Func N Variaveis Ex

Cálculo II – 1ª lista de exercícios – Funções de n variáveis 1) Determine o domínio das funções abaixo e represente-o graficamente: 1 x 2 + y 2 −9 1 b)f(x, y) = 2 y −x

a)f(x, y) =

c)f(x, y) = log(36 − 4x 2 − 9y 2 ) d)f(x, y, z) = e)f(x, y) =

x 2 + y 2 +z 2 −4

25 − x 2 − y 2

2) Represente as curvas de nível das funções abaixo para c=-1, c=0, c=1

a)f(x, y) = 3x − y

b)f(x, y) = x 2 − y c)f(x, y) = x 2 − y 2 d)f(x, y) =1 − x 2 − y 2

3)Uma chapa plana de metal está situada em um plano xy, de modo que a temperatura T (em °C) no ponto (x,y) é inversamente proporcional à distância da origem. a)descreva as isotérmicas b)se a temperatura no ponto P(4,3) é de 40°C, ache a equação da isotérmica para a temperatura de 20°C. 4)De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão P, o volume V e a temperatura T de um gás confinado estão relacionados pela fórmula PV=KT, para uma constante K. Expresse P como função de V e T e descreva as curvas de nível associadas a esta função. Qual o significado físico dessas curvas de nível? 5)A força P gerada por um rotor eólico é proporcional ao produto da área A varrida pelas pás do rotor pela 3ª potência da velocidade v do vento. a)Expresse P como função de A e de v. b)Descreva as curvas de nível de P e explique seu significado físico. c)Quando o diâmetro da área circular varrida pelas pás é de 2 metros e a velocidade do vento é 30km/h, então P=3000watts. Ache a equação da curva de nível de P=4000 (observe que a velocidade deve ser convertida em m/s)

6) Calcule

∂f ∂x

e

∂f para as funções: ∂y

x  a)f(x, y) = cos  y    b)f(x, y) =

x2 + y2

c)f(x, y) = 6x 5 + 7x 2 y + 3xy

5

d)f(x, y) = sen 3 (x 2 y) e)f(x, y, z) = z.sen(xy) f)f(x, y, z) = xy.cos(z) g)x

2

+ 3xy + 4z 2 x = 0

h)4xyz − 7z x = 1 2

i)f(x, y) = xy .e 2

z = f(x, y)

sendo

z = f(x, y)

sendo

xy

7) Dada a função f(x, y) = 4x 2 y − 3xy 2 + 5y 3 , calcule: a)

∂2 f ∂x 2

b)

∂2 f ∂y∂x

c)

∂3 f ∂x 2 ∂y

 ∂f  d)   ∂y    (1,2 )

8) Dada a função f(x, y) = x 2 y 3 z 4 + 2x − 5xy calcule: a)

∂f ∂x

b)

∂f ∂y

c)

∂f ∂z 2

1

2 x 9) Dada a função w = y .e + x 2 y 3 , verifique que w xy = w yx

∂2 f ∂2 f + = 0 em todo o domínio de f. Prove que 10) Uma função f(x,y) é harmônica se ∂x 2 ∂y 2

a função

f(x, y) = ln

x 2 +y 2

é harmônica.

11) A lei dos gases ideais pode ser enunciada como PV=nRT, onde n é o número de moléculas do gás, V é o volume, T é a temperatura, P é a pressão e R é uma constante. Mostre que

∂V ∂T ∂P . . = −1 . ∂T ∂P ∂V 100

12) Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x,y,z) seja dado por V = x 2 + y 2 + z 2 , onde V é dado em Volts e x,y,z em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V, no ponto (2,-1,1), na direção: a) do eixo x b) do eixo y c) do eixo z. 13) Ache a derivada direcional de f(x, y) = x 3 y 2 no ponto P(-1,2) na direção do vetor v =4i −3 j . Discuta o significado dessa derivada se f(x,y) é a temperatura em (x,y). 14) Ache a direção segundo a qual f(x, y) = 2 + x 2 +

1 2 y cresce mais rapidamente no 4

ponto P(1,2) e determine a taxa máxima de crescimento de f em P.

15) Suponhamos que um sistema coordenado xyz esteja localizado no espaço, de modo que 100

a temperatura T no ponto (x,y,z) seja dada pela fórmula T = x 2 + y 2 + z 2 a) ache a taxa de variação de T em relação ao ponto P(1,3,-2), na direção do vetor v = i − j +k . b) Em que direção a partir de P, T aumenta mais rapidamente? Qual a taxa de variação de T em P? 16) Considere a função f(x, y, z) = x 3 + yz 2 . Calcule: a) o gradiente de f no ponto (1,2,-1). b) A derivada direcional de f no ponto (1,1,2), na direção do vetor v=(2,1,-2). c) a diferencial de f no ponto (1,1,2). d) A taxa máxima de crescimento de f no ponto (1,-1,1) e a direção onde ocorre. 17) Dada a função f(x, y) = x 2 + y 2 −8 pede-se: a) as direções nas quais, a partir do ponto (1,1), a taxa de variação da função é zero. b) A razão de variação da função a partir do ponto (1,1) na direção do vetor v=(3,-4). c) Em que direção e sentido, a partir do ponto (1,1) ocorre maior crescimento de f? E maior decrescimento? d) Em que direções a taxa de variação da função, a partir do ponto (1,1) é igual a 2? 18) Determine e classifique os pontos críticos de: a)f(x, y) = x 2 − 4xy + y 3 + 4y 1 3 4 3 x + y − x 2 − 3x − 4y − 3 3 3 2 c)f(x, y) = 3 − x + 2x − y 2 − 4y b)f(x, y) =

1 3 y − 3y 3 e)f(x, y) = x 2 y + 3xy − 3x 2 − 4x + 2y d)f(x, y) = x 2 − 2xy +

f)f(x, y) = x 2 − 2y 2 − 6x + 8y + 3

19) Determine 3 números positivos cuja soma é 48 e cujo produto é o maior possível. 20) Um pacote no formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões x,y,z pode ser enviado pelo correio somente se a soma2x+2z+z não exceder 84cm. Calcule as dimensões de modo que o volume seja máximo. 21) Deve-se construir um depósito retangular sem tampa com volume de 12 metros cúbicos. O custo por metro quadrado do material a ser usado é de $400 para o fundo, $300 para dois dos lados opostos e $200 para os lados opostos restantes. Determine as dimensões do depósito que minimizam o custo.

22) Ache os pontos do gráfico de xy 3 z 2 = 16 mais (sugestão:minimize o quadrado da distância d 2 = x 2 + y 2 + z 2 ).

próximos

da

origem.

23) Ache a menor distância do ponto P(2,1,-1) ao plano 4x-3y+z=5. 24) Se w = 3x 2 − xy , calcule dw e aplique-o para aproximar a variação de w se (x,y) varia de (1,2) para (1,01 ; 1,98). Compare com a variação exata de w. 25) o Raio e a altura de um cilindro reto são 8 cm e 20 cm, respectivamente, com erro possível de medida de ± 0,01 cm. Use diferenciais para aproximar o erro máximo no cálculo do volume dom cilindro. 26) Um balão meteorológico é liberado ao nível do mar, a uma distância R do olho de um furacão, e sua altitude h aumenta à medida que ele se move em direção ao olho. A altitude h R4 que o balão atingirá no olho pode ser aproximada por h = π 2 g 2 em que g é uma C constante gravitacional e C é uma medida metereológica chamada circulação da velocidade do vento. (A circulação está estreitamente relacionada com a intensidade e a direção dos ventos no interior do furacão). Se os erros percentuais máximos nas mensurações de R e H são ± 2% e ± 5% respectivamente, estime o erro percentual máximo no cálculo de C. Respostas: 1)a) D = {(x, y) ∈ R 2 /x 2 + y 2 ≠ 9} b) D = {(x, y) ∈ R 2 /y 2 ≠ x} 2   y2 2 x D = (x, y) ∈ R / + < 1 c)  9 4  

d) D = {(x, y, z) ∈ R 3 /x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4} e) D = {(x, y) ∈ R 2 /x 2 + y 2 ≤ 25} 3) a) círculos com centro na origem

b) x2+y2=100

4) Retas passando pela origem. Cada reta destas é uma isobárica (pressão constante). Para uma isobárica qualquer temos várias possibilidades de valores de T e V com o mesmo valor de P. 5) a) P=k A v3 (k>0) b)Uma curva de nível típica mostra as combinações de áreas e velocidades de vento que resultam em uma potência fixa P=C c) A v3 = 250 . 103 π 6)

∂f 1 x = − sen ∂x y y ∂f x b) ∂x = 2 x + y2

a)

∂f x x = − 2 sen ∂y y y ∂f y = 2 ∂y x + y2

∂f ∂f = 30x 5 + 14xy + 3y 5 = 7x 2 + 15xy 4 ∂x ∂y ∂f ∂f = 6xy.sen 2 (x 2 y).cos(x 2 y). = 3x 2 .sen 2 (x 2 y).cos(x d) ∂x ∂y ∂f ∂f = yz.cos(xy) = xz.cos(xy) e) ∂x ∂y

c)

∂f = y.cos(z) ∂x

f) g)

∂f 1 =− ∂x 4 - x −3y

∂f 3 =− ∂y 4 - x - 3y

∂f 4yz − 7z 2 =− ∂x 4xy −14zx ∂f = y 2 e xy (xy +1) i) ∂x

b) 8x-6y

8) a)2xy 3 z 4 + 2

y)

∂f = x.cos(z) ∂x

∂f 2z = ∂y 2y − 7z ∂f = xy e xy (xy + 2) ∂y

h)

7) a) 8y

2

c) 8 d) 52

b)3x 2 y 2 z 4 − 5z

12) Em Volts/cm (a) –(100/9)

c)4x 2 y 3 z 3 − 5y

b) 50/9

c) –50/9

13) 12 Se o ponto se move na direção de v, a temperatura em P aumenta à razão de 12° por unidade de variação da distância. 14) 5 15) a ) 16)

na

  2. i + j

direção

200

b)

49 3

 50   14 na direção do vetor −i +3 j +2k 49

c)3dx + 4dy 4dz

d ) 14

na

→

→

→

direção

3 i + j−2 k

maior

decrescime nto

17)    a )v = a.i − a. j c)

maior

2 5 cresciment o b) −

  2i + 2 j ;

  2i + 2 j

d) nas direções dos eixos x e y. 18)

a) (4,2) mínimo local (44/3,2/3) sela b) (3,1) mínimo (3,-1) sela (-1,1) sela (-1,-1) máximo local

21) base 3m por 2m e altura 2m  2 4 2 2  , 12 ,± 22)  − 4  

12

4 12 

   − 2 ,−4 12 ,± 2 2   4 12 4 12  

23)

1 26

24) dw=0,06 25) 12,06 cm3 26) ± 6,5%

∆ w-dw=0,0005