Fractales[1]

FRACTALES, UNA BELLEZA INFINITA

JORGE ANDRES DUSSAN PASCUAS COD. 2002100329

Al profesor: ALHIM ADONAHI VERA

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA FACULTAD DE EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS NEIVA – HUILA 2006

JUSTIFICACIÓN

La idea central de ésta experiencia consiste en mostrar a estudiantes y a personas interesadas que no necesariamente estudien o trabajen a fin con el tema pero que en un determinado momento puede lograr muy buenas aplicaciones con los fractales y por que no, por lo menos verse fascinado con las hermosas representaciones graficas realizadas a computador. A un artista esto podría ser la solución a sus problemas, pude ser una gran fuente de inspiración, mas aun si su estilo es abstracto. Un estudiante de ingeniería o ingeniero podría verse gravemente afectado, ya que su estudio radica en procesos matemáticos complejos, como el movimiento de una partícula. A un programador esta puede ser una importante alternativa para desarrollar alternativas que permitan lograr nuevos programas compresores y por que no programas para graficar fractales. Para un maestro esta podría ser una manera bastante interesante de motivar a sus estudiantes. Y también podemos lograr encontrar aprendizajes significativos a partir de la premisa de que las matemáticas están en todas partes, desarrollar habilidades de pensamiento que permitan lograr altos niveles de conceptualización. Y una ama de casa moderna no estaría interesada en decorar su casa con una de sus imágenes, bueno en fin, son muchas las maneras como le puede interesar a las personas esta novedad matemática ya sea por su aplicación y/o belleza visual. Además de esto debemos reflexionar, que pensar matemáticamente se ha considerado siempre como una acción intelectual de las más fecundas que puede llegar a lograr el ser humano, y que aprender a hacer matemáticas o razonar de manera lógico matemática es considerado un signo de ¡verdadera inteligencia!, (es por ello que quien hace matemáticas es mirado y admirado de manera diferente) aún persiste la idea ingenua de que esta es una actividad a la cual no es fácil acceder y por eso debemos concientizar a nuestros estudiantes del amor que le merece los conocimientos transmitidos por el maestro.

INTRODUCCION

GEOMETRIA FRACTAL, UNA BELLEZA INFINITA Estamos condicionados en nuestra enseñanza que tal tema nos parece salido de contexto, nos familiarizamos tanto con la geometría de Euclides, la que nos enseñaron en el colegio y que aun enseñan, con algunas deficiencias pero se enseña. Que sucede entonces con los otros modelos matemáticos como la geometría Rietmeniana o de Lovasheski y por que no, la geometría fractal, acaso no son igualmente importantes, quizás mucho mas de los que nosotros pensamos. La geometría fractal a adquirido un alcance increíble y su importancia radica en que no todos los objetos que nos rodean tiene una forma rectilínea, fácil de describir con la geometría Euclidiana, que sucede entonces con figuras tan irregulares como son las piedras, las costas, nubes y por el estilo una infinidad de cosas. Pero algo mucho más interesante que describir con una geometría figuras irregulares, es observar su belleza y complejidad en las formas mismas. ¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo <> y <<seco>>? Una de las razones es su incapacidad de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni la corteza es suave, ni tampoco el rayo es rectilíneo. (1) A comienzos de nuestro siglo surgió de modo natural la necesidad de explorar la estructura geométrica de conjuntos de puntos de la recta que, aunque insignificantes en cierto sentido, poseían sorprendentes propiedades geométricas, aritméticas y analíticas. En un principio fueron considerados como monstruos, pero a medida que se fueron encontrando procedimientos eficaces para distinguirlos, medirlos y estudiarlos desde diferentes puntos de vista, los matemáticos se fueron percatando de sus semejanzas con procesos y formas de la naturaleza misma y de otros objetos de diferentes campos de la ciencia.

OBJETIVOS

GENERAL Enseñar en las escuelas y universidades de una manera básica la geometría que nos enseña la naturaleza, la geometría fractal.

ESPECIFÍCOS ♣ Incentivar a los docentes y futuros maestros a buscar medios que faciliten el aprendizaje de la matemática. ♣ Mostrar la importancia que tiene la geometría fractal. ♣ Aprender a manejar el programa Fractin con interfaz de Windows. ♣ Graficar y crear sus propios fractales en WINFRACT. ♣ Mostrar que el estudio de las matemáticas y enfáticamente el aprendizaje de otras geometrías igualmente importantes.

EL PROBLEMA

El conocimiento es una rama muy grande sin embargo no nos damos cuenta de ello, nos limitamos a aprender única y exclusivamente lo que nos concierne en muestro trabajo diario o a estudiar lo que tenemos que estudiar, por cumplir con un itinerario de obligaciones. Nos quedamos cortos en esto, y la sociedad cada día exige tener un conocimiento integral. Creo que la geometría fractal Tiene que ganarse un espacio en la vida de todos y darle un grado de importancia. Hasta hoy hemos sido condicionados en nuestra enseñanza que los fractales nos parece salido de contexto y muy complicado, nos familiarizamos tanto con la geometría de Euclides, la que nos enseñaron en el colegio. Que sucede entonces con los otros modelos matemáticos como la geometría Rietmeniana o de Lovasheski y por que no, la geometría fractal, acaso no son igualmente importantes, quizás mucho mas de los que nosotros pensamos. La geometría fractal a adquirido un alcance increíble y su importancia radica en que no todos los objetos que nos rodean tiene una forma rectilínea, fácil de describir con la geometría Euclidiana, que sucede entonces con figuras tan irregulares como son las piedras, las costas, nubes y por el estilo una infinidad de cosas. Pero algo mucho más interesante que describir con una geometría figuras irregulares, es observar su belleza y complejidad en las formas mismas.

ANTESEDENTES HISTORICOS Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el francés Henri Poincaré. Sus ideas fueron extendidas más tarde fundamentalmente por dos matemáticos también franceses, Gastón Julia y Pierre Fatou, hacia 1918. Se trabajó mucho en este campo durante varios años, pero el estudio quedó congelado en los años ’20. El estudio fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. El Dr. Mandelbrot, de la Universidad de Yale, con sus experimentos de computadora, es considerado como el padre de la geometría fractal. En honor a él, uno de los conjuntos que él investigó fue nombrado en su nombre. Otros matemáticos, como Douady, Hubbard y Sullivan trabajaron también en esta área explorando más las matemáticas que sus aplicaciones.

B. Mandelbrot Gastón Julia Maldelbrot tratando de hacer un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas, encontró, mientras realizaba dichos estudios, un patrón en su comportamiento y por lo tanto comenzó a descifrar una estructura escondida. Algo así como jerarquías de fluctuaciones en todas las escalas. Lo que sí es cierto es que esas fluctuaciones no podían ser descriptas por la matemática estadística que existía. Mientras seguía adelante con sus tareas empezó a imaginar en que otros sistemas podrían encontrar patrones similares que no puedan ser descritos con exactitud por la matemática existente y que se comportaran de igual manera. Su visión lo llevó a hacerse una pregunta que para la mayoría de nosotros puede resultar obvia y hasta para muchos otros ser trivial, o en el mejor de los casos sin sentido. Su famosa pregunta fue: ¿Cuánto mide realmente la costa de Inglaterra? Pues bien, cualquiera que tome un libro de geografía o un mapa va a poder contestar esto sin ningún tipo de problema. Imaginemos que el dato que encontramos es de 2.000 kilómetros (no conozco el valor real). Ahora bien, esos 2.000 KM., ¿de donde provienen? ¿Cómo se midieron? Para contestar esto voy a exponer tres situaciones diferentes, con distintos puntos de vista: 1) Si medimos las costas de Inglaterra desde un satélite, vamos a ver que sus bordes son suaves, armónicos, con líneas casi rectas y ángulos prácticamente redondeados. 2) Probemos ahora medir la misma distancia, pero desde un avión que vuela mucho más bajo que el satélite. ¿Qué pasa en este caso? Ahora que vemos las cosas con más detalle por estar más próximos, nos damos cuenta que los bordes no eran en realidad tan suaves como se había observado anteriormente, sino que notamos muchas más rugosidades. 3) Imaginemos por último un tercer punto de partida, algo extremista, pero vale. Esta vez no estamos ni en un satélite, ni en el avión; esta vez nos encontramos parados sobre la misma costa de Inglaterra con una regla como la que usábamos en la escuela, y nos ponemos a medir roca por roca, rugosidad por rugosidad, detalle por detalle. ¿Cuál creen que será el resultado de las distintas mediciones? ¿Siempre habrá arrojado el mismo resultado? ¿Si fue variando, cuál habrá sido el de mayor extensión?

La realidad y la geometría tradicional nos muestra que una figura con bordes rectos o redondeados tiene una longitud menor que otra equivalente pero llena de rugosidades. Volvamos al caso de la costa de Inglaterra y la pregunta de Mandelbrot. Si acabamos de decir que una longitud sin rigurosidades es menos extensa que una totalmente irregular, entonces podemos asegurar que los resultados de las 3 mediciones serán en todos los casos diferentes, y el de mayor extensión será el tercer caso, ya que es en el cual nos topamos con más detalles. En realidad el resultado de este último caso se acercaría a infinito en el marco teórico. ¿De qué dependerán nuestras mediciones, entonces? Justamente de la escala que utilicemos para medirlas, y no es para nada una casualidad que estas deducciones se desprendan de los mismos patrones que encontró Mandelbrot en sus estudios sobre flujo electrónico”. Esas escalas como Mandelbrot reconoció poseían un patrón, y ese patrón las relacionaba diciendo que si bien no eran iguales a diferentes escalas, si lo eran de manera estadísticamente similar, y ésta es una de las características principales de los fractales. Diferencias fundamentales entre la Geometría Euclídea y la Fractal Euclídea

Fractal

Tradicional (más de 2000 años)

Moderna (aprox. 10 años)

Dimensión entera

Dimensión fractal

Trata objetos hechos por el hombre Apropiada para formas naturales Descripta por fórmulas

Algoritmo recursivo (iteración)

¿QUE SON EN SI LOS FRACTALES? Empecemos por darle un significado etimológico a la palabra fractal. Tal parece que el matemático francés Benoit Mandelbrot acuñó la palabra fractal en la década de los ’70, derivándola del adjetivo latín fractus. El correspondiente verbo latino: frangere, significa romper, crear fragmentos irregulares, como también significa “irregular” termino que también nos sirve de perlas para lo que son los fractales. Ahora bien, cuando se toma algún libro de fractales, nos podemos encontrar con diversos enunciados. Más que un problema de definición es un problema de abstracción y por eso he tratado de dar varias definiciones para lograr una definición cercana, pues no es fácil, se dice que ni el mismo Mandelbrot estaba muy conforme con su propia definición. 1. Los Fractales son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoría del Caos. 2. La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza”. 3. La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto, quebrado. 4. La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos. Las seis definiciones anteriores son correctas, como nos podemos dar cuenta son de diferentes estilos, algunos técnicos otros menos y esto se debe a las diversas aplicaciones que tiene, un

programador define Fractales acomodado a su uso, diferente al de un músico o un diseñador gráfica, pero nunca pierden su sentido final. Quizás la mas interesante y/o curiosa es la segunda “geometría de la naturaleza” sencillamente lo voy ha explicar con imágenes.

A continuación se dará una definición más rigurosa: “La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como características fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados por dimensiones fraccionarias.”. Existen muchas estructuras matemáticas que son fractales: el triángulo de Sierspinski, la curva de Koch, el conjunto Mandelbrot, los conjuntos Julia, y muchas otras. Es importante reconocer que los fractales verdaderos son una idealización. Ninguna curva en el mundo real es un fractal verdadero; los objetos reales son producidos por procesos que actúan sólo sobre un rango de escalas finitas. En otras palabras, los objetos reales no tienen la infinita cantidad de detalles que los fractales ofrecen con un cierto grado de magnificación. Pero la naturaleza si es una pequeña significación de lo que es un fractal. Los Fractales tienen dos características fundamentales, ellas son: 1) Autosimilitud y 2) Dimensión Fractal Autosimilitud se define como la característica que presentan determinados objetos en los cuales los detalles más pequeños que lo componen tienen alguna relación estadística con sus propiedades globales, repitiéndose tales detalles de una manera infinita. Comencemos ahora con otras cuatro propiedades que se encuentran ocultas en esa definición: Existen dos tipos bien definidos de fractales. Los LINEALES y los NO LINEALES. Es seguro que intuitivamente y con las imágenes que hayan visto con anterioridad en diferentes galerías los podrían reconocer sin problema. Los fractales lineales se generan a través de algoritmos conocidos por la matemática euclídea, el Conjunto de Mandelbrot se genera a través de números complejos, y tiene una dificultad mucho mayor. Igualmente ahora les voy a contar sus diferencias y a dar ejemplos, muchos de ellos ya conocidos por ustedes. Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio en la variación de sus escalas. Esto implica algo muy importante, los fractales lineales son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito

Conjunto de Cantor

Curva de Koch

Triangulo de Sierpinski

En cualquiera de las tres imágenes anteriores cuando uno comienza a “sumergirse” dentro de esos objetos siempre va a encontrar exactamente la misma estructura, sin distorsiones, solo cambiará su escala. (comparar con las distorsiones sufridas a diferente escala en el Conjunto de Mandelbrot visto anteriormente. En la primera, por ejemplo, siempre encontraremos una línea recta, en el tercero siempre un triángulo a diferentes escalas, y en la segunda una estructura como muestra esta imagen:

Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir de distorsiones complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un término proveniente de la matemática Caótica, distorsiones no lineales. La mayoría de los objetos fractales puramente matemáticos y naturales son no lineales. Ejemplos de ellos son: el súper conocido por todos nosotros Conjunto de Mandelbrot .

De esta última propiedad que hemos visto, podemos sacar una conclusión sumamente importante, y a la que hay que prestarle un puco de atención. Los Fractales pueden ser generados a partir de elementos de la matemática tradicional (fractales lineales), o a través de números complejos. Dimensión Fractal La noción de dimensión fractal (fraccional) provee una manera de medir qué tan rugosa es una curva. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. A esta idea de dimensión se lo llama dimensión topológica. Sin embargo, una curva rugosa que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra. Superficies como el follaje de un árbol o el interior de un pulmón pueden efectivamente ser tridimensionales. Podemos, entonces, pensar de la rugosidad como un incremento en la dimensión: una curva rugosa tiene una dimensión entre 1 y 2, y una superficie rugosa la tiene entre 2 y 3. ¿Puede existir una Dimensión Fraccional? Para calcular la dimensión de un fractal se usan los conceptos de límite, logaritmo, escalas y medidas. En el cálculo de la dimensión de fractales muy complejos como el conjunto Mandelbrot se

usan computadoras, pero para fractales más simples se usan fórmulas matemáticas, una muy común es la de Hausdorff-Besicovitch, pero hay varios métodos. Damos aquí un ejemplo simple: el cálculo de la dimensión del triángulo de Sierpinski, utilizando un método llamado similitud por duplicación. Si tomamos un segmento de longitud 1 y lo duplicamos tendremos dos segmentos iguales al original. Si duplicamos los lados de un cuadrado de lado 1 tendremos 4 cuadrados iguales al original.

Tomamos ahora un cubo de largo, alto y ancho 1 y duplicamos todas sus medidas. Tenemos ahora 8 cubos iguales al original.

Disponemos estos datos en una tabla: Figura

Dimensión

No. Copias

Línea

1

2 = 21

Cuadrado

2

4 = 22

Cubo

3

8 = 23

d

n = 2d

Similitud duplicar

al

de

Se nota ahora que al duplicar los lados de una figura el número de figuras iguales a la

original es igual a 2 elevado a un número que es igual a la dimensión de la figura. F número de figuras iguales a la original(copias). D dimensión de la figura. La fórmula es: F = 2D Al aplicar el logaritmo a ambos lados de la igualdad: log F = log 2D log F = D—log 2 Luego, D = log F/log 2 Se puede usar esta fórmula para encontrar la dimensión fractal del Triángulo de Sierpinski puesto que al duplicar la longitud de los lados, se obtiene otro triángulo de Sierpinski semejante al primero, que contiene a su vez a 3 triángulos de la misma escala que el primero; por lo tanto, F = 3.

Usando nuestra fórmula: D = (log 3)/(log 2) = 1,58496 y los decimales siguen, pero el número no es periódico. Vemos así que el número es fraccionario, siendo este número su dimensión fraccionaria o fractal; aunque su dimensión topológica sigue siendo 2. Al calcular la dimensión fractal de un objeto real los resultados pueden variar bastante de acuerdo a las escalas usadas para medirlo y al método de cálculo.

DONDE SE APLICAN LOS FRACTALES

Música Realmente se habla de música fractal, una aplicabilidad reciente, pero mas que aplicación de lo que se trata es de encontrar en los fractales notas musicales. ¿Como? Sabemos que un fractal es la iteración de una expresión algebraica simple. Si a cada punto asociamos una nota musical, obtendremos lo que conocemos como Música Fractal. Ahora piense un poco. Podemos decir que existe un patrón de puntos congruentes entre sí que generan el fractal, a los que, por estar determinados, podemos asociarles notas musicales determinadas. Pero si un fractal es "infinito" en puntos, ¿entonces la melodía es infinita? Pues sí. En el Arte Por increíble que pueda parecer o por el contrario, obvio, los Fractales tienen también sus aplicaciones dentro del Arte. Diría yo que es una de las aplicaciones más interesantes, claro que no es tanto así como una aplicación, es la belleza del gráfico de estos cuerpos matemáticos. La mayoría de los fractales, una vez representados y asociados con algunos colores, arrojan formas muy hermosas y de nuevos colores. Como dice Mandelbrot, la plástica se explica por si misma. Esta es una de las aplicaciones más "eterea" Eso, porque no se utilizan los fractales en su forma más "matemática". Tampoco se pintan los fractales. Sino que se utilizan los conceptos de orden y caos que van ligados con éstos para la localización de los elementos en la obra. En las Ciencias de la Computación Dentro de las aplicaciones que se dan a los Fractales, las que se presentan en la Computación son verdaderamente impresionantes, creativas y sobre todo muy importante, permiten el desarrollo de muchas cosas distintas (técnicas) y se considera pionera en el campo de sus aplicaciones. La aplicación más común, es la de la Transformación Fractal, proceso que se utiliza en el tratamiento de imágenes para reducir su espacio "físico" (o peso en bytes) mediante esta técnica, es decir, se utilizan en programas como winzip y winrar muy comunes en los ordenadores. La primera vez (o mejor dicho, la primera "conocida" vez, ya que se hacía desde antes) que el público pudo observar esta forma de utilización del proceso fractal fue en las imágenes incluidas en la Enciclopedia Multimedia Encarta. Aunque ahora esto se aprecia de manera muy común y no sólo en imágenes estáticas, sino que en complejas animaciones de videojuegos y también en algunas cintas de cine muy populares (especialmente de ciencia ficción). Imagínese que tiene una fotografía o dibujo cualquiera en la pantalla de su computador. Como habrá de saber, cada imagen o fotografía se representa en la pantalla mediante pixels o "puntos" que unidos todos y en determinados colores, forman la imagen. Pues bien. Se habla muchas veces de "resoluciones de pantallas", que son números bastante conocidos, especialmente si usted navega mucho por Internet. Estas resoluciones de pantallas son la "capacidad" de pixels que puede mostrar simultaneamente el monitor de su computador. Entonces, mientras más pixels sea capaz de mostrar su PC, mayor será la "resolución de imagen" de la foto o dibujo que este observando.

Por ejemplo, una alta resolución de píxel nos permitirá ver la primera imagen. Por el contrario, una baja resolución de píxel nos permitirá ver una imagen como la que está al lado derecho (que es bastante confusa e inentendible por lo demás). Pero notemos algo importante: informáticamente, es decir, si medimos en "bytes", la primera imagen "pesa" (o contiene mayor cantidad de información) que la segunda. He aquí la primera diferencia importante del proceso. Como sabemos, los Fractales se forman por una "repetición" de una imagen geométrica (ésto según nuestra definición "simple y errada" del concepto). Entonces, notaremos que, sea como sea, un píxel sigue siendo un píxel bajo cualquier circunstancia dentro del mundo de nuestro computador. La técnica de compresión, en este caso, es una que toma como patrón geométrico el píxel y toma esa gran cantidad de píxel para convertirlos en uno sólo muy especial que va acompañado por una expresión matemática que el ordenador interpretará cuando abra la imagen para que ese píxel especial pueda distribuir los demás píxel en torno a la pantalla para dar forma a la imagen. En la Geografía La primera de las aplicaciones que hoy en día se dan a los fractales es en el cálculo más cercano o acertado de distancias. Esto, para determinar las verdaderas distancias que separan costas de continentes y cosas por el estilo. Además, se ha usado mucho lo que son las curvas de Koch para efectos similares al que mencionamos, y que usted puede revisar en el siguiente artículo que hace referencia a ello. Esto presenta un interesante problema, ya que ud. podría pensar "¿que importancia tiene calcular mejor una distancia?". Pues en asuntos como la exploración espacial, por ejemplo, errar un "pequeño" cálculo, a escalas diferentes, puede significar millones y millones de kilómetros de "error" lo que puede incurrir en serios problemas. Quizá la forma más útil de aplicar los fractales en la geografía es la elaboración de mapas en tres dimensiones muy detallados (y elaborados, por lo demás) que permiten entregar una imagen 99.9% real en comparación de la forma de nuestro planeta y su geomorfología. Como hemos dicho muy a menudo en otros artículos, los fractales se relacionan mucho con la forma, la textura y similares. CONJUNTO DE CANTOR El conjunto de Cantor fue publicado por George Cantor en 1883, como ejemplo de ciertos conjuntos excepcionales. Se puede decir que este conjunto va a ser el más importante entre los primeros fractales. El conjunto de Cantor, un subconjunto de puntos del intervalo [0,1] que se construye a partir de un proceso infinito. Partimos del intervalo unidad I0 y le quitamos el intervalo abierto central de longitud 1/3, quedándonos los intervalos I11= [0,1/3] y I21 = [2/3,1]. A cada uno de estos nuevos intervalos le

quitamos a su vez el intervalo abierto central que ahora tendrá longitud 1/9, obteniendo cuatro intervalos I12, I22, I32, I42 de longitud 1/9. Así sucesivamente en el paso n-ésimo tendremos 2n intervalos I1n, ..., Inn de longitud 1/3n. El conjunto de Cantor se define como el conjunto que nos queda después de este proceso infinito de eliminación de intervalos abiertos centrales. 0

1

1

1/3 1/9

I= [0,1]

1/3 1/9

1/9

1/9

Tres primeras etapas de la construcción del conjunto de Cantor El conjunto ternario de Cantor es no vacío, como se puede comprobar al observar que los extremos de cada uno de los intervalos cerrados que aparecen en su construcción nunca se van a eliminar por este proceso infinito. Es un conjunto compacto por ser cerrado (complementario de un abierto) y acotado. Además tiene la propiedad de ser auto-semejante, ya que el conjunto total es igual que las dos partes de conjunto de Cantor que hay en I11 y en I21, con escala 1/3. CONJUNTO DE CANTOR EN EL PLANO Mediante un proceso similar al anterior se construye un conjunto de Cantor en el plano. Para ello se parte del cuadrado unidad Q0 = [0,1] x [0,1], y en el primer paso, nos quedamos con los cuatro cuadrados cerrados {Qi1}4i=1, contenidos en Q0 de lado ¼ y que contienen a sus vértices como se puede apreciar en la figura 2.2. En el paso 2 se repite el proceso anterior a escala ¼ sobre cada uno de los cuadrados obtenidos y se llega a tener 42 cuadrados cerrados de lado 1/16 y así sucesivamente, en el paso k se tendrá 4k cuadrados cerrados de lado 4-k cada uno de ellos.

Conjunto de Cantor en el plano EL CONJUNTO DE MANDELBROT El conjunto de Mandelbrot es, sin duda, uno de los más bellos y famosos de toda la matemática y su estudio está íntimamente relacionado con la teoría de los fractales. La razón de este éxito estriba en la sencilla definición de dicho conjunto que permite, con la ayuda de un facilísimo programa de ordenador, explorar este enigmático ente matemático.

Para definir este conjunto, debemos trabajar en el plano complejo y hacer uso de un proceso iterativo: se parte de la expresión fc(z) = z2 + c, donde z y c son números complejos, pero z es una variable (puede tomar distintos valores) y c es un número complejo. El conjunto de Mandelbrot se define como el conjunto de los números complejos “c” para los que el conjunto de Julia asociado a fc es conexo.

Representación conjunto de Mandelbrot ITERACIONES El conjunto de Mandelbrot es generado por iteraciones. Iteración significa repetir un proceso varias veces. En matemática este proceso es casi siempre la aplicación de una función. Para el conjunto de Mandelbrot, la función involucrada es la función no-lineal más simple de imaginar, z2 + c, donde c es una constante. Veremos más tarde el valor exacto de c. Para iterar z2 + c, comenzamos con lo que llamaremos una semilla para la iteración. Esta semilla es un número (real o complejo) que representaremos por z0. Aplicando la función z2 + c a z0 obtenemos un nuevo número: z1 = z0 2 + c Ahora, iteraremos usando el resultado del cálculo anterior para el cálculo siguiente: z 3 = z2 2 + c z 4 = z3 2 + c z5 = z42 + c z2 = z1 2 + c Y así sucesivamente. La lista de números z0, z1, z2,... generada por esta iteración se denomina órbita de z0 bajo la iteración de z2 + c.

ALGORITMO DE TIEMPO DE ESCAPE Para obtener computacionalmente imágenes del conjunto de Mandelbrot, se considera un número k0, del orden de 100, y para cada c de la ventana que vamos a dibujar computamos términos de la sucesión fck(0). Si los k0 primeros términos verifican todos que | fck(0)|<2 se decide que c pertenece al conjunto de Mandelbrot y se pinta en negro. Si por el contrario, existe k≤k0 con |fck(0)|>2 se interrumpe la computación para ese c y se determina que c está fuera del conjunto de Mandelbrot. Si a cada nº K entre 0 y k0 se le asigna un color y se representa cada número c en el color que corresponde al primer k tal que | fck(0)|>2, es decir, el momento en el que se escapa de la zona acotada, se obtienen las típicas imágenes del conjunto de Mandelbrot. CONJUNTO DE JULIA Los conjuntos de Julia son muy fáciles de generar mediante un proceso iterativo en el plano complejo, estos estarán íntimamente relacionados con el conjunto de Mandelbrot.

Consideremos la transformación del plano complejo C en sí mismo dada por fc(z)=z2+c donde c es un nº complejo. Si z es suficientemente grande, la órbita de z diverge a ∞. La frontera de la región de atracción de ∞ es el conjunto de Julia J(fc) de fc. Se puede demostrar que J(fc) es la frontera común de todas las regiones de atracción de todos los puntos fijos o ciclos atractivos. El conjunto de Julia de fc(z) para cada c, es la frontera del conjunto de puntos que al iterar la función no se van a infinito, es decir J(fc)= Font {z Є С, fctiende a ∞} El conjunto de Mandelbort se define a partir de los conjuntos de Julia de la función fc(z)=z2+c donde c es un nº complejo. En la siguiente figura se muestran algunos conjuntos de Julia para esta función.

Conjuntos de Julia

GRAFICA TU PROPIO FRACTAL Hasta ahora existen algunos programas para graficar fractales, incluso hay quienes se les pude escribir la formula y el se lo grafica, por supuesto a veces no es tan fácil ya que para que el programa desarrolle toda su potencialidad se le deben agregar algunos parámetros que hacen que el fractal al ser graficado no se acorrale. Sin embargo uno de los más importantes programas para estas graficas es el FRACTINT, que se encuentra en dos versiones, una bajo D.O.S. y la otra bajo la interfaz grafica de Windows. La última es sobre la que voy a hablar de ahora en adelante, dándoles una idea de cómo es su manejo, para que pueda graficar su propio fractal, y por que no bautizarlo con tu propio nombre, así como el Julia, Cantor; Maldelbrot… Este programa lo encuentran en el siguiente link de Internet. http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html o si no en este otro http://www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/index.html o http://www.freedownloadscenter.com/Multimedia_and_Graphics/Graphics_Editors/Fractal_Explorer_ Download.html En donde podrá también encontrar algunas ayudas al respecto, pero en ingles, tienes que traducirlos. Pero en últimas no es tan difícil entenderlo. Si tiene dificultades para bajar el programa puede escribirme al correo [email protected] y con gusto se los proporcionare, a demás de enviarles otros programas que también son interesantes, dudas o preguntas también se las puedo resolver en el correo. El archivo se encuentra en formato .Zip tienes que descomprimirlo en una carpeta creada exclusivamente para este programa, puedes darle cualquier nombre a la carpeta. Allí se van a

encontrar una serie de archivos, el programa ejecutable se llama WINFRAC, fácilmente identificable por su dibujo del conjunto de Mandelbrot... Ahora lo que sigue es abrir el programa que tiene una interfaz como la siguiente.

Allí aparece como predeterminado el conjunto de Maldelbrot en un tamaño pequeño, luego lo primero que vamos ha hacer es configurar la ventana para que la grafica se vea mas grande. En la barra de menú seleccionamos View ►Image Settings y le damos la resolución de acuerdo a la su monitor. Posteriormente podemos cargar algunos ejemplos que vienen en el programa, en el menú Fractals ►Fractal Formula podemos elegir uno cualquiera y mostarlo.

Para poder detallar un poco más algunas de las regiones de la grafica, enmarcamos la región a detallar con clik izquierdo sostenido y luego damos doble clic sobre el recuadro.

Ya esta es la imagen con zoom, podemos repetir el proceso cuantas veces se nos antoje.

Ahora bien si lo que queremos es modificar este fractal basta con cambiar algunos parámetros. Vamos hasta la barra de menú y clikeamos Fractals en la opción Fractal Params modificams lo que queramos y nos preparamos par ver hermosas graficas fractales

Lo mismo podemos hacer con los otros parámetros que aparecen en el anterior menú, podemos lograr cosas asombrosas y son de nuestra autoría, tal vez ninguno no lo reconozca pero nos queda la satisfacción.

Buena suerte con esta programa, de veras es muy interesante manejarlo.

Jorge Andrés Dussan Pascuas

BIBLIOGRAFIA

♣ MONTEALEGRE, Mauro. CARDENAS, POLANIA Luis A. SISTEMAS DINAMICOS

Gustavo.

LONDOÑO,

Gustavo.

♣ ARMIN BUNDE, SHLOMO HAVLIN, fractals in science, New York 1995 ♣BENOIT MANDELBROT, La geometria fractal de la naturaleza, Barcelona 1983. ♣ WWW.FRACTALSCIENCE.CON/DINAMIC ♣ WWW.GOOGLE.COM ♣ HTTP://SPANKY.TRIUMF.CA/WWW/FRACTINT/FRACTINT.HTML