Funcion Cuadratica

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática es aquella que se puede escribir de la forma: y = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a ≠ 0. Las gráficas asociadas a estas funciones son parábolas de eje vertical.

Figura 1 (a > 0)

Figura 2 (a < 0)

CARACTERÍSTICAS Las funciones cuadráticas tienen las siguientes características: 1. El dominio es el conjunto de los números reales. 2. Son continuas en todo su dominio. 3. Siempre cortan al eje Y en el punto (0, c). 4. Cortarán al eje X (en uno o dos puntos) o no, dependiendo de las soluciones de la ecuación ax2+ bx + c = 0. 5. Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba y si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo. 6. Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola. 7. Tienen un vértice, punto donde la función alcanza un mínimo (a > 0) o un máximo (a < 0). 8. Tiene un eje de simetría que es la recta vertical que pasa por el vértice. 9. Si a > 0, la función es creciente para valores de x a la derecha del vértice y decreciente para valores a la izquierda del vértice. 10. Si a < 0, la función es creciente para valores de x a la izquierda del vértice y decreciente para valores a la derecha del vértice. 11. Si a > 0 es convexa y si a < 0 es cóncava. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para representar gráficamente una función cuadrática (dibujar la párabola) Matemáticas B. 4º ESO

Pilar Montes Rueda

necesitamos como mínimo tres puntos: el vértice y dos puntos simétricos. En general el proceso será el siguiente: 1. Observar el signo del coeficiente a para saber si la parábola está abierta hacia arriba o hacia abajo. 2. Calcular los puntos de corte con los ejes coordenados: Con el eje X ( y = 0), resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0 Con el eje Y (x = 0) es el punto (0, c)   b  b 2  4ac   o bien por otros , 3. Calcular el vértice mediante la fórmula   2a 4a   procedimientos.

b 2a 5. Realizar una tabla de valores, si es necesario. 4. Eje de simetría de la parábola x =

EJERCICIOS 1 Representa las siguientes funciones cuadráticas indicando todas las características de la gráfica: 1. y = x2 – 5x + 6

7. y = -x2 + 2x + 8

2. y = -x2 + 9

8. y = x2

3. y = 2x2 – 4x + 5

9. y = x2 – 4x

4. y = -2x2 – 4x + 6

10. y = x2 – 3x + 2

5. y = x2 – 4x + 4

11. y = x2 + x + 1

6. y = x2 – 4x + 3

12. y = x2 + 5x – 2 ESTUDIO CONJUNTO DE RECTAS Y PARÁBOLAS

Si queremos estudiar conjuntamente una función lineal y una función cuadrática habrá que obtener e interpretar los puntos comunes a ambas funciones, es decir, los puntos de corte de ambas líneas. El estudio se puede hacer analítica o gráficamente. Analíticamente se obtiene resolviendo el sistema formado por sus expresiones y  mx  n algebraicas:  y  ax 2  bx  c Gráficamente representamos ambas funciones en un mismo sistema de ejes coordenados. La intersección de recta y parábola puede ser dos puntos, un punto o ninguno. EJERCICIOS 2 Calcula gráfica y analíticamente la intersección de la recta y la parábola, en cada uno de los siguientes casos: Matemáticas B. 4º ESO

Pilar Montes Rueda

1. y = x2 + 2x - 2 ; y = 5x + 2

3. y = x2 – 4x + 4 ; y = -x + 1

2. y = x2 – 5x + 4 ; y = -2x + 8

4. y = x2 – 4x + 8 ; y = 4

ESTUDIO CONJUNTO DE DOS PARÁBOLAS Para estudiar conjuntamente dos funciones cuadráticas habrá que obtener e interpretar los puntos comunes a ambas funciones, es decir, los puntos de corte de ambas líneas. El estudio se puede hacer gráfica o analíticamente. Analíticamente se obtiene resolviendo el sistema formado por sus expresiones y  ax 2  bx  c algebraicas:  y  px 2  qx  r Gráficamente representamos ambas funciones en un mismo sistema de ejes coordenados. La intersección de dos parábolas puede ser dos puntos, un punto o ninguno. EJERCICIOS 3 Calcula gráfica y analíticamente la intersección de las parábolas, en cada uno de los siguientes casos: 1. y = x2 – 6x + 8 ; y = -x2 + 4x

3. y = -x2 – 1 ; y = x2 – 4x + 5

2. y = x2 – 1 ; y = x2 – x

4. y = (1/3)x2 – 3 ; y = -x2 + 9

DETERMINACIÓN DE LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Dados tres puntos no alineados, siempre es posible dibujar una parábola que los contenga. La expresión algebraica de una función cuadrática tiene tres parámetros a, b y c. Por tanto, necesitaremos tres condiciones para determinarlos. En la práctica basta conocer tres puntos cualesquiera de la parábola. EJERCICIOS 4 Determina la expresión analítica y = ax2 + bx + c de la parábola sabiendo que: 1. Pasa por los puntos (0, 4), (2, 6) y (-1, 9). 2. Pasa por los puntos (1, 2), (2, 1) y (-1, 10) 3. Pasa por los puntos (1, 0), (0, 1) y (-1, -2) 4. Pasa por los puntos (1, -3), (3, 5) y (-1, -3) 5. Pasa por los puntos (2, 0), (0, -2) y (5, 3) 6. Tiene por vértice (3, -3) y pasa por (1, 1)

Matemáticas B. 4º ESO

Pilar Montes Rueda

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Desde un tejado situado a 80 metros de altura, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. La altura, y, de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por: y = -5x2 + 20x + 80; donde x es el número de segundos que han transcurrido desde el instante que se lanzó la bola. a) ¿Qué altura alcanza la bola para x = 0, x = 2 y x = 5? b) ¿Cuándo alcanzará el punto más alto? ¿A qué altura está ese punto? c) Haz una representación gráfica que se aproxime a esta situación.

2. Se quiere construir un cercado rectangular con 30 m de valla metálica. ¿Cómo depende el área cercada de la longitud del vallado? ¿Cuánto deben medir los lados del cercado para que la superficie delimitada sea máxima?

3. Un viajero quiere alcanzar un tren en marcha. Las funciones que relacionan el espacio y el tiempo son, en cada caso: Viajero: Sv = 400 t Tren: St = 500 + 30 t2 Representa las gráficas correspondientes. ¿Llega a producirse el alcance? ¿En qué momento? La distancia que un vehículo recorre a partir del momento en que se empieza a frenar depende del cuadrado de la velocidad del vehículo, de acuerdo con la siguiente fórmula: d = v2/100 donde la velocidad v viene expresada en km/h y d es la distancia recorrida en metros (distancia de frenado). a) Si vas circulando a 90 km/h y pisas el freno, ¿qué distancia recorres hasta que se detiene el vehículo? b) Si circulas en caravana y la distancia que te separa del vehículo que va delante de ti es de unos 100 metros, ¡cuál es la velocidad máxima a la que debes circular para evitar una colisión? c) En autopistas y autovías la velocidad máxima para turismos es de 120 km/h, para camiones y vehículos mixtos es de 100 km/h y para automóviles con remolque es de 80 km/h. ¿Cuál es la distancia de frenado para cada uno de estos vehículos a esa velocidad? Matemáticas B. 4º ESO

Pilar Montes Rueda