Funcion Descriptiva

SISTEMAS DE CONTROL II Análisis de sistemas de control no lineales mediante la función descriptiva.

Sistemas no lineales 

Muchas relaciones entre magnitudes físicas no son lineales, pero se aproximan mediante ecuaciones lineales.

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En los sistemas no lineales, la respuesta del sistema depende de la magnitud y tipo de entrada. Por ejemplo pueden presentar comportamiento totalmente distinto ante entradas escalón de diferentes amplitudes.

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No rige el principio de superposición (la respuesta producida por la aplicación simultanea de dos funciones excitadoras distintas es la suma de las dos respuestas individuales. 2

Fenómenos no lineales en sistemas de control 

Inherentes al sistema: son inevitables y afectan en forma adversa el comportamiento del sistema.       

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Saturación. Zona muerta. Histéresis. Juego. Fricción estática no lineal. Elasticidad no lineal. Compresibilidad de fluidos.

Deliberados: se añaden intencionalmente para mejorar su comportamiento o simplificar la construcción con mejoras en el factor económico, peso, espacio, confiabilidad). 3

Procedimiento de análisis y diseño de sistemas de control no lineales. 

No hay un método general. (Ecuaciones diferenciales no lineales).

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Si el grado de no linealidad es pequeño, se puede utilizar técnicas de linealización equivalente y resolver el problema linealizado (Ej la función descriptiva).

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El método de la función descriptiva permite estudiar la estabilidad desde el punto de vista del dominio de la frecuencia. No da información exacta sobre las características de respuesta temporal.



También se recurren a soluciones mediante el empleo de computadoras a través de simulaciones.

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Funciones descriptivas (F. D.) Introducción      

Es un método de linealización equivalente de elementos no lineales con bajo grado de no linealidad. Se supone una entrada senoidal a un elemento no lineal. En general, la salida no es senoidal. Se supone que la salida es periódica con periodo igual al de la entrada (armónicas superiores presentes). En la F. D. se supone que solo la componente armónica fundamental es significativa. La F. D. senoidal de un elemento no lineal está definida como una relación compleja entre la componente armónica fundamental de la salida respecto a la entrada:

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Funciones descriptivas (F. D.) Introducción Y1 ∠φ1 X N = Funcióndescriptiva N=

X = Amplitud de senoide de entrada Y1 = Amplitud de la componente armónica fundamental de salida

φ1 = Desplazamiento de fase de componente armonica fundamental de salida 

Por tanto, se necesita hallar la componente armónica fundamental de la salida.

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Funciones descriptivas (F. D.) Introducción 

∞

Y (t ) = A0 + ∑ ( An cos(nωt ) + Bn sen(nωt )

Para una entrada senoidal

n =1 ∞

x(t ) = Xsen(ωt )

Y (t ) = A0 + ∑ (Yn sen( nωt + φn ) n =1

al elemento no lineal, la salida y(t) se puede expresar como una serie de Fourier,

donde An = Bn =

1 π

2π

1 π

2π

∫ y(t ) cos(nωt )d (ωt ) 0

∫ y(t )sen(nωt )d (ωt ) 0

Yn = An2 + Bn2 , φn = arctg (



An ) Bn

Si la característica no lineal es antisimétrica Ao =0 y la componente armónica fundamental de salida es:

Y1 (t ) = A1 cos(ωt ) + B1sen(ωt ) = Y1sen(ωt + φ1 ) 

Y la función descriptiva esta dada por: Y1 N = ∠φ1 = X

A12 + B12 −1 A1 ∠tg 7 ( ) X B1

Ejemplo Elemento no lineal de SI-N0  Elemento no lineal de dos posiciones –

conexión desconexión.

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Ejemplo Elemento no lineal de SI-N0 Donde:

1 Y1 = π

2π

π

2 y ( t ) sen( ω t ) d ( ω t ) = y (t ) sen(ωt )d (ωt ) ∫0 ∫ π 0

Re emplazando y (t ) = M π

2M 4M Y1 = sen(ωt )d (ωt ) = ∫ π 0 π y1 (t ) =

N=

4M sen(ωt ) π

Y1 4M ∠0° = X πX 9

Elemento no lineal si-no con histéresis

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No linealidad de umbral

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Elemento no lineal de saturación

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Análisis de sistemas no lineales mediante la función descriptiva 

Si las armónicas superiores generadas por el elemento no lineal se atenúan suficientemente por los elementos lineales, se puede predecir la estabilidad del sistema mediante el análisis con la función descriptiva.

C ( jω ) NG ( jω ) = R( jω ) 1 + NG ( jω ) N es una ganancia var iable real o compleja La ecuación caracteristica resulta : 1 + NG ( jω ) = 0 G ( jω ) = −

1 N

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Análisis de sistemas no lineales mediante la función descriptiva 

Donde -1/N se transforma en el lugar de los puntos críticos a diferencia del punto -1+j0 considerado en el análisis convencional.

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La posición relativa del diagrama -1/N y del diagrama G(j ω) proporciona la información sobre la estabilidad.



Se supone que todos los polos y ceros de G(jω) están en el semiplano izquierdo de “s”, incluyendo el eje jω o que el sistema es de fase mínima.

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Análisis de sistemas no lineales mediante la función descriptiva 

El criterio de estabilidad consiste en que -1/N no está rodeado por el diagrama de G(jω) (Sistema estable, no hay ciclo límite en estado estacionario). En caso contrario, es inestable (oscilación creciente).



Obs: en ciertas aplicaciones se puede aceptar un ciclo limite de pequeña magnitud. Lo ideal es que no exista. 15

Exactitud del análisis de la función descriptiva. 

La amplitud y frecuencia del ciclo límite indicadas por la intersección de los diagramas de -1/N y G(jω) son valores aproximados.



Si -1/N y G(jω) son casi perpendiculares, la exactitud es buena.



Si todas las armónicas superiores se atenúan, la exactitud es excelente.

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Si -1/N y G(jω) son casi tangentes o tangentes, la exactitud depende de G(jω) (en cuanto a la atenuación de las armónicas). 16

Estabilidad de oscilaciones sostenidas o ciclos límite Ciclo límite estable

Ciclo límite inestable (XA,ωA) No se puede observar en forma experimental

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Ejercicios 

Graficar las curvas de nivel en función del tiempo para:  

Válvula de entrada con mayor caudal que la de salida Válvula de salida con mayor caudal que la de entrada

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Ejercicio B 8.1 

Determinar amplitud y frecuencia de ciclo limite

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Tarea 

Deduzca la ecuación de la función descriptiva N para el elemento no lineal de histéresis de la figura

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