

 150000000  100000000   Ln 14999100000000   t 100000000    29.7452 Ln 2

 

Es decir: En 13.3 semanas habrán 1 millón de personas infectadas. En 20.1 semanas habrán 10 millones de personas infectadas. En 29.7 semanas habrán 100 millones de personas infectadas. Ahora, se terminará esta sección recordando algunos aspectos importantes de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Las gráficas de las funciones f x   Senx , g x   Cosx y hx   Tanx se muestran a continuación:

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Funciones

Página 177

y  Senx

Grafica de la función Seno y  Cosx

Grafica de la función Coseno

y  Tanx

Grafica de la función Tangente En la siguiente tabla se describe el dominio, la imagen y el período de las funciones seno, coseno y tangente: Función

Dominio (D)

Imagen (I)

Período

Senx Cosx Tanx

D  x  R   , 

I  x  R : 1  x  1   1, 1

2

I  y  R   , 



D  x  R : x 

2 n 1 2

 , n  Z

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Página 178

7.4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Consideremos las funciones f y g definidas de la siguiente manera: f x   3 x

 

g x   x 2  2 x  7

Hallemos g 5  52  25  7  8  g 5  8 Es decir, al número 5 le corresponde el número 8 según la función g Ahora, hallemos f 8  3 8  2  f 8  2 Es decir, al número 8 le corresponde el número 2 según la función f Veamos gráficamente lo que hace cada función: g 5  8

g

5

8

f 8  2

f

El objetivo es buscar una función que al número 5 le asigne el número 2 . Veamos: Se sabe que f 8  2 , pero 8  g 5 Por lo tanto f g 5  2 Lo anterior indica que la función f g x  hace que al número 5 le sea asignado el número 2 . Tal función está definida así:





f g x   f x 2  2 x  7  3 x 2  2 x  7  f g x   3 x 2  2 x  7

Veamos si es cierto que la función anterior le asigna al número 5 el número 2 : f g 5  3 5  25  7  3 8  2  f g 5  2 2

Gráficamente se tiene: 5

g

g 5

f

f g 5  2

La función f g x   3 x 2  2 x  7 se denomina función compuesta de f con g . Ahora definamos lo que es una función compuesta en general:  Sean f y g dos funciones. La función compuesta f  g es la función definida de la siguiente manera:

 f  g x  f g x Gráficamente se tiene: WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Funciones

Página 179

x

g x 

g

f

f g x    f  g x 

Ejemplo No. 124 Si f x   x y g x   2  x halle cada función y su dominio: a. f  g b. g  f c. f  f d. g  g Solución: a.

 f  g x  f g x 

f





2  x  4 2  x   f  g x   4 2  x

2 x 

La función  f  g x   4 2  x está bien definida si 2  x  0 . Es decir:  x  2  x  2

Por lo tanto: D  x  R : x  2   , 2 b.

g  f x  g  f x  g 



x  2  x  g  f x   2  x

La función g  f x   2  x está bien definida si x  0 y 2  x  0 . Es decir:  x  2  x  2  x  4

Por lo tanto: D  x  R : 0  x  4  0, 4 c.

 f  f x  f  f x 

f

 x

x  4 x   f  f x   4 x

La función  f  f x   4 x está bien definida si x  0 Por lo tanto: D  x  R : x  0  0,  d.

g  g x  g g x  g 



2  x  2  2  x  g  g x   2  2  x

La función g  g x   2  2  x está bien definida si 2  x  0 y 2  2  x  0 . Es decir:  x  2  x  2

 2  x  2  2  x  2  2  x  4   x  2  x  2

Por lo tanto: D  x  R : 2  x  2   2, 2 WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Funciones

Página 180

ACTIVIDAD No. 49 1. Cuando el aire seco se eleva, se expande y enfría. Si la temperatura en el suelo es de 20C y la temperatura a un kilometro de altura es de 10C . Exprese la temperatura T en función de la altura h suponiendo que un modelo lineal es el más apropiado. 2. El gerente de una fábrica de refrigeradores observa que el lunes la empresa fabrico 30 refrigeradores a un costo de 25000 dólares y el martes fabrico 40 refrigeradores a un costo de 30000 dólares.  Halle la función lineal de costo.  Si se venden los refrigeradores a 1500 dólares cada uno. ¿Cuál es la función lineal de ingreso?  ¿Cuál es la función lineal de utilidad?  ¿Cuántos refrigeradores debe vender la empresa por día para alcanzar el punto de equilibrio? 3. Una editorial pronostica que la ecuación de demanda para la venta de su última novela de ciencia ficción será q  2 p  8 . Donde q es la cantidad de libros que puede vender por año la editorial a un precio p cada uno ¿Qué precio debe cobrar la editorial para obtener el máximo ingreso I anual? Nota: El ingreso I depende del precio p a través de la siguiente ecuación: I  pq 4. En cada caso halle f  g , g  f , f  f , g  g y el dominio de cada una: a. f x   x  1 , g x   x 2 x 1 1 , g x   x 1 x 1

b.

f x  

c.

f x   x 2  1 , g x   1  x

5. Si f x   4 x  1 , g x    x  2 y hx   x , halle f  g  h y su respectivo dominio. 7.5 FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función exponencial es una función de la forma: f x   a x

El número a  R se denomina base de la función exponencial. Además a  0 En la siguiente tabla se muestran los tres casos que se presentan para la función exponencial: Valor de la base a

Caso 1

Tipo de curva

f x   a x 0  a 1

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Dominio

Imagen

D   , 

I  0, 

Funciones

Página 181

Caso 2

f x   1x a 1

I  1

Caso 3

f x   a x a 1

I  0, 

7.6 FUNCIONES UNO A UNO Comparemos las funciones f y g cuyos diagramas sagitales se muestran a continuación: A

f

B

1

5

2

10

3

15

4

20

5

25

A

g

f 1  5

f 2   10 f 3  15 f 4   20 f 5  25

El diagrama sagital muestra que la función f nunca toma el mismo valor dos veces.

B

1

5

2

10

3

15

4

20

5

25

g 1  5

g 2   10 g 3  10 g 4   20 g 5  25

El diagrama sagital muestra que la función g toma el mismo valor dos veces. Es decir: g 2  g 3

Las funciones que se comportan como la función f se conocen con el nombre de funciones biunívocas o uno a uno. Una función f es uno a uno si nunca toma el mismo valor dos o más veces. Es decir: f x1   f x2  siempre que x1  x2

Gráficamente se puede saber si una función es uno a uno aplicando la siguiente prueba conocida con el nombre de prueba de la recta horizontal: WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Funciones

Página 182

7.6.1 Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y solamente si ninguna recta horizontal corta su grafica más de una vez. Ejemplo No. 125 Determine si las funciones f x   x 2 y g x   x 3 son o no son uno a uno. Justifique su respuesta. Solución:  La función f x   x 2 no es uno a uno ya que dos números distintos pueden tener el mismo cuadrado. Es decir la función puede tomar el mismo valor dos veces.  La función g x   x 3 es uno a uno ya que dos números distintos no pueden tener el mismo cubo. Es decir la función no puede tomar el mismo valor dos veces. Lo anterior se puede apreciar mejor a través de las gráficas de f x   x 2 y g x   x 3 : y  x3

y  x2

Note que la recta horizontal corta la gráfica de la función en más de un punto.

Note que la recta horizontal corta la gráfica de la función en un solo punto.

Las funciones uno a uno son importantes ya que se caracterizan por ser funciones que poseen inversa. 7.7 FUNCIÓN INVERSA Consideremos la función g x   x 3 con dominio el conjunto A e imagen el conjunto B, cuyo diagrama sagital se muestra a continuación: A

g

B

-2

-8

-1

-1

0

0

1

1

2

8

Anteriormente se mostró que esta función es uno a uno, y por lo tanto tiene inversa. El objetivo es hallar una función que sea la inversa de g con dominio el conjunto B e imagen el conjunto A, cuyo diagrama sagital sea el siguiente:

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Funciones

Página 183

Es claro que dicha función es inversa de g x   3 x . Veamos:

A

inversa de g

B

Se escoje un número del dominio de g . Por ejemplo él 2 y se halla:

-2

-8

g 2  2  8

-1

-1

Es decir, la función g le asigna al número 2  A el número 8  B

0

0

Ahora, se halla: inversa de g 8  3 8  2

1

1

2

8

3

Es decir, la función inversa de g le asigna al número 8  B el número 2  A . Ahora, se define formalmente lo que es la inversa de una función.

 Sea f una función uno a uno con dominio el conjunto A e imagen el conjunto B. Entonces su función inversa f 1 es la función la cual tiene como dominio el conjunto B y como imagen al conjunto A, la cual se define de la siguiente manera: A f B f 1  y   x  f x   y

Para cualquier x en A y y en B.

x

f(x)

Lo anterior se comprende mejor a través del siguiente diagrama sagital: Note que:

A

f-1

B

 Dominio de f es igual a la imagen de f 1  Imagen de f es igual al dominio de f 1 Ejemplo No. 126 Halle la inversa de f x   x 3  2 Solución: Paso 1: Exprese la función como una ecuación: y  x 3  2 Paso 2: Despeje x x3  y  2  3 x3  3 y  2  x  3 y  2

Paso 3: Intercambie x y y y 3 x2

Paso 4: Exprese la ecuación anterior como una función empleando la notación f 1 : f 1 x   3 x  2 WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Funciones

Página 184

7.7.1 Ecuaciones de cancelación Sea f una función uno a uno con dominio A e imagen B. Entonces se cumple: 

f 1  f x   x para todo x en A



f f 1 x   x para todo x en B





Ejemplo No. 127 Si f ( x) 

1  3x halle f 5  2x

1

x  y compruebe que se cumplen las ecuaciones de cancelación:

Solución: Expresando la función como una ecuación: y  Despejando x

1  3x 5  2x

y 5  2 x   1  3x 5 y  2 xy  1  3x  2 xy  3 x  1  5 y x 2 y  3  1  5 y

x

5 y 1 2y  3

5x  1 Intercambiando x y y : y 

2x  3

Expresando la ecuación anterior como una función: f 1 x  

5x  1 2x  3

Verifiquemos ahora que se cumplen las ecuaciones de cancelación:



 1  3x  5  1 5  2x   1 1  1  3 x  f  f x   f     5  2 x  2 1  3x   3    5  2x 



 5x  1  15 x  3 2 x  3  15 x  3 1  3  1 17 x  5x  1   2x  3   2x  3  2x  3 f f 1 x   f   x   10 x  2 10 x  15  10 x  2 17  2 x  3  5  2 5 x  1  5    2x  3 2x  3  2x  3 



5  15 x 5  15 x  5  2 x 1 17 x 5  2x 5  2x   x 2  6x 2  6 x  15  6 x 17 3 5  2x 5  2x



La función exponencial f x   a x , vista anteriormente es una función uno a uno y, por lo tanto, tiene inversa. La función inversa a la función exponencial f x   a x es la función logarítmica de base a y se denota Log a WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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Página 185

7.8 FUNCIÓN LOGARÍTMICA Una función logarítmica es una función de la forma: f x   Log a x El número a  R se denomina base de la función logarítmica. Además a  0 Como la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa se tiene que si f x   a x , entonces f 1 x   Log a x y si f x   Log a x , entonces f 1 x   a x Recordando la definición de función inversa y considerando que f x   Log a x y f 1 x   a x se tiene que: f 1  y   x  f x   y y Por lo tanto: a  x  Log a x  y

Lo anterior se denomina equivalencia entre la ecuación exponencial y la ecuación logarítmica. Tal equivalencia sirve para calcular logaritmos exactos. Ejemplo No. 128 Calcule Log 2 8 y Log3 81 Solución:  Log 2 8 es igual a un número, tal que el 2 (la base del logaritmo) elevado a dicho número debe ser exactamente igual a 8. Tal numero debe ser el 3, ya que 2 3  8 . Es decir: Log 2 8  3  23  8  Log3 81 es igual a un número, tal que el 3 (la base del logaritmo) elevado a dicho número debe ser exactamente igual a 81. Tal numero debe ser el 4, ya que 34  81. Es decir: Log3 81  3  34  81 Ejemplo No. 129 ¿Cuál es el dominio y la imagen de la función logarítmica?: Solución: Suponga que f x   a x y considere el siguiente diagrama sagital: D

f x   a x

I f x 

x

f 1 x   Loga x WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

Recuerde que el dominio de la función exponencial f x   a x es el conjunto D   ,  , que su imagen es el conjunto I  0,  y que su inversa es la función logarítmica f 1 x   Log a x cuyo dominio es la imagen de f x   a x y cuya imagen es el dominio de f x   a x . Por lo tanto el dominio y la imagen de la función logarítmica son respectivamente D  0,  y I   ,  Funciones

Página 186

7.8.1 Ecuaciones de cancelación para las funciones exponencial y logarítmica

 



Log a a x  x para todo x  R



a Loga x  x

para todo x  0

7.8.2 Propiedades logarítmicas Log a xy   Log a x  Log a y

x Log a    Log a x  Log a y  y Log a x n  nLog a x

Ejemplo No. 130 Si f ( x)  Solución:

1 1 ( x)  Log10 1  ax  Log10 x 2 x pruebe que f a  10

Exprese la función como una ecuación y  Despeje x



1 a  10 2 x



y a  10 2 x  1 ay  10 2 x y  1 10 2 x y  1  ay 1  ay 10 2 x  y  1  ay   Log1010 2 x  Log10   y  2 x  Log10 1  ay   Log10 y  x 

1 Log10 1  ay   Log10 y  x  1 Log10 1  ay   1 Log10 y 2 2 2 1

 x  Log10 1  ay  2  Log10 y 2 1

 x  Log10 1  ay  Log10 y

Intercambie x y y : y  Log10 1  ax  Log10 x Exprese la ecuación anterior como una función: f 1 x   Log10 1  ax  Log10 x

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Funciones

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7.8.3 Función exponencial natural y función logarítmica natural De todas las bases posibles para una función exponencial existe una que es la más conveniente para los fines del cálculo. Se trata del número e  2.71828 (notación elegida por el matemático suizo Leonhard Euler en 1727). Cuando en una función exponencial la base es e , es decir, si f x   e x la función se denomina función exponencial natural. La inversa de la función exponencial natural f x   e x es la función logarítmica f 1 x   Log e x la cual se denomina función logarítmica natural. Usualmente esta función se denota Lnx en vez de Log e x Es de suma importancia con relación a la función exponencial natural y logarítmica natural recordar lo siguiente: Equivalencia entre la ecuación exponencial e y  x  Lnx  y natural y la ecuación logarítmica natural. x Ecuaciones de cancelación para las funciones Lne   x para todo x  R exponencial natural y logarítmica natural. e Lnx  x para todo x  0 Lnxy   Lnx  Lny

Propiedades logarítmicas naturales. Logaritmo natural de Euler. Logaritmo natural de 1.

x Ln   Lnx  Lny  y Lnx n  nLnx Lne  1 Ln1  0

Ejemplo No. 131 1  ae 3 y Si x  pruebe que y   Ln3 a  bx 3y  be

Solución:

 bxe 3 y  1  ae 3 y ae 3 y  bxe 3 y  1 e 3 y a  bx   1 1 e3 y  a  bx  1  Lne 3 y  Ln   a  bx 

3 y  Ln1  Lna  bx   3 y   Lna  bx   y  

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1 1 Lna  bx  y   Lna  bx 3 3  y   Ln3 a  bx

Funciones

Página 188

Ejemplo No. 132 Halle el valor de x si e x 5 x6  1 2

Solución: Lne x

2

5 x  6

 Ln1

x 2  5x  6  0

x  3x  2  0 

x  3  0  x  3

 x  2  0  x  2

Ejemplo No. 133 A continuación se muestran las gráficas de la función exponencial natural y la función logarítmica natural: y  ex

y  Lnx

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7.9 TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES Al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada se pueden obtener las gráficas de ciertas funciones relacionadas y, de este modo, reducir el trabajo al trazar dichas gráficas. En primer lugar, se consideran las traslaciones. Si c es un número positivo, entonces la gráfica de y  f x   c es precisamente la de y  f x  desplazada hacia arriba a una distancia c unidades. Del mismo modo, si g x   f x  c  , donde c  0 , entonces el valor de g en x es el mismo que el valor de f en x  c . Por lo tanto, la gráfica de y  f x  c  es precisamente la de y  f x  desplazada c unidades a la derecha, tal como se muestra en la figura: y y  f x   c

y  f x  c 

c y  f x 

c

y  f x  c 

c x c

y  f x   c

Desplazamientos verticales y horizontales Supóngase que c  0 . Para obtener la gráfica de:    

y  f x   c , se desplaza la gráfica de y  f x  una distancia de c unidades hacia arriba. y  f x   c , se desplaza la gráfica de y  f x  una distancia de c unidades hacia abajo.

y  f x  c  , se desplaza la gráfica de y  f x  una distancia de c unidades hacia la derecha.

y  f x  c  , se desplaza la gráfica de y  f x  una distancia de c unidades hacia la izquierda.

Considérense ahora las transformaciones de alargamientos y reflexión. Si c  1 , entonces la gráfica de y  cf x  es la de y  f x  alargada en el factor de c en la dirección vertical. La gráfica de y   f x  es la de y  f x  reflejada respecto al eje x , debido a que el punto x, y  reemplaza al punto x, y  , tal como se muestra en la figura: WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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y y  cf x  y  f  x  y  f x 

y

1 f x  c

x

y   f x 

Alargamientos y reflexiones verticales y horizontales Supóngase que c  1 . Para obtener la grafica de:      

y  cf x  , alárguese la gráfica de y  f x  verticalmente en un factor de c 1 y  f x  , comprímase la gráfica de y  f x  verticalmente en un factor de c c y  f cx  , comprímase la gráfica de y  f x  horizontalmente en un factor de c  x y  f   , alárguese la gráfica de y  f x  horizontalmente en un factor de c c

y   f x  , refléjese la gráfica de y  f x  respecto al eje x

y  f  x  , refléjese la gráfica de y  f x  respecto al eje y

Ejemplo No. 134 En la siguiente figura se ilustran transformaciones de alargamiento aplicadas a la función y  Cosx y  Cosx y  Cos 12 x y  2Cosx

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Ejemplo No. 135 Dada la gráfica de y  x , haga uso de las transformaciones para graficar y  x  2 , y  x  2 , y x, y2 x y y x Solución:

Gráfica de y  x

La gráfica de y  x  2 se obtiene al desplazar la gráfica de y  x un número de 2 unidades hacia abajo.

La gráfica de y  x  2 se obtiene al desplazar la gráfica de y  x un número de 2 unidades hacia la derecha.

La gráfica de y   x se obtiene al reflejar la gráfica de y  x respecto al eje x

La gráfica de y  2 x se obtiene al alargar verticalmente la gráfica de y  x en un factor de 2

La gráfica de y   x se obtiene al reflejar la gráfica de y  x respecto al eje y

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ACTIVIDAD No. 50 1. Halle en cada caso f 1 ( x) : a) f ( x)  Lnx  3 2. Si f ( x)  3. Si x 

b) f ( x) 

1 ex 1 ex

c) f ( x) 

a b  ce  x

1 pruebe que f 1 ( x)  Ln 1  ax  Ln bx 2x a  be

1  ae 2 y pruebe que y   Ln a  bx  be 2 y

4. Si f ( x) 

ae x  1 pruebe que f ae x  1

1

 x 1 ( x)  Ln   Lna  x 1 

e2x 5. f ( x)  2 x pruebe que f 1 ( x)  Ln x  Ln ax  1 y f  f 1  x ae  1 t    6. Si Qt   Q0 1  e a  halle Q 1 t    7. Halle el valor de x en cada ecuación:

a) Ln2 x  1  3 d) LnLnx  1 g) Lnx2  Ln3  2 x  0 8. Si x 

b) e 3 x 4  2 e) Lnx 2  4  Lnx  2  Ln1 h) Lnx  3  Lnx  2  Ln14

c) Lnx  Lnx  1  1 f) Ln4 x  Lnx  3  Lnx 2 

1  ae 2 y pruebe que y  Ln a  bx  be 2 y

9. Si se invierte una cantidad P, durante T años a una tasa anual de interés R, y si se reinvierte el interés M veces R  al año, el valor futuro A es A  P1    M

MT

. Despeje la variable T de la ecuación anterior.

10. Explique cómo se obtienen las gráficas siguientes a partir de la gráfica de y  f x  a) y  5 f x  d) y  5 f x 

b) y  f x  5 e) y  f 5x 

c) y   f x  f) y  5 f x   3

11. ¿Cómo se relaciona la gráfica de y  2Senx con la gráfica de y  Senx ? 12. ¿Cómo se relaciona la gráfica de y  1  x con la gráfica de y  x ? AUTOEVALUACIÓN No. 7 Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta. WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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1. Si x es un número real. Es verdadero que: A. B. C. D.

Si Si Si Si

x  3 , entonces x  3  x  3 x  0 , entonces x  2  x  2 x  R , entonces  x  x x  R , entonces x  5  5  x

2. Sea f x  

x2 . Considere las siguientes afirmaciones: 2x

I. f x   0 solo si x  2 II. f x  1  f x  

1 2

III. f 3x   3 f x  IV. Si f x   1 , entonces x  2 De las afirmaciones anteriores son verdaderas. A. B. C. D.

Iy II y II y Iy

III IV III IV

3. Si f x   20  x  x 2 y f a   8 , entonces a es igual a: A.  4 o 3 B.  3 o 4 C. 2 o 5 D.  2 o  5 4. Un agricultor desea cercar un campo rectangular y luego dividirlo en tres lotes rectangulares mediante dos cercas paralelas a uno de los lados. El agricultor necesita 1000 metros de alambre. Si x es el largo del campo, el área A del campo se expresa correctamente como: x  2  B. x500  x  C. x100  2 x  D. x250  x 

A. x 250  

5. La siguiente figura muestra la gráfica de y  f x  : WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO

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La grafica de la función y  f x  es:

A.

B.

C.

D.

6. De la igualdad Log 2 x 2  1  Log 2 x  1  Log 2 x  1 se puede afirmar que: A. B. C. D.

Siempre es falsa. Es verdadera solo si x  1 Es verdadera para todos los números reales. Es verdadera para los números reales diferentes de 1 .

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7. La proposición incorrecta es: A. Todas las funciones exponenciales, al ser graficadas cortan al eje Y en el punto 0,1 . B. Si a  1 , la función y  a x es decreciente. C. La función exponencial no tiene ceros. D. La curva de una función exponencial jamás corta al eje X. 8. Si f ( x)  x y g ( x)  x 2  4 , el dominio de la función f g (x) es: A. B. C. D.

 ,2  2,   ,2  2,   ,2  ,2  2, 

9. Si f ( x)  2 x , entonces A. B. C. D.

f 4

f x 

f 2

f 2 x 

10. Si f ( x)  A. B. C. D.

f x  3 es igual a: f x  1

x 1 1 , entonces f   es igual a: x 1  x

f x  1

 f 1  x  f  x 

 f x 

11. Un recinto rectangular requiere 2000 pies de valla para cerrarlo. Si una de sus dimensiones es x pies. El área y en pies cuadrados expresada en función de x junto con su respectivo dominio es: A. B. C. D.

y  xx  1000 para 0  x  1000

y  x100  x  para 0  x  1000 y  x100  x  para 0  x  1000

y  xx  1000 para 0  x  1000

12. Si f ( x)  x 2  2 x , entonces A. 2a  h B. 2a  2  h C. 2a  2  h D. 2a  h

f a  h   f a  es igual a: h

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