Ft E Onde

Funzione periodica f(t+T)=f(t) funzione periodica di periodo T semplice esempio di funzione periodica: f(t)=a·sin(2π·t / T -φ) Il numero a si chiama ampiezza dell’oscillazione e rappresenta il massimo della funzione. L’argomento della funzione è detto fase, mentre il termine φ è detto spostamento di fase. La fase e lo spostamento di fase si misurano in gradi o in radianti. Il numero ω = 2π /T si chiama pulsazione dell’oscillazione ν=1/T è detta frequenza. Se la funzione descrive come varia una certa grandezza in funzione del tempo, la pulsazione e la frequenza si misurano in s-1 o Hertz (Hz). Se la funzione descrive come varia una certa grandezza in funzione dello spazio, l’unità di misura per pulsazione e frequenza è il reciproco di una lunghezza. In questo caso ν si dice anche frequenza spaziale e si dice che varia nello spazio reciproco.

Sviluppo in serie di Fourier Una qualsiasi funzione periodica può essere descritta come una somma di funzioni trigonometriche seno e coseno. f(t+T)=f(t) funzione periodica di periodo T

f(t)=a0+a1·cos(ωt) +a2·cos(2ωt) +a3·cos(3ωt) …+b1·sin(ωt)+ b2·sin(2ωt)+ b3·sin(3ωt)+… Esempi: l’onda quadra – l’onda a dente di sega.

2

Onda quadra con periodo 2e ampiezza 1

1

0

-1

-2

-2

-

0

+

+2

2

Prime 5 componenti di Fourier dell'onda quadra

1

0

-1

-2

-2

-

0

+

+2

2

Prime 5 componenti di Fourier dell'onda quadra e la somma risultante

1

0

-1

-2

-2

-

0

+

+2

2

Somma delle prime 5 componenti di Fourier dell'onda quadra

1

0

-1

-2

-2

-

0

+

+2

2

Serie di Fourier fino a m=9

1

0

-1

-2

-2 2

-

0

+

+2

+

+2

Serie di Fourier fino a m=49

1

0

-1

-2

-2

-

0

2

Onda a dente di sega con periodo 2 e ampiezza 1

1

0

-1

-2

-2

-

0

+

+2

2

Prime 5 componenti di Fourier dell'onda a dente di sega

1

0

-1

-2

-2

-

0

+

+2

2

Prime 5 componenti di Fourier dell'onda a dente di sega e la somma risultante

1

0

-1

-2

-2

-

0

+

+2

2

Somma delle prime 5 componenti di Fourier dell'onda a dente di sega

1

0

-1

-2

-2

-

0

+

+2

2

Serie di Fourier fino a m=5

1

0

-1

-2

-2 2

-

0

+

+2

+

+2

Serie di Fourier fino a m=50

1

0

-1

-2

-2

-

0

f(t)=a0+a1·cos(ωt) +a2·cos(2ωt) +a3·cos(3ωt) …+b1·sin(ωt)+ b2·sin(2ωt)+ b3·sin(3ωt)+…

Determinazione dei coefficienti di Fourier relativi alla funzione f(t), di periodo T e frequenza ν=1/T T/2

∫

am=(2/T) f(t) cos(2πνmt)dt -T/2

∫

T/2

bm=(2/T) f(t) sin(2πνmt)dt -T/2 Onda quadra:

Onda a dente di sega:

am=0

am=0

bm =

bm =

{

0 se m pari

{

2/(πm) se m pari

4/(πm) se m dispari

−2/(πm) se m dispari

Coefficiente di Fourier

Onda quadra

1

0 -10

0

10

20

30

40

50

60

40

50

60

 Onda a dente di sega

Coefficiente di Fourier

0.5

0.0

-0.5

-10

0

10

20

30

