Francis Colmenarez

ACTIVIDAD VIRTUAL 1) Halle el dominio de la funcion vectorial t −1,

a) r(t)= t 2 ,

b)=r(t)= ln ti + 1)

5 −2

t j +e −t k t-1

Gran parte del calculo de las funciones reales coordinarías se aplica a las funciones vectoriales. Para comenzar, el dominio de una función vectorial. r = f , g , h se define como sigue:

Domr (t ) = Domf (t ), Domg (t ), Domh(t )

a ) r (t ) = t 2 , t − 1, 5 − t

Solución: f (t ) = t 2 ⇒ Domf (t ) = ¡ x = ( −∞, +∞ )

g (t ) = t − 1 ⇒ Domg (t ) ∈ ¡ y ⇔ t − 1 ≥ 0; t ≥ 1 Domg (t ) = [ 1, +∞ )

h(t ) = 5 − t ⇒ Domf (t ) ∈ ¡ y ⇔ 5 − t ≥ 0; t ≤ 5 Domh(t ) = ( −∞,5] b) r (t ) = ln ti +

t j + e−t k t −1

Solución:

x = f (t ) = ln t → Domx = Domf (t ) Existe si y solo si t f 0 domf (t ) = ( 0, +∞ ) t → Domy = Domg (t ) Existe si y solo si t-1 ≠ 0 t-1=0;t=1 t −1 Domg(t)=¡ - { 1} = ( −∞,1) ∪ ( 1, +∞ ) y = g (t ) =

z = h(t ) = e − t ⇒ Domh(t ) = ¡ = ( −∞, +∞ ) 2) Halle los siguientes limites. a) lim

t→ 0

b)

et − 1 , t

1+ t 3 , t 1+ t

t − 1  t  1 lim e − i+ j + tan − (t ) k  t + 1  

t→ +∞

a ) lim t →0

et − 1 1 + t 3 , , t t 1+ t

= lim t →0

et − 1 1+ t 3 , lim , lim t →0 t →0 1 + t t t

Solución:  et − 1   1+ t =  lim  i +  lim t →0 t → 0 t   t 

 3    j +  lim k t →0 1 + t   

et − 1 e 0 − 1 1 − 1 0 = = = Aplicando la regla de L´Hopítal tenemos: t →0 t 0 0 0 t ( e − 1) ´ = lim et = lim et = e0 = 1 et − 1 lim = lim t →0 t →0 t ( t ) ´ t →0 1 t →0 lim

1+ t 1+ 0 1 = = = +∞ Aplicando la regla de L´Hopítal tenemos: t →0 t 0 0 1 1 + t ´ 1 1 1+ t 1 = = lim = lim = lim 2 1 + t = lim t →0 t →0 t →0 t →0 2 1 + t 1 2 1+ 0 2 t ( t )´ 1 lim

(

3 3 3 = = =3 t →0 1 + t 1+ 0 1

lim

)

1i +

1 j + 3k 2

t −1   b) lim  e − t i + j + tan −1 (t )k  t →0 t +1  

Solución: = e0i +

0 −1 j + tan −1 (0)k = 1i − 1 j + 0k 0 +1

3) Trace la curva con la ecuacion vectorial dada indique con una flecha la direccion en que aumenta t a) r (t ) = sent , 3, cos t b) r(t)=t 2i + t 4 j + t 6 k

a) r (t ) = sent ,3, cos t

Solución: Dadas las Ecuaciones parametricas:  x(t)......(1)   y(t)......(2)  z(t)......(3) 

como t ∈ [ 0,2π ]

Podemos eliminar parametro t procediendo a elevar al cuadrado las ecuaciones (1),(2) y (3) sumando miembro a miembro y usando la identidad: sen 2α + cos 2 α = 1  x 2 = sen 2t  asi  y 2 = 9  z 2 = cos 2 t 

de donde x 2 + y 2 + z 2 = sen 2t + 9 + cos 2 t x 2 + y 2 + z 2 = 9 Es decir obtenemos la ecuacon de una de centro en el origen y radio 3 x2 + y2 + z2 = r 2

b) r(t)=ti + t 4 j + t 6 k

Solución: Vamos obtener la ecuacion de la curva descrita por la funcion vectorial r: ( -∞,+∞ ] → ¡

3

definida por:

r(t)=ti + t 4 j + t 6 k luego se tiene que  x=x(t)=t 2  4  y = y (t ) = t  z = z (t ) = t 6 

m.c.m ( 2, 4, 6 ) = 12 de donde x 6 = (t 2 )6 = t 12 y3 = ( t 4 ) = t 12 3

z 2 = ( t 6 ) = t12 2

Y en consecuencias tenemos que= t12 = t12 = t12 x 6 = y 3 = z 2 Es la ecuacion buscada

4) Trace la grafica de la curva con ecuaciones parametricas x= ( 1 + cos16t ) cos t

y = ( 1 + cos16t ) sent

z = 1 + cos16t

Explique que el aspecto de la grafica al mostrar que se encuentre en un cono. Solución: de donde: x = cos t 1 + cos16t y = sent 1 + cos16t z =1 1 + cos16t Luego se obtiene que: x2

( 1 + cos16t )

2

= cos 2 t

2

= sen 2t

2

=1

y2

( 1 + cos16t ) z2

( 1 + cos16t )

En consecuencia, si sumamos (1),(2) y (3) se tiene: x2

( 1 + cos16t ) =

2

x +y +z 2

2

+ 2

( 1 + cos16t )

2

y2

( 1 + cos16t )

2

+

z2

( 1 + cos16t )

2

= cos 2 t + sen 2t + 1

=2

x 2 + y 2 + z 2 = 2 ( 1 + cos16t ) Ecuacion de la curva. 2

Emprendedora: Francis Colmenarez CI 19818222 ING CIVIL 2 Profesor: Deibys B.