Fractales Y Teselaciones Aplicados Al Disenio Escenografico

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE FILOSOFÍA Y LETRAS DISEÑO DE ESCENOGRAFÍA CON BASE EN FRACTALES Y OTRAS HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS

INFORME ACADÉMICO QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

LICENCIADO EN LITERATURA DRAMÁTICA Y TEATRO PRESENTA: FABIOLA HIDALGO GUISLÁN

ASESOR DE INFORME ACADÉMICO DRA. ANA ADELA GOUTMAN BENDER MÉXICO, D.F. 2008

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DEDICATORIA / AGRADECIMIENTOS A MIS ABUELOS A GALILEO AL GÉNERO FEMENINO A HONORATO BASSOCO MI BISABUELO, POR LOS GENES ESCÉNICOS A GUILLERMO MI TÍO, POR AYUDARME Y POR LOS MINUTOS DE PAPÁ A FRANCISCO QUE SIEMPRE SERÁ MI HERMANO A LAS MUJERES QUE HAN CAMINADO CONMIGO A JESUSA “LA MÁS GÜENITA” A MIS COMPAÑEROS CANINOS POR LA INSPIRACIÓN GRACIAS A ANTONIO POR TANTO QUE COMPARTIMOS, A LUZ MARÍA POR ESAS TARDES DE TEATRO, A LUZ AURORA PIMENTEL Y MARCEL POR TODO EL CARIÑO, A LA “VECINA COMODINA” LAIA JUFRESA POR LOS DIBUJOS, LOS CUENTOS Y POR PRESTARME A SUS AMIGOS, A LA MAESTRA ANA RECHTMAN QUE CON SU AYUDA HIZO POSIBLE ESTE VIAJE, A VICTOR PADILLA QUE ESTABA ENTRE LOS JÓVENES CREADORES Y SE QUEDÓ EN MIS AFECTOS, A MINERVA VALENZUELA Y TODOS LOS QUE “LEYERON AJENO” POR DEJARME PLANCHADAS ESTAS DOCENITAS, A RICARDO NICOLAYEVSKY CUYO RETRATITO GUARDO EN MI CORAZÓN. A MIS AMADOS AMIGOS ATEOS DEL “MYSPACE”, A TODOS EN EL CLUB CANINO DE “LA CONCHITA”, A MAMÁ JUANA POR LA MEJOR PANCITA DEL UNIVERSO, A PAPÁ JUAN, A PATTSY CEPEDA -USTÉ PRIMERO- POR EL DISEÑO E IMPRESIÓN, A CRISTINA TORRES POR ESTE ÚLTIMO EMPUJONCITO Y POR HABERME DADO A PANCHITO EL MEJOR AMIGO EN EL MUNDO, Y FINALMENTE A RICARDO GARCÍA ARTEAGA Y ARACELI REBOLLO POR LA ASESORÍA, LA AMISTAD Y LA ENTREGA MÁS ALLÁ DEL DEBER QUE HACE DEL COLEGIO DE TEATRO UN MEJOR ESPACIO.

FABIOLA HIDALGO GUISLÁN ESCENÓGRAFA Y GENERALÍSIMA DEL TEATRO RENEGADO COYOACÁN, 4706 AÑO DE LA RATA.

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ÍNDICE Planteamiento / Presentación...................................................................................... 04 Introducción............................................................................................................ 05 I.- Escenografía con base en El Triángulo de Sierpinski......................................................... 12 II.- Escenografía con base en La Curva de Koch.................................................................. 20 III.- Otras herramientas matemáticas: Teselaciones de Penrose............................................... 30 IV.- Escenografía con base en Teselaciones de Penrose ........................................................ 36 Bibliografía............................................................................................................. 42 Glosario................................................................................................................. 43

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DISEÑO DE ESCENOGRAFÍA CON BASE EN FRACTALES Y OTRAS HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS

PLANTEAMIENTO / PRESENTACIÓN Ya sea en calidad de alumno o maestro del Colegio de Literatura Dramática y Teatro, el lector del presente informe académico, podrá beneficiarse de su lectura debido a que en él se aborda -mediante un simple ejemplo- la vinculación entre ciencia y arte, e invita a hacer uso de la investigación científica para enriquecer las técnicas de creación artística. Asunto que creemos abrirá nuevos caminos para los creadores escénicos en general. Es nuestra opinión debido a la experiencia durante el curso de la carrera, que la integración de temas científicos complementaría la ya sólida formación de los asistentes al colegio. Los ejercicios escenográficos que aquí se presentan fueron realizados mediante el apoyo del Fondo Nacional para la Cultura y las Artes a través de la beca Jóvenes Creadores 2003-2004 en el rubro de Teatro/Diseño de Escenografía, contando con la asesoría de la maestra Ana Rechtman. En estos experimentos escenográficos se logró la aplicación de la teoría de fractales al diseño escenográfico, demostrando que es una herramienta que permite explorar y sustentar el uso de lo no figurativo o abstracto para la elaboración de un diseño de escenografía. Se usaron tambien Teselaciones de Penrose en un tercer ejercicio.

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INTRODUCCIÓN: Sabemos que la realidad es caótica y que es nuestra percepción la que filtra la información recibida a través de los sentidos, encontrando patrones y relaciones, es decir, creando un orden asimilable. El cerebro escoge sólo unos cuántos detalles para someterlos al análisis de la conciencia y con éstos construye una imagen coherente de la realidad. Partiendo de esta premisa, encontramos en lo abstracto o no figurativo, un elemento sumamente valioso para la creación de un diseño escenográfico. El uso de lo abstracto o no figurativo nos permite expresar al máximo con detalles mínimos, nos permite tender a la exactitud mucho más que si pretendiéramos emular la realidad. O dicho de otro modo: -El poder de la sugerencia es más grande que el poder de la definición.Con el objetivo de ofrecer espacios escenográficos que den al arte escénico una perspectiva distinta para transmitir, plasmar y utilizar imágenes y formas, desarrollaremos en este intento una aventura multidimensional que nos dotará de nuevos elementos a utilizar en la creación de los nuevos espacios escénicos. El punto de contacto entre la ciencia y el arte puede ser definido a partir de la natural tendencia de ambas disciplinas hacia lo creativo. Resulta asombrosa la semejanza en la manera de abordar los textos dramáticos y los textos matemáticos: Primero pasa uno a grandes zancadas en busca de las ideas principales, luego escudriña por los huecos y los va rellenando, más tarde se miran con lupa los detalles para ir reconstruyendo lo que está detrás del texto, las matemáticas a las que alude, para finalmente tratar de ir mas allá de lo que está escrito, encontrando siempre en ambos casos que la terminología debe estar al servicio de las ideas. En estos experimentos escénicos podremos encontrar nuevas formas aplicables al diseño escenográfico. Partiendo de lo creativo, hemos encontrado en la ciencia -a través de la teoría de fractales- una herramienta válida para el desarrollo de un proyecto artístico.

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FIGURATIVO VS NO FIGURATIVO Para ilustrar el concepto de lo no figurativo como herramienta válida para construcción de ideas y un camino artístico válido ponemos como ejemplo un dibujo hecho por Picasso:

Podemos notar cómo la idea, la esencia del elemento a representar o significar se transmite...

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Fractales En 1975 Benoit Mandelbrot denominó fractates (del latín ftactus, irregular) al conjunto de formas que, generadas normalmente por un proceso de repetición, se caracterizan por poseer detalle a toda escala, por tener longitud infinita, por no ser diferenciales y por exhibir dimensión fraccional. Adicionalmente, construyó con ellas un conjunto de nuevas reglas para explorar la geometría de la naturaleza y las reconoció como herramientas potencialmente útiles para analizar un gran número de fenómenos fisicos (Peitgen, 1986). El interés de Mandelbrot en los fractales nació de su certeza de que “las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, como la corteza de un árbol no es plana ni un rayo viaja en línea recta... La naturaleza no solamente exhibe un grado mayor sino también un nivel diferente de complejidad” (Mandelbrot, 1984). Hoy día se han identificado innumerables manifestaciones naturales de estructuras fractales. Se sabe que su geometría está presente en depósitos y agregados coloidales (como los generados por el polvo y el smog), poliméricos y electroquímicos (Sander, 1987); en aparatos y sistemas de los seres vivos, como los vasos capilares, tubos intestinales, biliares y bronquiales, y en las redes neuronales (Goldberger, 1990). De manera similar, hay evidencia de que la localización geográfica de epicentros en temblores exhibe un patrón fractal (Bak, 1991), y en la actualidad la dimensión fraccional (dimensión fractal) de la superficie irregular de una falla en un material ya se utiliza como medida indirecta de su resistencia y dureza (Peterson, 1988). Los fractales mostraron su utilidad por primera vez cuando se generó con ellos un modelo simple para la aparición de ruido en ciertas líneas de transmisión en sistemas de comunicación digital (Peterson, 1988); esto es, la presencia de breves interrupciones eléctricas que confunden y dificultan la comunicación (del tipo de las que estamos acostumbrados a oír cuando hablamos por teléfono o escuchamos el radio). El análisis de las señales demostró que las interrupciones aparecían como por paquetes, pero dentro de estos paquetes se distinguía una estructura intermitente, y dentro de ésta... ya podemos imaginar la historia. Para construir un fractal pueden seguirse procedimientos matemáticos, geométricos, físicos y químicos, y vale la pena dedicar un poco de tiempo a analizar los principios en que se basa cada uno de ellos. El interés de generar objetos fractales, como ya hemos visto, es muy diverso: representar imágenes, hacer modelos, analizar patrones, identificar estructuras. Pero este trabajo no es sólo un asunto de curiosidad científica o utilidad práctica inmediata; en él se esconde mucho de placer y de sorpresa; dos elementos que, como se verá, son inevitables.

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Triángulo de Sierpinski y conjunto de Cantor Los fractales son figuras geométricas con una simetría muy particular, la escala o autosimilitud. Esto quiere decir que si vemos un pequeño pedazo de la figura se verá como la figura original. Es más fácil imaginarse esto con un ejemplo: construyamos el triángulo de Sierpinski que fue introducido en 1915. Tomemos un triángulo equilátero de lado 1 coloreado de negro como se muestra en la figura 1(a). Para construir la figura 1(b) tomamos el triángulo formado por los puntos medios del triángulo original y lo quitamos (o bien lo coloreamos de blanco). En el siguiente paso, hacemos lo mismo en los tres triángulos negros restantes, para obtener la figura 1(c). Las figuras 1(d), 1(e) y 1(f) son los siguientes tres pasos de la construcción.



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 1

Este procedimiento lo podemos seguir haciendo en cada triángulo negro restante y al final obtenemos una figura parecida a ésta, mejor conocida como el triángulo de Sierpinski.

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Aquí podemos entender la autosimilitud de la cual se hablaba en el primer párrafo, si nos fijamos en un triángulo negro de la figura 1(c), en realidad hay todo un triángulo de Sierpinski dentro de él. Se puede decir que los fractales en el plano son figuras geométricas con perímetro infinito y área finita. Es claro que el área del triángulo de Sierpinski es finita ya que está contenida en un triángulo equilátero de lado 1, sin embargo no es claro que el perímetro del triángulo de Sierpinski sea infinito. En la figura 1(a) el perímetro mide 3, que es el perímetro del triángulo de lado 1. Para obtener el perímetro de la figura 1(b) hay que agregar el perímetro del triángulo formado por los puntos medios de los lados, es decir, el perímetro de un triángulo equilátero de lado un medio. Entonces el perímetro de la figura 1(b) es 1 + 3/2. Para el perímetro de la figura 1(c) tenemos que agregar el perímetro de tres triángulos equiláteros de lado un cuarto, es decir, el perímetro es . Se pueden seguir haciendo los cálculos paso a paso, llegaríamos a que el perímetro del triángulo de Sierpinski en el paso número n es .

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Para obtener el triángulo de Sierpinski tendríamos que n vale infinito, ya que vamos a hacer una infinidad de pasos. Entonces el perímetro del triángulo de Sierpinski es infinito y el área es finita. La construcción de este ejemplo es una versión bidimensional del famoso conjunto de Cantor. Tomemos el intervalo de la recta de los números reales comprendido entre el 0 y el 1. Vamos a borrar el intervalo

para obtener la figura

3(a). Cada intervalo restante lo vamos a dividir en tres trozos iguales y vamos a borrar el central, es decir, para obtener la figura 3(b) vamos a borrar los intervalos

y

. Al realizar esto una infinidad de veces obtenemos el conjunto

de Cantor que está formado por una infinidad de puntos aislados uno de otro, es decir, todos los puntos en el conjunto de Cantor están separados de los demás.

Figura 3

Clasifiquemos de otra forma los puntos que pertenecen al conjunto de Cantor. Tomemos un punto en el intervalo inicial, es decir, un punto entre el 0 y el 1. Si este punto está en el primer intervalo de la figura 3(a), vamos a escribirlo como 0.0. Si está en el intervalo borrado lo escribimos como 0.1 y si está en el tercer intervalo lo escribimos como 0.2. Si seguimos haciendo esto con las siguientes divisiones, es decir, los puntos en la figura 3(a) son los que escribimos como 0.0 y 0.2. Ahora en la figura 3(b), los puntos que están en la figura anterior pueden o no pertenecer a uno de los cuatro intervalos. Si pertenece al primer intervalo lo vamos a escribir como 0.00, si está en el segundo 0.02, en el tercero 0.20 y en el cuarto 0.22. Para tener más claro este procedimiento vamos tomar unos ejemplos. Tomemos el punto representado por 1/6 en el intervalo entre el 0 y el 1. Como está en el primer intervalo, es decir lo denotamos como 0.0. Ahora como , el punto no está en la figura 3(b) y se denota como 0.01. Un caso muy sencillo es el 1, en la figura 3(a) pertenece al segundo intervalo es decir lo denotamos por 0.2, luego está en el cuarto intervalo y lo denotamos 0.22. Como siempre va a estar en el último intervalo su notación es 0.2222222...

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Esta nomenclatura la podemos usar para todos los puntos del intervalo inicial y es fácil construirla, pero lo maravilloso de ella es que todos los puntos que pertenezcan al conjunto de Cantor van a tener sólo 0 y 2 en su nueva expansión decimal, además dicha expansión decimal coincide con la escritura de estos números en base 3. Esto quiere decir que si escribimos los números entre 0 y 1 en base 3, podemos decir cuáles están en el conjunto de Cantor. Este tipo de procedimiento se ha utilizado para construir otros fractales, como la esponja de Sierpinski en la cual la figura inicial es un cubo y se van quitando cubos cada vez más pequeños. Al final se ve como:

En este caso no podemos hablar del perímetro de la figura ni de su área, pero podemos hablar de su volumen y de la superficie de sus caras. Es decir, los fractales que se encuentran en espacios de dimensión tres tienen volumen finito y superficie infinita. Resumiendo: Un fractal es un objeto geométrico que puede dividirse en partes que son una copia reducida del total. Con cada parte se puede proceder recursivamente, dividiéndola, y siempre obtendremos formas similares a las anteriores. Esta propiedad que conocemos como autosimilitud es muy importante en los fractales y constituye una herramienta que puede ser utilizada en la creación y el diseño para la escena. Del mismo modo como la proporción áurea ha sido de uso común y frecuente entre arquitectos y diseñadores.

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I.- Primera Escenografía Diseñada con base en el triángulo de Sierpinski.

Estudio de perspectiva. Dibujo realizado por Jan Vredeman de Vries.

Inspirados por el anterior dibujo y otros del mismo autor, desarrollamos a partir de teoría de fractales la escenografía de una obra de teatro que necesitaba distintos espacios (Plazas, cámaras, salas de audiencia, interiores y exteriores cuyo referente histórico se encontraba dado en un contexto romano). Con la intención de crear un espacio, que no reprodujera con todo detalle un paisaje ni las obvias referencias arquitectónicas en términos realistas, sino que cumpliera con las exigencias de la puesta en escena, creamos la siguiente solución: una escenografía minimalista que evocara esos espacios, la solución con que topamos redujo a una escalera y un volumen.

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Para la escalera se utilizó como base fractal al triángulo de Sierpinski, sólo que en lugar de iniciar con un triángulo equilátero el diseño se inició con un triángulo rectángulo. El proceso de construcción del triángulo de Sierpinski es el mismo. Claramente, los triángulos que vamos quitando son semejantes al primero (es decir la razón entre sus lados es siempre la misma), como en la figura tradicional en que todos los triángulos son equiláteros. Se utilizaron tres pasos de construcción del triángulo, el contorno de la figura dió origen a los escalones.

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Para el volumen del centro se utilizó el primer paso de construcción del siguiente fractal. Tomemos un cuadrado de lado 1, tracemos cuatro rectas paralelas a los lados del cuadrado de tal forma que obtengamos un cuadrado de lado un medio al centro. Ahora quitemos los cuatro rectángulos para obtener la siguiente figura:

Si realizamos lo mismo en cada uno de los cuadrados negros restantes obtenemos la figura:

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Claramente este proceso lo podemos seguir haciendo en cada uno de los cuadrados hasta que nos queden una infinidad de veces. Esta figura tiene la propiedad de auto similitud y claramente su área es finita, veamos ahora que el perímetro es infinito. El perímetro de la primera figura es cuatro veces el perímetro de un cuadrado de lado un cuarto, más el perímetro del cuadrado de lado un medio, es decir,

. Para el segundo paso tenemos que el perímetro es

Para el tercer paso tenemos que el perímetro es

.

.

La fórmula para el perímetro en el paso n no es sencilla como en el caso del triángulo de Sierpinski, sin embargo, es fácil ver que el perímetro en el paso n es siempre mayor que Como

. Por ejemplo en el tercer paso

.

tiende a infinito cuando n crece, el perímetro del fractal es infinito.

El primer paso utilizado se muestra en la siguiente ilustración:

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En las fotografías de las páginas siguientes, se muestra el resultado obtenido:

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II.- Escenografía diseñada con base en la curva de Koch En este segundo ejercicio, utilizamos como punto de partida para diseñar la escenografía una curva de Koch. Curva de Koch La curva de Koch que se construye a partir de un segmento de recta de la siguiente forma: En el primer paso dividimos la recta en tres, borramos la parte de en medio y dibujamos dos segmentos de la misma longitud que el borrado como se muestra en la segunda figura. En el siguiente paso, vamos a hacer lo mismo en cada uno de los cuatro para obtener la tercera figura. Si continuamos este proceso obtenemos una curva fractal que se ve como la última figura:

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Esta idea la podemos aplicar en los tres lados de un triángulo equilátero para formar una curva fractal cerrada. El procedimiento es el mismo y obtenemos un fractal.

Existen bonitas variaciones de la curva de Koch, si en lugar de sustituir la parte borrada con dos segmentos de igual longitud, pero no necesariamente de la misma longitud que el borrado. En la siguiente figura se muestra la curva de Koch como la construimos anteriormente y dos variaciones de ésta.

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Para formar las piezas tomamos la parte delimitada con rojo del fractal, como se muestra en la figura:

Esta curva dió origen, mediante su trazo y escala, a un tipo de unidad con distintas posibilidades (sin pared, con pared corta y pared larga):

(unidad con pared corta)

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(unidad con pared larga)

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Al utilizarles en conjunto podemos obtener por ejemplo:

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Las distintas formaciones de estas unidades pueden dar formas complejas, tanto como cualquier paso de la curva de koch. Por ejemplo una vista aérea, donde la línea gruesa indica dónde estarían los muros en las unidades.

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Y se propone que algunas de estas paredes, sean aptas para la proyección, retroproyección y/o el teatro de sombras:

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En las siguientes páginas se muestra el resultado obtenido:

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III.-TESELACIONES DE PENROSE Durante la experimentación con distintas geometrías y al abordar conversaciones y lecturas con la Maestra Rechtman, surgió entre los temas de posible aplicación al diseño de escenografía, la utilización de Teselaciones de Penrose. Teselaciones de Penrose Las teselaciones son formas de cubrir una superficie con figuras, sin que éstas se encimen o queden espacios entre ellas. Imaginemos un rompecabezas, donde todas las piezas embonan sin encimarse. Una teselación es regular cuando las figuras son polígonos regulares iguales. Las teselaciones regulares del plano euclidiano son tres: con triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos. Éstas se muestran en la figura.

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Podemos también construir teselaciones en las que no todas las figuras sean iguales, incluso que no sean polígonos regulares. Por ejemplo, veamos la siguiente figura:

Las teselaciones anteriores son claramente periódicas, es decir, podemos tomar un trozo de éstas (un conjunto de piezas) y moverlo a otra parte de la teselación y va a coincidir con esta parte. Los matemáticos llaman a estos movimientos isometrías, ya que conservan la medida de los objetos movidos.

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Durante muchos años se trató de buscar un conjunto de piezas que, con ciertas restricciones de cómo construir la teselación, generarán una teselación aperiódica. Es decir, que no se pueda tomar un pedazo de ésta y bajo una isometría convertirlo en otro trozo de la teselación. Actualmente hay muchos conjuntos con las características. Los primos constan de conjuntos de más de 10 piezas distintas, pero Sir Roger Penrose presentó el primer conjunto de dos piezas que generan una teselación aperiódica. Estas dos piezas son el papalote y la daga, veamos cómo se construyen. Tomemos un pentágono y dibujemos las diagonales que se muestran:

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El punto p es el que va a definir las dos piezas de los mosaicos de Penrose, éstas son:

La pieza azul es la daga y la gris el papalote, en los siguientes dibujos se ven las piezas y algunas teselaciones que se pueden formar con éstas. Los arcos de círculo indican las reglas de pegado que hacen que la teselación resultante no sea periódica, para pegar dos piezas no sólo es necesario que sus lados midan lo mismo, también necesitamos que los arcos de círculo formen una curva que no se rompa.

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Para hacer que los mosaicos formados por estas dos piezas sean aperiódicos vamos a introducir unas reglas de pegado. Para pegar dos piezas no sólo es necesario que sus lados midan lo mismo, también necesitamos que los arcos de círculo formen una curva que no se rompa. Los arcos de círculo en cada pieza están trazados de la siguiente forma (donde Ø representa a la razón áurea, 1.618):

Habiendo usado las reglas de pegado, donde cualquier pieza puede ser colocada junto a la otra mientras la línea discontinua o roja sea conectada con otra discontinua o roja, y/o procediendo de la misma manera con la línea continua o azul para crear la figura, produciendo así teselaciones con arcos:

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A continuación se muestran distintos tipos de teselaciones:

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IV.- Escenografía con base en Teselaciones de Penrose Este diseño escenográfico fue concebido para dar cabida a la representación de fragmentos de obras de Shakespeare, es decir, era necesario realizar el simulacro escénico de espacios diversos como: interiores y exteriores, palacios, castillos, tabernas, plazas, edificios públicos, campos de batalla, costas, cuevas y otros escenarios naturales. Inspirados en dibujos de escenarios isabelinos y algunas convenciones escénicas heredadas del teatro isabelino, desarrollamos a partir de teselaciones de Penrose y fractales la escenografía de la siguiente manera: La escenografía está conformada por dos elementos principales. El primero, la delimitación del espacio a través de “la daga” y “el papalote” de Penrose, y el segundo es la pieza que denominaremos “telón interactivo”. La delimitación del espacio puede hacerse de manera elaborada como se muestra más adelante en la maqueta (alzada a 60 cms. con rodajas, posibilidad de división por su parte media, trampas y trampas de luz), o de manera sencilla mediante el único recurso de trazar en una superficie el siguiente dibujo realizado con “la daga y el papalote” de Penrose:

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Para construir el “telón interactivo-articulado”, utilizamos las mismas figuras “daga y papalote” para crear la siguiente figura que hará las veces de división, muro, cortina, refugio, montaña, castillo o cualquier otra referencia necesaria para la escena.

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El resultado puede apreciarse en las siguientes imágenes que corresponden a la maqueta elaborada.

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De este modo, por medio de estos ejercicios hemos confirmado que es factible la aplicación de fractales y teselaciones de penrose al diseño escenográfico y que es una herramienta que permite explorar y sustentar el uso de lo no figurativo o abstracto para transportarnos a todos los mundos posibles y concebibles.

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Diseño de Escenografía con base en Fractales y otras herramientas matemáticas

GLOSARIO DE TÉRMINOS FRACTAL Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Son estructuras geométricas irregulares de longitud infinita en un área finita. Pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares a cualquier escala de observación. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características: a) Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales, b) Posee detalle a cualquier escala de observación, c) Es auto-similar. ITERACIÓN Hacer o decir de nuevo; repetición de un proceso secuencia o instrucciones. AUTOSIMILITUD Un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. ISOMETRÍA Cuando una figura geométrica y su imagen de transformación son congruentes, el dibujo es llamado isometría de congruencia de transformación.

SIR ROGER PENROSE Orden de Mérito del Reino Unido, Miembro de la Royal Society, es un físico matemático nacido el 8 de agosto de 1931 en Inglaterra y Profesor Emérito de Matemáticas en la Universidad de Oxford. Está altamente considerado por su trabajo en física matemática, en particular por sus contribuciones a la relatividad general y la cosmología. También ha dedicado su tiempo a las matemáticas recreativas y es un controvertido filósofo. Penrose consiguió su Doctorado en Cambridge en 1958. En 1967, Penrose inventó la Twistor|teoría de twistores que Mapeo|mapea objetos geométricos de un “espacio de Minkowski” en un espacio complejo en 4 dimensiones con la signatura métrica (2,2). En 1969 conjeturó la “hipótesis de censura cósmica”. Ésta propone (de manera informal) que el universo nos protege de la inherente impredictibilidad de las singularidades (como los agujeros negros) ocultándolos

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de la vista. Esta forma es conocida actualmente como la “hipótesis débil de la censura’’; en 1979, Penrose formuló una versión más firme llamada la “hipótesis fuerte de la censura’. En conjunción con la conjetura BKL y problemas con la estabilidad no lineal, resolver la conjetura de la censura cósmica es uno de los problemas más importantes en la teoría de la relatividad. Roger Penrose es conocido por su descubrimiento en 1974 de los teselados o teselaciones de Penrose, que están formados de dos teselas que sólo pueden teselar el plano de forma aperiódica. En 1984, patrones similares fueron encontrados en la organización de átomos en cuasicristales. En 2006 Penrose editó “El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo’, un libro de 1099 páginas con la intención de crear una guía general sobre las leyes de la física y que constituye uno de los mejores libros de divulgación de las últimas décadas. LA TEORÍA DE LA MENTE DE ROGER PENROSE Lo que ha vuelto famoso a Penrose, además de criticado, es su teoría sobre la mente. El punto de vista de Penrose es que debe haber algo de naturaleza no computable en las leyes físicas que describen la actividad mental. Este argumento tiene como base el teorema de la incompletitud de Gödel que habla de la imposibilidad de una demostración formal de una cierta proposición matemática, aunque para el entendimiento humano ésta sea de hecho verdadera. También en las ideas de Stuart Hameroff. Tanto Penrose como Hameroff postulan que la mente y el cerebro son dos entidades separables. Hameroff, médico anestesista, lo hace a través de sus estudios sobre los microtúbulos y el citoesqueleto celular, especialmente en las neuronas, mientras que Penrose lo hace desde el Teorema de la Incompletitud. El modelo que defiende Penrose, junto con Hameroff, trata de explicar sucesos difíciles de entender a través de las neurociencias “convencionales’’ y para ello se apoya en aspectos revisados de la teoría cuántica (por ejemplo, el concepto de coherencia), así como la existencia de un fenómeno físico, inédito hasta ahora, que parece darse en el interior de las neuronas cuando la función de onda cuántica se colapsa por sí misma en una reducción objetiva orquestada. Sus consideraciones a favor de los orgánulos celulares mencionados se apoyan en varias sugerencias: • Estas entidades existen en todo tipo de células con lo que habría una explicación para los comportamientos complejos de seres simples sin sistema nervioso neuronal, como el paramecio. • Debido a que cada neurona contiene una cantidad enorme de microtúbulos, el poder de computación del cerebro se incrementaría en un factor de 10 a la potencia de 13.

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• Dentro del microtúbulo podría existir un estado especialmente ordenado del agua, llamado agua “vicinal”, que podría ayudar a mantener el estado de coherencia cuántica buscado. • La acción de los anestésicos generales podría interferir en la actividad microtubular, hipótesis apoyada por el hecho de que estos anestésicos también actúan sobre seres simples. Ejemplo: amebas o paramecios. Penrose sugiere que ninguna máquina de computación podrá ser inteligente como un ser humano, ya que los sistemas formales algorítmicos; o sea, los sistemas de instrucciones secuenciadas sobre los cuales están construidas las computadoras; nunca les otorgarán la capacidad de “comprender” y “encontrar verdades” que los seres humanos poseen. WACLAW SIERPINSKI Varsovia (1882- id., 1969) Matemático polaco. Miembro fundador de la escuela matemática polaca moderna, junto con Janiszewski y Mazurkiewicz, que contribuyó al progreso de la teoría de conjuntos y de la topología y favoreció la consolidación de los fundamentos lógicos de las matemáticas. Llevó a cabo importantes investigaciones sobre teoría de números. BENOIT MANDELBROT Matemético francés de origen polaco(Varsovia, 1924). Nieto del eminente matemético Szolem Mandelbrot, su familia emigró a Francia en 1936. Su tío se encargó personalmente de su educación y lo orientó hacia los trabajos de G. Julia sobre las iteraciones sobre el plano complejo. Tras familiarizarse con otras disciplinas científicas, como la física o la biología, Mandelbrot desarrolló la teoría de las fractales, formas geométricas complejas caracterizadas por la autosemejanza y capaces de describir aquellos fenomenos espaciales no uniformes para los que las formas geométricas euclídeas habituales resultan insuficientes. El ulterior desarrollo de la geometría fractal ha generado resultados susceptibles de encontrar aplicación en campos tan diversos como los de la mecánica estadística o la infografía.

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