Ft2 Vaje Signifikantna Mesta 24 Apr 2008

SIGNIFIKANTNA MESTA IN ZAOKROŽEVANJE Signifikantna mesta v zapisu števila so tiste “cifre”, ki dejansko prispevajo k pomenu števila v smislu točnosti. Signifikantna mesta prepoznamo s pomočjo preprostih pravil: • Signifikantna so vsa mesta zapisana s ciframi “1” – “9”, cifra “0” pa, kadar je zapisana med dve cifri, ki sta “1” – “9”. Npr.: število 683,248 ima 6 signifikantnih mest, 603,208 prav tako, število 0,048 pa ima le 2 signifikantni mesti. Enako ima tudi število 0,00000048 le 2 signifikantni mesti. • Za decimalno vejico so signifikantne ničle, ki so zapisane za ciframi 1 – 9. Npr.: Število 24,54000 ima 7 signifikantnih mest. Enako velja za 24,00000, število 0,00024 pa ima 2 signifikantni mesti. Število 0,02400 ima 4 signifikantna mesta. V primerih števil, ki ne vsebujejo decimalne vejice, zaključijo pa se z eno ali več ničel, ni nedvoumno jasno, koliko signifikantnih mest imamo. Npr.: 4500 je bilo lahko izmerjeno točno s 5 signifikantnimi mesti in je vrednost le slučajno “okrogla”, lahko pa je bilo zaokroženo na “stotice” tudi zaradi “negotovosti” oz. “približnosti” meritve. Ta problem deloma rešujejo dogovori o zapisu z podčrtovanjem zadnjega signifikantnega mesta, z zapisom decimalne vejice na koncu celega števila itd. Ker pa nobeden o teh dogovorov ni splošno sprejet, ostaja najbolj nedvoumen “znanstveni zapis številke. Tako lahko zapišemo: • 4500 s tremi signifikantnimi mesti kot 4,50×103. • Namesto 0,00024 zapišemo 2,4×10-4, • namesto 24,54000 pa 2,454000×101. • Sam koncept “signifikantnih mest” je nujno povezan z zaokroževanjem. Pri zaokroževanju zadnje mesto, ki ga bomo še zapisali, pustimo enako, kadar je na naslednjem mestu vrednost 4 ali manj, za 1 pa ga povečamo, kadar je na naslednjem mestu vrednost 5 ali več. Kadar zaokrožujemo na eno decimalno mesto, torej velja: • 8,44 → 8,4 • 8,45 → 8,5 • 8,449 → 8,4 Pravilen zapis rezultata izračuna, za katerega smo kot podatke uporabili meritve, je zaokrožen tako, da so prikazana le vsa “signifikantna mesta”. Število signifikantnih mest določimo s pomočjo preprostih pravil in poznavanja točnosti meritev. Nepravilen prikaz rezultata s preveč signifikantnimi mesti je zavajajoč, ker nakazuje večjo točnost od dejanske. Prikaz rezultata s premalo signifikantnimi mesti pa ima za posledico izgubo točnosti, ki jo sicer naše meritve omogočajo. Število signifikantnih mest je pomembno le pri merjenih vrednostih, ne pa tudi pri vrednostih kot so matematične konstante (npr.: π, e...), konstante za pretvarjanje merskih enot (npr.: m → mm, mm Hg → Pa...), celoštevilne vrednosti (npr.: št. zateht, ki smo jih združili) in še v nekaterih primerih. Podobno ravnamo tudi v primerih, kot so volumni bučk in polnilnih pipet, Te imajo svojo natančnost označeno v obliki zapisa npr. 250 mL ± 0,1 mL pri 25 °C – odvisno od proizvajalca steklovine. Nelektorirano gradivo, osnutek.

1

Pri seštevanju in odštevanju rezultat zaokrožimo do položaja zadnjega signifikantnega mesta najmanj točne od meritev, ki jih seštevamo (oz. odštevamo). Tukaj torej ne velja samo pravilo podajanja natančnosti rezultata z najmanjšim številom veljavnih mest meritev, temveč tudi položaj teh veljavnih mest (desetinke, stotinke itn. Glej 2. primer spodaj). Če je npr. ena od meritev brez desetink, v rezultatu ne more biti desetink podanih v enaki enoti. Lahko si pomagamo tako, da meritve pišemo eno pod drugo s fiksnim položajem decimalne vejice in enic, desetic, stotic itn. Primeri • 3+2,1+1+3,06 = 9 (signifikantna mesta so omejena na cela števila) in • 13+2,1+11+3,06 = 29. Ne sme nas zavesti skupno število veljavnih mest v posamezni meritvi! Rezultat 29,2 bi bil napačen. • 3,0+2,1+1,0+3,06 = 9,2 (signifikantna mesta so omejena na desetino celega števila) • 31cm + 0,4m – 17cm = 0,5m Posebna previdnost je potrebna, kadar ne začnemo računa z enakimi enotami. • 3×101 + 2,2×101 = 5×101.

Pri množenju in deljenju zaokrožimo rezultat na enako število veljavnih mest, kot jih ima faktor z najmanjšim številom veljavnih mest. Npr.: • 7×7 = 5×101 • 7×7,0 = 5×101 • 6,12×6,12 = 37,5 oz. 3,75×101 in ne 37,4544, kar je sicer možno “naračunati”. • 3×0,7 = 2 • 6 / 2,0054 = 3 Signfikantna mesta so dejansko le grob zapis “negotovosti” oz. “možne napake”. Če si podrobneje ogledamo zgornji primer... Rezultat množenja 7×7 ali pa 7×7,0, kadar sta “7” in 7,0 meritvi, moramo zapisati kot 5×101. Zapis 49 je preveč natančen. Ker zapis meritve “7” predstavlja dejansko vrednost v intervalu 6,5 – 7,5, je naš rezultat nekje v intervalu 42,25 – 56,25. Tako celo zapis “5×101”, ki predstavlja vrednost v intervalu 45 – 55 deluje preveč natančno. Kadar ne uporabimo bolj pravilnega “znanstvenega načina zapisa” (5×101), se ne odločamo za zapis “50” (to bi pomenilo 5,0×101), ampak raje uporabimo (tudi napačen) zapis “49”. Seveda obstajajo tudi drugi načini računanja in predstavljanja “negotovosti” rezultata. PODAJANJE REZULTATOV Število veljavnih mest v rezultatu pokaže natančnost eksperimenta. Ta je lahko največ tolikšna, kolikršna je natančnost najmanj natančne relevantne meritve v tem eksperimentu. Po drugi strani pa pri računanju vmesnih rezultatov ne smemo zaokroževati, temveč moramo uporabljati največjo možno natančnost, kot nam jo omogoča računalnik ali kalkulator. Zato velja pravilo, da se v algebraični izraz vnesejo

Nelektorirano gradivo, osnutek.

2

številke (meritve z enotami) šele čisto na koncu izračuna in ne še pred izpeljavo končnega izraza. Pravilo: Pri meritvah obdržimo eno decimalno mesto (oz. sign. mesto) več, kot lahko natančno izmerimo ali razberemo, zaokrožimo pa le končni rezultat in mu dodamo predvideno ali izračunano natančnost oz. napako. [Brodnjak-Vončina,2006].

Primer 1: Izmerjene vrednosti: 10.09, 10.11, 10.09, 10.10, in 10.12 x = 10.102 - nezanesljivost na drugem decimalnem mestu. s = 0.0130 Rezultat: x = 10.10 ± 0.01 (n = 5) Primer 2:

50 mL merilni valj ima skalo z najmanjšim razdelkom 1 mL. Odčitamo lahko volumen na 1 mL natančno ter ocenimo na največ 0,1 mL natančno (1/10 najmanjšega razmaka na skali), včasih pa zaradi ukrivljenosti meniska ter histereze ne moremo oceniti natančneje kot 1/5 razmaka med najmanjšimi enotami. Odčitek je torej v prvem primeru (36,5 ± 0,1) mL oziroma v drugem primeru (36,5 ± 0,2) mL. Število veljavnih mest je 3. Viri [Brodnjak-Vončina,2006] Brodnjak-Vončina D. Analizna kemija 2, zbrano gradivo, Fakulteta za kemijo in kemijsko tehnologijo, Univerza v Mariboru, 2006.

Nelektorirano gradivo, osnutek.

3