Funcion Logaritmica Y Exp.docx

Introducción La función logarítmica es de gran importancia en matemáticas. Constituye un poderoso instrumento en la práctica del cálculo numérico. Por ser la recíproca de la exponencial, esta función es una de las de más presencia en los fenómenos observables, también, siempre que haya un proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo, sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo, ese proceso se describe mediante una exponencial. Así aparece en

la reproducción de bacterias y otras

poblaciones animales o vegetales, crecimientos demográficos y la inflación. Función exponencial Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente

x

en el

exponente, es decir, son de la forma:

Propiedades 

Observa que la función existe para cualquier valor de x (basta con que escribas cualquier valor de x en la ventana inferior de la escena y ver que siempre se obtiene el correspondiente de y, aunque para valores muy grandes de x el programa no presenta el que toma "y" realmente por ser muy grande y para valores negativos grandes de x tome como y=0 por valer casi 0). Decimos que la función existe siempre o que el dominio de la función es todo R.



Observa que en todos los casos la función pasa por un punto fijo: el (0,1) (basta que asignes el valor a x = 0) o sea que corta al eje de ordenadas en el punto (0,1).



Observa que los valores de y son siempre positivos (prueba cuantos valores desees para x), luego la función siempre toma valores positivos para cualquier valor de x.



Observa que es siempre creciente o siempre decreciente (para cualquier valor de x), dependiendo de los valores de la base "a". Por tanto la función es creciente si a>1 y si 0


Observa que se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el caso en que a <1. Eso implica que el eje x es una asíntota horizontal (Hacía la izquierda si a rel="nofollow">1 y hacía la derecha si a<1).

Características de las funciones exponenciales 1) El dominio de una función exponencial es R. 2) Su rango es (0, +∞).

3) Son funciones continuas. 4) Como a0 = 1, la función siempre pasa por el punto (0, 1).

La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X. 5) Como a1 = a, la función siempre pasa por el punto (1, a).

6) Si a > 1 la función es creciente.

Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

7) Son siempre cóncavas.

8) El eje X es una asíntota horizontal. 

Si a > 1 : Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto : Cuando x → - ∞ , entonces a x → 0



Si 0 < a < 1 : Ocurre lo contrario que en el caso anterior : Cuando x → + ∞ , entonces a x → 0

Ejemplo de funciones exponenciales:

1) Dominio:

El dominio de las funciones exponenciales es R.

Dom(f) = Dom(g) = R .

2) Rango: El Rango de las funciones exponenciales es (0, + ∞).

Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .

3) Puntos de corte: f (0) = 20 = 1, el punto de corte con el eje Y es (0, 1). g (0) = - 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1). La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje X. 4) Crecimiento y decrecimiento: La función f(x) es creciente ya que a > 1. La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1. 5) Concavidad y convexidad: Las funciones f(x) y g(x) son cóncavas. 6) Asíntotas: Las funciones f(x) y g(x) tienen una asíntota en el eje X.

7) Tabla de valores:

Función Logarítmica Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x) = logax donde "a" es constante (un número) y se denomina la base del logaritmo. Además sabremos que la base (b) de los logaritmos debe ser un número positivo (al igual que la base de la potencia de una función exponencial) y además no debe ser 1 ya que log1(a) en general no existe ya que si a no es 1 ,1n no puede ser a. Sabemos también que las bases más frecuentes para los logaritmos son las base 10 (logaritmos decimales) y la base el número "e=2,718281...” (Logaritmos neperianos). La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función "logaritmo neperiano" y se simboliza normalmente como ln (x), (la función logaritmo en base 10 se simboliza normalmente como log(x). Se trata de la inversa de la exponencial en la que a toma el valor de la constante de Euler: ln(x)  (ex)-1.

Propiedades Supondremos, a partir de ahora, que a 1 y que a  1. En esta escena observaremos las propiedades.

1.- Observa que la función existe sólo para valores de x mayores que 0, a diferencia de la exponencial que existe para cualquier valor de x. (puedes utilizar la definición de logaritmo para ver que el logaritmo de un número negativo o de 0 no existen). El DOMINIO de la función logarítmica es   o el intervalo 0,

2.- Demuestra numéricamente que log0(a), log2 (-3), log1/2(-4) y en general loga(b), siendo b un número negativo, no existen, utilizando la definición de logaritmo. Obsérvalo en las escenas gráficas.

3.- Observa que en todos los casos la función pasa por un punto fijo: el (1,0) (para verlo basta con que asignes en la escena a x el valor 1 y observes el de y. Por tanto la gráfica siempre: corta al eje de abscisas en el punto (1,0).

4.-Observa que se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que a>1 y hacia arriba en caso de a<1 ("SIEMPRE POR LA DERECHA"), se dice por ello que: el eje y es una asíntota vertical.

Características 1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos:

2) Su rango es R:

Im(f) = R .

3) Son funciones continuas.

4) Como loga1 = 0, la función siempre pasa por el punto (1, 0).

La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.

5) Como logaa = 1, la función siempre pasa por el punto (a, 1) .

6) Si a > 1 la función es creciente.

Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

7) Son convexas si a > 1.

Son cóncavas si 0 < a < 1.

Dom(f) = (0. + ∞) .

8) El eje Y es una asíntota vertical. 

Si a > 1 : Cuando x → 0 + , entonces log a x → - ∞



Si 0 < a < 1 : Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞

Ejemplo de funciones logarítmicas:

1) Dominio: El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞). Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞) .

2) Rango:

El rango de las funciones logarítmicas es R.

Im(f) = Im(g) = R .

3) Puntos de corte:

f(1) = log21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).

g(1) = log1/21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).

La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje Y.

3) Crecimiento y decrecimiento:

La función f(x) es creciente ya que a > 1.

La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1.

4) Concavidad y convexidad:

Las función f(x) es convexa ya que a > 1.

Las función g(x) es cóncava ya que 0 < a < 1.

5) Asíntotas:

Las funciones f(x) y g(x) tienen una asíntota en el eje Y.

6) Tabla de valores:

Aplicaciones en el área de la Medicina En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución, también, La aparición de las funciones exponenciales surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento y el decrecimiento. Un ejemplo seria el uso de la función exponencial en la progresión del VIH.

La gráfica muestra el proceso de una infección típica del VIH a través del tiempo. El conteo de células CD4+ representa su número por milímetro cúbico de sangre. Este número se reduce a medida

que

el

virus

progresa.

Un sistema inmunológico saludable tiene entre 600 y 1.200 células por milímetro cúbico de sangre. Si se reduce a 200, se considera que el paciente tiene SIDA.

El número de células que restan en nuestro sistema inmunológico se pueden modelar mediante la función (entre las semanas 0 y 5).

Dónde:

k = -0.098 t = tiempo en semanas a) Hallar el número de células presentes en el sistema inmunológico para la semana 5 Solución: Considerando la regla de correspondencia: remplazamos t por 5 semanas.

b) ¿Cuántas semanas han pasado si ha reducido la cantidad de células a 555.43? Solución:

CONCLUSION REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

https://matematicasmodernas.com/funciones-logaritmicas-y-exponenciales/



http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_elementa les/teoria/logaritmicas.html



http://cimanet.uoc.edu/cursMates0/IniciacionMatematicas/pdf/C%2024Las%20funciones %20exponencial%20y%20logaritmica.pdf